Capitulo II

Matemática II (178)

Objetivo 8. Resolver problemas donde estén involucrados conceptos

relativos a costo, ingreso, ingreso marginal y elasticidad de la demanda,

análisis marginal y técnicas para la construcción de la gráfica de una función.

Ejercicio 1

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de

bolívares la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo

que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el costo por unidad

es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que

obtiene el heladero? ¿Cuál será ese beneficio?

Solución

Justificación: En este caso nos piden que maximicemos la función

beneficio, dada ciertas condiciones, por ello, en este tipo de problemas,

conseguiré la(s) función(es) condición(es) y luego la función a optimizar.

Función(es) condición(es)

Como la función a optimizar es el beneficio, y ya sabemos que el

beneficio viene dado por la diferencia entre el ingreso y el costo, es decir:

B I C= −

Deberemos construir para éste problemas las funciones ingresos y

costo.

Sabemos que el ingreso es el producto del precio de venta por la

cantidad de productos vendidos, si llamamos x al número de céntimos en los

que aumenta el precio, se tendrá que el nuevo precio de venta es: 50 x+ y con

la frase del problema: Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos

helados menos al día, se tendrá que venderá la cantidad de 200 2x− , por lo

tanto, bajo estas condiciones el ingreso del heladero será:

(50 )(200 2 )I x x= + −

Por otro lado se tiene que el gasto de obtener 200 2x− unidades es de

40 céntimos, por lo tanto el costo de esa cantidad vendida es:

40(200 2 )C x= −

Función a optimizar

Sabemos que B I C= − , sustituyendo las funciones condiciones

encontradas, se tiene:

(50 )(200 2 ) 40(200 2 )I x xC xB = − = − −+ −

A ésta función le buscaremos los puntos críticos, pero primero la

desarrollaremos, para mayor facilidad a la hora de derivarla, así:

210000 100 200 2 8000 80B x x x x= − + − − +

22 180 2000B x x= − + +

Ahora buscamos la primera derivada:

' 4 180B x= − +

Ahora igualamos a cero ésta primera derivada para hallar los puntos

críticos:

' 1804 180 0 4 180 45

4B x x x= − + = → = ∴ = =

Ahora debemos verificar que éste punto crítico es un máximo, para ello

aplicaremos el criterio de la segunda derivada.

Cálculo de la segunda derivada:

' ''4 180 4B x B= − + → = −

Al evaluar esta derivada en el punto crítico 45x = , se tiene:

'' 4 445

Bx

= − = −=

Por lo tanto el punto 45x = es un máximo porque la segunda derivada al

evaluarla es negativa.

Por lo tanto el precio de venta que maximiza el beneficio es:

50 50 45 95x+ = + = , y para este precio se tendrá el beneficio:

( ) ( ) ( )245 2 45 180 45 2000 4050 8100 2000 6050B = − + + = − + + =

Se tiene un beneficio de 6050 céntimos, ó 60,50 bolívares.

Respuesta: El precio de venta es: 90. El beneficio es

( )45 6050 B centimos= .

Ejercicio 2

Una empresa de taxis que recién inicia operaciones en Venezuela está

promocionando la renta por hora de los mismos en el perímetro de la ciudad. El

propietario dispone de 40 carros y puede rentarlos a 100 Bs c/u. Sin embargo,

observa que puede incrementar en 5 Bs el precio por cada vez que renta un

carro menos. Determine:

a.- La función Ingreso

b- ¿Cuántos carros debe rentar para obtener un máximo ingreso?

Solución

Justificación: En este caso analizaremos cada una de las preguntas.

a) Primero, daremos nombre con variables a la situación planteada, por

un lado tenemos el número de carros rentados, que llamaremos q y el número

de carros no rentados p , ya que nos hablan de carros rentados y no rentados.

Ahora bien, para determinar el ingreso de la renta de un taxi en una hora,

tenemos lo siguiente: Contamos con 40 taxis y la renta de un taxi es de Bs. 100

y se menciona que la renta de un taxi no rentado tiene un incremento de Bs. 5.

