Capitulo III

Matemática III (733)

Objetivo 4. Aplicar el cálculo diferencial e integral en curvas dadas en

ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.

Ejercicio 1

Prueba que la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones

paramétricas: '' '( )cos ( )x f t t f t sent= + y '' '( ) ( )cosy f t sent f t t= − +

Entre los puntos correspondientes a 1t t= y 2t t= es igual a

'' ''2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t+ − −

Solución

Justificación: En el objetivo anterior se dedujo, que la longitud de arco en

coordenadas cartesianas era:

2

1b

a

dyL dx

dx = +

∫

Si la curva esta dada en forma paramétrica:

1 2

( )

( )

x f tt t t

y g t

=< < =

Entonces:

'

1 2'

( )

( )

dx f t dtt t t

dy g t dt

=< < =

Sustituyendo en la ecuación de la longitud de arco, se tiene:

2

1

2' ''

'

( ) ( )1 ( ) 1

( )

t

t

g t dt g t dtL f t dt

f t dt

= + = +

∫ '( )f t dt

( )( )

2 2

1 1

22 '

' '2'

( )( ) 1 ( )

( )

t t

t t

g tf t dt f t dt

f t

= +

∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

1 1

2 22 2 ' '' '

' '2 2' '

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

t t

t t

f t g tf t g tL f t dt f t dt

f t f t

++= =∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2

1

2 2 2 2' ' ' '

'' '

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

t

t

f t g t f t g tL f t dt

f t f t

+ += =∫

2

1

'( )t

t

f t∫ dt

( ) ( )2

1

2 2' '( ) ( )t

t

L f t g t dt= +∫

Por lo tanto, si tenemos una curva en coordenadas paramétricas su

longitud se puede escribir de cualquiera de las formas:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1

2 22 2 2 2' ' ' '( ) ( ) ( ) ( )

t t t

t t t

dx dyL f t g t dt x t y t dt dt

dt dt = + = + = +

∫ ∫ ∫

Ahora bien, en nuestro caso, tenemos:

'' '

1 2'' '

( ) cos ( )

( ) ( ) cos

x f t t f t sentt t t

y f t sent f t t

= +< < = − +

Primero debemos calcular las primeras derivadas de la función

paramétrica dada:

Para: '' '( )cos ( )x f t t f t sent= + se tiene la derivada de 2 productos:

( ) ( ) ( ) ( )' '' ''' '' ' '( ) cos ( ) cos ( ) ( )dx

f t t f t t f t sent f t sentdt

= + + +

'' ''' ' ''( ) ( ) cos ( )cos ( )dx

f t sent f t t f t t f t sentdt

= − + + +

''( )dx

f t sentdt

= − ''' ' ''( )cos ( )cos ( )f t t f t t f t sent+ + +

( )''' '( ) ( ) cosdx

f t f t tdt

= +

Para: '' '( ) ( )cosy f t sent f t t= − + se tiene la derivada de 2 productos:

( ) ( ) ( ) ( )' '' ''' '' ' '( ) ( ) ( ) cos ( ) cosdy

f t sent f t sent f t t f t tdt

= − − + +

'' ''' ' ''( )cos ( ) ( ) ( )cosdy

f t t f t sent f t sent f t tdt

= − − − +

''( ) cosdy

f t tdt

= − ''' ' ''( ) ( ) ( )cosf t sent f t sent f t t− − +

( )''' '( ) ( )dy

f t f t sentdt

= − +

Ahora, según la fórmula debemos calcular: 2

dx

dt

y 2

dy

dt

, entonces:

( ) ( )2

2 2''' ' ''' ' 2( ) ( ) cos ( ) ( ) cosdx

f t f t t f t f t tdt

= + = +

( ) ( )2

2 2''' ' ''' ' 2( ) ( ) ( ) ( )dy

f t f t sent f t f t sen tdt

= − + = +

Ahora debemos sumar: 2 2

dx dy

dt dt +

:

( ) ( )2 22

''' ' '''2

2 2'( ) ( ) ( ) )s (cof t fdx dy

t sen tdt

t t f tt

fd

+ + = +

+

( ) ( )2'''2

2 2'2

( ) ( ) cosf tdx dy

t sen td

tt dt

f + = +

+

Como la identidad: 2 2cos 1t sen t+ = , se tiene:

( )2 2

2''' '( ) ( )dx dy

f t f tdt dt

+ = +

Sustituyendo en la formula de longitud de curva:

( )2 2 2

1 1 1

2 22''' ' ''' '( ) ( ) ( ) ( )

t t t

t t t

dx dyL dt f t f t dt f t f t dt

dt dt = + = + = +

∫ ∫ ∫

Integrando:

2 2 2

1 1 1

''' ' ''' '( ) ( ) ( ) ( )t t t

t t t

L f t f t dt f t dt f t dt = + = + ∫ ∫ ∫

Pero las integrales son: ''' '' '( ) ( ) y ( ) ( )f t dt f t f t dt f t= =∫ ∫ , entonces:

( ) ( )2'' '' ''2 2 1 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

L f t f t f t f t f t f tt

= + = + − +

Por lo tanto la longitud de la curva es: '' ''

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )L f t f t f t f t= + − −

l.q.q.d

Respuesta: l.q.q.d = Lo que queríamos demostrar.

