ejercicios detallados del obj 8 mat ii 179

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Capitulo II Matemática II (179) Objetivo 8. Analizar problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemáticos o demostrar proposiciones o teoremas mediante el método de inducción. Ejercicio 1 Demostrar utilizando el principio de Inducción Matemática que: 1 1 2 3 5 (4 1)5 () 1.5 2.5 3.5 ... .5 , 16 n n n Pn n n + + - = + + + + = Solución Justificación: El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el método de inducción, es como sigue. Llamaremos n P a la proposición, donde n es el rango. 1) Se demostrará que 0 P , el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta. 2) Se demostrará que si se asume n P como cierta para algún n k = (como hipótesis inductiva), entonces 1 k P lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n (relación de inducción). Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que n P es cierto para todo natural n . La inducción puede empezar por otro término distinto a 0 P , digamos por 0 n P . Entonces n P será válido a partir del número 0 n , es decir, para todo natural 0 n n . Retomando el ejercicio planteado, se tiene: 1) Demostremos que para 1 n = es verdadera la proposición. ( 11 1 5 (4 1 1)5 (1) 1.5 16 P + - = = 2 5 (4 1)5 5 16 + - =

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Capitulo II

Matemática II (179)

Objetivo 8. Analizar problemas que puedan ser resueltos mediante

procedimientos matemáticos o demostrar proposiciones o teoremas mediante

el método de inducción.

Ejercicio 1

Demostrar utilizando el principio de Inducción Matemática que:

11 2 3 5 (4 1)5

( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5 , 16

nn n

P n n n++ −= + + + + = ∈ℕ

Solución

Justificación: El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera

mediante el método de inducción, es como sigue. Llamaremos nP a la

proposición, donde n es el rango.

1) Se demostrará que 0P , el primer valor que cumple la proposición

(iniciación de la inducción), es cierta.

2) Se demostrará que si se asume nP como cierta para algún n k= (como

hipótesis inductiva), entonces 1kP + lo es también, y esto sin condición sobre el

entero natural n (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que nP es cierto para

todo natural n .

La inducción puede empezar por otro término distinto a 0P , digamos por

0nP . Entonces nP será válido a partir del número 0n , es decir, para todo natural

0n n≥ .

Retomando el ejercicio planteado, se tiene:

1) Demostremos que para 1n = es verdadera la proposición.

( ) 1 11 5 (4 1 1)5

(1) 1.516

P++ −

= =

25 (4 1)55

16

+ −=

5 (3)25 5 75 805 5

16 16 16

+ += = = =

Por lo tanto (1)P es verdadera.

2) Supongamos que para n k= es verdadera.

11 2 3 5 (4 1)5

( ) 1.5 2.5 3.5 ... .516

kk k

P k k++ −= + + + + =

(Hipótesis inductiva)

Entonces debemos demostrar que siendo ( )P k verdadera entonces

( 1)P k + es verdadera, es decir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 111 2 3

211 2 3

211 2 3

5 (4 1 1)51 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5

16

5 (4 4 1)5 1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5

16

5 (4 3)5 1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5

16

kk

kk

kk

kP k k

kP k k

kP k k

+ ++

++

++

+ + −+ = + + + + + =

+ + −+ = + + + + + =

+ ++ = + + + + + =

A partir de este momento, dependiendo de la destreza que tengas,

obtenida claro está de haber resuelto varios ejercicios, procederemos a bien

desarrollar ( 1)P k + hasta llegar a la hipótesis de inducción que sabemos es

verdadera, ó partir de la hipótesis de inducción ( )P k y llegar a la tesis o

conclusión ( 1)P k + . La manera de resolver el problema es variable, y depende,

repito, de la destreza que tengas de haber resuelto distintas situaciones. En

Matemática esta situación ocurre en distintos temas como cálculo de límites de

funciones, saber si una serie es convergente o divergente, etc.

