tema cinemática

IntroducciónY

M.R.U.

Tema Cinemática

Física y QuímicaProfesor Juan

Sanmartín

Recursos subvencionados por el…

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

El tiempo es una magnitud escalar, ya que queda completamente definida dando su valor numérico y la unidad en la que se mide.

La velocidad es una magnitud vectorial, ya que para que quede completamente definida hay que dar, además de su valor numérico y su unidad, su dirección y su sentido.

SISTEMA DE REFERENCIA

Los pasajeros del tranvía están en reposo respecto al conductor, pero los peatones que están en la acera ven a los pasajeros en movimiento. Un objeto está en reposo o en movimiento según el Sistema de Referencia que se escoja.

MAGNITUDES QUE

DEFINEN EL MOVIMIENTOLa trayectoria es la línea que describe el móvil en su movimiento. La longitud que recorre el móvil medida sobre la trayectoria es el espacio recorrido. En la imagen se puede apreciar la trayectoria de la señora al andar.

trayectoria

MAGNITUDES QUE

DEFINEN EL

MOVIMIENTOUna cabina de la Noria de Londres (The London Eye) que da una vuelta completa, tendrá un desplazamiento nulo. El desplazamiento es la diferencia entre la posición final (s) y la posición inicial (s0) de un móvil.

MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO

invertido

recorridom tiempo

espaciov

Velocidad Media:

Velocidad Instantánea:Velocidad media en un intervalo muy pequeño de tiempo.

Aceleración:

ΔtΔv

invertidotiempovelocidaddevariacióna

La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es: m/s

La unidad de aceleración en el Sistema Internacional es: m/s2

Cambio de Unidades al

Sistema Internacional

sm25

.s3600.h1

.km1.m1000

hkm90

s2700min1

s60min45 m30000km1

m1000km30

EN LOS PROBLEMAS EL RESULTADO TENDRÁ QUE ESTAR SIEMPRE EN UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL Y CON SU UNIDAD

CORRESPONDIENTE EJEMPLO 5000m.Ver Vídeos y Apuntes de Cambio de Unidades

Magnitud básica Unidad AbreviaturaLongitud metro m

Tiempo segundo s

TIPOS DE MOVIMIENTOMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

Un automóvil que se desplaza en línea recta con velocidad constante lleva un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.A.)

La posición del móvil en un instante, t (tiempo), viene dada por:

tvss 0 tss

v o

De aquí deducimos

GráficasMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

tvss o Gráfica s-t de un MRU. La pendiente de la recta coincide con la velocidad.

Gráfica v-t de un M.R.U.

Tiempo (s)

Espa

cio

(m)

So

Tiempo (s)

Velo

cidad

(m/s

)

Velocidad constante

ProblemasMovimiento Rectilíneo

Uniforme (M.R.U.)


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)Problema.-(TIPO I):Una moto parte de una ciudad A a una velocidad de 150 km/h, al cabo de 50 min. parte de la misma ciudad un coche, con la misma dirección y sentido que la moto anterior pero a una velocidad de 210 km/h. Calcula que el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto y a que distancia de la ciudad A la alcanza.

Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M.R.U.) y las fórmulas que le corresponden.

Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de los movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)

tvss o

tss

v o

Planteamos el ProblemaAmbos vehículos parten del mismo punto y en el momento que el coche alcanza a la moto HAN RECORRIDO EL MISMO ESPACIO, es decir, LOS ESPACIOS RECORRIDOS SON IGUALES.

vez la a ambos circulandomoto0(moto)moto tvss

La moto está circulando durante 50 min. antes de que el coche arranque, consideramos que el espacio recorrido por la moto durante ese tiempo es su espacio inicial.

.m125100300041,7s

sm41,7

km1m1000

s3600h1

hkm150v

s3000min1

s60min50t

oinicialmot

moto

inicial

Hemos calculado el espacio que recorrió la moto mientras el coche estaba parado.

