Capitulo III

Matemática III (733)

Objetivo 6. Aplicar el producto escalar, vectorial y mixto en la resolución

de problemas.

Ejercicio 1

Demuestra que los vectores: 2a i j k= − +� � � �

, 4 2b j k= +� � �

y 10 2 4c i j k= − − +� � � �

son ortogonales.

Solución

Justificación: En esta guía estaremos desarrollando ejercicios sobre

vectores, por ello aclararemos algunos aspectos de importancia para saber que

es realmente un vector para trabajar con ellos.

Primero, un vector se representa con una letra escrita con una flecha en

su parte superior y se pueden escribir de varias maneras, por ejemplo el vector

2a i j k= − +� � � �

, también se puede escribir ( )1, 1,2a = −�

y respresenta exactamente

el mismo vector. La forma 2a i j k= − +� � � �

se llama canónica porque esta

compuesto por los vectores canonicos i�

, j�

y k�

, mientras que la forma

( )1, 1,2a = −�

se llama cartesiana, pero más alla de los nombres lo importante es

que sepas que representan el mismo vector, es decir, siempre la primera

componente es el coeficiente de i�

, la segunda componente el coeficiente de j�

y la tercera el coeficiente de k�

.

Por otra parte, un vector es un segmento orientado, es decir, posee

módulo, dirección y sentido. Estas características dependen de la dimensión

que estes trabajando, 2ℝ ó 3

ℝ .

El módulo: es la longitud del vector.

Dirección: es el ángulo que forma con el eje equis positivo. Si en un

ejercicio se te pide la dirección, te estan pidiendo el ángulo que forma con el

eje equis.

Sentido: Viene dado por la punta de la flecha.

Ilustremos estos 2 ultimos aspectos, dirección y sentido en el siguiente

gráfico, ya que es importante que comprendas muy bien estas características

de vectores:

0º 90º α α α= =

Observa como en la figura anterior, en el destacado rojo, se indica el

extremo (punta de la flecha) y el origen de un vector, pues todods los vectores

tienen extremo y origen.

Ahora bien, ¿cómo calculamos estas características: módulo, dirección y

sentido?. La respuesta a esta pregunta dependera en la dimensión que se este

trabajando, observa:

Vectores en 2 dimensiones 2ℝ

Vienen dados por 2 componentes, por ejemplo: ( ),a x y=�

Módulo: 2 2a x y= +�

Dirección: y

arctgx

α =

Sentido: Indicado por la punta de la flecha.

Vectores en 3 dimensiones 3ℝ

Vienen dados por 3 componentes, por ejemplo: ( ), ,a x y z=�

Módulo: 2 2 2a x y z= + +�

Dirección: Vienen dados por los cosenos directores, es decir, los ángulos

con respecto a cada eje coordenado:

Ángulo con el eje x: arccosx

aα

=

�

Ángulo con el eje y: arccosy

aβ

=

�

Ángulo con el eje z: arccosz

aγ

=

�

Sentido: Indicado por la punta de la flecha.

Los vectores de pueden operarse:

1) Escalar por un vector:

3 20 3 5 30 9 15a i j k i j k= − + = − +� � � � � � �

2) Suma de vectores:

( ) ( )20 3 5 5 3 25 6 4a b i j k i j k i j k+ = − + + − − = − +� � � � � � � � � � �

3) Resta de vectores:

( ) ( )20 3 5 5 3 15 0 6a b i j k i j k i j k− = − + − − − = + +� � � � � � � � � � �

4) Producto escalar o producto punto:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )20 3 5 5 3 20 5 3 3 5 1 100 9 5 104a b i j k i j k= − + − − = × + − × − + × − = + − =� � � � � � � �i i

EL RESULTADO ES UN ESCALAR , ES DECIR, UN NÚMERO

Este producto escalar también se calcula así:

. .cosa b a b α=� � � �i

También lo podemos encontrar escrito así:

, . .cosa b a b α=� � � �

Donde alfa (α ) es el ángulo entre los vectores a�

y b�

, con 0º 180ºα≤ ≤ .

Observa que si los vectores son perpendiculares, se tiene:

. .cos90º . .0 0a b a b a b= = =� � � � � �i

Es decir, el producto escalar de vectores perpendiculares da como

resultado cero.

