Tecnicatura Superior en Mantenimiento Industrial

PAGE 8MECNICA Tecnicatura Superior en Mantenimiento Industrial UTN FRSN

Tecnicatura Superior en Mantenimiento Industrial.UTN - FRSN Mecnica. Docente: Ing. Vallini CarlosDefiniciones y consideraciones generales.

La Mecnica es la parte de la Fsica que estudia el movimiento prescindiendo de las propiedades y caractersticas del objeto que se mueve.

Mecnica: es la ciencia que estudia las leyes y las causas del movimiento.

Cinemtica: estudia el movimiento en relacin con el tiempo, sin importar las causas que los producen.Dinmica: se ocupa de las relaciones que existen entre el movimiento y las causas que lo producen o lo modifican.

Esttica: es el estudio de las condiciones de equilibrio de las fuerzas.

Cuerpos slidos.

Los cuerpos pueden ser considerados como un conjunto de partculas tan pequeas que la posicin de cada una de ellas se puede definir como un punto. Estas partculas se llaman puntos materiales.

Cuando la distancia entre estos puntos es invariable, es decir los puntos estn inmviles unos respecto de otros, estamos frente a un cuerpo slido o simplemente un slido.

Cuando las distancias entre los puntos es variable (agua, aire o slidos sometidos a grandes esfuerzos, por ejemplo) los materiales sern deformables.

Los movimientos son relativos.

Cuando se dice que un cuerpo est en movimiento o en reposo, se sobreentiende que ser con referencia a otro cuerpo considerado fijo.

Ejemplo: una persona que viaja en auto estar en reposo respecto de l pero en movimiento respecto a la Tierra.

Es entonces importante fijar bien la nocin que el movimiento como el reposo son esencialmente relativos. Ser necesario entonces, fijar con respecto a que cuerpo se esta tomando el estado en cuestin, y slo ser aceptable la no mencin cuando la referencia sea tan evidente que hace intil nombrarla.

As, cuando se habla de un cuerpo cayendo un automvil desplazndose, se sobreentiende que la referencia ser la Tierra.

Trayectoria.En cinemtica, la trayectoria es el lugar geomtrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador.Se llama Mvil a todo cuerpo que se desplaza. Su desplazamiento es una lnea llamada Trayectoria. Entonces, La Trayectoria esta formada por el conjunto de todas las posiciones por las que pasa el mvil al desplazarse.La trayectoria de un mvil puede ser:

Rectilnea: Si el mvil describe su recorrido una lnea recta. Curvilnea: Si el mvil se desplaza describiendo una lnea curva, esta curva puede ser: Circular: La trayectoria descrita por el mvil es una circunferencia

Parablica: La trayectoria descrita por el mvil es una lnea denominada parbola Elipse: La trayectoria descrita por el mvil forma una elipse.

etc.Velocidad.

Para el estudio del movimiento tenemos que considerar dos magnitudes fsicas fundamentales: el espacio y el tiempo. Si relacionamos las dos magnitudes fundamentales, obtenemos una derivada, llamada velocidad definida como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo utilizado.La velocidad de un mvil a lo largo de su recorrido no siempre es constante, por lo que es necesario diferenciar entre velocidad media y velocidad instantnea.

VELOCIDAD MEDIA. La velocidad es una magnitud vectorial, y por tanto posee un valor numrico, que suele llamarse rapidez; una direccin y sentido. Para representar mediante una formula la velocidad utilizaremos V=e/t.. La unidad de velocidad en el SI es el metro por segundo (m/s). VELOCIDAD ISNTANTANEA. Es la velocidad que posee un mvil en un instante determinado de su trayectoria.Sistemas de unidades.

