Capitulo III

Matemática III (733)

Objetivo 7. Aplicar el calculo diferencial e integral a una función vectorial

de una variable real.

Ejercicio 1

Calcula ( )0

cos , ,t t tsent t dtπ

∫

Solución

Justificación: En este caso se nos presenta una integral de una función

vectorial de varaible real t . Una función vectorial de variable real es aquella

que toma valores reales de un conjunto de partida (dominio) y los transforma

en un conjunto de llegada compuesto de vectores (rango).

Para resolver esta integral es válido integrar cada componente, y evaluar

la integral. Es de destacar que el resultado de esta integral será un vector, no

un escalar.

Por ultimo quiero comentar, que los ejercicios de esta guia, en mi opinión

son bastante sencillos, porque son derivadas, integrales y limites sencillos y

muchas oportunidades directos.

Procedamos a resolver la integral planteada:

( )0 0 0 0

cos , , cos , ,t t tsent t dt t tdt tsentdt tdtπ π π π

=

∫ ∫ ∫ ∫

Resolviendo cada integral, se tiene:

1) 0

cost tdtπ

∫ . Esta integral se resuelve por partes, así:

coscos

u tI t tdt

dv tdt

= →

==∫

Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

cosco

s dv td

du dtu t

tdv tdt v se t

du

n

dt

== =→ →

== =

∫ ∫

Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:

. . .v v sentu sentdu dtI t= − = −∫ ∫

. cosI tsent sent dt tsent t= − = +∫

Evaluando esta integral se tiene:

[ ] ( ) ( )0

cos cos cos 0 0 cos00

t tdt tsent t sen senπ π

π π π= + = + − + ∫

[ ] ( ) ( )0

cos cos 0 1 0 1 20

t tdt tsent tπ π

= + = − − + = − ∫

2) 0

tsentdtπ

∫ . Esta integral se resuelve por partes, así:

u t

dI t

v sense

tt

dtntd

==

= →

∫

Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

cosdv sentdtdv sentdt v t

du dtu t du dt

== = −

== =→ →

∫ ∫

Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:

co. .cos. sI u du t dv v t tt− −= − = −∫ ∫

cos cos . cosI t t t dt t t sent= − + = − +∫

Evaluando esta integral se tiene:

[ ] ( ) ( )0

cos cos 0cos0 00

tsentdt t t sent sen senπ π

π π π= − + = − + − − + ∫

[ ] ( )( ) ( )0

cos 1 0 0 00

tsentdt t t sentπ π

π π = − + = − − + − + = ∫

3) 0

tdtπ

∫ .

2 2 2 2 2

0

00

2 2 2 2 20

ttdt

π ππ π π

= = − = − =

∫

Finalmente la integral tiene como resultado el vector:

( )2

0

cos , , 2, ,2

t t tsent t dtπ ππ

= −

∫

Respuesta: ( )2

0

cos , , 2, ,2

t t tsent t dtπ ππ

= −

∫

Ejercicio 2

Considere las funciones 2

3

3( ) cos , ,

tf t t t

t

+=

y

3 1( ) , ,

sentg t t arctg

t t

=

, calcula:

( )0

lim ,t

f g t→

Solución

Justificación: En este caso primero efectuamos la operación producto

escalar ( ),f g t (recuerda que esta notación representa un producto escalar

de vectores).

( )2 2

3 33 3

3 1 3 1, cos , , , , cos . .

t sent sent tf g t t t t arctg t t tarctg

t t t t t t

+ + = = + +

i

( )2

3

3, cos .

sent tf g t t

t t

+= + 3.t 21 1cos . 3

senttarctg t t tarctg

t t t + = + + +

Ahora aplicamos el límite:

( ) 2

0 0

1lim , lim cos . 3t t

sentf g t t t tarctg

t t→ →

= + + +

( ) ( )2

0 0 0 0

1lim , limcos . lim 3 limt t t t

sentf g t t t tarctg

t t→ → → →

= + + +

Recuerda que el límite notable vale: 0

lim 1t

sent

t→= , y que ( )

2arctg

π∞ = ,

por lo tanto:

( ) ( ) ( )2

0

1lim , cos0. 1 3 0 0.

