Capitulo III Matemtica III (733)

Objetivo 7. Aplicar el calculo diferencial e integral a una funcin vectorial de una variable real.

Ejercicio 1

Calcula ( )0

cos , ,t t tsent t dtpi

Solucin

Justificacin: En este caso se nos presenta una integral de una funcin vectorial de varaible real t . Una funcin vectorial de variable real es aquella que toma valores reales de un conjunto de partida (dominio) y los transforma en un conjunto de llegada compuesto de vectores (rango).

Para resolver esta integral es vlido integrar cada componente, y evaluar la integral. Es de destacar que el resultado de esta integral ser un vector, no un escalar.

Por ultimo quiero comentar, que los ejercicios de esta guia, en mi opinin son bastante sencillos, porque son derivadas, integrales y limites sencillos y muchas oportunidades directos. Procedamos a resolver la integral planteada:

( )0 0 0 0

cos , , cos , ,t t tsent t dt t tdt tsentdt tdtpi pi pi pi

=

Resolviendo cada integral, se tiene:

1) 0

cost tdtpi

. Esta integral se resuelve por partes, as:

coscos

u tI t tdt

dv tdt

=

=

=

Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

cosco

s dv tddu dtu t

tdv tdt v se tdu

n

dt == =

== =

Sustituyendo en la frmula de integracin por parte:

. . .v v sentu sentdu dtI t= =

. cosI tsent sent dt tsent t= = +

Evaluando esta integral se tiene:

[ ] ( ) ( )0

cos cos cos 0 0 cos00

t tdt tsent t sen senpi pi

pi pi pi= + = + +

[ ] ( ) ( )0

cos cos 0 1 0 1 20

t tdt tsent tpi pi

= + = + =

2) 0

tsentdtpi

. Esta integral se resuelve por partes, as:

u t

dI t

v sense

tt

dtntd

=

==

Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

cosdv sentdtdv sentdt v t

du dtu t du dt == =

== =

Sustituyendo en la frmula de integracin por parte:

co. .cos. sI u du t dv v t tt = =

cos cos . cosI t t t dt t t sent= + = +

Evaluando esta integral se tiene:

[ ] ( ) ( )0

cos cos 0cos 0 00

tsentdt t t sent sen senpi pi

pi pi pi= + = + +

[ ] ( )( ) ( )0

cos 1 0 0 00

tsentdt t t sentpi pi

pi pi = + = + + =

3) 0

tdtpi

.

2 2 2 2 2

0

0 02 2 2 2 2

0

ttdt

pipi

pi pi pi = = = =

Finalmente la integral tiene como resultado el vector:

( )2

0

cos , , 2, ,2

t t tsent t dtpi pi

pi

=

Respuesta: ( )2

0

cos , , 2, ,2

t t tsent t dtpi pi

pi

=

Ejercicio 2

Considere las funciones 2

33( ) cos , ,tf t t t

t

+=

y

3 1( ) , ,sentg t t arctgt t

=

, calcula:

( )0

lim ,t

f g t

Solucin Justificacin: En este caso primero efectuamos la operacin producto

escalar ( ),f g t (recuerda que esta notacin representa un producto escalar de vectores).

( )2 2

3 33 3

3 1 3 1, cos , , , , cos . .

t sent sent tf g t t t t arctg t t tarctgt t t t t t

+ + = = + +

i

( )2

3

3, cos .

sent tf g t tt t

+= + 3. t 2

1 1cos . 3senttarctg t t tarctg

t t t

+ = + + +

Ahora aplicamos el lmite:

( ) 20 0

1lim , lim cos . 3t t

sentf g t t t tarctgt t

= + + +

( ) ( )20 0 0 0

1lim , lim cos . lim 3 limt t t t

sentf g t t t tarctgt t

= + + +

Recuerda que el lmite notable vale: 0

lim 1t

sent

t= , y que ( )

2arctg pi = ,

por lo tanto:

( ) ( ) ( )20

1lim , cos 0. 1 3 0 0.0t

f g t arctg

= + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

lim , 1 . 1 3 0. 1 3 0. 42t

f g t arctg pi

= + + = + + =

Respuesta: ( )0

lim , 4t

f g t

=

Ejercicio 3

Calcula td)t(F,k0

pi

>. Solucin

Justificacin: Primero calculemos el producto escalar:

( )( ) ( ) ( )22 2 2, ,3ln cos ,1 , ,1arctg tG F k t t sen t e = i

( ) ( ) ( )22 2 2, 3ln cos 1arctg tG F k sen t t e t= + + La derivada de esta funcin es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ''' '2, 2 . 3ln cos 3ln cos 0 2arctg t arctg tG F k sen t sen t t e t e t = + + + ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2'' '' 2 2cos, 2 . cos 3 3ln cos 2

cos

arctg t arctg ttG F k sen t t t e t e arctg t tt

= + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

'2' 2

22

1, 2 .cos 3 3ln cos 2

cos2 1arctg t arctg t tsentG F k sen t t e t e t

tt t

= + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

' 24

1 2, 2 3 ( ) 3ln cos 2

12arctg t arctg t tG F k sen t tg t e t e t

tt= +

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2' 2

4

2 6 ln cos, 3 ( ) 2

12

arctg tarctg tsen t t t eG F k tg t e t

tt= +

+

Otra manera de resolver este ejercicio, es que aplques la derivada del producto escalar, que como ya sabemos, heredan las propiedades de derivacin de las funciones escalares reales, para la suma, producto, entre otras, as:

( )' ' ', , ,G F G F G F= + Para ( )F t , se tiene:

( ) ( )22( ) , ,1arctg tF t sen t e =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2' '' 2( ) 2 , . ,0arctg tF t sen t sen t e arctg t =

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )2

'2'

'

22( ) 2 cos , . ,0

1arctg t tF t sen t t t e

t

=

+

( ) ( )( ) ( )2' 41 2( ) 2 cos , . ,012 arctg t tF t sen t t e tt = + ( ) ( )2' 41 2( ) 2 , . ,012 arctg t tF t sen t e tt = +

Para ( )G t , se tiene:

( )( )2 2,3ln cos ,1G k t t= ( )'

'cos

0,3 , 2cos

tG t

t

=

' 0,3 , 2cos

sentG tt

=

( )' 0, 3 , 2G tgt t= Sustituyendo en la frmula de drrivacin del producto escalar, se tiene:

( )' ' ', , ,G F G F G F= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2' 2 2 2 ' 41 2, 0, 3 , 2 , ,1 ,3ln cos ,1 ( ) 2 , . ,012arctg t arctg t tG F tgt t sen t e k t t F t sen t e tt = + = + i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 2 241 2, 0 3 2 2 3ln cos . 1 012arctg t arctg t tG F sen t tgt e t k sen t t e ttt= + + + +i i i( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 41 2, 3 2 2 3ln cos .12arctg t arctg t tG F tgt e t k sen t t e tt= + + +i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2' 2

4

2 6 ln cos, 3 2

12

arctg tarctg t sen t t t eG F tgt e t k

tt= + +

+i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2' 2

4

2 6 ln cos, 3 ( ) 2

12

arctg tarctg tsen t t t eG F k tg t e t

tt= +

+

llegando al mismo resultado, como era de esperar.

Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2' 2

4

2 6 ln cos, 3 ( ) 2

12

arctg tarctg tsen t t t eG F k tg t e t

tt= +

+

Ejercicio 8 Una partcula tiene como trayectoria ( )2 3( ) , 1F t t t t= + . Calcula sus

diferentes velocidades cuando pasa por el punto ( )1,1 . Solucin

Justificacin: En Fsica, la velocidad es la derivada de la posicin y la aceleracin es la derivada de la velocidad. En este caso debemos hallar primero los valores de t por donde pasa la curva. Como la curva pasa por el punto ( )1,1 , se tiene:

( ) 22 3 3 1( ) , 1 1 1x t

F t t t ty t t

= == +

= + =

Debemos resolver el sistema para t , es decir, que abas ecuaciones se satisfagan para el o los valores de t encontrados.

( )2

22 2

23 32 2

111 11 01 1 0 00 0

1 01 1 1 11 0 11

1

tt t

tt ttt t

t tt t t tt t

t

=

= = = = = == =

= + = = = = =

Se observa que ambas ecuaciones se cumplen para: 12

11

t

t

=

= .

