ejercicios detallados del obj 8 mat iii 733
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Capitulo III
Matemática III (733)
Objetivo 8. Aplicar el calculo diferencial e integral de una función
vectorial en la solución de problemas específicos.
Ejercicio 1
Si la trayectoria de una partícula está dada por la función vectorial
( )( ) , 2 ,t tF t e t e−= determina la velocidad, la aceleración y las componentes
tangencial y normal de la aceleración.
Solución
Justificación: Antes de comenzar este objetivo, es importante que tengas
algunos conceptos de funciones vectoriales de variable real muy claros, para
que puedas comprender y aprehender con los ejercicios resueltos y que
enfrentaras al final de esta guía. Estos conceptos son:
1) A medida que la función vectorial ( )F t , toma valores
1 2 3 4 5 6 7, , , , , , ,...t t t t t t t la función vectorial genera vectores, cuyos extremos
(punta de la flecha) delinea una curva:
2) La primera derivada de la función vectorial de posición ( )F t es la
velocidad, es decir: '( ) ( )V t F t= y la aceleración es la segunda derivada de la
función vectorial posición o la primera derivada de la velocidad, es decir:
' ''( ) ( ) ( )A t V t F t= = . La rapidez es el módulo del vector velocidad: '( ) ( )V t F t= .
La longitud de la curva de una función vectorial es la integral de la
rapidez:
'( ) ( )b b
a a
L V t dt F t dt= =∫ ∫
Por ejemplo, una función de una variable real ( )f x , se puede
parametrizar y escribir como la siguiente función vectorial:
( ) ( )F t ti f t j= +� �
El vector velocidad es: '( ) 1 ( )V t i f t j= +� �
Su rapidez es: ( ) ( )2 22 ' '( ) 1 ( ) 1 ( )V t f t f t dt= + = +
Por lo tanto:
( )2'1 ( )b
a
L f t dt= +∫
3) Si la función vectorial ( )F t es derivable y de longitud constante, se
tiene que el producto escalar es nulo: '( ). ( ) 0F t F t =
Recuerda que el producto escalar del mismo vector es igual a su modulo
elevado al cuadrado, es decir:
2( ). ( ) ( ) tanF t F t F t cons te= =
Y si derivamos en ambos miembros, se tiene la derivada de un producto
a la izquierda y la derivada de una constante a la derecha, que es cero:
' ' ' ' 0( ). ( ) ( ). ( ) 0 2 ( ). ( ) 0 ( ). ( ) 0
2F t F t F t F t F t F t F t F t+ = → = ∴ = =
Y como sabemos, dado que el producto escalar es nulo, entonces ( )F t
y '( )F t son perpendiculares.
4) Sabemos que la velocidad, '( )F t es tangente a la trayectoria, se
tomara el vector unitario de este vector tangente y lo llamaremos:
'
'
( )( )
( )
F tT t
F t=
5) Sabemos de “3” que '( ). ( ) 0T t T t = , por lo tanto el vector '( )T t es un
vector perpendicular al vector tangente unitario ( )T t .
6) Dado el punto “5” se tiene que el vector normal unitario es:
'
'
( )( )
( )
T tN t
T t=
7) Los vectores ( )T t y ( )N t forman un plano llamado osculador en un
punto dado de la curva.
8) El vector aceleración se puede escribir:
' '( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t V t T t V t T t= +
De “6” se tiene: ' '( ) ( ) ( )T t T t N t=
Por lo tanto la aceleración se puede escribir:
' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t V t T t V t T t N t= +
De esta ecuación se desprende que la componente tangencial de la
aceleración es: '( ) ( ) ( )tA t V t T t=
Y la componente de la aceleración normal es:
'( ) ( ) ( )nA t V t T t=
9) La función vectorial se puede reparametrizar con la longitud de arco
s , siendo así las cosas, podemos escribir:
''
1 11 . ( )
( )
dT dT dT dt dt dT dTT t
dsds ds ds dt ds dt dt s tdt
= = = = =i i i i
Sabiendo que '( ) ( )s t V t= y que ' '( ) ( ) ( )T t T t N t= , se tiene:
'
' '( )1 1
. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
T tdTT t T t N t N t
ds V t V t V t= = =
Este vector obtenido '( )
( )( )
T tdTN t
ds V t= , es el vector curvatura y se denota
con la letra griega kappa:
'( )( ) ( )
( )
T tt N t
V tκ =
Y el número ' '
'
( ) ( )( )
( ) ( )
T t T tt
V t F tκ = = es la curvatura.
10) Fíjate que la curvatura mide la variación de la dirección del vector
tangente unitario, observa:
d
ds
θκ =
11) La aceleración también se puede escribir así:
Como: ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t V t T t V t T t N t= +
De: ' '
'
( ) ( )( )
( ) ( )
T t T tt
V t F tκ = = , se tiene: '( ) ( ) ( )T t t V tκ=
Entonces:
( )2'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t V t T t t V t N tκ= +
De aquí se desprende que:
( )3
( ) ( )( )
( )
A t V tt
V tκ
×=
Esto es así porque:
'( ) ( )V t F t=
Y como la velocidad es paralela al vector tangente unitario ( )T t , se
tiene:
' '( ) ( ) ( )F t F t T t=
Derivando a ambos miembros obtenemos:
( ) ( )'''' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t F t T t F t T t= +
Multiplicando vectorialmente a la izquierda por '( )F t , se tiene:
( ) ( )''' '' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t F t F t F t T t F t T t × = × +
Pero ' '( ) ( ) ( )F t F t T t= , entonces:
( ) ( )''' '' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t F t F t T t F t T t F t T t × = × +
( ) ( )2 '' '' ' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t F t F t T t T t F t F t T t T t× = × + ×
Recuerda que si los vectores son paralelos:
( ) ( ) 0T t T t× =
Entonces:
( )2' '' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t F t F t T t T t× = ×
Sustituyendo '( ) ( )F t V t= y ''( ) ( )F t A t= , se tiene:
2 '( ) ( ) ( ) ( ) ( )V t A t V t T t T t× = ×
Tomando modulo en ambos miembros:
2 '( ) ( ) ( ) ( ) ( )V t A t V t T t T t× = ×
2 '( ) ( ) ( ) ( ) ( )V t A t V t T t T t× = ×
Sabemos por definición de producto vectorial que: a b a b senα× =� � � �
,
donde alfa es el ángulo entre a�
y b�
y como ( )T t y '( )T t son perpendiculares
porque de “3” se sabe '( ) ( ) 0T t T t× = , se tiene:
2 '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 90ºV t A t V t T t T t sen× =
Como ( ) 1T t = , por ser vector unitario y 90º 1sen = , se tiene:
2 '( ) ( ) ( ) ( )V t A t V t T t× =
Dividiendo en ambos miembros por 3
( )V t se tiene:
2 '
3 3
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
V t T tV t A t
V t V t
×=
2
3
( )( ) ( )
( )
V tV t A t
V t
×=
'
3
( )
( )
T t
V t
'
3
( )( ) ( )
( )( )
T tV t A t
V tV t
×=
'
3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
T t V t A t
V t V t
×=
Como '( )
( )( )
T tt
V tκ = , se tiene finalmente:
( )3
( ) ( )( )
( )
V t A tt
V tκ
×=
12) El radio de curvatura de una curva es el reciproco de la curvatura:
1
( )tρ
κ=
13) El vector ( )B t es llamado vector binormal y se obtiene del producto
vectorial:
( ) ( ) ( )B t T t N t= ×
También se puede escribir:
' ''
' ''
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
F t F t V t A tB t
V t A tF t F t
× ×= =××
14) Los 3 vectores ( )T t , ( )N t y ( )B t forman el llamado triedro de
Frenet.
15) Los vectores ( )N t y ( )B t forman un plano llamado normal en un
punto dado de la curva.