0tf g t arctg

→

= + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

lim , 1 . 1 3 0. 1 3 0. 42t

f g t arctgπ

→= + + ∞ = + + =

Respuesta: ( )0

lim , 4t

f g t→

=

Ejercicio 3

Calcula td)t(F,k0∫

π

><�

donde ( )5,0,3k =�

y F(t) = (t cost, t sent,3).

Solución

Justificación: En este caso primero efectuamos la operación producto

escalar , ( )k F t�

(recuerda que esta notación representa un producto escalar

de vectores).

( ) ( ), ( ) 3,0,5 cos , ,3 3 cos 0 15 3 cos 15k F t t t tsent t t t t= = + + = +�

i

Ahora resolvemos la integral:

( )0 0 0 0 0 0

, ( ) 3 cos 15 3 cos 15 3 cos 15k F t dt t t dt t tdt dt t tdt dtπ π π π π π

= + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫�

La primera integral se resuelve por partes:

coscos

u tI t tdt

dv tdt

= →

==∫

Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

cosco

s dv td

du dtu t

tdv tdt v se t

du

n

dt

== =→ →

== =

∫ ∫

Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:

. . .v v sentu sentdu dtI t= − = −∫ ∫

. cosI tsent sent dt tsent t= − = +∫

Evaluando esta integral se tiene:

[ ] ( ) ( )0

3 cos 3 cos 3 cos 0 0 cos00

t tdt tsent t sen senπ π

π π π= + = + − + ∫

[ ] ( ) ( )0

3 cos 3 cos 3 0 1 0 1 2 30

t tdt tsent tπ π

= + = − − + = − ∫

La segunda integral es:

[ ] ( )0

15 15 15 0 150

dt tπ π

π π= = − =∫

Por lo tanto:

0

, ( ) 2 3 15k F t dtπ

π= − +∫�

Respuesta: 0

, ( ) 2 3 15k F t dtπ

π= − +∫�

Ejercicio 4

Calcula la longitud de arco de la función ( )( ) , , cost t tF t e e sent e t= con

0 t π≤ ≤ .

Solución

Justificación: La longitud de arco de una función vectorial viene dada

por:

'( )b

a

l F t dt= ∫

En este caso se tiene: 2

'

0

( )l F t dtπ

= ∫

Calculemos primero la derivada de la función vectorial:

( )( ) , , cost t tF t e e sent e t=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' ' '' ''( ) , , cos cost t t t tF t e e sent e sent e t e t= + +

( )'( ) , cos , cost t t t tF t e e t e sent e sent e t= + − +

( ) ( )( )'( ) , cos , costt tF t e e t sent e t sent= + −

Ahora calculemos el modulo de esta función vectorial:

( ) ( )( ) ( )( )22 2'( ) cos costt tF t e e t sent e t sent= + + + −

( ) ( )2 2' 2 2 2( ) cos cost t tF t e e t sent e t sent= + + + −

( ) ( )2' 2 2 2 2( ) 1 cos 2 cos cos 2 cos

t

F t e t sent t sen t t sent t sen t = + + + + − +

Como 2 2cos 1sen t t+ = , se tiene:

( ) ( )' 2( ) 1 1 2 cos 1 2 costF t e sent t sent t= + + + −

' 2( ) 1 1 2 cos 1 2 costF t e sent t sent t= + + + −

'( ) 1 1 2 cost

F t e sent t= + + 1 2 cossent t+ −

'( ) 1 1 1t

F t e= + +

'( ) 3 tF t e=

Sustituyendo en nuestra integral, se tiene:

( )2 2

2 0 2

0 0

23 3 3 3 3 1

0t t tl e dt e dt e e e e

π ππ ππ

= = = = − = − ∫ ∫

Respuesta: ( )23 1l e π= −

Ejercicio 5

Encuentra los puntos en los cuales la curva ( )4 2 3( ) 2 ,F t t t t= − tiene recta

tangente horizontal y vertical.