El Sistema Internacional de Unidades (abreviado S.I), tambin denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en la mayora de los pases y es la forma actual del sistema mtrico decimal.Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son:MAGNITUD BASENOMBRESIMBOLO

Longitud.Metro.m

Masa.Kilogramo.kg

Tiempo.Segundo.s

Corriente elctrica.Ampere.A

Temperatura termodinmica.Grado Kelvin.K

Cantidad de sustancia.Mol.mol

Intensidad luminosa.Candela.cd

Algunas magnitudes derivadasNOMBRESIMBOLOUNIDADES DEL S.I

ngulo plano.Radian.rad

Frecuencia.Hertz.Hzs-1

Fuerza.Newton.Nm.kg.s-2

Presin.Pascal.Pa m-1.kg.s-2 (N/m)

Energa, trabajo, calor.Joule.J (N.m)m .kg.s-2 (N.m)

Velocidad.Metro por segundom/sm.s-1

Aceleracin.Metro por segundo cuadradom/s2m.s-2

Potencia, flujo de energa.Watt.Wm .kg.s- (J/s)

Otros sistemas de unidades.

Algunas equivalencias tiles.

1 m = 100 cm = 39,37 pulg. = 3,281 pie = 6.214 10-4 millas1 Km. = 1000 m = 0.6214 millas

1 pulgada = 2.540 cm = 25,40 mm = 8.333 10-2 pie

1 milla = 1.609 Km.

1 Newton = 0.1020 kgf = 0.248 libras = 105 dinas

1 kgf = 9.807 Newton

1 joule = 0,1020 kgmf

Movimiento rectilneo uniforme.

Estudiaremos un punto cuya trayectoria es una recta. Designaremos tiempo cero (t=0=t0), al instante en que comenzamos a estudiar el movimiento. Mediremos los espacios de un punto P en el cual es t=0, y designaremos t1, t2, t3,., los tiempos invertidos en recorrer cada uno de los espacios e1, e2, e3,., respectivamente.

Si se verifica que son iguales los cocientes e1/t1, e2/t2, e3/t3,., o sea:

(1)Diremos que el movimiento es uniforme. Dicha constancia de cocientes debe mantenerse para cualquier intervalo de tiempo, por pequeo que sea.

De acuerdo a la figura:

Lo que significa que cualquiera de los cocientes es igual a 3 m/seg. Este cociente designa la velocidad del mvil.

De una manera general, diremos que:

Para un movimiento rectilneo uniforme (MRU), la trayectoria es una recta y la velocidad es constante.Llamando, para generalizar e al espacio recorrido y t al tiempo empleado en recorrerlo, la (1) nos da:

(2)El espacio y el tiempo pueden ser individualizados mediante un nmero que da, en cierta escala, su medida. Son llamados por eso magnitudes escalares.

Para definir la velocidad necesitamos aparte del concepto de medida, el de direccin y sentido. Se dice por eso que es una magnitud vectorial. Las magnitudes vectoriales se representan por un segmento dirigido o vector.Un vector es un ente geomtrico caracterizado por un origen, una direccin, una longitud (mdulo) y un sentido.

El vector velocidad tiene en MRU las caractersticas siguientes:

Su origen es el propio punto mvil en el instante considerado.

Su direccin se confunde con la recta que es trayectoria del punto.

Su mdulo es el valor constante que da el valor absoluto de v. Su sentido es el sentido del movimiento y se indica mediante una flecha en el extremo del segmento dirigido.

En la figura observamos dos vectores velocidad con mdulos de 4 m/seg. Y 3 m/seg respectivamente, origen A y A`, la misma direccin (la recta R) y sentidos opuestos (positivo y negativo ).En adelante escribiremos cuando se quiere indicar el valor algebraico de la velocidad y cuando se quiere expresar el vector velocidad.Ecuaciones del MRU.De la ecuacin de la velocidad

Ejemplo:Si un tren marcha a 10 m/seg. Qu espacio recorrer en 10 seg?

EMBED Equation.3

Espacio inicial.Hasta ahora hemos supuesto que para el t=0 el mvil se encuentra en el origen de los espacios, pero en general se supone que el punto mvil ha recorrido un espacio inicial cuando el tiempo es 0 (e0). Sigue luego un tiempo t seg. con una velocidad v m/seg. Hasta la posicin final A. el espacio total recorrido entonces ser:

Es esta la ecuacin general del MRU.