5) producto vectorial o producto cruz:

( ) ( )20 3 5 5 3 20 3 5

5 3 1

i j k

a b i j k i j k× = − + × − − = −− −

� � �

� � � � � � � �

Fijate que se obtiene un determinante, y este se calcula así:

Menor de la i :

( )( ) ( ) ( ) ( )3 53 5 1 3 3 5 3 15 18

3 13

20

15

i i

j k

i

i−

− = = − ⋅ − − − ⋅ = + = − −− −

� �

� � �

�

Menor de la j :

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]20 520 5 1 20 5 5 20 25 45 45

5 15 1

3

3

j j j

i

j

j k

= = − − ⋅ − ⋅ = − − − = − − = −−

−−

�

� � �

� �

�

OJO: SOLAMENTE AL MENOR DE LA JOTA SE LE CAMBIA EL SIGNO

Menor de la k :

( )( ) ( ) ( )205

1

320 3 3 20 3 5 60 15 45

5 35 3

k k k

i j k−

− = = − ⋅ − − ⋅ = − + = − −

−−

� �

� � �

�

Asi se obtiene como resultado el vector:

18 45 45a b i j k× = + −� � � � �

EL RESULTADO ES UN VECTOR

EL VECTOR OBTENIDO ES SIEMPRE PERPENDICULAR A LOS

VECTORES a�

y b�

Este producto vectorial también se calcula así:

. .a b a b senα× =� � � �

Donde alfa (α ) es el ángulo entre los vectores a�

y b�

.

Observa que si los vectores son paralelos, se tiene:

. . 0º . .0 0a b a b sen a b× = = =� � � � � �

Es decir, el producto vectorial de vectores paralelos da como resultado

cero.

Existe un vector muy útil, es llamado VECTOR UNITARIO, y se calcula

así:

Dado el vector ( )2,1,2a = −�

hallar su vector unitario:

Primero calculas su módulo: ( )2 2 22 1 2 4 1 4 9 3a = − + + = + + = =�

Finalmente divides cada componente del vector entre este módulo:

2 1 2, ,

3 3 3au− =

���

El modulo de este vector siempre es uno (1), por eso se llama unitario,

observa:

2 2 22 1 2 4 1 4 9

1 13 3 3 9 9 9 9au

− = + + = + + = = =

���

Hecho estos comentarios, voy a desarrollar el ejercicio planteado:

Para demostrar que los vectores 2a i j k= − +� � � �

, 4 2b j k= +� � �

y

10 2 4c i j k= − − +� � � �

son ortogonales, basta con multiplicar cada uno de ellos

escalarmente y verificar que el resultado es cero (0), tal como te lo comente en

el operador producto escalar de vectores.

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 4 2 0 1 4 2 2 0 4 4 0a b i j k i j k= − + + + = + − × + × = − + =� � � � � � � �i i

2) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 10 2 4 1 10 1 2 2 4 10 2 8 0a c i j k i j k= − + − − + = × − + − × − + × = − + + =� � � � � � � �i i

3) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 4 2 10 2 4 0 4 2 2 4 8 8 0b c i j k i j k= + + − − + = + × − + × = − + =� � � � � � � �i i

Por lo tanto los vectores dados son ortogonales.

Respuesta: Se demostro que a�

, b�

y c�

son ortogonales.

Ejercicio 2

Determina, usando el producto mixto, la dependencia o independencia

lineal del conjunto { }, ,u v w� � ��

donde:

(7, 1,5)u = −�

; (5,0, 7)v = −�

; (14, 2,10)w = −��

Solución

Justificación: Para saber si un conjunto de vectores es linealmente

dependiente o independiente, se aplica el producto mixto:

( )7 1 5

5 0 7

14 2 10

u v w

−× = −

−

� � ��i

Si este producto mixto es cero, los vectores serán linealmente

dependientes, de lo contrario, es decir, que sea distinto de cero, los vectores

serán linealmente independientes.

