ejercicios detallados del obj 3 mat ii (178 179)

Capitulo II

Matemática II

Objetivo 3. Efectuar ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que

se derivan del estudio de la continuidad de funciones reales de variable real.

Ejercicio 1

Sea :g →ℝ ℝ la función definida por:

2 2, 0

( ) 2, 0 1

2, 1

1

x si x

g x si x

si xx

+ <

= ≤ ≤ <

−

Estudiar la continuidad de la función ( )g x en 0 y 1x x= = .

Solución

Justificación: Para que una función ( )f x sea continua en un punto 0x ,

se debe verificar:

a) 0( )f x exista.

b) 0

lim ( )x x

f x→

exista.

c) 0

0( ) lim ( )x x

f x f x→

=

En el objetivo 9 de matemática 1, se explicó suficientemente en detalle

como estudiar la continuidad de una función, te invito a revisar esos ejercicios,

sin embargo, en esta guía, desarrollaré este primer ejercicio con detalle y

luego, los posteriores, con menos detalles, claro está, explicando los pasos a lo

largo de la justificación del ejercicio.

Del comentario inmediato anterior se desprende que tienes experiencia

en el estudio de la continuidad de una función, por lo tanto, en vez de utilizar

las 3 condiciones anteriores, utilizare una condición que engloba a las 3, a

saber:

0 00( ) lim ( ) lim ( )

x x x xf x f x f x

− +→ →= =

(OJO: TODAS LAS TRES EXPRESIONES DEBEN SER IGUALES ,

PARA QUE LA FUNCIÓN SEA CONTINUA, APENAS UNA DE

ELLAS NO SEA IGUAL, SE CONCLUYE QUE LA FUNCIÓN NO

ES CONTINUA EN EL PUNTO 0x )

Observa la siguiente explicación de esta condición:

Ahora observarás como aplicar esta condición a nuestro ejercicio.

Para 0 0x = :

Se debe verificar:

Calculo de la expresión 1

(0) 2f = , porque allí se presenta la igualdad destacada en rojo:


( )2 2

0 0lim ( ) lim 2 0 2 0 2 2x x

f x x− −→ →

= + = + = + =

Se tomo la función 2 2x + porque allí está el signo < , destacado en azul:


( )0 0

lim ( ) lim 2 2x x

f x+ +→ →

= =

Se tomo la función 2 porque allí está el signo > , destacado en magenta:

Observa que se cumple:

Por lo tanto la función ( )g x es continua en 0x = .

Para 0 1x = :

Se debe verificar:


(1) 2f = , porque allí se presenta la igualdad destacada en rojo:


( )1 1

lim ( ) lim 2 2x x

f x− −→ →

= =

Se tomo la función 2 porque allí está el signo < , destacado en azul:


1 1

2 2 2lim ( ) lim

1 1 1 0x xf x

x+ +→ →

= = = = ∞ − −

Se tomo la función 2

1x − porque allí está el signo > , destacado en

magenta:

Observa que no se cumple:

Por lo tanto la función ( )g x no es continua en 1x = .

Respuesta:

• la función ( )g x es continua en 0x = .

• La función ( )g x no es continua en 1x = .

Ejercicio 2

Estudiar la continuidad de la función:

2

2

4 4 si 2

2( ) 3 si 2

2 si 2

3 6

x xx

xf x x

x xx

x

− + < −= = − − > −

Solución

Justificación: La continuidad de esta función la estudiaremos en el punto 0 2x = ,

que es el punto donde la función a trozos pudiera ser discontinua porque sufre

cambios geométricos, dada las distintas funciones en los diferentes intervalos,

así pues:

Se debe verificar:

22lim ((2) l )im ( )

x xf x ff x

+− →→= =


(2) 3f = , porque allí se presenta la igualdad de la función ( 2x = )


( )22

2 2

2 4 2 44 4 4 8 4 0lim ( ) lim

2 2 2 0 0x x

x xf x

x− −→ →

− +− + − += = = =− −

En este caso tenemos la forma indeterminada 0

0, y como estamos en

presencia de dos polinomios, factorizaremos para eliminar la forma

indeterminada presente.