En este caso partiré de la hipótesis inductiva:

11 2 3 5 (4 1)5

( ) 1.5 2.5 3.5 ... .516

kk k

P k k++ −= + + + + =

Si sumamos en ambos miembros 1( 1).5kk ++ , no se alterara la igualdad,

entonces:

1 11

1 2 3 ( 1).55 (4 1)5

1 ( 1).5 2.5 3.5 ... .1

5.56

k kk

k k kk

k+

+ +++ −+ + + + + = + +

Desarrollando la parte derecha de la igualdad se tiene:

2 11 1

1 3 5 (4 1).5 16.( 1).51.5 2.5 3.5 ... ( 1)..5

165k

k kk k

k kk +

+ +

+ + − + ++ + + + + =

[ ] 12 11 3 ( 1).

5 (4 1) 16.( 1) .51.5 2.5 3.5 ... .5

15

6k

kk k

k kk +

++ − + ++ + + + + =+

Se extrajo 15k + factor común, continuando:

[ ] 12 11 3 ( 1

5 4 1 16 16 .51.5 2.5 3.5 ... .5 ).5

16k

kk k k

kk +++ − + +

+ + ++ + + =

11 2 3 1 5 (20 15).5

1.5 2.5 3.5 ... .5 ( ) 516

1 .k

kk kk

k+

++ + ++ + + + + =

Pero: ( ) ( ) ( )520 15 .4 .3 4 35 5k k k+ = + = +

Así:

11 2 3 1 5 (4 3). .5

1.5 2.5 3.5 ... .5 1).516

5(

kk k k

k k+

++ + ++ + + + + =

Recuerda que si multiplicamos términos de igual base, se coloca la

misma base y se suman los exponentes: 1 21 15 5 5.5k k k+ + ++ ==

Entonces:

1 22

13 5 (4 3).1.5 2.5 3.5 .. ( 1)

5. .5 .5

16

kkk k

kk +

++ ++ + + + + + =

Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que

era:

( ) ( ) ( )2

11 2 3 5 (4 3)51 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5

16

kk k

P k k+

+ + ++ = + + + + + =

Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son

iguales, por lo tanto ( 1)P k + es verdadera, en consecuencia: QUEDA

DEMOSTRADO QUE:

11 2 3 5 (4 1)5

( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5 , 16

nn n

P n n n++ −= + + + + = ∈ℕ

Respuesta: La proposición ( )P n planteada es verdadera.

Ejercicio 2

Demuestre por el principio de inducción que para todo número natural

2n ≥ se cumple que:

1 1 1 1...

1 2 3n

n+ + + + ≥

Solución

Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

1) Demostremos que para 2n = es verdadera la proposición.

1 12

1 2+ ≥

1 21 2

2 2+ ≥

11 2 2

2+ ≥

2 22

2

+ ≥

2 2 2 2+ ≥

2 2 2 2≥ −

2 2≥

Por lo tanto (2)P es verdadera, porque 2 es mayor que 2 1,41≈ .

2) Supongamos que para n k= es verdadera.

1 1 1 1...

1 2 3k

k+ + + + ≥

(Hipótesis inductiva)

Entonces debemos demostrar que siendo ( )P k verdadera entonces

( 1)P k + es verdadera, es decir,

1 1 1 1 1... 1

1 2 3 1k

k k+ + + + + ≥ +

+

En este caso partiré de la hipótesis inductiva:

1 1 1 1...

1 2 3k

k+ + + + ≥

Si sumamos en ambos miembros 1

1k +, no se alterara la igualdad,

entonces:

1 1 1 1...

1 2 3

1 1

1 1k

k k k+ + + + + ≥ +

+ +

Desarrollando la parte derecha de la igualdad se tiene:

1 1 1 1..

1 1

2 3 1.

1

1

1

k

k

k

k k

++ + + + + +≥+ +

Recuerda que cuando multiplicamos raíces de igual índice, se pueden

multiplicar los radicandos y dejar la misma raíz, es decir: ( )11 kkk k= ++

Entonces:

( )1 1 1 1..

1 1

1 2 1.

13

1

k

k

k

k

k

++ + + + +

+≥

+ +

Luego:

21 1 1 1..

1 1

1 1.