Solución

Justificación: En este caso debemos analizar las componentes de la

función vectorial, recordando que un vector se escribe de la forma:

( ),a x y=�

Se tiene: 4 2( ) 2x t t t= − 3( )y t t=

Sabemos de Matemática 2, que la tangente es la derivada de la misma,

evaluada en el punto de tangencia, por lo tanto la función vectorial derivada en

este caso es:

( )' 3 2( ) 4 4 ,3F t t t t= −

Para que exista tangente horizontal en un punto de la curva t c= ,

debemos tener la siguiente característica en el vector tangente: ' ( ) 0x c ≠ '( ) 0y c =

En nuestro caso quedaría:

' 2( ) 3 0 0y c c c= = ∴ = , verifiquemos si ' ( ) 0x c ≠ :

( ) ( )3' 3( ) 4 4 4 0 4 0 00

x c c cc

= − = − ==

Como no se cumple que ' ( ) 0x c ≠ , entonces la curva no tiene recta

tangente horizontal.

Para que exista tangente vertical en un punto de la curva t c= , debemos

tener la siguiente característica en el vector tangente: ' ( ) 0x c = '( ) 0y c ≠

En nuestro caso quedaría:

( )1

' 3 222 2

3

04 0

( ) 4 4 0 4 1 0 11 0 1 1 1

1

cc

x c c c c c cc c c

c

== = − = → − = → → = − = → = ∴ = ± = ± = −

,

verifiquemos si '( ) 0y c ≠ :

Para 1 0c = , se tiene:

( )' 2 2( ) 3 3 0 00

y c cc

= = ==

Como no se cumple que '( ) 0y c ≠ , entonces la curva no tiene recta

tangente vertical para 1 0c = .

Para 2 1c = , se tiene:

( )' 2 2( ) 3 3 1 3 01

y c cc

= = = ≠=

Como si se cumple que '( ) 0y c ≠ , entonces la curva si tiene recta

tangente vertical para 2 1c = .

Para 3 1c = − , se tiene:

( )' 2 2( ) 3 3 1 3 01

y c cc

= = − = ≠= −

Como si se cumple que '( ) 0y c ≠ , entonces la curva si tiene recta

también tiene tangente vertical para 3 1c = − .

Finalmente pasemos a calcular los puntos de la curva donde tiene

tangente vertical:

Para 2 1c = , se tiene:

( )( ) ( ) ( )24 3(1) 1 2 1 ,1 1 2,1 1,1F = − = − = −

Para 3 1c = − , se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 2 3(1) 1 2 1 , 1 1 2, 1 1, 1F = − − − − = − − = − −

Respuesta: Los puntos en los cuales la curva ( )4 2 3( ) 2 ,F t t t t= − tiene

recta tangente vertical son: ( )1,1− y ( )1, 1− − .

Ejercicio 6

Halla la recta tangente a la curva descrita por la función vectorial:

( )2 3( ) cos 2,4 , ln 1

2 2

t tf t sen t

π π = + +

en el punto (1)f .

Solución

Justificación: Para poder responder esta pregunta debes conocer la

ecuación de la recta en tres dimensiones, es decir en 3ℝ , para ello explicare lo

siguiente:

Una recta en el espacio tiene una ecuación de nombre: Ecuación

Vectorial Paramétrica de la Recta.

Y lleva ese nombre porque depende de un vector, que es llamado vector

director y de un parámetro que al darle valores, define todos y cada uno de los

puntos de la recta.

Expliquemos mejor esta situación en el siguiente gráfico:

( )0 0 0 0, ,P x y z es un punto conocido de la recta y 0P���

(verde) es su vector

de pocisión (vector de pocisión de un punto es aquel vector que va desde el

origen al punto).

( ), ,P x y z es un punto generico de la recta y P��

(azul) es su vector de

pocisión (vector de pocisión de un punto es aquel vector que va desde el origen

al punto).

L��

es el vector director de la recta. Observa que este vector es paralelo

al vector 0 P P����

(rojo). Recuerda que cuando dos vectores son paralelos se

cumple: 0 = LP P ��� ��

, donde lambda (λ ) es un parámetro que al darle valores

tenemos vectores paralelos a 0 P P����

de distintos tamaños.