Para factorizar el polinomio 2 4 4x x− + , debemos buscar las raíces, así:

222 ( 4) ( 4) 4.1.44 4 16 16 4

4 4 22 2.1 2 2

b b acx x x

a

− − ± − −− ± − ± −− + → = = = = =

Como la raíz es doble, la factorización queda: ( )22 4 4 2x x x− + = −

Sustituyendo en nuestro límite dicha factorización, se tiene:

( ) ( )2 22

2 2 2

2 24 4lim lim lim

2 2x x x

x xx x

x x− − −→ → →

− −− + = =− − 2x − 2

lim( 2) 2 2 0x

x−→

= − = − =

NOTA: Se tomo la función 2 4 4

2

x x

x

− +−

porque allí está: 2x < .


( )2 2

2 2

2 2 2 2 4 4 0lim ( ) lim

3 6 3 2 6 6 6 0x x

x xf x

x+ +→ →

− − − − −= = = =− − −

En este caso tenemos la forma indeterminada 0

0, y como estamos en

presencia de dos polinomios, factorizaremos para eliminar la forma

indeterminada presente.

Para factorizar el polinomio 2 2x x− − , debemos buscar las raíces, así:

222 ( 1) ( 1) 4.1.( 2)4 1 1 8

22 2.1 21 3 4

21 9 1 3 2 2

1 3 22 21

2 2

b b acx x x

a

xx

x

− − ± − − −− ± − ± +− − → = = =

+ = = =± ± = = − − = = = −

En este caso, la factorización queda: ( ) ( )2 2 2 1x x x x− − = − +

En el denominador se extrae el factor común, así:

3 6 3 3 2 2 ( 2) 3( 23 )3 3x x x x x− = − × = − × = − = −

Sustituyendo en nuestro límite dichas factorizaciones, se tiene:

2

22 2 2

( 2)2 ( 2)( 1)lim ( ) lim lim lim

3 6 3( 2) xx x x

xx x x xf x

x x+ + + → +→ → →

−− − − += = =− −

( 1)

3 ( 2)

x

x

+− 2

( 1) 2 1 3lim 1

3 3 3x

x→ +

+ += = = =

NOTA: Se tomo la función 2 2

3 6

x x

x

− −−

porque allí está: 2x > .

Observa que:

2

2

3

0 3

(

l

0 1lim (

1

2)

im (

)

)x

xf x

f

f x

−

+→

→

== → ≠ ≠

=

Por lo tanto la función ( )f x no es continua en 2x = .

Respuesta: la función ( )f x no es continua.

Ejercicio 3

Estudiar la continuidad de la función ( ) :f x D → ℝ , definida por:

, si 0

( ) 0, si 0

1, si 0

1

senxx

xf x x

xx

x

<

= = − > −

Solución

Justificación: La continuidad de esta función la estudiaremos en el punto

0 0x = , que es donde la función se divide en tramos y en el punto 0 1x = , porque

la función 1

1

x

x

−−

no esta definida en dicho punto, porque el denominador se

anula 1 1

1 0

1

1 1

x x x

x

− − −= = − − .

Para 0 0x = , se debe verificar:

00lim ((0) l )im ( )

x xf x ff x

+− →→= =


(0) 0f = , porque allí se presenta la igualdad de la función ( 0x = )


0 0

lim ( ) lim 1x x

senxf x

x− −→ →= =

NOTA: Se tomo la función senx

x porque allí está: 0x < .


0 0

1 1 0 1lim ( ) lim 1

1 1 0 1x x

xf x

x+ +→ →

− −= = = =− −

NOTA: Se tomo la función 1

1

x

x

−−

porque allí está: 0x > .

Observa que:

0

0

0

1 0

(

l

1 1lim (

1

0)

im (

)

)x

xf x

f

f x

−

+→

→

== → ≠ =

=

Por lo tanto la función ( )f x no es continua en 0x = , porque 0 1≠ .

Por otro lado, para:


11lim ((1) l )im ( )

x xf x ff x

+− →→= =


1 1 0

(1)1 1 0

f−= =−

, se verifica que la función no existe en 0 1x = , por lo

tanto la función no es continua.