De esta manera es claro que el ingreso por p taxis no rentados es de 5p y el

ingreso por la renta de un taxi es de: 100 5p+ . El ingreso total se obtiene,

multiplicando en ingreso de la renta de un taxi, por el número de taxis a rentar,

es decir:

( )100 5I p q= +

Como el número de taxis rentados más el número de taxis sin restar es

40, por ser el total de taxis, se tiene:

40p q+ =

Despejando el número de carros no rentados: 40p q= −

Se tiene que la función ingreso es:

( )( )100 5 40I q q= + −

Desarrollando:

( ) ( ) 2100 200 5 300 5 300 5I q q q q q q= + − = − = −

En fin, se tiene que la función ingreso es: 25 300I q q= − +

b) Como nos piden maximizar el ingreso, deberemos buscarle a ésta

función los puntos críticos, así:

Derivando: ' 10 300I q= − +

Ahora igualamos a cero ésta primera derivada para hallar los puntos

críticos:

' 30010 300 0 10 300 30

10I q q q= − + = → = ∴ = =

Ahora debemos verificar que éste punto crítico es un máximo, para ello

aplicaremos el criterio de la segunda derivada.

Cálculo de la segunda derivada:

' ''10 300 10I q I= − + → = −

Al evaluar esta derivada en el punto crítico 30q = , se tiene:

'' 10 1030

Iq

= − = −=

Por lo tanto el punto 30q = es un máximo porque la segunda derivada al

evaluarla es negativa.

Como se rentan 30 taxis, de 40p q= − se tiene que no se rentan 10

taxis, porque 40 30 10p = − = .

El ingreso de rentar un taxi es: 100 5 100 5(10) 100 50 150p+ = + = + =

Respuesta:

a) La función Ingreso es: 25 300I q q= − +

b) Se deben rentar 30 taxis para obtener un ingreso máximo.

Ejercicio 3

Supongamos que el costo de producción en bolívares de un número x

de material instruccional para una asignatura de la Universidad Nacional

Abierta está dado por la función: 2( ) 100000 100C x x= + .

Determinar:

a) La función costo marginal

b) El costo marginal en el nivel correspondiente a 3000 unidades de producción

Solución

Justificación:

a) El costo marginal, no es más que la primera derivada, por lo tanto la

función costo marginal es: '( ) 200C x x=

b) El costo marginal para el nivel de 3000x = , es simplemente sustituir

este valor en la función costo marginal ya obtenida, así:

( )'(3000) 200 3000 600000C = =

Respuesta:

a) La función costo marginal es: '( ) 200C x x= .

b) El costo marginal para el nivel 3000x = es: Bs. 600000

Ejercicio 4

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es

210 0,01 700p x x+ + = y la función de costo es 2( ) 1,000 0,01C x x= + . Calcular la

función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para:

a) 100x = unidades b) 10p = Bs/unidad.

Solución

Justificación: La utilidad marginal, es simplemente la derivada de la

función utilidad, que no es más que la diferencia entre el ingreso y el costo, es

decir:

U I C= −

En este caso, ya tenemos la función costo, a saber:

2( ) 1,000 0,01C x x= + , pero debemos calcular la función ingreso que es:

I px=

De la ecuación de la demanda para el producto de un fabricante

despejaremos p , así:

22 2 700 0,01

10 0,01 700 10 700 0,0110

x xp x x p x x p

− −+ + = → = − − ∴ =

Podemos simplificar esta expresión, así:

2 22700 0,01 700 0,01

70 0,1 0,00110 10 10 10

x x x xp x x

− −= = − − = − −

Sustituyendo en la ecuación de ingreso, se tiene:

( )2

2 3

70 0,1 0,001

70 0,1 0,001

I px x x x

I x x x

= = − −

= − −

Por lo tanto la función utilidad es:

( )2 3 270 0,1 0,001 1,000 0,01U I C x x x x= − = − − − +

2 3 2

3 2

70 0,1 0,001 1,000 0,01

0,001 0,11 70 1,000

U x x x x

U x x x

= − − − −= − − + −

Entonces al derivar una vez esta función, se tiene la utilidad marginal:

' 20,003 0,22 70U x x= − − +

Para el apartado “a” en 100x = , se tiene que la utilidad marginal es:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

2'

'

'

'

'

100 0,003 100 0,22 100 70

100 0,003 10000 22 70

100 30 22 70

100 52 70

100 18

U

U

U

U

U

= − − +

= − − +

= − − +

= − +

=

Para el apartado “b” donde 10p = , debemos sustituir este valor en la

función: 210 0,01 700p x x+ + = , y despeja equis de ésta, para luego sustituirla

en la función utilidad marginal, así:

( ) 210 10 0,01 700x x+ + =

2100 0,01 700x x+ + =

20,01 100 700 0x x+ + − =

20,01 600 0x x+ − =

Hemos llegado a una ecuación de segundo grado, que resolveremos con

la fórmula de la resolvente de una ecuación de segundo grado, así:

22 4

00, 61012

00x x xc

a

b b a− ± −+ =− → =

( )( )( )

( )( )( )

2

1

2

4

2

1 5 6(100)300

25

1 5 4(10

0,01 0,04

20,01 0,02100

2100

2 21

600

00 100 2100

6001 1 1 1 1 1 24

1 2

0)200

2

5 1

x

x

x

x

− ± − − ± − ±= = = =

− − − = = = −− ± − ± = = = − + = = =

−

+ +

Descartamos el valor negativo porque no tiene sentido vender 300−

unidades, por lo tanto evaluaremos nuestra función utilidad marginal en

200x = , así:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

2'

'

'

'

100 0,003 200 0,22 200 70

100 0,003 40000 44 70

100 120 26

100 94

U

U

U

U

= − − +

= − − +

= − +

= −

Respuesta:

a) ( )' 100 18U = Bs/unidad adicional.

b) ( )' 100 94U = − Bs/unidad extra.

Ejercicio 5

La ecuación de la demanda 50300q

p e−

= donde 0q ≥ . Si la función de

costo es: ( ) ( )350 n 1 400c q L q= + + donde 0q ≥ , obtenga:

1) La función de beneficio

2) La función de beneficio medio

3) La función de beneficio marginal

4) La tasa con la cual varía el beneficio en un nivel de producción.

Solución

Justificación:

1) la función beneficio es: B I C= − , y la función ingreso es: I pq= , por

lo tanto la función ingreso es: 50300q

I qe−

= , por ende la función beneficio es:

( )( )

( )

50

50

300 350 n 1 400

300 350 n 1 400

q

q

B qe L q

B qe L q

−

−

= − + +

= − + −

2) La función de beneficio medio viene expresada por el cociente:

BB

q=

Sustituyendo la función beneficio ya encontrada en “1”, se tiene que la

función beneficio medio es:

( ) ( )50 50300 350 n 1 400 350 n 1 400300

300

q q

qe L q L qB qeB

q q q q

qB

− −

− + − + += = = −

=50

q

e

q

−

( ) ( )50

350 n 1 400 350 n 1 400300

qL q L qe

q q

−+ + + +− = −

3) La función beneficio marginal es la primera derivada de la función

beneficio, así:

( ) ( ) ( )

( )

( )

' ''' 50 50

'' 50 50

' 50 50

' 50 50

1300 300 350

1

1 300 300 350

50 1

1 1 300 300 350

50 1

350 6 300

1

q q

q q

q q

q q

qB q e q e

q

qB q e e

q

B q e eq

B qe eq

− −

− −

− −

− −

+= + − +

− = + − +

− = + − +

= − + − +

4) La tasa con la cual varía el beneficio en un nivel de producción “ a ” no

es más que el beneficio marginal evaluado para éste nivel ( x a= ), así:

( )' 50 50 3506 300

1

a a

B a ae ea

− − = − + − +

Respuesta:

1) ( )50300 350 n 1 400q

B qe L q−

= − + −

2) ( )

50350 n 1 400

300q L q

B eq

− + += −

3) ' 50 50 3506 300

1

q q

B qe eq

− − = − + − +

4) ( )' 50 50 3506 300

1

a a

B a ae ea

− − = − + − +

Ejercicio 6

Un empresario ha determinado que el costo total C de funcionamiento

de su fábrica es: 2( ) 0,5 15 5000C q q q= + + donde q es el número de unidades

fabricadas. ¿A qué nivel de producción es mínimo el costo medio por unidad?

Solución

Justificación: Primero determinamos la función costo medio:

2 2

2

( ) 0,5 15 5000 0,5 15 5000( )

0,5 ( )

C q q q q qC q

q q q q q

qC q

+ += = = + +

=q

15q+

q

5000 50000,5 15q

q q+ = + +

Para determinar donde el costo medio es mínimo, igualamos a cero la

primera derivada del costo medio, así:

( )'

2

5000( ) 0,5C q

q= −

22 2 2

2 2

5000 0,5 5000 50000,5 0 0 0,5 5000 0 0,5 5000

0,5

qq q q

q q

−− = → = → − = → = → =

2 10000 10000 100q q q= → = ∴ =

Ahora debemos determinar si este punto ciertamente es mínimo, para

ello utilizare el criterio de la segunda derivada.

