capitulo iii - personales.unican.espersonales.unican.es/sancibrr/asignaturas/cyddm/capiii2.pdf ·...

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático

R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica

Capitulo IIICapitulo IIICapitulo IIICapitulo III

MMMMéééétodos analtodos analtodos analtodos analííííticos de anticos de anticos de anticos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.

2



CapCapCapCapíííítulo IIItulo IIItulo IIItulo IIIAnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismostico de mecanismostico de mecanismostico de mecanismos

III.1III.1III.1III.1 AnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Méééétodos grtodos grtodos grtodos grááááficos.ficos.ficos.ficos.III.2III.2III.2III.2 MMMMéééétodos analtodos analtodos analtodos analííííticos de anticos de anticos de anticos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.

1.1.1.1. IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón.n.n.n.2.2.2.2. Mecanismo cuadrilMecanismo cuadrilMecanismo cuadrilMecanismo cuadriláááátero articulado.tero articulado.tero articulado.tero articulado.3.3.3.3. Mecanismo bielaMecanismo bielaMecanismo bielaMecanismo biela----manivela.manivela.manivela.manivela.4.4.4.4. Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.

III.3III.3III.3III.3 MMMMéééétodos numtodos numtodos numtodos numééééricos de anricos de anricos de anricos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.

2

3



CapCapCapCapíííítulo III: Tema 2tulo III: Tema 2tulo III: Tema 2tulo III: Tema 2MMMMéééétodos analtodos analtodos analtodos analííííticos de anticos de anticos de anticos de anáááálisis lisis lisis lisis

cinemcinemcinemcinemááááticoticoticotico1.1.1.1. IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón.n.n.n.2.2.2.2. Mecanismo cuadrilMecanismo cuadrilMecanismo cuadrilMecanismo cuadriláááátero articulado.tero articulado.tero articulado.tero articulado.

1.1.1.1. Problema de posiciProblema de posiciProblema de posiciProblema de posicióóóón.n.n.n.2.2.2.2. Problema de velocidades.Problema de velocidades.Problema de velocidades.Problema de velocidades.3.3.3.3. Problema de aceleraciProblema de aceleraciProblema de aceleraciProblema de aceleracióóóón.n.n.n.

3.3.3.3. Mecanismo bielaMecanismo bielaMecanismo bielaMecanismo biela----manivela.manivela.manivela.manivela.1.1.1.1. Problema de posiciProblema de posiciProblema de posiciProblema de posicióóóón.n.n.n.2.2.2.2. Problema de velocidades.Problema de velocidades.Problema de velocidades.Problema de velocidades.3.3.3.3. Problema de aceleraciones.Problema de aceleraciones.Problema de aceleraciones.Problema de aceleraciones.

4.4.4.4. Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.

4




cinemcinemcinemcinemááááticoticoticotico

1.1.1.1. IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóón.n.n.n.

3

5



IntroducciIntroducciIntroducciIntroduccióóóónnnnLos métodos analíticos tratan de llegar a una expresión matemática de las variables cinemáticas de posición, velocidad y aceleración, en función de los parámetros que definen las dimensiones del mecanismo analizado y las variables cinemáticas de entrada.

Normalmente estos métodos se basan en tres tipos de enfoques matemáticos: trigonométrico, números complejos y análisis vectorial.En cualquiera de los casos se trata de plantear las denominadas ecuaciones de cierreecuaciones de cierreecuaciones de cierreecuaciones de cierre o ecuaciones de lazoecuaciones de lazoecuaciones de lazoecuaciones de lazo. Estas ecuaciones representan las restricciones del movimiento del mecanismo de forma matemática empleando cualquiera de los tres enfoques mencionados.

En este apartado se estudiará el método analítico de Raven, uno de los más utilizados, y que permite obtener con relativa facilidad las ecuaciones analíticas del mecanismo cuadrilátero articulado y biela-manivela.