Por suma de vectores, en e triángulo de lados verde, rojo y azul, se

tiene:

0 0 = P P P P+��� ���� ��

Que se puede escribir:

0 0P P P P= +�� ��� ����

Como 0 = LP P ��� ��

, se tiene:

0P P Lλ= +�� ��� ��

Esta útima ecuación es la llamada, ecuación vectorial paramétrica,

porque contienen vectores y el parámetro λ .

En conclusión para conseguir la ecuación en el espacio, generalmente

se parte de esta ecuación vectorial paramétrica, y para obtenerla es necesario

conocer un punto cualquiera de la recta ( )0 0 0 0, ,P x y z y un vector director L��

.

Retomando nuestro ejercicio, se tiene que el punto por donde pasa la

recta es:

( ) ( )2 20

(1) 3 (1) 3(1) cos 2,4 , ln 1 1 cos 2,4 , ln 2

2 2 2 2P f sen sen

π π π π = = + + = +

( ) ( ) ( )( ) ( )2

2

0

30 2,4 , ln 2 2,4 1 , ln 2 2,4, ln 2

2P sen

π = + = − =

El vector director en este caso, es el vector que se obtiene al derivar la

función y evaluarlo en el punto de tangencia ( )0 2,4, ln 2P = , así:

( )( )

'

''

'

cos 212 3 3

( ) ,4.2 ,2 2 1

2 cos 22

ttt t

f t sen sentt

ππ π

π

+ + = + +

( )

'

'' 3 3 3 12 2( ) ,4.2 cos ,

2 2 2 12 cos 2

2

t tsen

t t tf t sen

tt

π ππ π π

π

− = + +

( )' 3 3 3 12 2( ) ,4.2 cos ,

2 2 2 12 cos 2

2

tsen

t tf t sen

tt

π ππ π π

π

− = + +

( )' 24 3 3 12( ) , cos ,

2 2 2 14 cos 2

2

tsen

t tf t sen

tt

πππ π π

π

− = +

+

( )' 3 3 12( ) ,12 cos ,

2 2 14 cos 2

2

tsen

t tf t sen

tt

πππ ππ

π

− = +

+

Evaluando la derivada en el punto de tangencia (1)f se obtiene el vector

director de la recta L��

.

( )'

(1)3 (1) 3 (1) 12

(1) ,12 cos ,2 2 1 1(1)

4 cos 22

senL f sen

πππ ππ

π

− = = +

+

��

' 3 3 12(1) ,12 cos ,

2 2 24 cos 2

2

senL f sen

πππ ππ

π

− = =

+

��

( )( )

( ) ( )' 1 1 1 2 1 2 1(1) ,12 1 0 , ,0, ,0, ,0,

2 2 2 8 24 2 4 2 24 0 2L f

π π π ππ − − − − = = − = = = +

��

Por lo tanto la ecuación vectorial parametrica de la recta tangente es:

Respuesta: ( ) 2 12,4, ln 2 ,0,

8 2P

πλ −= +

��

Ejercicio 7

Sean las funciones vectoriales:

( )

= 1etsentF

2tarctg2,,)(

)(,

−= 22

t1tLn3ktG ,)(cos,)(

donde k es una constante arbitraria. Calcula la derivada de la función < G, F>.

Solución

Justificación: Primero calculemos el producto escalar:

( )( ) ( ) ( )22 2 2, ,3ln cos ,1 , ,1

arctg tG F k t t sen t e = −

i

( ) ( ) ( )22 2 2, 3ln cos 1

arctg tG F k sen t t e t= + + −

La derivada de esta función es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ''' '2, 2 . 3ln cos 3ln cos 0 2arctg t arctg t

G F k sen t sen t t e t e t = + + + −

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2'