Ejercicio 2

Calcula el área de la superficie en revolución generada por la curva

4cosr θ= al rotar alrededor del eje polar.

Solución

Justificación: Vamos a comentar algunas gráficas conocidas en

coordenadas polares, ya que su conocimiento se hace imprescindible para

resolver algunos problemas:

En coordenadas polares, hacemos uso de las ecuaciones:

cosx r

y rsen

θθ

= =

Donde r es la distancia del polo a un punto cualquiera de una curva y θ

el ángulo con respecto al eje polar, pero ¿Por qué estas ecuaciones? O más

precisamente ¿De dónde salen dichas ecuaciones?, observa la siguiente

grafica:

Figura

En el triángulo amarillo podemos aplicar las funciones trigonométricas

seno y coseno, por ser un triángulo rectángulo:

CO ysen y rsen

HIP rθ θ= = → =

cos cosCA x

x rHIP r

θ θ= = → =

La deducción fue muy sencilla.

Ahora veamos algunos gráficos:

Rectas

Rectas que pasan por el polo:

La ecuación de una recta que pasa por el origen en coordenadas

cartesianas tiene la forma:

y mx=

Donde m es la pendiente, que sabemos vale m tgα= .

Sustituyendo las transformaciones en coordenadas polares, se tiene:

y mx=

cosrsen mrθ θ=

r sen m rθ = cosθ

coscos

sensen m m tg

θθ θ θθ

= ∴ = =

Pero sabemos que: m tgα= , por lo tanto:

tg m tg tg tgθ α θ α θ α= = ∴ = ⇒ =

Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por el polo es:

θ α=

Circunferencias

La ecuación general de una circunferencia de radio R y centro en el

origen es: 2 2 2x y R+ =

Sustituyendo las ecuaciones de transformación polar, se tiene:

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2cos cosx y R r rsen R r r sen Rθ θ θ θ+ = → + = → + =

( )2 2 2 2cosr sen Rθ θ+ =

La identidad fundamental de la trigonometría es: 2 2cos 1sen θ θ+ =

Por lo que:

( )2 2 2 2 2 21r R r R r R r R= → = → = → =

Por lo tanto la ecuación de la circunferencia con centro en el polo es:

r R=

Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro en el punto

( ),R α .

El siguiente grafico ilustra esta situación:

Aplicando la ley del coseno en el triángulo extraído de la derecha, se

tiene:

( )2 2 2 2 cosR R r rR θ α= + − −

2R 2R= ( )2 2 cosr rR θ α+ − −

( )20 2 cosr rR θ α= − −

( )2 2 cosr rR θ α= −

2r 2 r= ( )cosR θ α−

( )2 cosr R θ α= −

Analicemos esta última ecuación para algunos casos especiales, que

son los más comunes en ejercicios prácticos:

1) Si 0ºα = se tiene:

( ) ( )2 cos 0º 2 cosr R r Rθ θ= − → = (1)

Escribiendo la ecuación ( )2 cosr R θ= a su forma cartesiana:

Como: cos cosx

x rr

θ θ= → = (2), además, aplicando Pitágoras en el

triángulo rectángulo de la figura 1, se tiene: 2 2 2r x y= + (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1):

2 2 2 2 22 2 2 2 0x

r R r Rx x y Rx x y Rxr

= → = → + = → + − =

Completando cuadrados en: ( )22 22x Rx x R R− = − −

Entonces:

( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 0 0x y Rx x R R y x R y R+ − = → − − + = → − + =

Y estas es una circunferencia de radio R y centro en ( ),0R

Su gráfica es:

Haciendo un análisis muy semejante al anterior, obtenemos las

siguientes gráficas, las cuales debes conocer para resolver ejercicios dond

intervengan este tipo de curvas:

2) Si 180ºα π= = se tiene:

( ) ( )2 cos 2 cosr R r Rθ π θ= − → = −

Su gráfica es:

3) Si 90º2

πα = = se tiene:

( )2 cos 22

r R r Rsenπθ θ = − → =

Su gráfica es:

4) Si 3

270º2

πα = = se tiene:

( )32 cos 2

2r R r Rsen

πθ θ = − → = −

Su gráfica es:

Caracoles

Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: cosr a b θ= ± ó de la

forma: r a bsenθ= ± .

Consideremos 3 casos:

1) Cuando a b= , toman el nombre de CARDIOIDE.

1.1) cosr a a θ= +

1.2) cosr a a θ= −

1.3) r a asenθ= +

1.4) r a asenθ= −

2) Cuando a b> , toman el nombre de LIMACON Ó CARACOL SIN

RIZO.

2.1) 6 3cosr θ= +

2.2) 6 3cosr θ= −

2.3) 6 3r senθ= +

2.4) 6 3r senθ= −

3) Cuando a b< , toman el nombre de LIMACON Ó CARACOL CON

RIZO.

