cinemática la cinemática se ocupa de la descripción del

Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática

Cinemática La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido (desde la posición x1 hasta la posición x2 ) y el tiempo transcurrido.

v = e/t (1) siendo: e: el espacio recorrido y t: el tiempo transcurrido. La ecuación (1) corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme, donde la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Aceleración Se define como aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la tasa de variación de la velocidad, el cambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, la aceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en m/s2, gráficamente se representa con un vector.

a = v/t Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

v = e/t v = cte. a = 0 Movimiento uniformemente variado (M.U.V.) Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:

v = a.t La distancia recorrida durante ese tiempo será

e = ½.a.t2 Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t2). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante. a ≠ 0 = cte v = variable 1) Acelerado: a > 0 xf = xo + vo.t + ½.a.t² (Ecuación de posición) vf = vo + a.t (Ecuación de velocidad) vf

2 = vo2 + 2.a.Δx

2) Retardado: a < 0 xf = xo + vo.t - ½.a.t² (Ecuación de posición) vf = vo - a.t (Ecuación de velocidad) vf

2 = vo2 - 2.a.Δx


3) Caída libre: Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, la aceleración es aproximadamente de 9,8 m/s2. Al final del primer segundo, una pelota habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, la pelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s. En la caída libre el movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y carece de velocidad inicial. a = g vo = 0 yf = ½.g.t² (Ecuación de posición) vf = g.t (Ecuación de velocidad) vf

2 = 2.a.Δy 4) Tiro vertical: movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del movimiento, puede ser ascendente o descendente. a = g vo ≠ 0 yf = yo + vo.t - ½.g.t² (Ecuación de posición) vf = vo - g.t (Ecuación de velocidad) vf

2 = vo2 - 2.a.Δy

5) Tiro parabólico: Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola. Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U. En eje x: v = cte. a = 0 En eje y: a = g vo ≠ 0 6) Tiro oblicuo: movimiento cuya velocidad inicial tiene componente en los eje x e y, en el eje y se comporta como caída libre, mientras que en el eje x como M.R.U. En eje x: v = cte. a = 0 En eje y: a = g vo = 0 Movimiento circular en el plano El movimiento circular es otro tipo de movimiento sencillo. Si un objeto se mueve con celeridad constante pero la aceleración forma siempre un ángulo recto con su velocidad, se desplazará en un círculo. La aceleración está dirigida hacia el centro del círculo y se denomina aceleración normal o centrípeta. En el caso de un objeto que se desplaza a velocidad v en un círculo de radio r, la aceleración centrípeta es:

a = v2/r. En este movimiento, tanto la aceleración como la velocidad tienen componentes en x e y.


1) Horizontal: s = R.θ s: arco de circunferencia recorrido θ: ángulo desplazado v = R.ω ω: velocidad angular aT = R.α aT: aceleración tangencial α: aceleración angular aN = v2/R aN: aceleración normal o centrípeta aN = R.ω2 Sí v = cte. ⇒ aT = 0 2) Vertical: este movimiento no es uniforme ya que la velocidad del cuerpo aumenta cuando desciende y disminuye cuando asciende. Para este modelo el cuerpo está sujeto por una cuerda, entonces, las fuerzas que actúan son el peso del cuerpo y la tensión de la cuerda, que componen una fuerza resultante.

FT = m.g.sen θ FN = T - m.g.cos θ

T = m.( v2/R + g.cos θ) Siendo en el punto más bajo

T = m.( v2/R + g) Siendo en el punto más alto

T = m.( v2/R - g) En el punto mas alto la velocidad es crítica, por debajo de ésta la cuerda deja de estar tensa.

vc2 = R.g

3) Péndulo físico: FT = m.g.sen θ

FN = T - m.g.cosθ Amplitud:

s = R.θ La velocidad es variable, anulándose en cada extremo del arco de circunferencia (amplitud).

T = m.g.cos θ En el punto más bajo: θ = 0 FT = 0

FN = T - P El período τ es el tiempo en que se efectúa una oscilación completa.

τ = 2.π.√R/g La frecuencia f es la relación entre el número de revoluciones y el tiempo de observación.

f = 1/τ Resolver: 1) ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 km/h?

Rta.: 20 m/s 2) Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido: a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?. b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.

Rta.: a) 141,6 m b) 8,85 m/s

3) Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido. Rta.: a) 22,8 m

b) 1,42 m/s


4) En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.

Rta.: 16 m

5) Un móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm y x2 = 25,5 cm. Determinar: a) Velocidad del móvil. b) Su posición en t3 = 1 s. c) Las ecuaciones de movimiento. d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s. e) Los gráficos x = f(t) y v = f(t) del móvil.

Rta.: a) 4 cm/s b) 13,5 cm

c) v = x/t + 9,5 s d) 19,5 cm

6) Pasar de unidades las siguientes velocidades: a) de 36 km/h a m/s. b) de 10 m/s a km/h. c) de 30 km/min a cm/s. d) de 50 m/min a km/h. 7) Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular: a) Su velocidad. b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad?. Rta.: a) 49 km/h b) 147 km 8) Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s? Rta.: 6,2 s 9) La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un observador. a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido?. b) ¿con qué diferencia de tiempo los registra?. Rta.: a) la luz b) 151,5149 s 10) ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el sol se encuentra a 150.000.000 km de distancia. Rta.: 500 s 11) Un auto de fórmula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiempo t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5 m. Calcular:


a) ¿a qué velocidad se desplaza el auto?. b) ¿en qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?. Rta.: a) 40 m/s b) 120 m 12) ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un día y medio de viaje?. Rta.: 3.240.000 m 13) ¿Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120 km/h o el (b) que lo hace a 45 m/s? Rta.: el móvil (b) 14) ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de 25.000 m? Rta.: 20 min 15) ¿Qué tiempo empleará un móvil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640 km? Rta.: 8 h

Dinámica

Hasta este momento hemos descrito al movimiento de una partícula sin preguntarnos que lo causa. Este problema fue un tema central para la denominada Filosofía Natural que sostenía la necesaria influencia externa (una fuerza) para mantener un cuerpo en movimiento. Cuando esta fuerza se acababa creían que el cuerpo se detenía volviendo a lo que consideraban su estado natural. De esta suposición se desprendía que un cuerpo más pesado (mayor fuerza interior) debía caer más de prisa que un cuerpo liviano. Fue Galileo Galilei (1564 − 1642) el primero en darse cuenta de lo falso de esta hipótesis. Desde lo alto de la Torre de Pisa dejó caer, desde la misma altura, dos esferas de igual tamaño pero de diferente peso, ambas cayeron el mismo tiempo. (Si no lo crees toma dos objetos de diferente peso y déjalos caer desde una misma altura)

Galileo estudió las causas del movimiento pero fue Newton (1641 – 1727) quién les dio forma y las compiló en tres principios a los que hoy llamamos principios de Newton.

Principios de Newton

Si para mantener un cuerpo en movimiento no hace falta una fuerza, entonces, ¿qué se necesita? La respuesta es: nada.

Si mueves el pié sobre el piso vas a sentir como "algo" se opone a ese deslizamiento. Si el piso está encerado ese "algo" disminuye en intensidad, hasta podríamos imaginar una superficie tan encerada que esa resistencia desaparecería por completo. En esta situación, luego de impulsarnos, nada nos detendría, seguiríamos a velocidad constante y en línea recta.


Hagamos un pequeño experimento.

Toma un papel, un lápiz y colócalos como muestra la figura. Tira fuerte del papel. ¿Por qué no se mueve el lápiz del lugar? Piensa que estás haciendo fuerza sobre el papel, al lápiz no lo tocas, ¿Por qué debería moverse?

Si no aplicamos una fuerza exterior a un cuerpo este permanece quieto o moviéndose a velocidad constante y en línea recta. (M. R. U.)

Acabamos de enunciar el primer principio de Newton que se llama principio de inercia. Es a causa de este principio que al arrancar el colectivo sientes ese empujón hacia atrás.

Sigamos analizando el sistema papel - lápiz.

Vuelve a armar el dispositivo. Mueve el papel lentamente; esta vez el lápiz se mueve también. ¿A qué se debe este comportamiento? Si tiras fuerte del papel el lápiz se queda en un mismo lugar, pero si tiras despacio el útil de escritura acompaña al desplazamiento.

La clave de lo que sucede está en la fuerza que realizamos para sacar al papel. Tomemos un libro y coloquémoslo sobre el papel y repitamos la experiencia. Si tiramos con fuerza del papel el libro no se mueve, si tiramos despacio se mueve con él. Si colocamos varios libros sucesivamente sobre el papel llegará el momento en que, tirando suavemente de él, no podamos mover el sistema. Existe una interacción entre la superficie de contacto del papel y la de los libros, existe una fuerza que se opone a este movimiento, esta fuerza se denomina fricción.