Tiempo que la moto circula sola

SALIDA

Espacio inicial de la moto

sm58,3

km1m1000

s3600h1

hkm

210v coche

Entoncescochemoto ss

Y por lo tanto…

vez la a ambos circulandomoto0vez la a ambos circulandocoche tvstv Resolvemos

.s7536,116,6

125100t125100t16,6

125100t41,7t58,3t58,3t41,7125100

7536,1 s. es el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto


SALIDA

Recorren el mismo espacio

SALIDAEspacio inicial de la moto

Si queremos saber el tiempo que circula la moto, tendremos que sumar el tiempo inicial en que la moto circulaba mientras el coche estaba parado y el tiempo en que circulan ambos, es decir, 3000s+7536,1s=10536,1sPara calcular el espacio que recorren, se puede calcular tanto con el espacio de la moto como con el del coche ya que ambos son iguales.

.km439,4m439354,67536,158,3t58,3s

.km439,4m439355,377536,141,7125100t41,7125100s

coche

moto

LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES REALIZADAS

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)Problema.-(TIPO I):Dos motos salen de O Carballiño con un tiempo de diferencia. La primera a una velocidad de 90 km/h dirección Pontevedra y al cabo de 5 min. Sale la segunda con la misma dirección y sentido a 110 km/h. Sabiendo que entre O Carballiño y Pontevedra hay 68 km. ¿A qué distancia de Pontevedra se encuentran?.

Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M.R.U.) y las fórmulas que le corresponden


tvss 0

tssv 0

Planteamos el ProblemaAmbos vehículos parten del mismo punto y en el momento que el moto 2 (la que salió mas tarde) alcanza a la moto 1 HAN RECORRIDO EL MISMO ESPACIO, es decir, LOS ESPACIOS RECORRIDOS SON IGUALES.

vez la a ambas circulando1 moto1) 0(motomoto tvss

La moto 1 está circulando durante 5 min. antes de que el moto 2 arranque, consideramos que el espacio recorrido por la moto durante ese tiempo como su espacio inicial.

Hemos calculado el espacio que recorrió la moto 1 mientras el moto 2 estaba parada.

Tiempo que la moto 1 circula sola

SALIDA

Espacio inicial de la moto 1

m.500100325s

sm41,7

1km1000m

3600s1h

hkm90v

s0031min60s5mint

o1inicialmot

moto1

inicial

sm6,03

1km1000m

3600s1h

hkm110vmoto2

Entoncesmoto2moto1 ss

Y por lo tanto…

vez la a ambas circulandomoto10vez la a ambas circulandomoto2 tvstv

Resolvemos

t30,6t251500

267,9 s. es el tiempo que tarda el moto 2 en alcanzar a la moto 1


SALIDA

Recorren el mismo espacioSALIDA

Espacio inicial de la moto

150025t30,6t 15005,6t

6,51500t 267,9s

Moto 1 Moto 2Moto 1

Moto 2

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)Problema.-(TIPO I):La carrera pedestre popular de Baiona consta de 10 kilómetros. Carlos parte de la línea de salida con un ritmo de carrera de 5:25/km (es decir, 5 min. 25 s. por km.) , y 3 minutos después, parte Víctor con un ritmo de 4:19/km.(es decir, 4 min. 19 s./km.). Calcula a que distancia de la salida rebasa Víctor a Carlos.Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M.R.U.) y las fórmulas que le corresponden


tvss 0 tss

v 0

kilómetro

s.25325:5 325s.

1000m.VCARLOS sm3,08

kilómetro

259s.19:4 259s.

1000m.VVICTOR sm3,86

s.8013mint0

Tiempo que Carlos toma de ventaja a

Víctor.

Calculamos el espacio que toma de ventaja Carlos a Víctor. Sabemos el tiempo de ventaja y la velocidad de Carlos

Planteamiento del Problema

325s.1000m.VCARLOS s

m3,08

s.8013mint0 0tvs 180ss

m3,08 554,4m.

A este espacio le vamos a llamar espacio inicial del movimiento de Carlos…

554,4m.s0

Sabemos que cuando Víctor rebase a Carlos, ambos han recorrido el mismo espacio desde la Salida. Y que Víctor no ha recorrido ningún espacio antes. Ponemos el cronómetro a cero cuando sale Víctor. En definitiva, cuando Víctor rebase a Carlos…

VICTORCARLOS ss

VICTORCARLOS

0 tvtvs

continua…

es decir…t= es el tiempo desde el momento que parte Víctor de la salida

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

Problema.-(TIPO II):Dos trenes parten al mismo tiempo de dos ciudades A y B separadas por 270 km. en la misma dirección y distinto sentido, uno cara B y el otro cara a A respectivamente. El tren A (llámese así por partir de la ciudad A) circula a 140 km/h. y el tren B a 180km/h. Calcula a qué distancia de ambas ciudades se encuentran y qué tiempo tardan en encontrase.