3.1) 3 6cosr θ= +

3.2) 3 6cosr θ= −

3.3) 3 6r senθ= +

3.4) 3 6r senθ= −

Rosas

Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma

( )cosr a nθ= ó ( )r asen nθ= donde n es cualquier número natural mayor que

uno.

Consideremos 2 casos:

1) Si n es PAR tenemos una rosa de 2n pétalos.

1.1) ( )4 2r sen θ=

1.2) ( )4cos 2r θ=

2) Si n es IMPAR tenemos una rosa de n pétalos.

2.1) ( )4cos 3r θ=

2.2) ( )4 3r sen θ=

Lemniscatas

Tienen ecuación polar de la forma ( )2 cos 2r a θ= o de la forma

( )2 2r asen θ=

1) ( )2 4cos 2r θ=

2) ( )2 4cos 2r θ= −

3) ( )2 4 2r sen θ=

4) ( )2 4 2r sen θ= −

Espirales

Consideremos 2 tipos:

1) Espiral de Arquímedes: Ecuación polar de la forma: r aθ=

Ejemplo: graficar 3r θ=

2) Espiral logarítmica: Ecuación polar de la forma: br ae θ=

Ejemplo: graficar 32r e θ=

Retomando nuestro ejercicio, para calcular el área de la superficie en

revolución generada por la curva 4cosr θ= al rotar alrededor del eje polar.

En el objetivo anterior, se dedujo la formula que nos permite calcular el

área de una superficie en revolución, a saber:

( )2'2 1b

a

S y y dxπ= +∫

Vamos a encontrar la fórmula que nos permite calcular la superficie de

un sólido en revolución en coordenadas polares, cuando gira alrededor del eje

polar.

Hagamos uso de las ecuaciones de transformación polar:

cosx r

y rsen

θθ

= =

Para convertir la expresión: ( )2

2'1 1dy

ydx

+ = +

.

Podemos tomar las ecuaciones: cosx r

y rsen

θθ

= =

, como una curva dada en

forma paramétrica, donde el parámetro es θ , y recordando que en el ejercicio 1

demostramos que una curva en ecuaciones paramétricas viene dada por:

2 2 2

1dy dx dy

dx d dθ θ + = +

Se procede a calcular las derivadas y dy dx

d dθ θ. Sabemos que en las

ecuaciones cos y x r y rsenθ θ= = , r depende de θ , es decir, ( )r f θ= ,

entonces, al derivar las ecuaciones polares, debemos aplicar la derivada de un

producto:

( ) ( )'' ' cosdy

r sen r sen r sen rd

θ θ θ θθ

= + = +

( ) ( )'' 'cos cos cosdx

r r r rsend

θ θ θ θθ

= + = −

Entonces:

( ) ( )2 2

2 2' 'cos cosdx dy

r rsen r sen rd d

θ θ θ θθ θ

+ = − + +

( )( ) ( )( )2 2

2 2' 2 ' 2 2 ' 2 ' 2 2cos 2 cos 2 cos cosdx dy

r r r sen r sen r sen r r sen rd d

θ θ θ θ θ θ θ θθ θ

+ = − + + + +

( )2 2

2' 2 'cos 2 cosdx dy

r r r send d

θ θ θθ θ

+ = −

( ) ( )22 2 ' 2 '2 cosr sen r sen r r senθ θ θ θ+ + +( )2 2cosr θ+

( ) ( )2 2

2 2' 2 2 2 ' 2 2 2cos cosdx dy

r r sen r sen rd d

θ θ θ θθ θ

+ = + + +

( ) ( ) ( )2 2

2' 2 2 2 2 2cos cosdx dy

r sen r send d

θ θ θ θθ θ

+ = + + +

Como 2 2cos 1sen θ θ+ = , se tiene:

( )2 2

2' 2dx dyr r

d dθ θ + = +

Como y rsenθ= , se tiene que la fórmula en coordenadas polares para

calcular la superficie en revolución de una región que gira alrededor del eje

polar:

( )22 '2S rsen r r dβ

α

π θ θ= +∫

Si la región gira alrededor de la recta 2

πθ = , que seria el eje ye en

coordenadas cartesianas, se tendría:

( )2'2 1b

a

S x x dxπ= +∫

Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, se tendría:

2 2 2

1dx dx dy

dy d dθ θ + = +

Es decir: ( )2 2

2' 2dx dyr r

d dθ θ + = +

Y como x rsenθ= se obtiene la fórmula en coordenadas polares para

calcular la superficie en revolución de una región que gira alrededor del eje

2

πθ = es:

( )22 '2 cosS r r r dβ

α

π θ θ= +∫

En este caso, la superficie a rotar es: 4cosr θ= , es decir la

circunferencia:

Como al hacer girar la parte superior de la circunferencia, se obtiene el

mismo sólido que hacer girar toda la circunferencia, los límites de integración,

serán de 0 a 2

π; por otro lado la derivada en este caso de 4cosr θ= , es:

' 4r senθ= − , sustituyendo en la fórmula, se tiene:

( ) ( )2

2 2

0

2 4cos 4cos 4S sen sen d

π

π θ θ θ θ θ= + −∫

Como ( ) ( )2 2cos 1senθ θ+ = , se tiene:

( ) ( )2 2

2 2

0 0

2 4cos 16 cos 2 4cos 16S sen sen d sen d

π π

π θ θ θ θ θ π θ θ θ = + = ∫ ∫

( )2

0

2 4cos 4S sen d

π

π θ θ θ= ∫

2

0

32 cosS sen d

π

π θ θ θ= ∫

La primitiva se obtiene con un sencillo cambio de variable:

2 2

cos coscos 2 2

u sen u sensen d sen d udu

du d

θ θθ θ θ θ θ θθ θ

=→ → = = = =

∫ ∫ ∫

Entonces:

( ) ( ) ( )2

2 2 22 0 1 0 1232 32 32 32 162

2 2 2 2 2 20

sensensen

ππθπ π π π π

= − = − = =

A manera de comprobación, resolveré el ejercicio en coordenadas

cartesianas:

( )2'2 1b

a

S y y dxπ= +∫

La ecuación de la circunferencia en este caso es:

( )2 22 4x y− + =

( )( )

( )

'2

2 '

2

4 2 24 2

2 4 2

xy x y

x

− − − = − − → = =− −

( )2

2

x −

( )( )( )2 2

2

4 2 4 2

x

x x

− −=

− − − −

Sustituyendo en la fórmula del área de la superficie, se obtiene:

( ) ( )( )

24

2

20

22 4 2 1

4 2

xS x dx

xπ

− − = − − + − −

∫

( ) ( )( )

242

20

22 4 2 1

4 2

xS x dx

xπ

−= − − +

− − ∫

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 24 42 2

2 20 0

4 2 2 42 4 2 2 4 2

4 2 4 2

x xS x dx x dx

x xπ π

− − + −= − − = − −

− − − −∫ ∫

( )( )

( )4

2 2

20

42 4 2 2 4 2

4 2S x dx x

xπ π= − − = − −

− −∫

( )2

2

4 2x− −

4

0

dx∫

( ) ( )4

0

2 2 4 4 0 16S dxπ π π= = − =∫

Llegamos al mismo resultado.

Evidentemente, cuando se hace girar una circunferencia sobre su

diámetro, en este caso el eje polar, se obtiene una esfera, y el área de una

esfera es: 24A rπ= , como el radio es 2r = , se tiene:

( ) ( )24 2 4 4 16A π π π= = =

Respuesta: 16A π= .

Ejercicio 3

Encuentra el área de la superficie generada por la rotación de la curva

dada por las ecuaciones paramétricas:

1 0 2

t

x tt

y e

= +≤ ≤ =

Alrededor del eje OX .

Solución

Justificación: Vamos a deducir la fórmula que utilizaremos en

coordenadas paramétricas para calcular el área de la superficie en revolución

de una región alrededor del eje OX .

Para las ecuaciones paramétricas: 1 2

( )

( )

x f tt t t

y g t

=< < =

, se demostró:

( ) ( )2

1

22 2' '1 ( ) ( )

tb

a t

dyL dx f t g t dt

dx = + = +

∫ ∫

Por lo tanto la fórmula: ( )2'2 1b

a

S y y dxπ= +∫ , se transforma en:

( ) ( )2 2' '2 ( ) ( ) ( )b

a

S g t f t g t dtπ= +∫

Si la curva gira alrededor del eje ye, aplicando el análisis anterior, se

tendría:

( ) ( )2 2' '2 ( ) ( ) ( )b

a

S f t f t g t dtπ= +∫

En nuestro ejercicio, se tiene:

( ) 1 0 2

( ) t

x f t tt

y g t e

= = +≤ ≤ = =

Derivando:

'

'

( ) 1 0 2

( ) t

f tt

g t e

=≤ ≤ =

Sustituyendo en la fórmula correspondiente, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 22' '

0

2 ( ) ( ) ( ) 2 1b

t t

a

S g t f t g t dt e e dtπ π= + = +∫ ∫

Resolviendo esta integral: 2

2

0

2 1t tS e e dtπ= +∫

A través de cambio de variable:

Como: ( )2 2

22

0 0

2 1 2 1 ttt tS e e e dtd etπ π= + = +∫ ∫

Con el cambio: t

tdu e d

u e

t==

Por lo tanto:

( )2 21 1t te dte u du+ = +∫ ∫

Hemos llegado a una integral de sustitución trigonométrica, explicada en

detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733).