La fricción es la responsable que un cuerpo que está en movimiento sobre el suelo se detenga.

“Ya sea para arrancar, detener, acelerar o desacelerar una partícula siempre debemos aplicar una fuerza exterior a él ".

La fuerza y la aceleración son dos magnitudes vectoriales directamente proporcionales, F ~ a. Matemáticamente se necesita una magnitud constante para establecer una igualdad, físicamente esa constante es la masa del cuerpo:

F = m . a

Por supuesto que no siempre que apliquemos una fuerza podremos mover un cuerpo, si no trata de mover una pared . . .

Hagamos nuevamente un pequeño experimento.

Saluda a la persona que tengas al lado dándole la mano; el sistema mano – mano no se mueve en dirección derecha o izquierda, por que en él intervienen dos fuerzas, una de cada mano. Estas fuerzas tienen la misma dirección, la misma intensidad (módulo) pero sus sentidos son opuestos.


También vemos este par de fuerzas (del mismo módulo, igual dirección y sentidos opuestos) al aplaudir. Nuestras manos se mueven en sentidos opuestos, chocan. En el

momento del choque, cada mano hace fuerza sobre la otra. La superficie de la piel "reacciona" a esa fuerza con otra de igual intensidad, igual dirección y sentido opuesto. A una de ellas se la denomina acción a la otra reacción.

Otro ejemplo, cuando estamos parados, a nuestro peso (acción) se opone la fuerza del piso que nos sostiene (reacción), de otro modo se rompería y caeríamos.

Resumiendo, siempre tenemos dos opciones: podemos o no aplicar una fuerza. Si no la aplicamos una fuerza exterior estamos frente al principio de inercia. Si la aplicamos una fuerza exterior, también tenemos dos posibilidades: el cuerpo puede moverse o quedarse quieto. Si se mueve, estamos frente al segundo principio de Newton, el principio de masa. En caso de que no se mueva estamos frente al tercer principio de Newton, el principio de acción y reacción.

Al resolver un problema lo primero que debemos fijarnos es que principio se cumple.

Peso y masa: El peso de un cuerpo no es otra cosa que la fuerza de atracción gravitacional ejercida por la Tierra; magnitud vectorial cuya dirección siempre es perpendicular al suelo y su sentido apunta hacia él. Si dejamos un cuerpo en el aire, el peso lo hará caer y la aceleración que experimenta es la gravedad, lo que implica que debemos aplicar el segundo principio de Newton para poder calcular su magnitud.

La fuerza ejercida es el peso ( P) que suplantará a F en la fórmula, mientras que la aceleración g hará lo correspondiente con a.

Entonces en vez de F = m . a tendremos P = m . g

La masa se mide en kilogramos y la fuerza también, pero aunque la unidad de cada magnitud se escuche parecido resultan muy diferentes una de otra, no debemos confundirlas.

Un kilo de masa (1 Kg.) pesa en nuestro planeta un kilo, pero en el espacio su peso se reduce a medida que se aleja de la superficie de la Tierra. El peso de un cuerpo depende de la distancia que se encuentre de este planeta, de su masa y la masa terrestre, como lo expresa Newton con su famosa ley de atracción gravitacional universal


En esta ecuación m y m' representan a las masas de los cuerpos, d a la distancia en que se encuentran y F a la fuerza de atracción (el peso en nuestro caso).

Si nuestro planeta variara en su cantidad de masa nosotros variaríamos en nuestro peso, de igual manera al aumentar o disminuir nuestra masa corporal aumentamos o disminuimos de peso.

Para diferenciar el kilogramo masa del kilogramo fuerza se llegó a un acuerdo, se escribe Kg. cuando se habla de masa y Kgr. al referirnos al kilogramo fuerza.

¿Cuánto pesa 1 Kg.?

Utilicemos el principio de masa con el valor de la aceleración de la gravedad 10 m/seg.2

P = m . g = 1 Kg. 10 m/seg 2 = 10 Kg. m. seg.- 1 → N (Newton) (es como se llama a esta unidad de fuerza.)

El sistema de medición que utiliza al Newton como unidad de fuerza se denomina M.K.S. (metros, kilogramos, segundos)

De esa manera queda establecido que 1Kgr. = 10 N

Fuerza: Todos tenemos una noción intuitiva de fuerza. Sabemos que para sostener un cuerpo debemos hacer un esfuerzo, al que llamamos "fuerza" y admitimos que esa fuerza tiene por objetivo equilibrar la que ejerce el cuerpo como consecuencia de su peso.

Ahora extiende tu brazo y presiona sobre la pared más cercana; hacer fuerza con el brazo extendido nos permite ver los elementos que encontramos dentro de las fuerzas (por supuesto que estos atributos son imaginarios). Con un color señalamos la recta a la que pertenece la fuerza que hacen los brazos de este hombre (La recta es la dirección de la fuerza que ejerce el hombre), la flecha indica el sentido (hacia donde hace la fuerza). En el lenguaje cotidiano dirección y sentido son sinónimos pero la física tiene sus propios códigos y aquí estos dos términos son muy distintos.

Si pegamos a un objeto delicadamente hacemos menos fuerza que si le pegamos con rabia, la cantidad de una fuerza varía. El módulo indica solamente la cantidad de fuerza que se hace sin importar el sentido que ella tenga.

Entonces, ¿qué elementos encontramos en una fuerza? "Dirección, sentido y módulo."


Casualmente hay un elemento matemático que tiene esos mismos elementos, es el " vector ". Vemos la relación existente entre la matemática y la física.

Hablemos de las fuerzas colineales: llevan ese nombre las fuerzas que poseen igual dirección pero no necesariamente el mismo sentido.

Deja en la mesa la birome y con el dedo índice empújala desde un extremo, vas a ver que se mueve. Ahora si la empujas con el dedo índice de cada mano sobre el mismo extremo. Cada dedos hace fuerza con igual dirección y

igual sentido, resultando, de ambos, una fuerza mayor que antes. De esa manera podemos indicar que: "las fuerzas de igual sentido se suman"

Coloca los dos dedos índices en cada extremo y haz fuerza. La fuerza resultante en este caso es menor que la hecha por cada dedo. Si comparemos la dirección de cada fuerza, siguen siendo la misma , pero sus sentidos son opuestos. De esa manera podemos indicar que: " las fuerzas de sentidos opuestos se restan "

Aquí necesitamos destacar un principio importantísimo en física "los signos indican sentidos”.

Así que si dos fuerzas van a la izquierda podríamos decir que son negativas y si van a la derecha, diremos que son positivas. (Atención, la elección positiva o negativa de los sentidos es arbitraria)

En nuestra vida cotidiana las fuerzas pueden ser colineales, paralelas o secantes (las que se cortan en un punto). Como son fuerzas, pueden ser representadas por vectores.

Hay varias formas de hallar la resultante, veamos la forma gráfica:

Método del Paralelogramo: ¿Qué características tiene un paralelogramo? Sus lados opuestos son paralelos y de igual longitud.

Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes:

1.- Traza las rectas paralelas a cada fuerza, por sus extremos (con líneas punteadas )

2.- Une con una línea el punto de intersección de las paralelas y el punto de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvidar que es una fuerza por consiguiente un vector)

3.- Calcula el valor de la resultante.


Método Poligonal: Deriva del método anterior, pero es más fácil para trabajar con varias fuerzas.

Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes:

1.- Traza la rectas paralelas a F 2 desde el extremo de F 1 (con líneas punteadas)

2.- Toma la medida de esa fuerza y desde su extremo (flecha del vector) traza la siguiente

3.- Uní con una línea el extremo de la última fuerza con el punto de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvidar que es una fuerza por consiguiente un vector)

4.- Calcula el valor de la resultante.

Si hay más de dos fuerzas se traza una fuerza detrás de la otra (ojo con la dirección de cada una); cuando se dibujó la última fuerza se traza la resultante desde el punto de origen de las fuerzas hasta el extremo de la última fuerza.

Método Analítico: (sumatoria de fuerzas)

En este preciso instante existen fuerzas actuando sobre tu cuerpo y no te das cuenta. Si intentas saltar la fuerza de gravedad va obligar a volver al piso. No hay manera de escapar a su influencia, al menor en cualquier punto de la superficie de nuestro planeta. Toma una birome (cualquier objeto sirve), levántala con la mano. Si sueltas la birome caerá sobre la mesa (o alguna superficie horizontal). El peso es el responsable de su caída pero ¿por qué se detuvo? ¿qué la detuvo?. Al analizar los principios de dinámica vimos que lo único que puede acelerar o detener un cuerpo es una fuerza externa al sistema. Por lo que debemos suponer que la mesa "hizo fuerza" para detener la caída de la birome. ¡Los sólidos tienen la capacidad de "hacer fuerza"!.