La segunda derivada es:

( ) ( )' ''

2 3

5000 10000( ) 0,5 ( )C q C q

q q= − → =

Evaluando esta segunda derivada en el punto crítico: 100q = , se tiene:

( )''

3 3

10000 10000(100) 0

100C

q= = >

Como la segunda derivada evaluada en el punto crítico 100q = es

POSITIVA se concluye que el punto crítico 100q = es un mínimo.

Respuesta: En el nivel de producción 100q = , es mínimo el costo medio

por unidad.

Ejercicio 7

La función de la demanda de un cierto bien en un mercado de

competencia está dada por la relación 2400 0,5q p= − . Determina si la

demanda es elástica, inelástica o ni lo uno ni lo otro para 20p = .

Solución

Justificación: Primero, en el siguiente gráfico explicaré el significado de

la demanda elástica:

La elasticidad se determina a través de la ecuación:

'p dq pq

q dp qη

= =

i

Se observa que necesitamos la derivada 'q , por lo tanto:

( )2 '400 0,5 2 0,5q p q p p= − → = − = −

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad, se tiene:

( )2400 0,5

p dq pp

q dp pη

= = − − i

2

2400 0,5

p

pη −=

−

Para 20p = , se tiene:

( )( ) ( )

2

2

20 400 400 4002

400 0,5 400 400 200 200400 0,5 20η

− − − −= = = = = −− −−

Ahora extraemos el valor absoluto de la elasticidad, así: 2 2η = − = .

Finalmente comparamos este valor absoluto con la unidad, en este caso:

2 1η = >

Por lo tanto concluimos que la demanda para 20p = es elástica.

Respuesta: La demanda para 20p = es elástica.

Ejercicio 8

Si la función de beneficio asociada a cierto bien viene expresada por: 3

2

10000( ) ( 1) 0B q Ln q q

q= + >

Determinar:

a. La función de beneficio marginal

b. El beneficio medio correspondiente a q = 40. Solución

Justificación:

a) La función beneficio marginal, no es más que la derivada de la función

beneficio, así:

( ) ( )'

'3 ' 3 32 2 2

10000 10000 10000( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)B q Ln q B q Ln q Ln q

q q q

= + → = + + +

3 '' 3

3 2 3

20000 10000 ( 1)( ) ( 1)

( 1)

qB q Ln q

q q q

+= − + + +

2' 3

3 2 3

20000 10000 3( ) ( 1)

( 1)

qB q Ln q

q q q

= − + + +

' 33 2

20000 10000( ) ( 1)B q Ln q

q q= − + +

23q

3( 1)q

+

' 33 3

20000 30000( ) ( 1)

1B q Ln q

q q= − + +

+

b) La función beneficio medio viene dada por:

32

33

10000( 1)

( ) 10000( ) ( 1)

Ln qB q q

B q Ln qq q q

+= = = +

Por lo tanto, el beneficio medio para 40q = , es:

33

10000 10000 10(40) (40 1) (64000 1) (64001)

40 64000 64B Ln Ln Ln= + = + = =

5(40) (64001) 1,73

32B Ln= ≈

Respuesta:

a) ' 33 3

20000 30000( ) ( 1)

1B q Ln q

q q= − + +

+

b) (40) 1,73B ≈

Ejercicio 9

La ecuación de demanda de un cierto bien es 400 2p q= − , mientras que

la función costo es 2( ) 20 2000C q q q= + + , 0q ≥ . Determina:

a. El costo mínimo.

b. La función Ingreso.

c. La función beneficio.

Solución

Justificación:

a) Para calcular el costo mínimo, debemos derivar una vez e igualar a

cero para obtener los puntos críticos, así: '( ) 2 20C q q= +

Sabemos que 0q ≥ , por lo tanto se observa claramente que

'( ) 2 20C q q= + , siempre es positiva, por lo tanto la función siempre es creciente,

así, función 2( ) 20 2000C q q q= + + alcanza su menor valor en 0q = , y éste vale:

( )2(0) 0 20 0 2000 2000C = + + =

b) La función ingreso viene dada por: .I p q= , y como sabemos que

400 2p q= − se tiene:

( ) 2400 2 . 400 2I q q q q= − = −

c) La función beneficio viene dada por:

B I C= −

Por lo tanto:

( )2 2

2 2

2

400 2 20 2000

400 2 20 2000

3 380 2000

B q q q q

B q q q q

B q q

= − − + +

= − − − −= − + −

Respuesta:

a) min 2000C =

b) 2400 2I q q= −

c) 23 380 2000B q q= − + −

Ejercicio 10

Suponga que la demanda q y el precio p de cierto artículo se relacionan

mediante la ecuación lineal 240 2q p= − si 0 120p≤ ≤ .

a) Exprese la elasticidad de la demanda como una función de p

b) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es 50p = . Explique su

respuesta.

