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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.2 Síntesis de generación de trayectorias.

Capitulo IVCapitulo IVCapitulo IVCapitulo IV

Síntesis dimensional de mecanismos

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.2 Síntesis de generación de trayectorias.

Capítulo IVCapítulo IVCapítulo IVCapítulo IVSíntesis dimensional de mecanismosSíntesis dimensional de mecanismosSíntesis dimensional de mecanismosSíntesis dimensional de mecanismos

IV.1IV.1IV.1IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones.funciones.funciones.funciones.

IV.2IV.2IV.2IV.2 Generación de trayectorias.Generación de trayectorias.Generación de trayectorias.Generación de trayectorias.1.1.1.1. Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de

trayectorias.trayectorias.trayectorias.trayectorias.2.2.2.2. Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.3.3.3.3. Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.4.4.4.4. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de

RobertsRobertsRobertsRoberts----ChevishevChevishevChevishevChevishev....IV.3IV.3IV.3IV.3 Guiado de sólido rígido.Guiado de sólido rígido.Guiado de sólido rígido.Guiado de sólido rígido.

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Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias

1.1.1.1. Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de trayectorias.trayectorias.trayectorias.trayectorias.

2.2.2.2. Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.3.3.3.3. Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.4.4.4.4. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de

RobertsRobertsRobertsRoberts----ChevishevChevishevChevishevChevishev....

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Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias

1.1.1.1. Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de trayectorias.trayectorias.trayectorias.trayectorias.

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Introducción a la síntesis de Introducción a la síntesis de Introducción a la síntesis de Introducción a la síntesis de generación de trayectoriasgeneración de trayectoriasgeneración de trayectoriasgeneración de trayectorias

Se denomina síntesis dimensional de generación de síntesis dimensional de generación de síntesis dimensional de generación de síntesis dimensional de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias a la parte de la síntesis de mecanismos que estudia la correspondencia de las trayectorias descritas por puntos pertenecientes a las barras de un mecanismo, durante el movimiento de éste, con otras trayectorias especificadas. Existen diferentes tipos de problemas que pueden plantearse en la síntesis de generación de trayectorias como son: generar trayectorias iguales, generar trayectorias simétricas, etc.

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Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias

2.2.2.2. Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.

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Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en números complejosnúmeros complejosnúmeros complejosnúmeros complejos

zzzz6

zzzz5

zzzz4zzzz3

zzzz2

zzzz1

φ1nψ1

n

θ1n

δ1n PPPP1

rrrr1rrrrn

PPPPn

45611

3211

zzzzr

zzzr

+++=

++=

n1n1

n1n1

i4

i561n

i3

i21n

ee

ee

θψ

θφ

zzzzr

zzzr

+++=

++=

)1e()1e(

)1e()1e(

n1n1

n1n1

i4

i5n1

i3

i2n1

−+−=

−+−=

θψ

θφ

δ

δ

zz

zz

)1e()1e(

)1e()1e(

1212

1212

i4

i512

i3

i212

−+−=

−+−=

θψ

θφ

δ

δ

zz

zz

)1e()1e(

)1e()1e(

1313

1313

i4

i513

i3

i213

−+−=

−+−=

θψ

θφ

δ

δ

zz

zz

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Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en números complejosnúmeros complejosnúmeros complejosnúmeros complejos

)1e()1e(

)1e()1e(

1313

1212

i3

i213

i3

i212

−+−=

−+−=

θφ

θφ

δ

δ

zz

zz

)1e()1e(

)1e()1e(

1313

1212

i4

i513

i4

i512

−+−=

−+−=

θψ

θψ

δ

δ

zz

zz

)1e()1e(

)1e()1e(

)1e(

)1e(

1313

1212

13

12

ii

ii

i13

i12

2

−−

−−

−

−

=

θφ

θφ

θ

θ

δ

δ

z

)1e()1e(

)1e()1e(

)1e(

)1e(

1313

1212

13

12

ii

ii

13i

12i

3

−−

−−

−

−

=

θφ

θφ

φ

φ

δ

δ

z

)1e()1e(

)1e()1e(

)1e(

)1e(

1313

1212

13

12

ii

ii

i13

i12

4

−−

−−

−

−

=

ψθ

ψθ

ψ

ψ

δ

δ

z

)1e()1e(

)1e()1e(

)1e(

)1e(

1313

1212

13

12

ii

ii

13i

12i

5

−−

−−

−

−

=

ψθ

ψθ

θ

θ

δ

δ

z

45116

3211

zzzrz

zzrz

−−−=

−−=

5

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Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en números complejosnúmeros complejosnúmeros complejosnúmeros complejos

Síntesis dimensional de generación de trayectoria con tres puntos de precisión: La trayectoria por la que debe pasar el punto P se define como:

Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:

1.Se obtiene el valor de: δ12 y δ13.

2.Se suponen unos ángulos: ϕ12, ϕ13, ψ12, ψ13, θ12, θ13.