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2. Mecanismo cuadril2. Mecanismo cuadril2. Mecanismo cuadril2. Mecanismo cuadriláááátero articulado.tero articulado.tero articulado.tero articulado.1.1.1.1. Problema de posiciProblema de posiciProblema de posiciProblema de posicióóóón.n.n.n.2.2.2.2. Problema de velocidades.Problema de velocidades.Problema de velocidades.Problema de velocidades.3.3.3.3. Problema de aceleraciProblema de aceleraciProblema de aceleraciProblema de aceleracióóóón.n.n.n.

4

7



Problema de posiciProblema de posiciProblema de posiciProblema de posicióóóónnnn

θ2

θ3

θ4

rrrr2

rrrr3

rrrr4

rrrr1A0

A

B0

B

θ1

α2ω2

Para la determinación de la posición inicial se plantea la ecuación de cierre del mecanismo que tiene la siguiente expresión vectorial:

4321 rrrr ++=

43214321

θθθθ iiiierererer ++=

++=

++=

44332211

44332211 coscoscoscos

θθθθ

θθθθ

senrsenrsenrsenr

rrrr

Sistema algebraico que puede ser resuelto para obtener los valores de θ3y θ4 en función de los valores conocidos de θ1, θ2, r1, r2, r3 y r4. Se puede utilizar un método numérico para su resolución o métodos trigonométricos para la resolución de este tipo de ecuaciones.

Mecanismo cuadrilMecanismo cuadrilMecanismo cuadrilMecanismo cuadriláááátero articulado:tero articulado:tero articulado:tero articulado:

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AB

A0 B0θ2

θ3

θ4

rrrr1

rrrr2

rrrr3

rrrr4s

αβ

δ

φ

β

22122

21 cos2 θrrrrs −+=

φcos2 32

322

4 srrsr −+=3

23

224

2cos

sr

rsra

++−=φ

22 θβ senrsens = )( 22 θβ sens

rasen=

φδ senrsenr 34 = )(4

3 φδ senr

rasen=

Ahora podemos obtener los ángulos que definen las posiciones de las barras como,

βφθ −=3 )(º3604 δβθ +−=

Hay que tener en cuenta que las expresiones planteadas pueden variar

en función de la posición relativa de los elementos. Así por ejemplo, si el

ángulo θ2 es mayor que 180º o si se considera la solución cruzada frente

a la solución abierta.

Para obtener la posición inicial se puede emplear un procedimiento trigonométrico

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9



Para establecer la posición de un punto cualquiera sobre un eslabón cualquiera es necesario plantear formulación adicional. En el caso del elemento 2 se tendrá,

222 φθλ +=

En el caso del punto P3 y P4 sobre el elemento 3 y 4 respectivamente,

)(

)cos(cos

33322

33322

3

3

φθθ

φθθ

++=

++=

sengsenry

grx

p

p

)180(

)180cos(

444

4441

4

4

+−=

+−+=

φθ

φθ

sengy

grx

p

p

En esta expresión se ha considerado un signo (-) afectando al ángulo φ4 dado su sentido. Este signo puede ser positivo en otros casos.


333φθλ +=

θ2

θ3

θ4

rrrr2

rrrr3

rrrr4

rrrr1A0

A

B0

B

α2

ω2

X

Y

P2

P3

P4φ2

φ4

φ3

hhhh2 =g2

g3

g4hhhh4

hhhh3

2

2 2 2

i

g e= =h gλ

( )( )

2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

cos cos

sin sin

p

p

x g g

y g g

= = +

= = +

λ θ φ

λ θ φ

3

3 2 3

i

g e= +h rλ

4

4 1 4

i

g e= +h rλ

4 4 4 180= − +λ θ φ

10



Problema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidades

θ2

θ3

θ4

rrrr2

rrrr3

rrrr4

rrrr1A0

A

B0

Bα2

ω2

Para la determinación de las velocidades se considera de nuevo la ecuación de cierre,