Solución

Justificación: La elasticidad viene dada por la expresión:

'p dq pq

q dp qη

= =

i

Así:

a) Calculando la derivada de q , se tiene:

'240 2 2q p q= − → = −

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad:

( ) ( )2 2 2

2240 2 240 2 2 120

p p p

p p pη − − −= − = = =

− − − −i

2

p

− ( ) 120120

p

pp=

−−

b) Cuando 50p = , la elasticidad tiene el valor:

( ) 50 50 550 0,71

50 120 70 7η = = = − ≈ −

− −

Es decir, cuando el precio es igual a 50, un incremento del 1 por ciento

en el precio, generará una disminución de 0; 71 por ciento en la demanda

aproximadamente.

Respuesta:

a) 120

p

pη =

−

b) Para 50p = la elasticidad es: ( )50 0,71η ≈ − .

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

La función de costo asociada a la producción de cierto bien es una

función cuadrática. El costo fijo de producción es: 207360 u.m. En el nivel de

producción correspondiente a 72 unidades se igualan el costo marginal y el

costo medio. Además la tasa de crecimiento del costo en el origen es de: 48

u.m/u.p. Obtenga:

a) La función de costo.

b) La velocidad instantánea de crecimiento del costo en el nivel: 75q =

unidades.

c) La función de costo medio.

d) La función de costo marginal.

Ejercicio 2

La ecuación de la demande de un cierto bien es:

( ) 500 0,5 0 q 650

1800 1,5 650 q 1000

qP q

q

+ ≤ ≤= − < ≤

El costo fijo de producción es 2600. Cuando se producen 650 unidades

el costo medio de producción es .30 .u m

u p . La velocidad instantánea con la

cual crece el costo es la misma independientemente del nivel de producción.

Obtenga:

a) La función de beneficio

b) El beneficio medio en 1000q =

Ejercicio 3

La ecuación de la demanda de un cierto bien es p = 80q2 − 0.1q Si la

función de costo es C(q) = q Ln(q+1) + 50, q ≥ 0. Obtén las funciones de Costo

y Beneficio Marginal.

Ejercicio 4

Si la ecuación de la demanda de un cierto producto es

p = q2 − 150q + 7 200, q ≥ 20. Determina el número de unidades q a producir

para que el ingreso sea mínimo.

Ejercicio 5

Si la ecuación de la oferta de un cierto bien es: p = 3 3 110s2s ++ , s ≥ 0.

Determina la elasticidad de la oferta.

Ejercicio 6

Suponga que el costo en bolívares fuerte de producir x lavadoras es

C(x)=2000 + 100x - 0,1x2.

Calcular:

a) El costo promedio por máquina al producir las primeras 100

lavadoras.

b) El costo marginal cuando se producen 100 lavadoras.

Ejercicio 7

La función costo asociada a la producción de cierto bien es una función

cuadrática. El costo fijo de producción es 10 500 u.m. En el nivel de producción

correspondiente a 10 unidades son iguales el costo marginal y el costo medio.

Además la tasa de crecimiento del costo en q = 0 es igual 100 u.m./u.p.

A continuación hacemos algunas afirmaciones relacionadas con el

enunciado. Indica con una V o una F en el espacio correspondiente, según que

la afirmación hecha sea verdadera o falsa, respectivamente.

a. La función costo viene dada por la expresión: C(q) = 1050q2 + 100q+1050

_____

b. La función costo marginal está dada por la expresión:

C ′(x) = 2100q + 100 _____

La función costo medio está dada por la expresión: C (x) = 105q +

100 +q

10500 _____

Ejercicio 8

Si la función de costo medio de un determinado bien es la función:

)q(C = 80q + 21q2 + 20150 q1/2 q ≥ 0

Calcula la función de costo marginal.

Ejercicio 9

El ingreso medio de cierto bien viene expresado de la siguiente manera:

(q) I = 9

1q1/3 +

3

28

1q

1

+ q ≥ 0.

Obtén:

a. La función de ingreso

b. El ingreso medio en q = 27.

Ejercicio 10

El costo de un bien está dado por la relación:

C(q) = 200q3 − 15q2 + 1500q, 0 ≤ q ≤ 5 000. Si la ecuación de la demanda es

p = 5(q − 200)2, determina el número de unidades q a producir para que el

beneficio medio sea mínimo.