El determinante se calcula por la regla de Sarrus o cualquier regla que

se te haga sencillo:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )7 1 5

5 0 7 10 0 7 5 5 2 14 1 7 14 0 5 5 10 1 7 2 7

14 2 10

− − = × × + × × − + × − × − − × × + × × − + × − × −

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 1 5

5 0 7 0 50 98 0 50 98

14 2 10

−− = + − + − + − +

−

[ ] [ ]7 1 5

5 0 7 48 48 0

14 2 10

−− = − =

−

Por lo tanto:

Respuesta: El conjunto de vectores { }, ,u v w� � ��

es linealmente dependiente.

NOTA: El producto mixto geometricamente es el volumen del paralelepipedo

formado por los 3 vectores.

Ejercicio 3

Determina los números 1n y 2n de modo que el vector 21u n a n b− −� � �

sea

ortogonal tanto a a�

como a b�

si:

(2, 1,4), (2, 1,1), (1,1,2)u a b= − = − =� � �

Solución

Justificación: Primero vamos a determinar el vector 21u n a n b− −� � �

, y

llamemos a este vector z�

, así:

21z u n a n b= − −� � � �

Sustituyendo los vectores conocidos

(2, 1,4), (2, 1,1) y (1,1,2)u a b= − = − =� � �

, se tiene:

1 2(2, 1,4) (2, 1,1) (1,1,2)z n n= − − − −�

1 1 1 2 2 2(2, 1,4) (2 , , ) ( , , 2 )z n n n n n n= − − − −�

Sumando algebraicamente cada componente:

1 2 1 2 1 2(2 2 , 1 ,4 2 )z n n n n n n= − − − + − − −�

Como nos piden que z�

sea perpendicular a a�

y a b�

, sabemos que debe

cumplirse:

0a z =� �i y 0b z =

� �i

Por lo tanto:

1) 1 2 1 2 1 20 (2, 1,1) (2 2 , 1 ,4 2 ) 0a z n n n n n n= → − − − − + − − − =� �i i

( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 2 1 4 2 0n n n n n n− − − − + − + − − =

1 2 1 2 1 24 4 2 1 4 2 0n n n n n n− − + − + + − − =

1 26 3 9 0n n− − + = (1)

2) 1 2 1 2 1 20 (1,1,2) (2 2 , 1 ,4 2 ) 0b z n n n n n n= → − − − + − − − =� �i i

( )1 2 1 2 1 22 2 1 2 4 2 0n n n n n n− − − + − + − − =

1 2 1 2 1 22 2 1 8 2 4 0n n n n n n− − − + − + − − =

1 23 6 9 0n n− − + = (2)

Asi hemos llegado a dos ecuaciones con dos incognitas, para resolver

este sistema de ecuaciones puedes hacer uso del método de reducción,

igualación, sustitución, Cramer, Gauss-Jordan, en fin el métddo que a ti amiga

y amigo estudiante se te haga más comodo.

Yo utilizare el método de reducción:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

6 3 9 0 6 3 9 0 18 9 27 03

3 6 9 0 3 6 9 0 18 36 54 06

n n n n n n

n n n n n n

− − + = − − + = − − + = → → − − + = − − + = + − =−

Por lo tanto: 2 2

2727 27 1

27n n= ∴ = =

Como ya sabemos que 2 1n = , sustituimos este valor en cualquier

ecuación y despejamos 1n , sustituyendo 2 1n = en (1), se tiene:

( )1 2 1 1 1 16 3 9 0 6 3 1 9 0 6 3 9 0 6 6 0 6 6n n n n n n− − + = → − − + = → − − + = → − + = → − = −

1 1

66 6 1

6n n

−− = − ∴ = =−

Respuesta: Los números 1 1n = y 2 1n = hacen que el vector 21u n a n b− −� � �

sea ortogonal tanto a a�

como a b�

.

Ejercicio 4

Determina, usando el producto mixto, la dependencia o independencia

lineal del conjunto { }w,v,u���

donde:

)1,3,4(w;)5,0,1(v;)10,4,3(u −=−−=−=���

Solución

Justificación: Para saber si un conjunto de vectores es linealmente

dependiente o independiente, se aplica el producto mixto:

( )3 4 10

1 0 5

4 3 1

u v w

−× = − −

−

� � ��i

Si este producto mixto es cero, los vectores serán linealmente

dependientes, de lo contrario, es decir, que sea distinto de cero, los vectores

serán linealmente independientes.