Ahora calculemos el vector velocidad, derivando la posicin o trayectoria:

( )' 2( ) ( ) 2 ,3 1V t F t t t= = Para 1 1t = , se tiene que la velocidad es:

( ) ( )( ) ( ) ( )2(1) 2 1 ,3 1 1 2,3 1 2,2V = = = Para 2 1t = , se tiene que la velocidad es:

( ) ( )( ) ( ) ( )2( 1) 2 1 ,3 1 1 2,3 1 2,2V = = = Como comentario adicional, observa que la velocidad es un vector, que tiene modulo, direccin y sentido, por ejemplo, te dicen que un vehiculo va a 80 Km/h (modulo) en la autopista para Valencia (direccin) su origen es Maracay, es decir, ca de Maracay a Valencia (sentido). Si calculas el modulo del vector velocodad obtienes la rapidez del objeto que se mueve.

Respuesta: Las velocidades cuando pasa por el punto ( )1,1 son: ( )(1) 2, 2V = y ( )( 1) 2,2V = .

Ejercicio 9 Calcula la velocidad, rapidez y aceleracin para la partcula cuya

posicin est dada por ( ))tcos(,t2),t(sene)t(F 2t pi= Solucin

Justificacin: Tal como te mencione en el ejercicio anterior, la velocidad es la derivada de la posicin, as:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2( ) , 2 ,cos , 2 , cost t tF t sen t t t e sen t te e tpi pi = = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )' ' ' ' ''' 2 2( ) ( ) , 2 2 , cos cost t t t t tV t F t e sen t e sen t t e t e e t e tpi pi = = + + +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' '2 2 2( ) cos , 2 2 , cost t t t t tV t e t t e sen t e te e t e sen t tpi pi pi = ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2( ) 2 cos ,2 2 , cost t t t t tV t te t e sen t e te e t e sen tpi pi pi =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2( ) 2 cos ,2 1 , cost t tV t e t t sen t e t e t sen tpi pi pi = La rapidez, es el modulo del vector velocidad, por lo tanto:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2( ) 2 cos 2 1 cost t tV t e t t sen t e t e t sen tpi pi pi = + + ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2 2( ) 2 cos 2 1 costV t e t t sen t t t sen tpi pi pi = + + ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2 2( ) 2 cos 2 1 costV t e t t sen t t t sen tpi pi pi = + +

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2( ) 2 cos 2 1 costV t e t t sen t t t sen tpi pi pi = + + Y la aceleracin, es la derivada del vector velocidad, as:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }' ''2 2( ) 2 cos , 2 1 , cost t ta t e t t sen t e t e t sen tpi pi pi = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )' '2 2 2 2

` '''

( ) 2 cos 2 cos ,

2 1 1 2 , cos cos

t t

t t t t

a t e t t sen t t t sen t e

e t t e e t sen t t sen t epi pi pi pi pi pi

= +

+ +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

2 2 2 2 2

2

( ) 2cos 2 2 cos 2 2 cos ,

2 2 1 , cos cos

t t

t t t t

a t e t tsen t t t t t t sen t e

e t e e sen t t t sen t epi pi pi pi pi pi pi

=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( ) ( ))

2 2 2 2 2

2

( ) 2cos 2 2 cos 2 2 cos , 2 2 2 , cos cos

ta t e t tsen t t t t t t sen t

t sen t t t sen tpi pi pi pi pi pi pi

= +

+ + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2( ) 2cos 4 4 cos , 4 2 ,2 cos costa t e t t sen t t t sen t t sen t t tpi pi pi pi pi= + + + Por lo tanto: Respuesta:

Velocidad: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2( ) 2 cos ,2 1 , cost t tV t e t t sen t e t e t sen tpi pi pi = Rapidez: ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 222 2( ) 2 cos 2 1 costV t e t t sen t t t sen tpi pi pi = + + Aceleracin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2( ) 2cos 4 4 cos , 4 2 ,2 cos costa t e t t sen t t t sen t t sen t t tpi pi pi pi pi= + + +Ejercicio 10

Halla la recta tangente a la cuva descrita por la funcin vectorial:

( ) ( )( )1 22 2 2( ) 1 cos tg t arctg t i t j e kpi= + + + En (1)g .