16) Los vectores ( )T t y ( )B t forman un plano llamado rectificante en un
punto dado de la curva.
Observa los 3 planos dibujados en un mismo gráfico en un punto
cualquiera de la curva C:
17) Una curva en el espacio se tuerce de 2 maneras. Por un lado se
curva dentro del plano osculador, y por otra se curva hacia afuera de dicho
plano. La primera forma viene descrita por la curvatura, que ya comente en los
puntos 9, 10 y 11, es decir, la razón de cambio de dirección del vector tangente
unitario ( )T t . La segunda forma de curvarse viene dada por la razón de cambio
de dirección del vector binormal B T N= × , es decir, por el vector dB
ds, donde s
es el parámetro, longitud de arco. Cuando la curva es plana, este vector no
varia, es decir, 0dB
ds= .
Puesto que B , es de longitud constante, 1B = , el vector dB
ds es
perpendicular a B . Por otra parte, 0B T =i , derivando esta última desigualdad
se tiene:
0 0dB dT
B T T Bds ds
= → + =i i i
Pero: ( ) ( )0 0dT
B B kN k B Nds
= = → =i i i , por lo que: 0dB
Tds
=i , por lo
tanto dB
ds también es perpendicular a T .
Como dB
ds es perpendicular a B y a T , podemos concluir que
dB
ds es
paralelo a N , es decir, es un vector proporcional a N , entonces podemos
escribir:
dBN
dsτ= −
La constante τ recibe el nombre de segunda curvatura o torsión.
Obtengamos una fórmula para calcular la torsión, sin necesidad de
reparametrizar con respecto al arco s :
El vector aceleración A ó ''( )F t se encuentra en el plano osculador, por
lo tanto es perpendicular al vector B , por lo que podemos escribir: ''. ( ) 0B F t =
Derivando esta expresión con respecto al tiempo, se obtiene:
( )''
''( )
( ) 0d F t dB
B F tdt dt
+ =i i
De aquí:
( )''
''( )
( )d F t dB
B F tdt dt
= −i i
( )''
''( )
( )d F t dB ds
B F tdt ds dt
= −
i i
( ) ( )''
''( )
( ) . .d F t
B F t N vdt
τ=i i
De: '( )
( )( )
T tt
V tκ = se tiene: '( ) ( ) ( )T t V t tκ= y como: '( ) ( ) ( )nA t V t T t= ,
se tiene: 2nA kv= , donde:
( )
( )
t
v V t
κ κ = =
, y como: ''( )F t N es la componente normal
de la aceleración, es decir: '' 2( ) nF t N A vκ= = , se tiene:
( ) ( )''
'' '' 2 3( )
( ) . . . ( ) . . . .d F t
B F t N v F t N v v v vdt
τ τ τ κ τ κ= = = =i i
Además se sabe que la curvatura es:
( )' ''
3 3
( ) ( )( ) ( )( )
( )
F t F tV t A tt
vV tκ
××= =
Por lo tanto:
( )'' ' ''
3
3
( ) ( ) ( ). .
d F t F t F tB v
dt vτ κ τ
×= =i
3v ' ''( ) ( )F t F tτ= ×
Despejando la torsión, se tiene:
'''
' ''
( )
( ) ( )
F t B
F t F tτ =
×i
Teniendo en cuenta que: ' ''
' ''
( ) ( )( )
( ) ( )
F t F tB t
F t F t
×=×
, se tiene finalmente la
fórmula de la torsión:
''' ''' ' '' ''' ' ''
2' '' ' '' ' '' ' ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F t B F t F t F t F t F t F t
F t F t F t F t F t F t F t F tτ × ×= = =
× × × ×
i ii
Observa que en la parte superior, obtuvimos el producto mixto de tres
vectores, por lo tanto podemos escribir:
( )' '' '''
2' ''
( ). ( ). ( )( )
( ) ( )
F t F t F tt
F t F tτ =
×, ' ''( ) ( ) 0F t F t× ≠
Retomando nuestro ejercicio, se tiene la siguiente situación:
Observa que el vector velocidad es tangente a la curva, esto ya lo
sabíamos, y por ello el vector velocidad es la primera derivada de la función, en
nuestro caso:
( )'( ) ( ) , 2,t tV t F t e e−= = −
También sabemos que la aceleración es la primera derivada de la
velocidad o segunda derivada de la función de posición, así:
( )'( ) ( ) ,0,t tA t V t e e−= =
De “8” se tiene: ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t V t T t V t T t N t= +
Componente tangencial de la aceleración:
'( ) ( ) ( )tA t V t T t=
Componente de la aceleración normal:
'( ) ( ) ( )nA t V t T t=
Por lo tanto, para obtener la componente tangencial, solo necesitamos el
vector tangente unitario, a saber:
'
'
( )( )
( )
F tT t
F t=
Como: ( )'( ) , 2,t tF t e e−= − , se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )22 2' 2 2( ) 2 2t t t tF t e e e e− −= + + − = + +
Por lo tanto:
( ) ( ) ( )'
' 2 2 2 2 2 2
( ) 2( ) , ,
( ) 2 2 2
t t
t t t t t t
F t e eT t
F t e e e e e e
−
− − −
= = − + + + + + +
Entonces la componente tangencial de la aceleración es:
'( ) ( ) ( )tA t V t T t=
( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
2( ) ,0, , ,
2 2 2
t tt t
tt t t t t t
e eA t e e
e e e e e e
−−
− − −
= − + + + + + +
( ) ( )( ) ( )
( )2 2 2 2 2 2
.. 0. 2( )
2 2 2
t tt t
tt t t t t t
e ee eA t
e e e e e e
− −
− − −= + −
+ + + + + +
( )2 2
2 2( )
2
t t
tt t
e eA t
e e
−
−
−=+ +
Otra manera de encontrar esta componente tangencial de la aceleración,
se observa claramente en la figura, donde la componente tangencial de la
aceleración es la proyección del vector aceleración en la dirección del vector
velocidad.
¿Cómo proyecto un vector sobre otro?
A través de la siguiente fórmula que indica la proyección del vector A��
en
la dirección del vector B��
:
( )B BA U U�� ���� ����i
Donde BU����
es el vector unitario del vector B��
. Esta proyección se ilustra a
continuación:
Ya sabes como proyectar un vector sobre otro, apliquemos esto a
nuestro ejercicio, proyectando el vector aceleración ( ),0,t ta e e−= sobre el
vector velocidad ( ), 2,t tV e e−= − para obtener la componente tangencial del
vector aceleración.
Esta proyección quedaría:
( )t V Va a U U=� ���� ����i
Calculamos primero el unitario del vector velocidad:
Módulo del vector velocidad: ( ) ( ) ( )22 22t tV e e−= + + −
2 22t tV e e−= + +
Luego el unitario del vector velocidad es:
( )2 2 2 2 2 2 2 2
1 2, 2, , ,
2 2 2 2
t tt t
V t t t t t t t t
V e eU e e
V e e e e e e e e
−−
− − − −
−= = − = + + + + + + + +
������
��
Después de haber obtenido el vector unitario de la velocidad, calculamos
el producto escalar, para obtener la componente tangencial de la aceleración:
( )2 2 2 2 2 2
2,0, , ,
2 2 2
t tt t
V t t t t t t
e ea U e e
e e e e e e
−−
− − −
−= + + + + + +
� ����i i
2 2 2 2 2 2
. 0. 2 .