Hagamos un simple experimento, para ello necesitamos tres monedas (pueden ser fichas). Pongamos un moneda sobre la mesa bajo nuestro dedo índice, asegurándonos que no se pueda mover. Coloquemos otra moneda a su lado de manera que


estén en contacto. La tercera moneda úsala para golpear, de costado, a la que está sujeta a tu dedo. Su compañera saldrá disparada alejándose de tu índice. Si le pegas a la moneda que tienes en tu dedo, desde arriba, no sucede nada.

¿Por qué si pegas de costado la moneda se mueve y si pegas desde arriba no? ...

Siempre que intervengan fuerzas en un sistema (sobre un cuerpo o no) necesitaremos aplicar los principios de dinámica.

Si aplicamos una fuerza de costado (cuando la moneda choca la que tu sostienes), la moneda que está bajo tu dedo no se moverá debido a la acción de fuerza de rozamiento que hay entre la moneda; tu dedo y la superficie de la mesa (hay una fuerza de rozamiento en cada cara de la moneda) este fenómeno es explicado por el principio de acción y reacción. Pero la otra moneda, la que está libre puede moverse pues no hay fuerza que se oponga (el rozamiento entre la moneda y la superficie de la mesa no es suficiente).

Es importante destacar que por más fuerte que apretemos el dedo contra la moneda, ésta no se va a mover ( principio de acción y reacción ); debe existir una fuerza de la misma dirección, mismo módulo

que la suma de la fuerza de tu dedo y el peso de la moneda, pero sentido contrario. Ésta fuerza siempre tendrá dirección perpendicular al suelo. Una recta perpendicular a otra se denomina "normal", es por eso que a esta fuerza se la denomina "fuerza normal".

Fuerza de rozamiento: La fuerza de rozamiento, también llamada fricción, surge de la relación entre la naturaleza de la superficie (del piso para poner un ejemplo) y la reacción de esa superficie al peso (ó a la proyección del peso si es un plano inclinado).

Debemos hacer una distinción entre la fuerza de rozamiento de un cuerpo estático y la fricción de un cuerpo en movimiento. La fuerza de rozamiento estática (cuerpo quieto)


es mayor que la que actúa sobre un cuerpo en movimiento. Se necesitan más personas para empujar un auto parado que para llevarlo una vez que arrancó.

Matemáticamente la fuerza de rozamiento y la reacción del piso son directamente proporcionales, para establecer una igualdad se necesita una constante, el valor constante de la proporción está determinado por el coeficiente de rozamiento (μ). Por supuesto que el coeficiente estático (μe) es mayor, numéricamente, que el coeficiente dinámico (μd). μe > μd .

F r = μ . N (Se denomina normal (N) a la reacción del piso a todas las fuerzas que actúan sobre esa superficie)

Cantidad de Movimiento: Al aplicarse una fuerza es evidente que la velocidad de un cuerpo cambia, cambia "la cantidad de movimiento" de ese cuerpo, y la cantidad de movimiento puede medirse físicamente.

Tenemos un cuerpo que tiene una masa m, (valor escalar) el que adquiere una velocidad determinada al aplicársele una fuerza exterior. La masa y la velocidad resultan ser inversamente proporcionales ya que, a igual magnitud de fuerza, si la masa aumenta al doble su velocidad se reducirá a la mitad. Expresado de una manera más sencilla, si empujamos al mouse adquirirá mayor velocidad que si empujamos, con la misma cantidad de fuerza, a la CPU.

Al ser inversamente proporcionales, la masa y la velocidad se multiplican para obtener un valor constante. La velocidad es un vector mientras que la masa una magnitud escalar, matemáticamente al multiplicar un vector por un escalar obtendremos otro vector. Físicamente ese vector producto entre la masa y la velocidad se denomina cantidad de movimiento y se lo designa con la letra p:

La segunda ley de Newton fue expresada en base a la variación de la cantidad de movimiento en función del tiempo, es decir que si se aplica una fuerza exterior a un cuerpo este experimentará una variación de cantidad de movimiento a medida que transcurre el tiempo.

F = Δp / Δt (como p = m . v) F = Δ(m . v) / Δt (m es una constante, por lo tanto sólo la velocidad puede variar)

F = m . Δv / Δt (recordando que a = Δv / Δt ) tenemos que: F = m . a

La variación de la cantidad de movimiento se conoce con el nombre de ímpetu, que se designa con la letra I.

"I = Δp"

De esa manera tenemos que F = Ι / Δt (despejando) I = F . Δt.

Colisión (Choque): Imaginemos a dos machos cabríos con sus imponentes cornamentas, enfrentados en un combate por un territorio repleto de hembras. Los dos magníficos animales se levantan sobre sus patas traseras "impulsándose" para


descender a topetazos sobre su oponente. Este violento encuentro ilustra perfectamente la situación de una colisión donde actúan fuerzas externas relativamente grandes durante un tiempo estimativamente corto.

Como podemos determinar la posición de cada animal durante todo el proceso, podemos tratarlos físicamente como si fueran partículas.

Si bien la idea básica de una colisión es que, en movimiento o quietas, dos o más partículas (o por lo menos una de ellas) cambian bruscamente su dirección, lo que es muy evidente es el cambio de velocidad que experimentan las partículas involucradas antes y después del choque..

Durante la colisión la fuerza varía de una manera tan compleja que resulta muy complicada medirla. Estas fuerzas, denominadas impulsivas, actúan durante un brevísimo instante.

Lo que hay que estacar es que la cantidad de movimiento se mantiene constante.

La cantidad de movimiento, como se ha visto, es el producto entre la masa y la velocidad. Así que tendremos la cantidad de movimiento de cada partícula antes y después del choque, la cantidad total de movimiento (la suma de las cantidades de movimientos de ambos cuerpos) serán iguales antes y después de chocar.

Si ambas partículas quedaran "adheridas" en un solo cuerpo en movimiento, el choque se denominará plástico. Pero si rebotaran separándose, el choque se designará con el nombre de elástico.

Choque plástico: ma .va + mb vb = v (ma + mb)

Choque elástico: ma .va + mb vb = ma .v’a + mb v’b

Ejercicio Explicado:

Una bala de 0,05 kg. masa se desplaza con una velocidad de 350 m/seg. cuando impacta sobre un bloque de madera, de 0,36 Kg. de masa, incrustándose en él. a) Hallar la velocidad con que se mueve el sistema luego del choque.

Solución: Al impactar la bala queda incrustada dentro del bloque de madera, por lo cual podemos suponer después del impacto ambos cuerpos se desplazan juntos. Estamos frente a un choque plástico, en el cual, antes del choque, la bala se encuentra moviéndose mientras que el bloque está quieto (velocidad inicial cero).

Datos: v bala = 350 m/seg, m bala = 0,05 kg, v madera = 0 m/seg., m madera = 0,36 Kg.

Incógnita: v. = ?. (velocidad bala – madera).

Apliquemos la ecuación del choque plástico y reemplacemos por sus respectivos valores.


m bala .v bala + m madera v madera = v (m bala + m madera) → 350 m/seg . 0,05 Kg + 0 = v (0,41 Kg)

v = 42,683 m/seg.

Plano Inclinado: Los movimientos rectilíneos en la vida real no se producen sobre superficies planas; aunque el piso así lo parezca no lo es pues pertenece a una superficie curva. Lo que sucede es que esta porción es tan pequeña comparada con la de nuestro planeta que la vemos plana.

Reduzcamos el problema analizando los movimientos sobre curvas y rectas en vez de superficies.

Pequeños segmentos consecutivos (con distinta dirección), todos juntos, darán la impresión de formar una curva. A la inversa, si tenemos una pequeña porción de una curva la veremos recta, la dirección de esta coincidirá con la recta tangente en ese punto.

Si necesitamos analizar un movimiento sobre una superficie inclinada (como la de una colina) podemos simplificar la dificultad de nuestro trabajo considerando toda la superficie como plana, y tomar una sección transversal, de esa manera estudiamos lo que sucede como si fuera un movimiento rectilíneo. Para ello utilizamos el plano inclinado que no es otra cosa que un triángulo rectángulo, donde por el lado más largo (la hipotenusa) se desplaza el cuerpo.