En este problema a diferencia del anterior, ambos salen a la vez pero de diferentes puntos. En principio no tenemos espacio inicial, entonces…


tvs

hkmv Atren 140_

Partiendo de la idea de que ambos trenes salen de una ciudad para ir a la opuesta llegamos a la conclusión que en el MOMENTO QUE SE CRUZAN los dos trenes HAN RECORRIDO ENTRE LOS DOS EL ESPACIO TOTAL.

totaltren_Btren_A sss

Resolvemos

tren_Btren_A ss

3037,1 s. es el tiempo que tardan los trenes en cruzarse

entonces.m270000t50t38,9

sm38,9

km1m1000

s3600h1

hkm180v tren_B s

m50km1

m1000s3600

h1

.m270000km270stvtv totaltren_Btren_A

.m270000km270stvtvss totaltren_Btren_Atren_Btren_A

270000t88,9 s3037,188,9

270000t

Para calcular la distancia a cada estación, es fácil, calculamos el espacio recorrido en un tren y la diferencia con el total se corresponde con lo que falta a la otra estación.

.m118145151855270000.m1518553037,150s

.m151856,8118143,2270000.m118143,23037,138,9s

tren_B

tren_a

LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES REALIZADAS

.m118145151855270000.m1518553037,150s

.m151856,8118143,2270000.m118143,23037,138,9s

tren_B

tren_a

Tema Cinemática


Sanmartín


M.R.U.A.Y

Caída Libre.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)

Un avión, cuando despega, va aumentando su velocidad. Tiene aceleración positiva.Cuando aterriza disminuye su velocidad hasta pararse. Tiene aceleración negativa.

Un M.R.U.A. tiene aceleración constante y su Trayectoria es una línea recta.

tvv

a o

Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

tavv 0f 2

00 ta21tvss sa2vv 2

02f

Consideraremos + cuando la aceleración sea positiva y – cuando sea negativa (decelere o frene)

Gráficas

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.A.)

Tiempo (s)

Espa

cio

(m)

So

Tiempo (s)

Velo

cidad

(m/s

)

Aceleración constante

Tiempo (s)

vo

Acel

erac

ión

(m/s

2 )

Gráfica v-t de un M.R.U.A. Con velocidad inicial V0,, y sin velocidad inicial. Gráfica s-t de un M.R.U.A. Se obtiene una

Parábola. Tiene espacio inicial.

Gráfica a-t de un M.R.U.A.

NINGÚN MOVIMIENTOPUEDE PARTIR DEL REPOSO

SIN ACELERACIÓN

ProblemasMovimiento Rectilíneo

Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)



Calcula la aceleración de una moto que pasa de 0 a 100 km/h. en 7 s. ¿Qué espacio ha recorrido mientras aceleraba?

tavv 0f

200 ta

21tvss

sa2vv 20

2f

Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M.R.U.A.) y las fórmulas que le corresponden

Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o en casa tener las fórmulas de los movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)

Solución - Datos que tenemos:

smvo 0

tavv f 0

200 2

1 tatvss

.savv of 222

Aplicamos las fórmulas

O también

.st 7

hkmv final 100

tvva f 0

.m987421

700 2

avvs o

2

22

sm

kmm

sh 827777271

10003600

1 ,,

2497,37

08,27s

m

.989742

08,27 22

m

Un automóvil que circula a una velocidad de 80 km/h. Encuentra un obstáculo situado a 50 m. de distancia. ¿Cuál ha de ser la aceleración mínima y constante, necesaria para detener el coche antes de llegar al obstáculo?.

tavv f 0

200 2

1 tatvss

savv of 222

De las fórmulas que tenemos, solamente podremos utilizar aquella en la que tengamos una única incógnitaSolución:

Datos que tenemos:

smv final 0

.ms 50h

kmv 800 sm

kmm

sh 222222221

10003600

1 ,

No tenemos ni la aceleración ni el tiempo, por lo que vamos a utilizar la siguiente fórmula

savv of 222

¡OJO!, EL SIGNO NEGATIVO SIGNIFICA QUE EL COCHE DECELERA O FRENA

502220 22 a

Ahora podemos utilizar otra fórmula, ya que tenemos la aceleración que acabamos de calcular.

tavv f 0

502220 22 a

2

22

844502

022s

ma ,

22 022502 a

84,402,220

avvt f .,, s645864

Problema.- Un automóvil marcha a 126 km/h. ¿Qué aceleración negativa es preciso comunicarle para que se detenga en 140 m?¿Cuánto tiempo tarda en detenerse? tavv 0f

200 ta

21tvss

sa2vv 2o

2f

De las fórmulas que tenemos, solamente podremos utilizar aquella en la que tengamos una única incógnita.

Datos que tenemos:

140m.s h

km261v0 1km1000m

3600s1h


sm35

sm0h

km0v final

Se detiene.sa2vv 2

o2f 401a2530 22 253401a2

140253a

2

2801225

2sm4,4

Signo negativo porque decelera (frena)

t4,4350 Ahora calculamos el tiempo tavv 0f

4,435t 7,9s

Entonces

ProblemasMovimientos Combinados


Problema.- Un tren de Metro arranca con una aceleración de 80 cm/s2. Al cabo de 50 segundos el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. ¿Cuál es esta velocidad? ¿Qué espacio recorrió el tren en esos 50

segundos? ¿Qué tiempo transcurrió hasta que el tren llega a

otra estación distante de la primera 2500m?PRIMERO, Y LO MÁS IMPORTANTE, es distinguir los tipos de movimiento en cada momento.

Un tren de Metro arranca… NOS DICE QUE PARTE DEL REPOSO Y POR LO TANTO NO PUEDE SER MÁS QUE UN M.R.U.A. POR DEFINICIÓN.

…y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. NOS INDICA CLARAMENTE QUE ES UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

TENEMOS DEFINIDO EL PROBLEMA, el tren parte del reposo con M.R.U.A. hasta alcanzar una velocidad que hemos de calcular. A continuación mantiene dicha velocidad constante en M.R.U. hasta llegar a la siguiente estación.

Calculamos los distintos movimientos por separado, primero el M.R.U.A.M.R.U.A.Datos que tenemos:

sm0v0 ¡¡¡¡IMPORTANTE!!!!

UNIDADES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

Comenzamos

tavv 0f

200 ta

21tvss

Hemos calculado la velocidad final en el M.R.U.A. y el espacio que recorrió mientras aceleraba. Por lo tanto, no le quedan los 2500 m. hasta la estación sino la diferencia.

?v final

50s.tacelerando

2scm80a 2s

m0,8100cm.1m

0m.s0

500,80 sm40

2500,8215000 1000m.

1500m.10002500sM.R.U.

M.R.U.Datos que tenemos:

sm40v

Consideramos que el espacio inicial es el que ha recorrido mientras ACELERABA.

Entonces

tvss 0total

M.R.U.M.R.U.A.TOTAL ttt

?t (M.R.U.)

1000m.s0

2500m.s total

La velocidad la calculamos en el apartado anterior. Velocidad final de la aceleración.

vss

t 0final

40t10002500

4010002500

37,5s.

87,5s.37,550

Problema - Un conductor ve un objeto en la carretera y debe detener el coche (circulando a 108 km/h.) para no impactar contra el objeto. Calcula la distancia mínima a la que debe estar dicho objeto para que no se produzca el impacto sabiendo que el conductor tarda 0,4 s. en reaccionar desde que ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3,7 m/s2.CONSIDERACIONES PREVIAS, desde que el conductor ve el objeto hasta que acciona el freno, el vehículo circula a velocidad constante. M.R.U., es decir, tenemos dos movimientos, uno M.R.U. y otro M.R.U.A. (decelerado).M.R.U.

hkm108v

tvss 0:)R.Uo_frena(M.mientras_n

Mientras el conductor no acciona el freno ha recorrido 12 m. en M.R.U.

0m.s0

sm30

3600s.1h.

1km1000m

0,4s.tM.R.U.

12m.0,4300

En el tiempo que tarda en reaccionar el coche mantiene velocidad constante.