Con el cambio trigonométrico:

2sec

u tg

du d

αα α

= =

Así:

2 2 21 1 secu du tg dα α α+ = +∫ ∫

Como: 2 21 sectg α α+ = , se tiene:

2 2 2sec sec sec secd dα α α α α α=∫ ∫

Esta última integral es de la forma:

3sec dα α∫

Y tal como se explico en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733),

se debe aplicar el método de integración por partes:

22

secsec sec

secdv dI

udα α α

α αα=

==

→

∫

Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

22 sec

secsec

sec

sec dv ddv d

d

v

u tg du du tg d

tgα α

α α αα αα α α

α α → →

==

=

==

=∫ ∫

Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:

sec s c. e. .v v tgu du dI tgtgα αα α α α= − = −∫ ∫

( )2 2sec .sec sec sec 1 .secI tg tg d tg dα α α α α α α α α α= − = − −∫ ∫

( )3 3sec sec sec .sec sec sec secI tg d tg d dα α α α α α α α α α α α= − − = − +∫ ∫ ∫

Pero: 3secI dα α= ∫ y de la tabla de integrales:

sec ln secd tg Cα α α α= + +∫

Entonces:

sec ln secI tg I tgα α α α= − + +

sec ln secI I tg tgα α α α+ = + +

2 sec ln secI tg tgα α α α= + +

3 sec ln secsec

2

tg tgI d

α α α αα α

+ += =∫

Para devolver el cambio hacemos uso del triángulo:

De donde claramente:

2

sec 1

tg u

u

α

α

=

= +

Por lo tanto:

2 21 ln 1

2

u u u uI

+ + + +=

Y como tu e= , se tiene:

( )2 2

22 2 2

0

1 ln 1 22 1 2 . 1 ln 1

2 2

t t t t

t t t t t te e e e

S e e dt e e e eππ π

+ + + += + = = + + + +∫

( )22 2 2

0

22 1 1 ln 1

0t t t t t tS e e dt e e e eπ π= + = + + + +∫

Evaluando esta integral, se tiene:

( ) ( )2 4 4 2 0 0 0 01 ln 1 1 ln 1S e e e e e e e eπ = + + + + − + + + +

( ) ( )2 4 4 21 ln 1 1 1 ln 1 1 1S e e e eπ = + + + + − + + + +

( ) ( )2 4 4 21 ln 1 2 ln 2 1S e e e eπ = + + + + − + +

Respuesta: ( ) ( )2 4 4 21 ln 1 2 ln 2 1S e e e eπ = + + + + − + +

Ejercicio 4

a) Dibuja la gráfica de la curva que está dada por las ecuaciones

paramétricas:

5cos 3 0 2

5 1

x tt

y sentπ

= − ≤ ≤ = +

b) Calcula la longitud de la curva de la parte “a” usando integrales.

Solución

Justificación:

a) Cuando se nos pide graficar una curva dada en forma paramétrica,

podemos eliminar el parámetro para tener la curva en coordenadas cartesianas

y saber su naturaleza, por ello para eliminar el parámetro en este caso

procedemos así:

1) Despejamos sent y cost de cada una de las ecuaciones:

5cos 3 3 5cos3

co

1

s

1

5

15

5 5

x t x t

y sent y sen ysent

x

t

t= − + = → → = + − =

+ =

− =

Ahora hacemos uso de la identidad: 2 2cos 1sen t t+ = , entonces: 2 2cos 1sen t t+ =

2 2

11

5

3

5

xy +

−

+

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 2

1 3 1 3 3 11 1 1

5 5 25 25 25

y x y x x y− + − + + + −+ = → + = → =

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 23 11 3 1 25

25

x yx y

+ + −= → + + − =

Hemos llegado a la ecuación general de una circunferencia explicada en

detalle en el objetivo anterior.

El centro de esta circunferencia es: ( )3,1− y su radio es: 25 5R = = , por

lo tanto su gráfica es:

b) Para calcular la longitud de esta curva, hacemos uso de la fórmula:

( ) ( )2

1

2 2' 't

t

L x y dt= +∫

Porque la curva esta dada en forma paramétrica, calculemos las

derivadas:

'

'

5 0 2

5cos

x sentt

y tπ

= −≤ ≤

=

Por lo tanto:

( ) ( )2

2 2

0

5 5cosL sent t dtπ

= − +∫

Resolviendo la integral:

( )2 2

2 2 2 2

0 0

25 25cos 25 cosL sen t tdt sen t t dtπ π

= + = +∫ ∫

Como 2 2cos 1sen t t+ = :

( ) [ ] ( ) ( )2 2 2

0 0 0

225 1 5 5 5 5 2 0 5 2 10

0L dt dt dt t

π π π ππ π π= = = = = − = =∫ ∫ ∫

Es fácil verificar este resultado, porque la longitud de una circunferencia

es: 2 Rπ y como el radio es 5, se tiene que su longitud es:

( )2 2 5 10L Rπ π π= = =

Respuesta:

a) Gráfica de 5cos 3

0 25 1

x tt

y sentπ

= − ≤ ≤ = +

b) 10L π=

Ejercicio 5

Calcula el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva

definida por las ecuaciones cos

02

x r tt

y rsent

π= ≤ ≤ =, alrededor del eje OX .