2 2 2
t t t t
V t t t t t t
e e e ea U
e e e e e e
− −
− − −
−= + ++ + + + + +
� ����i
2 2
2 2 2 2 2 2
0
2 2 2
t t
V t t t t t t
e ea U
e e e e e e
−
− − −= + −
+ + + + + +
� ����i
2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
t t t t
V t t t t t t
e e e ea U
e e e e e e
− −
− − −
−= − =+ + + + + +
� ����i
Si nos piden el vector tangencial del vector aceleración, sería:
( )2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2, ,
2 2 2 2
t t t t
t V V t t t t t t t t
e e e ea a U U
e e e e e e e e
− −
− − − −
− −= = + + + + + + + +
� ���� ����i
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
2, ,
2 2 2
t t t t t t t t
tt t t t t t
e e e e e e e ea
e e e e e e
− − − −
− − −
− − − −
= + + + + + +
( ) ( )2 2 33
2 2 2 2 2 2
2, ,
2 2 2
t t t tt t
t t t t t t t
e e e ee ea
e e e e e e
− −−
− − −
− − −− = + + + + + +
Ahora calculemos la componente normal de la aceleración:
'( ) ( ) ( )nA t V t T t=
Sabemos que 2 2( ) 2t tV t e e−= + + , calculemos '( )T t y su modulo:
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
2( ) , ,
2 2 2
t t
t t t t t t
e eT t
e e e e e e
−
− − −
= − + + + + + +
Derivando componente por componente:
( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
'' '2 2 2 2
22 2 2 2
2 2
2 2
t t t t t tt
t t t t
e e e e e ee
e e e e
− −
− −
+ + − + + = + + + +
( )( )( )
( )( )
''2 2
22 2 2 2
2 22
2 2
t t
t t t t
e e
e e e e
−
− −
− + + = + + + +
( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
'' '2 2 2 2
22 2 2 2
2 2
2 2
t t t t t tt
t t t t
e e e e e ee
e e e e
− − − −−
− −
+ + − + + − = − + + + +
Continuando con cada componente:
( )
( ) ( )( )
( )
'2 2
2 2'
2 2
2 22 2
22
2 2
22
t t
t t t t
t tt
t tt t
e ee e e e
e ee
e ee e
−−
−
−−
+ + + + − + + =
+ + + +
( )
( )( )
( )
'2 2
'2 2
2 22 2
22
2 22
22
t t
t
t t
t tt t
e ee
e e
e ee e
−
−
−−
+ + − + + =
+ + + +
( )
( ) ( )( )
( )
'2 2
2 2'
2 2
2 22 2
22
2 2
22
t t
t t t t
t tt
t tt t
e ee e e e
e ee
e ee e
−− − −
−−
−−
+ + − + + − + + − = −
+ + + +
Ahora:
( )
( )( )
( )
2 22 2
'2 2
2 22 2
2 22
2 2
22
t tt t t t
t tt
t tt t
e ee e e e
e ee
e ee e
−−
−
−−
− + + − + + =
+ + + +
( )( )
( )
2 2
'2 2
2 22 2
2 22
2 22
22
t tt
t t
t tt t
e ee
e e
e ee e
−
−
−−
− − + + =
+ + + +
( )
( )( )
( )
2 22 2
'2 2
2 22 2
2 22
2 2
22
t tt t t t
t tt
t tt t
e ee e e e
e ee
e ee e
−− − −
−−
−−
− − + + − + + − = −
+ + + +
Luego:
( )
( )2 2'
2 2
22
2
t t t t
t
t t
e e e e
e
e e
−
−
+ + − = + +
( )2 2
2
t te e−−
( )( )
2 2
2 2
2
2
t t
t t
e e
e e
−
−
+ +
+ +
( )
'
2 2
22
2
2
t
t t
e
e e−
− = + +
( )2 2
2
t te e−−
( )( )
2 2
2 2
2
2
t t
t t
e e
e e
−
−
+ +
+ +
( )
( )2 2'
2 2
22
2
t t t t
t
t t
e e e e
e
e e
− − −
−
−
− + + − − = − + +
( )2 2
2
t te e−−
( )( )
2 2
2 2
2
2
t t
t t
e e
e e
−
−
+ +
+ +
Ahora:
( )
( ) ( )( )
( )
3
2 2'
2 2
2 22 2
22
22
t t
t t t
t tt
t tt t
e ee e e
e ee
e ee e
−−
−
−−
− + + − + + =
+ + + +
( )( )
( ) ( )
'3
12 22 2 2 2 2
22
2 2 2
t t
t tt t t t
e e
e e e e e e
−
−− −
− − = + + + + + +
( )
( ) ( )( )
( )
3
2 2'
2 2
2 22 2
22
22
t t
t t t
t tt
t tt t
e ee e e
e ee
e ee e
−− −
−−
−−
− − + + − + + − = −
+ + + +
Luego:
( )
( ) ( )( )
( )
2 2 3
'2 2
2 22 2
2
2
22
t t t t t
t tt
t tt t
e e e e e
e ee
e ee e
− −
−
−−
+ + − − + + =
+ + + +
( )( )
( )
'3
12 2 12 2 2
22
2 2
t t
t tt t
e e
e e e e
−
− +−
− − = + + + +
( )
( ) ( )( )
( )
2 2 3
'2 2
2 22 2
2
2
22
t t t t t
t tt
t tt t
e e e e e
e ee
e ee e
− − −
−−
−−
+ + + − + + − =
+ + + +
Ahora:
( )
( )( )
( )
3 3
'2 2
2 22 2
2
2
22
t t t t t
t tt
t tt t
e e e e e
e ee
e ee e
− −
−
−−
+ + − − + + =
+ + + +
( )( )
( )
'3
32 22 2 2
22
2 2
t t
t tt t
e e
e e e e
−
−−
− − = + + + +
( )
( )( )
( )
3 3
'2 2
2 22 2
2
2
22
t t t t t
t tt
t tt t
e e e e e
e ee
e ee e
− − −
−−
−−
+ + + − + + − =
+ + + +
Luego:
( )
'3
2 22
tt
t t
ee
e e−
= + +
32 t t te e e−+ + − ( )( ) ( )
12 2 2 2 22 2
t
t t t t
e
e e e e
−
− −
−
+ + + +
( )( )
( )
'3
32 2 2 2
22
2 2
t t
t t t t
e e
e e e e
−
− −
− − = + + + +
( )
'3
2 2
2
2
t t tt
t t
e e ee
e e
− −−
−
+ + − = + +
3t te e−+ −( )( ) ( )
12 2 2 2 22 2t t t te e e e− − + + + +
Ahora:
( ) ( )
'
12 2 12 2 2
2 2
2 2
t t t
t tt t
e e e
e e e e
−
− +−
+ = + + + +
( )( )
( )
'3
32 2 2 2
22
2 2
t t
t t t t
e e
e e e e
−
− −
− − = + + + +
( ) ( )
'
12 2 12 2 2
2 2
2 2
t t t
t tt t
e e e
e e e e
− −
− +−
+ − = + + + +
Finalmente:
( )( )
( )( )
( )( )
3
'
3 3 32 2 2 2 2 2
2 2 2( ) , ,
2 2 2
t t t t t t
t t t t t t
e e e e e eT t
e e e e e e
− − −
− − −
+ − − +
= + + + + + +
Su modulo es:
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 2
3
'
3 3 32 2 2 2 2 2
2 2 2( )
2 2 2
t t t t t t
t t t t t t
e e e e e eT t
e e e e e e
− − −
− − −
+ − − +
= + + + + + + + +
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 23
'3 3 3
2 2 2 2 2 2
4 2 4( )
2 2 2
t t t t t t
t t t t t t
e e e e e eT t
e e e e e e
− − −
− − −
+ − + = + + + + + + + +
( ) ( ) ( )( )
2 2 23
'3
2 2
4 2 4( )
2
t t t t t t
t t
e e e e e eT t
e e
− − −
−
+ + − + + = + +
( ) ( )( )
26 3 2
'3
2 2
2 2 8( )
2
t t t t t t
t t
e e e e e eT t
e e
− − −
−
− + + + = + +
( ) ( )( )
6 2 2 2 2
'3
2 2
2 4 2 8 2( )
2
t t t t t t t
t t
e e e e e e eT t
e e
− − −
−
− + + + + = + +
( ) ( )( )
6 2 2 2 2
'3
2 2
2 4 2 8 16 8( )
2
t t t t t
t t
e e e e eT t
e e
− −
−
− + + + + = + +
( )6 2 2
'3
2 2
2 4 10 16( )
2
t t t
t t
e e eT t
e e
−
−
+ + + =
+ +
La componente normal es:
'( ) ( ) ( )nA t V t T t=
( )6 2 2
2 23
2 2
2 4 10 16( ) 2
2
t t tt t
nt t
e e eA t e e
e e
−−
−
+ + + = + +
+ +
( )( )( )
2 2 6 2 2
32 2
2 2 4 10 16( )
2
t t t t t
nt t
e e e e eA t
e e
− −
−
+ + + + + = + +
( ) ( ) ( )( )
4 4 2 6 2 2 8 4 2
32 2
2 4 10 16 4 8 20 32 2 4 10 16( )
2
t t t t t t t t t
nt t
e e e e e e e e eA t
e e
− − −
−
+ + + + + + + + + + + = + +
( )8 6 4 2 4 2
32 2
2 4 6 24 10 36 46( )
2
t t t t t t
nt t
e e e e e eA t
e e
− −
−
+ + + + + + =
+ +
Respuesta:
Velocidad: ( ), 2,t tV e e−= −
Aceleración: ( ),0,t ta e e−=
Componente tangencial de la aceleración:
( )2 2
2 2( )
2
t t
tt t
e eA t
e e
−
−
−=+ +
Componente normal de la aceleración:
( )8 6 4 2 4 2
32 2
2 4 6 24 10 36 46( )
2
t t t t t t
nt t
e e e e e eA t
e e
− −
−
+ + + + + + =
+ +
Ejercicio 2
Considere la función vectorial ( ) cos , ,2
tF t t sent
π =
, calcula su
curvatura en el punto 1
1, ,02
−
.
