nociones de algebra lineal 1) determinar si (r 2, , r, ) es un espacio vectorial con las...

Nociones de

Algebra Lineal

1) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por :

a) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2

k (a, b) = (k a, k b) k R (a, b) R2

b) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2

k (a, b) = (a, a) k R (a, b) R2

c) (a, b) (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) (a, b) , (c, d) R2 k (a, b) = (k a, k b) k R (a, b) R2

2) Dados los siguientes subconjuntos de R2 y R3

a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / y = 2 }

c) { (x, y) / y + x = 3 } d) { (x, y) / x = y / 2 }

e) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3)}

f) { (x, y, z) / z = 0 } g) { (x, y, z) / y = 1 }

h) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } i) { (x, y, z) / x + y = 1 }Representar gráficamente los conjuntos dados y establecer cuáles de ellos son subespacios de R2 o de R3 según corresponda, justificando la respuesta.

),,(w),,(v),,(u 011112112 3) a) En R3 verificar que el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de los vectores

siendo los escalares : a = 2 ; b= 3 y c = 1 . ),(v),(u 4240 b) Expresar los

vectorescomo combinación lineal de los versores

),(j),(i 1001

4) Determinar analíticamente si los siguientes conjuntos de vectores constituyen una base de R2, justificando la respuesta.

a) A = { (1, 2) ; (-2, 1) } b) B = { (1, 2) ; (2, 4) }

c) C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } d) D = { (0, 0) ; (2, 1) }

5) Dados los vectores ),(v);(u 13221 de R2 :

a) Verificar que el conjunto

es una base de R2}v;u{A

b) Hallar en la base

las coordenadas del vector

}v;u{A ),(w 64

6) Sean los conjuntos de vectores

a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / x = y / 2 }

c) { (x, y, z) / z = 0 } d) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }

i) Determinar por lo menos dos bases distintas en cada sub espacio ii) Determinar la dimensión de cada sub espacio

7) Una concesionaria de automóviles tiene sus reportes mensuales de venta de autos expresados en forma de matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos estándar y de lujo, mientras que las columnas indican el número de unidades de color rojo bermellón, azul metalizado, gris plomo y verde acuario. La casa central vendió en el mes de julio del modelo estándar 10 unidades de color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 9 verde acuario y en el modelo de lujo 6 unidades color rojo bermellón, 7 azul metalizado, 5 gris plomo y 12 verde acuario. La venta del mes de agosto fue en el modelo estándar ninguna unidad de color rojo bermellón, 20 azul metalizado, 10 gris plomo y 5 verde acuario y en el modelo de lujo 10 unidades color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 12 verde acuario. De acuerdo a la información dada :a) Exprese la matriz de venta de la casa central para los meses de julio y agosto.b) ¿ De qué clase es cada matriz ?c) ¿ Cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses ?d) ¿ Cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses ?e) Esta concesionaria de automóviles tiene una sucursal, que vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. Exprese la matriz de venta para los meses de julio y agosto.

f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto ? ¿ Cuántos autos se hubieran vendido en la sucursal si la venta en dicho local hubiese sido el triple que en la casa central ?

8) Escribir : a) Una matriz F C3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ; fij = i si i j

b) Una matriz G C3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ; gij = i - j si i j

9) Sean las matrices A y B R2 x 3

Calcular : i) A + B ii) 3 A iii) 2A - 3B

654

321A

817

203B

10) Dadas las matrices :

0813

272/13

0010

3121

A

3151

4910

6251

B

9379

0500

0614

8331

C

011

212

341

D

a) Escribir las matrices -A y –D b) Calcular, si es posible, B x A ; D x A y D x B.

11) Calcular los rangos de las siguientes matrices :

1212

0111

2242

A

1321

3111

1212

1311

B

12) Calcular los siguientes determinantes

11

13 A)A(D

214

131

342

B)B(D

1243

0112

3110

4211

C)C(D

Espacio Vectorial

Para que (V, *, K, ) sea espacio vectorial

1) x V , y V x * y V Ley de cierre para * composición interna en V

2) x, y, z : x, y, z V (x * y) * z = x * (y * z) Asociativa para *

3) 0 V / x : x V x * 0 = 0 * x = x Existe Elemento Neutro para *

4) x V, x´ V / x * x´ = x´ * x = 0 Existe Elemento Inverso para *

Si x V e y V y es un escalar del cuerpo K

5) x, y : x, y V x * y = y * x Conmutativa para *

Hasta aquí se verificaron condiciones en V respecto de *, que hacen de (V, *) un grupo abeliano

Ahora en las restantes condiciones analizaremos el comportamiento de las operaciones * y entre elementos de V y de K

se debe verificar que:

1 a1 a

1 b1 b

1 c1 c

6) x V, V x V Ley de cierre

7) x V , , K : ( x) = ( ) x Asociativa8) x, y V, K : (x * y) = x * y

es distributiva con respecto a *

9) x V, , K : ( * ) x = x * x

es distributiva con respecto a *

10) x V : x 1 = 1 x = x El elemento neutro de es el 1 de K

1 a1 a

1 b1 b

1 c1 c

1 a) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por : a) (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R2

k (a, b) = (k · a, k · b) k R , (a, b) R2

1) (a, b) , (c, d) R2 (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) R2 L.C.I.2) (a, b), (c, d), (e, f) R2 : [(a, b) (c, d)] (e, f) = (a, b) [(c, d) (e, f)]

[(a, b) (c, d)] (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f)(a, b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)

Asociativa

3) (e1, e2) R2 / (a, b) : (a, b) R2 (a, b) (e1, e2) = (a + e1, b + e2) = (a, b)

4) (a, b) : (a, b) R2, (a´,b´) R2 / (a a´, b b´) = (e1, e2)