Si t es el intervalo de tiempo (t) transcurrido mientras el mvil recorre A0A, de la (3):

Ejemplo:Un mvil se mueve sobre una recta con MRU. Sus posiciones en los instantes t0=3seg. t1=8seg. Son 160m y 380m, respectivamente.

Encontrar la velocidad que lleva el mvil.Si:

e = e e0 = 380m 160m = 220myt = t2 t1 = 8seg.- 3seg. = 5seg.

De (4):

Representacin grfica del MRU.Grfico velocidad-tiempo.

Siendo la velocidad constante, el grfico es una paralela al eje de los tiempos.

Para un tiempo cualquiera, el rea del rectngulo rayado, es numricamente, el espacio recorrido por el mvil.

Del ejercicio anterior v1 = 44 m/seg. Y debe representarse a escala; por ejemplo si la escala de velocidad es:

El segmento Ov1 deber representarse por 4,4cm segn lo determinado por clculo (en muchas ocasiones el clculo se podr realizar mentalmente).

Grfico espacio-tiempo.

Sin e0.Si e = v x t observamos que el espacio (e) es funcin lineal del tiempo (t), por lo tanto la representacin de la ecuacin en un par de ejes e-t ser una recta inclinada respecto de ambos.Tomemos como ejemplo la siguiente ecuacin de movimiento:

Tiempo (t).

[seg.]Espacio (e)

[m]

00

0,52,5

15

Con e0.Sea por ejemplo:

Tiempo (t).

[seg.]Espacio (e)

[m]

02

0,53

14

Como observamos en el grfico, la ordenada al origen nos da el espacio inicial e0 del movimiento.Movimiento rectilneo uniformemente variado.Estamos en presencia de este movimiento si rene las siguientes caractersticas:

1. La trayectoria es una lnea recta.

2. La variacin de velocidad en cada unidad de tiempo se mantiene constante.

Es decir:

si en t1=0 es v1=0 ser en el instante considerado.

Al valor cte. indicado por las expresiones anteriores se lo llama ACELERACIN.

(5)

La aceleracin al igual que la velocidad es una magnitud vectorial, y su sentido, segn sea a favor o en oposicin al movimiento, dar aceleracin positiva o negativa respectivamente. As se obtienen los movimientos acelerados o retardados (desacelerados) respectivamente.

Ejemplo: un automvil parte del reposo y adquiere en 50seg. una velocidad de 80km/hr. Cul es su aceleracin?

Representacin grfica de la velocidad.De la expresin (5), t es el tiempo empleado para que la velocidad vare de v1 a v2 y en adelante lo designaremos simplemente t, o sea:

De aqu: (6) Como v y t son variables elevadas a la primera potencia, la representacin grfica en un diagrama v-t ser una recta inclinada.Por ejemplo:

tvf

05

17

29

Espacio en MRUV

Si descomponemos la recta v-t en pequeos tramos rectos de velocidad cte (MRU), cada uno de esos tramos encierra, por debajo, el rea que representa el espacio recorrido en dicho tramo, tal como de vio en MRU.Si sumamos cada una de las reas obtenidas debajo de cada tramo de velocidad constante obtendremos el espacio correspondiente a todos los tramos de v=cte.Si en vez de dividir el intervalo OC en ocho partes t, lo divido en 16, los tramos de velocidad constante tienden a confundirse con la recta de velocidad del MRUV, y ser tanto ms cuanto mayor sea la cantidad de intervalos t. Dicho de otra manera cuanto ms pequeo sea el t considerado.Si el intervalo t disminuye indefinidamente (tiende a 0), los tramos de v=cte. Se confundirn definitivamente con la recta AB, y entonces el trapecio OABD representa, con su rea, el espacio recorrido por el mvil animado de MRUV.El rea del OABD es:

Y de acuerdo a la figura OA=v0 , DB=v0+axt y OD=t

Trabajando, queda finalmente.

(7)Esta frmula es vlida para movimientos sin espacio inicial. Es decir la (7) representa el espacio tomado desde el origen de los tiempos. Para casos generales consideraremos un espacio inicial.