Solución
Justificación: De “9” La curvatura es: '
'
( )( )
( )
T tt
F tκ = . Primero vamos a
buscar el punto 0t t= al cual pertenece el punto 1
1, ,02
−
, así:
cos
2
x t
ty
z sentπ
= =
=
Como la curva pasa por 1
1, ,02
−
, se tiene:
1 cos
1
2 20
t
tt
sent
ππ
− = = → =
=
Verifiquemos si 0t π= satisface las otras ecuaciones:
1 cos
0 sen
π
π
− = =
Si las satisface, luego como 0t π= satisface todas las ecuaciones se
tiene que este es el punto 0t π= , donde calcularemos la curvatura:
De ( ) cos , ,2
tF t t sent
π =
, se tiene:
' 1( ) , ,cos
2F t sent t
π = −
El vector ( )T t es:
'
'
( )( )
( )
F tT t
F t=
Pero:
( )2
2' 2 2 22 2
1 1 1( ) cos cos 1
2 4 4F t sent t sen t t
π π π = − + + = + + = +
Luego:
'
'
2 2 2
1( ) cos2( ) , ,( ) 1 1 1
1 1 14 4 4
F t sent tT t
F tπ
π π π
= = − + + +
'
' 2 2 2
2 2 2
1( ) cos2( ) , ,( ) 4 1 4 1 4 1
4 4 4
F t sent tT t
F tπ
π π ππ π π
= = − + + +
'
' 2 2 2
1( ) cos2( ) , ,( ) 4 1 4 1 4 1
2 2 2
F t sent tT t
F tπ
π π ππ π π
= = − + + +
'
' 2 2 2
12( ) 2 2 cos2( ) , ,
( ) 4 1 4 1 4 1
F t sent tT t
F t
ππ πππ π π
= = − + + +
'
' 2 2 2
( ) 2 1 2 cos( ) , ,
( ) 4 1 4 1 4 1
F t sent tT t
F t
π ππ π π
= = −
+ + +
Ahora calculamos '( )T t :
'
2 2
2 cos 2( ) ,0,
4 1 4 1
t sentT t
π ππ π
= − −
+ +
Calculemos el módulo de este vector:
2 2
'
2 2
2 cos 2( )
4 1 4 1
t sentT t
π ππ π
= − + −
+ +
2 2 2 2 2 2 2 2'
2 2 2
4 cos 4 4 cos 4( )
4 1 4 1 4 1
t sen t t sen tT t
π π π ππ π π
+= + = + + +
( )2 2 2 2'
2 2 2
4 cos 4 2( )
4 1 4 1 4 1
t sen tT t
π π ππ π π
+ = = = + + +
Luego la curvatura en 0t π= es:
22 2
22 2
2
2 2
44 1 4 1( )4 14 1 4 1
4 2
π πππ πκ π
ππ ππ π
+ += = =++ +
Respuesta: 2
2
4( )
4 1
πκ ππ
=+
Ejercicio 3
Calcula la curvatura de la curva C descrita por:
( ) cos , ,2
bF t a t asent t
π =
Solución
Justificación: Sabemos que la curvatura viene dada por:
'( )( )
( )
T tt
V tκ =
En este caso se tiene:
'( ) ( ) , cos ,2
bV t F t asent a t
π = = −
Calculemos el vector tangente unitario:
'
'
( )( )
( )
F tT t
F t=
El modulo de la velocidad es:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2' 2 2 2 22
( ) cos cos2 4
b bF t asent a t a sen t a t
π π = − + + = + +
( ) ( )2 2
' 2 22 2
2 2co( )4 4
s 1b b
sen atF a ttπ π
+ = ++ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2' 2
2 2 2
4 4 4( )
4 4 24
b a b a b a bF t a
π π ππ π ππ
+ + += + = = =
Luego el vector tangente unitario es:
'
' 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) cos 2( ) , ,( ) 4 4 4
2 2 2
bF t asent a t
T tF t a b a b a b
ππ π π
π π π
− = = + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 cos 2( ) , ,4 4 4
basent a t
T ta b a b a b
ππ π ππ π π
−=
+ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 cos( ) , ,
4 4 4
asent a t bT t
a b a b a b
π ππ π π
−= + + +
El vector '( )T t es:
'
2 2 2 2 2 2
2 cos 2( ) , ,0
4 4
a t asentT t
a b a b
π ππ π
= − −
+ +
Luego su modulo es:
2 22 2 2 2 2 2
'2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 cos 2 4 cos 4( )
4 44 4
a t asent a t a sen tT t
a b a ba b a b
π π π ππ ππ π
= − + − = + + ++ +
( )2 22 2 2 2 2 2'
2 2 2 2
2
2
2
2
co44 cos 4(
4 4
s)
aa t a sen tT
tt
a b a b
sen tππ ππ π
+ = =
++ +
2 2 2 2'
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 2( )
4 4
1
4
a a aT t
a b a b a b
π π ππ π π
= = = + + +
Luego la curvatura es:
' 22 2 2
2 2 22 2 2
2( ) 44( )( ) 44
2
aT t aa btV t a ba b
πππκ
πππ
+= = =++
Resolveré el problema de otra manera, para que selecciones la forma
que se te haga más cómodo: Recuerda que tenemos la fórmula:
( )3
( ) ( )( )
( )
V t A tt
V tκ
×=
Observa:
( )' ''( ) ( ) ( ) cos , ,0A t V t F t a t asent= = = − −
Efectuando el producto vectorial:
( ) ( ) cos2
cos 0
i j k
bV t A t asent a t
a t asentπ
× = −
− −
� � �
( )cos( ) ( ) 0. cos 0. . cos . cos
2 2
absent ab tV t A t a t i asent j asent asent a t a t k
π π × = + − − + + +
� � �
( )( )2 2 2cos( ) ( ) cos
2 2
absent ab tV t A t i j a sen t t k
π π × = − + +
� � �
2cos( ) ( )
2 2
absent ab tV t A t i j a k
π π× = − +
� � �
Luego calculamos el módulo de este vector:
( )2 2
22cos( ) ( )
2 2
absent ab tV t A t a
π π × = + − +
2 22 2 4( ) ( ) cos
2 2
ab abV t A t sen t t a
π π × = + +
( )2 2
2 2 4 4( ) ( ) cos2 2
ab abV t A t sen t t a a
π π × = + + = +
Sustituyendo en la fórmula de curvatura, se tiene:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 444
2 2
3 3 332 2 2 2 2 22 2 2
33
44 4( ) ( ) 2
( )( ) 4 44
2 88
a b a b aab aaV t A t
tV t a b a ba b
ππ ππκ
π πππ ππ
+ ++ × = = = = + ++
( ) ( )( )
( )
2 2 2 4
3 2 2 2 23 2 2 2 42
3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
48 48 44( )
4 4 4 4 4
8
a b aa b aa b a
ta b a b a b
ππ ππ ππκ
π π π π π
π
+++= = =
+ + +
( )( )
( )2 2 2 23 2 2 2 2
32 2 2
4 48 4( )
2 4
a b aa b at
a b
π ππ πκ
π π
++= =
+ ( ) 32 2 24 a bπ + ( )
2
22 2 2
4
4
a
a b
π
π=
+
2
2 2 2
4( )
4
at
a b
πκπ
=+
Respuesta: La curvatura en este caso es: 2
2 2 2
4( )
4
at
a b
πκπ
=+
Ejercicio 4
Determina el vector binormal para la curva C de ecuación vectorial:
( )( ) 3cos ,3 ,F t t sent t=
Solución
Justificación: De “13” se tiene que el vector binormal es:
( ) ( ) ( )B t T t N t= × , por lo tanto debemos calcular los vectores unitarios tangente
y normal.