Solución

Justificación: No es necesario dibujar la gráfica para resolver este

ejercicio, porque se utilizaría simplemente la fórmula en coordenadas

paramétricas para calcular el área del sólido en revolución, sin embargo, al

dibujar la gráfica podemos conocer su naturaleza y posiblemente, si es una

figura conocida, corroborar el resultado que se obtendrá. Para graficar

eliminamos el parámetro t , tal como se ejecuto en el ejercicio inmediato

anterior, así:

cosx

try

sentr

= =

Ahora hacemos uso de la identidad: 2 2cos 1sen t t+ = , así:

2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 21 1 1

y x y x x yx y r

r r r r r

+ + = → + = → = → + =

Hemos llegado a una circunferencia con centro en el origen y radio

2R r r= = , entonces su gráfica en el intervalo 02

tπ≤ ≤ , es:

Al rotar esta curva alrededor del eje OX , se obtiene la mitad de una

esfera:

Y como sabemos que el área de una esfera es: 24S Rπ= , tenemos que

el área de la mitad de esta esfera generada es:

224

22

rS r

π π= =

Este sería el resultado esperado.

Ahora bien, aplicando la fórmula para calcular el área de la superficie de

la curva cos

02

x r tt

y rsent

π= ≤ ≤ = rotada alrededor del eje OX , se tiene:

( ) ( )2 2' '2b

a

S y x y dtπ= +∫

Calculando las derivadas:

'

' 0

2cos

x rsentt

y r t

π = −≤ ≤

=

Sustituyendo en la fórmula correspondiente, se tiene:

( ) ( )2

2 2

0

2 cosS rsent rsent r t dt

π

π= − +∫

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0

2 cos 2 cosS rsent r sen t r t dt rsent r sen t t dt

π π

π π= + = +∫ ∫

Como 2 2cos 1sen t t+ =

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2

0 0 0

2 cos 2 1 2S rsent r sen t t dt rsent r dt rsent r dt

π π π

π π π= + = =∫ ∫ ∫

[ ] [ ]2

2 2 2 2 2

0

2 2 cos 2 cos cos0 2 0 1 222

0S r sentdt r t r r r

π πππ π π π π = = − = − + = + =

∫

Observa que importante fue, conocer el gráfico para corroborar el

resultado.

Respuesta: 22S rπ=

Ejercicio 6

Calcula el área de la superficie que se obtiene al girar la curva definida

en forma paramétrica por las ecuaciones:

cos 0

2

t

t

x e tt

y e sent

π =≤ ≤ =

Alrededor del eje OY .

Solución

Justificación: Tal como se dedujo en el ejercicio 3 de esta guía, como la

curva esta dada en forma paramétrica y gira alrededor del eje ye, se aplica la

fórmula:

( ) ( )2 2' '2b

a

S x x y dtπ= +∫

Calculemos las derivadas:

( ) ( )( ) ( )

'''

'''

cos cos 0

2

t t

t t

x e t e tt

y e sent e sent

π = + ≤ ≤ = +

'

'

cos 0

2cos

t t

t t

x e sent e tt

y e t e sent

π = − +≤ ≤ = +

( )( )

'

'

cos 0

cos 2

t

t

x e t sentt

y e t sent

π = − ≤ ≤ = +

Sustituyendo en la formula dada, se tiene:

( )( ) ( )( )2

2 2

0

2 cos cos cost t tS e t e t sent e t sent dt

π

π= − + +∫

( ) ( )2

2 22 2

0

2 cos cos cost t tS e t e t sent e t sent dt

π

π= − + +∫

( ) ( )2

2 22

0

2 cos cos cost tS e t e t sent t sent dt

π

π = − + + ∫

( ) ( )2

2 22

0

2 cos cos cost tS e t e t sent t sent dt

π

π = − + + ∫

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2

0

2 cos cos 2 cos cos 2 cost tS e t e t sent t sen t t sent t sen t dt

π

π = − + + + + ∫

( )2

2 2 2 2

0

2 cos cos 2 cos cos 2 cost tS e t e t sent t sen t t sent t sen tdt

π

π= − + + + +∫

( ) 22 cos cos 2 cost tS e t e t sent tπ= − 2 2cos 2 cossen t t sent t+ + +2

2

0

sen tdt

π

+∫

( )2

2 2 2 2

0

2 cos cos cost tS e t e t sen t t sen tdt

π

π= + + +∫

Como 2 2cos 1sen t t+ = , se tiene:

2 2 22 2

0 0 0

2 cos 1 1 2 cos 2 2 2 cost t t tS e t dt e t dt e tdt

π π π

π π π+= + = =∫ ∫ ∫

Observamos que la primitiva 2 coste tdt∫ debemos integrar por parte, este

tipo de integrales fue explicado en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3

(733).

