física cinemática

Física cinemática Adrián Ansede

FÍSICA CINEMÁTICA

pág. 1


ÍNDICE

Movimiento rectilíneo........................................................................................................3

Movimiento circular........................................................................................................23

Movimiento curvilíneo.....................................................................................................61

Movimiento relativo.......................................................................................................142

pág. 2


Movimiento rectilíneo

Movimiento rectilíneo

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeño como sea posible, en el límite cuando t tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

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Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 mt’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t

m/s3 46 25 1 252.1 23.05 2.05 0.1 20.52.01 21.2005 0.2005 0.01 20.052.001 21.020005 0.020005 0.001 20.0052.0001 21.0020000

50.00200005 0.0001 20.0005

... ... ... ... ... 0 20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1 La posición del móvil en el instante t+t es x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1 El desplazamiento es x=x'-x=10tt+5t2 La velocidad media <v> es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

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La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo t tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de

La velocidad La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

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El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.

Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

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En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son

Movimiento rectilíneo uniforme

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Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

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Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0

Interpretación geométrica de la derivada

El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de derivada y la interpretación geométrica de la derivada

Se elige la función a representar en el control de selección titulado función, entre las siguientes:

Se pulsa el botón titulado nuevo

Se observa la representación de la función elegida

Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t0.

Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado aumento

Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica

Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t0 elegido Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en

t0.

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Ejemplo:

Elegimos la primera función y el punto t0=3.009

Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha función es

para t0=3.0 la derivada tiene vale -1.0

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Movimiento de caída de los cuerpos

En este programa se van a estudiar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y en concreto el movimiento de caída de los cuerpos bajo la aceleración de la gravedad.

Si bien, es un tema que se estudia a lo largo de todos los cursos de Física, desde los más elementales, persisten algunas dificultades y en concreto aquellas que confunden la posición del móvil con espacio recorrido.

Se ha de insistir, que las magnitudes cinemáticas tienen carácter vectorial, incluso en el movimiento rectilíneo, y que para describir un movimiento se han de seguir los siguientes pasos:

1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje a lo largo del cual tiene lugar el movimiento

2. El valor y signo de la aceleración 3. El valor y el signo de la velocidad inicial 4. La posición inicial del móvil 5. Escribir las ecuaciones del movimiento 6. A partir de los datos, despejar las incógnitas

Descripción

Un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio de altura x0 con velocidad v0, determinar las ecuaciones del movimiento, la altura máxima y el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar el origen.

En primer lugar, establecemos el origen y la dirección del movimiento, el eje X. Después, los valores de la posición inicial y los valores y signos de la velocidad inicial, y de la aceleración, tal como se indica en la figura. Resultando las siguientes ecuaciones del movimiento.

Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad del móvil es cero. De la ecuación de la velocidad, se obtiene el tiempo que transcurre desde que se lanza hasta que llega a dicha posición. El tiempo transcurrido se sustituye en la ecuación de la posición, obteniéndose la máxima altura que alcanza el móvil medida desde el suelo.

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El tiempo que tarda en llegar al suelo, se obtiene a partir de la ecuación de la posición, poniendo x=0, resolviendo una ecuación de segundo grado.

Nota: como podrá comprobar el lector, la solución del problema es independiente de la situación del origen. Si colocamos el origen en el punto de lanzamiento, la posición inicial x0 es cero, pero el suelo se encuentra en la posición -x0 respecto de dicho origen, resultando la misma ecuación. La altura máxima se calcula ahora desde el techo del edificio, no desde el origen.

Signo de la aceleración:

Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración de la gravedad vale a=-g, g=9.8 ó 10 m/s2

Signo de la velocidad inicial:

Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es inicialmente lanzado hacia arriba el signo de la velocidad inicial es positivo, en caso de ser lanzado hacia abajo el signo es negativo

Situación del origen:

Se acostumbra a poner en el origen, en el punto en el que es lanzado el móvil en el instante inicial. Esto no tiene que ser siempre así, si un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio podemos situar el origen en el suelo, la posición inicial del móvil correspondería a la altura del edificio h.

Si situamos el origen en el techo del edificio y lanzamos el móvil desde el suelo, la posición inicial sería -h.

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Actividades

Se proponen ahora un conjunto de ejercicios sencillos para practicar con el programa interactivo, se pueden resolver primero numéricamente y después comprobar su respuesta en dicho programa.

1.-Se deja caer un objeto desde un edificio de 300 m de altura, calcular la velocidad y el tiempo que tarda en llegar al suelo.

2.-Se lanza un objeto, situado inicialmente en el origen, hacia arriba con una velocidad de 60 m/s, calcular la máxima altura que alcanza.

3.-Se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s, desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Calcúlese la máxima altura sobre el suelo y la velocidad con que retorna al mismo.

4.-Se lanza un objeto hacia abajo, con velocidad inicial de 10 m/s, desde una altura de 300 m. Calcular la velocidad con que llega al suelo.

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Regresión lineal

En esta página, se describe el procedimiento de ajuste de los datos experimentales a una línea recta denominado regresión lineal, que se usa en el laboratorio en varias situaciones:

Para calcular la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo. Para calcular la constante elástica de un muelle, colocando pesas en un platillo

que cuelga de su extremo libre y midiendo la deformación del muelle. etc.

El programa interactivo al final de esta página, está diseñado para que sea usado, en el Laboratorio de Física para cualquier experiencia que lo requiera. Nos proporciona los valores de:

La pendiente a de la recta de regresión y el error cometido a La ordenada en el origen b El índice de correlación r. Este índice mide el grado de ajuste de los datos

experimentales a la recta .

Descripción

Supongamos que estamos midiendo la posición de un móvil en función del tiempo en un movimiento rectilíneo. Si el móvil está libre de fuerzas, esperamos que la relación entre la posición del móvil y el tiempo sea lineal x=x0+vt. Donde x0 es la posición del móvil en el instante t=0.

Si medimos las posiciones del móvil x1 y x2 en los instantes t1 y t2, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que podemos determinar las cantidades desconocidas x0 y v. Ahora bien, esta afirmación solamente es cierta en un experimento ideal libre de errores.

Si efectuamos n medidas de la posición del móvil, el aspecto de la representación gráfica de nuestras medidas puede ser parecido al de la figura más abajo, los puntos de color azul representan los datos experimentales. La relación entre las ordenadas y y las abscisas x de dichos puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas.

Si tomamos únicamente dos puntos para definir la recta el resultado tendría un importante error. Para una mejor estimación de la recta y por tanto, de las magnitudes buscadas, se deberán utilizar las n medidas tomadas.

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Supongamos una magnitud física y, relacionada con otra x, mediante la función y=ax+b. Una recta de pendiente a cuya ordenada en el origen es b. Las desviaciones de los valores de y, véase la figura, serán

1=y1-(ax1+b) =y2-(ax2+b) ................... i=yi-(axi+b) ................... n=yn-(axn+b)

Sea E(a,b) la suma de los cuadrados de todas estas desviaciones

E(a,b)=(y1-ax1-b)2+(y2-ax2-b)2+...(yi-axi-b)2+...+(yn-axn-b)2

Los valores que minimizan a E(a,b) son aquellos para los que

Se obtiene así, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b cuya solución es

Expresiones más elaboradas nos permiten determinar el error de a, a y el error de b, b

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La pendiente de la recta se escribirá a±a, y la ordenada en el origen b±b. Véase las reglas para expresar una medida y su error de una magnitud.

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.

El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1.

Cuando r=1, la correlación lineal es perfecta, directa. Cuando r=-1, la correlación lineal es perfecta, inversa Cuando r=0, no existe correlación alguna, independencia total de los

valores X e Y

Ejemplo

Un vehículo que se mueve supuestamente con velocidad constante. Los datos de las medidas del tiempo en cuatro posiciones separadas 900 m son las siguientes

Tiempo t (s) Posición x (m)17.6 040.4 90067.7 180090.1 2700

Ajustar los datos a la línea recta

x=x0+vt

y estimar el mejor valor de la velocidad v aplicando el procedimiento de mínimos cuadrados

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Introduciendo los datos en el programa interactivo, la pendiente es a=36.71 y el error de la pendiente a=1.001. La velocidad se escribe v=37±1 m/s.

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Movimiento rectilíneo uniforme

El objetivo de esta práctica simulada, es la medida de la velocidad de un carrito que desliza sin rozamiento a lo largo de un raíl.

Descripción

Disponemos de un raíl horizontal por el que se mueve el carrito, una regla adosada al raíl, y un cronómetro con dos dispositivos: uno que lo pone en marcha y otro que lo para.

Aceleramos el carrito, mediante una cuerda que pasa por una polea situada en el extremo derecho de la regla. Una pesa que se cambiar pulsando el botón titulado nuevo, cuelga de la cuerda.

Cuando el carrito pasa por el origen, se deja de acelerar, haciendo que la pesa se detenga sobre un tope. La cuerda deja de actuar sobre el carrito, desde este momento el carrito se mueve con velocidad constante.

Cambiando la pesa cambiamos la fuerza sobre el carrito y su aceleración durante el trayecto que va desde su posición inicial hasta el origen, por tanto, se modifica la velocidad final justo cuando pasa por el origen, que es a su vez la velocidad constante con que realiza el resto del trayecto.

El cronómetro se pone en marcha cuando el carrito pasa por la flecha que marca el origen de la regla

El cronómetro se para cuando el carrito pasa por la segunda flecha .

De este modo, el cronómetro mide el tiempo que tarda el móvil en desplazarse entre las dos flechas.

La flecha que marca el origen está fija, no se puede cambiar.

La segunda flecha se puede desplazar a lo largo de la regla del siguiente modo:

Se pulsa el botón izquierdo del ratón, cuando el puntero está sobre la flecha. Sin dejar de pulsar el botón izquierdo del ratón, se desplaza el ratón. Cuando la flecha está situada en la posición deseada se deja de pulsar el botón

izquierdo del ratón.

Para poner en marcha el carrito se pulsa el botón titulado empieza.

Fundamentos físicos

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Si el carrito se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme la su posición x en el instante t es proporcional a t de acuerdo a la ecuación

x=x0+vt

Poniendo en el eje de las ordenadas las medidas de x y en el eje de abscisas los tiempos t, la pendiente de la recta que mejor ajusta nos dará la medida de la velocidad v.

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Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

El objetivo de esta práctica simulada es la medida de la aceleración de un carrito que desliza impulsado por una fuerza constante a lo a lo largo de un raíl.

Descripción

Disponemos de un raíl horizontal por el que se mueve el carrito, una regla adosada al raíl, y un cronómetro con dos dispositivos: uno que lo pone en marcha y otro que lo para.

Aceleramos el carrito, mediante una cuerda que pasa por una polea situada en el extremo derecho de la regla. Una pesa que se puede cambiar pulsando el botón titulado nuevo, cuelga de la cuerda.

En esta práctica, el carrito se sitúa en el origen y la fuerza que se ejerce sobre el carrito actúa durante todo su recorrido. El movimiento es uniformemente acelerado. El resto de la práctica es semejante a la anterior.

El cronómetro se pone en marcha cuando el carrito pasa por la flecha que marca el origen de la regla

El cronómetro se para cuando el carrito pasa por la segunda flecha .

De este modo, el cronómetro mide el tiempo que tarda el móvil en desplazarse entre las dos flechas.

La flecha que marca el origen está fija, no se puede cambiar.

La segunda flecha se puede desplazar a lo largo de la regla del siguiente modo:

Se pulsa el botón izquierdo del ratón cuando el puntero está sobre la flecha. Sin dejar de pulsar el botón izquierdo del ratón, se desplaza el ratón. Cuando la flecha está situada en la posición deseada se deja de pulsar el botón

izquierdo del ratón.

Para poner en marcha el carrito se pulsa el botón titulado empieza.

Fundamentos físicos

En las ecuaciones del movimiento es uniformemente acelerado la velocidad es una función lineal del tiempo, pero no así la posición del móvil. Por lo que solamente se puede aplicar el procedimiento de la regresión lineal a una tabla de datos tiempo-velocidad, pero la experiencia nos suministra una tabla de datos tiempo-desplazamiento.

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Por tanto, tenemos que obtener una tabla tiempo-velocidad, a partir de una tabla de datos tiempo-desplazamiento.

Si suponemos que el movimiento es uniformemente acelerado, vamos a demostrar que la velocidad media <v> del móvil entre los instantes t1 y t2 es igual a la velocidad en el instante intermedio (t1+t2)/2. En efecto,

Sea x1 la posición del móvil en el instante t1 Sea x2 la posición del móvil en el instante t2.

La velocidad media del móvil entre los instantes t1 y t2 es

Podemos expresar la posición x2 en términos de la posición inicial x1 y de la velocidad inicial v1.

La velocidad media vale entonces

Que como podemos comprobar es la velocidad en el instante intermedio entre t1 y t2

La velocidad media en el intervalo comprendido entre el instante t1 y t2 es igual a la velocidad en el instante (t1+t2)/2 intermedio en entre dichos instantes.

Por tanto, para transformar una tabla tiempo-desplazamiento en otra tiempo-velocidad, procedemos del siguiente modo:

En la tabla de desplazamientos calculamos la velocidad media entre los instantes t1 y t2 mediante la fórmula

Dicha velocidad se la asignamos al instante (t1+t2)/2.