' '' 2 2cos, 2 . cos 3 3ln cos 2

cos

arctg t arctg ttG F k sen t t t e t e arctg t t

t

= + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

'2' 2

22

1, 2 .cos 3 3ln cos 2

cos2 1

arctg t arctg t tsentG F k sen t t e t e t

tt t

= + − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2' 2

4

1 2, 2 3 ( ) 3ln cos 2

12

arctg t arctg t tG F k sen t tg t e t e t

tt= − + −

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2' 24

2 6 ln cos, 3 ( ) 2

12

arctg tarctg tsen t t t e

G F k tg t e ttt

= − + −+

Otra manera de resolver este ejercicio, es que aplques la derivada del

producto escalar, que como ya sabemos, heredan las propiedades de

derivación de las funciones escalares reales, para la suma, producto, entre

otras, así:

( )' ' ', , ,G F G F G F= +

Para ( )F t , se tiene:

( ) ( )22( ) , ,1

arctg tF t sen t e =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2' '' 2( ) 2 , . ,0

arctg tF t sen t sen t e arctg t =

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

2

'2'

'22

( ) 2 cos , . ,01

arctg t tF t sen t t t e

t

= +

( ) ( )( ) ( )2'

4

1 2( ) 2 cos , . ,0

12

arctg t tF t sen t t e

tt

= +

( ) ( )2'

4

1 2( ) 2 , . ,0

12

arctg t tF t sen t e

tt

= +

Para ( )G t , se tiene:

( )( )2 2,3ln cos ,1G k t t= −

( )'

' cos0,3 , 2

cos

tG t

t

= −

' 0,3 , 2cos

sentG t

t

− = −

( )' 0, 3 , 2G tgt t= − −

Sustituyendo en la fórmula de drrivación del producto escalar, se tiene:

( )' ' ', , ,G F G F G F= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2' 2 2 2 '4

1 2, 0, 3 , 2 , ,1 ,3ln cos ,1 ( ) 2 , . ,0

12

arctg t arctg t tG F tgt t sen t e k t t F t sen t e

tt

= − − + − = + i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 2 2

4

1 2, 0 3 2 2 3ln cos . 1 0

12

arctg t arctg t tG F sen t tgt e t k sen t t e t

tt= − − + + + −

+i i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 24

1 2, 3 2 2 3ln cos .

12

arctg t arctg t tG F tgt e t k sen t t e

tt= − − + +

+i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2' 24

2 6 ln cos, 3 2

12

arctg tarctg t sen t t t e

G F tgt e t ktt

= − − + ++

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2' 24

2 6 ln cos, 3 ( ) 2

12

arctg tarctg tsen t t t e

G F k tg t e ttt

= − + −+

llegando al mismo resultado, como era de esperar.

Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2' 24

2 6 ln cos, 3 ( ) 2

12

arctg tarctg tsen t t t e

G F k tg t e ttt

= − + −+

Ejercicio 8

Una partícula tiene como trayectoria ( )2 3( ) , 1F t t t t= − + . Calcula sus

diferentes velocidades cuando pasa por el punto ( )1,1 .

Solución

Justificación: En Física, la velocidad es la derivada de la posición y la

aceleración es la derivada de la velocidad. En este caso debemos hallar

primero los valores de t por donde pasa la curva.

Como la curva pasa por el punto ( )1,1 , se tiene:

( )2

2 3

3

1( ) , 1

1 1

x tF t t t t

y t t

= == − + →

= − + =

Debemos resolver el sistema para t , es decir, que abas ecuaciones se

satisfagan para el o los valores de t encontrados.

( )

222 2

23 32 2

1

11 11 01 1 0

00 01 01 1 1 1

1 0 11

1

tt t

tt ttt t

t tt t t tt t

t

= − = = ± − = = − = → → → → → == = − =− + = − = − − = = = −

Se observa que ambas ecuaciones se cumplen para: 1

2

1

1

t

t

= = −

.

Ahora calculemos el vector velocidad, derivando la posición o

trayectoria:

( )' 2( ) ( ) 2 ,3 1V t F t t t= = −

Para 1 1t = , se tiene que la velocidad es:

( ) ( )( ) ( ) ( )2(1) 2 1 ,3 1 1 2,3 1 2,2V = − = − =

Para 2 1t = − , se tiene que la velocidad es:

( ) ( )( ) ( ) ( )2( 1) 2 1 ,3 1 1 2,3 1 2,2V − = − − − = − − = −

Como comentario adicional, observa que la velocidad es un vector, que

tiene modulo, dirección y sentido, por ejemplo, te dicen que un vehiculo va a 80

Km/h (modulo) en la autopista para Valencia (dirección) su origen es Maracay,

es decir, ca de Maracay a Valencia (sentido).