El determinante se calcula por la regla de Sarrus o cualquier regla que

se te haga sencillo:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 4 10

1 0 5 1 0 3 5 4 4 3 1 10 4 0 10 4 1 1 3 3 5

4 3 1

− − − = − × × + − × × − + × − × − × × + − × − × − + × × −

−

( ) ( ) ( ) ( )3 4 10

1 0 5 0 80 10 3 0 4 15

4 3 1

− − − = + − − + − −

−

[ ]3 4 10

1 0 5 80 10 3 19 80 10 3 19 99 10 3 0

4 3 1

− − − = − − − = − + = − ≠

−

Por lo tanto:

Respuesta: El conjunto de vectores { }, ,u v w� � ��

es linealmente

independiente.

Ejercicio 5

Sean ( ) ( ) ( )4 , 0 , 3 , 2 , 1 , 0 y 0 , 2 , 5a b c= − = − =�� �

.Demuestra que

( ) ( ) cbacba������

××≠××

Solución

Justificación: En este caso desarrollamos cada lado de

( ) ( ) cbacba������

××≠×× , para demostrar que ciertamente dan diferente.

Para ( )a b c× ×�� �

:

( ) ( )2, 1,0 0,2,5 2 1 0

0 2 5

i j k

b c× = − × = −

� � �

� �

Menor de la i :

( )( ) ( ) [ ]1 01 0 1 5 2 (0) 5 0 5

2 52 5

2

0

i i i

i j k−

− = = − ⋅ − ⋅ = − + = −

� � �

� � �

Menor de la j :

( ) ( ) [ ] [ ]2 02 0 5 2 0 0 10 0 10 10

0 55

1

20

i

j j j

j k

j= = − ⋅ − ⋅ = − − = − = − −� � �

� � �

�

OJO: SOLAMENTE AL MENOR DE LA JOTA SE LE CAMBIA EL SIGNO

Menor de la k :

( ) ( )( ) [ ]2 12 1 2 2 1 0 4 0 4

0 22

0

50

k k

j k

k

i−

− = = ⋅ − − ⋅ = − =

� � �

� � �

Asi se obtiene como resultado el vector: ( 5, 10,4)b c× = − −� �

Ahora:

( ) ( ) ( )4,0,3 5, 10,4 4 0 3

5 10 4

i j k

a b c× × = − × − − = −− −

� � �

� � �

Menor de la i :

( )( ) ( ) [ ]0 30 3 4 0 3 ( 10) 0 30 30

104

4

54

10

i k

i

j

i i = = ⋅ − ⋅ − = + = −−

−−

�

�

�

� �

�

Menor de la j :

( ) ( ) [ ] [ ]4 34 3 4 4 5 3 16 15 1 1

5 45 4

0

10

j

i k

j j

j

j−

− = = − − ⋅ − −−

⋅ = − − + = − − = −−

� � �

� � �

�

OJO: SOLAMENTE AL MENOR DE LA JOTA SE LE CAMBIA EL SIGNO

Menor de la k :

( )( ) ( )( ) [ ]4 04 0 4 10 5 0 40 0 40

0 410

5 1

35

k k k

i j k−

− = = − ⋅ − − − ⋅ = − = − −− −

� � �

� � �

Asi se obtiene como resultado el vector: ( ) (30,1,40)a b c× × =� � �

Para ( )a b c× ×�� �

:

( ) ( )4,0,3 2, 1,0 4 0 3

2 1 0

i j k

a b× = − × − = −−

� � �

� �

Menor de la i :

( )( ) ( ) [ ]0 30 3 0 0 3 ( 1) 0 3 3

1 01

4

02

i i i

i j k

= = ⋅ − ⋅ − = + =−

− −

� �

� �

�

�

Menor de la j :

( )( ) ( ) [ ] [ ]4 34 3 4 0 3 2 0 6 6 6

20

10

2 0

j j j

i j

j

k−

− = = − − ⋅ − ⋅ = − − = − =−

−

� � �

� � � �

OJO: SOLAMENTE AL MENOR DE LA JOTA SE LE CAMBIA EL SIGNO

Menor de la k :

( )( ) ( )( ) [ ]4 04 0 1 4 2 0 4 0 4

2 13

02 1

i j k

k k k−

− = = − ⋅ − − ⋅ = − = −−

� � �

� � �

Asi se obtiene como resultado el vector: (3,6,4)a b× =� �

Ahora:

( ) ( ) ( )3,6,4 0,2,5 3 6 4

0 2 5

i j k

a b c× × = × =

� � �

� � �

Menor de la i :

( )( ) ( ) [ ]6 46 4 6 5 2 4 30 8 22

23

05

2 5

i

i

j

i i

k

= = ⋅ − ⋅ = − =

� �

� � �

�

Menor de la j :

( ) ( ) [ ] [ ]3 43 4 5 3 0 4 15 0 15 15

0 50

6

2 5

i j k

j j j j= = − ⋅ − ⋅ = − − = − = − � � �

� � �

�

OJO: SOLAMENTE AL MENOR DE LA JOTA SE LE CAMBIA EL SIGNO

Menor de la k :

( ) ( )( ) [ ]3 63 6 2 3 6 0 6 0 6

0 20 2

4

5

i

k k

j k

k = = ⋅ − ⋅ = − =

� � �

� � �

Asi se obtiene como resultado el vector: ( ) (22, 15,6)a b c× × = −� � �

Se observa claramente que ciertamente ( ) (30,1,40)a b c× × =� � �

es diferente

de ( ) (22, 15,6)a b c× × = −� � �

.

Respuesta: Se demostro que: ( ) ( )a b c a b c× × ≠ × ×� � � � � �

.

Ejercicio 6

Calcula el área del paralelogramo con los lados adyacentes formados

por k4j2iv;jiu −+=+−=��

.

Solución

Justificación: El área del papalelorgramo cuyos lados son los vectores a�

y b�

Es el módulo del producto vectorial:

A a b= � �

Por lo tanto, en nuestro caso se tiene:

1 1 0

1 2 4

i j k

u v× = −−

� � �

� �

Menor de la i :

( ) ( ) [ ]1 01 0 4 1 2 0 4 0 4

2 42 4

1

1

i i

i j

i

k

= = − ⋅ − ⋅ = − − = − −−

−

�

� �

� �

�

Menor de la j :

( )( ) ( ) [ ] [ ]1 01 0 4 1 0 1 4 0 4 4

11

24

1 4

j j

i j k

j j−

− = = − − ⋅ − − ⋅ = − − = − = − −−

� �

� � �

�

�

OJO: SOLAMENTE AL MENOR DE LA JOTA SE LE CAMBIA EL SIGNO

Menor de la k :

( )( ) ( ) [ ]1 11 1 2 1 1 1 2 1 3

1 21 2

0

4

k

i

k

j k

k−

− = = ⋅ −−

− ⋅ = − − = −

�

� �

� �

�

Asi se obtiene como resultado el vector: ( 4, 4, 3)u v× = − − −� �

Por lo tanto el área del paralelogramo es:

( ) ( ) ( )2 2 24 4 3 16 16 9 41A u v= × = − + − + − = + + =

� �

Respuesta: El área del paralelogramo es: 41A =

Ejercicio 7

Halla todos los vectores unitarios 1 2 3u u i u j u k= + +� � � �

tales que el ángulo

entre u�

y 2v i j= +� � �

sea igual al ángulo entre u�

y 2 4w i j= +�� � �

.

Solución

Justificación:

El ángulo entre dos vectores se calcula con la definición de producto

escalar, ya mencionada en el ejercicio1, a saber:

. .cosa b a b α=� � � �i

Donde alfa (α ) es el ángulo entre los vectores a�

y b�

, con 0º 180ºα≤ ≤ .

Ahora bien, tenemos 2 ángulos que deben ser iguales según las

condiciones del ejercicio, denominemos estos ángulos por:

1) Ángulo entre u�

y v�

será: α

2) Ángulo entre u�

y w��

será: θ

Entonces:

cos.

u v

u vα =

� �i� �

Como 1 2 3u u i u j u k= + +� � � �

y 2v i j= +� � �

, entonces:

( ) ( )1 2 3, , 2,1,0cos

.

u u u

u vα =

i� �

Como u�

es unitario se tiene: 1u =�

, por lo tanto:

( ) ( )1 2 3 1 2 1 2

2 2

, , 2,1,0 2 2cos

5. 1. 2 1

u u u u u u u

u vα + += = =

+

i� �

Por otro lado:

cos.