Respuesta: la función ( )f x no es continua en 0x = y tampoco es

continua en 0 1x = .

Ejercicio 4

Dada la función ( )f x definida por:

si 0( )

2 si 0

axe xf x

x a x

≤= + >

Determine el valor del parámetro " "a para que ( )f x sea continua en

0x = .

Solución

Justificación: En este caso, estudiaremos la continuidad de la función

para 0 0x = , tomando en consideración que el parámetro " "a es cualquier

número real, así:


00lim ((0) l )im ( )

x xf x ff x

+− →→= =


( )0 0(0) 1af e e×= = = , porque allí se presenta la igualdad de la función.

Observa que este valor no depende del parámetro " "a , porque cualquier

número real multiplicado por cero, es cero.


( 0) 0

0 0lim ( ) lim 1ax a

x xf x e e e

− −

×

→ →= = = =

NOTA: Se tomo la función axe porque allí está: 0x < .


0 0

lim ( ) lim 2 0 2 2x x

f x x a a a+ +→ →

= + = + =

NOTA: Se tomo la función 2x a+ porque allí está: 0x > .

Observa que:

0

0

1

1 1lim ( ) 1 2

2

(0)

lim ( )x

x

af

f

af x

x

+

−

→

→

== → = =

=

Por lo tanto la función, para que la función ( )f x sea continua en 0x = ,

se deben cumplir, todas las igualdades, y esto ocurre cuando:

11 2

2a a= ∴ =

Por lo tanto par que se cumplan las 3 igualdades, el valor de 1

2a = .

Verificando este valor en las 3 igualdades:

1 1 2

11 1 2.

2

1 1 2

a= =

= =

= = 1.

2

1 1 1

= =

Respuesta: El valor del parámetro " "a para que la función ( )f x sea

continua es: 1

2a = .

Ejercicio 5

Consideremos la función 5

( ) : ,3 3

f xπ π →

ℝ , definida por:

( )2

xf x senx= −

Demuestre que existe un elemento c en el intervalo 5

,3 3

π π

tal que

( ) 0f c = .

Solución

Justificación: En este caso, aplicamos el teorema de Bolzano, a saber:

Si ( )f x es continua y definida en el intervalo [ ],a b y ( ). ( ) 0f a f b < ,

entonces existe al menos un valor ( ),c a b∈ tal que ( ) 0f c = .

Entonces, apoyándonos en este teorema, podemos demostrar que

( )2

xf x senx= − posee un elemento

5,

3 3c

π π ∈

tal que ( ) 0f c = , si se

comprueba que:

• ( )2

xf x senx= − este definida y sea continua en

5,

3 3

π π

• Que se cumpla ( ). ( ) 0f a f b < , en nuestro caso: 5

. 03 3

f fπ π <

Procedamos pues, a demostrar cada uno de éstos puntos.

Punto 1

La función ( )2

xf x senx= − esta definida en el intervalo

5,

3 3

π π

, porque

es la diferencia o resta de 2 funciones definidas para todo número real, el

polinomio 2

x y la función trigonométrica senx .

Además, se sabe que toda función polinómica es continua para todo

real, y la función seno de equis ( senx ), también es continua para todo número

real, por lo tanto la diferencia 2

xsenx− también es continua en todo real.

Punto 2

Como se comprobó el punto 1, pasamos a verificar que el punto 2, es

decir, comprobar:

5. 0

3 3f f

π π <

Esto se cumple, si al evaluar la función en los extremos del intervalo,

obtenemos como resultado valores de diferente signo.

3 0,3423 2 3 6 3

55 5 5 53 3,4833 2 3 6 3

f sen sen

f sen sen

ππ π π π

ππ π π π

= − = − ≈

= − = − ≈

+

−

Por lo tanto, existe un elemento c en el intervalo 5

,3 3

π π

tal que

( ) 0f c = .

Respuesta: Existe un elemento c en el intervalo 5

,3 3

π π

tal que

( ) 0f c = .