Solucin Justificacin: Recordando lo explicado en el ejercicio 6 de esta guia, se

tiene:

( ) ( )( )( ) ( )1 2 12 2 20 (1) 1 1 cos 1P g arctg i j e kpi= = + + + ( )( )( )12 22 20 (1) 1 cos4P g i j e kpi pi = = + + +

( )( )2 220 (1) 1 116P g i j e kpi= = + + +

2 2

0 (1) 216P g i j e kpi

= = + +

El vector director en este caso, es el vector que se obtiene al derivar la funcin y evaluarlo en el punto de tangencia (1)g , as:

( ) ( ) ( )( )( )'2

2''

2

1 cos( ) 2 22 1 cos

ttg t arctgt arctgt i j e k

t

pi

pi

+= + +

+

( ) ( ) ( )( )'

2'

2 2

21( ) 2 21 2 1 cos

tsen t tg t arctgt i j e k

t t

pi pi

pi

= + ++ +

( )' 2 21( ) 2 1g t arctgt it

= ++

( )2

sen tpi pi

( )2

22

1 cos

tj e ktpi

++

( )( )

2'

2 2

2( ) 21 1 cos

tsen tarctgtg t i j e kt t

pi pi

pi

= + ++ +

Evaluando la derivada en el punto de tangencia (1)g se obtiene el vector

director de la recta L

.

( )( )

( )( )( )( )

( )2 1'

2 2

12 1(1) 21 1 1 cos 1

senarctgL g i j e kpi pi

pi

= = + ++ +

( )( )

2'

2

2.4(1) 2

1 1 1 cos

senL g i j e k

pipi pi

pi

= = + ++ +

( ) 2'

2. 04(1) 22 1 1

L g i j e kpi

pi= = + +

+

'

2(1)L g= =

. 42

pi2 2 20 2 0 2 2

4 41 1i j e k i j e k i e kpi pi+ + = + + = +

+

Por lo tanto la ecuacin vectorial parametrica de la recta tangente es:

Respuesta: 2

2 2, 2, ,0,2

16 4P e epi pi = +

A continuacin se te presentaran una serie de ejercicios propuestos, Por qu es importante resolverlos? Por que t estars solo en el examen y tu eres quien a las finales debes aprehender para tener xito en la asignatura. Cualquier duda de los problemas que a continuacin se te presentan, djamelo saber, a travs, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en mi pgina en el apartado novedades en la seccin material durante el estudio se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente editor de ecuaciones con el cual podrs escribir tus dudas matemticas, o escanea las pginas de tu cuaderno y envame las dudas para darte respuesta a la brevedad posible. Por ltimo recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura, justificacin y respuesta, ya que en los exmenes de desarrollo debers

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante que tomes el hbito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre dando justificacin y luego la respuesta.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1

Dada la curva definida por x =

+ 2t11

arccos , y =

+ 2t1t

arcsen .

Calcula

pipi

4 ,

4 punto elen

yddxy

xdyd

.

Ejercicio 2 Calcula la longitud de arco de la funcin:

( )2 2 2( ) , , cost t tG t a a sent a t= Con 0 2t pi y a constante positiva.

Ejercicio 3 Halle los puntos en los que la curva descrita por

=

=

t12t)t(yt2t)t(x

3

2 ,

Posee: a) Tangente vertical. b) Tangente horizontal.

Ejercicio 4 Halla la posicin )t(r de un mvil si la velocidad en todo instante t viene dada por ( )t2cos,e)t(v t= y la posicin inicial es ( )1,2)0(r = .

Ejercicio 5 Considera las funciones:

=

+=

t2

arctgtt

ttgttt1ttg2tf2

,,cos

)(,,,)(

Calcula )(, tgflm0t

>.

Ejercicio 7

Calcula ( ) tdt,)Lnt(cos,)t2(Ln32ee

2 Ejercicio 8

La aceleracin de una partcula es: ( )''( ) ,cos ,F t sent t t= su velocidad y su posicin iniciales son: ( )'(0) 1,0,1F = y ( )(0) 0,1,0F = respectivamente. Calcula su posicin instantnea.

Ejercicio 9 Analizar la continuidad de la funcin vectorial k)t(2j2itr(t) 2++=

en t =0. Ejercicio 10

Dada la curva definida por x= t sen t, y= 1 cos t.

a) Calcula 4

tenxdydy

xdyd

2

2pi

= .

b) Calcula la ecuacin de la recta tangente para 4

t pi= .