u w

u wθ =

� ��i� ��

Como 1 2 3u u i u j u k= + +� � � �

y 2 4w i j= +�� � �

, entonces:

( ) ( )1 2 3, , 2,4,0cos

.

u u u

u vθ =

i� �

Como u�

es unitario se tiene: 1u =�

, por lo tanto:

( ) ( )1 2 3 1 2 1 2 1 2

2 2

, , 2,4,0 2 4 2 4 2 4cos

4 16 20. 1. 2 4

u u u u u u u u u

u vθ + + += = = =

++

i� �

Como α θ= , también será cos cosα θ= , por lo tanto se tiene:

1 2 1 22 2 4cos cos

5 20

u u u uα θ+ += = =

1 2 1 22 2

5 20

u u u u+ +=

Resolviendo esta igualdad:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 4 2 2 4 2 2 4 2

5 4.5 5 4 5 5 2 5 5

u u u u u u u u u u u u u u+ + + + + + += → = → = → 1 22 4

2 5

u u+=

( )1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 42 2 2 2 4 4 2 2 4

2

u uu u u u u u u u u u

++ = → + = + → + = +

1 1 2 2 1 24 2 4 2 2 2 2u u u u u u− = − → = → 1 2u = 2 1 2u u u→ =

Por lo tanto los vectores u�

que cumplen con la condición α θ= son

aquellos cuyas primeras componentes son iguales, es decir:

( )1 2 3 1 1 3, ,u u i u j u k u u u= + + =� � � �

Y no dependen de la tercera componente, por lo tanto esta tercera

componente 3u puede ser un número real cualquiera.

Como u�

es unitario se expresará en forma unitaria, para ello calculemos

primero su módulo:

2 2 2 2 21 1 3 1 32u u u u u u= + + = +

�

Luego u�

es de la forma:

31 1

2 2 2 2 2 21 3 1 3 1 3

, ,2 2 2

uu uu

u u u u u u

= + + +

�

Respuesta: Los vectores u�

son aquellos de la forma:

31 1

2 2 2 2 2 21 3 1 3 1 3

, ,2 2 2

uu uu

u u u u u u

= + + +

�

Ejercicio 8

Calcula dos vectores ortogonales a los vectores a y b� �

si

ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 y 2a i k b i j k= + = − + +��

.

Solución

Justificación: Sabemos que el producto vectorial de 2 vectores genera

coo resultado un vector perpendicular a ambos, es decir, si multiplicamos

vectirialmente a y b� �

obtendremos un vector c�

perpendicular tanto a a�

como a

b�

. Efectuemos dicho producto vectorial:

1 0 2

1 2 1

i j k

a b× =−

� � �

� �

Menor de la i :

( ) ( ) [ ]0 20 2 0 1 2 2 0 4 4

2 12 1

1

1

i i

i j k

i= = ⋅ − ⋅ = −

− = −

�

�

�

�

�

�

Menor de la j :

( ) ( )( ) [ ] [ ]1 21 2 1 1 2 1 1 2 3

21 1

0 31 1

j j

i

j

j k

j = = − ⋅ − ⋅ − = − + = − = − −−

� � �

� � � �

OJO: SOLAMENTE AL MENOR DE LA JOTA SE LE CAMBIA EL SIGNO

Menor de la k :

( ) ( )( ) [ ]1 01 0 2 1 0 1 2 0 2

1 21

2

12

i

k k

k

k

j

= = ⋅ − ⋅ − = − = −−

�

�

� �

� �

Asi se obtiene como resultado el vector: ( 4, 3,2)a b× = − −� �

Puedes comprobar el resultado multiplicando a b� �

, escalarmente por a�

y b�

, pues recuerda que dichos productos deben ser ceros si realmente son

perpendiculares, así:

( ) ( ) ( )1,0,2 4, 3,2 4 0 4 0a a b× = − − = − + + =� � �i i

( ) ( ) ( )1,2,1 4, 3,2 4 6 2 0b a b× = − − − = − + =� � �i i

Ahora falta orto vector que sea perpendicular a a�

y b�

, para ello observa

el siguiente gráfico:

Fijate que el vector azul a b� �

es perpendicular a a�

y b�

, y cuando se

nos pide un segundo vector perpendicular a a�

y b�

caemos en la cuenta que

debe ser un vector paralelo al vector azul a b� �

ya obtenido, como por ejemplo

el morado que llame c�

, de hecho, cualquier vector perpendicular al plano

amarillo es perpendicular también a los vactores a�

y b�

.

