3-5 producto triple escalar y vectorial

5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial

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CAP. III ANLISIS VECTORIALProducto triple escalar y vectorial

BSR


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Contenido

Producto triple escalar y vectorial. Introduccin.

Producto escalar triple.

Producto vectorial triple.

Aplicaciones.


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Producto triple escalar y vectorial.

Introduccin

En ocasiones, en las aplicaciones de vectores se

presentan dos triples productos. Uno es el producto

A(BxC), denominado triple producto escalar delos vectores A, B y C (de hecho, los parntesis noson necesarios ya que ABxC puede interpretarseslo en una manera puesto que ABes un escalar).

El otro triple producto es Ax(BxC) que se denominatriple producto vectorial de los vectores A, By C.Aqu los parntesis deben mantenerse.

Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.


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Introduccin

En el triple producto escalar, el producto BxCproduce un vector, el cual producto punto con Ada

un escalar. El resultado del triple producto vectorial es un

vector que es perpendicular a A y a BxC. El planodefinido por By Ces perpendicular a BxC y as el

producto triple yace en este plano (ver figura lafigura 1).

Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica Matemtica


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Introduccin

Figura 1: Los vectores By Cestn en el plano xy. BxCes perpendicular al planoxy y es mostrado aqu a lo largo del eje z. Entonces Ax(BxC) es perpendicular alejez y por lo tanto esta de regreso en el planoxy.

Bx C

B

A

C

x

z

y

A x(Bx C)



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Teorema 1

Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V3entonces:

A Bx C = A xB C



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Demostracin del teorema 1 Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)

A Bx C = (a1,a2,a3) [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)]

(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) = = (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)

A Bx C = (a1,a2,a3) (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)

A Bx C = (a1b2c3-a1c2b3, a2b3c1-a2c3b1, a3b1c2-a3c1b2)

A Bx C = (a2b3-a3b2)c1 + (a3b1-a1b3)c2 + (a1b2-a2b1)c3

A Bx C = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)(c1,c2,c3)


i j kb1 b2 b3

c1 c2 c3

Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edicin.


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Demostracin del teorema 1

Por definicin (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)= A xB, entonces:

A Bx C = A xB C

Con lo cual queda demostrado el teorema 1.




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Ejemplo 1 Verificar el teorema 1 para los siguientes tres vectores: A

= (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)

Solucin: B x C = (3i + 4j + k) x (-5i +j -4k)

B x C = 3k - 12(-j) - 20(-k) - 16i + 10j - 2(-i)

B x C = -14i + 22j + 23k

A (Bx C) = (1,-1,2) (-14,22,23) = -1422 + 46

A (Bx C) = 10



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Ejemplo 1. Solucin:

A x B = (ij + 2k) x (3i + 4j - 2k)

A x B = 4k - 2(-j) - 3(-k) + 2i + 6j + 8(-i)

A x B = -6i + 8j + 7k (A x B) C= (-6,8,7) (-5,1,-4) = 30 +8 - 28

(A xB) C = 10

Esto verifica el teorema 1 para estos tres vectores.



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Teorema 2

Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V3entonces:

A x(Bx C)= (A C)B - (A B)C



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Demostracin del teorema 2 Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)

A x(Bx C)= (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)]

(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) = = (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)

Ahora(a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] =


i j kb1 b2 b3

c1 c2 c3

i j ka1 a2 a3

b2c3-c2b3 b3c1-c3b1 b1c2-c1b2

http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20vectorial.pdf


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Demostracin del teorema 2Expresamos nuevamente (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] comoA x(Bx C)

A x(Bx C) = [a1(b1c2-c1b2) - a3(b3c1-c3b1), a3(b2c3-c2b3) - a1(b1c2-c1b2), a1(b3c1-c3b1) - a2(b2c3-c2b3)]

Lo cual se puede escribir como:

A x(B xC) = [b1(a2c2+a3b3) - c1(a2b2+a3b3), b2(a1c1+a3c3) -c2(a1b1+a3b3), b3(a1c1+a2c2) - c3(a1b1+a2b2)]




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Demostracin del teorema 2A x(Bx C) = [b1(a1c1+a2c2+a3b3) - c1(a1b1+a2b2+a3b3),b2(a2c2+a1c1+a3c3) - c2(a2b2+a1b1+a3b3), b3(a3c3+a1c1+a2c2) -

c3(a3b3+a1b1+a2b2)]

A x(Bx C) = [b1(A C

) -c1(AB), b2(

A C)

c2(A B

),b3(A C)c3(AB)]

A x(Bx C) = (b1,b2,b3) (AC) -(c1,c2,c3) (A B)

A x(Bx C) = B (A C)C(A B)

A x(Bx C)= (A C)B - (A B)C

Con lo cual queda demostrado el teorema 2.




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Ejemplo 2 Verificar el teorema 2 para los tres vectores del ejemplo

nmero 1: A = (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)

Solucin: Del ejemplo 1 sabemos que:

B x C = -14i + 22j + 23k

Entonces:

A x(Bx C) = = -23i - 28j + 22k - 14k - 44i - 23j

A x(Bx C) = -67i - 51j + 8k

i j k

1 -1 2

-14 22 23



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Ejemplo 2. Solucin: (A C) = (1,-1,2) (-5,1,-4) = -5 - 1 - 8 = -14

(A B) = (1,-1,2) (3,4,-2) = 3 - 4 - 4 = -5

As

(A C)B - (A B)C = -14(3,4,2)(-5) (-5,1,-4) (A C)B - (A B)C = (-42,-56,28)(25,-5,20)

(A C)B - (A B)C = (-67,-51,8)

(A C)B - (A B)C = -67i - 51j + 8k

Esto verifica el teorema 2 para estos tres vectores.