5) (a, b); (c, d) : (a, b); (c, d) R2 (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b)

Existe Elemento Neutro para

Existe Elemento Inverso para

Conmutativa para

1 b1 b 1 c1 c

7) a, b) R2 , , R : [ (a, b)] = · [ ( · a, · b)] = ( · · a, · · b) = ( · ) · (a, b)

8) (a, b), (c, d) R2, R : [(a, b) (c, d)] = · [(a + c, b + d)] = [ · (a + c), · (b + d)] = ( · a + · c, · b + · d) = = ( · a, · b) + ( · c, · d) = [ · (a, b)] + [ · (c, d)]

Es distributivo con respecto de en R2

9) (a, b) R2, , R : ( ) (a, b) = [( + ) · a, ( + ) · b] = [( · a + · a), ( · b + · b)] = [( · a, · b) + ( · a, · b)] = [ (a, b)] [ (a, b)]

Es distributivo con respecto de * en K

10) 1 R2 / (a, b) : (a, b) R2 1 (a, b) = (1 · a, 1 · b) = (a, b)

6) (a, b) R2, R (a, b) = ( · a, · b) R2

Se verifican todas las condiciones Es Espacio Es Espacio VectorialVectorial

Ley de cierre para con un escalar

Asociativa para con R2 y R

Existe Elemento Neutro para

1 b) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones y definidas por :

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) , (c, d) R k • (a, b) = (a, a) k R (a, b) R2La operación definida en R2 es la misma que la del ejercicio anterior,

por tanto las primeras cinco condiciones se verifican, estudiaremos las restantes

7) (a, b) R2 , , R : [ (a, b)] = [( a, b)] = (a, a) = (a, a) ( ) (a, b) = [( ) a, ( ) b] = (a, a)

Asociativa para con R2 y R8) (a, b), (c, d) R2, R : [(a, b) (c, d)] = [(a + c, b + d)] = [ (a + c), (b + d)] = (a + c, a + c)

=[ (a, b) (c, d)] = (a, a) + (c, c) = (a + c, a + c) Es distributivo con respecto de * en

R2

6) (a, b) R2, R (a, b) = ( a, b) = (a, a) R2 Ley de cierre para con un

escalar

9) (a, b) R2, , R : ( ) (a, b) = [( + ) a, ( + ) b] = (a, a) ( * ) (a, b) = [ (a, b)] + [ (a, b)] = (a,a) + (a,a) = (a

+ a, a + a )

NO Es distributivo con respecto de * en NO Es distributivo con respecto de * en RR

Pero (a, a) (a + a, a + a)

No se verifica esta condición

NO Es Espacio VectorialNO Es Espacio Vectorial 1 c1 c

1 c) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto escalar - vector definidos por :

(a, b) (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2) (a, b) , (c, d) R2 k • (a, b) = (k · a, k · b) k R (a, b) R2

1) (a, b) , (c, d) R2

)2

,2

(),(*),(dbca

dcba

R2 L.C.I.

2) (a, b), (c, d), (e, f) R2 : [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a, b) * [(c, d) * (e, f)]

),(*)2

,2

(),(*)],(*),[( fedbca

fedcba

)2

2,2

2(f

dbe

ca

)4

2,

42

(fdbeca

)2

,2

(*),(],(*),[(*),(fdec

bafedcba

)2

2,2

2(

fdb

eca

)4

2,

42

(fdbeca

pero

)4

2,

42

(fdbeca )

42

,4

2(

fdbeca

* NO Es Asociativa en * NO Es Asociativa en RR22 NO Es Espacio VectorialNO Es Espacio Vectorial

SubespaciosDado un espacio vectorial (V, *, K, )

y el conjunto no vacío S V S es un sub conjunto del conjunto V

Si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las mismas leyes de composición interna

que en V(S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K, ) ó S es subespacio de V

Escribimos de otra manera :

Si 1) S

2) x S y S x + y S3) R x S x S

Si (S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K,

)(S, *) es un sub grupo

de (V, *)

entonces el elemento neutro pertenece a S

2 a2 a 2 b - c2 b - c

2 d2 d 2 e2 e

2 i2 i2 g - h2 g - h

2 f2 f

2 a) Si A = { (x, y) R2 / x = y } Representamos gráficamente

x y = x y

4 4 = 4 4

2 2 = 2 2

1) A

2) Si

3) Si

)b,a(u baAu

)db,ca()d,c()b,a(vu

pero

dbca Avu

A)b,a(uR

)b,a(u

pero

ba Au

A es sub espacio de A es sub espacio de RR22

cerrada para la suma

cerrada para el producto por un

escalar

Para analizar si A es subespacio, verificamos que se cumplan las tres condiciones suficientes para que un

conjunto sea subespacio.Pero previamente verificamos que el vector nulo pertenezca al conjunto A

Efectivamente (0,0) A

)d,c(v

con dcAv con

)b,a(

2 i2 i2 g - h2 g - h2 f2 f2 e2 e2 d2 d2 b - c2 b - c

2 b) B = { (x, y) / y = 2 } Representamos

gráficamentex y = 2 y

2 2 2

4 2 2

- 6 2 2

Antes de analizar si es subespacio verificamos si el vector nulo pertenece al conjunto BPero (0,0) B B NO es sub espacio de RB NO es sub espacio de R22

2 c) C = { (x, y) / y + x = 3 }

x y = -x + 3

y

2 - 2 + 3 1

6 - 6 + 3 -3

Pero (0,0) C C NO es sub espacio de RC NO es sub espacio de R22

2 i2 i2 g - h2 g - h2 f2 f2 e2 e2 d2 d

2 d) D= { (x, y) / x = y / 2 }

para representar gráficamente, haciendo pasajes de términos, busco la

forma y = f(x)