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Ejemplo:

Tiempo (s) desplazamiento (cm) tiempo (s) velocidad (cm/s)

5.1 5 6.15 2.38

7.2 10 8 3.125

8.8 15 9.45 3.846

10.1 20 10.75 3.846

11.4 25 11.9 5

12.4 30 12.9 5

13.4 35 13.85 5.56

14.3 40 14.65 7.14

15 45

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Movimiento circular

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, q

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo q, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, w

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo q '. El móvil se habrá desplazado Dq=q ' -q en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Aceleración angular, a

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Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t' la velocidad angular del móvil es w'. La velocidad angular del móvil ha cambiado Dw=w' -w en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento q -q0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto w dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

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Hallamos la posición angular q del móvil en el instante t, sumando la posición inicial q0

al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva w-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular w en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad w -w0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad w -w0 es el área bajo la curva a - t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad angular w -w0, y el valor inicial w0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular w en el instante t.

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.

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Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular w es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular q del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

q -q0=w(t-t0)

o gráficamente, en la representación de w en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme.

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración a es constante.

Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular w -w0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad angular w en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento q -q0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

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Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0

Encuentro de dos vehículos en movimiento circular

Como introducción vamos a plantear problemas de encuentro entre dos vehículos en movimiento rectilíneo para que podamos compararlos con los encuentros que tienen lugar cuando los vehículos se mueven en una trayectoria circular.

Encuentro de dos vehículos en movimiento rectilíneo

Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s2. En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos

Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los vehículos

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x1=15·tx2=1.5t2/2

La posición de encuentro x1=x2 da lugar a la ecuación de segundo grado

0.75t2-15t=0

cuyas soluciones son t=0, y t=20.

El instante de encuentro es te=20s, y la posición de encuentro xe=300 m medida desde la salida.

Solución gráfica

Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul. Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una

parábola)

El punto de intersección señala el instante te de encuentro y la posición xe de encuentro.

Veamos ahora este otro problema algo más complejo

Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que se encuentran

Cuando el primer proyectil lleva un tiempo t>2 moviéndose, el segundo proyectil lleva un tiempo t-2 en el aire. Las ecuaciones del movimiento serán:

x1=50·t-9.8t2/2x2=80(t-2)-9.8(t-2)2/2

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El instante y la altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la ecuación de te=3.62 s, xe=116.8 m

Solución gráfica

Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la curva de color azul. Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo


Problema de encuentro de dos vehículos en movimiento circular

Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero, está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -/6 rad/s2. Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular:

El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez

Veamos el movimiento antes de explicar el planteamiento del problema:

Como introducción vamos a plantear problemas de encuentro entre dos vehículos en movimiento rectilíneo para que podamos compararlos con los encuentros que tienen

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lugar cuando los vehículos se mueven en una trayectoria circular.

Encuentro de dos vehículos en movimiento rectilíneo

Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s2. En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos

Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los vehículos

x1=15·tx2=1.5t2/2

La posición de encuentro x1=x2 da lugar a la ecuación de segundo grado

0.75t2-15t=0

cuyas soluciones son t=0, y t=20.

El instante de encuentro es te=20s, y la posición de encuentro xe=300 m medida desde la salida.

Solución gráfica

Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul. Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una

parábola)


Veamos ahora este otro problema algo más complejo

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Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que se encuentran

Cuando el primer proyectil lleva un tiempo t>2 moviéndose, el segundo proyectil lleva un tiempo t-2 en el aire. Las ecuaciones del movimiento serán:

x1=50·t-9.8t2/2x2=80(t-2)-9.8(t-2)2/2

El instante y la altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la ecuación de te=3.62 s, xe=116.8 m

Solución gráfica

Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la curva de color azul. Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo


Problema de encuentro de dos vehículos en movimiento circular

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Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero, está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -/6 rad/s2. Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular:

El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez.

Veamos el movimiento antes de explicar el planteamiento del problema:

Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme.

El móvil sale del origen en el instante t=0.

A=0A=2A=2 t

Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado.

El móvil sale de la posición /2 en el instante t=2s.

Encuentros

Los encuentros no solamente se obtienen igualando las posiciones de ambos móviles A= B, sino también y por ser la trayectoria circular, aquellas cuya posición se diferencia en una circunferencia completa.

A+2k =B con k=0, 1, 2, 3...

Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo:

t A B

2 4 (2 vueltas) /2 Sale el móvil B

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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm#Movimiento%20circular%20uniformemente%20acelerado

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm#Movimiento%20circular%20uniforme


2.5 5 (4 + ) 2.48 (2 +0.48 ) B detrás de A

2.6 5.2 (4 +1.2 ) 2.87 (2 +0.87 ) B detrás de A

2.7 5.4 (4 +1.4 ) 3.26 (2 +1.26 ) B detrás de A

2.8 5.6 (4 +1.6 ) 3.64 (2 +1.64 ) B delante de A

Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 2.7 y 2.8. El momento en el que se produce el primer encuentro será un instante t a determinar en el intervalo de tiempo comprendido entre 2.7 y 2.8 s.

La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es:

A-2 =B

Despejando el tiempo t en la ecuación de segundo grado, obtenemos el instante del primer encuentro t=2.77 s.

Introduciendo t en la ecuación de la posición de A y de B obtenemos la posición de los móviles en el instante del encuentro:

A=5.56radB=3.56 rad

Encuentros de dos vehículos en movimiento circular

El applet que hemos presentado a principio de la página solamente sirve para describir el enunciado del problema. Podemos usar el applet que viene a continuación para resolver cualquier problema de encuentros en general.

Ecuaciones del movimiento del primer cuerpo:

Ecuaciones del segundo cuerpo:

donde t0 es el tiempo que tarda el segundo móvil en inicial el movimiento.

La particularidad del applet es que en los controles de edición no solamente se

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pueden introducir números, sino también fracciones del número . Por ejemplo si la velocidad de un móvil es:

/2, se introduce pi/2. /2, introducimos 3*pi/2 o bien, 3pi/2. , introducimos pi o PI.

El programa convierte el texto en un número decimal de doble precisión.

Se introduce:

Para el primer móvil (color rojo):

La posición angular inicial θ01 de partida en el instante t=0, en el control de edición titulado posición.

La velocidad angular inicial ω01 en el instante t=0, en el control de edición titulado velocidad.

La aceleración angular α1, en el control de edición titulado aceleración.

Para el segundo móvil (color azul)

La posición angular inicial θ02 de partida en el instante t=t0, en el control de edición titulado posición.

La velocidad angular inicial ω02 en el instante t=t0, en el control de edición titulado velocidad.

La aceleración angular α2, en el control de edición titulado aceleración.

El tiempo t0, en el control de edición titulado tiempo de retraso.

Finalmente, el intervalo de tiempo entre dos posiciones consecutivas de cada uno de los móviles en el área de trabajo del applet.

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Relación entre las magnitudes angulares y lineales

Magnitudes lineales y angulares

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio:

Derivando s=rq respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular:

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial.

Aceleración tangencial

Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.

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Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

Aceleración normal

El cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado. La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.

Supongamos un móvil que describe un movimiento circular uniforme.

En el instante t la velocidad del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.

En el instante t' la velocidad del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección ha cambiado.

Calculemos el cambio de velocidad Dv=v’-v que experimenta el móvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector Dv tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relación:

Donde la cuerda Δs es el módulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t'

Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo Dt=t'-t

Cuando el intervalo de tiempo Dt tiende a cero, la cuerda Ds se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,

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La aceleración normal an tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:

Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal"

Resumiendo

La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.

Un móvil tiene aceleración tangencial at

siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial.

Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an

ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.

La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.

Ejemplo

Una rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s. Calcular

La aceleración angular

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ω=ω0+αt

En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0

α=-π rad/s2

El ángulo girado hasta este instante es

En el instante t=1 s, la posición y la velocidad angular del móvil es

θ=7π/2=2π+3π/2 rad

ω=4π+(-π)·1=3π rad/s

La velocidad lineal

v=ω·r v=0.3π m/s

La componente tangencial de la aceleración es

at=α·r at=-0.1π m/s2

La componente normal de la aceleración es

an=v2/r an=0.9π2 m/s2

Movimiento de una bicicleta

Una bicicleta de montaña dispone de tres platos y siete piñones de distinto radio lo que proporciona 21 cambios de marcha al ciclista.

Supondremos que el ciclista hace girar al plato con velocidad angular constante w1. ¿Cuál es la velocidad v que adquiere el ciclista sobre la bicicleta?

Supondremos que conocemos los datos relativos a la bicicleta:

Radio del plato seleccionado, r1

Radio del piñón seleccionado, r2

Radio de la rueda trasera, ra

Radio de la rueda delantera, rb

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Aunque en la mayor parte de las bicicletas los radios de ambas ruedas son iguales, en algunas como las de competición contra-reloj son diferentes como en la simulación más abajo.

La figura representa un plato y un piñón unidos por una cadena. No es necesario saber Cinemática para establecer una relación entre sus respectivas velocidades angulares, y concluir que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a sus radios respectivos.

La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del plato:

vc=w1·r1

La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del piñón:

vc=w2·r2

Tenemos de este modo, la relación entre las velocidades angulares w1 y w2

w2·r2=w1·r1

En el tiempo t un eslabón de la cadena se mueve de A a B. Un diente del plato gira un ángulo q1 y uno del piñón gira un ángulo q2. Tendremos entonces la siguiente relación:

q2·r2= q1·r1

Ahora nos fijaremos en la rueda trasera. Si suponemos que el piñón es fijo, la velocidad angular del piñón w2 es la misma que la velocidad angular de la rueda trasera.

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De modo que, la velocidad va de un punto de la periferia de dicha rueda es

va= w2·ra

Esta es la velocidad v con que se mueve el ciclista sobre la bicicleta.

En el capítulo sólido rígido estudiaremos con más detalle la relación entre la velocidad de traslación y la velocidad de rotación de un sólido que rueda sin deslizar.

El ángulo girado por dicha rueda en el tiempo t será:

q a== w2·t

El eje de la rueda delantera está unido al eje de la rueda trasera mediante la estructura rígida de tubos de la bicicleta. La velocidad de traslación de la rueda delantera es la misma que la de la rueda trasera. La velocidad angular de la rueda delantera será:

v= w b·rb

El ángulo girado por dicha rueda en el tiempo t

q b= w b·t

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Movimiento de la cinta de una casete

Una casete es una caja de plástico que dispone de dos pequeñas ruedas en las que se enrolla y desenrolla respectivamente una cinta magnética. Dispone de un cabezal que graba o reproduce el sonido en la cinta, tal como se muestra en la figura.

La casete

El radio inicial de las ruedas sin cinta es r0=1.11 cm, y la velocidad de la cinta cuando pasa por el cabezal es constante e igual a v=4.76 cm/s. La cinta tarda un tiempo T en reproducirse completamente. Este tiempo depende de la longitud total de la cinta l=v·T. El espesor de la cinta h es muy pequeño, y su valor lo determinaremos más adelante.

En el instante inicial t=0.

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El radio de la rueda izquierda es r0=1.11 cm El radio de la rueda derecha es R0=2.46 cm, para una cinta de duración T=46.4

minutos

La cinta se desenrolla de la rueda derecha y se enrolla en la izquierda. En un instante determinado t, la relación entre la velocidad lineal constante v de la cinta y las velocidades angulares de rotación de las ruedas serán:

El radio de la rueda izquierda será r1 y su velocidad angular ω1=v/r1 El radio de la rueda derecha será r2 y su velocidad angular ω2=v/r2

Aunque la velocidad v de la cinta es constante, las velocidades angulares ω1 y ω2 de las ruedas no lo son ya que sus radios r1 y r2 cambian con el tiempo.

En cada vuelta 2π, la rueda izquierda incrementa su radio en h, el espesor de la cinta. Cuando la rueda izquierda gira un ángulo dθ1, su radio se habrá incrementado en dr1.

La rueda derecha habrá girado un ángulo dθ2, su radio habrá disminuido en dr2

Integramos estas dos ecuaciones entre el instante t=0, y en el instante t, teniendo en cuenta que en el instante t=0,

el radio de la rueda izquierda es r1=r0 el radio de la rueda derecha es r2=R0

En el instante t=T la cinta se ha reproducido completamente.

el radio de la rueda izquierda es r1=R0 el radio de la rueda derecha es r2=r0

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Si medimos los radios r0 y R0, el tiempo T, y la velocidad v podemos despejar el espesor h de la cinta de la primera o de la segunda ecuación. Si la duración de la cinta es de T=46.4 minutos.

Los ángulos girados por las dos ruedas se calculan integrando ω1, y ω2, respecto del tiempo t.

En el instante t=T, r1=R0 y r2=r0, el ángulo total girado por ambas ruedas es el mismo,

El contador del reproductor de la casete

Una experiencia que se puede llevar a cabo con la ayuda de un cronómetro es la de establecer una relación entre la lectura n del contador del reproductor de la casete y el tiempo t transcurrido. Vamos a comprobar que esta relación no es lineal.

Supongamos que en el instante t=0, el radio de la rueda izquierda es r0, el contador se pone a cero. En el instante final T, el radio de la rueda izquierda es R0, y la lectura del contador es N.

La lectura n del contador en el instante t es directamente proporcional al ángulo girado por la rueda izquierda θ1 hasta dicho instante.

Eliminando la constante de proporcionalidad k entre las dos ecuaciones:

Despejando el tiempo t

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Supongamos que en el instante inicial t=0, el radiode la rueda izquierda es r0=1.11 cm, el radio de la rueda derecha es R0=2.46 cm, y la lectura del contador es n=0. Cuando la cinta está completamente enrollada en la rueda izquierda ha trascurrido un tiempo de T=46.4 minutos, la lectura del contador es N=744.

t=0.0019·n2+2.33·n

En la figura, se representa t en función de n. Se sugiere al lector que analice el comportamiento de su reproductor de casete y complete una tabla como la siguiente, y represente los datos en una gráfica semejante a la figura anterior.

n t (s)0 0100 242200 487300 854400 1220500 1626600 2072700 2558 744 2786

n/100 t(min)0 01 4.032 8.123 14.234 20.335 27.16 34.537 42.637.44 46.43

El siguiente programa interactivo ajusta un conjunto de pares de datos al polinomio de segundo grado:

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y=a0+a1x+a2x2

El disco compacto CD

Un disco compacto CD tiene 6 cm de radio, 1.2 mm de espesor con un agujero central de 7.5 mm de radio. La información digital se graba en una espiral de Arquímedes de paso h constante

La pista más cercna al eje tiene un radio R0=23 mm y la más alejada Rf=58 mm, h=1.6μm es la separación entre pistas. El número de pistas (vueltas) es, por tanto.