43214321

θθθθ iiiierererer ++=

01432432 =−++ rererer

iii θθθ

Derivando con respecto al tiempo,

0432 44

33

22 =++ θθθ θθθ iii

edt

dire

dt

dire

dt

dir

0432443322 =++ θθθ ωωω iiieireireir

−=+

−=+

222444333

222444333

coscoscos θωθωθω

θωθωθω

rrr

senrsenrsenr

Sin pérdida de generalidad se puede considerar que el elemento fijo forma un ángulo θ1=0. Entonces, reordenando la ecuación queda como,

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11



Problema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidades

−=+

−=+

222444333

222444333

coscoscos θωθωθω

θωθωθω

rrr

senrsenrsenr

que es un sistema de ecuaciones donde las únicas incógnitas son ω3 y ω4, y por tanto puede resolverse empleando, por ejemplo, la regla de Cramer,

33444433

2224444222

4433

4433

44222

44222

3coscos

coscos

coscos

coscos

θθθθθωθθθω

θθθθθθωθθω

ωrsenrrsenr

rsenrrsenr

rr

senrsenr

rr

senrsenr

−+−

=−

−

=

Operando,

2433

4223

)(

)(ω

θθθθ

ω−−−

=senr

senr

e igualmente para ω4,

2434

3224

)(

)(ω

θθθθ

ω−−

=senr

senr

12



Problema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidadesEn el caso de un punto cualquiera sobre el eslabón 2 será necesario formular,

222

λieg=g

Derivando respecto del tiempo se obtiene la velocidad. Es decir,

2

2

22

2 λλ iP e

dt

dig

dt

d==

gV

donde,

2222 )(

ωφθλ

=+

=dt

d

dt

d

Por tanto,)(

2222

2

φθω += iP eigV

Separando en parte real e imaginaria,

)cos(

)(

2222

2222

2

2

φθω

φθω

+=

+−=

gV

sengV

yP

xP

θ2

θ3

θ4

rrrr2

rrrr3

rrrr4

rrrr1A0

A

B0

B

α2

ω2

X

Y

P2

P3

P4φ2

φ4

φ3

hhhh2 =g2

g3

g4hhhh4

hhhh3

7

13



Problema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidadesEn el caso del punto P3 la velocidad será,

)(3322

3 332

3

φθθ ωω ++== iiP eigei

dt

dr

gV


)cos(cos

)(

3333222

3333222

3

3

φθωθω

φθωθω

++=

+−−=

grV

sengsenrV

yP

xP

De la misma forma para el punto P4,

44

4 444

414 λλ ω

λ iiP eige

dt

dig

dt

d

dt

d=+==

rgV

Separando parte real e imaginaria,

Las velocidades de cada punto se pueden obtener determinado el módulo y argumento. Esto es,

22iyixi VVV +=

ix

iyi

V

Va tan=ϕ

θ2

θ3

θ4

rrrr2

rrrr3

rrrr4

rrrr1

A0

A

B0

B

α2

ω2

X

Y

P2

P3

P4φ2

φ4

φ3

hhhh2 =g2

g3

g4hhhh4

hhhh3

4

4

4 4 4 4

4 4 4 4

( 180)

cos( 180)

P x

P y

V g sen

V g

= − − +

= + − +

ω θ φ

ω θ φ

14



Problema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesConsiderando de nuevo la expresión,

0432 44

33

22 =++ θθθ θθθ iii

edt

dire

dt

dire

dt

dir

Derivando otra vez respecto del tiempo,

0432432

24

2

423

2

322

2

2

2

44

2

33

2

22 =+++

−

−

− θθθθθθ θθθθθθ iiiiii

edt

dire

dt

dire

dt

dire

dt

dre

dt

dre

dt

dr

O en forma compacta,

0432432443322

244

233

222 =+++−−− θθθθθθ αααωωω iiiiii

eireireirererer

Reordenando y separando en parte real e imaginaria se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas,

−++=+

+++=−−

22242

4432

3322

22444333

22242

4432

3322

22444333

coscoscos

coscoscos

θαθωθωθωθαθα

θαθωθωθωθαθα

rsenrsenrsenrrr

senrrrrsenrsenr

donde las incógnitas son α3 y α4.