2y

x xy 2 Ahora puedo confeccionar tabla de valores y representar gráficamentex y =

2xy

2 2 2 4

4 4 2 8

1) D

2) Si ),( bau

abAu 2

3) Si

),(),(),( dbcadcbavu

luego

)(2 cadb Dvu

DbauR ),(

abDu 2 )2,( aau

pero

ab 2

)2,()2,( aaaau

El nulo (0,0) D porque 0 = 2 0

cerrada para la suma

cerrada para el producto por un escalarD es sub espacio de D es sub espacio de

RR22

con),( dcv cdDv 2co

n

),( ba

)22,(),( cacadbca ))(2,( caca

2 i2 i2 g - h2 g - h2 f2 f2 e2 e

¿ podés hacer la interpretación geométrica del producto ?

2 e) E = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3) }

Este conjunto tiene vectores de tres componentes, que se representan

gráficamente en el espacio.

Trazamos un par de ejes ortogonales x-y en el plano

(como si fuera en el piso de una habitacióny a este par de ejes le incorporamos el eje z,

perpendicular al plano determinado por x-y en el origen de coordenadas (0,0)

Al punto (1,0,0) le corresponde x = 1;

y = 0 y z = 0Al punto (0,1,0) le corresponde x =

0 ; y z = 0

Al punto (0,0,1) le corresponde x = 0 ; y = 0;

y z = 1

Al punto (1,2,3) le corresponde x = 1;

y = 2

y z = 3Al punto (1,3,-1) le corresponde x

= 1;y = 3

y z = -1

Al punto (-2,1,4) le corresponde x = -2;

y = 1

y z = 4

Al punto (-3,-2,5) le corresponde x = -3;

y = -2 y z = 5

Al punto (1,-1,1) le corresponde x = 1;

y = -1 y z = 1

Al punto (2,-2,-3) le corresponde x = 2;

y = -2 y z = -3

y = 1;

E NO es sub espacio de RE NO es sub espacio de R22

El vector nulo (0,0,0) E

2 i2 i2 g - h2 g - h2 f2 f

2 f) F = { (x, y, z) / z = 0 }Este conjunto tiene vectores de

tres componentes, que se representan gráficamente en el

espacio.Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 2, 0); (6, -1,

0)al ser siempre la última componente 0 (z = 0)Todos los vectores del conjunto F están en el plano x, y

1) F se verifica2) ),b,a(u 0

),d,c(),b,a(vu 00

cualquier punto del plano x, y F

3) ),b,a(u 0

si = 2 (puede tomar cualquier otro

valor)

),db,ca(),db,ca(vu 000

),b,a(u 0 ),b,a( 0 ),b,a( 0

también el vector nulo (0,0,0) F

F

F

F ES sub espacio de RF ES sub espacio de R22

),d,c(v 0

),b,a(u 022 ),b,a( 0222 ),b,a( 022

2 i2 i2 g - h2 g - h

2 g) { (x, y, z) / y = 1 } Este conjunto tiene vectores de


espacio.Pertenecen al conjunto vectores como: (2, 1, 0); (-1, 1, 0); (6, 1, 0)

pero el vector nulo (0,0,0) F

y cualquier otro vector que verifique y= 1 (no importa cuál sea x ó z)

F NO es sub espacio de RF NO es sub espacio de R33

2 h) { (x, y, z) / x + y = 1 }

representamos la recta x + y = 1

Cualquier par de valores de x e y que verifiquen esa ecuación,

con cualquier valor de z pertenece al conjunto de

vectorespor ejemplo

(1,0,6); (-1,2,3); etc

Pero (0,0,0) H

H NO es sub espacio H NO es sub espacio de Rde R33

2 i2 i

2 i) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Este conjunto tiene vectores de


espacio.Pertenecen al conjunto vectores como: (0, 0, 4); (0, 0, 6); (0, 0, -2)

al ser siempre las dos primeras componentes 0

Todos los vectores del conjunto I están contenidos en el eje z

1) I se verifica

2) )a,,(u 00

)b,,()a,,(vu 0000

3) )a,,(u 00

)ba,,()ba,,(vu 000000

)a,,(u 00 )a,,( 00 )a,,( 00

también el vector nulo (0,0,0) I

I

I ES sub espacio de RI ES sub espacio de R22

),0,0( bv

Combinación LinealUna combinación lineal del conjunto de vectores A = {v1 v2 v3 . . . vn }

Es cualquier vector v = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 . . . n vn

con todos los i K

Por ejemplo: dado el conjunto de vectores

v1= (3,-1); v2 = (-4,6); v3 = (1, 2)El vector v = 1v1 + 2v2 +

3v3 =

Si 1 = 3 2 = -2 3 = -13 (3,-1) + (-2) (-4,6) + (-1)

(1,2) =v = (9,-3) + (8,-12) + (-1,-2) =

(9 + 8 - 1; - 3 – 12 - 2) =

(16; - 17) es combinación lineal de A

A = {v1 v2 v3 } donde

Si hay alguna combinación lineal no trivial de los vectores del conjunto A, cuyo resultado es el vector nulo, decimos que A es linealmente

dependientePara saber si el conjunto A de nuestro ejemplo es L.D. Debemos plantear :

(0, 0) = 1 (3,-1) + 2 (-4,6) + 3 (1,2) =

(31, -11) + (-42, 26) + (31,2) =

= (31 -42 + 3; -1 + 62 + 23)

026

043

321

321

Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

Al sistema de ecuaciones

026

043

321

321

Lo resolvemos por sustitución

(1)

De (1)

123 34

(2)