El tiempo total que se emplea en leer a velocidad (lineal) constante la totalidad de las pistas del disco es T=72 min.

En la figura, por razón de claridad se representa un CD con solo N=10 pistas, separadas h=3.5 mm.

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Longitud de una espiral de Arquímedes

Vamos a obtener la longitud s de una espiral de Arquímedes por tres métodos distintos, uno exacto y dos aproximados. El primer método nos permite practicar el cálculo integral en particular, las funciones senh, seno hiperbólico y cosh, coseno hiperbólico.

Cálculo excato

En coordenadas polares

x=r·cosθy=r·senθ

dx=cosθ·dr-rsenθ·dθdy=senθ·dr-rcosθ·dθ

En el caso de la espiral de Arquímedes

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Para calcular la longitud de la espiral se integra entre θ=0, y θ=2πN, donde N es el número de pistas.

Para resolver la integral del tipo

se hace el cambio de variable

u=a·senht, du=acosht

Deshaciendo el cambio de variable

La función integrando es

El resultado final de la longitud de la espiral de Arquímedes es

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Introduciendo los datos en el resultado final

Cálculo aproximado

Obtenemos una solución aproximada de la integral, si nos damos cuenta que el primer término debajo de la raíz cuadrada h2/(4π2) es muy pequeño en comparación con el segundo.

La longitud de la espiral de Arquímedes se puede obtener aún más rápidamente, calculando el radio medio Rm=(R0+Rf)/2=40.5 mm de las pistas y multiplicando la longitud de la pista media por el número N de pistas considerando que tienen el mismo radio Rm

s=N·2πRm=5566.5 m

Velocidad angular de rotación

La velocidad de lectura es constante, v=s/T

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Sin embargo, la velocidad angular de rotación cambia, la velocidad angular inicial es

ω0=v/R0=56.0 rad/s y la velocidad angular final es ωf=v/Rf=22.2 rad/s

La velocidad angular de rotación en función del ángulo θ es

Integrando

En el instante t=72·60=4320 s que se completa la lectura del CD

Derivando con respecto del tiempo obtenemos la expresión de la velocidad angular ω en función del tiempo t.

Donde ω0=v/R0 es la velocidad angular inicial, para t=0

En la figura, se muestra la variación de la velocidad angular ω con el tiempo t.

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Deducción de la fórmula de la aceleración normal

Galileo y Descartes ya reconocieron que una partícula que describe un movimiento circular uniforme tiene aceleración. Huygens fue el primero que resolvió este problema. Sin embargo, el procedimiento empleado por Newton para deducir la fórmula de la aceleración normal tiene la ventaja de ser mucho más fácil de entender.

La deducción de la fórmula de la aceleración normal se basa en el análisis de la trayectoria poligonal que sigue una partícula que choca contra una superficie cilíndrica. Esta deducción no debe tomarse de forma rigurosa sino como un ejercicio de importancia histórica.

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Deducción de la formula de la aceleración normal por Newton

Como veremos en esta deducción, lo importante es el cambio en la dirección de la velocidad, no la causa que produce este cambio, ya sea el choque con la superficie rígida, la acción de la gravedad, etc.

Consideremos una partícula que se mueve en línea recta con velocidad constante v y que choca contra una superficie rígida. Como vemos en la figura, la componente de la velocidad v que es perpendicular a la superficie v·cos cambia de sentido en el momento del impacto. Sin embargo, la componente que es paralela a la superficie v·sen no cambia durante el impacto.

El cambio de velocidad que experimenta la partícula en el choque contra la superficie rígida es:

v=2vcos

Supongamos ahora que la superficie rígida adopta la forma cilíndrica de radio r.

El cambio de velocidad en cada impacto v, es la diferencia entre la velocidad final v’ (en color azul) y la velocidad inicial v (en color rojo). La dirección de dicho cambio de velocidad v es radial y apunta hacia el centro de la trayectoria que describe la partícula. Su módulo vale:

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Esta misma expresión se puede deducir en el diagrama de velocidades, calculando el lado v del triángulo isósceles de vértice que forman los vectores velocidad antes y después del impacto.

La aceleración media para n impactos

La velocidad de la partícula es constante en los tramos rectos y por tanto, la aceleración es nula. Cuando choca con la superficie rígida la partícula cambia bruscamente la dirección de su velocidad aunque no su módulo y la aceleración en el instante del impacto es infinita. La aceleración media como veremos nos conduce a la fórmula de la aceleración normal.

Después de n impactos contra la superficie rígida, la partícula describe una trayectoria que es un polígono regular de n lados. Teniendo en cuenta que el ángulo =2/n. El cambio total de velocidad que experimenta la partícula tras n impactos es:

Calculamos ahora el tiempo que tarda la partícula en describir la trayectoria, un polígono regular de n lados.

En el triángulo isósceles formado por un lado y dos radios, calculamos el valor del lado, conociendo el ángulo del vértice. La longitud del perímetro del polígono regular es:

La partícula en cada impacto cambia la dirección de su velocidad pero no cambia su módulo. Por tanto, el tiempo que invierte en recorrer la trayectoria poligonal es P=l/v

El valor medio del módulo de la aceleración es:

La aceleración media para infinitos impactos

El cambio total de velocidad que experimenta la partícula tras n impactos es:

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Cuando n es muy grande (tiende a infinito) el ángulo es muy pequeño y podemos sustituir el seno por el ángulo. De modo que, el cambio total de velocidad que experimenta la partícula es:

Cuando n es muy grande (tiende a infinito) el perímetro del polígono regular (trayectoria) que describe la partícula se aproxima a una circunferencia de radio r.

Como el módulo de la velocidad de la partícula v no cambia en los impactos con la pared rígida, el tiempo P que tarda en describir la circunferencia es:

El módulo de la aceleración media es:

Dada la simetría de la trayectoria circular, la aceleración media es la aceleración de la partícula en cada instante:

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Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal

Es interesante explorar otras deducciones alternativas de las fórmula de la aceleración normal. En este caso, se presenta una deducción que tiene la ventaja de que se puede extender a movimientos circulares no uniformes. Estas deducciones se pueden comparar con las realizadas en las páginas tituladas "Relación entre las magnitudes angulares y lineales" y Deducción de la fórmula de la aceleración normal siguiendo el procedimiento de Newton.

Al final de esta página, se describen las deducciones más simples de la fórmula de la aceleración normal para un movimiento circular uniforme que se han encontrado.

Movimiento circular uniforme. Aceleración normal

Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.

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La partícula se encuentra en la posición A en el instante t-t/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es v1. La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+t/2 y su velocidad es v2.

Coloquemos los dos vectores velocidad v1 y v2 que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia v=v2-v1.

Componente normal:

(v)n=v2·sen -v1·sen(- )=2v·sen

Componente tangencial:

(v)t=v2·cos -v1·cos(- )=0

Por tanto el vector v es paralelo a la dirección radial PO, y está dirigido hacia el centro O.

Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2 con velocidad v constante.

El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,

La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo t 0, o bien cuando 0. En este límite, sen / 1 y por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es:

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Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, at=0.

Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal

Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante t-t1 y lleva una velocidad v1 (tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante t-t2 llevando una velocidad v2. Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.

Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia v=v2-v1.

Componente normal:

(v)n=v2·sen -v1·sen(- )=2(v2+v1)·sen

Componente tangencial:

(v)t=v2·cos -v1·cos(- )= (v2-v1) cos

Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia v y por tanto la aceleración no tienen en general, dirección radial.

La partícula recorre el arco AB de ángulo 2 empleando un tiempo t=t1+ t2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es:

La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,

En el límite cuando el intervalo de tiempo t 0, o bien cuando 0, se cumple que, sen / 1, cos 1. La velocidad media <v> v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio (v1+v2)/2 v.

De este modo obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.

En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.

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Las componentes de la aceleración serán, por tanto,

Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal

En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo con el eje X.

El vector posición r de la partícula es:

r=xi+yj=r·cos i+r·sen j

El vector velocidad v se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo:

El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad:

El vector aceleración tiene dos componentes, que podemos expresar en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.

La componente radial está dirigida hacia el centro de la circunferencia:

an=2r=v2/r,

La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria:

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at= r=dv/dt.

Deducción alternativa de la aceleración normal (I)

Supongamos que el cuerpo describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.

El vector velocidad v es tangente a la trayectoria y es perpendicular al vector posición r.

Las componentes rectangulares del vector velocidad v son:

Como v/r es constante, las componentes del vector aceleración a son:

El módulo de la aceleración a en el movimiento circular uniforme es:

Su dirección es radial (la misma que el vector r) y su sentido es hacia el centro (de sentido contrario al vector r).

Deducción alternativa de la aceleración normal (II)

En esta sección, se describe la deducción más simple que se ha encontrado de la fórmula de la aceleración normal en un movimiento circular uniforme.

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El vector velocidad v se define:

Su módulo para un movimiento circular uniforme es:

Siendo P el periodo o tiempo que tarda en completar una vuelta.

Su dirección es tangente a la trayectoria, es decir, perpendicular al vector r

El vector aceleración a se define:

El vector aceleración a se obtiene a partir del vector velocidad v, de la misma manera que el vector velocidad v se obtiene a partir del vector posición r. Su módulo será, análogamente,

Su dirección es tangente a la circunferencia de radio v, es decir perpendicular al vector v. Como vemos en la figura, los vectores a y r tienen la misma dirección pero sentidos contrarios.

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Movimiento curvilíneo

Movimiento curvilíneo

Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición r en un instante t.

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Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado r=r’-r en el intervalo de tiempo t=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento r y el tiempo que ha empleado en desplazarse t.

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

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Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia v=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad v y el intervalo de tiempo t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante:

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son:

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Ejemplo 1:

Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular:

Las componentes de la velocidad en cualquier instante.

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vx=6t2-6t m/svy=2t-2 m/s

Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

ax=12t m/s2

ay=2 m/s2

Ejemplo 2:

Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el móvil se encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular:

Las componentes de la aceleración en cualquier instante:

Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.

Dada la velocidad vx=4t3+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

x=t4+2t2+1 m

Dada la velocidad vy=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral:

y=2t2+2 m

Ejemplo 3:

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. Calcular:

La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto. La altura máxima .

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Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

1. Primero, se establece el origen en el punto del lanzamiento y los ejes X e Y apuntando hacia arriba.

2. Se determinan los signos de las velocidades iniciales v0x=0 y v0y=20 y de la aceleración ay=-10.

3. Se escriben las ecuaciones del movimiento.

Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X

ax=2 vx=2tx=2t2/2

Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos)

ay=-10vy=20+(-10)ty=20t+(-10)t2/2

1. El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m. Dado y se obtiene el valor de t y luego el valor de x.

y=-50mt=1.74sx=3.03 m

2. La altura máxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero:

vy=0m/st=2sy=20 m

La altura desde el suelo es 20+50=70 m.

3. El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La ecuación de segundo grado tiene dos raíces

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10=20t+(-10)t2/2t1=0.59 s y t2=3.41 s.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

Se determina el ángulo entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cos y an=a sen

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

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1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración:

vx=3t-2m/s, ax=3m/s2

vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s2

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son:

vx=4m/s, ax=3m/s2

vy=19 m/s, ay=24 m/s2

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración:

4. Calculamos el ángulo que forman el vector velocidad y el vector aceleración:

Por el producto escalar: v·a=v·a·cos Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos

ángulos.

5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración:

at=a·cos=24.1m/s2

an=a·sen=2.0 m/s2

Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

v·a=va·cosθ=v·at

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at

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Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ. que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ, tal como se aprecia en la figura.

Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos:

El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleración.

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El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son:

ut=cosθ·i+senθ·j

Su derivada es:

El vector aceleración es:

Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente:

Esta última fórmula, la obtuvimos de una forma más simple para una partícula que describía un movimiento circular uniforme.

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.

Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.

Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.

Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal.

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Movimiento bajo la aceleración constante de la

gravedad

En este programa, se estudia un caso particular de movimiento curvilíneo, el tiro parabólico, que es la composición de dos movimientos:

Uniforme a lo largo del eje X. Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.

Para resolver un problema de tiro parabólico es necesario seguir los siguientes pasos

1.-Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes horizontal X, y vertical Y

2.-Determinar el valor y el signo de la aceleración vertical.

3.-Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo).

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4.-La posición inicial.

5.-Escribir las ecuaciones del movimiento.

6.-A partir de los datos, hallar las incógnitas.

Descripción

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son:

Como el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X

uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleración constante de la gravedad son:

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y=ax2 +bx +c, lo que representa una parábola.

Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0.

Actividades

Resolver numéricamente los siguientes problemas y comprobar la solución con el programa interactivo.

1.-Un avión en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una bomba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, y el desplazamiento horizontal de la bomba.

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2.-Se lanza un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 m/s, y con una velocidad vertical hacia arriba de 60 m/s. Calcular la máxima altura y el alcance horizontal.

3.-Resolver el ejercicio anterior, tomando como lugar de lanzamiento la cima de una colina de 50 m de altura.