12 3 k

k

k

k

k

++ + + + + +≥+ +

Ahora fíjate, debemos buscar una desigualdad que nos garantice

generar en la parte derecha de esta última desigualdad la expresión 1k + ,

porque es la que esta presente en la tesis o conclusión:

1 1 1 1 1... 1

1 2 3 1k

k k+ + + + + ≥ +

+

Observa que 2 1 1k k k+ + > + , esto nos lleva a concluir que:

21 1 1 1.

1 1..

1 2 1

1

1 13

k k k

k kk k+++ + + + + > +

+≥

++

Racionalizando la expresión:

( ) ( )( )

( )( )

( )2

11 1 1 1 1 11 1

11 11 11.

.k

kk k k k k kk

kk k

k

k k

++ + + + + ++ + = =+

= =++++ + ( )

1

1

k

k

+

+1k= +

Sabiendo el resultado de esta racionalización, podemos escribir:

21 11 1 1 1. 1..

1 3 1 12 k

kk

k k

k ++ +

+ + ≥ ++ + > ++

Ó

1 1 1 1...

1 2

1

131

kk

k+ + + + ≥

+++

Comparando ésta ultima desigualdad obtenida con la tesis o conclusión,

que era:

1 1 1 1 1... 1

1 2 3 1k

k k+ + + + + ≥ +

+

Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son

iguales, por lo tanto ( 1)P k + es verdadera, en consecuencia: QUEDA

DEMOSTRADO QUE:

1 1 1 1... , 2

1 2 3n n

n+ + + + ≥ ≥

Respuesta: La proposición ( )P n planteada es verdadera.

Ejercicio 3

Si se quieren distribuir 32 actividades a 9 estudiantes prestadores del

Servicio Comunitario en la UNA. Determinar cuántas actividades recibirá al

menos un estudiante?

Solución

Justificación: En este caso, aplicamos el principio de las casillas, el cual

nos dice que si 1n + objetos son colocados en n cajas, entonces al menos una

caja contiene dos o más objetos.

Es decir, que si debemos repartir las 32 actividades entre 9 estudiantes,

cada estudiante recibirá al menos 32

39

≈ actividades, de manera que ningún

estudiante queda sin actividad, y además todos ellos quedan con las

actividades en forma equilibrada.

Respuesta: Un estudiante recibirá ll menos 3 actividades.

Ejercicio 4

Una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de la Universidad

Nacional Abierta en relación a cómo tienen acceso a las tecnologías de la

información y la comunicación (TICs) reveló lo siguiente:

a) 125 estudiantes lo hacen desde el computador personal en sus casas

b) 360 estudiantes utilizan las Salas Alma Mater que funcionan en los Centros

Locales de la Universidad.

c) 75 estudiantes respondieron que lo hacen desde sus casas y desde la

Universidad.

¿Cuántos fueron los estudiantes entrevistados?

Solución

Justificación: En este caso aplicaremos la teoría de conjuntos,

nombraremos el conjunto A como aquellos estudiantes que usan las (TICs)

desde el computador personal en sus casas, y al conjunto B como aquellos

estudiantes que usan las (TICs) desde las Salas de Alma Mater que funcionan

en los Centros Locales de la Universidad.

Siendo así las cosas, es evidente que el conjunto de estudiantes que

respondieron que usan las (TICs) desde sus casas Y desde la Universidad, es

la intersección de los conjuntos A y B ya definidos.

El número de estudiantes encuestados, es el número de estudiantes que

contestaron que usan las (TICs) desde sus casas O desde la Universidad, es

decir, el número de estudiantes en la unión de los conjuntos A y B .

Como estos conjuntos son finitos, podemos escribir la fórmula:

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩

Donde:

( ) :n A B∪ Número de estudiantes en la unión de los conjuntos A y B , o

lo que es igual, número de estudiantes encuestados.

( ) :n A Número de estudiantes en el conjunto A , en este caso: 125.

( ) :n B Número de estudiantes en el conjunto B , en este caso: 360.

( ) :n A B∩ Número de estudiantes en la intersección de los conjuntos A

y B , en este caso: 75.

