ejercicios cinemática

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1. PROBLEMAS RESUELTOS CINEMTICA RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA 1. Una partcula se encuentra en la posicin (4, 2, -2) m y en 10 segundos se traslada a la posicin (8, 12, 20) m. Su velocidad media es: a) 0.4i + 1.2j - 1.2k (m/s) b) 4i + 10j + 22k " c) 12i + 10j - 22k " d) 1.2i + j - 2.2k " e) 0.4i + j + 2.2k " Solucin: Expresemos la posicin de la partcula en trmino de sus coordenadas cartesianas y llamemos por r1 y r2 al vector posicin que las identifica. r1 = 4i + 2j 2k r2 = 8i +12j + 20k t rr t vm 12r mv = 10 22410108 kjikji mv = kji kji 2,24,0 10 22104 m/s 2. La velocidad media y la rapidez media, para un mismo intervalo de tiempo, tienen igual valor cuando: I. La partcula se mueve en lnea recta con velocidad constante II. La partcula se mueve en lnea recta y regresa a su posicin inicial III. El desplazamiento y la longitud de la trayectoria son iguales. a) Slo I b) Slo II c) Slo III d) I y II e) I y III Solucin: La velocidad media y la rapidez media tienen el mismo valor slo cuando el desplazamiento de la partcula tiene la misma magnitud que la longitud de la trayectoria. Esto ocurre cuando la partcula se mueve en lnea recta y en la misma direccin, no necesariamente con velocidad constante. Florencio Pinela C. 2. C BA 3. Una partcula se desplaza desde el punto p1 de coordenadas (3, -2, 1)m, al punto p2 de coordenadas (10, 8, 7)m. Si en el punto p1 la partcula tena una velocidad de V = 2i + 4j m/s. El ngulo que forma la velocidad en el punto p1 y el desplazamiento de la partcula es: a) 27,4 b) 34,1 c) 56,8 d) 65,2 e) 71,4 Solucin: Nos piden el ngulo formado entre el vector velocidad en el punto p1 y el vector desplazamiento entre los puntos p1 y p2. Utilicemos la definicin del producto escalar entre el vector velocidad y el vector desplazamiento. Necesitamos conocer el mdulo de los dos vectores y expresar el vector desplazamiento en funcin de sus componentes ortogonales. r = r2 r1 r2 =10i + 8j + 7k r1 = 3i 2j +k r =(10i + 8j + 7k) (3i 2j +k) r = 7i +10j + 6k r = 185 , (m) V = 2i + 4j V = 20 , (m/s) CosVrVr Vr Vr Cos Cos = 20185 4014 = 27,4 4. Una partcula describe la trayectoria mostrada en la figura, el tramo AB es horizontal y BC un tramo de circunferencia de 10 m de radio. Determine el mdulo de la velocidad media de la partcula entre los puntos A y C sabiendo que sta se mueve con rapidez constante de 8 m/s y tarda 10 s en realizar el recorrido. a) 3.4 m/s b) 4.4 m/s c) 5.2 m/s d) 6.2 m/s e) 8.0 m/s 3. C BA Solucin: La velocidad media se define como la relacin entre el desplazamiento y el tiempo empleado. El desplazamiento es el vector que parte del punto A y se dirige hasta el punto C. Para calcular el desplazamiento necesitamos conocer la magnitud del tramo AB. Sabemos que la rapidez de la partcula es de 8 m/s, la rapidez representa la relacin entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, con la rapidez y el tiempo podemos determinar la longitud de la trayectoria, esto es la longitud del tramo AB y la longitud de las de circunferencia. V = 10 2* rAB t d 80 = AB + 15 AB = 32,87 m r = (32,87 + 10)i + 10j r = 42,87 i + 10j 10 1087,42 ji t r = 4,287 i + j El mdulo de la velocidad media ser 4,4 m/s 5. Cules de los siguientes enunciados son falsos? I.- El mdulo de la velocidad media no puede ser mayor a la rapidez media. Correcto!! II.