4.-Se lanza un proyectil desde una colina de 300 m de altura, con una velocidad horizontal de 50 m/s, y una velocidad vertical de -10 m/s (hacia abajo). Calcular el alcance horizontal y la velocidad con que llega al suelo.

5.-Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar también la altura máxima. (Hallar primero, las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial).

Alcance horizontal y altura máxima

En el applet se trazan las trayectorias de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 pero con los siguientes ángulos de tiro : 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º.

Las ecuaciones del movimiento de los proyectiles son:

x=v0·cos·ty=v0·sen ·t-g·t2/2

La parábola de seguridad

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor máximo se obtiene para =45º, teniendo el mismo valor para =45+ , que para =45- . Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 40º y 60º, ya que sen(2·40)=sen(2·60).

La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo =90º.

La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo de disparo está comprendido entre 0 y 180º se denomina parábola de seguridad.

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Esta denominación hace referencia al hecho de que fuera de esta parábola estamos a salvo de los proyectiles disparados con velocidad v0.

Se trata de la parábola simétrica respecto del eje Y de ecuación y=-ax2+b que pasa por los puntos (x=v0

2/g, y=0), y (x=0, y=v02/(2g)) tal como se ve en la figura.

La ecuación de dicha parábola es:

Deducción alternativa de la ecuación de la parábola de seguridad

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son:

x=v0·cosθ·ty=v0·senθ·t-gt2/2

Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria:

Esta ecuación se puede escribir de forma alternativa:

Consideremos un punto arbitrario P del plano. Sustituimos las coordenadas (x, y) del punto en la ecuación de la trayectoria y puede ocurrir:

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1. Que la ecuación de segundo grado en tanθ no tenga raíces reales. El punto P1 no podría ser un punto de impacto para un proyectil disparado con velocidad inicial v0.

2. Que la ecuación de segundo grado tenga dos raíces reales, lo que implicará que el punto P2 es accesible, y que hay dos ángulos de tiro θ1 y θ2 que dan en el blanco P2. En la figura, vemos que cualquier punto en el interior de la envolvente es alcanzado por dos trayectorias.

3. Cuando la raíz de la ecuación de segundo grado es doble θ1=θ2. Como vemos en la figura, solo hay una trayectoria que pasa por un punto P3 dado de la envolvente.

Para que las raíces sean iguales, se tiene que cumplir que el discriminante b2-4ac de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0 sea nulo.

Esta es la ecuación de la envolvente que hemos obtenido anteriormente.

La elipse que une las posiciones de altura máxima

La altura máxima se alcanza cuando vy=0, en el intante t=v0·senθ/g. La posición (xh, yh) del proyectil en este instante es

Teniendo en cuenta, la relación trigonométrica 1-cos(2θ)=2sen2θ

Despejando sen(2θ) en la primera ecuación, cos(2θ), en la segunda, elevando al cuadrado y sumando, eliminamos el ángulo 2θ.

Esta ecuación representa una elipse centrada en el punto (0, b) cuyos semiejes son 2b y b

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La semidistancia focal c y la excentricidad e valen, respectivamente.

La excentricidad es un valor constante que no depende de ningún parámetro del movimiento.

Composición de movimientos

Se propone al lector la resolución de ejercicios que ponen de manifiesto que el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

Un movimiento uniforme a largo del eje horizontal X Un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.

Un blanco en caída libre

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Una botella se deja caer desde el reposo en el instante en que una piedra es lanzada desde el origen.

Determinar los valores del ángulo y de la velocidad de disparo para que la piedra rompa la botella. (Tómese g=9.8 m/s2).

Si la altura de la botella es cero. Es decir, la piedra y la botella están a la misma altura en el instante inicial. ¿Cuál será el ángulo de tiro? Contestar a esta pregunta sin resolver numéricamente el problema.

El movimiento curvilíneo de la piedra se realiza bajo la aceleración constante de la gravedad, es decir, es la composición de dos movimientos:

Uniforme a lo largo del eje horizontal:

ax=0vx=v0·cosθx=v0·cosθ·t

Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical:

ay=-gvy=v0·senθ-g·ty=v0·senθ·t-gt2/2

La botella se mueve verticalmente bajo la aceleración constante de la gravedad:

a=-gv=-g·ty=y0-gt2/2

Cuando se produce el choque, la posición de la piedra y de la botella coinciden:

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Dividimos la segunda ecuación entre la primera.

Para romper la botella debemos de apuntarla directamente y en el instante en el que se deja caer, se debe lanzar la piedra.

Ejemplo:

Posición de la botella x0=50 m e y0=30 m Velocidad de disparo v0=20 m/s

El ángulo con el que tenemos que lanzar la piedra es tanθ=30/50, θ=31º

El impacto tiene lugar en la posición x= 50 m y en el instante:

20·cos31º·t=50, donde t=2.92 s

En este tiempo la botella se encuentra en:

y=y0-gt2/2, es decir, y=30-9.8·2.922/2=-11.65 m

Si la velocidad de disparo fuese de v0=40 m/s, el impacto se produciría cuando la botella se encontrase en y=19.2 m sobre el suelo.

Un vehículo que dispara un proyectil

Vamos a estudiar en esta sección la trayectoria de un proyectil disparado desde un vehículo en movimiento cuando:

Se mueve a lo largo de un plano horizontal. Asciende a lo largo de un plano inclinado. Desciende a lo largo de un plano inclinado.

El vehículo se mueve a lo largo de un plano horizontal

Supongamos que un vehículo que se mueve con velocidad v0x alo largo de un plano horizontal sin rozamiento. Dispara un proyectil con velocidad inicial v0y

perpendicularmente a la dirección de la velocidad del vehículo tal como se muestra en la figura.

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El proyectil se mueve a lo largo de un plano horizontal, a lo largo del eje X con velocidad constante v0x. Su posición en el instante t es:

x’=v0x·t

La posición del proyectil en función del tiempo, es:

x=v0x·ty=v0y·t-gt2/2

Cuando el proyectil regresa al plano horizontal y=0, emplea un tiempo de:

T=2v0y/g

La distancia horizontal o alcance es:

R=2v0x·v0y/g

Que es la misma distancia x’ que recorre el vehículo en el tiempo T. Luego, el vehículo dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia de R=2v0x·v0y/g

Ejemplo:

v0x=15m/s v0y=10 m/s

El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R son:

El vehículo recorre x’=30.6 m en el mismo tiempo.

El vehículo asciende a lo largo de un plano inclinado

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Supongamos que el vehículo asciende por un plano inclinado de ángulo θ.

Establecemos un sistema de referencia tal como se muestra en la figura, el eje X es horizontal y el eje Y es vertical. Calculamos las componentes X e Y de las velocidades iniciales. Las ecuación del movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos: uniforme a lo largo del eje X y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

x=(v0x·cosθ-v0y·senθ)·ty=(v0x·senθ+v0y·cosθ)·t-gt2/2

El punto de impacto se encuentra sobre el plano inclinado en la posición y=x·tanθ. Se despeja el tiempo t.

La distancia del origen al punto de impacto es:

El vehículo se mueve a lo largo del plano inclinado. Si no hay rozamiento, la fuerza sobre el vehículo es la componente mg·senθ del peso que es de sentido contrario a la velocidad v0x. La ecuación del movimiento a lo largo del plano inclinado es:

x’=v0x·t-g·senθ·t2/2

En el tiempo T que tarda el proyectil en chocar con el plano inclinado, se encuentra a una distancia R dada por la expresión anterior. El proyectil es disparado desde el vehículo en el origen en el instante t=0, y es recogido por el mismo vehículo en el

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instante T, cuando se encuentra a una distancia R del origen medida a lo largo del plano inclinado.

Como caso particular, mencionaremos aquél en el que el proyectil se mueve a lo largo del eje vertical Y. Cuando x=0, v0x·cosθ-v0y·senθ=0, o bien:

El proyectil parte del origen y regresa al mismo moviéndose hacia arriba y hacia abajo a lo largo del eje vertical Y.

Cambio de Sistema de Referencia

Podemos analizar el movimiento del vehículo y del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración se muestran en la figura.

Si su velocidad inicial del vehículo es v0x. Su posición x’ en función del tiempo es:

x’=v0x·t-g·senθ·t2/2

La posición del proyectil en función del tiempo respecto de estos ejes es la composición de dos movimientos uniformemente acelerados:

x=v0x·t-g·senθ·t2/2y=v0y·t-gcosθ·t2/2

Cuando regresa al plano inclinado y=0, emplea un tiempo T y se encuentra a una distancia R del origen:

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El vehículo recorre la misma distancia x’ en el mismo tiempo t. El vehículo por tanto, dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia R dada por la fórmula anterior.

Cuando se cumple que:

La partícula sale del origen y regresa al origen a lo largo de la dirección vertical. Para comprobarlo, en la expresión de x(t) de la posición del proyectil sustituimos v0x por v0y·tanθ, y multiplicamos ambos miembros por cosθ. Multiplicamos ambos miembros de la expresión y(t) de la posición del proyectil por senθ. Verificamos que:

x·cosθ=y·senθ. Es decir, y=x/tanθ, que es la ecuación de la recta vertical.

Ejemplo:

θ=20ºv0x=15m/s v0y=10 m/s

El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R valen:


Si la velocidad del vehículo v0x=10·tan20=3.64 m/s el proyectil se mueve a lo largo de la dirección vertical. El proyectil sale y regresa al origen.

El vehículo desciende a lo largo de un plano inclinado

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Supongamos que el vehículo desciende por un plano inclinado de ángulo θ.

Establecemos un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración se muestran en la figura.

Si la velocidad inicial del vehículo es v0x. Su posición x’ en función del tiempo es:

x’=v0x·t+-g·senθ·t2/2

La posición del proyectil en función del tiempo es

x=v0x·t+g·senθ·t2/2y=v0y·t-gcosθ·t2/2

Cuando regresa al plano inclinado y=0, emplea un tiempo T y se encuentra a una distancia R del origen dados por

El vehículo recorre la misma distancia x’ en el mismo tiempo T. El vehículo por tanto, dispara el proyectil en el origen y lo recoge a una distancia de R dada por la fórmula anterior.

Ejemplo:

θ=20ºv0x=15m/s v0y=10 m/s

El tiempo T que tarda el proyectil en regresar la plano horizontal y el alcance R son:

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Apuntar un cañón para dar en el blanco

En este programa se va a resolver un problema típico de balística: dadas las coordenadas del blanco y la velocidad de disparo, determinar el ángulo de tiro.

En el programa interactivo, al pulsar sobre el botón nuevo aparece un terreno cuyo perfil está trazado por una función cuyos coeficientes son números aleatorios. Sobre dicho terreno se sitúa el blanco también de forma aleatoria.

Antes de proceder a resolver numéricamente el problema, se usará el programa como un juego: dar en el blanco en el menor número de intentos posibles. Esto constituye una primera aproximación a la resolución del problema, ya que nos proporciona un conocimiento intuitivo de la situación física, permitiéndonos determinar el ángulo aproximado de tiro que acierta en el blanco. Además, se comprobará que existen dos posibles soluciones, dos ángulos de tiro que dan en el blanco. A veces, por el perfil del terreno, sólo es posible el ángulo que corresponde a la trayectoria más alta.

Descripción

El movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos, uniforme a lo largo del eje X, y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

Conocidas las coordenadas del blanco x e y, y la velocidad de disparo v0, se despejará el ángulo de tiro .

Las componentes de la velocidad inicial son:

Las ecuaciones del movimiento del proyectil son:

Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y Eliminando t, y empleando la relación trigonométrica:

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nos queda una ecuación de segundo grado en tan

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, por tanto, dos ángulos de tiro dan en el blanco.

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Bombardear un blanco móvil desde un avión

El objetivo del programa es el de bombardear un blanco desde un avión en vuelo horizontal a velocidad constante.

La intuición juega un papel importante en la búsqueda de la solución de este problema. Algunos estudiantes, sitúan el avión justo encima del blanco en el momento en el que dejan caer la bomba. Tras el primer error, se dan cuenta que la bomba se ha de dejar caer cuando el avión está a una determinada distancia del blanco, que dependerá de la velocidad del avión y también, de su altura sobre el blanco.

Para complicar el juego, en vez de un blanco fijo se ha puesto un blanco móvil, de manera que se combine el tiro parabólico y el movimiento relativo.

Una vez probado el programa como juego, se ha de intentar resolver el problema, es decir, se ha de hallar la posición del avión en el momento del disparo. Se proporcionan los datos de: altura y velocidad del avión, posición inicial del blanco y su velocidad.

Descripción

Cuando el avión deja caer la bomba, esta sale con la misma velocidad horizontal que el avión, de modo que las componentes de su velocidad inicial son v0x=v0 y v0y=0

Conocida la altura a la que vuela el avión y su velocidad mediante las ecuaciones del tiro parabólico se puede hallar fácilmente el alcance horizontal de la bomba, es decir, la distancia desde el punto en que la dejó caer el piloto y el impacto sobre el suelo

La composición de movimientos nos indica que mientras la bomba cae, se desplaza horizontalmente una distancia igual al producto de la velocidad del avión por el tiempo que tarda en caer. Como podemos observar, el avión y la bomba están siempre en la misma vertical.

¿Cómo cambia el resultado si el blanco se mueve con velocidad constante en la misma dirección que el avión? En la figura tenemos el esquema.