En fin, nuestro problema radica en hallar un vector paralelo al vector:

( 4, 3,2)a b× = − −� �

, y esto es sencillo.

Para calcular un vector paralelo a otro simplemente multiplicas el vector

por un escalar distinto de cero cualquiera, así:

7( 4, 3,2)c = − −�

Aquí tome el número 7, puedes tomar un escalar o número cualquiera,

tanto positivo como negativo.

Por lo tanto otro vector perpendicular a a�

y b�

será:

( 28, 21,14)c = − −�

Realmente este problema tiene infinitas soluciones, debido a los infinitos

escalares que puedes tomar arbitrariamente.

Respuesta: Los siguientes 2 vectores: ( 4, 3,2)a b× = − −� �

y

( 28, 21,14)c = − −�

son perpendiculares a a y b� �

.

Ejercicio 9

Determina el número k (si es posible) de modo que los vectores

( ) ( ) k , 1v, 12 , 5u ==��

formen un ángulo de 3π

radianes.

Solución

Justificación: El ángulo entre dos vectores se calcula con la definición de

producto escalar, ya mencionada en el ejercicio1, a saber:

. .cosu v u v α=� � � �i (1)

Donde alfa (α ) es el ángulo entre los vectores a�

y b�

, con 0º 180ºα≤ ≤ .

Sustituyendo los datos del ejercicio, con 180º

60º3 3

π = = en la ecuación

(1) se tiene:

( ) ( ) ( )2 2 2 25,12 1, 5 12 . 1 cos 60ºk k= + +i

De esta ecuación debemos obtener, de ser posible, el valor de k , así:

2 15 12 25 144. 1

2k k+ = + +

( )2

2169 15 12 2 5 12 13 1

2

kk k k

++ = → + = +

( ) ( )222 210 24 13 1 10 24 13 1k k k k+ = + → + = + (se elevo al cuadrado ambos

miembros para eliminar la raíz cuadrada)

( ) ( )2 2 2 2100 480 24 169 1 100 480 576 169 169k k k k k k+ + = + → + + = +

2 2 2100 480 576 169 169 0 407 480 69 0k k k k k+ + − − = → + − =

Aplicando la ecuación de segundo grado se tiene:

( ) ( )( )22

2480 480 4 407 694

407 480 69 02 2 407

b b ack k k

a

− ± − −− ± −+ − = → = =

( )( )( )2480 480 4 407 69 480 230400 112332 480 342732

2 407 814 814k

− ± − − − ± + − ±= = =

1

2

480 585,43 105,430,13

480 585,43 814 8141065,43814

1,3814

kk

k

− + = = =− ± = = − = = −

Para decidir cual de los dos valores cumple con la condición del ejercicio

se procede así:

Para 1 0,13k = .

( ) ( )5,12 , 1 ; 0,13 u v= =� �

De . .cosu v u v α=� � � �i , se tiene:

arccos.

u v

u vα

=

� �i� �

El resultado debe ser: 60º3

πα = = , verifiquemos:

( ) ( )2 2 2 2

5,12 1 ; 0,13 5 1,56arccos arccos

25 144. 1 0,01695 12 . 1 0,13α

+= = + ++ +

i

( )6,56 6,56 6,56

arccos arccos arccos13. 1,0084 13,1092169. 1,0169

α = = =

( )arccos 0,5004 59,97º 60ºα = = ≈

La pequeña diferencia, es por no tomar todos los decimales cuando

calculamos k , pero se concluye que 1 0,13k = cumple con la condición del

ejercicio.

Veamos si 2 1,3k = − también cumple:

( ) ( )5,12 , 1 ; 1,13 u v= = −� �

De . .cosu v u v α=� � � �i , se tiene:

arccos.

u v

u vα

=

� �i� �

El resultado debe ser: 60º3

πα = = , verifiquemos:

( ) ( )( )22 2 2

5,12 1 ; 1,13 5 13,56arccos arccos

25 144. 1 1,27695 12 . 1 1,13α

− − = = + + + + −

i

( )8,56 8,56 8,56

arccos arccos arccos13. 1,5089 19,6157169. 2,2769

α − − − = = =

( )arccos 0,4363 115,86ºα = − =

Fijate que el resultado no es el esperado, es decir, 180º

60º3 3

π = = . En

conclusión este valor 2 1,3k = − no cumple con la condición del ejercicio.