No nos interesa el espacio recorrido anteriormente, entonces espacio inicial 0

M.R.U.A.

sm30v0

avv

t f0

Entonces el espacio mínimo será…

29,83,7219,83012

38

sm0v final ?t M.R.U.A.)acelerado(

2sm

3,7a 12m.s0

tavv 0f

200 ta

21tvss

3,7030

9,8s.

m128,3

Espacio del movimiento anterior.

Espacio total de ambos movimientos

Problema: Un ciclista comienza a pedalear con una aceleración de 0,9 m/s2 hasta alcanzar los 40 km/h, velocidad que mantiene pedaleando durante 15 min. Calcula la distancia recorrida y el tiempo empleado en ella.

Primero tenemos que saber cuantos movimientos tenemos, en este caso dos, un M.R.U.A. cuando el ciclista acelera y un M.R.U. mientras pedalea a velocidad constante

Parte I – M.R.U.A. - (el ciclista acelera)s

m0vo

hkm40v final km1

m1000s3600

h1

.?t

2sm0,9a

.m0s0

?s final

sm11,1

tavv 0f

212,30,92112,300

Utilizamos la fórmula de la velocidad para calcular el tiempo que desconocemos.

Una vez que tenemos el tiempo, calculamos el espacio.

avv

t 0

200 ta

21tvss

0,9011,1

.s12,3

.m68,1

Parte II – M.R.U. (el ciclista mantiene la

velocidad)

?s final

.ctevelocidad_aceleradoTOTAL ttt

tvss 0

El espacio Total es el que da como resultado la fórmula pues contamos con el espacio del movimiento anterior en el espacio inicial.

El tiempo total es la suma del tiempo del primer movimiento y el segundo.

sm11,1v

.s900.min15t

.m68,1s0

90011,168,1 10058,1m.

.s912,390012,3

MOVIMIENTO VERTICAL o CAÍDA LIBREEl movimiento vertical es un caso particular de M.R.U.A.

La aceleración a la que están sometidos los cuerpos con este movimiento es la de la gravedad, cuyo valor es aproximadamente g = 9,81 m/s2

Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:

tgvv 0f 2

00 tg21tvhh

v0 y h0 son, respectivamente, la velocidad y la altura iniciales.

Si el cuerpo sube, la aceleración se opone al movimiento y se toma su valor con signo negativo.

Si el cuerpo baja, la aceleración tiene el sentido del movimiento y se toma su valor con signo positivo.

hg2vv 2o

2f

ProblemasCaída Libre


Problema Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo?¿Cuánto tiempo tarda en caer?.

Datos :300m.h

sm10v0

Caída libre

tgvv 0f

200 tg

21tvhh hg2vv 2

o2f

De las fórmulas que tenemos, solamente podremos utilizar aquella en la que tengamos una única incógnita.

El problema nos da la altura y la velocidad inicial, entonces…

hg2vv 2o

2f 00381,9201v 22

f

Sustituyo los datos y pongo + porque el cuerpo acelera al descender. Es caída libre, entonces g=9,81 m/s2

00381,9201v 2f 5986 s

m4,77

t81,9014,77 Ahora calculamos el tiempo tgvv 0f

9,8110-77,4t 6,9s

Problema.- Lucia deja caer la pelota desde el balcón a la piscina que está a una altura de 22,3 m. sobre el nivel del agua de la piscina. ¿Cuál es la velocidad con la que golpeará el agua de la piscina? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.

sm0v0

200 tg

21tvhh

tgvv 0f

O también se puede hacer así…

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer.

hg2vv 20

2f

tgvv 0final

2t9,8121t0022,3

Caída libre

?tcaida ?v final

2sm9,81g .m22,3h

gvv

t 0f 9,81

09,20

3,229,8120v 2f s

m9,02

.s2,1

9,8123,22t

1,29,810 sm20,6

.s1,2

La Torre de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa, en la región italiana de la Toscana. La torre comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173. Se dice que Galileo Galilei dejó caer dos balas de cañón de diferente masa desde la torre, para demostrar que la velocidad de descenso era independiente de la masa. La Torre tiene una inclinación de 4º sobre la vertical. Supongamos que Galileo dejó caer las balas desde el campanario y cayeron a 3,29 m. de la Torre. Calcula con qué velocidad impactaron contra el suelo y el tiempo que tardaron.

sm0v inicial

hg2vv 20

2f

Foto: Miguel Sanmartín

3,29m.