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Sea xa la posición del avión y sea xb la posición del móvil en el momento en el que el piloto suelta la bomba. Para destruirlo, la distancia entre el avión y el blanco deberá ser

xa+vat=xb+vbt

tal como se ve en la figura. Donde t es el tiempo que tarda la bomba en descender la altura h

h=gt2/2

La bomba se suelta en el instante t'. Las posiciones del avión xa y del blanco xb en dicho instante serán respectivamente,

xa=vat'xb=x0b+vbt'

A partir de estas relaciones, obtenemos la posición del avión xa en el momento en el que tiene que soltar la bomba para acertar en el blanco, conocidos los datos de la altura h, velocidad del avión va, la posición inicial del blanco x0b y su velocidad vb.

Ejemplo:

El blanco parte de la posición x0b=542.5 m

y su velocidad es vb=17.4 m/s

El avión sale del origen, su altura h=191.3 m y velocidad va=89.4 m/s se mantienen constantes.

Se pulsa el botón que deja caer la bomba, que tarda en llegar al suelo un tiempo:

La posición del avión en el momento en el que suelta la bomba para acertar en el blanco deberá ser:

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Tiros frontales a canasta

Esta página está dedicada al estudio de los aspectos esenciales de un deporte popular, el juego del baloncesto.

Trataremos exclusivamente de los tiros frontales a canasta, los más fáciles de describir desde el punto de vista físico, ya que su base esencial son las ecuaciones del tiro parabólico, despreciándose los efectos del rozamiento con el aire, así como los efectos de la rotación del balón.

El juego del baloncesto

En la figura, se muestra la mitad del campo donde se desarrolla el juego del baloncesto y las medidas reglamentarias.

Las medidas que interesan para el estudio de los tiros frontales a canasta son las siguientes:

El aro está a una altura de 3.05 m del suelo. El diámetro del aro es de 45 cm El diámetro del balón es de 25 cm

Ecuaciones del tiro parabólico

Establecemos el origen de coordenadas en la posición del lanzamiento del balón, tal como se muestra en la figura. El centro del aro está a una altura h y a una distancia L de la posición inicial del balón.

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Consideramos el balón como una partícula que se lanza desde el origen con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ0, con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria:

Velocidad inicial y ángulo de tiro

Las coordenadas del punto de impacto son las del centro del aro: x=L, y=h.

Conocido el ángulo de tiro θ0, calculamos la velocidad inicial:

Conocida la velocidad inicial v0, calculamos los dos ángulos de tiro, resolviendo la ecuación de segundo grado en tanθ0. Para ello, utilizamos la relación 1+tan2θ0=1/cos2θ0

o bien,

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Ángulo que hace el vector velocidad

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con la horizontal vale:

como:

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con el eje X lo expresamos en términos de la posición x e y de la partícula, en vez del tiempo t.

El ángulo de tiro mínimo

En la figura, se muestra la representación gráfica de v0 en función del ángulo de tiro θ0.

la función tiene dos asíntotas verticales, cuando el valor de la fracción se hace infinito, o el denominador se hace cero:

tanθ0=h/Lcosθ0=0

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Como v20 tiene que ser positivo, el ángulo de tiro θ0 no puede tener cualquier valor sino

que tiene que cumplir:

Para que el balón entre por el aro, éste debe de estar en la parte descendente de la trayectoria del balón, tal como se aprecia en la figura:

El ángulo de entrada θe que forma el vector velocidad v con la horizontal en el momento en el que el balón pasa por el centro del aro x=L, y=h es:

Como θe es un ángulo negativo (por debajo de la horizontal) su tangente es negativa, lo que implica que:

El ángulo de tiro θ0 tiene que cumplir:

Consideramos ahora las dimensiones del balón y del aro. En la figura, se muestra la situación en la que el balón entra justamente por el aro AB. En el triángulo ABC, el ángulo del vértice B es igual al ángulo de entrada θe mínimo (en valor absoluto):

sen|θe|=2R/Da

donde R es el radio del balón y Da es el diámetro del aro.

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Como 2R=25 cm y Da=45 cm. El ángulo θe que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro. Esto limita aún más el intervalo de ángulos de tiro θ0. La relación entre ambos ángulos es:

θ0L es el ángulo de tiro mínimo que hace que el balón entre por el aro, sin tocarlo. El jugador debe de lanzar el balón con un ángulo θ0 que sea mayor que el valor mínimo θ0L

para conseguir encestarlo.

La velocidad inicial mínima

De nuevo, nos fijamos en la representación gráfica de la velocidad inicial v0 en función del ángulo de tiro θ0. Observamos que la curva tiene un mínimo v0m para cierto valor del ángulo de tiro θ0m.

Calculamos el ángulo θ0m para el cual la velocidad inicial v0 es mínima.

Despejamos el ángulo θ0

-2sen2θ0+2(h/L)senθ0·cos θ0+1=0

Expresamos el ángulo θ0m de forma alternativa utilizando las siguientes relaciones:

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En esta última expresión, conocido tanα, resolvemos la ecuación de segundo grado en tan(α/2), tomando la raíz positiva.

Conocido tan(α/2), calculamos en la primera expresión tan(45º+α/2). Después de hacer algunas simplificaciones, llegamos a:

Conocido el valor θ0m calculamos el valor mínimo de la velocidad inicial v0m. Para ello empleamos la relación 1+tan2θ=1/cos2θ

Para introducir el balón por el aro, la velocidad inicial v0 tiene que ser mayor que la mínima v0m, cualquiera que sea el ángulo de tiro.

Ejemplo:

Se lanza el balón desde una distancia L=3 m del centro del aro, y desde una altura de 2.05 m del suelo o bien, h=3.05-2.05=1 m por debajo del aro.

Primero, calculamos el ángulo de tiro mínimo:

Dado el ángulo de tiro θ0=70º>53.2º calculamos la velocidad inicial:

Esta velocidad es superior a la mínima, que se obtiene para el ángulo de tiro:

y la velocidad mínima vale:

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Dada la velocidad de disparo v0 es algo más complicado calcular el ángulo de tiro.

La velocidad v0 tiene que ser mayor que el valor mínimo v0m=6.39 m/s

Por ejemplo, si v0=8.0 m/s, calcular θ0.

Las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ0 son:

θ1=74.8º, θ2=33.6º

Solamente la trayectoria del primero será descendente cuando pase por el centro del aro, mientras que la segunda es ascendente y entra por debajo del aro.

Margen de error

En los apartados anteriores, hemos supuesto que el punto de impacto situado a una distancia L y a una altura h del punto de lanzamiento es único. Como el diámetro del balón es menor que el diámetro del aro, vamos a ver que existe una indeterminación en el alcance L, que da lugar a una tolerancia en la velocidad inicial v0, en el ángulo de tiro θ0 o en ambos a la vez. Por tanto, la velocidad inicial de lanzamiento y el ángulo de tiro que dan lugar a enceste pueden cambiar en un pequeño intervalo que depende de la posición inicial del balón respecto del aro.

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Podríamos pensar que la indeterminación en el alcance es igual a la diferencia entre el diámetro del balón y el diámetro del aro, tal como se muestra en la figura. Sin embargo, el balón entra en el aro siguiendo una trayectoria cuya tangente forma un ángulo θe con la horizontal.

En la figura, el aro AB es atravesado por un balón cuya dirección de su velocidad forma un ángulo θe con la horizontal. En los triángulos rectángulos ABC y EDF

AC=Da·sen|θe|

EF=AC-2·R= Da·sen|θe|-2R

ED=2ΔL=EF/sen|θe|

ΔL (en color rojo) representa el margen de error en la distancia horizontal L desde el punto de lanzamiento hasta el blanco. Este margen de error desaparece cuando ΔL=0, es decir, cuando

Como ya se ha explicado, el ángulo θe que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro, sin tocarlo.

Fijado el ángulo de tiro θ0> θ0L la velocidad inicial v0 no es única sino que está comprendida en el intervalo v0+Δv+ y v0-Δv-. Estos intervalos se calculan del siguiente modo.

En la fórmula,

con los datos de h y L calculamos v0 para un determinado ángulo de disparo θ0

1. Sustituimos L por L+ΔL y calculamos la velocidad de disparo v+= v0+Δv+

2. Sustituimos L por L-ΔL y calculamos la velocidad de disparo v-= v0-Δv-

pág. 94


En la figura, se muestra las tres trayectorias:

En color rojo, la que pasa por el centro del aro, En color azul, las que pasan por L+ΔL y por L-ΔL

Fijada la velocidad de disparo v0, el ángulo de tiro no es único sino que está comprendida en el intervalo θ0+Δ θ + y θ 0-Δ θ -. Estos intervalos se calculan del siguiente modo.

Resolvemos la ecuación de segundo grado en tanθ0.

con los datos de h y L calculamos el ángulo de tiro θ0 para una determinada velocidad de disparo v0.

1. Sustituimos L por L+ΔL y calculamos el ángulo de tiro θ += θ0+Δθ+

2. Sustituimos L por L-ΔL y calculamos el ángulo de tiro θ -= θ0-Δθ -

En la figura, se muestra las tres trayectorias:

En color rojo, la que pasa por el centro del aro, En color azul, las que pasan por L+ΔL y por L-ΔL

pág. 95


Estos dos márgenes de error sirven de criterio para elegir la mejor trayectoria. Cuando mayor sea el margen de error para un determinado ángulo de tiro, mayor es la libertad del jugador para desviarse de los valores precisos de v0 y θ 0 necesarios para que el balón entre por el centro del aro.

Ejemplo:

Supongamos, como en el ejemplo del apartado anterior, que h=1 m y L=3 m.

Fijamos el ángulo de tiro θ0=70º, la velocidad inicial calculada v0=7.21 m/s.

El ángulo de entrada del balón cuando llega al aro es:

El margen de error ΔL en la distancia horizontal L vale:

En la fórmula,

1. Sustituimos L por L+ΔL=3.086 y calculamos la velocidad inicial v+=7.30 m/s, y la tolerancia Δv+=0.09 m/s

2. Sustituimos L por L-ΔL=2.914 y calculamos la velocidad inicial v-= 7.12 m/s, y la tolerancia Δv-=0.09 m/s

Fijamos la velocidad inicial v0=8.0 m/s, el ángulo de tiro calculado es θ0=74.83º

pág. 96


En la ecuación de segundo grado:

Sustituimos L por L+ΔL=3.086 y calculamos el ángulo de tiro θ-=74.34º, y la tolerancia Δ θ -=0.49º

Sustituimos L por L-ΔL=2.914 y calculamos el ángulo de tiro θ+ =75.32º, y la tolerancia Δ θ+=0.49º

pág. 97


Alcance máximo en el plano horizontal

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo

Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθvy=v0·senθ-g·t

La posición del proyectil en función del tiempo es:

x=v0·cosθ·ty= h+v0·senθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

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El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.

El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.

La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es:

La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es:

El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.

pág. 99


Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

Elevamos al cuadrado y simplificamos:

El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale:

Sustituyendo cosθ y senθ en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones:

Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es:

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica:

llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo:

Rm=h·tan(2θm)

pág. 100


El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ):

En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ

con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.

Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm que hace que el alcance sea máximo:

pág. 101


El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.

Velocidad final y velocidad inicial

La velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son:

La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es:

El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares.

Ejemplo:

La velocidad de disparo v0=60 m/s, La altura inicial del proyectil h=200 m El ángulo de tiro θ=30º.

El alcance R es

El tiempo T de vuelo del proyectil es

El alcance máximo (véase la última figura) se obtiene para el ángulo

El alcance y el tiempo de vuelo para este ángulo son, respectivamente

Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=450 m.

pág. 102


Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=450 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

θ1=10.8º, θ2=55.3º, Como vemos θ1<θm<θ2

Supongamos que un atleta lanza un peso desde una altura h con una velocidad v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal.

Si el atleta lanza el peso desde una altura de h=2.1 m y quiere que llegue a una distancia Rm=22 m, el ángulo óptimo de lanzamiento θm vale:

Rm=h·tan(2θm) θm=42.3º

El análisis del lanzamiento del peso es más complicado, ya que la altura h no es independiente del ángulo θ, tal como se aprecia en la figura, sino que h=H+b·senθ, siendo H la altura del hombro y b la longitud del brazo.

Se lanza un proyectil desde un péndulo simple

Consideremos un objeto que denominaremos proyectil de masa m que cuelga de una cuerda de longitud l. Cuando se separa de su posición de equilibrio y se suelta comienza a oscilar, tal como estudiaremos en la página dedicada al péndulo simple.

Soltamos el proyectil cuando la cuerda se desvía de la posición de equilibrio un ángulo θ0. Se corta la cuerda cuando el péndulo se desvía de la posición vertical un ángulo θ<|θ0|. El proyectil describe una trayectoria parabólica si se desprecia el rozamiento con el aire, tal como se aprecia en la figura.

pág. 103


Principio de conservación de la energía

El proyectil parte de la posición inicial θ0, con velocidad inicial v=0. Describe un arco de circunferencia y llega a la posición final θ, con velocidad v. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v. Si ponemos el nivel cero de energía potencial en la parte más baja de la trayectoria:

Ecuaciones del tiro parabólico

Para describir el movimiento del proyectil, situamos los ejes X e Y del modo en el que se señala en la figura; el eje X en el suelo, y el eje Y tiene la dirección del péndulo en la posición de equilibrio θ=0.

El proyectil se dispara con una velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal, desde una altura h=H+(l-lcosθ). Siendo H+l la altura del centro de giro del péndulo.

La posición del proyectil en función del tiempo es:

x=l·senθ+v·cosθ·ty= h+v·senθ·t-g·t2/2

Siguiendo los mismos pasos que en la sección anterior. Obtenemos el alcance R, poniendo y=0, en la segunda ecuación, despejando el tiempo de vuelo t, y sustituyéndolo en la primera ecuación de la trayectoria:

Expresamos el alcance R en función del ángulo θ

pág. 104


Dado el ángulo θ0 de partida del objeto, se tratará de calcular el ángulo θ, para el cual el alcance R es máximo.