En este caso:

22

ccos

osttu e

I e tt

dtdv dt

== →

=∫

Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

22 2

co

scos

2 2tt t

dv tdtdv tdt v sent

du e dtu e du e dt → → =

==

= ==∫ ∫

Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:

2 22. . .t tv v sent senu du e dttI e= − = −∫ ∫

Esta integral se puede escribir:

2 22t tI e sent e dtsent= − ∫

La integral generada, se puede resolver por partes de nuevo, así:

22 22 2

cos

tt t

dv sentdt

du e dtu e du e dt

dv sentdt v t

→ →

===

== = −∫ ∫

Así:

( )2 2 2cos cos22t t tsent teI e e dtt= − − −− ∫

Desarrollando:

( )2 2 22 cos 2 2 cost t tI e sent e t e t dt= + + −∫

2 2 22 cos 4 cost t tI e sent e t e tdt= + − ∫

Observa como se reproduce la integral original, esto sucede en este tipo

de integrales y se resuelven como una ecuación, recordando que

2 costI e tdt= ∫ :

2 22 cos 4t tI e sent e t I= + −

( )24 2costI I e sent t+ = +

( )25 2costI e sent t= +

( )2 2cos

5

te sent tI

+=

Ahora evaluamos esta integral:

( )2 2cos2 2 2

50

te sent tS

ππ +

=

( ) ( ) ( )( )2

22 02cos

0 2cos 02 22 2

5 5

e sene sen

S

π π π

π

+ + = −

( )( ) ( )( )01 2 0 0 2 12 2

5 5

e eS

π

π + +

= −

( ) ( )1 2 2 22 2 2 2 2 2

5 5 5 5 5

e e eS

π π π

π π π −= − = − =

Respuesta: 2

2 25

eS

π

π −=

Ejercicio 7

Dada la hélice ( )( ) 3cos ,3 ,4r t t sent t=����

, dar su parametrización en función

de la longitud de arco.

Solución

Justificación: Para parametrizar la hélice por medio de la longitud de

arco, utilizaremos la definición:

( )'

0

( ) ( )t

s t r dα α= ∫�

En este caso, para obtener la derivada de la curva dada, se deriva cada

componente, así:

( )( ) 3cos ,3 ,4r t t sent t=����

( ) ( )'

( ) 3 ,3cos ,4r sent t dtα = −�

Ahora se usa la definición de módulo de un vector:

( ) ( ) ( ) ( )' 2 2 2( ) 3 ,3cos ,4 3 3cos 4r sent t dt sent tα = − = − + +

�

( )'2 2( ) 9 9cos 16r sen t tα = + +

�

( ) ( )'2 2( ) 9 cos 16r sen t tα = + +

�

Como: 2 2cos 1sen t t+ = , se tiene:

( )'

( ) 9 16 25 5r α = + = =�

Sustituyendo en la definición de longitud de arco, se tiene:

[ ] ( )0

( ) 5 5 5 0 50

t ts t d t tα α= = = − =∫

Por lo tanto: 55

ss t t= ∴ =

Finalmente la hélice parametrizada según la longitud de arco es:

4( ) 3cos ,3 ,4 3cos ,3 ,

5 5 5 5 5 5

s s s s sr s sen sen s

= =

�����

Respuesta: La curva parametrizada según la longitud de arco es:

4( ) 3cos ,3 ,

5 5 5

s sr s sen s

=

�����

Ejercicio 8

Calcula el área de la superficie de revolución generada por la curva

2r senθ= al rotarla alrededor del eje polar.

Solución

Justificación: La curva 2r senθ= viene dada por la gráfica:

Observa en el grafico que la gráfica de la curva se da en el intervalo

[ ]0,π .

La derivada de la curva 2r senθ= , es: ' 2cosr θ=

Sabemos que la fórmula para calcular la superficie de un sólido en

revolución alrededor del eje polar es:

( )22 '2S rsen r r dβ

α

π θ θ= +∫

Sustituyendo, se tiene:

( ) ( )2 2

0

2 2 2 2cosS sen sen sen dπ

π θ θ θ θ θ= +∫

( )2 2 2 2 2 2

0 0

4 4 4cos 4 4 cosS sen sen d sen sen dπ π

π θ θ θ θ π θ θ θ θ= + = +∫ ∫

Como: 2 2cos 1sen θ θ+ = , se tiene:

2 2 2

0 0 0

4 4 4 2 8S sen d sen d sen dπ π π

π θ θ π θ θ π θ θ= = =∫ ∫ ∫

Usando la identidad: ( )2 1 cos 2

2sen

θθ

−= , se tiene:

( ) ( )( ) ( )0 0 0 0

1 cos 2 88 1 cos 2 4 cos 2

2 2S d d d d

π π π πθ ππ θ θ θ π θ θ θ −

= = − = − ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )( ) 22 02 2 0 0

4 4 0 4 0 402 2 2 2 2

sensen senS

πθ ππ θ π π π π π

= − = − − + = − − + =

Respuesta: 24S π=

Ejercicio 9

Calcular el área de una superficie engendrada por el giro alrededor del

eje y, del segmento de parábola 2y x= , que yace entre 1x = y 2x = .

Solución

Justificación: para graficar el segmento parabólico 2y x= se calculan las

ordenadas de cada abscisa, es decir: Par 1x = , se tiene, ( )21 1 1,1y = = → y

para 2x = , se tiene, ( )22 4 2,4y = = → .

