Capitulo II

Matemática II

Objetivo 2. Calcular límites cuando x tiende a infinito, cuando ( )f x

tiende a infinito o límites de las formas indeterminadas: 0

0,

∞∞

, ∞ − ∞ y 1∞ .

Ejercicio 1

Calcular: 4

5 14lim

2x

x x

x→

+ −−

Solución

Justificación:

Expresión Matemática Operación realizada

( )4

5 14 4 5 4 14lim

2 4 2

4 5 2 14 4 10 14

2 2 0

14 14

0

0

0

x

x x

x→

+ − + −= =− −

+ − + −= =−

− =

Primero se evalúa el límite para saber

a que forma indeterminada nos

enfrentamos

4

5 14lim

2x

x x

x→

+ −−

Límite original

La conjugada del denominador es: 2x + (conjugar es cambiar de signo)

4

5 14 2lim

2 2x

x x x

x x→

+ − + − +

i

Se multiplica por la conjugada tanto en

el numerador como en el denominador

para no alterar el ejercicio, es decir,

21

2

x

x

+ =+

, y al multiplicar por 1, no se

altera el ejercicio original

( )( )( )( )4

5 14 2lim

2 2x

x x x

x x→

+ − + − +

La multiplicación de fracciones es

lineal, es decir: a c a c

b d b d= i

ii

( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

4

24 2

2lim

2 2 2

14

14

2 2

1

5

5li

45

2

m

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x

x x

→

→

+ − + = − +

+ − + + − −

i i

En el numerador se aplica la

propiedad distributiva y en el

denominador el producto de la suma

por su diferencia, es decir:

( )( ) 2 2b ba ba a− + = −

( )( )

2

4

5 14 2 10 28lim

4x

x x x x x x

x→

+ − + + − −

Resultado de ejecutar las operaciones

anteriores

( )4

5 14 2 10 28lim

4x

x x x x x x

x→

+ − + + − −

Se aplicó:

( )2

x x x x= =

( )4

7 4 28lim

4x

x x x x

x→

+ − − −

Se efectúo la suma algebraica de

términos semejantes

( )4

7 4 28lim

4x

x x

x

x x

→

+ − − −

Se destaco los elementos que

extraeré como factor común

( ) ( )( )4

4 4lim

7

4x

x x

x

x

→

− + − −

Se extrajo como factor común 2

elementos, a saber:

a) ( )4 4xx xx x=− −

b) ( )7 728 4 477x x x− = − = −i

( ) ( )( )4

4 47lim

4x

xx

x

x

→

− − + −

Se destaco el elemento que extraeré

como factor común

( ) ( )( )4

74lim

4x

x

x

x

→

+ −

−

Se extrajo como factor común 1

elemento, a saber:

a) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 47 7x x xx x+ =− − +−

( ) ( )( )4

7l m

4i

4

x

x

x

x

→

+

−

−

Ahora observa los elementos

semejantes que se pueden simplificar,

tanto en el numerador como en el

denominador, los destaque en rojo

( )4

4limx

x

→

− ( )( )

7

4

x

x

+

−

( )4

lim 7x

x→

=

+

Se aplica la simplificación de los

términos semejantes.

( )4

lim 7 4 7 2 7 9x

x→

+ = + = + = Se evalúa de nuevo el límite para

conocer si se elimino la forma

indeterminada

Respuesta: 4

5 14lim 9

2x

x x

x→

+ − =−

Ejercicio 2

Calcular:

limx

x

x x x→∞ + +

Solución

Justificación:

Expresión Matemática Operación realizada

limx

x

x x x→∞

∞=+ + ∞ + ∞ + ∞∞ ∞= = =

∞ + ∞∞ + ∞ + ∞∞∞

Primero se evalúa el límite para saber

a que forma indeterminada nos

enfrentamos

limx

x

x x x→∞ + +

Límite original

En este tipo de formas indeterminadas se acostumbra dividir entre el término

de mayor exponente

lim lim

1lim lim

x x

x x

x

x

x

x

x x x x x x

x

x

x x x x x x

x xx x

→∞ →∞

→∞ →∞

= =+ + + +

=+ ++ +

Se procedió a dividir tal como indique,

toma en cuenta la aplicación de las

siguientes propiedades aplicadas de

los radicales, a saber:

a) x

xx

x=

b) x x x x

xx

+ +=

c) Se aplico la propiedad de la suma

de fracciones, que indica lo siguiente:

cuando tenemos el mismo

denominador sumamos los

numeradores y se deja el mismo

denominador, es decir:

a b a b

c c c

+ = + , esto se aplico en el

denominador:

x x x x x

x x x

x+ + += +

2

1 1lim lim

1 1

1 1lim lim

11 1 1 1

x x

x x

x x x x

x x x

x

x x

→∞ →∞

→∞ →∞

=+ + + +

= =

+ + + +

Se aplicaron las siguientes

operaciones:

a) 1x

x=

b) Se aplicó de nuevo lo explicado en

el punto “c” del paso inmediato

anterior acerca de las fracciones de

igual denominador:

x x x

x

x

x x

+ = +

c) Se aplicó la propiedad de los

radicales acerca de introducir un

elemento en un radical, es decir:

n

nn

x x

y y= , en nuestro caso particular

fue:

2

x

x

x

x=

d) Se simplifico en la ultima igualdad

obtenida en el denominador, a saber:

x2x

1

x=

1 1lim

1 11 1 1 1

1 1 1

1 1 21 0 1

x

x

→∞=

+ + + +∞

= = =++ +

Se evalúa de nuevo el límite para

conocer si se elimino la forma

indeterminada. Recuerda:

a) 1

0=∞

Respuesta: 1

lim2x

x

x x x→∞

=+ +

Ejercicio 3

Determinar 2

20

2limx

tg x

x→ si es que existe.

Solución

Justificación:

Expresión Matemática Operación realizada

( )2 2

2 20

2 02 2 0 0lim

0 0 0x

tg x tg

x→= = =

Primero se evalúa el límite para saber

a que forma indeterminada nos

enfrentamos

2

20

2limx

tg x

x→ Límite original

En este caso haremos uso del límite especial o notable 0

lim 1x

senx

x→= . Para ello

descompondremos la función tangente así: cos

senxtgx

x=

2 2

0 22 20

2 2lim lim

cosx x

tg x sen x

x x x→ →= Se aplicó

cos

senxtgx

x=

2

2 2

2

2

20 0 0

2

0 0

2 2lim lim lim

2lim l

c

im

os cos

cos

x x x

x x

sen x sen

x

x

x x

sen

x

x

x

x

→ → →

→ →

=

= =

i i

i

Se descompuso en multiplicación de

fracciones, porque nos conviene tener

la estructura senx

x para aplicar el límite

notable antes nombrado:

2 2

2 2

2 2

2 2

cos cos

sen x se

x x x

n x

x= i

También se aplicó la propiedad de

potenciación: nn

n

a a

b b

=

, en:

2

2 2sen x sen

x

x

x

=

( )2

22 21

cos 0 11 2 1 2= = =i i i

Sustituyendo para evaluar y obtener el

valor del límite. Recuerda que en este

paso se aplica:

a) 0

lim 1x

senx

x→=

b) cos0 1=

Respuesta: 2

20

2lim 2x

tg x

x→=

Ejercicio 4

Determinar 1

2

ln ( ) 2lim

x

x

e sen sen x sen x

senxπ

−

→

− .

Solución

Justificación: Primero sustituimos el valor de 2

π, para identificar a que

forma indeterminada nos enfrentamos:

121

2

ln ( ) 2ln ( ) 2 2 2

lim

2

x

x

e sen sen sene sen sen x sen x

senxsen

π

π

π π

π

−−

→

− − = =

ln 22 2

e senπ π − 2

π ( ) ( )( ) [ ]( )

12 2

0 0 0 01 1 2 2

senπ π π

π π − = = − = =

NOTA 1: En este límite puedes tomar en cuenta lo siguiente:

ln ln (1)xe x e x x= = = , acá se aplico la propiedad de la función logaritmo:

ln lnba b a=

NOTA 2: También puedes aplicar lo siguiente: 1( )sen sen x x− = . Cuando

tenemos una función trigonométrica y su inversa, esta se anula y queda el

argumento, es decir, se cumplen las siguientes propiedades:

1

1

1

1

1

1

( )

cos(cos )

( )

cot (cot )

sec(sec )

cos (cos )

sen sen x x

x x

tg tg x x

g g x x

x x

ec ec x x

−

−

−

−

−

−

=

==

==

=

En este caso no se generó ninguna forma indeterminada, por lo tanto:

Respuesta: 1

2

ln ( ) 2lim 0

x

x

e sen sen x sen x

senxπ

−

→

− =

Ejercicio 5

Usando las propiedades de límites paso a paso, calcular el siguiente

límite:

( )2

lim ln 3cos 2senx

x

e xπ→ +

Si es que existe.