Torre

. h

4º?h

?v final

2sm9,81g

alturah.m3,29

)tag(4º

)tag(4º.m3,29

haltura 07,0

.m3,29

.m47haltura

4781,920v 22f 4781,92v f s

m30,4

tgvv 0f

t81,904,30 81,94,30t .s3,1

?t

Problema.- ¿Qué velocidad inicial hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 m.? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar dicha altura?

m.hs

m9,81g

?t?.v

sm0v

2

dodesacelera

final

20

0

2s.9,81

019,8gvvttgvv

sm19,8209,8120v

hg2vvhg2vv

f00f

20

2f

20

20

2f

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer

46

Problema.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de 50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.

2

final

s

sm9,81g

vs

mvs

mv

?

0

50

0

.7 Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial que desconocemos

Una vez que tenemos la velocidad inicial, calculamos el tiempo que tarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.

smtgvvtgvv s0s 7,118781,950707

12,1s.9,81

0118,7gvvttgvv f0

0f

EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMO EN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE AL PUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…

24,2s.12,12t2t h_máximatotal

47

Problema.- ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo que se ha dejado caer libremente desde una altura de 100 m.? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.

100m.hs

m9,81g

?t?.vs

m0v

2

acelerado

final

0

200 tg

21tvhh

4,5s.9,81

044,3gvv

ttgvv 0f0f

O también se puede hacer así…

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer

sm44,31009,8120vhg2vv 2

f20

2f

smtgvv final 1,445,481,900

4,5s.9,81

2100tt9,8121t00100 2

Problema nº 10.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de 50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.

2

final

s

sm9,81g

vs

mvs

mv

?

0

50

0

.7 Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial que desconocemos

Una vez que tenemos la velocidad inicial, calculamos el tiempo que tarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.

smtgvvtgvv s0s 7,118781,950707

12,1s.9,81

0118,7gvvttgvv f0

0f

EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMO EN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE AL PUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…

24,2s.12,12t2t h_máximatotal

Problema.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba, y asciende con una aceleración de 2 m/s2 durante 1,2 min. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como partícula libre. Calcular cual es el tiempo transcurrido desde que despegó hasta caer al suelo.

Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que tenemos 3 movimientos distintos y todos ellos M.R.U.A.

El PRIMER MOVIMIENTO es un movimiento acelerado, con aceleración positiva de 2 m/s2 Datos:

0m.hsm2a

s.mint?.vs

m0v

0

2

acelerado

final

0

722,1

Calculamos la altura a la que llegó y la velocidad en el instante que se agota el combustible.

smtavv

m.22100hta

21tvhh

final

2200

1447220

51847272

0

El SEGUNDO MOVIMIENTO es decelerado, ya que el cohete se mueve como partícula libre y sigue ascendiendo después de que se agote el combustible hasta que la gravedad g=9,81 m/s2 lo acaba frenando.

6240,9m.9,812114,71445184h

tg21tvhh

14,7s.9,81

0144gvvttgvv

200

final00final

27,14m.h

smg

t

.smv

smv

0

gravedad

decelerado

final

0

5184

81,9

?

0

144

2

El TERCER MOVIMIENTO es M.R.U.A. con aceleración positiva, es lógico, el cohete una vez que se le ha terminado el combustible asciende por la velocidad que tiene en ese momento. Pero esta se ve reducida por el efecto de la gravedad que acaba anulando. Tenemos el cohete en el punto más alto y parado (un instante). TODO CUERPO QUE SUBE TIENE QUE BAJAR, y como tal el cohete cae desde esa altura por efecto de la gravedad.

0m.h6240,9m.h

sm9,81g

?t?.vs

m0v

0

2gravedad

n_gravedadaceleracio

final

0

35,7s.9,81

26240,9tt9,8121t006240,9

tg21tvhh

2

200

NOTA: LA ALTURA INICIAL ES CERO PORQUE CARA ABAJO EL COHETE NO SE HA DESPLAZADO NADA Y LA ALTURA FINAL QUE CAE, COMO ES LÓGICO, ES LA MISMA A LA QUE SE HA ELEVADO.