Reemplazo 3 en (2) y tengo

03426 1221 )( 0686 1221 0147 21

Ponemos 2 en función de 1

147 1

2

21

2

Ponemos 3 en función de 1, reemplazando

21

2

(3)

en (3)

11

3 32

4

11 32 13

Así es posible afirmar que para cualquier 1 0 ; 2 y 3 son también distintos de 0Si 1 = 1 ; 2 = 1/2 y 3 = -1 Con estos escalares es posible

establecer una combinación lineal

v = 1v1 + 2v2 + 3v3 =

),()(),(),(v 2116421

131

),(),(),(v 213213 ),(),( 00231123

El vector nulo es combinación lineal de los vectores del conjunto A

Luego, los vectores de A son Linealmente los vectores de A son Linealmente DependientesDependientes

con 1 0 2 0 y 3 0

),,(w),,(v),,(u 011112112

3 a) Para verificar si el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de

Vamos a averiguar si es posible componer (-1, 2, -1) a partir de la suma de los vectores w;v;u

Previamente multiplicados por escalares

a = 2 b = 3 y c =1

),,(wcvbua 121

),,(),,(),,(),,( 121011111231122

);;(),,(),,(),,( 032132164011336224 ),,( 121

Es combinación Es combinación lineallineal

),,( 121 de wvu

),(v),(u 4240 3 b) Para expresar

como combinación lineal de

),(j),(i 1001

escribimos jiu 21 ),(),(),( 100140 21 ),(),( 21 00

),()0,0( 2121 40 21 jiu 40

jiv 21 ),(),(),( 100142 21 ),(),( 21 00

),(),( 2121 00 42 21 jiv 42

Sistema de Generadores

Si un conjunto de vectores A, de un espacio vectorial (V, *, K, )es tal que cualquier vector del espacio vectorial puede expresarse como

combinación lineal de los vectores del conjunto A

Se dice que A es un Sistema de Generadores de V

En la práctica, dado un conjunto de vectores A = { v1 v2 v3 . . . vn }Se busca escribir cualquier vector de V, como combinación lineal de los

vectores de ABase

Un conjunto de vectores A es Base de un Espacio Vectorial si:

Los vectores de A son linealmente Los vectores de A son linealmente independientesindependientesA es un sistema de Generadores de VA es un sistema de Generadores de V

Recuerde que los vectores son linealmente independientes, si al establecer una combinación lineal, la única forma de obtener el vector

nulo, es que todos los escalares de la combinación lineal sean nulos

4 c4 c

4 d4 d

4 b4 b

4 a4 a

5 a5 a

5 b5 b

4 a) Para saber si A = { (1, 2) ; (-2, 1) } es base de R2,

Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto A

Entonces proponemos un vector cualquiera (x, y) R2

y escribimos :

),(),()y,x( 1221 21 ),(),()y,x( 2211 22

),()y,x( 2121 22

Averiguamos si (1, 2) y (-2, 1) son linealmente dependientes, haciendo1 (1, 2) + 2 (-2, 1) = (0, 0)

(1, 2 1) + (-2 2, 2) = (0, 0)

(1 -2 2 , 2 1 + 2) = (0, 0) entonces:

02

02

21

21

Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que 1 = 2 =0.

Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.

12

21 541 )( A es linealmente

independiente

4 b4 b 4 d4 d4 c4 c

),()y,x( 2121 22

y

x

21

21

2

2

Resolvemos el sistema, aplicando el método de los determinantes donde 1 y 2 son las

incógnitas

12

21 ))(( 2211 541 )(

1

21 y

x )y)(x( 21 yx 2

y

x

2

12 )xy( 21 yx 2

Si dos vectores son iguales, sus componentes son

iguales

Con los valores hallados de

yxyx 22531 planteamos

1

1 52yx

2

2 52 yx Vemos que para cada

vector (x, y), existirán valores de 1 y 2 A es un Sistema de Generadores de

R2

Por ejemplo si v = ( 3, 1 )

52

1

yx

52

2

yx1

5123

1

5132

luego ),()(),( 121211 ),(),( 1221 21 ),(),( 1221 ( 3, 1 )

A es una Base de R2

4 b4 b 4 d4 d4 c4 c

4 b) Para saber si B = { (1, 2) ; (2, 4) } es base de R2,

Averiguamos si (1, 2) y (2, 4) son linealmente dependientes, haciendo

1 (1, 2) + 2 (2, 4) = (0, 0)

(1, 2 1) + (2 2, 4 2) = (0, 0)

(1 + 2 2 , 2 1 + 4 2) = (0, 0)

entonces:

042

02

21

21

Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que 1 = 2 =0.

Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.

42

21 044 )( B es linealmente

dependiente

B NO es Base

4 d4 d4 c4 c

4 c) Para saber si C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } es base de R2,

verificamos si (1, 3) ; (1/2, -4) y (17/5, 8) son linealmente dependientes,

1 (1, 3) + 2 (1/2, -4) + 3 (17/5, 8) = (0, 0)

),(),(),(),( 008517

421

3 332211

),(),( 00843517

21

321321

0843

0517

21

321

321

Tenemos así un sistema homogéneo de dos ecuaciones con tres

incógnitas

De (2)3

84 321

Reemplazando en

(1)

0517

21

38

34

3232 01511

611

32 32 156

De manera que:

si 3 = 15 ; 2 = - 6 483

158641

)(

),(),)((),)(( 8517

15421

63148 ),(),(),( 1205124314448

),(),( 001202414451348 Los vectores de C son L.D.