Solución

Justificación: Primero sustituimos el valor de 2

π, para identificar a que

forma indeterminada nos enfrentamos:

( ) ( )2

2

lim ln 3cos 2 ln 3cos 2 ln 3cos 22 2

sensenx

x

e x e sen eπ

π

π π→

+ = + = +

2

π =

( )( ) ( ) ( )1 1 3cos 1 3 1 1 3 2π+ = + − = − = −

En este caso no se generó ninguna forma indeterminada, por lo tanto:

Respuesta: ( )2

lim ln 3cos 2 2senx

x

e xπ→ + = −

Ejercicio 6

Verifica que:

2

1lim 1 1

x

x x→∞

+ =

Solución

Justificación: Primero sustituimos el valor de 2

π, para identificar a que

forma indeterminada nos enfrentamos:

( )2 2

1 1 1lim 1 1 1 1 0 1

x

x x

∞ ∞∞ ∞

→∞

+ = + = + = + = ∞ ∞

En esta forma indeterminada se hace uso de la igualdad:

( ) ( )( )

0

0 0

lim ( ) ( ) 1( ) ( )lim ( ) 1 lim ( ) x x

g x f xg x g x

x x x xf x f x e →

−∞

→ →= → =

En nuestro caso particular: 2

1( ) 1f x

x= + y ( )g x x= se tendría:

2 2

1 1 limlim 1 1 lim

2

1lim 1

xx x

x xx xx x

xe e e

x

→∞→∞ →∞

+ −

→∞

+ = = =

2

1

x

1 1lim

0 1x xe e e→∞

∞ = = = = .

Camino alternativo u otra forma de resolver este ejercicio

En el límite 2

1lim 1

x

x x→∞

+

se aplica la siguiente propiedad: lnWe W= , así:

2 2

1 1ln 1 lim ln 1

2

1lim 1 lim

x x

x

x

x x

x xe e

x

→∞

+ +

→∞ →∞

+ = =

Por la propiedad de logaritmo: ( ) ( )ln lny

x y x= , se tiene:

2 2

1 1lim ln 1 lim ln 1

x

x xx

x xe e→∞ →∞

+ + =

Ahora:

( )2 2 0

1 1 1lim ln 1 lim ln 1 lim ln 1

2

1 1

0

x

x x ux u

x x uu x

e e ex u

x u

→∞ →∞ →

+ + +

= ∴ == → → ∞⇒ →

Este último límite es de la forma 0

0, observa:

0

ln(1 ) ln(1 0) ln(1) 0lim

0 00u

u

u→

+ += = = , entonces podemos aplicar L’hopital, así:

( )( ) ( ) ( )

0

0 0 0 0

ln(1 )lim

0

1ln(1 ) 'ln(1 ) 2 2 0 01lim lim lim lim 0

1 1 1 0 1'

2

: 1u

u u u u

u

u

uu uu

uu u

u

recuerda que e e→

→ → → →

+

++ += = = = = =+ +

= =

i

También pudieras pensar en no hacer el cambio de variable

2

1 1

0

u xx u

x u

= ∴ = → ∞⇒ →

y dejar el límite como:

2

1lim ln 1x

xxe →∞

+

Si sustituyes y evalúas obtendrías en el límite:

( ) ( )2 2

1 1lim ln 1 ln 1 ln 1 0 ln 1 0xx

x→∞

+ = ∞ + = ∞ + = ∞ = ∞ ∞ i

Pero esta forma indeterminada se puede llevar a 0

0 ó

∞∞

para poder

aplicar L’hopital, así:

2

2

1ln 1

1lim ln 1 lim

1x x

xx

x

x

→∞ →∞

+ + =

Y si sustituyes en éste límite obtendrías:

( ) ( )2 2

1 1ln 1 ln 1

ln 1 0 ln 1 0lim

1 1 0 0 0x

x

x

→∞

+ + +∞ = = = =

∞

Ahora si puedes aplicar L’hopital:

( )

'

32

2' 2

3 2222 2

'

2 2 2

2

211

2111 1ln 1ln 1 1

1lim lim lim lim lim

1 1 1 11

2

lim

x x x x x

x

xxxx

x xxxx x

x x x xx

x

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

→∞

−+

+ −++ + + = = = = = − − −

−3x ( ) ( )

( )2 2 2 2

2

2 2

2

1 1 2 2lim lim lim

1 1 1x x x

x x x x x

x x

x x

→∞ →∞ →∞

−+ +

= = =+− − x ( ) 22

2lim

11 x

x

xx →∞=

++

Este ultimo límite es de la forma ∞∞

porque 2 2

2 2lim

1 1x

x

x→∞

∞ ∞= =+ ∞ + ∞

Por lo que podemos aplicar de nuevo L’hopital:

( )( )2 2

2 '2 2 2lim lim lim lim

1 21 'x x x x

xx

x xx→∞ →∞ →∞ →∞= = =

+ + 2

1 1lim 0x xx →∞

= = =∞

1lim ln 1

20 : 1

xx xerecuerda que e e

+ →∞ = =

Como ves un límite puede tener múltiples formas válidas de resolverlos.

Respuesta: Se verificó: 2

1lim 1 1

x

x x→∞

+ =

Ejercicio 7

Sea :g →ℝ ℝ , la función definida por [ ]( )g x x= .

a. Representa gráficamente a la función g en el intervalo [ ]2,2− .

b. Calcula el límite de la función g , cuando x tiende a 0 1x = por la izquierda.

c. Calcula el límite de la función g , cuando x tiende a 0 1x = por la derecha.

d. ¿Existe el límite de la función g , cuando x tiende a 0 1x = ? Explique.

Solución

Justificación:

a) Para hacer la representación gráfica de la función dada, primero

debemos conocer la función parte entera, denotada en este caso

como [ ]x , y que se define así:

[ ] 1 ; x n n x n n= → ≤ < + ∈ℤ

Tomemos valores arbitrarios para n , tomando en cuenta que nos piden

graficar solo en el intervalo [ ]2,2− así:

[ ][ ][ ][ ]

2 2 1

1 1 0

0 0 1

1 1 2

x x

x x

x x

x x

= − → − ≤ < −

= − → − ≤ <

= → ≤ <

= → ≤ <

Ahora procedemos a graficar, obteniendo:

b) Para calcular el límite de ( )g x cuando x se acerca a 1 por la

izquierda, observamos la gráfica en el punto 1:

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 1 por la izquierda

y vamos hacia la gráfica (línea roja) y observamos que la imagen tiende a 0,

por lo tanto:

1lim ( ) 0x

g x−→

=

c) Para calcular el límite de ( )g x cuando x se acerca a 1 por la

derecha, observamos la gráfica en el punto 1:

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 1 por la derecha y

vamos hacia la gráfica (línea roja) y se observa que la imagen tiende a 1, por lo

tanto:

1lim ( ) 1x

g x+→

=

d) No existe el límite 1

lim ( )xg x

→ ya que los límites laterales calculados en

los apartados “b” y “c” son diferentes.

Respuesta:

a) La grafica de g es:

b) 1

lim ( ) 0x

g x−→

=

c) 1

lim ( ) 1x

g x+→

=

d) El 1

lim ( )xg x

→ no existe.

Ejercicio 8

Calcular 3

8

7 3lim

8x

x

x→

+ −−

.

Solución

Justificación:

Expresión Matemática Operación realizada

3 3

8

7 3 7 8 3lim

8 8 8

7 2 3 9 3 3 3 0

00 0 0

x

x

x→

+ − + −= =− −

+ − − −= = =

Primero se evalúa el límite para

saber a que forma indeterminada

nos enfrentamos

3

8

7 3lim

8x

x

x→

+ −−

Límite original

En este caso se puede multiplicar por la conjugada del numerador 37 3x+ −

que es 37 3x+ +

( )( )( )

( )( )

( )( )