EL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOS

122,4s.35,714,772tttt movimiento3to2ºmovimienmovimiento1total erer

Problema.- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en pasar por delante de una ventana de 2,5 metros de alto. ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra el marco superior de la ventana?

Este problema, aunque en principio parece fácil, tenemos que suponer varias cosas que complican su resoluciónSolución:

Antes de nada vamos a ver los datos que tenemos

2

ventana

ventana

81,9

.5,2.3,0

??

smga

mhst

vv

final

o

LA CLAVE DEL PROBLEMA E MODIFICAR EL PUNTO DE REFERENCIA.

2,5

m.

?

Para empezar SITUAMOS EL PUNTO DE REFERENCIA EN LA VENTANA, donde sabemos el espacio que recorre y el tiempo que le lleva. Como es caída libre utilizaremos g.

CONSIDERACIONES PREVIAS.- Antes de llegar al marco superior recorrió una distancia, le llamaremos h inicial que no sabemos. Tampoco sabemos la h final que recorrerá, pero si sabemos…

.m2,5hh 0 Es decir, si al espacio final (hasta el marco inferior de la ventana), le quitamos el espacio que va desde la cornisa al marco superior (espacio inicial) me queda la altura de la ventana. Entonces…

sm6,87

0,30,442,5v0,44v0,32,50,39,81

210,3v2,5

tg21tvhhtg

21tvhh

002

0

200

200

Hemos calculado la velocidad con la que llega la pelota al marco superior de la venta a la que hemos llamado velocidad inicial puesto que solamente nos centramos en el paso por delante de la ventana.

CAMBIAMOS SISTEMA DE REFERENCIA:Ahora nos centramos en el espacio que hay desde la cornisa hasta el marco superior de la ventana.Consideramos que parte de 0 en la cornisa (velocidad inicial) y que la velocidad con la que llega al marco superior de la ventana es la velocidad con la que inicio el movimiento anterior como es lógico, pero ahora pasa a ser la VELOCIDAD FINAL.

.4,2281,9

87,681,92087,622

2220

2 mhhhgvv f

Sabemos la velocidad en el marco superior de la ventana, como el espacio anterior también fue en caída libre, consideramos ahora esta velocidad inicial como la velocidad final del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marco superior de la ventana, a donde llega con la velocidad que hemos calculado.

M.C.U.

Tema Cinemática


Sanmartín


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Cada una de las agujas del reloj describe ángulos iguales en tiempos iguales. Llevan un Movimiento Circular Uniforme (MCU).

Un M.C.U. tiene velocidad constante y su Trayectoria es una circunferencia.

En el S.I. se define el radián como el ángulo cuyo arco es igual al radio.

360º = 2 p rad

La relación entre el arco y el ángulo descritos en una circunferencia es:

s = j . R

MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO

Periodo:El periodo (T) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. Se mide en segundos.

p

2T

Frecuencia: La frecuencia (n es el número de vueltas que efectúa el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz) o s-1

T1

Velocidad angular: Es el ángulo descrito por el móvil en la unidad de tiempo. En el S.I. se mide en rad/s.

tj

Relación M.C.U. y M.R.U.

tωtvss

rvωrωvs

rad.ωsmv

rsr(radio)srad.m.s

00

jj

jjj

Relación M.C.U.A. y M.R.U.A

j

jj

22

21

21

20

220

2

00

20

20

22

ff

ff

00

savv

ttavv

ttωtatvss

raras

rad.s

ma

ProblemasMovimiento Circular

UniformeM.C.U.


Problema.- La velocidad angular de una rueda de 10 cm. de radio es de 600 r.p.m. Calcula la velocidad y el espacio angular al cabo de 5 min. Y el espacio y la velocidad lineal en un punto de la periferia en ese mismo tiempo. (1 revolución=1vuelta)

p

pj

ppjj

pp

.sm6,28rad.

m0,1srad20rωv

1885m.rad.m0,1rad6000rs

0,1m10cm.r

rad.6000300200tω300s.5min.t

srad20

60s.1min.