Diagrama de Cuerpo libre: Al estudiar los distintos tipos de movimientos hacíamos coincidir al eje x con el suelo en movimientos horizontales, mientras que para los verticales tomábamos la línea perpendicular al piso, el eje y. Como ya se había explicado, el peso es la fuerza gravitacional con que nos atrae la tierra hacia su centro. Esa dirección es perpendicular a la recta tangente de su superficie en cualquier punto, es por eso que el peso se dibuja como un vector perpendicular al piso.


Como la recta perpendicular al suelo tiene la misma dirección que el eje y, podemos superponer al vector peso con este eje de manera que P se ubique sobre el eje y. Por supuesto que la reacción de esta superficie al peso, la fuerza normal, también la encontramos sobre el eje y. Análogamente, cualquier fuerza que desplace (acelerando o frenando) horizontalmente al cuerpo puede ubicarse sobre el eje x.

Todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo pueden representarse sobre un eje de coordenadas. Se denomina diagrama de cuerpo libre al eje de coordenadas donde están "dibujadas" todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (sin ser necesario dibujar al cuerpo).

Si tenemos más de un cuerpo en un sistema, tendremos que hacer un diagrama de cuerpo libre para cada uno.

Supongamos que la fuerza aplicada sobre el cuerpo no tuviera la misma dirección del eje x o del eje y. Tenemos una fuerza "F" que se encuentra formando un ángulo α con el suelo; como el eje x es paralelo al piso, F y el eje x también forman un ángulo cuya amplitud es α.

Hagamos el diagrama de cuerpo libre:

Tracemos rectas paralelas a los ejes que pasen por el ápice (extremo) de F, de esa forma tendremos los componentes de la fuerza F sobre los ejes de coordenadas, Fx y Fy.

Entre los tres vectores (F, Fx y Fy) queda formado un triángulo rectángulo donde F es la hipotenusa, Fx es el

cateto adyacente respecto de α y Fy es el cateto opuesto, por lo tanto utilizando las funciones trigonométricas tenemos:

De esa manera podemos analizar la acción de una o más fuerzas sobre un cuerpo y ubicarlas en un diagrama de cuerpo libre para estudiar sus efectos.

Cuerpos Vinculados: En un problema cualquiera se debe hacer el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos involucrados indicando las fuerzas que actúan en cada uno de ellos. Pongamos un ejemplo para que podamos entender que es lo que ocurre.


Acá tenemos dos cuerpos de distintas masas. Sólo con ver el sistema sabemos que: m1 es el menor; sobre m2 actúa una fuerza.

Como existe una cuerda que los une tendremos fuerzas a las que denominaremos tensiones. Por supuesto que cada uno tiene su peso y éste está equilibrado por una normal. Dibujemos el sistema con todas las

fuerzas que actúan en él.

Por el principio de masa tenemos que P = m g (ver principio de masa). La reacción al peso de la superficie donde se mueve el sistema es la normal de cada uno de los cuerpos.

Aunque está de más decirlo, ambas normales tienen módulos diferentes pues dependen del valor del peso de cada cuerpo.

Sobre el cuerpo m2 actúa una fuerza y la cuerda ejerce otra fuerza sobre el cuerpo m1 a la que llamaremos tensión. El "tirón" de la cuerda provoca una reacción sobre m2 que posee la misma dirección, el mismo módulo pero sentido contrario que la tensión, por lo tanto se anulan entre sí. Como la reacción a esta tensión tiene sentido contrario su signo es negativo (signos indican sentidos).

Hagamos el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo:

Analicemos las acciones de las fuerzas sobre cada eje:

Eje x: T = m1 . a * Eje x: F – T = m2 . a *

Eje y: N1 – P1 = 0 ^ Eje y: N2 – P2 = 0 ^

* Como sobre el eje x pueden moverse aplicamos el principio de masa (siempre y cuando no se muevan a velocidad constante)

^ Como sobre el eje y no pueden moverse la sumatoria de las fuerzas es cero.

Tomemos las ecuaciones de los ejes que pueden desplazarse con libertad (eje x en este caso) y sumémoslos miembro a miembro:


(se despeja lo que se deba despejar)

Ahora que ya has terminado con la parte teórica puedes hacer ejercicios del tema:

Ejercicios Explicados de Dinámica:

Una persona está parada sobre una balanza ubicada sobre el piso de un ascensor que se mueve hacia arriba con velocidad constante; en esas condiciones la balanza indica 80 kilos. ¿Cuál será la indicación de la balanza (en kilogramos) cuando el ascensor comienza a frenar, para detenerse, con una aceleración de 2 m/seg.2?

Solución: Consideramos que el peso de la persona es 80 kilogramos ya que al moverse con velocidad constante la sumatoria de fuerzas sobre el sistema hombre – ascensor es nula; de esa forma es lícito pensar que el peso (que es lo que marca la balanza) es contrarrestado por la reacción del piso (tercer principio de dinámica).

En el momento en que empieza a frenar el sistema, el cuerpo tiende a seguir en movimiento ya que frena el ascensor pero no la persona (principio de inercia). La fuerza supuesta

"impulsora" del hombre está determinada por su masa y la aceleración de frenado. Este fenómeno se percibe en la balanza "pareciendo" que la persona "pesa" menos, siendo el valor que aparece en el aparato la "resta" entre ambas fuerzas.

F balanza = P – Fac. → Fb = P – m ac → Fb = P – P/g ac →

→ F b = 80 Kgf – 16 Kgf = 64 Kgf.

P = m . g → m = P/g

1) Calcular el peso en N de un cuerpo cuya masa es de 540 Kg. Rta.: 5292 N

2) Calcular la aceleración de un cuerpo de 45 kg. al aplicarle una fuerza de 2250N Rta.: 50 m/seg2.

3) Calcular el peso de un cuerpo al que se le aplica una fuerza de 5400N y produce una aceleración de 0,72 m/seg2. Rta.: 7,5 . 104 N


4) ¿Qué fuerza será necesaria para que un cuerpo de 500N de peso alcance una velocidad de 30m/s en 10 seg. partiendo del reposo ? Rta.: 150 N

5) Estamos en los últimos minutos del partido que está empatado. A Diego le toca patear el último penal. Ubica la pelota de 1,5 Kg. a doce metros del arco y tras un breve trote patea el balón que llega en 0,3 seg. a las manos del arquero quien se ha arrojado 4m al costado para atajar. ¿ Con qué fuerza le pega en la mano ? (ojo, hay que calcular la distancia que recorre la pelota) Rta.: 421,64 N

6) Un cuerpo de 20 kg. recorre 200 m en 5 seg ¿qué fuerza lo impulsaba? Rta.: 320 N

7) En un laboratorio se estudia una extraña partícula. Ella es capaz de recorrer 200000 m cuando se le aplica una fuerza de 500N, en apenas 0,032 seg. Hallar la masa de esta partícula. Rta.: 1,28 . 10 –6 kg.

8) Un vagón cuya masa es de dos toneladas se halla fuera de control, corriendo con una velocidad de 54 Km./h. ¿Qué fuerza habrá que aplicarle para que se detenga a los 100m? Rta.: – 2250 N

9) ¿por qué un cuerpo cae si se encuentra sobre un plano inclinado ? (recomendación, hacer el dibujo y descomponer la fuerza ) Rta.: P. Sen α

10) Siendo la constante de rozamiento estático 0,25 ¿Cuánta fuerza se debería hacer para arrancar un auto de 1500 Kg. (masa)? Rta.: F < 375 N

11) Para tirar de una podadora de césped que pesa 550 N sobre un camino horizontal, un hombre efectúa una fuerza de 400 N con un ángulo de 30º respecto al suelo. Determinar, suponiendo que parte del reposo: a) fuerza que hace el sobre horizontal y verticalmente. b) fuerza normal c) aceleración que desarrolla d) espacio que recorre en 10 seg. e) velocidad que alcanza en ese punto. Rta: a) 346,4 N i + 200 N j b) 350 N c) 6,3 m/seg.2 d) 314,92 m e) 63 m/seg.

12) Un cuerpo de 500 N de peso recorre 150 m en 15 seg. partiendo del reposo; siendo la fuerza de rozamiento de 50 N determinar el valor de la constante de rozamiento y el valor de la fuerza aplicada. Rta: μ = 0,1; F = 216,7 N

13) Hallar la aceleración y la tensión en cada caso.

Rta: a) 2,4 m/seg2 b) 2,8 m/seg2 ; 28 N c) 2 m/seg2 ; 16 N d) 0,4 m/seg2 ; 26 N


14) Resolver el ejercicio anterior suponiendo que el suelo tiene un coeficiente dinámico de rozamiento de 0,2. Rta: a) 0,76 m/seg2 b) 0,8 m/seg2 ; 28 N c) 0,3 m/seg2 ; 18,38 N d) no se mueve.