3

8

22

3

8

3

8 3

3

8 3

3

3

3

3 3

3

3

3

lim8

lim

8

7 9lim

8 7 3

2

7 7

7

7

im

8 7 3

7

l

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

→

→

→

→

− + = − +

− =

− +

+ − =

− + +

−

+ +

+

+

− + +

+

Se multiplica por la conjugada

tanto en el numerador como en

el denominador para no alterar el

ejercicio, es decir, 3

3

7 31

7 3

x

x

+ + =+ +

,

y al multiplicar por 1, no se altera

el ejercicio original

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

3

8 3

3

3

2lim

8 7 3

8 2 2 2

0 7 2 38 8 7 8 3

0 0

00 9 3

x

x

x x→

− =

− + +

− −= =+ +− + +

=+

Ahora sustituimos de nuevo el

valor 8, para saber si se eliminó

la forma indeterminada 0

0

( ) ( )3

8 3

2lim

8 7 3x

x

x x→

−

− + +

Como aun permanece la forma

indeterminada 0

0 hay que

ejecutar otra acción matemática

En este caso podemos racionalizar el numerador, ya que existe en el

numerador la expresión 3 2x − , recordando la fórmula del factor racionalizante:

( )( )3 32 23 3 3b ba a ab ba− + + = −

En nuestro caso particular, tenemos: 3 2x − , sabiendo que 3 8 2= , sustituimos el

2 por 3 8 para que la expresión 3 2x − en el numerador tome la estructura

3 3 8x − que es semejante a 3 3a b− , de manera que podemos identificar

claramente a y b , en fin:

( )( )( )( )

3 32 23 3 3

3 32 23 3 38 8 8 8

a a a a

x x x x

b b b b− + + = −

− + + = −

NOTA: Puedes escribir el factor racionalizante así: ( )( )3 32 23 3 38 8 8x x x− + + ,

porque: 8 8x x= , apliquemos pues ésta explicación del factor racionalizante:

( ) ( )

( ) ( )

3

8 3

3 3

8 3

2lim

8 7 3

8lim

8 7 3

x

x

x

x x

x

x x

→

→

− =

− + +

−

− + +

Se aplicó:

3 3 32 8x x− = −

( ) ( )( )

( )( ) ( )

3 32 233 3

3 32 28 33

8 3 32 23 3

li8 8

8 8

8

m

8 7 3

li

8

m

8 7 3 8

8

x

x

x x

x

x

x

x xx

x

x x

x

→

→

+ + − = + + − + +

− =

− + + + +

Se multiplica por el factor

racionalizante 3 32 23 8 8x x+ +

tanto en el numerador como en

el denominador para no alterar el

ejercicio, es decir,

3 32 23

3 32 23

8 81

8 8

x x

x x

+ + =+ +

, y al multiplicar

por 1, no se altera el ejercicio

original

8

8limx

x

→

−

( )8x − ( )( )

( )( )

3 32 23 3

8 3 32 23 3

7 3 8 8

1lim

7 3 8 8x

x x x

x x x→

= + + + +

+ + + +

Se destaco los elementos

semejantes obtenidos depuse de

aplicar el factor racionalizante y

se simplificaron

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

3 32 23 3

3 3 3

1

7 8 3 8 8 8 8

1

7 2 3 64 64 64

1 1

3 3 129 3 4 4 4

1 1

6 12 72

= + + + +

= + + + +

= = ++ + +

=

Evaluando de nuevo, se tiene

Respuesta: 3

8

7 3 1lim

8 72x

x

x→

+ − =−

Ejercicio 9

Calcular 0

ln( 1)limx

x

x→

+

Solución

Justificación: Primero sustituimos el valor de 0 , para identificar a que

forma indeterminada nos enfrentamos:

0

ln( 1) ln(0 1) ln(1) 0lim

0 0 0x

x

x→

+ += = =

En este caso conviene, aprovechando las propiedades de la función

logaritmo hacer lo siguiente:

1 1

0 0 0 0

ln( 1) 1lim lim ln( 1) lim ln( 1) ln lim( 1)x x

x x x x

xx x x

x x→ → → →

+ = + = + = +

Y si evaluamos en esta última expresión se tiene: 1 1

0

0lim( 1) (0 1) 1x

xx ∞

→+ = + =

En esta forma indeterminada podemos hacer uso de la igualdad utilizada

en el ejercicio 6, es decir:

( ) ( )( )