(8)Como la variable t esta elevada al cuadrado, la representacin grfica del espacio respecto de tiempo ser una parbola cuadrtica.

Grfico e-tSi: e = 2 x t + x a xt2 es decir.

V0=2m/seg. y a=0,5m/seg2 te

-80

-4-4

00

12

25

Si consideramos un e0=2m. O sea:

e = 2 + 2 x t + x a x t2

Grfico a-tAl ser la a=cte la grfica ser una lnea recta paralela al eje de los tiempos.

Resumiendo: El MRUV puede ser acelerado (a+) o retardado (a-). La trayectoria es una lnea recta.

El cambio de velocidad para intervalos iguales de tiempo es constante (a=cte.)

Ecuaciones.

(I)

Sin espacio inicial queda: (II)Despejando t de (I) y reemplazando en (II) se obtiene una frmula til cuando no se conocen los tiempos.

Cada libre y tiro vertical en el vaco.Conceptos fundamentales.

Lnea vertical.

Es aquella lnea recta, radial a un planeta.

Movimiento vertical.Cuando se suelta un cuerpo desde una determinada altura, ste cae a travs de la vertical, para ello ejerce un movimiento que toma el nombre mencionado.Si el cuerpo es lanzado desde la superficie hacia arriba tambin describe una trayectoria vertical.

Cada libre.Es el movimiento vertical que realizan los cuerpos en el vaco.Por qu en el vaco? porque si un cuerpo es soltado en un medio como por ejemplo el aire, ste se opone al libre movimiento del cuerpo y por consiguiente, el movimiento no sera de cada libre.Experiencia de Newton. Al soltar simultneamente una pluma y una piedra en el aire, la piedra llega primero que la pluma, puesto que sobre esta ltima el aire ejerce mayor resistencia (mayor superficie) - figura 1. Al soltar simultneamente una pluma y una piedra en el vaco ambas llegan al mismo tiempo, puesto que sobre ambas no existe ninguna resistencia, por lo tanto caen con la misma aceleracin - figura 2.

Aceleracin de la gravedad.

Es aquella aceleracin con la cual caen los cuerpos. Su valor depende ntegramente del lugar en que se tome.En la superficie terrestre esta aceleracin no es constante, esto se debe a que la tierra no es perfectamente esfrica y adems posee superficies accidentadas.

Casos de cada libre.

Tiro vertical.La diferencia con la cada libre, es que si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, la aceleracin de la gravedad acta oponindose al movimiento. En consecuencia el movimiento ser rectilneo y retardado o desacelerado. El movimiento completo de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba ser como se indica en la siguiente figura.

Importante:

Frmulas de cada libre y tiro vertical.

Tiro oblicuo (parablico).El tiro oblicuo es un caso de composicin de dos movimientos perpendiculares, uno rectilneo y uniforme (MRU) sobre el eje X, y otro rectilneo uniformemente variado (MRUV) sobre el eje Y. A partir de las ecuaciones de posicin, velocidad y de la ecuacin de la trayectoria (parbola) se resuelven todas las situaciones posibles (prescindiendo del rozamiento con el aire).

Las ecuaciones que rigen este movimiento son:Para el eje x, como se dijo se utilizarn ecuaciones de MRU.

Donde

Para el eje y se utilizan ecuaciones de T.V y C.L.

Donde y

Trabajando se obtienen: y

De la frmula anterior se puede deducir que el mximo xmax sera para =45.La velocidad resultante en cada punto de la trayectoria parablica se podr calcular aplicando Pitgoras:

Conociendo el ngulo y alguna componente, se puede trabajar con trigonomrta. Por ej:

Tiro horizontal.Tambin conocido como movimiento de media parbola o semiparablico, es un caso particular del tiro oblicuo o movimiento parablico. Aqu el lanzamiento se realiza en forma horizontal y como ocurra en el caso del tiro parablico, este movimiento puede considerarse como el resultado de componer dos movimientos simultneos e independientes entre s: uno, horizontal uniforme (MRU), y otro vertical uniformemente acelerado (C.L).