' '
' '
( ) ( )( ) y ( )
( ) ( )
F t T tT t N t
F t T t= =
De ( )( ) 3cos ,3 ,F t t sent t= , se tiene:
( )'( ) 3 ,3cos ,1F t sent t= −
Su modulo es:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2' 2 2( ) 3 3cos 1 9 cos 1 9 1 10F t sent t sent t = − + + = + + = + =
Entonces:
'
'
( ) 3 3 1( ) , cos ,
( ) 10 10 10
F tT t sent t
F t
= = −
Posteriormente de 3 3 1
( ) , cos ,10 10 10
T t sent t = −
, se tiene:
' 3 3( ) cos , ,0
10 10T t t sent
= − −
Su modulo es:
2 2
' 3 3( ) cos
10 10T t t sent
= − + −
( ) ( )2 2' 9 9 9 3( ) cos
10 10 10 10T t t sent = + = = =
Luego el vector normal unitario es:
( )'
'
3 3( ) 010 10( ) cos , , cos , ,0
3 3 3( )10 10 10
T tN t t sent t sent
T t
= = − − = − −
Finalmente el vector binormal es el producto vectorial:
3 3 1( ) ( ) ( ) cos
10 10 10cos 0
i j k
B t T t N t sent t
t sent
= × = −
− −
� � �
2 23 3 cos 3 3( ) 0. cos 0. cos
10 10 10 10 10 10
sent tB t t i sent j sen t t k
− = + − + + +
� � �
( )2 2cos 3 cos 3( ) cos
10 10 10 10 10 10
sent t sent tB t i j sen t t k i j k
= − + + = − +
� � � � � �
( )1( ) , cos ,3
10B t sent t= −
Respuesta: El vector binormal es: ( )1( ) , cos ,3
10B t sent t= −
Ejercicio 5
Considera la función vectorial 3( ) : 0,2
F tπ →
ℝ , definida por:
( )( ) 2 cos , ,F t t sent sent=
Calcula el triedro de Frenet en el punto 4
Fπ
.
Solución
Justificación: De “14” se sabe que los 3 vectores ( )T t , ( )N t y ( )B t
forman el triedro de Frenet, entonces se procederá semejante al ejercicio
inmediato anterior:
' '
' '
( ) ( )( ) , ( ) y ( ) ( ) ( )
( ) ( )
F t T tT t N t B t T t N t
F t T t= = = ×
De ( )( ) 2 cos , ,F t t sent sent= , se tiene:
( )'( ) 2 ,cos ,cosF t sent t t= −
Su modulo es:
( ) ( )2' 2 2 2 2 2 2( ) 2 cos cos 2 2cos 2 cos 2F t sent t t sen t t sen t t= − + + = + = + =
Como se pide en el punto 4
Fπ
, se tiene:
' 2 2 2 2 2 2 2 22 ,cos ,cos 2 , , , , 1, ,
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2F sen
π π π π = − = − = − = − Su modulo es:
( )2 2
2' 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 2
4 2 2 4 4 4F
π + = − + + = + + = + = + =
NOTA: Como el módulo '( )F t no depende de t , puedes obviar el calculo
'
4F
π
y tomar sin problemas que: ' 24
Fπ =
.
Entonces:
'
'
1 2 2 1 2 1 1 2 1 14, , , , , ,
4 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 24
FT
F
ππ
π
= = − = − = −
Posteriormente se tiene:
2 1 1 1 2 1 2( ) , cos , cos , cos , cos
2 2 2 2 2 2 2T t sent t t sent t t
= − = −
2 2( ) , cos , cos
2 2T t sent t t
= −
De donde:
' 2 2( ) cos , ,
2 2T t t sent sent
= − − −
Su modulo es:
( )2 2
2' 2 2( ) cos
2 2T t t sent sent
= − + − + −
( ) ( )' 2 2 2 2 2 2 22 2 1( ) cos cos 2 cos 1
4 4 2T t t sen t sen t t sen t t sen t = + + = + = + =
Como se pide en el punto 4
Fπ
, se tiene:
' 14
Tπ =
Y el vector '
4T
π
es:
' 2 2cos , ,
4 4 2 4 2 4T sen sen
π π π π = − − −
' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1, , , , , ,
4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2T
π = − − − = − − − = − − −
Luego el vector normal unitario en 4
πes:
'
'
2 1 12 1 14 2 2 2, , , ,
4 1 1 1 2 2 2
4
TN
T
ππ
π
− − − = = = − − −
Finalmente el vector binormal es el producto vectorial:
2 1 1
4 4 4 2 2 2
2 1 1
2 2 2
i j k
B T Nπ π π = × = −
− − −
� � �
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1. . . . . .
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2B i j k
π = − + − − − + + − − +
� � �
2 2 2 2 2
4 4 4 4B i j k
π = − +
� � �
1 2 2
4 2 2 2B i j k
π = − +
� � �
Luego el Triedro de Frenet esta conformado por los 3 vectores:
Respuesta: 2 1 1
, ,4 2 2 2
Tπ = −
, 2 1 1
, ,4 2 2 2
Nπ = − − −
y
1 2 2, ,
4 2 2 2B
π = − .
Ejercicio 6
Dada la curva definida por ( )( ) cos , , ( )F t a t asent g t= , prueba que ésta es
plana si ( )g t es solución de la ecuación ''' '( ) ( ) 0g t g t+ = .