Sustituyendo estos datos en la fórmula, se tiene:

( ) 125 360 75 410n A B∪ = + − =

Respuesta: Los estudiantes entrevistados fueron: 410.

Ejercicio 5

Demuestre que: 1 2 11 2 2 ... 2 2 1n n++ + + + = −

Solución

Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

1) Demostremos que para 0n = es verdadera la proposición.

1 2 1

0 0 1

1

1 2 2 ... 2 2 1

2 2 1

1 2 1

1 2 1

1 1

n n+

+

+ + + + = −= −= −= −

=

Por lo tanto (0)P es verdadera.

2) Supongamos que para n k= es verdadera.

1 2 11 2 2 ... 2 2 1k k ++ + + + = −

(Hipótesis inductiva)

Entonces debemos demostrar que siendo ( )P k verdadera entonces

( 1)P k + es verdadera, es decir,

1 2 1 1 1

1 2 1 2

1 2 2 ... 2 2 1

1 2 2 ... 2 2 1

k k

k k

+ + +

+ +

+ + + + = −+ + + + = −

En este caso partiré de la hipótesis inductiva: 1 2 11 2 2 ... 2 2 1k k ++ + + + = −

Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad de la hipótesis

inductiva por 2 , se tiene:

( ) ( )1 2 11 2 2 ...2 22 2 1k k ++ + + + = −

Desarrollando: 1 2 11 2 2 ...2. 2. 2. 2. 1. 22 .22k k ++ + + + = −

2 3 1 1 12 2 2 2 2... 2k k+ + ++ + + + = −

Como: 2 1 1= − − , se tiene: 2 3 1 22 2 2 ... 2 2 11k k+ ++ + + = − −+

Pasando el 1− rojo, al lado izquierdo de la igualdad se tiene: 2 3 1 22 2 2 ... 2 11 2k k+ ++ + + =+ + −

Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que

era: 1 2 1 21 2 2 ... 2 2 1k k+ ++ + + + = −

Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son

iguales, por lo tanto ( 1)P k + es verdadera, en consecuencia: QUEDA

DEMOSTRADO QUE: 1 2 11 2 2 ... 2 2 1n n++ + + + = −

Respuesta: La proposición ( )P n planteada es verdadera.

Ejercicio 6

Usando el principio de inducción matemática. Demostrar que: 23 1n n< − para 4n ≥

Solución

Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

1) Demostremos que para 4n = es verdadera la proposición.

( ) ( )223 1 3 4 4 1 12 16 1 12 15n n< − → < − → < − → <

Por lo tanto (4)P es verdadera.

2) Supongamos que para n k= es verdadera.

23 1k k< −

(Hipótesis inductiva)

Entonces debemos demostrar que siendo ( )P k verdadera entonces

( 1)P k + es verdadera, es decir,

( ) ( )23 1 1 1k k+ < + −

23 3 2 1 1k k k+ < + + −

23 3 2k k k+ < +

En este caso partiré de la hipótesis inductiva: 23 1k k< −

Si sumamos a ambos miembros 3 , se tiene:

23 3 31k k+ < − +

23 23k k+ < +

Pero: 2 22 2k k k+ < +

Porque 2 2k< , entonces:

2 23 2 23k k k k+ < + < +

Por el axioma de transición de las desigualdades, es decir:

c cba a< < ⇒ <

Así: 2 2 22 23 3 323k kk k kk k< < ⇒ <++ ++ +

Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que

era: 23 3 2k k k+ < +

Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son

iguales, por lo tanto ( 1)P k + es verdadera, en consecuencia: QUEDA

DEMOSTRADO QUE:

23 1n n< − para 4n ≥

Respuesta: La proposición ( )P n planteada es verdadera.

Ejercicio 7

Usar el método de inducción para demostrar que:

11 2 3 1

1 3 3 ... 32

nn

+ −+ + + + =

Para todo número natural 1n ≥ .

Solución

Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

1) Demostremos que para 1n = es verdadera la proposición.

1 1 21 3 1 3 1 9 1 8

1 3 1 3 4 4 42 2 2 2

+ − − −+ = → + = → = → = =

Por lo tanto (1)P es verdadera.

2) Supongamos que para n k= es verdadera.