La ecuaciones a usar sern, por lo dicho arriba, las mismas usadas en MRU para el eje x y las de cada libre para el eje y.

Movimiento Circular Uniforme

Un caso particular de movimiento en dos dimensiones es el de una partcula que se mueve describiendo una trayectoria en una circunferencia, con velocidad. Si la rapidezVes constante, se llama Movimiento Circular Uniforme. En el mundo cotidiano, es frecuente observar las trayectorias curvas que describen algunos cuerpos en su movimiento continuo. Cuando una partcula se mueve segn una trayectoria curva debe tener una componente de la aceleracin perpendicular a dicha trayectoria, incluso si su rapidez es constante. Para una trayectoria circular existe una relacin sencilla entre la componente normal de la aceleracin, la rapidez de la partcula y el radio de la trayectoria. Un satlite espacial que gira en torno a la Tierra o el hecho de que sta gire alrededor del Sol son ejemplos en una trayectoria circular. El objetivo es aprender a describir este tipo de movimientos.

Definicin

Un objeto fsico realiza un movimiento circular uniforme cuando describe circunferencias de radio determinado con rapidez constante. Es decir, el objeto fsico recorre en la circunferencia arcos iguales en intervalos de tiempos iguales, sean estos tiempos grandes o pequeos. Son ejemplos de movimiento circular uniforme los siguientes: El movimiento del electrn que gira entorno al ncleo del tomo de hidrgeno; El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra; El movimiento de una partcula dispuesto sobre el plato de un tocadiscos; El movimiento de un objeto cualquiera que permanece fijo sobre la superficie de la Tierra, pues esta rota uniformemente alrededor de su eje. Si se hace girar una piedra atada al extremo de una cuerda. Si adems de eso, el mdulo de la velocidad permanece constante se afirma entonces que la piedra est dotada de un movimiento circular uniforme (MCU). Por lo tanto en este movimiento la velocidad tiene magnitud constante, pero su direccin vara en forma contina.Trtese por ejemplo del punto mvil P, y sea la circunferencia de radio y centro O su trayectoria y el sentido del movimiento en cada instante sea el de la flecha. Llmese velocidad perifrica o tangencial del punto P aquella magnitud que tiene el valor algebraico , igual al cociente constante que se obtiene al dividir el espacio recorrido por el tiempo insumido en recorrerlo; la direccin en cada instante igual a la tangente a la circunferencia en cada posicin P, P0, P1., del punto mvil y el sentido igual al sentido del movimiento.

En la posicin genrica P del punto mvil, el vector velocidad es .

Para determinar el valor de la velocidad perifrica de un movimiento circular uniforme, se da generalmente, el nmero de revoluciones por minuto efectuado por P. entonces si es el radio correspondiente al punto mvil, el camino recorrido es y el valor de la velocidad perifrica sera:

Si esta expresada en

Ejemplo:

Calcular la velocidad perifrica de una polea que hace 140 rpm y tiene un dimetro de 80 cm.

=

Cual ser el nmero de rpm de una polea de 1,20 m de dimetro que tiene una velocidad perifrica de 12,57 m/s?

De la frmula de velocidad perifrica.

Consideremos ahora un punto Q sobre el radio OP a una distancia de O. su velocidad perifrica vale:

Relacionemos esta ltima con la correspondiente al punto P. Entonces dividiendo :

O si se quiere:

Las velocidades perifricas son directamente proporcionales a sus distancias del centro O. o sea que a un radio doble o triple le corresponde una velocidad doble, triple, etc.

Velocidad angularComnmente se expresa la velocidad del movimiento circular mediante su velocidad angular.

Supongamos que el radio OP que contiene al punto P ha barrido despus de un tiempo el ngulo POP. El ngulo barrido dividido el tiempo empleado se denomina velocidad angular del punto mvil P. Para el MCU este cociente es constante y se indica en general con la letra griega .

Resulta entonces que si P hace revoluciones por minuto, es decir si el punto P describe ngulos de radianes por minuto, la velocidad angular del punto mvil P es:

Simplificando:

Podemos observar que la es independiente del radio considerado. As es que el punto Q que pertenece al mismo radio OP describe en igual tiempo el mismo ngulo que el punto P o cualquier otro situado sobre el mismo radio. Es decir tendrn todos la misma velocidad angular.