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Aplicaciones

Producto escalar triple

El producto escalar triple tiene una interpretacin

geomtrica directa. Los tres vectores A, B y C

pueden ser interpretados como la definicin de unparaleleppedo (ver figura 2).

|B x C| =|B| |C|sen

|B x C| = rea de la base del paralelogramo.



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Figura 2. Paraleleppedo que representa elproducto escalar

triple.

Aplicaciones

Bx C

B

A

C

x

z

y



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Aplicaciones


La direccin, por supuesto, es normal a la base.

Haciendo el producto punto con A, esto significa

multiplicar el rea de la base, por la proyeccin de Asobre la normal, o la base tantas veces por la altura.

Por lo tanto

|A B x C| = volumen del paraleleppedo definido

por los vectores A, By C.



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Aplicaciones


Ejemplo 3

Dados los puntos A(1,2,-3), B(-1,1,-2), C(4,2,-1) y D(-1,0,1)

del espacio. Verifique si los puntos son coplanares y en caso

de que no sean coplanares, hallar el volumen del tetraedro

determinado.

Solucin:

Lo primero que tenemos que saber es que: tres vectores

son coplanares si y slo si: el producto escalar triple de los

tres vectores es igual a cero. Lo anterior se deduce de queel volumen del paraleleppedo tendr volumen cero si y slo

si los vectores que lo definen estn en el mismo plano (y por

tanto tendr altura cero).

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52212.PDF


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Aplicaciones


Ejemplo 3. Solucin:

Como tenemos un criterio de coplanares en trminos de

vectores y la pregunta est hecha en trminos de puntos,

debemos construir los vectores. Conviene que sea con

origen en el mismo punto, digamos que tal punto es A.

Sean U, Vy Wlos vectores definidos como sigue:

U =BA = (-1,1,-2) - (1,2,-3) = (-2,-1,1)

V =CA = (4,2,-1) - (1,2,-3) = (3,0,2)

W =DA = (-1,0,1) - (1,2,-3) = (-2,-2,4)


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Aplicaciones


Ejemplo 3. Solucin:

Aplicando el teorema 1 calculamos U x V W :

U x V= = (-2-0)i+(3+4)j+(0+3)k= -2i+7j+3k

U x V W= (-2,7,3) (-2,-2,4) = 4-14+12

U x V W= 2

i j k-2 -1 1

3 0 2


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Aplicaciones


Ejemplo 3. Solucin:

El resultado anterior indica que los vectores no son

coplanares ya que el producto escalar triple es diferente

de cero, el valor absoluto de este resultado determina el

volumen del paraleleppedo, el volumen del tetraedro es

la sexta parte del volumen del paraleleppedo, luego:

Volumen del tetraedro = 2/6 = 1/3 unidades cbicas.


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Aplicaciones

Producto vectorial triple

El producto vectorial triple tiene importantes

aplicaciones en el desarrollo de ecuaciones de Fsica

como por ejemplo en las de: Conservacin delmomento angular, Ecuaciones de Maxwell, Ecuacin

de onda, entre muchas ms.

En el ejemplo 4 se muestra como se simplifica eldesarrollo de una ecuacin mediante la aplicacin del

teorema delproducto vectorial triple.

Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecnica cuntica y al electromagnetismo.Gonzlez J. F. El Producto Vectorial


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Aplicaciones


Ejemplo 4

El momento angular de una partcula es dado por: L =rxP = mrxv, donde P es el momento lineal. Con lavelocidad lineal y angular relacionadas por v = xr,demostrar que:

L= mr[- r0(r0)]

Donde r0

es un vector unitario en la direccin de r. parar = 0 esto se reduce a L = I, con el momento deinerciaI dado por mr.

Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34


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Aplicaciones


Ejemplo 4: Solucin:

Comov = x r y adems m es una constante:

L = m(r x v) = m[r x (x r)] (1)

Como se observa, esto es unproducto vectorial triplepor lotanto aplicamos el teorema 2:

L= m[(r r) - r(r ) ] (2)

Si r0es un vector unitario en la direccin de r, entonces:

r0 = r/r r = rr0 (3)

donde res la magnitud del vector r


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Aplicaciones


Ejemplo 4: Solucin:

Sustituyendo la ecuacin 3 en la ecuacin 2:

L= m[(rr0rr0) - rr0(rr0) ]

L= m[r(r0r0) - rr0(r0) ] (4) Como r0r0 = |r0| = 1

L= mr[- r0(r0) ] (5)

La ecuacin 5 es la demostracin a la que se quera llegar.


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Bibliografa. Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.


Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists.

Pg. 29-34.

Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica

Matemtica.

http://fisica.ciencias.uchile.cl/~jrogan/cursos/mfm1o03/mfm1b.pdf

Gonzlez J. F. El Producto Vectorial.

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf

Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecnica

cuntica y al electromagnetismo. http://arxiv.org/pdf/1103.2387.pdf

Apuntes: Producto Vectorial.http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52212.PDF

Apuntes:

http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20

Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20

vectorial.pdf

3-5 producto triple escalar y vectorial

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