11 2 3 1

1 3 3 ... 32

kk

+ −+ + + + =

(Hipótesis inductiva)

Entonces debemos demostrar que siendo ( )P k verdadera entonces

( 1)P k + es verdadera, es decir,

1 11 2 1

21 2 1

3 11 3 3 ... 3

2

3 1 1 3 3 ...3 3

2

kk

kk k

+ ++

++

−+ + + + =

−+ + + + =

En este caso partiré de la hipótesis inductiva:

11 2 3 1

1 3 3 ... 32

kk

+ −+ + + + =

Si sumamos a ambos miembros 13k + , se tiene:

2 1 11

1 3 11 3 3 ... 3

23 3k

kk k+ +

+ −+ + + + + = +

Desarrollando la parte derecha de la igualdad se tiene:

12 11

13 1 2.1 3 3 ... 3

2

33kk

kk ++

+ − ++ + + + + =

Sumando los términos semejantes destacados en rojo:

11 2 1

13 2.311 3 3 ... 3 3

2k k

k k+

+ +− ++ + + + + =

11

1 2 11 3 3 ...

33

.33

2k

kk

++ −+ + + + + =

Como se tiene el producto de términos de igual base: 13.3k + , se coloca la

misma base y se suman los exponentes: 1 1 1 1 1 23.3 3 .3 3 3k k k k+ + + + += = =

Por lo tanto tenemos:

21 2 1 1

1 3 3 ...3

3 32

kk

k+

+ −+ + + + + =

Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que

era:

21 2 1 3 1

1 3 3 ...3 32

kk k

++ −+ + + + =

Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son

iguales, por lo tanto ( 1)P k + es verdadera, en consecuencia: QUEDA

DEMOSTRADO QUE:

11 2 3 1

1 3 3 ... 32

nn

+ −+ + + + =

Para todo número natural 1n ≥ .

Respuesta: La proposición ( )P n planteada es verdadera.

Ejercicio 8

Demuestre usando el principio de inducción que si a y b son números

reales tales que 0 a b< < entonces 1n n

a a

b b

+ <

para todo número entero

0n ≥ .

Solución

Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

1) Demostremos que para 0n = es verdadera la proposición.

1 0 1 0

1n n

a a a a aa b

b b b b b

+ + < → < → < → <

Por lo tanto (0)P es verdadera.

2) Supongamos que para n k= es verdadera.

1k ka a

b b

+ <

(Hipótesis inductiva)

Entonces debemos demostrar que siendo ( )P k verdadera entonces

( 1)P k + es verdadera, es decir,

1 1 1

2 1

k k

k k

a a

b b

a a

b b

+ + +

+ +

<

<

En este caso partiré de la tesis o conclusión:

2 1k ka a

b b

+ + <

Por un lado se tiene:

2 1k ka a a

b b b

+ + =

Por hipótesis de inducción: 1k k

a a

b b

+ <

, entonces:

2 1 kk ka a a

b b b

a a

b b

+ + =

<

Claro está que:

1k ka a a

b b b

+ =

Por lo tanto:

2 1 1k kka a a

b b

a

bb

+ + + =

<

Es decir: 12 kk

a

b

a

b

++ <

gracias a la hipótesis de inducción, en

consecuencia: QUEDA DEMOSTRADO QUE:

1n na a

b b

+ <

Para todo número natural 0n ≥ .

Respuesta: La proposición ( )P n planteada es verdadera.

Ejercicio 9

Usa el método de inducción para demostrar que:

( ) ( ) ( )( )1 0 2 1 ... 1n n n− + − + + − − = , para todo número natural 1n ≥ .

Solución

Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

1) Demostremos que para 1n = es verdadera la proposición.

( )( ) ( )1 1 1 1 1 0 1− − = → − =

Por lo tanto (1)P es verdadera.

2) Supongamos que para n k= es verdadera.