15) Un hombre de 60 Kg. está parado sobre una balanza dentro de un ascensor que sube a 1 m/seg. Al llegar a destino frena con una aceleración de 2 m/seg2. Entonces, en ese tramo, la balanza indicará: a) 720 N b) 600 N c) 660 N d) 480 N e) otro valor Rta: d.

17) En el sistema de la figura el cuerpo A se desplaza 200 m. hacia la derecha en 10 seg. Determinar: a) aceleración de cada uno de los cuerpos; b) fuerza actuante en la cuerda; c) módulo de la fuerza F2.

Rta.: a) 4 m/seg. b) 50 N c) 90 N

TRABAJO Una fuerza constante genera trabajo cuando, aplicada a un cuerpo, lo desplaza a lo largo de una determinada distancia. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento. Por otra parte, si una fuerza constante no produce movimiento, no se realiza trabajo. Por ejemplo, el sostener un libro con el brazo extendido no implica trabajo alguno sobre el libro, independientemente del esfuerzo necesario. El trabajo se expresa en Joules (J). Cuando la fuerza tiene la dirección de movimiento.

W = F.d W: Trabajo realizado por la fuerza. Cuando la fuerza aplicada tiene una inclinación α con respecto al movimiento.

W = F.cos α .d Todas las fuerzas perpendiculares al movimiento no realizan trabajo. La fuerza puede no ser mecánica, como ocurre en el levantamiento de un cuerpo o en la aceleración de un avión de reacción; también puede ser una fuerza electrostática, electrodinámica o de tensión superficial. Energía La magnitud denominada energía enlaza todas las ramas de la física. En el ámbito de la física, debe suministrarse energía para realizar trabajo. La energía se expresa en joules (J). Existen muchas formas de energía: energía potencial eléctrica y magnética, energía cinética, energía acumulada en resortes estirados, gases comprimidos o enlaces moleculares, energía térmica e incluso la propia masa. Energía cinética Cuando una fuerza aumenta la velocidad de un cuerpo también se realiza trabajo, como ocurre por ejemplo en la aceleración de un avión por el empuje de sus reactores. Cuando un cuerpo se desplaza con movimiento variado desarrolla energía cinética.

Ec = ½.m.v2 W = F.d W = Ec

F.d = ½.m.v2 Ec: Energía cinética. El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética de dicha partícula.


Δ Ec = Ec2 - Ec1 L = Ec2 - Ec1

F.d = ½.m.( v22 - v2

1) Δ Ec: Variación de la energía cinética. Energía potencial Cuando se levanta un objeto desde el suelo hasta la superficie de una mesa, por ejemplo, se realiza trabajo al tener que vencer la fuerza de la gravedad, dirigida hacia abajo; la energía comunicada al cuerpo por este trabajo aumenta su energía potencial. Si se realiza trabajo para elevar un objeto a una altura superior, se almacena energía en forma de energía potencial gravitatoria. Cuando un cuerpo varía su altura desarrolla energía potencial.

Ep = m.g.h ⇔ W = F.d ⇔ W = Ep P.d = m.g.h

Ep: Energía potencial. El trabajo realizado por la fuerza peso es igual a la variación de la energía potencial.

Δ Ep = Ep2 - Ep1 L = Ep2 - Ep1

P.d = m.g.( h2 - h1) Δ Ep: Variación de la energía potencial. En todas las transformaciones entre un tipo de energía y otro se conserva la energía total, y se conoce como teorema de la energía mecánica (Δ EM). Por ejemplo, si se ejerce trabajo sobre una pelota de goma para levantarla, se aumenta su energía potencial gravitatoria. Si se deja caer la pelota, esta energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética. Cuando la pelota choca contra el suelo, se deforma y se produce fricción entre las moléculas de su material. Esta fricción se transforma en calor o energía térmica. Fuerzas conservativas Para un cuerpo de masa m que se mueve del punto 1 al 2 y luego del punto 2 al 1. Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula que se mueve en cualquier viaje de ida y vuelta es 0.

Δ EM = 0 Δ EM : Variación de la energía mecánica. Trabajo de fuerzas conservativas:

W = Δ EM Δ EM = Δ Ec + Δ Ep W = Δ Ec + Δ Ep

Fuerzas no conservativas Para un cuerpo de masa m que se mueve del punto 1 al 2 y luego del punto 2 al 1. Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula que se mueve en cualquier viaje de ida y vuelta es distinto de 0.

Δ EM ≠0 Δ EM = HO

Δ EM: Variación de la energía mecánica. HO : Trabajo de la fuerza de rozamiento. Trabajo de fuerzas no conservativas:

W = Δ EM + HO W = Δ Ec + Δ Ep + HO

Siendo: HO = Fr.d Potencia La potencia desarrollada por una fuerza aplicada a un cuerpo es el trabajo realizado por ésta durante el tiempo de aplicación. La potencia se expresa en watt (W).

P = W / t P = F.d / t


v = d / t P = F.v

También: P = (Δ Ec + Δ Ep + HO)/t

Si no hay fuerza de rozamiento P = (Δ Ec + Δ Ep)/t

Si no cambio su altura P = (Δ Ec)/t

P: potencia Caballo de vapor: Unidad tradicional para expresar la potencia mecánica, es decir, el trabajo mecánico que puede realizar un motor por unidad de tiempo; suele abreviarse por CV. En el Sistema Internacional de unidades, la unidad de potencia es el vatio; 1 caballo de vapor equivale a 736 vatios. Su valor original era, por definición, 75 kilográmetros por segundo. Ejercicios 1er Bloque 1) Transformar 250 kgf.m a Joul y kW.h. 2) ¿Cuántos kgf.m y Joul representan 25 kW.h?. 3) Indicar cuántos Joul y kW.h son 125478 kgm. 4) Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 m de su posición inicial mediante una fuerza de 10 N. 5) ¿Qué trabajo realiza un hombre para elevar una bolsa de 70 kgf a una altura de 2,5 m?. Expresarlo en: a) kgf.m b) Joule c) kWh 6) Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N, ¿qué trabajo deberá efectuarse para elevarlo hasta el lugar desde donde cayo?. Expresarlo en: a) Joule. b) kgm. Responder: 1) ¿Qué es el trabajo mecánico?. 2) ¿En que unidades se mide el trabajo?. 3) ¿Cuáles son sus equivalencias?. 4) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay trabajo?. 5) ¿Las máquinas simples, realizan trabajo?. Resultados: 1)

1 kgf.m → 9,807 J

250 kgf.m → x = 250 kgf.m × 9,807 J/1 kgf.m

x = 2451,75 J 1 W = 1 J/s 1kW = 1.000 J/s 1kW.h = 1.000 J.3.600 s/s 1kW.h = 3.600.000 J s/s 1 J = 1kW.h/3.600.000

1 kgf.m → 9,807 J/3.600.000

250 kgf.m → x = 250 kgf.m × 9,807 J/3.600.000 kgf.m

x = 6,81.10-4 kW.h 2)

1 kW.h → 3.600.000 J


25 kW.h → x = 25 kW × 3.600.000 J/1 kW.h

x = 9.107 J

1 kW.h → 3.600.000 kgf.m/9.807

25 kW.h → x = 25 kW.h × 9,807 × 3.600.000 J/1 kW.h

x = 9.177.118 kgf.m 3)

1 kgf.m → 9,807 J

125.478 kgf.m → x = 125.478 kgf.m × 9,807 J/1 kgf.m

x = 1.230.563 J

1 kgf.m → 9,807 J/3.600.000

125.478 kgf.m → x = 125.478 kgf.m × 9,807 J/3.600.000 kgf.m

x = 0,3418 kW.h 4) w = F × d ⇒ w = 10 N × 2 m ⇒ w = 20 J 5) a) w = F × d ⇒ w = 70 kgf × 2,5 m ⇒w = 175 kgf.m b) w = 175 kgf.m × 9,807 J/kgf.m ⇒ w = 1716,225 J a) w = 175 kgf.m × 9,807 J/3.600.000 kgf.m ⇒w= 0,000477 kW.h 6) w = F.d En éste caso se trata de la fuerza peso, por lo tanto: w = P.d y al ser un movimiento vertical la distancia es la altura: w = P.h Mediante cinemática calculamos la altura para caída libre. h = ½.g.t2 h = ½ × 9,807 (m/s2) × (3 s)2 ⇒ h = ½ × 9,807 (m/s2) × 9 s2 ⇒ h = 44,1315 m Luego: a) w = P × h ⇒ L = 4 N × 44,1315 m ⇒w = 176,526 J b) w= 176,526 J/(9,807 kgf.m × J) ⇒w= 18 kgf.m 2do Bloque 1) Un proyectil que pesa 80 kgf es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 95 m/s. Se desea saber: a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 7 s?. b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima?. 2) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo que pesa 38 N a los 30 s de caída libre?. 3) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo de masa 350 kg si posee una velocidad de 40 m/s?. 4) ¿Con qué energía tocará tierra un cuerpo que pesa 2500 g si cae libremente desde 12 m de altura?. 5) Un cuerpo de 200 N se desliza por un plano inclinado de 15 m de largo y 3,5 de alto, calcular: a) ¿Qué aceleración adquiere?. b) ¿Qué energía cinética tendrá a los 3 s?.