0

0 0

lim ( ) ( ) 1( ) ( )lim ( ) 1 lim ( ) x x

g x f xg x g x

x x x xf x f x e →

−∞

→ →= → =

En este caso:

00 0

11 1 1 limlim ( 1 1) lim ( )

0ln lim( 1) ln ln ln

xx xx x

xx x x

xx e e e

→→ →+ −

→

+ = = =

( x ( ) ( ) ( )0

) lim11ln ln ln 1xe e e→

= = = =

Respuesta: 0

ln( 1)lim 1x

x

x→

+ =

Ejercicio 10

Calcular 2

3 21

1lim

2 2x

x

x x x→

−− + −

Solución

Justificación: Primero sustituimos el valor de 1, para identificar a que

forma indeterminada nos enfrentamos:

( )2 2

3 2 3 21

1 1 1 0 0 0lim

2 2 1 1 2 1 2 0 2 2 0 0 0x

x

x x x→

− −= = = =− + − − + − + − +

En este caso, como estamos en presencia de 2 polinomios procedemos

a factorizar cada uno de ellos:

Polinomio numerador

( )( )2 1 1 1x x x− = − +

Polinomio denominador 3 2 2 2x x x− + −

Para factorizar este polinomio aplicamos Ruffini, así:

Observa que una raíz obligada es 1 porque es el valor al cual tiende el

límite que anuló el denominador cuando evaluamos y obtuvimos la forma

indeterminada 0

0. ESTO NOS DA EL SIGUIENTE TIP’S: CUANDO

TENGAMOS POLINOMIOS Y TENGAMOS QUE APLICAR RUFFINI,

SIEMPRE COMENZAMOS POR EL VALOR AL CUAL TIENDE EL L ÍMITE.

Luego dentro del procedimiento de Ruffini obtenemos los valores

1 0 2 , que como se sabe este es un polinomio de grado 2, que se

escribe, en este caso: 2 2x + , entonces la factorización del denominador

quedaría: 3 2 22 2 ( 1)( 2)x x x x x− + − = − +

Sustituyendo ambas factorizaciones en el límite, se tiene:

2

3 2 21 1 1

( 1)1 ( 1)( 1)lim lim lim

2 2 ( 1)( 2)x x x

xx x x

x x x x x→ → →

−− − += =− + − − +

( 1)

( 1)

x

x

+− 2 22 1

( 1) (1 1) 2lim

( 2) (1 2) 3( 2) x

x

xx →

+ += = =+ ++

Respuesta: 2

3 21

1 2lim

2 2 3x

x

x x x→

− =− + −

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Calcule el límite dado, ( )2lim 5 6x

x x x→∞

− + −

Ejercicio 2

Calcule 2

3lim

1

x

x

x

x→∞

− +

Ejercicio 3

Calcula 3

23

27lim

9x

x

x→

− −

Ejercicio 4

Calcula el límite 4 3

2

3 2 1lim

5 20x

x x

x x→∞

+ ++ +

Ejercicio 5

Calcular 4

1lim

4

x

tgx

xπ π→

− −

Ejercicio 6

Usando conjugadas resuelva 0

1 1lim

4 2x

x

x→

+ −+ −

Ejercicio 7

Calcular 2

5lim

1

x

x

x

x

+

→∞

+ +

Ejercicio 8

Sea : (0, )f ∞ → ℝ una función tal que: lim ( )t

f t→∞

= ∞ . Calcula los siguientes

límites:

a. ( )lim 2 ( ) 1t

f t→∞

+ b. ( )2

3

1lim

2 1 ( )t

t

t t f t→∞

++ −

∞+→tlím

Ejercicio 9

Calcular el límite ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

2 5 3 7 2lim

6 5 3 5 2

x x

x xx→∞

+ −

− +

i i

i i

Ejercicio 10

Sea : ( ,0)f −∞ →ℝ , una función tal que la recta de ecuación 3 2y x= + es una

asíntota de la función f . A continuación hacemos varias afirmaciones en

relación a la función f . Indica con una V o una F en el espacio

correspondiente según que la afirmación sea verdadera o falsa

respectivamente.

a. ( )

lim 3x

f x

x→−∞= _____

b. ( )

lim 2x

f x

x→−∞= _____

c. ( )lim ( ) 3 2x

f x x→−∞

− = _____