Si calculas el modulo del vector velocodad obtienes la rapidez del objeto

que se mueve.

Respuesta: Las velocidades cuando pasa por el punto ( )1,1 son:

( )(1) 2,2V = y ( )( 1) 2,2V − = − .

Ejercicio 9

Calcula la velocidad, rapidez y aceleración para la partícula cuya

posición está dada por ( ))tcos(,t2),t(sene)t(F2t π= −

Solución

Justificación: Tal como te mencione en el ejercicio anterior, la velocidad

es la derivada de la posición, así:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2( ) ,2 ,cos ,2 , cost t tF t sen t t t e sen t te e tπ π− − −= =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )' ' ' ' ''' 2 2( ) ( ) , 2 2 , cos cost t t t t tV t F t e sen t e sen t t e t e e t e tπ π− − − − − −= = + + +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' '2 2 2( ) cos ,2 2 , cost t t t t tV t e t t e sen t e te e t e sen t tπ π π− − − − − −= − − − −

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2( ) 2 cos ,2 2 , cost t t t t tV t te t e sen t e te e t e sen tπ π π− − − − − −= − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2( ) 2 cos ,2 1 , cost t tV t e t t sen t e t e t sen tπ π π− − − = − − − −

La rapidez, es el modulo del vector velocidad, por lo tanto:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2( ) 2 cos 2 1 cost t tV t e t t sen t e t e t sen tπ π π− − − = − + − + − −

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2 2( ) 2 cos 2 1 costV t e t t sen t t t sen tπ π π− = − + − + − −

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2 2( ) 2 cos 2 1 costV t e t t sen t t t sen tπ π π− = − + − + − −

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2( ) 2 cos 2 1 costV t e t t sen t t t sen tπ π π− = − + − + − −

Y la aceleración, es la derivada del vector velocidad, así:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }' ''2 2( ) 2 cos , 2 1 , cost t ta t e t t sen t e t e t sen tπ π π− − − = − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

' '2 2 2 2

` '''

( ) 2 cos 2 cos ,

2 1 1 2 , cos cos

t t

t t t t

a t e t t sen t t t sen t e

e t t e e t sen t t sen t eπ π π π π π

− −

− − − −

= − + −

− + − − − + − −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

2 2 2 2 2

2

( ) 2cos 2 2 cos 2 2 cos ,

2 2 1 , cos cos

t t

t t t t

a t e t tsen t t t t t t sen t e

e t e e sen t t t sen t eπ π π π π π π

− −

− − − −

= − − − −

− − − − − − −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( ) ( ))

2 2 2 2 2

2

( ) 2cos 2 2 cos 2 2 cos ,

2 2 2 , cos cos

ta t e t tsen t t t t t t sen t

t sen t t t sen tπ π π π π π π

−= − − − +

− − + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2( ) 2cos 4 4 cos , 4 2 ,2 cos costa t e t t sen t t t sen t t sen t t tπ π π π π−= − − + − + − +

Por lo tanto:

Respuesta:

Velocidad: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2( ) 2 cos ,2 1 , cost t tV t e t t sen t e t e t sen tπ π π− − − = − − − −

Rapidez: ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2( ) 2 cos 2 1 costV t e t t sen t t t sen tπ π π− = − + − + − −

Aceleración:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2( ) 2cos 4 4 cos , 4 2 ,2 cos costa t e t t sen t t t sen t t sen t t tπ π π π π−= − − + − + − +

Ejercicio 10

Halla la recta tangente a la cuva descrita por la función vectorial:

( ) ( )( )1

22 2 2( ) 1 cost

g t arctg t i t j e kπ= + + +� � �

En (1)g .