C NO es una Base de R2

)2(

)1(

0

0

0

3

2

1

4 d4 d

4 d) Para saber si D = { (0, 0) ; (2, 1) } es una Base de R2

Planteamos la siguiente expresión para averiguar si los vectores de A son linealmente

dependientes

)0,0()1,2()0,0( ba entonces

)0,0()1,2()0,0( bbaa )0,0(),2()0,0( bb

para 00 ba Los vectores del conjunto A Los vectores del conjunto A son linealmente dependientesson linealmente dependientes

cualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo, es linealmente dependiente

A NO es una Base de RA NO es una Base de R22

Coordenadas de un vector

Si 21;vvA es una base de R2

Cada vector de R2 puede expresarse como una combinación lineal de A

ya que los vectores de A son linealmente independientes y sistema de generadores

Precisamente por ser A una base de R2

Entonces: si v R2 existen y son únicos los escalares a y b R

Tal que: v = a · v1 + b · v2 Donde a y b se llaman

coordenadas del vector v respecto de la base A

DIMENSION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL

Es el cardinal (número de vectores) de cualquiera de sus bases

Por ejemplo B = { (x,y) / x = y }

B es subespacio de R2

Son bases de B { (1, 1) } ;{ (2, 2) }

La Dimensión de B es 1 (nº de vectores en cada base de

B)

5 a5 a 6 a6 a

5) Dados los vectores ),(v);(u 13221 de R2 :

5 a) Verificar que el conjunto

es una base de R2}v;u{A

verificamos si (1/2 , 2) y (3, 1) son linealmente dependientes,

1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (0, 0)

),(),(),( 00322 221

1

),(),( 00232 212

1

02

0321

21

21

Tenemos así un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos

incógnitas

De (2) 12 2 Reemplazando en (1)

02321

11 )( 0621

11

0211

1 01 Reemplazando en (2)

022 02

Los vectores son Linealmente Independientes

Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto V

y escribimos :

),(),()y,x( 2211 3221

),( 2121 2321

1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (x, y)

)2(

)1(

Base

Coordenadas

5 b5 b

y

x

21

21

2

321

Resolvemos el sistema, aplicando el método de los determinantes donde 1 y 2 son las

incógnitas

12

321

)( 32121

211

621

)( 1

31 y

x )yx( 31 yx 3

y

x

2

21

1 )xy( 221

yx21

2

Si dos vectores son iguales, sus componentes son

iguales

Con los valores hallados de

yxyx21

23211

21 planteamos

1

1

2113yx

2

2

211

21

2 yx

Podemos ver que para cada vector (x, y), existirán valores

de 1 y 2

V es un Sistema de

Generadores de R2

),()y,x( 2121 2321

113

112

1132 yx)yx)((

2112

4 yx

yx21

114

V es una Base de R2

Base

Coordenadas

5 b5 b

5 b) Para hallar las coordenadas del vector ),(w 64

En la base A = { u; v } donde u = ( ½ ; 2 ) ; v = ( 3, 1 )

Planteamos la siguiente expresión:

vbuaw que resulta

)1,3()2,21()6,4( ba )2,32(),3()2,2()6,4( bababbaa

A partir de esta expresión por la igualdad de los pares ordenados, planteamos un sistema de dos ecuuaciones con dos incógnitas

)2,32()6,4( baba

62

432

ba

ba

)2(

)1(

De (1)

ba

342

)34(2 ba ba 68

Reemplazo a en (2) 6)68(2 bb 61216 bb

61116 b 16611 b 2211 b 2b

Si b = -2

128)2(68 a

4a

Coordenadas

6) a) dimensión de { (x, y) / x = y }

Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2a) donde

( x, y ) S ( x, y ) = ( y, y )

Si y = 1( 1, 1 ) S

Con { (1, 1) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en la recta x = y con multiplicar el vector por un escalar

estableciendo una combinación lineal

),()y,x(v 11 { (1,1) } es una base de { (x, y) / x = y }

Dim (1)Dim (1)Cantidad de vectores de

cualquier base del subespacio

{ (2,2) } también es base de { (x, y) / x = y }

Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede genera cualquier

vector que esté contenido en la recta y = x

6 b6 b 6 d6 d6 c6 c

6) b) dimensión de { (x, y) / x = y / 2 }

Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2d) donde:

( x, y ) S ( x, y ) = ( x, 2x )

Si x = 1( 1, 2 ) S

Con { (1, 2) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en la recta x

= y /2 con multiplicar el vector por un escalar

estableciendo una combinación lineal

),()y,x(v 21 { (1, 2) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }

Dim (1)Dim (1)Cantidad de vectores de

cualquier base del subespacio

{ (3, 6) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }

Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base que vos propongas) se puede generar cualquier

vector que esté contenido en la recta y = 2 x

6 d6 d6 c6 c

Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2f)

( x, y, z ) S ( x, y, z ) = ( x, y, 0 )

Si x = 1 y = 4 ( 1, 4, 0 ) S Con { (1, 4, 0) } NO puedo generar

cualquier otro vector que esté contenido en el plano x,y

estableciendo una combinación lineal ),,(),,(),y,x(v 0360410

{ (1, 4, 0); (6, 3, 0) } es una base de { (x, y, z) / z = 0 }

Dim (2)Dim (2)

Cantidad de vectores de cualquier base del

subespacio { (3, 6, 0); (-1, 2, 0) } también es es una base de { (x, y) / x = y / 2 }

6) c) La dimensión de { (x, y, z) / z = 0 }

Necesito otro vector, por ejemplo

Si x = 6 y = 3 ( 6, 3, 0 ) S Con { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido en el

plano x,y


vector que esté contenido en el plano (x, y, 0)6 d6 d

Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una recta (ver ejercicio 2i)

( x, y, z ) S ( x, y, z ) = ( 0, 0, z )

Si z = 1 ( 0, 0, 1 ) S

Con { (0, 0, 1) } puedo generar cualquier otro vector que esté contenido sobre el eje

zestableciendo una combinación lineal

),,()z,,(v 10000

{ (0, 0, 1) } es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }

Dim (1)Dim (1)