Solución
Justificación: Para que una curva sea plana, su torsión debe ser cero, y
como ya habíamos encontrado, la torsión es:
( )' '' '''
2' ''
( ). ( ). ( )( )
( ) ( )
F t F t F tt
F t F tτ =
×
Para que sea cero, tenemos:
( )' '' '''
' '' '''2' ''
( ). ( ). ( )( ) 0 ( ). ( ). ( ) 0
( ) ( )
F t F t F tt F t F t F t
F t F tτ = = ∴ =
×
Recuerda que el producto mixto ' '' '''( ). ( ). ( )F t F t F t , se puede escribir:
' '' '''( ) ( ) ( )F t F t F t × i
Además, este producto mixto, no es más que un determinante, cuya
primera fila son las componentes del vector '( )F t , la segunda fila, las
componentes del vector ''( )F t y la tercera fila las componentes del vector:
'''( )F t .
Procedamos entonces a calcular '( )F t , ''( )F t y '''( )F t , para conocer
dichas componentes:
( )( ) cos , , ( )F t a t asent g t=
La primera derivada es:
( )' '( ) , cos , ( )F t asent a t g t= −
La segunda derivada es:
( )'' ''( ) cos , , ( )F t a t asent g t= − −
La tercera derivada es:
( )''' '''( ) , cos , ( )F t asent a t g t= −
Por lo tanto, se plantea el determinante:
'
' '' ''' ' '' ''' ''
'''
cos ( )
( ). ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) 0
cos ( )
asent a t g t
F t F t F t F t F t F t a t asent g t
asent a t g t
− = × = − − =
−i
Calculemos este determinante:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'
'' ''' '' '
'''
' '' '
cos ( )
cos ( ) ( ) cos ( ) cos cos ( )
cos ( )
( ) cos ( ) cos cos
asent a t g t
a t asent g t asent asent g t asent a t g t a t a t g t
asent a t g t
asent asent g t asent a t g t a t a t g
− − − = − − + + − −
−
− − + − − + − ( )''( ) 0t =
'
'' ''' 2 2 '' 2 ' 2 2
'''
' 2 2 '' 2 ''' 2 2
cos ( )
cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) cos
cos ( )
() ( ) cos ( ) cos 0
asent a t g t
a t asent g t g t a sen t g t a sent t g t a t
asent a t g t
g t a sen t g t a sent t g t a t
− − − = + +
−
− − + − =
''' 2 2 ' 2 2 '' 2 '' 2 ' 2 2 ''' 2 2( ) ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos 0g t a sen t g t a sen t g t a sent t g t a sent t g t a t g t a t= + + − + + =''' ' 2 2 ' ''' 2 2( ) ( ) ( ) ( ) cos 0g t g t a sen t g t g t a t = + + + =
( )''' ' 2 2 2( ) ( ) cos 0g t g t a sen t t = + + =
Como: 2 2cos 1sen t t+ = , se tiene:
''' ' 2 ''' '2
0( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0g t g t a g t g t
a = + = → + = =
Por lo tanto, el producto mixto es cero si: ''' '( ) ( ) 0g t g t+ =
Respuesta: Se desmostro que la curva es plana si ( )g t es solución de la
ecuación ''' '( ) ( ) 0g t g t+ = .
Ejercicio 7
Dada la curva C descrita por ( )( ) cos , ,F t t sent bt= (hélice circular).
Calcula el valor de b para que la torsión sea siempre igual a la curvatura.
Solución
Justificación: En este caso, calcularemos la curvatura por un lado y
luego la torsión, para finalmente igualarlas, ya que se nos pide que sean
iguales.
La curvatura se puede calcular así:
( ) ( )' ''
3 3'
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
F t F tV t A tt
V t F tκ
××= =
De ( )( ) cos , ,F t t sent bt= , se tienen las 2 derivadas:
( )'( ) ,cos ,F t sent t b= − y ( )''( ) cos , ,0F t t sent= − −
Por lo tanto:
' ''( ) ( ) cos
cos 0
i j k
F t F t sent t b
t sent
× = −− −
� � �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos 0.cos 0. cos cos
cos 0
i j k
sent t b t bsent i sent b t j sen t t k
t sent
− = + − − + + + − −
� � �
� � �
Recordando ( ) ( )2 2cos 1sen t t + = , se tiene:
' ''( ) ( ) cosF t F t bsenti b t j k× = − +� � �
El modulo de este vector es:
( )' '' 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) cos 1 cos 1 1F t F t b sen t b t b sen t t b× = + + = + + = +
Y el modulo del vector ( )'( ) ,cos ,F t sent t b= − , es:
' 2 2 2 2( ) cos 1F t sen t t b b= + + = +
Por lo tanto la curvatura es:
( ) ( )22 2
3 32 2
11 1( )
1 1
bb bt
b bκ ++ += = =
+ + ( ) 321 b+ ( )2 2
2
1 1
11 bb= =
++
Ahora calculemos la torsión:
( )' '' ''' ' '' '''
2 2' '' ' ''
( ). ( ). ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
F t F t F t F t F t F tt
F t F t F t F tτ
× = =× ×
i
Calculemos la tercera derivada:
( )'''( ) , cos ,0F t sent t= −
Y como ya sabemos que: ( )' ''( ) ( ) , cos ,1F t F t bsent b t× = − , por lo tanto, el
producto mixto es:
( ) ( ) ( )' '' ''' 2 2 2 2( ) ( ) ( ) , cos ,1 , cos ,0 cos 0 cos .1F t F t F t bsent b t sent t bsen t b t b sen t t b b × = − − = + + = + = = i i
Por otro lado, en la curvatura se calculo el modulo del vector:
' '' 2( ) ( ) 1F t F t b× = + , por lo tanto la torsión es:
( )2 22
( )11
b bt
bbτ = =
++
Finalmente igualamos la curvatura y la torsión, así:
( ) ( )t tκ τ=
2 2
1
1 1
b
b b=
+ +
2
1
1 b+ 21
b
b=
+1 b→ =
Por lo tanto para que la curvatura sea igual a la torsión, el valor de b es:
Respuesta: 1b = .
Ejercicio 8
Calcula el vector tangente unitario a la curva representada por la función
vectorial 2( ) 2cos ,3 ,t
F t t sen tπ
=
en 3
tπ= .
Solución
Justificación: Este ejercicio es bastante sencillo, porque solo nos piden el
vector tangente unitario, que sabemos es:
'
'
( )( )
( )
F tT t
F t=
Entonces:
( )'' 1( ) 2 ,3 2 ,F t sent sent sent
π = −
i i i
' 1( ) 2 ,6 cos ,F t sent sent t
π = −
Como se nos pide el vector tangente unitario en 3
tπ= , se tiene:
' 12 ,6 cos ,
3 3 3 3F sen sen
π π π ππ
= −
Recuerda que en tu calculadora puede usar 3
tπ= , pero debes colocarla
en radianes, ó dejar la calculadora en grados y usar: 180º
60º3 3
tπ= = = , así:
( ) ( ) ( )' 12 60º ,6 60º cos 60º ,
3F sen sen
ππ
= −
' 3 3 1 12 ,6 , 2
3 2 2 2F
ππ
= − = −
3
2
3 1 3 3 1,6 , 3, ,
4 2π π
= −
Ahora calculamos el modulo de este vector:
( ) ( )2 22
'2 2 2
9 33 3 1 1 27 1 12 27 13 3 3
3 2 4 4 4F
ππ π π π
+ = − + + = + + = + + = + 2 2 2
'2 2 2
39 1 39 4 39 4 39 4
3 4 4 24F
π π π ππ π ππ
+ + + = + = = =
Por lo tanto el vector tangente unitario en 3
tπ= , es:
'
2 2'
1 3 3 1 2 3 3 133, , 3, ,
3 2 239 4 39 43 2
FT
F
ππ π
π ππ π ππ
= = − = − + +
i
2 2 2
2 3 3 2 1 23. , . , .
3 239 4 39 4 39 4T
π π π πππ π π
= − + + +
2
2 3 3 3,
3 239 4T
π ππ
− = +
2.
2
1,
39 4
πππ +
2.