1rev.rd.2

min.rev.600600r.p.m.ω

0

Una rebarbadora gira a 2500 revoluciones por minuto. Sabiendo que su disco tiene 12 cm. de diámetro. Calcula la velocidad angular y lineal del disco y el espacio lineal y angular recorrido por un punto de la periferia a los 2 min. (1 revolución=1vuelta)

0,06m2

12cm.r12cm.d

rad.ω0 ppjj 99961203,830t

s.min.t 1202

srad

60s.1min.

1rev.rd.2

min.rev.r.p.m.ω pp 3,8325002500

.sm

rad.m

sradrωv

rad.mradrs

7,150,063,83

1884m.0,069996

p

pj

Problema. Tras su inauguración en el año 2000, la sorprendente noria de 135 metros de altura (120m. de diámetro) conocida como The London Eye (El Ojo de Londres) se ha convertido en uno de los iconos más emblemáticos de la ciudad y de toda Gran Bretaña. Conocida también como Millennium Wheel (Rueda del Milenio), la noria es un logro del diseño y la ingeniería construido a lo largo de siete años por cientos de trabajadores provenientes de cinco países diferentes.La impresionante estructura de 10 toneladas está compuesta por 32 cabinas de cristal, con capacidad para 25 personas cada una. La estructura gira constantemente a velocidad lenta para permitir que la gente pueda subir sin detenerse. El recorrido por las alturas de la ciudad dura aproximadamente 30 minutos. Calcula la velocidad lineal y angular, el espacio lineal y angular de cada cabina de cristal recorre en 5 min.

30min1vueltaω

60s1min

1vueltarad2

p

sradp0011,0

ssrad 3000011,0min5 pj300s5mint

rad60m0011,0v lineal s

radp sm21,0

rad60mrad3

1s5min p m8,26

min.03t vuelta

m.201diámetro m.062

120m.radio

rad31 p

Problema. Durante las fiestas de San Roque de Vilagarcía, Lucía se ha subido en un Tiovivo. Sabiendo que el Tiovivo mide 7 m. de diámetro y que en cada vuelta invierte 7,5 segundos. Calcula la velocidad lineal, la velocidad angular y el espacio angular y lineal durante los cuatro minutos que estuvo subida.

7,5s1vueltaω

1vueltarad2p

sradp27,0

m5,3radio

t ωmin4js4024mint

rad3,5m27,0 s

radp sm97,2

rad3,5mrad8,64 p m5,127

7m.diámetro 3,5m.2

7m.radio

ssrad 24027,0 p

rωv lineal

rad8,64 p

rs4min

7,5s.vuelta t

Problema. Un tractor tiene una rueda trasera de 160 cm. de diámetro. Calcula el número de vueltas que da dicha rueda mientras el tractor recorre 900m. ¿Cuál es la velocidad lineal y angular si tarda 1,2 minutos en recorrer esta distancia?

rv

ω lineal.rad

m0,8s

m12,5

s72min1,2t

.cm160diámetro

.m0,82

.m1,6radio

vuelta.rad2

.rad1125novueltas

p

s72m900v lineal

rs

.m1,6

rs

radian

m0,8.m900

.rad1125 .vueltas179

sm5,12 s

rad15,6

Problema. Un aerogenerador es un dispositivo que convierte la energía cinética del viento en energía eléctrica. Las aspas o palas de un aerogenerador giran a 18 revoluciones por minuto y tienen un diámetro de 80 metros. Calcula la velocidad angular del aerogenerador y la velocidad lineal en el punto más externo de las aspas. También calcula el espacio angular y lineal de dicho punto al cabo de 15 minutos. flickr

m.08d

t ω0jj

0s.09min.15t

r.p.m.81ω

rs j

min.rev.81

1rev.rad.2p

60s.

1min. s

rad6,0 p

rad.5409006,00 pp m04

280m.r

rωv rad.m046,0 s

radp sm4,75

rad.m04rad540 p m.6,78586

tvss 0 900s.sm75,4 67860m.

ACELERACIÓN CENTRÍPETAEn el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe aceleración, la aceleración centrípeta.

Cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, la tendencia es a salirnos de la curva. La aceleración centrípeta lo impide al tirar de nosotros hacia dentro de la curva.

Rva

2c

Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la aceleración centrípeta.

Fin de TemaBusca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en…

www.juansanmartin.net

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