Alcance máximo

Dado el ángulo θ0 de partida del objeto, calcularemos el ángulo θm, para el cual el alcance R es máximo.

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo θ, para θ0=80º. El ángulo θm para el cual R es máximo se obtiene derivando R respecto del ángulo θ, e igualando a cero. Es decir, resolviendo la ecuación dR/dθ=0.

En el segundo artículo citado en las referencias, el alcance máximo se obtiene calculando las raíces reales de la ecuación cúbica.

con x=cosθm

Ejemplo:

Longitud del péndulo l=0.6 m Altura del proyectil en la situación de equilibrio, H=1.0 m Se desvía el péndulo θ0=80º de la posición de equilibrio. Se corta la cuerda cuando el péndulo se desvía θ=30º

La velocidad del proyectil cuando se corta la cuerda es:

pág. 105


Ecuaciones del movimiento:

x=0.6·sen30+2.85·cos30·ty= 1.0+0.6-0.6·cos30+2.85·sen30·t-9.8·t2/2

El alcance se calcula poniendo y=0. Resolvemos la ecuación de segundo grado en t. La raíz positiva vale t=0.64 s

Calculamos el alcance en la primera ecuación x=1.87 m

También podemos calcular el alcance de forma directa:

Para calcular el ángulo θm para el cual el alcance es máximo, se resuelve la ecuación cúbica:

x3+a·x2+bx+c=0

con a=2.32, b=0, c=-2.49

Se calcula:

Como R2>Q3 entonces la ecuación tiene una raíz real:

El ángulo x1=cosθm, θm=28.1º

Este ángulo θm se puede obtener aproximadamente de forma gráfica.

pág. 106


Alcance máximo en un plano inclinado

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil cuando el blanco está sobre un plano inclinado, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Alcance

Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθvy=v0·senθ-g·t

La posición en función del tiempo es:

x=v0·cosθ·ty= v0·senθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelo t, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria:

pág. 107


El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es:

Cambio de Sistema de Referencia

Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad g y de la velocidad inicial v0 se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son:

x=v0·cos(θ-α)·t-g·senα·t2/2y=v0·sen(θ-α)·t-g·cosα·t2/2

El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.

Sustituimos el valor de t en la primera ecuación:

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para θ>α

pág. 108


Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale:

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)

Las coordenadas x0 e y0 del punto de impacto están relacionadas y0=x0·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.

Las raíces de la ecuación de segundo grado son:

pág. 109


Tenemos dos ángulos de tiro θ1 y el ángulo θ2 que dan lugar al mismo alcance R<Rm, tal como apreciamos en la figura.

Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0

Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ1 y el ángulo θ2.

Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ1 y θ2 se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θm=θ1=θ2.

pág. 110


Sustituyendo θm por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página:

Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,

Despejamos Rm y sustituimos θm por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para Rm.

El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θm vale:

Simplificamos esta expresión hasta llegar a:

Velocidad final y velocidad inicial

El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es:

Para el ángulo de disparo θm=π/4+α/2

El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares.

pág. 111


Ejemplo

La velocidad de disparo v0=60 m/s La pendiente del plano inclinado α=20º El ángulo de disparo θ1=60º

El alcance vale:

El tiempo de vuelo vale:

El ángulo de disparo θ1=50º

El alcance vale:

El tiempo de vuelo vale:

El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es:

El alcance para este ángulo vale:

El tiempo de vuelo es:

Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.

pág. 112


Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=200 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

x0=R·cosα, x0=200·cos20º=187.9 m

θ1=37.7º, θ2=72.3º, Como vemos θ1+θ2=90+20=110º, y θ1<θm<θ2

pág. 113


Otros máximos en el tiro parabólico

En esta página, vamos a estudiar otras propiedades de la trayectoria parabólica que describe un proyectil disparado desde el origen con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal.

La longitud de la trayectoria. El área que encierra la trayectoria y el eje horizontal. La distancia entre el origen y la posición del proyectil en el instante t.

Ecuación de la trayectoria

Se dispara un proyectil con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento son:

a lo largo del eje horizontal X

a lo largo del eje vertical Y

Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria:

pág. 114


Alcance

La abscisa R del punto de impacto, denominada alcance se obtiene poniendo y=0 en la ecuación de la trayectoria

El máximo valor de R se obtiene para θ=45º

Tiempo de vuelo

Poniendo y=0, y despejando t, tenemos dos soluciones t=0, que corresponde al disparo del proyectil y

El valor máximo de T se obtiene para θ=90º. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilínea a lo largo del eje Y.

Área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X

En la figura se muestra el área diferencial y·dx. El área total encerrada entre la trayectoria y el eje X se calcula mediante la integral definida.

pág. 115


En la figura, se muestra que el comportamiento del área total A encerrada entre la trayectoria y el eje X con el ángulo de tiro θ. El área aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir, hasta que se hace cero cuando θ=90º

Calculamos el máximo de la función f(θ)=sen3θ·cosθ

Tiene sentido solamente el signo positivo, que corresponde al ángulo de tiro θ=60º

Cuando se dispara un proyectil con un ángulo de tiro θ=60º, el área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X es máxima.

Longitud de la trayectoria

La longitud del elemento diferencial de la trayectoria (en color rojo en la figura) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes dx y dy, respectivamente.

pág. 116


La longitud total del camino recorrido por el proyectil es:

Esta integral es de la forma:

su solución se puede consultar en cualquier libro de Cálculo Diferencial e Integral.

Al cambiar la variable de x a u cambian los límites de la integral.

El límite inferior se obtiene para x=0, es decir, para u0=tanθ El límite superior se obtiene para x=R, es decir, para u1=-tanθ

Teniendo en cuenta que 1+tan2θ=1/cos2θ

En la figura, se muestra que el comportamiento de la longitud L del camino recorrido por el proyectil con el ángulo de tiro θ. La longitud aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir.

pág. 117


Derivamos L(θ) para hallar el ángulo θ para el cual la longitud de la trayectoria es máxima:

Tenemos que resolver la ecuación trascendente:

La representación gráfica nos indica que el máximo de L(θ) se encuentra entre 50 y 60º

Al final de esta página, se proporciona el código en Lenguaje Java del procedimiento que permite calcular la raíz de la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio. El valor que se obtiene es θm=56.46º

Distancia entre el origen del disparo y el proyectil

La distancia d entre el origen O y la posición (x, y) del proyectil en el instante t es:

pág. 118


El máximo de esta distancia se obtiene igualando la derivada con respecto al tiempo a cero:

Simplificando entre t, calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en t.

Las raíces reales existen cuando el radicando es positivo o nulo:

Para ángulos de tiro θ< θ0 la distancia d entre el origen y el proyectil es una función creciente del tiempo, que alcanza su máximo valor cuando impacta en el suelo.

El máximo d es igual al alcance R y ocurre en el instante T=2v0senθ/g que es el tiempo de vuelo.

En el instante t+ la distancia d+ entre el origen y la posición del proyectil vale:

pág. 119


En el instante t- la distancia d- entre el origen y el proyectil vale:

Comprobamos que:

De las dos soluciones de la ecuación de segundo grado t+ y t- solamente hemos de tener en cuenta la segunda, ya que d->d+ para θ>θ0=70.5º.

pág. 120


Verificamos que el instante t- es menor que el tiempo de vuelo T

Comparamos ahora d- con el alcance R. Vamos a determinar el ángulo θ1 a partir del cual d- es mayor que R

La ecuación:

11x8-31x6+28x4-7x2-1=0

Tiene dos raíces reales dobles x=1 y x=-1

11x8-31x6+28x4-7x2-1=(x-1)2 (x+1)2(11x4-9x2-1)

Resolvemos la ecuación bicuadrada:

11x4-9x2-1=0 haciendo el cambio de variable z=x2

11z2-9z-1=0

La raíces reales son x=±0.95775, que corresponden al ángulo θ=±arcsenx=±73.3º

Para el ángulo θ≥θ1=73.3º la distancia d- entre le origen y la posición del proyectil en el instante t- es mayor que el alcance R

pág. 121


En la figura se muestra, el instante tm para el cual la distancia d entre el proyectil y el origen es máximo. Para θ<θ1=73.3º esta distancia es el alcance R y el tiempo tm=T al tiempo de vuelo. Sorprendentemente, la curva presenta una discontinuidad en θ=θ1. A partir de este ángulo θ>θ1, el instante tm=t- y la distancia máxima dm=d-. Las expresiones de t- y d- en función del ángulo de tiro θ las hemos deducido en este apartado.

Ejemplo:

Sea θ=71º>70.5º.

El alcance vale:

El tiempo de vuelo:

El valor máximo de la distancia dm entre el origen y el proyectil se produce en el instante:

que es menor que el tiempo de vuelo T

Calculamos la posición del proyectil en el instante tm

pág. 122


xm=v0·cosθ·tm=0.427·v02/g

ym= v0·senθ·tm-gtm2/2=0.380·v0

2/g

que es menor que el alcance R. Luego, para un ángulo de disparo de 71º, la máxima distancia entre el origen y el proyectil se produce en el instante T cuando llega al suelo y es el alcance R.

Sea θ=75º>θ1=73.3º.

El alcance vale:

El tiempo de vuelo:

El valor máximo de la distancia dm entre el origen y el proyectil se produce en el instante:

que es menor que el tiempo de vuelo T

Calculamos la posición del proyectil en este instante:

xm=v0·cosθ·tm=0.293·v02/g

ym= v0·senθ·tm-gtm2/2=0.452·v0

2/g

que es mayor que el alcance R

Luego, para un ángulo de disparo de 75º, la máxima distancia entre el origen y el proyectil se produce en el instante tm=1.134v0/g y vale dm=0.539·v0

2/g.

Se dispara un proyectil contra un blanco móvil

pág. 123


En esta página, se describe un problema de artillería que no tiene una solución sencilla.

Un cañón dispara un proyectil con velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Un carro de combate situado a una distancia d del cañón, en el momento del disparo, se mueve con velocidad constante u hacia el cañón. Se tratará de determinar el ángulo (o los ángulos) de disparo que hacen que el proyectil impacte en el carro de combate.

Descripción

El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos movimientos:

Uniforme a lo largo del eje horizontal X

ax=0vx=v·cosθx= v·cosθ·t

Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y

ay=-gvy=v·senθ-g·ty= v·senθ·t-gt2/2

El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es:

x=d-u·t

El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y=0, es decir, en el instante t=2·v·senθ/g

En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles:

Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas.

pág. 124


1. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v. Calcular la velocidad u del carro de combate.

2. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular la velocidad de disparo v

3. El caso más interesante, es aquél en el que se conoce la separación inicial d, la velocidad de disparo v y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ

Ángulos de disparo

Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente:

v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g=0

Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f(θ)

z=v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g

y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en la figura.

El máximo de la función z se produce

pág. 125


para un ángulo θm independiente de la distancia d

Los dos ángulos buscados θ1 y θ2 están en los intervalos (0, θm) y (θm, π/2) respectivamente. Podemos emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación trascendente

Existe una distancia dm para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θm. El máximo de la función f(θm) es z=0.

Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que dm, no hay ningún ángulo para el que se pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.

Un trozo de barro que se desprende de una rueda

pág. 126


Una rueda de radio R se mueve con velocidad constante v0 a lo largo de un plano horizontal, un trozo de barro situado en su borde se desprende. Determinar la altura máxima que alcanza.

En la figura, observamos la trayectoria de este cuerpo, desde la posición de desprendimiento hasta que llega al suelo.

Este problema es interesante, ya que la altura máxima que alcanza el cuerpo depende del ángulo, siempre que su valor sea mayor que un valor crítico.

Velocidad inicial del cuerpo

Como estudiaremos con más detalle en el capítulo Sólido rígido. El movimiento de rodar sin deslizar es la composición de dos movimientos:

Movimiento de traslación del centro de masas con velocidad v0 Movimiento de rotación con velocidad angular ω alrededor de un eje

perpendicular a la rueda y que pasa por el c.m.

El punto de contacto de la rueda con el suelo está en reposo, su velocidad es cero. La relación entre la velocidad de traslación del c.m. v0 y de rotación ω alrededor del eje que pasa por el c.m. es v0=ω·R

Para describir el movimiento del trozo de barro que se desprende del borde de la rueda establecemos un sistema de referencia de modo que en el instante inicial la posición de dicho cuerpo es x=0, y=0.

pág. 127


Posición y velocidad del cuerpo en el instante t0

Al cabo de un cierto tiempo t=t0, el cuerpo se ha trasladado v0·t0 y ha girado un ángulo φ=ω·t0. Su posición en el instante en el que desprende de la rueda es:

x0=v0·t0-R·senφy0=R-R·cosφ

Las componentes de la velocidad inicial del cuerpo son:

v0x=v0-v0·cosφv0y= v0·senφ

El módulo y la dirección de la velocidad inicial son, respectivamente:

Ejemplo:

Cuando φ=0, v=0

Cuando φ=π/2, , θ=π/4 Cuando φ=π, v=2v0, θ=0

Posición y velocidad en el instante t

Las componentes de la velocidad del cuerpo en el instante t son:

vx=v0-v0·cosφvy= v0·senφ-g(t-t0)

La posición del cuerpo en el instante t es:

pág. 128


x=x0+v0x·(t-t0)=v0·t0-R·senφ+v0(1-cosφ)·(t-t0)y=y0+v0y·(t-t0)-g(t-t0)2/2=R-R·cosφ+v0·senφ·(t-t0)-g(t-t0)2/2

Alcance y altura máxima

El cuerpo llega al suelo cuando y=0.