π239 4π
+
2 2 2
2 3 3 3 2, ,
3 39 4 39 4 39 4T
π π ππ π π
− = + + +
Respuesta: 2 2 2
2 3 3 3 2, ,
3 39 4 39 4 39 4T
π π ππ π π
− = + + + .
Ejercicio 9
Calcula la curvatura de la curva S , descrita por:
cos( ) cos
2
ab tS t a ti asent j k
tπ= + +
� � � (Hélice circular de paso b )
Solución
Justificación: En este ejercicio te enseñare a valorar el saber las 2
formas de calcular la curvatura, ya que si solo manejas una de ellas, es posible
que no puedas resolver el ejercicio por la magnitud de la derivada, Observa
atentamente.
Sabemos que la curvatura viene dada por:
'( )( )
( )
T tt
V tκ =
En este caso se tiene:
( ) ( )' '''
2
cos coscos( ) ( ) , cos , . , cos , .
2 2
t t t tab t abV t S t asent a t asent a t
t tπ π
− = = − = −
'2
cos( ) ( ) , cos , .
2
ab tsent tV t S t asent a t
tπ − − = = −
Calculemos el vector tangente unitario:
'
'
( )( )
( )
S tT t
S t=
El modulo de la velocidad es:
( ) ( )2
2 2'2
cos( ) cos .
2
ab tsent tS t asent a t
tπ − − = − + +
( ) ( )2 22 2 2 2
' 2 22 2 2 2
2 2 cos cos( ) .
4os 1
4c .
a b tsent t a b tsent tS t a a
te t
ts n t
π π+ + = + = +
+
2 2 2 2 2' 2
2 4
2 cos cos( ) .
4
a b t sen t tsent t tS t a
tπ + += +
( )2 2 2 2 2
' 22 4
2 cos cos( )
4
a b t sen t tsent t tS t a
tπ
+ + = +
( )2 2 4 2 2 2 2 2
'2 4
4 2 cos cos( )
4
a t a b t sen t tsent t tS t
t
ππ
+ + +=
( )2 2 4 2 2 2 2 2
'
2 4
4 2 cos cos( )
4
a t a b t sen t tsent t tS t
t
π
π
+ + +=
( )2 2 4 2 2 2 2 2
'2
4 2 cos cos( )
2
a t a b t sen t tsent t tS t
t
ππ
+ + +=
( )2 2 4 2 2 2 2
'2
4 2 cos cos( )
2
a t b t sen t tsent t tS t
t
π
π
+ + + =
( )2 2 4 2 2 2 2
'2
4 2 cos cos( )
2
a t b t sen t tsent t tS t
t
ππ
+ + +=
( )2 4 2 2 2 2
'2
4 2 cos cos( )
2
a t b t sen t tsent t tS t
t
ππ
+ + +=
Luego el vector tangente unitario es:
( ) ( ) ( )2
2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 2
cos.
cos 2( ) , ,
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
2 2 2
ab tsent tasent a t t
T ta t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t
t t t
ππ π π
π π π
− − − = + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
2 cos.
2 2 cos 2( ) , ,
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
abt tsent tat sent at t t
T ta t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t
ππ π π
π π π
+ − − = + + + + + + + + +
2( )
aT t
π−=2t sent
a ( )2 4 2 2 2 2
2,
4 2 cos cos
a
t b t sen t tsent t t
ππ + + +
2 cost t
a ( )2 4 2 2 2 2
2
,4 2 cos cost b t sen t tsent t t
π
π
−
+ + +
a 2b t
2π 2
cos.
tsent t
t
+
a
( )2 4 2 2 2 24 2 cos cost b t sen t tsent t tπ
+ + +
( ) ( )( )
( )2 2
2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
cos2 2 cos( ) , ,
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
b tsent tt sent t tT t
t b t sen t tsent t t t b t sen t tsent t t t b t sen t tsent t t
π ππ π π
− +− = + + + + + + + + +
Ahora imagina si intentas calcular '( )T t , pues sería muy laborioso, y la
probabilidad de equivocarte sería mucho mayor.
Afortunadamente, la curvatura, también puede calcularse así:
( )3
( ) ( )( )
( )
V t A tt
V tκ
×=
Ahora veras que por este camino es mucho más sencillo obtener la
curvatura.
Ya sabemos que:
'2
cos( ) ( ) , cos , .
2
ab tsent tV t S t asent a t
tπ − − = = −
Entonces:
'' ''
2
cos( ) ( ) ( ) cos , , .
2
ab tsent tA t V t S t a t asent
tπ − − = = = − −
( ) ( ) ( )( )
''2 2
22
cos cos( ) cos , , .
2
t tsent t t tsent tabA t a t asent
tπ
− − − − − = − −
( ) ( )2
4
cos 2 cos( ) cos , , .
2
t sent t t sent t tsent tabA t a t asent
tπ − − + − − −
= − −
( ) cos , , .2
tabA t a t asent
π= − −
( ) ( )4
cos 2 cost sent t t sent tsent t
t
− − + − − −
( ) cos , , .2
t sentabA t a t asent
π−
= − −cost t sent− +( ) ( )
3
2 costsent t
t
− − −
2
3
cos 2 2cos( ) cos , , .
2
ab t t tsent tA t a t asent
tπ − + += − −
Efectuando el producto vectorial:
2
2
3
cos( ) ( ) cos .
2
cos 2 2coscos .
2
i j k
ab tsent tV t A t asent a t
t
ab t t tsent ta t asent
t
π
π
− − × = − =
− + +− −
� � �
2 2 2
3 2
cos cos 2 2cos cos. .
2 2
a b t t t tsent t a bsent tsent ti
t tπ π − + + − − +
�
2 2 2
3 2
cos 2 2cos cos cos. .
2 2
a bsent t t tsent t a b t tsent tj
t tπ π − + + − − − − +
�
( ) ( )2 2 2 2cosa sen t a t k + +
�
Vamos a simplificar cada componente, para la componente i�
, se tiene:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2
cos 2 cos 2 cos cos
2 2
a bt t ta b tsent a b t ta bsen t a bsent ti
t tπ π − + + − −+
�
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
cos 2 cos 2 cos cos
2
a bt t ta b tsent a b t t a bsen t ta bsent ti
tπ − + + − −
�
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
cos cos 2 cos
2
a bt t t a bsen t ta b tsent a b ti
tπ − − + +
�
( )2 2 2 2 2 2 2
3
cos cos 2 cos
2
a bt t sen t ta b tsent a b ti
tπ
− + + +
�
Como 2 2cos 1t sen t+ = , se tiene:
2 2 2 2 2
3
cos 2 cos
2
a bt ta b tsent a b ti
tπ − + +
�
Para la componente j�
, se tiene:
2 2 2 2 2 2 2 2
3 2
cos 2 2 cos cos cos
2 2
t a bsent t ta bsen t a bsent t ta b tsent a b tj
t tπ π − − − −− +
�
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
cos 2 2 cos cos cos
2
t a bsent t ta bsen t a bsent t t a b tsent ta b tj
tπ − − − −−
�
2 2 cost a bsent t−2 2 2 2 22 2 cos costa bsen t a bsent t t a b tsent− − − 2 2
3
cos
2
ta b tj
tπ −
�
2 2 2 2 2
3
2 2 cos cos
2
ta bsen t a bsent t ta b tj
tπ + +
�
Para la componente k�
, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2cos cosa sen t a t k a sen t t k a k + = + =
� � �
Entonces:
2 2 2 2 2
3
cos 2 cos( ) ( )
2
a bt ta b tsent a b tV t A t i
tπ − + +× = +
�
2 2 2 2 22
3
2 2 cos cos
2
ta bsen t a bsent t ta b tj a k
tπ + + +
� �
Luego calculamos el módulo de este vector:
( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
223 3
cos 2 cos 2 2 cos cos( ) ( )
2 2
a bt ta b tsent a b t ta bsen t a bsent t ta b tV t A t a
t tπ π − + + + +× = + +
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
42 6 2 6
cos 2 cos 2 2 cos cos( ) ( )
4 4
a bt ta b tsent a b t ta bsen t a bsent t ta b tV t A t a
t tπ π
− + + + + × = + +
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
42 6
cos 2 cos 2 2 cos cos( ) ( )
4
a bt ta b tsent a b t ta bsen t a bsent t ta b tV t A t a
tπ
− + + + + + × = +
Ahora calculamos: ( )3( )V t :
De: '2
cos( ) ( ) , cos , .