Ejercicio 6

Dada la función 3 2( ) 1f x x x x= − + + definida en [ ]1, 2− . Aplicar el

teorema de Bolzano.

Solución

Justificación: En teorema de Bolzano, es:

Si ( )f x es continua y definida en el intervalo [ ],a b y ( ). ( ) 0f a f b < ,

entonces existe al menos un valor ( ),c a b∈ tal que ( ) 0f c = .

Verifiquemos que 3 2( ) 1f x x x x= − + + cumple con:

• 3 2( ) 1f x x x x= − + + este definida y sea continua en [ ]1, 2−

• Que se cumpla ( ). ( ) 0f a f b < , en nuestro caso: ( )( 1). 2 0f f− <

Procedamos pues, a demostrar cada uno de éstos puntos.

Punto 1

La función 3 2( ) 1f x x x x= − + + esta definida en el intervalo [ ]1, 2− ,

porque es una función polinómica, y éstas están definidas para todo número

real.

Además, se sabe que toda función polinómica es continua para todo

real, por lo tanto la función dada es continua en su intervalo de definición.

Punto 2

Como se comprobó el punto 1, pasamos a verificar el punto 2, es decir,

comprobar:

( )( 1). 2 0f f− <

Esto se cumple, si al evaluar la función en los extremos del intervalo,

obtenemos como resultado valores de diferente signo.

3 2

3 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 2

(2) 2 2 2 1 8 4 3 7

f

f

− = − − − + − + = − − − −+ == − + + − + = +=

Por lo tanto, existe un elemento c en el intervalo [ ]1, 2− tal que ( ) 0f c = .

Respuesta: Al aplicar el teorema de Bolzano, se verifica que existe un

elemento c en el intervalo [ ]1, 2− tal que ( ) 0f c = .

Ejercicio 7

Dada la función definida por: 2( ) 4 3 , 2 5f x x x x= + − ≤ ≤

Verificar el teorema del valor intermedio, si 1K = ; es decir, determinar un

número " "c contenido en [ ]2,5 tal que ( ) 1f c = .

Solución

Justificación: El teorema del valor intermedio, es:

Si ( )f x es continua en el intervalo [ ],a b . Entonces para cada K tal que

( ) ( )f a K f b< < , entonces existe al menos un valor ( ),c a b∈ tal que ( )f c K= .

Verifiquemos que 2( ) 4 3 , 2 5f x x x x= + − ≤ ≤ cumple con:

• Se sabe que 2( ) 4 3 , 2 5f x x x x= + − ≤ ≤ es una función polinómica, y

toda función polinómica es continua para todo real, por lo tanto la

función dada 2( ) 4 3f x x x= + − es continua en el intervalo [ ]2,5

• Ahora verifiquemos que ( ) ( )f a K f b< < , en este caso:

( ) ( )( ) ( )

2

2

( )

(

(2) 4 3 2 2 4 6 4 6

(5) 4 3 5 5 4 15 25) 6

f

f

f a

f b

= = + − = + − =

= = + − = + − = −

Como ( ) ( ) 6 1 6f a K f b< < → < < − , entonces existe al menos un valor

( )2,5c ∈ tal que ( ) 1f c = .

Ahora ubicaremos este valor " "c , con la igualdad:

222 2

1

2

( 3) ( 3) 4.1.( 3)44 3 1 3 3 0

2 2.1

3 213,79

3 9 12 3 21 22 2

( ) 1

3 210,79

2

b b acc c c c c

a

cc

f c

c

− − ± − − −− ± −+ − = → − − = → = =

+= ≈± + ± = = −

= →

= ≈ Se observa que de los 2 valores de " "c obtenido, uno no pertenece al

intervalo ( )2,5c ∈ y el otro si, observa:

( )

( )

1

2

3 213,79 2,5

2

3 210,79 2,5

2

c

c

+= ≈ ∈

− = ≈ ∉

Por lo tanto el valor de " "c para que se cumpla el teorema del valor

intermedio en este caso es: 3 21

2c

+= .