Por otro lado las velocidades perifricas sern distintas, como ya se ha visto.

Relacin entre y

Si Y es fcil deducir que:

Ejemplo:

Dado la siguiente polea escalonada, todos sus puntos tendrn la misma velocidad angular, pero distintas las respectivas velocidades perifricas. Si el n de rpm es de 100, la velocidad angular ser:

Sobre las caras de las distintas poleas se tienen las siguientes velocidades perifricas:

De la misma forma:

y

Aceleracin centrpeta.

Supongamos un punto P que describe una trayectoria circular con velocidad perifrica constante. Este punto estar acelerado an cuando el valor de sea constante, ya que al ser un valor vectorial, si bien no cambia la intensidad de la velocidad, cmbia continuamente la direccin de la misma. Este cambio de la velocidad da origen a una aceleracin dirigida hacia el centro de la circunferencia trayectoria. A esta aceleracin se la llama aceleracin centripeta y su valor est dado por.

como

Mecnica

Cinemtica.

Dinmica.

Esttica.

e1, t1

e2, t2

e3, t3

t0

2 seg.

6 m

6 seg.

18 m

12 seg.

36 m

O

A

B

A`

B`

R

3 m/seg.

4 m/seg.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

O

A0

V

A

tiempo t (seg.)

t = 0 (seg.)

e0

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(3)

(4)

160m

380m

e0

e - e0

e

t0=3seg.

t1=8seg.

UTM

e1

v

t

v1

0,5

t1

e1 = v1 x t1

No es ms que multiplicar la base por la altura del rectngulo e1.

O

0

1

1

2

3

4

5

t [seg.]

e [m]

Lnea e-t

e [m]

t [seg.]

5

4

3

2

1

1

0

0,5

e0

Lnea e-t

MRUV

MRUA (a+)

MRUR (a-)

Donde vf y v0 son las velocidades final e inicial del movimiento respectivamente.

El signo depender de la aceleracin (MRUA + o MRUR -)

t [seg.]

v [m/seg.]

v0

La ordenada al origen nos da la v0 del movimiento.

v0

v [m/seg.]

t [seg.]

1

1

2

2

3

0

0

5

7

9

9

7

5

vf

vf-v0

EMBED Equation.3

v

vf

C

B

A

O

Vf = 2 + 0,5 x t

t

EMBED GraphFile

t

La pendiente de la recta v-t nos da la aceleracin a del movimiento.

Lnea v-t

t

EMBED GraphFile

EMBED GraphFile

La ordenada al origen nos dar el espacio inicial del movimiento.

Los valores del grfico se consiguen construyendo una tabla como en el cas anterior

EMBED GraphFile

Se construye la grfica para el intervalo t=-6seg hasta t=6seg. con a = 4m/seg.

NOTA

En el caso de tomar una superficie no muy grande, se asumir lneas rectas paralelas a las verticales.

NOTA.

En el caso de nuestro planeta, los cuerpos cercanos a ella caen porque la Tierra ejerce atraccin sobre los cuerpos prximos a la superficie con una fuerza llamada peso

Sin embargo se considera como valor promedio al nivel del mar:

Como se puede observar la aceleracin de la gravedad trabaja a favor del movimiento, y es en consecuencia un movimiento rectilneo acelerado.

Puesto que el movimiento de cada libre es un caso particular del M.R.U.V.; las frmulas sern las mismas, con la diferencia de que la aceleracin ya es conocida (g).

El signo positivo (+) corresponde a la cada libre y el signo negativo (-) al tiro vertical

EMBED Equation.3

y

x

0

0

Al igual que T.V y C.L, para igual nivel las velocidades de ascenso y descenso son numricamente iguales.

vy

vx0

vy0=0

x

y

v0

v

v

vy

vx0

P1

P0

P

Q

V

Vq

O

rq

r

P

P`

Q`

Q

O

240 mm

180 mm

120 mm

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