8

15



Problema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesResolviendo por Cramer se obtiene,

2

32

343

24443

23342

222

433

4222

343

24443

23342

222

343

42222

44432

33422

22

343

4222422

44432

33422

22

343

4222422

44432

33422

22

33444433

22242

4432

3322

2244

33444433

4422242

4432

3322

22

4433

4433

4422242

4432

3322

22

4422242

4432

3322

22

3

)(

)cos()cos(

)(

)(

)(

)cos()cos(

)(

)()cos()cos(

)(

cos

)(

coscoscoscoscoscos

coscos

)cos(

coscos

cos)coscoscos(

coscos

coscos

coscoscos

ωωα

θθωθθωθθω

θθθθα

θθωθθωθθω

θθθθαωθθωθθω

θθθθαθωθθωθθω

θθθθαθωθθωθθω

θθθθθαθωθωθωθ

θθθθθθαθωθωθω

θθθθ

θθαθωθωθωθθαθωθωθω

α

+−

+−+−=

=−

−−

−

+−+−=

=−

−++−+−=

=−

−+++

+−

+++=

=+−

−+++

++−

+++=

=−−

−++

−+++

=

senr

rrr

senr

senr

senr

rrr

senr

senrrrr

senr

senrsenrsensenrsensenr

senr

senrrrr

rsenrrsenr

rsenrsenrsenrsenr

rsenrrsenr

rsenrrrr

rr

senrsenr

rrsenrsenrsenr

senrsenrrrr

16



Problema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesReordenando,

)(

)cos()cos(

433

24443

23342

222

22

33 θθ

ωθθωθθωα

ωω

α−

+−+−−=

senr

rrr

De la misma forma para α4,

)(

)cos()cos(

434

23343

24432

222

22

44 θθ

ωθθωθθωα

ωω

α−

+−+−−=

senr

rrr

θ2

θ3

θ4

rrrr2

rrrr3

rrrr4

rrrr1A0

A

B0

Bα2

ω2

9

17



Problema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesPara el punto P2 la aceleración será,

)(222

)(22

2222

2

φθφθ ωα ++ −= iiP egeigA


)()cos(

)cos()(

222222222

222222222

2

2

φθωφθα

φθωφθα

+−+=

+−+−=

senggA

gsengA

yP

xP

En el caso del punto P3,)(2

33)(

3322222

333322

3

φθφθθθ ωαωα ++ −+−= iiiiP egeigereirA


))()cos(()cos(

))cos()(()cos(

332333332

22222

332333332

22222

3

3

φθωφθαθωθα

φθωφθαθωθα

+−++−=

+++−+−=

sengsenrA

sengsenrA

yP

xP

θ2

θ3

θ4

rrrr2

rrrr3

rrrr4

rrrr1A0

A

B0

B

α2

ω2

X

Y

P2

P3

P4φ2

φ4

φ3

hhhh2 =g2

g3

g4hhhh4

hhhh3

18



Problema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesFinalmente, para el punto P4 se obtiene,

44

4

24444

λλ ωα iiP egeig −=A


Las componentes globales de aceleración se determinan de la misma forma que en el caso de las velocidades, esto es,

22iyixi AAA +=

ix

iyi

A

Aa tan=ϕ

θ2

θ3

θ4

rrrr2

rrrr3

rrrr4

rrrr1A0

A

B0

B

α2

ω2

X

Y

P2

P3

P4φ2

φ4

φ3

hhhh2 =g2

g3

g4hhhh4

hhhh3

( ) ( )