Una vez calculado (t-t0) se obtiene el alcance horizontal xm

xm= v0·t0-R·senφ+ v0(1-cosφ) ·(t-t0)

La altura máxima se alcanza cuando vy=0

Para que este cociente sea positivo, el ángulo φ debe estar en el intervalo 0<φ<π. El cuerpo se lanza hacia arriba si el ángulo φ está en este intervalo:

La altura ym también se puede calcular aplicando el principio de conservación de la energía.

En la posición de lanzamiento y0=R-Rcosφ las componentes de la velocidad del cuerpo son:

v0x=v0-v0·cosφv0y= v0·senφ

La energía del cuerpo de masa m es:

En la posición de máxima altura ym la componente vy=0 de la velocidad, la componente vx no cambia. La energía Ef es:

Aplicamos el principio de conservación de la energía Ei=Ef y despejamos ym obteniendo el mismo resultado.

pág. 129


Máximo valor de la altura máxima

En la figura, se representa la altura máxima ym que alcanza el trozo de barro en función del ángulo φ cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v0= 2 m/s. El radio de la rueda se ha fijado en R=1 m. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ=π=180º

Cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v0= 5 m/s. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ<π.

Calculamos el ángulo φ para el cual ym presenta un máximo:

Esta ecuación tiene dos soluciones:

La primera solución, se obtiene haciendo senφ=0, φ=π, por lo que ym=2R

pág. 130


La segunda solución, se obtiene haciendo:

Para que el coseno sea menor que la unidad, en valor absoluto, se tiene que cumplir que

Para que el coseno sea negativo, y al la vez que la trayectoria sea hacia arriba implica que el ángulo φ debe de estar en el intervalo π/2<φ<π.

La máxima altura ym alcanzada por el cuerpo que se desprende de esta posición es:

Ejemplo:

Se ha fijado el radio de la rueda en R =1 m Si v0=2 m/s Si el trozo de barro se desprende cuando φ=π/2, el instante t0 en el que se alcanza

esta posición es t0=φ·R/v0=π/4=0.79 s

Calculamos la altura máxima ym

Para v0=5 m/s se cumple que 52>1·9.8

El ángulo φ que hace que la altura ym sea la máxima posible, véase la figura más arriba, es:

El instante t0 en el que se alcanza esta posición es t0=φ·R/v0=1.97/5=0.39 s

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Tiro parabólico y movimiento circular uniforme

Descripción

Un paraguas de radio R está mojado y gira alrededor de su eje fijo con velocidad angular ω, en el plano vertical. Las gotas de agua se dispersan desde los extremos de las varillas con la misma velocidad v0= ωR pero con distinta dirección. El vector velocidad inicial tiene una dirección tangente a la circunferencia tal como se muestra en la figura.

La gota de agua situada en la posición:

x0=R·cosθy0=R·senθ

se desprende del extremo de la varilla con una velocidad inicial v0= ωR formando un ángulo α=θ+π/2 con la horizontal.

La posición de la gota de agua en función del tiempo es:

x=x0+v0·cosα·ty= y0+ v0 ·senα·t-gt2/2

o bien,

x=R·cosθ-v0·senθ·ty= R·senθ+v0·cosθ·t-gt2/2

Alcance máximo

Si el suelo está a una distancia h por debajo el origen. El alcance de una gota que sale de la posición θ se calcula poniendo en las ecuaciones del movimiento y=-h.

x=R·cosθ-v0·sen(θ)·t-h= R·senθ+v0·cos(θ)·t-gt2/2

Dado el ángulo θ, calculamos el tiempo de vuelo t, en la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera para calcular el alcance x.

Ahora bien, nuestra tarea será determinar la posición inicial, o el ángulo θm, de la gota o gotas que llegan más lejos. Como vemos en la figura, hay dos ángulos para los cuales el alcance es máximo e igual a xm.

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El alcance x es una función del tiempo de vuelo t y del ángulo θ en la primera ecuación, y el tiempo de vuelo t es una función del ángulo θ, en la segunda ecuación. No parece a primera vista, una tarea sencilla, expresar x en función del ángulo θ, y despejar θ en la ecuación que nos da la condición de extremo dx/dθ=0. Realizaremos el cálculo de los ángulos θm siguiendo el procedimiento descrito en el artículo citado en las referencias.

Expresamos las ecuaciones del tiro parabólico en forma vectorial:

r(t)=r0+v0·t+gt2/2

donde:

r=xi+yj, r0=Rcosθ·i+Rsenθ·j, v0=-v0senθ·i+v0cosθ·j g=-g·j

Dibujamos los tres vectores r0,v0·t, gt2/2, y el vector suma r, tal como se muestra en la parte izquierda de la figura. En la parte derecha, observamos dos triángulos rectángulos OAB y OBC con la hipotenusa OB común, se cumplirá que:

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De este modo, podemos expresar x solamente en función del tiempo t.

El extremo (máximo) de x se calcula derivando x con respecto a t.

El alcance xm para el instante tm es:

Calculamos el ángulo θm de la gota cuyo punto de impacto es (-xm, -h). Como vemos en la parte derecha de la figura θm=π-α-β.

Calculamos el ángulo θm de la gota cuyo punto de impacto es (xm, -h).

Como vemos en la parte derecha de la figura θm=2π-(α-β)=2π-α+β.

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Altura máxima

La gota que se lanza en la posición θ=0, se mueve verticalmente hacia arriba,

vy=v0-gty=v0·t-gt2/2

alcanzando una altura máxima y cuando vy=0, cuyo valor es:

Hay otras gotas que alcanzan una altura mayor, la que alcanza la altura máxima sale de la posición angular θm que vamos a calcular.

La componente vertical de la velocidad de la gota que sale de la posición angular θ

vy=v0·cos(θ)-gty= R·senθ+v0·cos(θ)t-gt2/2

La máxima altura se alcanza cuando vy=0, y su valor es:

El ángulo θ, para el cual y es un extremo se obtiene dy/dθ=0

Una solución es cosθ=0, con θ=π/2, que es cuando la gota sale horizontalmente. La solución buscada es:

La altura máxima que alcanza la gota que parte de esta posición es:

y su abscisa es xm=0, tal como vemos en la figura, más abajo:

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Ecuación de la envolvente

Como vemos en la figura, la envolvente (en color azul) es una parábola simétrica respecto del eje Y, su ecuación es y=ax2+b. Calculamos a y b sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, ym), y pasa por el punto (xm, -h). Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La ecuación de la envolvente, para el caso , es la parábola:

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Torpedo a la caza de un submarino

En esta página, se describe la trayectoria que sigue un torpedo disparado desde el origen cuando persigue a un submarino que se mueve con velocidad constante V a lo largo de la trayectoria rectilínea y=H. El torpedo se mueve con velocidad constante v, pero su dirección apunta siempre hacia el submarino, tal como se muestra en la figura.

Ecuación del movimiento del torpedo

En el triángulo rectángulo de la figura, la base es la diferencia entre el desplazamiento del submarino V·t y la del torpedo x. La altura es la diferencia H-y. Como la dirección de la velocidad del torpedo es la línea recta que pasa por la posición del torpedo y la del submarino en el instante t, tendremos que:

o de forma alternativa:

Diferenciando ambos miembros con respecto del tiempo:

Teniendo en cuenta que dvy/dt=dvy/dy·dy/dt=vy·dvy/dy

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Integramos ambos miembros, sabiendo que el torpedo parte del origen y=0, y su velocidad inicial es vy=v, dirigida a lo largo del eje Y.

Para resolver la integral de la derecha, se hace el cambio de variable z=1/vy

Deshaciendo el cambio de variable y evaluando ambas integrales en los límites inferior y superior, se obtiene:

Elevando ambos miembros al cuadrado y despejando vy

Resolvemos la ecuación diferencial de primer orden:

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, el torpedo parte del origen, y=0.

Alternativamente, integramos de nuevo para obtener la ordenada y del torpedo en función del tiempo t.

Para ello, hacemos el cambio de variable z=1-y/H.

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Esta es una ecuación implícita de la ordenada y en función del tiempo t.

Una vez obtenida la ordenada y en función del tiempo t, se calcula la abscisa x, mediante la relación deducida al principio de esta página.

Sustituimos el tiempo t y obtenemos la ecuación de la trayectoria:

Distintos casos

Cuando la velocidad del torpedo es mayor que la del submarino, v>V.

Cuando y=H ó z=0 se produce el impacto del torpedo y la posible destrucción del submarino.

La posición del punto de impacto es:

que es positivo solamente si v>V. La velocidad v del torpedo tiene que ser necesariamente mayor que la velocidad V del submarino para que haya impacto.

El instante t en el que se produce es:

Cuando la velocidad del torpedo es menor que la del submarino, v<V.

El torpedo y el submarino se aproximan hasta una distancia mínima y luego se alejan.

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El mínimo se obtiene derivando L respecto de z e igualando a cero:

Haciendo algunas operaciones obtenemos:

Cuando la velocidad del submarino y del torpedo es la misma, V=v.

La componente Y de la velocidad del torpedo vale:

Hacemos el cambio de variable z=1-y/H para integrar:

La ecuación de la trayectoria es:

Cuando v→V, la distancia entre el submarino Lmin y el torpedo tiende a H/2, como puede comprobarse fácilmente.

Ejemplo:

Cuando la velocidad v del torpedo es menor que la del submarino V=1. Por ejemplo, v=0.8.

La distancia de máximo acercamiento es:

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En la posición:

z=0.415, y=0.585

En el instante:

La abscisa x se obtiene a partir de la ecuación de la trayectoria:

Cuando la velocidad v del torpedo es mayor que la del submarino V=1. Por ejemplo, v=2.

La posición del punto de impacto es:

en el instante:

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Movimiento relativo

Movimiento relativo de translación uniforme

Cuando se introduce en clase el movimiento relativo, se empieza el tema resolviendo problemas sencillos e intuitivos para cuyo planteamiento no se requiere una explicación detallada del concepto de velocidad relativa.

Ejemplo 1

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).

Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s.

Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.

El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c) El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)

El tiempo total es:

Con los datos del problema t=800/7=114.3 s.

Ejemplo 2

En esta sección el barco atraviesa el río. Pueden ocurrir dos casos:

Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea mayor que la de la corriente c

Que la velocidad del barco v respecto de la corriente sea menor que la de la corriente c

Primer caso: v>c

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Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s.

¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?

Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra. Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y

regresar de nuevo al punto de partida O.

El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte.

El resultado de la suma V=v+c es

Vj=(v·cosθ i+v·senθ j)+ci

o bien,

0=c+v·cosθV=v·senθ

El ángulo θ se calcula a partir de la primera ecuación cosθ=-c/v. La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda

ecuación, o bien, como el cateto V del triángulo rectángulo formado por la hipotenusa v y el otro cateto c.

El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje será:

Con los datos del problema,

La velocidad del bote respecto de tierra es de . El ángulo que forma la proa del bote con la dirección este-oeste es θ=138.6º. El tiempo total de viaje será t=2·37.6=75.6 s

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Segundo caso: v<c

Cuando la velocidad del barco v (respecto de la corriente) es menor que la velocidad de la corriente c, no es posible que el barco atraviese el río sin desviarse.

La velocidad del barco respecto de tierra es V=v+c

V=(v·cosθ i+v·senθ j)+ci=(c+v·cosθ) i+v·senθ j

El tiempo t que tarda en cruzar el río de anchura d y la desviación x a lo largo de la orilla es:

La desviación mínima x se produce para el ángulo:

El tiempo t que tarda en el viaje de ida para el ángulo de mínima desviación θm es:

El tiempo es mínimo, para el ángulo 2θm=270, θm=135º

El tiempo de viaje de ida es mínimo, para aquellos botes que se muevan con velocidad v=-c·cos135 haciendo un ángulo θm=135º con la dirección de la corriente. El tiempo de viaje y la desviación x es:

Ejemplo

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Un río fluye hacia el este con velocidad de c=4 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=3 m/s.

El ángulo que hace que la desviación x sea mínima es θm=138.6º, la desviación mínima es xm=88.2 m, el tiempo de viaje es t=50.4 s

Si la velocidad del bote es v=-c·cos135, , el ángulo que produce la desviación mínima es θm=135º, la desviación mínima es xm=100 m, el tiempo de viaje de ida es tm=50.0 s

Ejemplo 3

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el norte θ=90º con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

Calcular la velocidad del bote respecto de tierra. Si el río tiene una anchura de d=100 m, calcular el tiempo necesario para

cruzarlo. ¿Cuál es la desviación hacia el este del bote cuando llega a la otra orilla del río? ¿Cómo debe dirigirse el barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta

regrese al punto O de partida? Calcular el tiempo que tarda en volver al punto de partida.

La velocidad del bote respecto de tierra V es la suma vectorial de la velocidad del bote respecto del agua v (cuando el agua está quieta) y la velocidad de la corriente de agua respecto de tierra c.

El resultado de la suma V=v+c es:

Vsenα i+ Vcosα j=ci+vj

El módulo del vector resultante V es:

y forma un ángulo α con la dirección norte-sur:

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El tiempo que tarda en el viaje de ida es t1=d/v, La desviación hacia el este es x=c·t1=c·d/v. O bien, en el triángulo rectángulo de

la figura tenemos que x=d·tanα=d·c/v.

Con los datos del problema:

La velocidad del barco respecto de tierra es V=5 m/s y su orientación respecto de la dirección norte-sur es α=36.9º.

El tiempo que tarda en cruzar el río es t=25 s. El desplazamiento hacia el este del barco al llegar a la otra orilla es x=75 m.

La siguiente pregunta ya no es tan fácil. ¿Con qué ángulo debe orientarse la proa del barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta regrese el punto O de partida?