- Un cuerpo puede experimentar desplazamiento positivo cuando su velocidad media es negativa. Falso!!. El signo del desplazamiento corresponde al signo de la velocidad media. III.- La velocidad media y la aceleracin media vectorialmente tienen la misma direccin. Falso!!!. La direccin de la velocidad media corresponde a la direccin del desplazamiento. La direccin de la aceleracin corresponde a la direccin del vector cambio de velocidad IV.- Un cuerpo con aceleracin positiva experimentar siempre desplazamientos positivos. Falso!!. No necesariamente, los cuerpos pueden desplazarse en direccin contraria a la aceleracin. V.- En el movimiento rectilneo uniformemente variado, la aceleracin media es una constante. Correcto!!!. a) II, III, IV b) III, IV, V c) I, II, III, IV d) I, III, IV e) Todas son falsas. Florencio Pinela C. 4. 6. El grfico de la figura representa el movimiento de una partcula en lnea recta. Si para todo el recorrido la rapidez media y la velocidad media son de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. Determine los valores de x y xo x(m) xo(m) x(m) a) 50 -150 b) 50 -100 x c) 200 -150 d) 100 -100 e) 200 -100 0 10 t(s) - xo Solucin: Observando el grfico notamos que la partcula a t=0 parte del punto xo y se mueve en direccin positiva llegando hasta el punto x, luego regresa (invierte la direccin de movimiento) y se detiene en el origen a los 10 segundos. Rapidez Media = 20 10 2 10 tan xxoxxxo t ciadis xo + 2x = 200 Velocidad Media = 10 10 xo t entodesplazami xo = 100 100 + 2x = 200 x = 50 m xo + 2x = 200 xo + 2(50) = 200 xo = 100 m. (-) Florencio Pinela C. x 0-xo x desplazamiento 5. 7. Una partcula tarda 5s en ir de la posicin a hasta la posicin b, como se indica en la figura. El mdulo de la velocidad media de la partcula es a) 1.95 m/s z b) 1.75 b c) 1.5 d) 1.25 e) Falta indicar la trayectoria 8m de la partcula. a y 5m x 10m Solucin: Encontremos los vectores posicin inicial y posicin final para luego determinar el vector desplazamiento. z b 8m a y 5m x 10m ra = 2,5i + 5j rb = 10j + 8k Desplazamiento = r = rb - ra r = (10j + 8k) (2,5i + 5j) r = -2,5i +5j + 8k Velocidad Media = mv = r / t Velocidad Media = - 0,5 i + j + 1,6k mv = 222 6,115,0 = 1,95 m/s Florencio Pinela C. 6. 8. El grfico representa el movimiento de una partcula en lnea recta. Si la rapidez media y la velocidad media para todo el recorrido son de 20 m/s y 5 m/s respectivamente, los valores de V1 y V2 son: V1 (m/s) V2(m/s) a) 15.5 12.3 b) 24.6 22.0 c) 21.5 18.5 d) 18.7 22.5 e) 10.5 15.5 Solucin: En el grfico velocidad versus tiempo el rea bajo la curva representa el desplazamiento. Velocidad positiva desplazamiento positivo, velocidad negativa desplazamiento negativo. Recuerde que la distancia es una cantidad escalar y carece de signo. El desplazamiento neto ser: s = 10 V1 - 5 V2 La distancia total recorrida ser: d = 10 V1 + 5 V2 Velocidad media = s / t Rapidez media = d/ t s / t = 5 = (10 V1 - 5 V2)/15 d/ t = 20 = (10 V1 + 5 V2 )/15 Formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. 75 = 10 V1 - 5 V2 300 = 10 V1 + 5 V2 Resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos: V1 = 18,7 m/s y V2 = 22,5 m/s 1510 V1 V2 v (m/s) t (s) Desplazamiento positivo Desplazamiento negativo V t 0 7. 