2
ab tsent tV t S t asent a t
tπ − − = = −
, se tiene:
( ) ( )22 2
2 2
2 2
cos( ) cos .
4
a b tsent tV t asent a t
tπ− − = − + +
22 22 2 2 2
2 2
cos( ) cos .
4
a b tsent tV t a sen t a t
tπ+ = + +
( )22 2
2 2 22 2
cos( ) cos .
4
a b tsent tV t a sen t a t
tπ+ = + +
22 22
2 2
cos( ) .
4
a b tsent tV t a
tπ+ = +
2 22 22 2
2 2 2 2
cos cos( ) 1 . 1 .
4 4
b tsent t b tsent tV t a a
t tπ π + + = + = +
22
2 2
cos( ) 1 .
4
b tsent tV t a
tπ+ = +
Luego:
( )3
223 3
2 2
cos( ) 1 .
4
b tsent tV t a
tπ
+ = +
Sustituyendo en la fórmula de curvatura, se tiene:
( )
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
42 6
3 322
32 2
cos 2 cos 2 2 cos cos
4( ) ( )( )
( ) cos1 .
4
a bt ta b tsent a b t ta bsen t a bsent t ta b ta
tV t A tt
V t b tsent ta
t
πκ
π
− + + + + + + × = =
+ +
( )
( ) ( )2 24 2 2 4 2 2
42 6
3 322
32 2
cos 2 cos 2 2 cos cos
4( ) ( )( )
( ) cos1 .
4
a bt tb tsent b t a tbsen t bsent t tb ta
tV t A tt
V t b tsent ta
t
πκ
π
− + + + + + + × = =
+ +
( )
( ) ( )2 22 2 2 2
42 6
3 322
32 2
cos 2 cos 2 2 cos cos1
4( ) ( )
( )( ) cos
1 .4
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb ta
tV t A t
tV t b tsent t
at
πκ
π
− + + + + + + × = =
+ +
( )
( ) ( )2 22 2 2 2
42 6
3 322
32 2
cos 2 cos 2 2 cos cos1
4( ) ( )( )
( ) cos1 .
4
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb ta
tV t A tt
V t b tsent ta
t
πκ
π
− + + + + + + × = =
+ +
( )
( ) ( )2 22 2 2 2
22 6
3 322
32 2
cos 2 cos 2 2 cos cos1
4( ) ( )( )
( ) cos1 .
4
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb ta
tV t A tt
V t b tsent ta
t
πκ
π
− + + + + + + × = =
+ +
( )
2
3
( ) ( )( )
( )
aV t A t
tV t
κ×
= =
( ) ( )2 22 2 2 2
2 6
3
cos 2 cos 2 2 cos cos1
4
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
t
a
π
− + + + + + +
322
2 2
cos1 .
4b tsent t
tπ
+ +
( )
( ) ( )2 22 2 2 2
2 6
3 322
2 2
cos 2 cos 2 2 cos cos1
4( ) ( )( )
( ) cos1 .
4
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
tV t A tt
V t b tsent ta
t
πκ
π
− + + + + + + × = =
+ +
Respuesta: La curvatura en este caso es:
( )
( ) ( )2 22 2 2 2
2 6
3 322
2 2
cos 2 cos 2 2 cos cos1
4( ) ( )( )
( ) cos1 .
4
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
tV t A tt
V t b tsent ta
t
πκ
π
− + + + + + + × = =
+ +
Ejercicio 10
Demuestre que la curvatura de la hélice circular descrita por:
( )( ) cos , , , 0r t a t asent ct a= >
Es constante en todos sus puntos.
Solución
Justificación: Sabemos que la curvatura viene dada por:
'( )( )
( )
T tt
V tκ =
En este caso se tiene:
( )'( ) ( ) , cos ,V t F t asent a t c= = −
Calculemos el vector tangente unitario:
'
'
( )( )
( )
F tT t
F t=
El modulo de la velocidad es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2' 2 2 2 2 2( ) cos cosF t asent a t c a sen t a t c= − + + = + +
( ) ( )' 2 2 22 2 2cos 1( )F t a c a csen t t + = = ++
' 2 2( )F t a c= +
Luego el vector tangente unitario es:
'
' 2 2 2 2 2 2
( ) cos( ) , ,
( )
F t asent a t cT t
F t a c a c a c
−= = + + +
El vector '( )T t es:
'
2 2 2 2
cos( ) , ,0
a t asentT t
a c a c
= − −
+ +
Luego su modulo es:
2 22 2 2 2
'2 2 2 22 2 2 2
cos cos( )
a t asent a t a sen tT t
a c a ca c a c
= − + − = + + ++ +
( )22 2 2 2'
2 2 2 2
2 2coscos( )
aa t a sen tT t
a
t se
c a
t
c
n + + = = + +
2 2'
2 2 2 2 2 2
1( )
a a aT t
a c a c a c
= = = + + +
Luego la curvatura es:
( )'
2 2
2 2 22 2 2 2
( )( )
( )
aT t a aa ctV t a ca c a c
κ += = = =++ +
Se observa claramente que la curvatura es constante, porque no
depende de la variable te.
Respuesta: Se demostró que la curvatura es constante.
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta .
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Calcula la ecuación del plano normal a la curva ( )32 t,t,1t)t(F −=
perpendicular al plano x + y –z = 1.
Ejercicio 2
Dada la curva ( )2 3 2( ) 2 1, ,r t t t t= + , determina la ecuación del plano
osculador en el punto de coordenadas ( )3,1,1 .
Ejercicio 3
Si la trayectoria de una partícula esta dada por la función vectorial
( )3( ) ,1 ,F t t t π= − , determina la velocidad, la aceleración y las componentes
tangencial y normal de la aceleración.
Ejercicio 4
Halle la velocidad, la rapidez y la aceleración para la función vectorial
−=−
2t
e,)sent1(e,tcose)t(f tt2�
en el punto (1 , 1 , 1)
Ejercicio 5
Calcula el radio de curvatura de la curva ( )32 t4,t2,1t)t(F −−= en el
punto de coordenadas (3, 4, − 4).
Ejercicio 6
Sea la función F:[0,2] →R3 definida por:
++= 2
2t
,1t,2)t(F2
.
Halle el vector normal y la curvatura en el punto t = 1
Ejercicio 7
Considera la función vectorial
π= t4
t3t4sentF cos,,)( , calcula su
curvatura en el punto (0 , 3 , 1).
Ejercicio 8
Calcula la curvatura y la torsión de la curva descrita por la función f(t) =
(senh t, cosh t, t) en el punto (0 , 1, 0).
Ejercicio 9
Si la posición instantánea de una partícula viene dada por:
( )tsentcos2,tcos,tsen1)t(F −+= .
a) Demuestra que la partícula se mueve en un plano.
b) Encuentra la ecuación del plano.
Ejercicio 10
Para calcular la curvatura de una función vectorial F con recorrido en IR3
encontramos que:
|| K(t) || = 3||)t('F||
||)t(''F)t('F|| ×
Pruebe que para una curva plana con ecuación y=f(x) se tiene
|| K(t) || = .))(x)'f(1(
(x)''f3/22+