Como puede verse en la figura tenemos que calcular el ángulo β de la dirección de la velocidad v del barco respecto de la corriente para que la velocidad del barco respecto de tierra V forme un ángulo α (calculado anteriormente) con la dirección norte-sur.

El resultado de la suma V=v+c es:

-V·senα i+ -V·cosα j=-v·senβ i-v·cosβ j +c i

o bien,

V·senα=v·senβ-cV·cosα= v·cosβ

con tanα=c/v

No resulta difícil demostrar que β=2α. Para ello, se han de emplear las relaciones trigonométricas conocidas:

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El tiempo que tarda el barco en regresar al punto de partida O es:

Para demostrarlo, se ha empleado la relación trigonométrica 1+tan2α=1/cos2α

El tiempo total de viaje:

Con los datos del problema tenemos:

El ángulo que forma la proa del barco con la dirección este-oeste es θ=90+β=90+2α=163.8º

El tiempo de viaje de de vuelta t2=89.3 s y el total t=25+89.3=114.3 s

Comparación de los tiempos de viaje

El tiempo del viaje de ida (t1=25 s) en el tercer ejemplo es el mínimo para cruzar el río, es menor que en el segundo ejemplo (primer caso v>c) (t1=37.6 s). Pero el viaje de vuelta en el tercer ejemplo (t2=89.3 s) es de mayor duración que en el segundo ejemplo (t2=37.6 s). Por lo que el tiempo de viaje de ida y vuelta en el segundo ejemplo (t=75.6 s) es menor que en el tercer ejemplo (t=114.3 s) y es el mínimo que se emplea en cruzar el río.

El tiempo de viaje del primer ejemplo (t=114.3 s) es igual al tiempo de viaje en el tercer ejemplo.

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Movimiento relativo de rotación uniforme

Cuando un cuerpo se mueve sobre la superficie de la Tierra está sometido a dos fuerzas la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis.

La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotación del plano del péndulo de Foucault, la circulación del aire alrededor de los centros de baja o alta presión, la desviación de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotación del agua cuando sale por el desagüe de la bañera, etc.

La fuerza centrífuga es responsable del cambio en el módulo y en la dirección de la aceleración de la gravedad a distintas latitudes.

Las fuerzas reales como la fuerza que ejerce un muelle, la fuerza de atracción gravitatoria, las fuerzas eléctricas o magnéticas son las que describen las interacciones entre los cuerpos. Las fuerzas de inercia solamente se observan en sistemas de referencia acelerados, para distinguirlas de las fuerzas reales se denominan también fuerzas ficticias o pseudofuerzas.

La introducción de este tipo de fuerzas junto con las reales facilita la resolución de los problemas de Mecánica en los sistemas de referencia en movimiento relativo de rotación uniforme como la Tierra.

Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el sistema no inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el sistema inercial son las siguientes

Su justificación la podemos encontrar en algunos libros de texto.

Movimiento rectilíneo y uniforme

Vector posición

Una partícula P se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v, sabiendo que en el instante inicial t=0, se encuentra en la posición x0, determinar la trayectoria en el sistema no inercial que gira con velocidad angular constante en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema inercial

La posición de la partícula P en función del tiempo es:

x=x0+vty=0.

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El vector posición es r=xi

La trayectoria de la partícula es rectilínea:

Sistema no inercial

x’=x·cos(t)y’=x·sen( t)

El vector posición es:

r= x·cos( t)i’+ x·sen( t)j’

Si la partícula parte del origen en el instante t=0, x=v·t. La distancia r de la partícula al origen en el instante t es:

El ángulo girado por el sistema no inercial al cabo de un cierto tiempo t es θ=ω·t

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es:

Que es una espiral de Arquímedes, tal como puede verse en el applet más abajo. Esta es la espiral que describe la cinta de una casete de espesor d al enrollarse, o la trayectoria que sigue una aguja en un disco.

Vector velocidad

Sistema inercial

La velocidad v de la partícula P es constante:

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v=vi

Sistema no inercial

Derivando respecto del tiempo obtenemos la velocidad de la partícula medida en el sistema no inercial:

Vamos a comparar este resultado con el que nos proporciona la fórmula:

Con:

v=vi=-kr=xi

se obtiene:

v’=vi+ xj

Ahora, relacionamos los vectores unitarios i, j, del sistema de referencia OXY inercial con los vectores unitarios i’, j’ del sistema OX’Y’ no inercial:

Obtenemos de nuevo, el vector velocidad v’

Vector aceleración

Sistema inercial

La velocidad v de la partícula P es constante en módulo y dirección:

a=0

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Sistema no inercial

Derivando las componentes de la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la aceleración a’ medida en el sistema no inercial.

Veamos ahora mediante la fórmula:

Los datos que tenemos son:

a=0, el movimiento es uniforme en el sistema de referencia inercial=-kr=x·cos(t)i’+x·sen(t)j’v’=(v·cos( t)- x· ·sen( t))i’+(v·sen( t)+ x· ·cos( t))j’

Calculamos cada aceleración separadamente:

Aceleración de Coriolis

-2 v’=-2(- k)(vxi’+vyj’)=-2 vyi’+2 vxj’

=-2 (v·sen( t)+ x· ·cos( t))i’+2 (v·cos( t)- x· ·sen( t))j’

En la figura, se muestra que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad v'. A la izquierda, se muestra el producto vectorial en el espacio, y a la derecha la misma representación en el plano.

Aceleración centrífuga

- ( r)

con r= x·cos( t)i’+ x·sen( t)j’

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- ( r)=-(- k) ( ·x·sen( t)i’- ·x·cos( t)j’)

=2·x·cos( t)i’+2·x·sen( t)j’

En la figura, se muestra el resultado del triple producto vectorial. La aceleración centrífuga tiene dirección radial.

Sumando las dos contribuciones volvemos a obtener la aceleración a’ medida en el sistema no inercial:

a’=(-2 ·v·sen( t)- 2·x·cos( t))i’+(2 ·v·cos( t)- 2·x·sen( t))j’

Simulación del péndulo de Foucault

En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris. Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre, el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el péndulo señalaba la trayectoria. Demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora. El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra. Aunque la Tierra estuviera cubierta de nubes, este experimento hubiese demostrado que tiene un movimiento de rotación.

En esta simulación, el movimiento de péndulo se sustituye por el Movimiento Armónico Simple de un punto P.

x=Acos(pt)

Donde p es la frecuencia angular de oscilación de este imaginario péndulo.

Se dibuja la trayectoria en el sistema no inercial OX’Y’ aplicando la transformación:

x’=x·cos(t)=Acos(pt)·cos(t)y’=x·sen( t)=Acos(pt)·sen( t)

Donde es la velocidad angular de rotación.

En la figura, se muestra el ángulo girado por el plano de oscilación del "péndulo" durante el periodo de una oscilación. El péndulo parte de A y regresa a B, para iniciar

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una nueva oscilación. El ángulo girado es = ·P. Siendo P=2/p el periodo de una oscilación:

El ángulo girado por el plano de oscilación del péndulo en una hora, es el producto de por el número de oscilaciones que da el péndulo en una hora.

·60·60/P ·60·60=15º a la hora.

Teniendo en cuenta que la velocidad angular de rotación de la Tierra es de 360º en 24 h.

Para un lugar de latitud λ, el ángulo girado por el plano de oscilación del péndulo en una hora vale 15º·sen λ. La razón estriba en que el vector velocidad angular de rotación forman un ángulo 90º-λ con la dirección perpendicular al plano local, tal como se ve en la figura. Recuérdese que la aceleración de Coriolis responsable de este fenómeno es el producto vectorial -2 v.

Sabiendo que la latitud de Paris es de aproximadamente 49º, el plano de oscilación del péndulo de Foucault gira a razón de 11.3º cada hora.

Caso particular p

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son:

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x’=Acos(·t)·cos(t)=(A/2)(1+cos(2·t))y’=Acos(ω·t)·sen( t)=(A/2)sen(2 ·t)

Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (A/2, 0) y de radio A/2.

El péndulo esférico visto desde el Sistema de Referencia NO Inercial

Un péndulo esférico la composición de dos MAS de la misma frecuencia angular p pero de direcciones perpendiculares desfasados 90º.

x=Acos(p·t)y=Bsen(p·t)

Eliminando el tiempo t en las dos ecuaciones paramétricas, obtenemos la ecuación de la trayectoria de la partícula en el Sistema de Referencia Inercial, una elipse de semiejes A y B, tal como se ve en la figura.

En un instante t la partícula dista r del origen y hace un ángulo θ con el eje X. La posición de la partícula en el Sistema de Referencia Inercial es:

x=r·cosθy=r·senθ

La posición de la partícula el Sistema de Referencia No Inercial es:

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x’=r·cos(θ+·t)=x·cos(·t)-y·sen(·t)y’=r·sen(θ+·t)= x·sen( ·t)+y·cos( ·t)

Las ecuaciones paramétricas del movimiento del péndulo esférico visto desde el Sistema de Referencia No Inercial son:

x’=Acos(p·t)·cos(·t)-Bsen(p·t)·sen(·t)y’= Acos(p·t)·sen( ·t)+ Bsen(p·t)·cos( ·t)

Casos particulares con p=±

1. Cuando B=0, el péndulo describe un MAS a lo largo del eje X

x’=Acos(·t)·cos(·t)=(A/2)(1+cos(2·t))y’= Acos(p·t)·sen( ·t)= (A/2)sen(2 ·t)

Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (A/2, 0) y de radio A/2.

2. Cuando A=B, el péndulo describe una trayectoria circular:

x’=Acos(·t)·cos(·t)-Asen(·t)·sen(·t)=Acos(2·t) y’= Acos(·t)·sen( ·t)+ Asen(·t)·cos( ·t)= Asen(2·t)

El péndulo describe una trayectoria circular centrada en el origen de frecuencia 2

3. Cuando A=B y p=- el péndulo describe una trayectoria circular:

x’=Acos(·t)·cos(·t)+Asen(·t)·sen(·t)=Ay’= Acos(·t)·sen( ·t)- Asen(·t)·cos( ·t)= 0

La trayectoria es el punto fijo (A, 0).

4. Cuando A≠B, el péndulo describe una trayectoria elíptica:

x’= Acos(·t)·cos( ·t)- Bsen(·t)·sen( ·t)= Acos2(·t)- Bsen2(·t)=A- (A+B)sen2(·t)

y’= Acos(·t)·sen( ·t)+ Bsen(·t)·cos( ·t)=(A/2) sen(2 ·t)+(B/2) sen(2 ·t)

Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia de radio (A+B)/2 centrada en el punto ((A-B)/2, 0).

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Aceleración centrífuga y de Coriolis

En este página, se explican los efectos de la aceleración de Coriolis y la centrífuga, sobre el movimiento de un cuerpo que cae verticalmente en el hemisferio Norte desde una altura h.

Supondremos que el observador está en un sistema NO inercial, en rotación solidariamente con la Tierra. En el capítulo Dinámica Celeste se dará una explicación de los efectos de la aceleración de Coriolis desde el punto de vista de un observador inercial.

Aceleración de Coriolis

La fórmula de la aceleración de Coriolis es:

aco=-2 v

donde es la velocidad angular de rotación del planeta, y v es la velocidad del cuerpo medida por el observador no inercial. El ángulo es la latitud del lugar considerado situado en el hemisferio Norte.

Como podemos apreciar en la figura de más abajo, el vector velocidad angular forma un ángulo igual a la latitud con la dirección Norte-Sur en el plano local.

La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte está dirigida hacia el Este y su módulo es:

ay=2 v·sen(90+ )=2 v·cos

A lo largo del eje Z la aceleración es la de la gravedad az=g

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En el plano local tenemos la composición de dos movimientos

Uniformemente acelerado a lo largo del eje Z

Acelerado (aceleración variable) a lo largo del eje Y

Se ha supuesto que el cuerpo parte del reposo desde la posición z=h, y=0.

La aceleración de Coriolis de un cuerpo que cae es máxima en el ecuador =0º y es nula en los polos =90º. En el polo coinciden las direcciones de los vectores velocidad angular de rotación y la velocidad v del cuerpo que cae, el producto vectorial de ambos vectores es por tanto, cero.

Ejemplo:

Si estamos situados en el plano del ecuador =0, y el cuerpo se deja caer desde una altura de 100 m, tenemos una desviación y=2.2 cm, que no se puede apreciar a simple vista.

Aceleración centrífuga

Si estamos en el hemisferio Norte, en un lugar de latitud . Una partícula situada en este punto describe una circunferencia de radio r=R·cos . La aceleración centrífuga es radial y dirigida hacia afuera, tal como se indica en la figura, su modulo es:

ac= 2r= 2R·cos .

Los datos del plaenta Tierra son:

Velocidad angular de rotación , una vuelta (2·) cada 24 horas (86400 s). El radio de la Tierra es de R=6370 km.

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La aceleración centrífuga se descompone en dos,

Componente en la dirección radial, que disminuye la aceleración g0 de la gravedad.

g=g0 - 2R·cos2 .

La aceleración centrífuga en el ecuador =0º, es máxima 2R, pero es muy pequeña comparada con g0

Componente en la dirección Norte-Sur (eje X), que desvía los cuerpos hacia el Sur. El valor de esta componente es ax=ac·sen=2R·cos ·sen. Esta aceleración es nula cuando estamos en el plano ecuatorial =0º.

Un móvil que cae, describe un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X.

Ejemplo:

La desviación hacia el sur de un cuerpo que cae desde una altura de 100 m en un punto de latitud =45º es x=17.2 cm, muy pequeña para ser apreciada a simple vista.

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física cinemática

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