{ (0, 0, 3) } también es es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }

6) d) La dimensión de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }

Cantidad de vectores de cualquier base del subespacio


vector que esté contenido en la recta (0, 0, z)

MATRICES

informalmente una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas

mnmnmjmm

nmnmjmmm

ininijii

nnj

nnj

aa....a....aa

aa....a....aa

............................

aa....a....aa

............................

aa....a....aa

aa....a.....aa

A

121

11111211

121

21222221

11111211 Esta matriz tiene m filas y n columnas

El número de filas no tiene por qué ser

igual al número de columnas, pero si

esto sucede, la matriz es cuadrada

Una matriz conformada con los mismos elementos que los de la matriz A, pero dispuestos de manera diferente, es una

matriz distinta de A

operaciones con matrices ver en los ejercicios

resueltos

7 a) De la consigna extraemos los siguientes datos en forma ordenada

Mes: Julio Mes: Agosto

R A G V R A G V

estándar

10 5 7 9 0 20 10 5

de lujo 6 7 5 12 10 5 7 12

De manera que es posible componer dos matrices, una para cada mes

12276

97510J

127510

510200A

La clase de una matriz está dada por la cantidad

de filas y de columnas

7 b) J es de clase 2 por 3, y se escribe J(2x3) A es de la misma clase, A(2x3)

7 c) Para saber cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses sumamos el correspondiente al mes de Julio y el

correspondiente al mes de Agostoesto es 10 +

0 = 10

7 f g7 f g7 d e7 d e

7 d) Para saber cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses

Sumamos las matrices que representan cada uno de los meses

127510

510200

12276

97510AJ

se efectúa sumando ordenadamente los elementos de cada fila y columna entre sí

12127257106

59107205010

2491216

14172510AJ

7 e) Si la sucursal vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. al resultado de la suma de ambos meses, lo multiplicamos por 2

(duplicamos)

2491216

1417251022 )AJ(

que se resuelve multiplicando por 2 cada elemento de la matriz (J + A )

24292122162

142172252102

48182432

283450202 )AJ(

7 f g7 f g

7 f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto ?

7 g) si la venta en la sucursal hubiese sido el triple que en la casa central

Sumamos a lo vendido en casa central

lo vendido en la sucursal

2491216

14172510AJ

48182432

283450202 )AJ(

48182432

28345020

2491216

141725102 )AJ(AJT

482418924123216

2814341750252010T

72273648

42517530

2491216

1417251033 )AJ(

24393123163

143173253103

72273648

425175303 )AJ(

8) a) Escribir una matriz F C3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ; fij = i si i j

Si la matriz F es de clase 3 x 3 F(3x3) tiene tres filas y tres columnas

Podemos escribir la matriz F de la siguiente manera:

333231

322221

131211

fff

fff

fff

F

Donde los subíndices de cada elemento, significan el orden

de filas y columnas que le corresponde, según su

ubicaciónijf Es el elemento ubicado en la fila i

columna j32f Es el elemento ubicado en la fila 3

columna 2

Si fij = 0 cuando i = j

f11 = 0 ; f22 = 0; f33 = 0

y cuando i j fij = i entonces :f12 = 1 ; f13 = 1; f21 = 2 ; f23 = 2 ; f31 = 3 ; f32 = 3

033

202

110

F

entonces

8 b8 b

8 b) La matriz G C3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ; gij = i - j si i j

La matriz G es de clase 3 x 2 G(3x2)

tiene tres filas y dos columnas

Podemos escribir la matriz G de la siguiente manera:

3231

2221

1211

gg

gg

gg

GDonde los subíndices de cada elemento, significan el orden

de filas y columnas que le corresponde, según su

ubicaciónijg Es el elemento ubicado en la fila i columna j

En g11 i = j luego g11 = 1 – 1 = 0En g12 i < j luego g12 = 1 – 2 = -1En g21 i > j luego g21 = 22 + 1 = 5

En g22 i = j luego g22 = 2 – 2 = 0En g31 i > j luego g31 = 23 + 1 = 7En g32 i > j luego g32 = 23 + 2 = 8

entonces :

87

05

10

G

9 i) A + B

817

203

654

321BA

861574

230231

1463

524BA

9 ii) 3 A

9 iii) 2A - 3B =

654

32133 A

635343

332313 )(

181512

963

817

2033

654

3212

24321

609

12108

642

2412310218

66049232 BA

12729

047

10 a) Para escribir la opuesta de una matriz, cambiamos los signos de la matriz cuya opuesta buscamos

0813

272/13

0010

3121

A

011

212

341

D

Si

0813

27213

0010

3121

/A

011

212

341

D

10 b) B x A Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar

B(3x4) x A(4x3) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera

matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz

el resultado será una matriz M( 3 x 3 )

que tendrá igual cantidad de filas que la primera matriz

e igual cantidad de columnas que la segunda matriz

3151

4910

6251

0813

27213

0010

3121

/

Trazamos dos rectas perpendiculares entre sí

En el cuadrante inferior izquierdo colocamos la matriz B

En el cuadrante superior derecho colocamos la matriz AY efectuamos la sumatoria del producto de los elementos de cada fila de la primera matrizPor los elementos de cada columna de la segunda matriz