( ) ( )4

4

2

4 4 4 4 4 4 4 4

2

4 4 4 4 4 4 4 4

180 cos 180

cos 180 sin 180

P x

P y

A g sen g

A g g

= − − + − − +

= + − + − − +

α θ φ ω θ φ

α θ φ ω θ φ

10

19





3.3.3.3. Mecanismo bielaMecanismo bielaMecanismo bielaMecanismo biela----manivela.manivela.manivela.manivela.1.1.1.1. Problema de posiciProblema de posiciProblema de posiciProblema de posicióóóón.n.n.n.2.2.2.2. Problema de velocidades.Problema de velocidades.Problema de velocidades.Problema de velocidades.3.3.3.3. Problema de aceleraciones.Problema de aceleraciones.Problema de aceleraciones.Problema de aceleraciones.

20



Problema de posiciProblema de posiciProblema de posiciProblema de posicióóóónnnnMecanismo bielaMecanismo bielaMecanismo bielaMecanismo biela----manivela:manivela:manivela:manivela:

rrrr4

rrrr1

rrrr2

rrrr3

θ2

θ3

Únicamente se considera en este apartado la velocidad y aceleración del elemento 3 y la deslizadera. No se ha incluido el caso de un punto cualquiera. Si fuese necesario obtener la velocidad y aceleración de un punto cualquiera de un elemento del mecanismo se procederá como en el caso anterior en el mecanismo cuadrilátero articulado.

Para el análisis de la posición se parte de la ecuación vectorial de lazo cerrado siguiente.

3241 rrrr +=+

32413241

θθθθ iiiierererer +=+

+=

+=

33221

33224 coscos

θθ

θθ

senrsenrr

rrr

−+=

−=

)(coscos

)(

23

2

3

13224

23

2

3

13

θθ

θθ

senr

r

r

rasenrrr

senr

r

r

rasen

11

21



Problema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidadesProblema de velocidadesPara la obtención de las velocidades se deriva la ecuación de lazo cerrado expresada en forma compleja respecto del tiempo. Es decir,

32433224

θθθ ωω iiieireireV +=

que separada en parte real e imaginaria produce el siguiente sistema de ecuaciones,

333222

3332224

coscos0 θωθω

θωθω

rr

senrsenrV

+=

−−=

Su resolución conduce a,

33

2223

cos

cos

θθω

ωr

r−=

32222224 tancos θθωθω rsenrV +−=

que son las velocidades del mecanismo en función de la velocidad de entrada.

22



Problema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesProblema de aceleracionesDe nuevo se toma la ecuación de lazo cerrado expresada en forma compleja y se

deriva esta vez dos veces respecto del tiempo obteniendo la siguiente expresión,33224

3323322

2224

θθθθθ αωαω iiiiieirereirereA +−+−=

Expresando es expresión compleja en forma algebraica produce,

+−+−=

−−−−=

33332332222

222

33332332222

2224

coscos0

coscos

θαθωθαθω

θαθωθαθω

rsenrrsenr

senrrsenrrA

que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución produce,

33

32332222

222

3cos

cos

θθωθαθω

αr

senrrsenr +−=

332332222

2223

2332222

2224 tan)cos(coscos θθωθαθωθωθαθω senrrsenrrsenrrA +−−−−−=

Con lo que queda resuelto el problema de aceleraciones.

12

23





4.4.4.4. Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.Ejercicios propuestos.

24



Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos

rrrr4

rrrr1

rrrr2

rrrr3

θ2

θ3

ϕ

r5

P

Considerando como elemento de entrada el elemento 2, determinar empleando el método de Raven la posición, velocidad y aceleración de P.

13

25



Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosConsiderando como elemento de entrada el elemento 2 (coordenada r1), determinar empleando el método de Raven la posición, velocidad y aceleración de los puntos A, B y P, y la velocidad angular del triángulo ABC.

B

C

A2

3

4

1 Crrrr1

rrrr2

rrrr3

rrrr4

ϕ

θ3

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