9. El grfico representa el movimiento de una partcula en lnea recta. Si durante los 10 primeros segundos su velocidad media es cero y su rapidez media 10 m/s. La velocidad inicial de la partcula es a) 15 m/s b) 20 m/s c) 25 m/s d) 30 m/s e) 35 m/s Solucin: Si la velocidad media es cero, el desplazamiento positivo (amarillo) y el desplazamiento negativo (azul) deben tener la misma magnitud. Los tringulos deben ser iguales y simtricos. El desplazamiento neto ser: s = Vo(5) Vo(5) = 0 La distancia total recorrida ser: d = Vo(5) + Vo(5) d = 5 Vo Rapidez media = d/ t d/ t = 10 = 5Vo/10 Vo = 20 m/s Florencio Pinela C. V(m/s) t(s) 0 V(m/s) t(s)10 Vo -Vo 5 8. PROBLEMAS PROPUESTOS CINEMTICA RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA 1. Una partcula se encuentra a t=0 en un punto de coordenadas (-5, 6, 10)m y se mueve con velocidad media de 3i 2j m/s durante cinco segundos. La posicin de la partcula a los cinco segundos es. a) ( 10, -10, 4 )m b) ( 15, 10, -10 )m c) ( 10, -4, 10 )m d) ( 5, 6, 10 )m e) ( 15, -10, 0 )m 2. Un helicptero parte y sube verticalmente 100 m. De aqu vuela horizontalmente hacia el este 200 m y finalmente vuela horizontalmente hacia el norte 200 m. El desplazamiento del helicptero fue a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m 3. El grfico representa el movimiento de una partcula en lnea recta. Durante los primeros cinco segundos la velocidad media de la partcula fue de 50 m/s. Determine la velocidad media de la partcula hasta el instante en que adquiere la mitad de su velocidad inicial. V(m/s) a) 20.0 m/s b) 30.3 60 c) 44.7 d) 47.1 e) 50.0 vo 5 8 t(s) 3. El grfico representa el movimiento de una partcula en lnea recta (el grfico no se encuentra a escala). Si la velocidad media durante los 10 primeros segundos es cero, el valor de la rapidez media durante este intervalo es: a) 6 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s d) 20 m/s e) 60 m/s Florencio Pinela C. -20 0 100 v(m/s) t(s) 3 9. MOVIMIENTO RECTILNEO CON ACELERACIN CONSTANTE PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una partcula describe una trayectoria no rectilnea, entonces: I. la partcula est acelerada. Correcto!!. Slo el hecho que la partcula cambie la direccin del vector velocidad, esta estar acelerada. II. si la rapidez es constante su aceleracin ser cero. Falso!!!.Esto sera cierto si la trayectoria fuera rectilnea y la partcula no invierta la direccin de movimiento. III. si la rapidez es constante su velocidad media lo ser tambin. Falso!!. La rapidez y la velocidad media son iguales en magnitud slo cuando la partcula se mueve en lnea recta. a) I y II son verdaderos b) I y III son verdaderos c) Solo I es verdad d) I, II y III son verdaderos e) I, II y III son falsos 2. Para una partcula movindose en lnea recta, cul(es) de (el) los siguientes casos no es posible? a) Desplazamiento negativo con aceleracin positiva. b) Rapidez media menor que la velocidad media. c) Rapidez media mayor que la velocidad media d) Desplazamiento nulo con aceleracin cero. e) Desplazamiento positivo con aceleracin media cero. a) El grfico de la derecha muestra un movimiento Con aceleracin positiva. El rea bajo la curva representa el desplazamiento, en este caso desplaza- miento negativo. Si es posible! b) La velocidad media iguala en magnitud a la rapidez media solo en el caso en que la partcula se mueva en lnea recta y en la misma direccin, por lo tanto la rapidez media es siempre mayor o igual que la velocidad media. No es posible! c) Si es posible!!!. d) No es pos