c) ¿Qué espacio recorrió en ese tiempo?. 6) ¿Qué energía potencial posee un cuerpo de masa 5 kg colocado a 2 m del suelo?. 7) Si el cuerpo del ejercicio anterior cae, ¿con qué energía cinética llega al suelo?. 8) Sabiendo que cada piso de un edificio tiene 2,3 m y la planta baja 3 m, calcular la energía potencial de una maceta que, colocada en el balcón de un quinto piso, posee una masa de 8,5 kg. 9) Un cuerpo de 1250 kg cae desde 50 m, ¿con qué energía cinética llega a tierra?. 10) Un proyectil de 5 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 60 m/s, ¿qué energía cinética posee a los 3 s? y ¿qué energía potencial al alcanzar la altura máxima?. Responder: 1) ¿Qué es energía?. 2) ¿Qué clases de energía conoce?. 3) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay transformación de energía?. 4) ¿Qué aparato o máquina transforma energía mecánica en luminosa?. Resultados: 1) Datos: P = 80 kgf

v0 = 95 m/s t = 7 s

a) Mediante cinemática calculamos la velocidad luego de 7 s: vf = v0 - g.t vf = 95 m/s + (- 9,807 m/s2).7 s ⇒ vf = 95 m/s - 68,649 m/s ⇒ vf = 26,351 m/s Luego: Ec = ½.m.v2 La masa es: m = 80 kg Ec = ½.80 kg.(26,351 m/s)2 Ec = 27775,01 J b) Mediante cinemática calculamos la altura máxima: vf

2 - v02 = 2.g.h

- v02/2.g = h

h = (95 m/s)2/(2.9,807 m/s2) ⇒ h = 460,13 m Con éste dato hallamos la energía potencial: Ep = m.g.h Ep = 80 kg.9,807 (m/s2).460,13 m Ep = 361.000 J Pero mucho mas simple es sabiendo que la energía potencial cuando se anula la velocidad es igual a la energía cinética inicial (si no hay pérdidas): Ec1 = Ep2 Ec1 = ½.m.v1

2 ⇒ Ec = ½.80 kg.(95 m/s)2 Ec1 = 361.000 J = Ep2 2)


Datos: P = 38 N t = 30 s

Calculamos la velocidad: vf = g.t ⇒ vf = 9,807 (m/s2).30 s ⇒ vf = 294,21 m/s Con éste dato calculamos la energía cinética: Ec = ½.m.v2 ⇒ Ec = ½.(38 N/9,807 m/s2).(294,21 m/s)2 Ec = 167.700 J 3) Ec = ½.m.v2 ⇒ Ec = ½.350 kg.(40 m/s)2 Ec = 280.000 J 4) Si cae libremente su velocidad inicial es nula, por lo tanto toda su energía potencial (dada por la altura) se convertirá en energía cinética: Ec2 = Ep1 Ep1 = m.g.h Ep1 = 2,5 kg.9,807 (m/s2).12 m Ep1 = 294,21 J = Ec2 5) Datos: P = 200 N

l = 15 m h = 3,5 m t = 3 s

a) En el eje "x": Σ Fx = m.a Px = m.a pero: Px = P.sen α m.a = P.sen α m.a = m.g.sen α a = g.sen α Por otra parte: sen α = 3,5 m/15 m = 0,233 a = 9,807 (m/s2).0,233 a = 2,29 m/s2 b) Suponiendo que parte del reposo: vf = a.t


luego: Ec = ½.m.vf

2 ⇒ Ec = ½.m.(a.t)2 Ec = ½.(200 N/9,807 m/s2).(2,29 m/s2.3 s)2 Ec = 480,54 J c) e = ½.a.t2 e = ½.2,29 m/s2.(3 s)2 e = 10,29 m 6) Ep = m.g.h ⇒ Ep = 5 kg.9,807 (m/s2).2 m ⇒ Ep = 98,07 J 7) Si no hubo pérdidas por rozamiento, toda la energía potencial se transformó en energía cinética: Ec = 98,07 J 8) h = 2,3 m.4 + 3 m = 14,5 m El balcón del 5° piso es el techo del 4° piso Ep = m.g.h ⇒ Ep = 8,5 kg.9,807 (m/s2).14,5 m ⇒ Ep = 1017 J 9) Recordemos que toda la energía potencial se transforma en energía cinética: Ep1 = Ec2 Ep1 = Ec2 = m.g.h1 ⇒ Ep1 = 1250 kg.9,807 (m/s2).50 m ⇒ Ep = 612.937,5 J 10) Primero hallamos la velocidad a los 3 s del lanzamiento: v2 = v1 + g.t v2 = 60 m/s + (- 9,807 m/s2).3 s v2 = 30,579 m/s Luego calculamos la energía cinética: Ec2 = ½.m.v2

2 ⇒ Ec2 = ½.5 kg.(30,579 m/s)2 ⇒ Ec2 = 2.337,69 J Para la segunda parte debemos tener en cuenta que cuando alcanza la altura máxima la velocidad se anula, por lo tanto, toda la energía cinética inicial se transformó en energía potencial: Ec1 = ½.m.v1

2 ⇒ Ec1 = ½.5 kg.(60 m/s)2 ⇒ Ec1 = 9.000 J Ep2 = 9.000 J 3er Bloque 1) Transformar 2500 kW a: a) cv. b) Kgm/s. 2) Una grúa levanta 2000 kg a 15 m del suelo en 10 s, expresar la potencia empleada en: a) cv. b) W. c) HP.


3) Un motor de 120 cv es capaz de levantar un bulto de 2 ton hasta 25 m, ¿cuál es el tiempo empleado? 4) ¿Qué potencia deberá poseer un motor para bombear 500 l de agua por minuto hasta 45 m de altura? 5) ¿Cuál será la potencia necesaria para elevar un ascensor de 45000 N hasta 8 m de altura en 30 s? ¿Cuál será la potencia del motor aplicable si el rendimiento es de 0,65? 6) Calcular la velocidad que alcanza un automóvil de 1500 kgf en 16 s, partiendo del reposo, si tiene una potencia de 100 HP. 7) Un automóvil de 200 HP de potencia y 1500 kgf de peso, sube por una pendiente de 60° a velocidad constante. Calcular la altura que alcanza en 20 s. 8) Calcular la potencia de una máquina que eleva 20 ladrillos de 500 g cada uno a una altura de 2 m en 1 minuto. 9) La velocidad de sustentación de un avión es de 144 km/h y su peso es de 15000 kgf. Si se dispone de una pista de 1000 m, ¿cuál es la potencia mínima que debe desarrollar el motor para que el avión pueda despegar?. Responder: 1) ¿Qué es la potencia? 2) ¿Cuáles son sus unidades? 3) ¿Cuáles son sus equivalencias? 4) ¿Qué es el kilowatt hora? Desarrollo: 1) 2.500 kW = 2.500.000 W a)

1 W → 0,00136 cv

2.500.000 W → W = 2.500.000 W.0,00136 cv/1 W

W = 3.401 cv b)

1 W → 0,102 kgf.m/s

2.500.000 W → W = 2.500.000 W.0,102 (kgf.m/s)/1 W

W = 255.000 kgf.m/s 2) W = L/t ⇒ W = P.d/t ⇒ W = m.g.d/t ⇒ W = 2000 kg.(10 m/s2).15 m/10 s ⇒ W = 30000 W a)

