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3. Cinemática
Cinemática
Describe el movimiento sin atender a las causas que lo producen
Utilizaremos partículas puntualesUna partícula puntual es un objeto con masa, pero con dimensiones infinitesimales
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3.1. Movimiento en una dimensión
Posición en una dimensión
Definida con referencia a un sistema de referencia
En una dimensión será el eje X o el Y.
La posición de la partícula es la situación con respecto al sistema de referencia
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Gráfico de posición vs tiempo
El gráfico de posición respecto del tiempo muestra el movimiento del cocheLa curva de la figura es una predicción de lo que ocurre entre las posiciones del coche
Velocidad promedio
La velocidad promedio es la media de velocidad a la que se mueve el objeto
Las dimensiones son [L][T]-1 (en SI m s-1)Es la pendiente en un gráfico posición-tiempo
f iaverage
x xxvt t
−∆= =∆ ∆
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Velocidad instantánea
Es el límite de la velocidad promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a ser infinitésimamentepequeñoLa velocidad instantánea nos indica lo que está sucediendo en cada instante de tiempo
Ecuación de la velocidad instantánea
La ecuación general de la velocidad instantánea es:
La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o nula.
dtdx
txv
tx =∆∆
=→∆ 0lim
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Ejemplo 3.1
Aceleración promedio
La aceleración es el cambio promedio de la velocidad
Las dimensiones son [L][T]-2
(en SI, ms-2)
tvv
tva xixfx
x ∆
−=
∆∆
=
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Aceleración instantánea
La aceleración instantánea es el límite de la aceleración promedio cuando ∆t se acerca a 0
2
2
0lim
dtxd
dtdv
tva xx
tx ==∆∆
=→∆
Gráfica de la aceleración instantánea
La pendiente de la gráfica de la velocidad respecto del tiempo es la aceleraciónLa línea verde representa la aceleraciónLa línea azul es la aceleración promedio
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Aceleración y velocidad, 1
Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto van en el mismo sentido, el objeto está “acelerando” (aumentando su velocidad)Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto van en sentidos contrarios, el objeto está “decelerando” (disminuyendo su velocidad).
Aceleración y velocidad, 2
El coche se mueve con velocidad constante (se muestra por el tamaño constante de los vectores)La aceleración es nula
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Aceleración y velocidad, 3
La velocidad y la aceleración van en el mismo sentidoLa aceleración es uniforme (indicado por el tamaño de los vectores azules)La velocidad está aumentando (las flechas rojas están aumentando) Esto significa aceleración y velocidad positivas
Aceleración y velocidad, 4
La velocidad y la aceleración van en sentido contrarioLa aceleración es uniforme (indicado por el tamaño de los vectores azules)La velocidad está disminuyendo (las flechas rojas están disminuyendo) Esto significa velocidad positiva y aceleración negativa
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Resumen de ecuaciones cinemáticas
Ejemplo 3.2
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Curva desplazamiento-tiempo
La pendiente de la curva es la velocidadLa línea curvada indica que la velocidad está cambiando
Por tanto, existe una aceleración
Curva velocidad-tiempo
La pendiente da la aceleraciónLa línea recta indica aceleración constante
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La pendiente nula indica aceleración constante
Curva aceleración-tiempo
Ejemplo 3.3. (caída libre)
La velocidad inicial en A es hacia arriba y la aceleración es g (-9.8 m s-2)En B, la velocidad es nula y la aceleración es g (-9.8 m s-2)En C, la velocidad tiene la misma magnitud que en A, pero está dirigida en sentido contrarioEl desplazamiento es de –50.0 m (termina 50 m por debajo del punto inicial)
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3.2. Movimiento en dos y tres dimensiones
Posición y desplazamiento
La posición de un objeto se describe mediante su vector de posición, rEl desplazamientode un objeto se define como un cambio en su posición
∆r = rf - ri
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Idea general del movimiento
En la cinemática en dos o en tresdimensiones, todas las definiciones son iguales que en el movimiento en unadimensión, excepto que se debe utilizarnotación vectorial
Los signos positivo o negativo no son suficientespara determinar la dirección del movimiento
Velocidad promedio
La velocidad promedio esel cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempoinvertido en el desplazamiento (¡el desplazamiento es un vector!)
La dirección de la velocidadpromedio es la direccióndel vector desplazamiento, ∆r
trvpr ∆
∆=
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Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad promedio cuando ∆t se aproximaa cero
La velocidad instantánea se dirige según la tangente a la trayectoria de la partícula
dtrd
trv
t=
∆∆
=→∆ 0lim
Aceleración promedio
La aceleración promedio de una partícula se define como el cambio de la velocidadinstantánea dividido por el intervalo de tiempo en el que ocurre este cambio
tv
ttvv
aif
ifpro ∆
∆=
−
−=
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Aceleración promedio, 2
Según se mueve unapartícula, ∆v se puedecalcular de diversasformasLa aceleraciónpromedio es un vector dirigido según ∆v
Aceleración instantánea
La aceleración instantánea es el límite de la aceleración promedio cuando ∆t se acerca a cero
dtvd
tva
t=
∆∆
=→∆ 0lim
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Aceleración tangencial y normal
La aceleración tangencial es la responsable del aumento del módulo de la velocidad
La aceleración normal es la responsable del cambio de dirección de la velocidad
tt udtvd
a =
nn urva2
=
Aceleración tangencial y normal (2)
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Velocidad angular
O
X Y
Z
R
O
zu rrv ×= ω
ω
Cambio en la velocidad en un movimiento circular uniforme
El cambio en el vector velocidad se debe a un cambio en su dirección
El diagrama de vectores muestra∆v = vf - vi
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Aceleración normal
La aceleración normal es siempreperpendicular a la dirección del movimiento
La aceleración normal siempre se dirigehacia el centro de la circunferencia del movimiento
También recibe el nombre de aceleracióncentripeta
Aceleración normal, cont
La aceleración normal viene dada por
La dirección de la aceleración normal vacambiando para estar siempre dirigida haciael centro de la circunferencia del movimiento
nn urva2
=
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Período
El período, T, es el tiempo necesario paracompletar una vuelta completaLa velocidad de la partícula será la longitudde la circunferencia del movimiento divididapor el períodoPor lo tanto, el período será
vrT π2
=
Aceleración total
La aceleracióntangencial proviene de un cambio en el módulo de la velocidadde la partículaLa aceleración normal proviene de un cambioen la dirección del vector velocidad
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Aceleración total, expresadamediante vectores unitarios
Definamos los vectoresunitarios
sigue una direcciónradial
es tangente a la circunferencia
La aceleración total es
θ̂yr̂r̂
θ̂
rrv
dtvd
aaa tn ˆˆ2
−=+= θ
Movimiento de proyectiles
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Vectores del movimiento de proyectiles
rf = ri + vi t + ½ g t2
La posición final es la suma de los vectoresde la posición inicial, la posición resultantede la velocidad inicialy la posiciónresultante de la aceleración
Diagrama del movimiento de proyectiles
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Rango y altura máxima de un proyectil
Cuando se analiza el movimiento de un proyectil hay dos característicasespecialmenteinteresantesEl rango, R, es la máxima distanciahorizontalLa altura máxima quealcanza es h
Movimiento de proyectiles no simétrico
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Movimiento de proyectiles (2)