Respuesta: El valor de 0,13k = es el que hace que los vectores

( ) ( ) k , 1v, 12 , 5u ==��

formen un ángulo de 3π

radianes.

Ejercicio 10

Usa el producto mixto para hallar el volumen del tetraedro que tiene por

vértices ( )1 5,1,0P = − , ( )2 0,3,6P = , ( )3 2, 1,4P = − y ( )4 1,7,0P = .

Solución

Justificación: Ya mencionamos en una nota del ejercicio 2 de esta guía

que el producto mixto representa el volumen del paralelepipedo formado por los

3 vectores.

Ahora bien, la sexta parte de este volumen, es precisamente el volumen

de un tetraedro, por lo tanto el volumen de un tetraedro viene dado por:

( )1.

6V a b c= ×

� � �

Donde los vectores a�

, b�

y c�

son los lados del tetraedro:

FIGURA 1

Cuando te den puntos, como en este caso, y se te pida calcular un

vector, solo debes restar el punto del extremo (punta o flecha) menos el punto

del origen, en nuestro caso, observando la figura 1, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 5,1,0 0,3,6 5 0,1 3,0 6 5, 2, 6a P P P P= = − = − − = − − − − = − − −� ����� �� ���

( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 2 2, 1,4 0,3,6 2 0, 1 3,4 6 2, 4, 2b P P P P= = − = − − = − − − − = − −� ����� ��� ���

( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 2 1,7,0 0,3,6 1 0,7 3,0 6 1,4, 6c P P P P= = − = − = − − − = −� ����� ��� ���

Sustituyendo en la formula del volumen de un tetraedro, se tiene:

( )5 2 6

1 1. 2 4 2

6 61 4 6

V a b c

− − −= × = − −

−

� � �

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )16 4 5 1 2 2 4 2 6 1 4 6 2 2 6 4 2 5

6V = − × − × − + × − × − + × × − − × − × − + × − × − + × − × −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1120 4 48 24 24 40

6V = − + + − − + +

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 252 126168 4 48 40 164 88 252 42

6 6 6 6 3V = − + − + = − − = − = = =

Respuesta: 42V =

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Determina cuales de los siguientes vectores son unitarios:

−

6

2,

6

1,

6

1)c

21

,1,2)b23

,21

)a

Ejercicio 2

Halla un vector con magnitud 2 y en la misma dirección del vector

)2,1,1(v −=�

.

Ejercicio 3

Determina, usando el producto mixto, la dependencia o independencia

lineal del conjunto { }w,v,u���

donde:

)5,12,1(w;7,0,23

v;)3,1,5(u −=

−=−−=���

.

Ejercicio 4

Demuestra que los vectores:

)0,1,2(vy)1,0,1(v,)2,1,1(v 321 ==−=���

forman una base de IR3.

Ejercicio 5

Dados los vectores:

)1,1,0(w;)1,1,2(v;)0,5,3(u =−=−=���

verifica que wv,uvw,u)wv(u���������

><−><=××

Ejercicio 6

Determina el número n (si es posible) de modo que los vectores:

3 4u i j= −� � �

, 2v i n j= +� � �

sean paralelos.

Ejercicio 7

Halla el área del paralelogramo para el cual los vectores:

k3j2iv y kj2i3u ++=++=��

son sus lados adyacentes.

Ejercicio 8

a) Dados los vectores ˆ ˆ ˆˆ ˆ 2 j k; 3 ku i v i= − + = +� � prueba que:

112vu =��

b) Da el significado geométrico del resultado dado en la parte a).

Ejercicio 9

Considera el siguiente conjunto de vectores linealmente independientes:

{ }),,(,),,(,),,( 011410120 −−

Construye un conjunto de vectores ortonormales siguiendo el proceso de

Gram- Schmidt.

Ejercicio 10

Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P(0,1,2),

Q(2,−1,5) y R(4,1,−1).