1 W → 0,00136 cv

30000 W → W = 30000 W.0,00136 cv/1 W

W = 40,8 cv

1 W → 0,102 kgf.m/s

30000 W → W = 30000 W.0,102 (kgf.m/s)/1 W

W = 3060 kgf.m/s

1 W → 0,00134 HP


30000 W → W = 30000 W.0,00134 HP/1 W

W = 40,2 HP 3) Datos: P = 2 ton W = 120 cv h = 25 m Se adopta g = 10 m/s2

1 cv → 735 W

120 W → W = 735 W.120 cv/1 cv

W = 88200 W

1 ton → 1000 kg

2 ton → m = 1000 kg.2 ton/1 ton

m = 2000 kg W = P.d/t ⇒ W = m.g.d/t ⇒ t = m.g.d/W ⇒ t = 2000 kg.(10 m/s2).25 m/88200 W ⇒ t = 5,67 s 4) Datos: caudal = 500 l/min ≈ 500 kg/min ≈ 8,33 kg/s d = 45 m Se adopta g = 10 m/s2 W = P.d/t ⇒ W = m.g.d/t ⇒ W = (m/t).g.d ⇒ W = (8,33 kg/s).(10 m/s2).45 m ⇒ W = 3750 W 5) Datos: P = 45000 N h = 8 m t = 30 s η = 0,65 W = P.d/t ⇒ W = 45000 N.8 m/30 s ⇒ W = 12.000 W η = Wc/Wm ⇒ Wm = Wc/η ⇒ Wm = 12000 W/0,65 ⇒ Wm = 18.461,5 W 6) Datos: P = 1500 kgf W = 100 HP t = 16 s Se adopta g = 10 m/s2

1 HP → 746 W

100 HP → W = 100 HP.746 W/1 HP

W = 74.600 W

1 kgf → 9,80665 N

1500 kgf → P = 1500 kgf.9,80665 N/1 kgf

P = 14.710 N Pero:


P = m.g ⇒ m = P/g ⇒ m = 14.710 N/(10 m/s2) ⇒ m = 1.471 kg De la potencia obtenemos el trabajo empleado: W = L/t ⇒ W.t = L ⇒ L = 74600 W.16 s ⇒ L = 1.193.600 J Como no hay fuerza de rozamiento ni cambios en la altura: L = ΔEM = ΔEc = Ec2 - Ec1 Debido a que el vehículo parte del reposo la energía cinética inicial es nula. Ec2 = ½.m.v2

2 ⇒ v22 = 2.Ec2/m ⇒ v2

2 = 2.1193600 J/1471 kg ⇒ v2 = 40,28 m/s 7) Datos: P = 1500 kgf W = 200 HP t = 20 s α = 60° Se adopta g = 10 m/s2

1 HP → 746 W

200 HP → W = 200 HP.746 W/1 HP

W = 149.200 W

1 kgf → 9,80665 N

1500 kgf → P = 1500 kgf.9,80665 N/1 kgf

P = 14.710 N De la potencia obtenemos el trabajo empleado: W = L/t ⇒ W.t = L ⇒ L = 149.200 W.20 s ⇒ L = 2.984.000 J Como no hay fuerza de rozamiento: L = ΔEM = ΔEc + ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1 Como la velocidad es constante la energía cinética se anula. L = Ep2 - Ep1 = m.g.h2 - m.g.h1 Para facilitar los cálculos tomamos h1 = 0 m. L = m.g.h2 ⇒ h2 = L/(m.g) ⇒ h2 = 2984000 J/14710 N ⇒ h2 = 202,86 m 8) Datos: m = 500 g = 0,5 kg h = 2 m t = 1 min = 60 s Se adopta g = 10 m/s2 Primero calculamos la masa total: mT = 20.0,5 kg ⇒ mT = 10 kg No hay fuerzas no conservativas ni variación de la velocidad: L = ΔEM = ΔEc + ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1 L = ΔEp = Ep2 - Ep1 = m.g.h2 - m.g.h1 Para facilitar los cálculos tomamos h1 = 0 m. L = m.g.h2 ⇒ L = 10 kg.10 m/s2.2 m ⇒ L = 200 J W = L/t ⇒ W = 200 J/60 s ⇒ W = 3.33 W 9) Datos: v = 144 km/h = (144 km/h).(1000 m/1 km)/(1 h/3600 s) = 40 m/s


P = 15000 kgf.9,80665 N/1 kgf = 147100 N d = 1000 m Se adopta g = 10 m/s2 P = m.g ⇒ m = P/g ⇒ m = 147100 N/(10 m/s2) ⇒ m = 14710 kg No hay fuerzas no conservativas: L = ΔEM = ΔEc + ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1 La altura no es requerida. L = ΔEc = Ec2 - Ec1 El avión parte del reposo: L = Ec2 L = ½.m.v2

2 ⇒ L = ½.14710 kg.(40 m/s)2 ⇒ L = 11.768.000 J Mediante cinemática calculamos aceleración necesaria para alcanzar la velocidad requerida en 1000 m. v2

2 - v12 = 2.a.d ⇒ a = (v2

2 - 02)/(2.d) ⇒ a = (40 m/s)2/(2.1000 m) ⇒ a = 0,8 m/s2 Luego calculamos el tiempo: v2 = a.t ⇒ t = v2/a ⇒ t = (40 m/s)/(0,8 m/s2) ⇒ t = 50 s Finalmente: W = L/t ⇒ W = 11768000 J/50 s ⇒ W = 235.360 W 40 Bloque 1) Un carrito de 5 N es desplazado 3 m a lo largo de un plano horizontal mediante mediante una fuerza de 22 N. Luego esa fuerza se transforma en otra de 35 N a través de 2 m. Determinar: a) El trabajo efectuado sobre el carrito. b) La energía cinética total. c) La velocidad que alcanzó el carrito. 2) Un cuerpo de 1,5 kg de masa cae desde 60 m. Determinar la energía potencial y cinética cada 10 metros a partir del origen. 3) Un cuerpo de 150 g de masa se lanza hacia arriba con velocidad inicial de 400 m/s, calcular: a) La energía cinética inicial. b) La energía cinética a los 5 s de caída. 4) Un carrito de 10 kg de masa se mueve con una velocidad de 3 m/s, calcular: a) La energía cinética si debe subir una pendiente. b) La altura que alcanzará. 5) Una persona sube una montaña hasta 2000 m de altura, ¿cuál será su energía potencial si pesa 750 N? 6) Un cuerpo de 40 kg de masa cae por un plano inclinado que forma con la horizontal un ángulo de 20°. ¿Cuál será su energía cinética luego de recorrer 18 m sobre el plano si partió del reposo?. 7) Un cuerpo de 50 N de peso se halla en el punto más alto de un plano inclinado de 20 m de largo y 8 m de alto. Determinar: a) La energía potencial en esa posición. b) La energía cinética si cae al pié de esa altura. c) La energía cinética si cae al pié deslizándose por la pendiente.


8) Un proyectil de 0,03 N de peso atraviesa una pared de 20 cm de espesor, si llega a ella con una velocidad de 600 m/s y reaparece por el otro lado con una velocidad de 400 m/s, ¿cuál es la resistencia que ofreció el muro?. 9) Un vagón de 95000 kg de masa que desarrolla una velocidad de 40 m/s, aplica los frenos y recorro 6,4 km antes de detenerse. ¿Cuál es la resistencia ejercida por los frenos?. 10) Un cuerpo de 2,45 kg de masa se desplaza sin rozamiento por un plano inclinado de 5 m y 1 m de altura, determinar: a) La distancia recorrida por el cuerpo, que parte del reposo, en 1,5 s. b) La energía cinética adquirida en ese lapso. c) La disminución de la energía potencial en igual lapso. Desarrollo: 1)

El teorema de la energía mecánica dice que el trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema. L FC = ΔEm Desarrollamos esta ecuación: L FC = ΔEm = ΔEc + ΔEp Como el movimiento es horizontal la variación de la energía potencial es nula. L FC = ΔEm = ΔEc La variación de la energía cinética total de este sistema es: ΔEcT = ΔEc1 + ΔEc2 ⇒ ΔEcT = ½.m.vf1

2 - ½.m.vi12 + ½.m.vf2

2 - ½.m.vi12

ΔEcT = ½.m.(vf12 - vi1

2 + vf22 vi1

2) No hay rozamiento y: vi1 = 0 vf1 = vi2 Por lo tanto: ΔEcT = ½.m.vf2

2 Adaptándolo a la ecuación de trabajo: L FC = ½.m.vf2

2 Como no hay fuerzas NO conservativas el trabajo del sistema es igual a la variación de la energía cinética del sistema (o total). El trabajo y la variación de la energía cinética tienen el mismo valor pero distinto sentido. Mediante cinemática calculamos la velocidad final pero por partes, hay que obtener la masa del cuerpo y la aceleración en cada tramo: Se emplea g = 9,8 m/s2 La masa del cuerpo es: P = m.g ⇒ m = P/g ⇒ m = 5 N/(9,81 ms2) ⇒ m = 0,51 kg La aceleración en el primer tramo la obtenemos de: F1 = m.a1 ⇒ a1 = F1/m ⇒ a1 = 22 N / 0,51 kg ⇒ a1 = 43,16 m/s2