3.Se obtienen las dimensiones: z2,z3, z4, z5.

4.Se obtienen las dimensiones: z1, z6.

y3

x3

y2

x2

y1

x1

y

x

213

21313

212

21212

)yy()xx(

)yy()xx(

−+−=

−+−=

δ

δ

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3.3.3.3. Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.

Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias

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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias

A0 B0

A1

B1

A2B2

P2

P1

B0

A1

B0’

A0’

B1

A0

P1

El movimiento de un mecanismo cuadrilátero articulado para pasar de una posición 1 a otra 2 será distinto en función de donde este situado el observador. Si éste esta situado en el bastidor las articulaciones flotantes recorrerán una trayectoria circular alrededor de las fijas. Si está situado en el acoplador serán las articulaciones fijas las que describan una trayectoria circular alrededor de las móviles.

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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias

A0 B0

A1

B1

A2B2

P2

P1

A0 B0

A1

B1

A2B2

P2

P1

B0’A0’

Las posiciones A0’ y B0’ pueden obtenerse fácilmente mediante triangulación.

Basándose en este principio se puede plantear un procedimiento de síntesis gráfica de generación de trayectorias.

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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias

P1

P2

P3

A1

A0

B0

a

e

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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias

P1

P2

P3

eeA1

A3

A2

A0

B0

e

a

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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias

P1

P2

P3

A1 A3A2

A0

B0

e

ee

a

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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias

P1

P2

P3

A1 A3 A2

A0

B0

B0’’

B0’

B1

ee

e

a

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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias

P1

P2

P3

A1 A3 A2

A0

B0

B0’’

B0’

B1

ee

e

a

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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias

a

P1

P2

P3

A1 A3 A2

A0

B0

B1

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Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias

4.4.4.4. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChevishevChevishevChevishevChevishev....

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.2 Síntesis de generación de trayectorias.

Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

Se conocen como mecanismo cognados o emparentados a los mecanismos que realizan la misma función. Por ejemplo:

• Recorrer la misma trayectoria.

• Generar la misma función entrada-salida.

• Etc.

El interés de estudiar estos mecanismos radica en que en muchas ocasiones, durante el proceso de diseño, interesa tener varias alternativas de mecanismos que realicen la misma función. De esta forma, se pueden escoger entre las alternativas el mecanismo menos voluminoso, pesado, etc.

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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

En este apartado estudiaremos los mecanismos cognados del cuadrilátero articulado que recorren la misma trayectoria. Este estudio fue realizado independientemente por los investigadores Robert (1875) y Chebyshev(1876).

Enunciado: “Existen tres mecanismos cuadrilátero articulado que trazan la misma curva de acoplador”.Existen al menos 12 demostraciones de este teorema pero aquí estudiaremos solamente una.

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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

A0 B0

BA θ

α β

γ

φ

P

Teorema de Roberts-Chebshev: construcción gráfica.

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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

A0 B0

D

P

BA

E

ψ

θ

α β

γ

Ψ + π

ψ

ψ

φ

θ+ α

φ

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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

A0 B0

D

P

BA

E

F

G

ψ

θ

βα

α

α

β

β

γ

γ

γ

Ψ + π

ψ

ψ

φ

θ+ α

φ

ψ

π

ψ + π + α

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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

A0 B0

D

P

BA

C0

E

F

G

ψ

θ

βα

α

α

β

β

γ

γ

γ

Ψ + π

ψ

ψ

φ

θ+ α

φ

ψ

π

ψ + π + α

N = 10

PI = 13

PII = 0

G = 3(10-1)-2 13 = 1

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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

A0 B0

D

P

BA

C0

E

F

G

ψ

θ

βα

α

α

β

β

γ

γ

γ

Ψ + π

ψ

ψ

φ

θ+ α

φ

ψ

π

ψ + π + α

zzzz

00 FCDFDA ++=z

)(i0

)(i)(i0 eFCDFeDeA απψαϕαθ ++++ ++=z

DAAP 0=

AB

DP

AP

DF=

AB

AAAP

AB

DPAPDF 0==

AB

EP

AP

PG=

AB

BBAP

AB

EPAPPGFC 0

0 ===

[ ] cteeBAAB

APeBBAeAABee

AB

AP

eAB

BBAPe

AB

AAAPAPe

i00

)(i0

i0

ii

)(i0)(i0)(i

==++

=++=

+

++++

απψϕθα

απψαϕαθz

α

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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

A0 B0

D

P

BA

C0

E

F

G

ψ

θ

βα

α

α

β

β

γ

γ

γ

Ψ + π

ψ

ψ

φ

θ+ α

φ

ψ

π

ψ + π + α

γ

0000 BAAB

APCA =

AB

AP

BA

CA

00

00 =

α

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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev

A0 B0

C0

γ

Obtención directa de C0