Respuesta: El valor buscado es: 3 21

2c

+=

Ejercicio 8

Sea [ ]: 0,1g →ℝ una función continua. A continuación se hacen varias

afirmaciones que involucran a la función g . Indica con una V o una F en el

espacio correspondiente, según que la afirmación sea verdadera o falsa,

respectivamente.

a. g alcanza al menos un máximo en el intervalo [ ]0,1

b. Si (1) 5g = , entonces 1

lim ( ) 5x

g x−→

=

c. La función [ ]: 0,1h → ℝ , definida por 2( ) 2 ( )h x g x x= + no es

necesariamente continua en el intervalo [ ]0,1

Solución

Justificación:

a. Verdadero, porque toda función continua en un intervalo cerrado,

siempre alcanza al menos un máximo o un mínimo.

b. Como la función es continua, se cumple la igualdad:

1(1) 5 lim ( )

xg g x

−→= =

Por lo tanto esta afirmación es verdadera.

c. Esta afirmación es falsa, porque la suma de funciones continuas, es

continua, y ya se sabe que g y la función 2x por ser polinómica, también es

continua, por lo tanto la función dada 2( ) 2 ( )h x g x x= + es continua siempre.

Respuesta:

a. V

b. V

c. F

Ejercicio 9

Sea [ ]: 2, 4f − →ℝ la función definida por ( )3( ) 2 1 10xf x x x= − + . Usar el

Teorema del Valor Intermedio para verificar que los puntos 0,2a = y 47789b =

están en la imagen de f .

Solución

Justificación: El teorema del valor intermedio, es:

Si ( )f x es continua en el intervalo [ ],a b . Entonces para cada K tal que

( ) ( )f a K f b< < , entonces existe al menos un valor ( ),c a b∈ tal que ( )f c K= .

Podemos observar que la función planteada ( )3( ) 2 1 10xf x x x= − + es

continua en todo su dominio, por ser producto de dos funciones continuas, una

polinómica: ( )3 2 1x x− + y una exponencial 10x , por lo tanto cumple con el

requisito que exige el teorema del valor intermedio, por lo tanto podemos

determinar el intervalo de todas las imágenes que existen para el intervalo:

[ ]2, 4− , es decir:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 22

3 4 4

8 4 1 3( 2) ( 2) 2( 2) 1 10 0,03

10 100

(4) (4) 2(4) 1 10 64 8 1 10 57 10000 570000

f

f

− − + + −− = − − − + = = = −

= − + = − + = =

Como ya tenemos el intervalo de todas las imágenes de

( )3( ) 2 1 10xf x x x= − + en [ ]2, 4− , es decir, [ ]0,03;570000− , podemos corroborar o

verificar por simple inspección que:

[ ]0, 2 0,03;570000a = ∈ −

y

[ ]47789 0,03;570000b = ∈ −

Respuesta: Se verifica que los puntos 0,2a = y 47789b = están en la

imagen de f .

Ejercicio 10

Sea :f →ℝ ℝ la función definida por: 2

. si 0

( ) si 0< 1

1 ln si 1

xx e x

f x x x

x x x

≤

= < + ≥

Estudiar la continuidad de la función ( )f x en 0 y 1x x= = .

Solución

Justificación: Analizaremos la continuidad:

Para 0 0x = :

00lim ((0) l )im ( )

x xf x ff x

+− →→= =


20 0(0) 0. 0. 0.1 0f e e= = = = , se tomo la función

2

. xx e porque allí se

presenta la igualdad de la función ( 0x = )


2 20 0

0 0lim ( ) lim . 0. 0. 0.1 0x

x xf x x e e e

− −→ →= = = = =

NOTA: Se tomo la función 2

. xx e porque allí está: 0x < .


0 0

lim ( ) lim 0x x

f x x+ +→ →

= =

NOTA: Se tomo la función x porque allí está: 0x > .

Observa que:

0

0

0

0 0

(

l

0 0lim (

0

0)

im (

)

)x

xf x

f

f x

−

+→

→

== → = =

=

Por lo tanto la función ( )f x es continua en 0x = .