1 1 + 5 0 + 2 3 + (-6) 3 =

-11

-11

1 2 + 5 1 + 2 ½ + (-6) (-1) =

14

14

1 (-1) + 5 0 + 2 7 + (-6) 8 =

-35

-35

1 3 + 5 0 + 2 2 + (-6) 0 =

7

7

0 1 + 1 0 + (-9) 3 + 4 3 =

-15

-15

0 2 + 1 1 + (-9) ½ + 4 (-1) =

-15/2

-15/2

0 (-1) + 1 0 + (-9) 7 + 4 8 =

-31

-31

0 3 + 1 0 + (-9) 2 + 4 0 =

-18

-18

(-1) 1 + 5 0 + (-1) 3 + 3 3 =

5

5

(-1) 1 + 5 1 + (-1) ½ + 3 (-1) =

1/2

(-1) (-1) + 5 0 + (-1) 7 + 3 8 =

18

(-1) 3 + 5 0 + (-1) 2 + 3 0 =

- 5

1/2 18 -5

B x A

El resultado obtenido será:

518215

183121515

7351411

BxA

D x A Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar

D(3x3) x A(4x4) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera


0813

272/13

0010

3121

A

011

212

341

D

En este caso esto no es así :

Las columnas de D son 3 y las filas de A

son 4

No es posible realizar D x No es posible realizar D x AA

D x B Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar

D(3x3) x B(3x4) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera


el resultado será una matriz

( 3 x4 )M

011

212

341

3151

4910

6251

D x B1 1 + (-4) 0 + 3 (-1) = - 2 1 5 + (-4) 1 + 3 5 = 16

1 2 + (-4) (-9) + 3 (-1) = 35 1 (-6) + (-4) 4 + 3 3 = -13

-2 16 35 -13 (-2) 1 + 1 0 + 2 (-1) = -4

(-2) 5 + 1 1 + 2 5 = 1

(-2) 2 + 1 (-9) + 2 (-1) = -15 (-2) (-6) + 1 4 + 2 3 = 22

(-1) 1 + 1 0 + 0 (-1) = -1 (-1) 5 + 1 1 + 0 5 = -4 (-1) 2 + 1 (-9) + 0 (-1) = -11 (-1) (-6) + 1 4 + 0 3 = 10

-4 1 -15 22

-1 -4 -11 10

101141

221514

1335162

DxB

Rango de una Matriz

El Rango de una matriz es su rango fila ó su rango columna (que siempre coinciden)

Rango fila ó rango columna de una matriz es el máximo número de vectores filas ó vectores columnas linealmente independientes de la matriz

Para conocer el rango de una matriz, podemos analizar cada fila (o columna) como vectores y determinar si son o no linealmente

independientesOtra manera de hacerlo es efectuando una serie de operaciones elementales

sobre la matriz, y al cabo de un número determinado de operaciones elementales, habremos encontrado el rango de la matriz, ya que habremos

obtenido otra matriz del mismo rango

Operaciones elementales sobre una matriz:

1. Permutación de dos filas entre sí, o de dos columnas entre sí

2. Adición de una fila a otra ó de una columna a otra.3. Multiplicación de una fila ó de una columna por un escalar no nulo.

Método de Gauss Jordan para determinar el rango de una

matrizEste método es una manera “mecánica” de operar en forma

ordenada pasos repetitivos de operaciones elementales; y al cabo de un número finito de pasos, se obtiene el máximo número posible de

vectores canónicos linealmente independientes, que es precisamente el rango de la matriz

................

.......fed

.......cba

Sea A una matriz no nula de la que se indicaron solo algunos elementos

Elegimos cualquier elemento distinto de 0 al que llamaremos pivoteEn nuestro caso el pivote será a11 = aReducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote

.............

.......fe

.......cb

0

0

1

0

1 ..........ac

ab

abde a

cdf

..................

.......

Luego a cada elemento se le resta el producto de la

contradiagonal que forman el pivote con el elemento

que transformamosdividido por el pivote

Luego se reitera el procedimiento eligiendo pivotes que no estén en la misma fila ni en la misma columna que los pivotes ya elegidos en pasos anteriores

y los restantes elementos de la fila que quedan se dividen por el pivote

Por ejemplo: Hallar el rango de la matriz

987

654

321

A

Tomamos como pivote el elemento de la 1º fila y 1ºcolumna

Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote y los restantes elementos de la fila se dividen por el pivote (1) y quedan como están

0

0

321 Luego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido por el pivote

Se transforma en 3124

5


6

6


8

6


9

12

3

Luego se repite el procedimiento, ahora tomo –3 como pivote

00

210

01

al dividir –6 por el pivote (-3) se hace

2Se transforma en 1

326

3

1

Se transforma en 03

6612

)()(

0

La matriz hallada

000

210

101

No se puede seguir transformando por Gauss-Jordan porque el próximo pivote debe ser de la 3º columna 3º fila y este elemento

es 0Pero 0 no puede ser pivote

En este caso, el rango de la matriz A es 2el rango de la matriz A es 2 porque son dos las filas linealmente independientes de la matriz

porque los elementos de la terceras fila después de todas las transformaciones posibles, son todos nulos (0); significa que esa fila es combinación lineal de las

otras dosGauss-Jordan no es el único método para efectuar operaciones elementales

en una matriz, pero lo adoptamos porque es el método que nos provee:

Un algoritmo eficiente (en un número determinado de pasos entrega la solución)

Aunque para ello debes estar muy entrenado en el cálculo de operaciones con fracciones . . .