( ) ( ) ( )( )1 0 2 1 ... 1k k k− + − + + − − =

(Hipótesis inductiva)

Entonces debemos demostrar que siendo ( )P k verdadera entonces

( 1)P k + es verdadera, es decir,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 0 2 1 ... 1 1 1 1 1k k k k k− + − + + − − + + − + − = +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 0 2 1 ... 1 1 1k k k k k− + − + + − − + + − = +

En este caso partiré de la tesis o conclusión:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 0 2 1 ... 1 1 1k k k k k− + − + + − − + + − = +

Al cancelarse las k se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 0 2 1 ... 11k k− + − + + − − + 1k= +

Simplificando el 1 a ambos lados de la igualdad, se obtiene:

( ) ( ) ( )( )1 0 2 1 ... 1k k k− + − + + − − =

Que es la hipótesis de inducción, en consecuencia: QUEDA DEMOSTRADO

QUE:

( ) ( ) ( )( )1 0 2 1 ... 1n n n− + − + + − − = , para todo número natural 1n ≥

Respuesta: La proposición ( )P n planteada es verdadera.

Ejercicio 10

Un árbol proyecta una sombra de 9,76m y al mismo tiempo, un palo que

mide 0,92m proyecta una sombra de 0,67m ¿qué altura tiene el árbol?

Solución

Justificación: Ilustrando la situación, se tiene:

Antes de responder la pregunta, recordemos el Teorema de Euclides: si

dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales.

Entonces: los rayos paralelos del sol forman el mismo ángulo con el árbol y con

el palo. Puesto que ambos triángulos son rectángulos y tienen un ángulo agudo

de la misma medida, entonces los triángulos son semejantes. Los lados

correspondientes son proporcionales. Así, si denotamos " "x la altura del árbol,

podremos escribir:

9,7

0,

6

2 69 0, 7

x =

Despejando equis, se tiene:

( ) ( ) 8,979213,31

09,76

0, 0,

9

6

,

67

2

7x = = =

Respuesta: La altura del árbol es 13,31m

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Demostrar por inducción la siguiente propiedad:

( ) ( ) ( )1

1 21

3

n

j

n n nj j

=

+ ++ =∑

Ejercicio 2

Demostrar por inducción la siguiente propiedad:

( )1

2 1n

k

k k k=

= +∑

Ejercicio 3

Demostrar por inducción la siguiente fórmula:

( )223 3 3 3 1

1 2 3 ...4

n nn

++ + + + =

Explique cada paso del procedimiento.

Ejercicio 4

Haciendo uso del principio de inducción completa, demostrar que:

110 10 1 3n n•

+ + + =

3•

significa, múltiplo de 3

Ejercicio 5

Encontrar el término general de la sucesión na cuyos primeros cinco

términos son:

m3

2

+ ,

m5

4

+ ,

m7

8

+ ,

m9

16

+ ,

m11

32

+,

donde m es el tercer dígito de su número de cédula de identidad.

Ejercicio 6

Sea { }: 1f − →ℝ ℝ la función definida por: ( )1

xf x

x=

+. Usa el método

de inducción para demostrar que la derivada enésima de f está dada por la

relación:

( ) ( )( )

1

1

!( ) 1

1

nn

n

nf x

x

++= −

+

Ejercicio 7

Considera la sucesión { } 1n na

≥ , cuyo enésimo término es el primer número

de la enésima fila de la siguiente tabla:

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 18 19 20 21 22

. . . . . . . . . . . . . . . . .

De esta manera tenemos que: 1 1a = , 2 2a = , 3 4a = , 5 7a = , …

Construye una sucesión por recurrencia que describa a la sucesión { } 1n na

≥.

Ejercicio 8

Sea :f →ℝ ℝ la función definida por: 2( ) xf x x e= . Usa el método de

inducción para demostrar que la derivada enésima de f está dada por la

relación:

( ) ( )2( ) 2 ( 1) , 1n xf x x nx n n e n= + + − ≥

Ejercicio 9

Usa el método de inducción para demostrar que: 2 3 4 3n n+ ≥ − para todo número natural 2n ≥

Ejercicio 10

Dada la siguiente lista escríbela como una sucesión { } 1n na

≥. Sabiendo

que sus términos siguen una cierta regla de formación.

{ }6,11,16, 21, 26,31,...