Al hacer girar esta curva alrededor del eje ye, se obtiene:

Ahora bien, para calcular el área de la superficie en revolución, podemos

usar la fórmula:

( )2'2 1d

c

S x x dyπ= +∫

En este caso: 2 ' 1

2y x x y x

y= → = → = , por lo tanto:

24

1

12 1

2S y dy

yπ

= +

∫

4 4 4 4

1 1 1 1

4 1 4 11 4 12 1 2 2 2

4 4 4 2

y yyS y dy y dy y dy y dy

y y y yπ π π π+ + += + = = =

∫ ∫ ∫ ∫

2S yπ=4 1

2

y

y

+4 4 4

1 1 1

24 1 4 1

2dy y dy y dy

π π= + = +∫ ∫ ∫

Con el cambio de variable:

1 311 3 32 2

2 2 24 1 1 1 1 1 1 2 1

4 1 . . .1 34 4 4 4 4 4 3 612 2

u y u uy dy udu u du u u

du dy

+= +→ + = = = = = = = +∫ ∫ ∫

Devolviendo el cambio:

( )3

21

4 1 . 4 16

y dy y+ = +∫

Evaluando la integral:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 33 3 32 22 2 2

44 1 4 4 1 4 1 1 16 1 4 1

16 6 6S y

π π π = + = + − + = + − +

( ) ( )3 3

2 217 56

Sπ = −

Respuesta: ( ) ( )3 3

2 217 56

Sπ = −

Ejercicio 10

Calcula el área encerrada por la curva 1r senθ= − .

Solución

Justificación: En este caso, necesitamos deducir la fórmula para calcular

el área de la región en coordenadas polares:

Para ello se toma un diferencial de área polar que destaque en azul, tal

como muestra la figura inmediata anterior, y como sabemos que el área de un

sector circular de radio R y ángulo central θ es: 2

2

RA

θ=

Por lo tanto, si aproximamos a un segmento circular el diferencial de

área polar, destacado en verde, se tiene:

2

2

r ddA

θ=

Si sumamos todos los subrectángulos típicos polares, se tiene

finalmente que:

21

2A r d

β

α

θ= ∫

En nuestro caso, nos piden calcular el área encerrada por: 1r senθ= −

cuyo gráfico es:

La curva esta graficada de [ ]0,2π , por lo tanto el área viene dada por:

( )2

2

0

11

2A sen d

π

θ θ= −∫

( )2 2 2 2

2 2

0 0 0 0

1 11 2 2

2 2A sen sen d d sen d sen d

π π π π

θ θ θ θ θ θ θ θ

= − + = − +

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2 2

0 0 0

1 cos 2 cos 21 12 cos 2cos

2 2 2 2 2

dA d d

π π πθ θθθ θ θ θ θ θ −

= − − + = + + −

∫ ∫ ∫

( ) 221 12cos .

02 2 2 2

senA

πθθθ θ

= + + −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 001 2 1 12 2cos 2 0 2cos 0 .

2 2 2 2 2 2 2

sen senA

πππ π

= + + − − − − +

( ) ( ) [ ]1 1 0 1 0 12 2 1 . 0 2 1 0 . 2 2 0 2 0 0

2 2 2 2 2 2A π π π π = + + − − − − + = + + − − − +

13 2

2A π= + 0 2− − [ ]1 3

0 0 32 2

ππ − + = =

Respuesta: 3

2A

π= .

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Calcula la longitud de la curva dada en coordenadas polares

2 2cosr θ= + .

Ejercicio 2

Calcula la longitud de la curva dada por las ecuaciones paramétricas:

3t1,1 t 2 y

2 t 3 x 2

2

≤≤

−=+=

.

Ejercicio 3

Encuentra el área de la superficie generada por la rotación de la curva

dada por las ecuaciones paramétricas: x = t, y = 2 – t2 , 0 ≤ t ≤ 2 , alrededor

del eje OY.

Ejercicio 4

Calcula el área de la región acotada por la gráfica de r = 2 + cosθ y por

las rectas θ = 0 y θ = 2π

.

Ejercicio 5

Calcula la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica por

las ecuaciones: π≤≤

−=−=

t0cont2sentsen2y

t2t2x coscos

Ejercicio 6

Calcula la longitud de arco de la función F(t) = ( et, et sen t, et cos t ) con

π≤≤ 2t0 .

Ejercicio 7

Calcula la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica por:

x(t) = t2 , y(t) = )3t(3

t 2 − entre los puntos de intersección de la curva y el eje x.

Ejercicio 8

Calcule el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva

C alrededor del eje 0X, donde C es el menor de los arcos de la circunferencia

x2 + y2 = 25 entre los puntos (3,4) y (5,0).

Ejercicio 9

Calcule el área encerrada por las curvas x = 6 cos t, y = 3 sen t.

Ejercicio 10

Calcula el área encerrada por la curva 1 cosr θ= + .