Solución

Justificación: Recordando lo explicado en el ejercicio 6 de esta guia, se

tiene:

( ) ( )( )( ) ( )12 12 2 2

0 (1) 1 1 cos 1P g arctg i j e kπ= = + + +� � �

( )( )( )12

22 20 (1) 1 cos

4P g i j e k

π π = = + + +

� � �

( )( )2

22

0 (1) 1 116

P g i j e kπ= = + + − +� � �

22

0 (1) 216

P g i j e kπ= = + +� � �

El vector director en este caso, es el vector que se obtiene al derivar la

función y evaluarlo en el punto de tangencia (1)g , así:

( ) ( ) ( )( )( )

'22''

2

1 cos( ) 2 2

2 1 cos

ttg t arctgt arctgt i j e k

t

π

π

+= + +

+

� � �

( ) ( ) ( )( )

'2'

2 2

21( ) 2 2

1 2 1 cos

tsen t tg t arctgt i j e k

t t

π ππ

−= + +

+ +

� � �

( )'2

21( ) 2

1g t arctgt i

t

−= +

+

� ( )2

sen tπ π

( )2

22

1 cos

tj e k

tπ+

+

� �

( )( )

2'2 2

2( ) 2

1 1 cos

tsen tarctgtg t i j e k

t t

π ππ

−= + +

+ +

� � �

Evaluando la derivada en el punto de tangencia (1)g se obtiene el vector

director de la recta L��

.

( )( )

( )( )( )( )

( )2 1'2 2

12 1(1) 2

1 1 1 cos 1

senarctgL g i j e k

π π

π

−= = + +

+ +

�� � � �

( )( )

2'

2

2.4(1) 2

1 1 1 cos

senL g i j e k

ππ π

π−

= = + ++ +

�� � � �

( ) 2'2. 04(1) 2

2 1 1L g i j e k

ππ−

= = + ++

�� � � �

'2

(1)L g= =�� .

42

π2 2 20

2 0 2 24 41 1

i j e k i j e k i e kπ π+ + = + + = +

+

� � � � � � � �

Por lo tanto la ecuación vectorial parametrica de la recta tangente es:

Respuesta: 2

2 2, 2, ,0,216 4

P e eπ πλ = +

��

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Dada la curva definida por x =

+ 2t1

1arccos , y =

+ 2t1

tarcsen .

Calcula

ππ4

, 4

punto elenyd

dxy

xdyd

.

Ejercicio 2

Calcula la longitud de arco de la función:

( )2 2 2( ) , , cost t tG t a a sent a t=

Con 0 2t π≤ ≤ y a constante positiva.

Ejercicio 3

Halle los puntos en los que la curva descrita por

−=−=

t12t)t(y

t2t)t(x3

2

,

Posee: a) Tangente vertical. b) Tangente horizontal.

Ejercicio 4

Halla la posición )t(r�

de un móvil si la velocidad en todo instante t viene

dada por ( )t2cos,e)t(v t=�

y la posición inicial es ( )1,2)0(r −=�

.

Ejercicio 5

Considera las funciones:

=

+=t2

arctgtt

ttgt

tt1

ttg2tf2

,,cos

)(,,,)(

Calcula )(, tgflím0t

><→

.

Ejercicio 6

Sean las funciones vectoriales:

( )( )π= ,e,tcos)t(F )t(tg 2, ( )43 t3,)t(cosLn5,k)t(G −=

donde k es una constante arbitraria. Calcula la derivada de la función <

G, F>.

Ejercicio 7

Calcula ( ) tdt,)Lnt(cos,)t2(Ln32e

e

2∫

Ejercicio 8

La aceleración de una partícula es: ( )''( ) ,cos ,F t sent t t= su velocidad y su

posición iniciales son: ( )'(0) 1,0,1F = y ( )(0) 0,1,0F = respectivamente. Calcula

su posición instantánea.

Ejercicio 9

Analizar la continuidad de la función vectorial k)t(2j2itr(t) 2−++=

en t =0.

Ejercicio 10

Dada la curva definida por x= t – sen t, y= 1 – cos t.

a) Calcula 4

tenxd

ydy

xdyd

2

2 π= .

b) Calcula la ecuación de la recta tangente para 4

tπ= .