Para 0 1x = :

11lim ((1) l )im ( )

x xf x ff x

+− →→= =


(1) 1 1ln1 1 0 1f = + = + = , se tomo la función 1 lnx x+ porque allí se

presenta la igualdad de la función ( 1x = )


1 1

lim ( ) lim 1x x

f x x− −→ →

= =

NOTA: Se tomo la función x porque allí está: 1x < .


1 1

lim ( ) lim1 ln 1 1ln1 1 0 1x x

f x x x+ +→ →

= + = + = + =

NOTA: Se tomo la función 1 lnx x+ porque allí está: 1x > .

Observa que:

1

1

1

1 1

(

l

1 1lim (

1

1)

im (

)

)x

xf x

f

f x

−

+→

→

== → = =

=

Por lo tanto la función ( )f x es continua en 1x = .

Respuesta: la función ( )f x es continua en 0 y 1x x= = .

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Sea f: IR→ IR, la función definida por:

2 8 15, 5

5( )

2 , 5

x xx

xf x

x

− + ≠ −= − =

A continuación se presentan tres afirmaciones en relación a la función f. Indica

con una V (verdadero) o una F (falso) sobre el espacio correspondiente de

acuerdo a si la afirmación que se hace es verdadera o falsa.

a. La función f es discontinua en el punto 0 10x = ______

b. El punto 0 5x = es una discontinuidad evitable de la función f ______

c. La función f es continua en IR _____

Ejercicio 2

Sea [ ]: 0,10f →ℝ dada por 3( ) 2f x x x= + . Verifica que f es inyectiva

( )( ) ( )f x f y x y= ⇒ = y utiliza resultados sobre funciones continuas para

comprobar que [ ]( ) [ ]0,10 0,1020f = .

Ejercicio 3

Sean , :f g →ℝ ℝ funciones tales que el producto ( ) 1. ( )

8f g x

x=

+, para

todo x∈IR−{−8}. Si f es continua en 8x = − , ¿qué puede decirse acerca de la

continuidad de g en 8x = − ?

Ejercicio 4

Definir una función f continua en ℝ excepto en el punto 2x = que

cumple lo siguiente:

a. (2) 0f =

b. 2

lim ( )x

f x+→

= ∞

c. 2

lim ( )x

f x−→

= −∞

Ejercicio 5

Considere la función { }: 8f − →ℝ ℝ definida por 3

8( )

2

xf x

x

−=−

. Verifique

que en 8x = hay una discontinuidad evitable de ( )f x y construya una

redefinición continua de dicha función en 8x = .

Ejercicio 6

Definir el conjunto de todos los puntos de discontinuidad de la función:

( )cos

xf x

x=

usando notación matemática adecuada.

Ejercicio 7

Sea :k →ℝ ℝ , definida a través de la relación:

( )2

1 si 1

t+4 si 1< 0

( ) 3cos si 0 3

2 6 si 3 4

3 si 4

t

t

k t t t

t t t

t

π

≤ − − <= ≤ < − − ≤ <

≤

Entonces podemos asegurar que k es continua en:

a. 0t = b. 3t = c. 1t = − d. 4t =

Ejercicio 8

Sea { }( ) : 0h x − →ℝ ℝ , la función definida por:

2

2

1 cos, si 0

( )4 , si 0

xx

h x xa ax a x

− ≠= + − =

Determine el valor de " "a para que la función ( )h x sea continua en

0x = .

Ejercicio 9

Considera la función :h →ℝ ℝ definida por:

3

2

3 8( )

1

s sh s

s

+ −=+

Verifica, usando el teorema del Valor Medio, que existe s ∈ℝ tal que ( ) 50h s = . Ejercicio 10

A continuación se hacen diversas afirmaciones con respecto a la función

3: ,2

2f

π π → ℝ definida por ( ) 2 cos(2 )f x senx x= + .

Señala con una V o una F en el espacio en blanco según que las

afirmaciones hechas sean verdaderas o falsas, respectivamente.

a. La función f es discontinua en el intervalo 3

,22

π π

_____

b. f no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano _____

c. Existe c∈ 3, 2

2

π π

tal que f(c) = 0 _____

ejercicios detallados del obj 3 mat ii (178 179)

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