Para el segundo tramo F2 = m.a2 ⇒ a2 = F2/m ⇒ a2 = 35 N / 0,51 kg ⇒ a2 = 68,67 m/s2

Con este último dato calculamos el trabajo del sistema: L FC = ½.m.vf2

2 ⇒ L FC = ½.0,51 kg.(23,10 m/s)2 ⇒ L FC = 136 J por supuesto el trabajo se puede calcular sencillamente por: LT = L1 + L2 ⇒ LT = 22 N.3 m + 35 N.2 m ⇒ LT = 136 J Pero no tiene sentido hacerlo fácil!!! Luego la energía cinética: ΔEcT = ½.m.vf2

2 ⇒ L FC = ½.0,51 kg.(23,10 m/s)2 ⇒ L FC = 136 J 2) Se emplea g = 9,8 m/s2 Para h = 60 m Ep60 = m.g.h ⇒ Ep60 = 1,5 kg.(9,8 m/s2).60 m ⇒ Ep60 = 882 J Para la altura 60 metros la velocidad es nula, por lo tanto la energía cinética también es nula. Ec60 = 0 J Para h = 50 m Ep50 = m.g.h ⇒ Ep50 = 1,5 kg.(9,8 m/s2).50 m ⇒ Ep50 = 735 J Para ésta altura la velocidad es distinta de cero, parte de la energía potencial se transformó en energía cinética. Ec50 = Ep60 - Ep50 ⇒ Ec50 = 882 J - 735 J ⇒ Ec50 = 147 J Para h = 40 m Ep40 = m.g.h ⇒ Ep40 = 1,5 kg.(9,8 m/s2).40 m ⇒ Ep40 = 588 J Ec40 = Ep60 - Ep40 ⇒ Ec40 = 882 J - 588 J ⇒ Ec40 = 294 J Para h = 30 m Ep30 = m.g.h ⇒ Ep30 = 1,5 kg.(9,8 m/s2).30 m ⇒ Ep30 = 441 J Ec30 = Ep60 - Ep30 ⇒ Ec30 = 882 J - 441 J ⇒ Ec30 = 441 J Para h = 20 m Ep20 = m.g.h ⇒ Ep20 = 1,5 kg.(9,8 m/s2).20 m ⇒ Ep20 = 294 J Ec20 = Ep60 - Ep20 ⇒ Ec20 = 882 J - 294 J ⇒ Ec20 = 588 J Para h = 10 m Ep10 = m.g.h ⇒ Ep10 = 1,5 kg.(9,8 m/s2).10 m ⇒ Ep10 = 147 J Ec10 = Ep60 - Ep10 ⇒ Ec10 = 882 J - 147 J ⇒ Ec10 = 735 J Para h = 0 m Ep0 = m.g.h ⇒ Ep0 = 1,5 kg.(9,8 m/s2).0 m ⇒ Ep0 = 0 J Al final de la caída toda la energía potencial se transformó en energía cinética.


Ec0 = Ep60 - Ep0 ⇒ Ec0 = 882 J - 0 J ⇒ Ec0 = 882 J 3) Datos: m = 150 g = 0,15 kg vi = 400 m/s Se adopta g = 10 m/s2 a) Ec = ½.m.vi

2 ⇒ Ec = ½.0,15 kg.(400 m/s)2 ⇒ Ec = 12.000 J b) Mediante cinemática calculamos la velocidad a los 5 s del lanzamiento. vf = vi + g.t ⇒ vf = 400 m/s - 10 (m/s2).5 s ⇒ vf = 350 m/s Con éste dato calculamos la energía cinética. Ec = ½.m.vf

2 ⇒ Ec = ½.0,15 kg.(350 m/s)2 ⇒ Ec = 9.187,5 J 4) Datos: m = 10 kg vi = 3 m/s Se adopta g = 10 m/s2 a) Ec = ½.m.vi

2 ⇒ Ec = ½.10 kg.(3 m/s)2 ⇒ Ec = 45 J b) La energía cinética inicial permitirá el ascenso hasta que se transforme completamente en energía potencial. Ec = Ep = m.g.h ⇒ 45 J = 10 kg.10 (m/s2).h ⇒ h = 45 J/100 N ⇒ h = 0,45 m 5) Datos: P = 750 N h = 2.000 m Se adopta g = 10 m/s2 Ep = m.g.h ⇒ Ep = P.h ⇒ Ep = 750 N.2.000 m ⇒ Ep = 1.500.000 J 6) Datos: m = 40 kg d = 18 m α = 20° Se adopta g = 10 m/s2

Primero calculamos la altura que descendió al recorrer 18 m sobre el plano, podemos hacerlo mediante el teorema de Pitágoras o trigonométricamente. h = 18 m.sen 20° ⇒ h = 6,16 m Luego calculamos la energía potencial que tenía al principio, es decir al tope de los 6,16 m. Ep = m.g.h ⇒ Ep = 40 kg.10 (m/s2).6,16 m ⇒ Ep = 2.462,55 J Al final del recorrido ésta energía potencial se transformó en energía cinética, por lo tanto: Ep = Ec = 2.462,55 J


7) Datos: P = 50 N d = 20 m h = 8 m a) Ep = m.g.h ⇒ Ep = 50 N.8 m ⇒ Ep = 400 J b y c) Al caer al pié directamente o deslizándose por la parte inclinada, toda la energía potencial se transforma en energía cinética porque varía su altura en 8 m. Ec = Ep = 400 J 8) Datos: P = 0,03 N e = 20 cm = 0,20 m vi = 600 m/s vf = 400 m/s Se adopta g = 10 m/s2 Como la pared ofrece resistencia hay pérdida de energía cinética, esto se expresa como el trabajo de de la fuerza que ejerce la resistencia. E cf - E ci = LFr ½.m.vf

2 - ½.m.vi2 = Fr.e ⇒ Fr = ½.m.(vf

2 - vi2)/e

De la fuerza peso obtenemos la masa del proyectil. P = m.g ⇒ m = P/g ⇒ m = 0,03 N/10 m/s2 ⇒ m = 0,003 kg Luego: Fr = ½.0,003 kg.[(400 m/s)2 - (600 m/s)2]/0,20 m Fr = - 1.500 N 9) Datos: m = 95.000 kg d = 6,4 km = 6.400 m vi = 40 m/s vf = 0 m/s La pérdida de energía cinética durante el frenado se manifiesta por el trabajo de la fuerza de frenado. E cf - E ci = LFf ½.m.vf

2 - ½.m.vi2 = Ff.d ⇒ Ff = ½.m.(02 - vi

2)/d Lo anterior nos indica que la ausencia de velocidad en un punto anula la energía cinética en ese punto. Ff = ½.95000.[- (40 m/s)2]/6400 m ⇒ Ff = - 11.875 N 10) Datos: m = 2,45 kg d = 5 m h = 1 m t = 1,5 s vi = 0 m/s Se adopta g = 10 m/s2


a) La componente Px de la fuerza peso es la causante del desplazamiento. Px = P.sen α Geométricamente: Px = P.(1 m/5 m) ⇒ Px = P.(1 m/5 m) ⇒ Px = P.0,2 De estas fuerzas obtenemos la aceleración del cuerpo en dirección del plano: a.m = g.m.0,2 ⇒ a = g.0,2 ⇒ a = 10 m/s2.0,2 ⇒ a = 2 m/s2 El espacio recorrido será: e = ½.a.t2 ⇒ e = ½.2 m/s2.(1,5 s)2 ⇒ e = 2,25 m b) Mediante cinemática calculamos la velocidad a los 1,5 s: vf

2 - vi2 = 2.a.e ⇒ vf

2 - 0 = 2.2 m/s2.2,25 m ⇒ vf = 3 m/s Ec = ½.m.vf

2 ⇒ Ec = ½.2,45 kg.(3 m/s)2 ⇒ Ec = 11,025 J c) Como la energía potencial depende de la altura calculamos que altura se corresponde con el desplazamiento de 2,25 m. Por triángulos semejantes: 1 m/5 m = h/2,25 m ⇒ h = 2,25 m/5 ⇒ h = 0,45 m Ep = m.g.h ⇒ Ep = 2,45 kg.10 m/s2.0,45 m ⇒ Ep = 11,025 J

cinemática la cinemática se ocupa de la descripción del

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