11 a) Para calcular el rango de

1212

0111

2242

A

Tomamos el pivote –2 de la 1º fila 1º

columna

1121

Dividimos la fila por el pivote

y hacemos 0 los elementos restantes de la columna del

pivote0

0

Y completamos los restantes elementos de la 2º fila

3241

1

3

0221

1

0

12

210

)()(

1

trabajamos ahora con los elementos de la 3º fila

3242

1

0

222

2

1

222

1

)()(

3 0 1

Tomamos el pivote –3 de la 2º fila 2º columna

Dividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos de la columna del pivote

00

31010

011

302

1

31

312

1

0303

0

completamos los restantes elementos de la

1º fila

1 31

y completamos los restantes elementos de la 3º fila0

0313

1

0

11 b11 b

0000

31010

31101

El próximo pivote debe estar en la 3º fila, en las columnas 3º ó 4º

Pero ambos elementos son 0 y el pivote debe ser distinto de 0

En consecuencia las operaciones elementales se terminaron en esta matriz

La matriz de tres filas quedó con una fila de elementos nulos

El Rango de la matriz será la cantidad de filas con al menos un elemento distinto de 0

Existen otros métodos para

realizar operaciones

elementales en una matriz

pero nosotros explicamos Gauss-Jordan porque es un método algorítmico, y como tal puede

programarse.

NOTA. El pivote que se elige puede ser cualquier elemento, con tal que no sea de una fila y/o columna repetida. No tiene porqué seguir un orden, y si estás

trabajando sin calculadora te conviene que los pivotes sean los 1

11 b11 b

11 b) Calculamos el rango de B

1321

3111

1212

1311

B

tomamos el pivote 1 de la 1º fila 1º columna



pivote

0

0

0

1311

y completamos los restantes elementos de la 2º fila

1112

1

1

41

322

)(

4

31

121

)(

3

completamos los restantes elementos de la 3º fila

0111

1

41

311

)( 41

113

)(

4 4los restantes elementos de la 4º fila son

1111

2

01

313

)( 21

111

)(

0

1 0 2

Tomamos como pivote el 1 de la 4º fila 2º columna

2010

4400

3410

1311



pivote

y completamos los restantes

elementos de la 1º fila

2010

0

0

1

3101

3

3

3121

1

3


41

014

51

213

4 5


4100

4

4120

4

4 4

10

00

45100

01Tomamos como pivote el 4 en la 2º fila 3º columna

0

0

0



pivote0

0

0

43

453

3

)(

43

1454

4

1

2450

2

2completamos

En la matriz resultante

2010

1000

45100

43001

También puede transformarse en canónica si:

a la primera fila le sumamos la tercera fila multiplicada por -3/4

a la tercera fila le multiplicamos por -1

1000

0001

a la segunda fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 5/4

0100

a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 2

0010

Y la matriz queda con cuatro filas linealmente independientes, por tanto

El Rango de la matriz B es 4El Rango de la matriz B es 4

El único elemento que puede ser pivote está en la 3º fila 4º columna

0010

1000

0100

0001

Determinantes

Determinante es una función f: Kn x n K

Dada una matriz A de clase n x n, se llama MENOR del elemento aij al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene de A, suprimiendo la fila i y la columna j

que se escribe det A ó A

nnnjnn

inijii

nj

nj

a...a...aa

..................

a...a...aa

..................

a...a...aa

a...a...aa

A

21

21

222221

111211

nnnn

n

n

ij

a...aa

............

a...aa

a...aa

M

21

22221

11211

Determinante es una función definida en el conjunto de las matrices cuadradas que tiene imagen en conjunto de números reales (si los elementos de la matriz

son complejos, la imagen puede ser un complejo).

Una definición de determinante por recurrencia requiere:

i) Definir el determinante de orden 1

ii) Definir el determinante de orden k+1 suponiendo conocido el determinante de orden k

A = ( a11 ) A= a11

1112111

121

1222221

1111211

k,kk,k,k,k

k,kkkkk

k,k

k,k

aa.....aa

aa.....aa

.........................

aa.....aa

aa.....aa

A

entonces:

1

111

11k

ik,ik,i

)k(i Ma)(A

Por ejemplo:

2

122

2

2221

12111

iii

i Ma)(aa

aaA

1221221111224

21123 11 aaaaaa)(aa)(

2

122

2123

41

iii

i Ma)(A

121341 43 )()()(

104321 )(

En determinantes de 3X3

3

133

3

333231

232221

131211

1i

iii Ma)(

aaa

aaa

aaa

A

2221

1211

336

3231

1211

235

3231

2221

134 111

aa

aaa)(

aa

aaa)(

aa

aaa)(

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

232221

131211

aaa

aaa

+

-

)aaaa(a)aaaa(a)aaaa(a 122122113312313211232231322113

)aaaaaaaaaaaaaaaaaa 122133221133123123321123223113322113

)aaaaaaaaaaaaaaaaaa 122133321123223113221133123123322113 ordenando resulta

331221233211132231231231133221332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa lo que verifica la regla de Sarrus

Una vez escrito el determinante que queremos calcular, transcribimos las dos primeras filas como se indica

Luego se suman (y restan) el producto de las diagonales ( y de las contradiagonales) según corresponda

Las reglas antes vistas sirven solamente para determinantes de 2 x 2 y de 3 x 3

Si el determinante es de orden 4 (o mayor), ya no contamos con reglas para calcularlo, pero podemos hacerlo mediante el método

del desarrollo por los elementos de una línea

4

144

4

44434241

34333231

24232221

14131211

1i

iii Ma)(

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Adonde

tendremos que calcular 4

determinantes de orden 3

Si el determinante fuera de orden superior, siempre es posible reducir a uno de orden “inferior en 1” y así sucesivamente,

hasta encontrar el de 3 x 3 y aplicar la regla de Sarrus

12 a) El determinante

11

13)(

AAD

214

131

342

B)B(D

Se resuelve restándole al producto de la diagonal

13A)A(D

el producto de la contradiagonal

)( 11 413

Para resolver B de orden 3 se aplica la regla de SarrusTranscribo las dos primeras filas al final del determinante

131

342

Efectuamos la suma de los productos de las diagonales

144311232 )(B

A esto le restamos los productos de las contradiagonales

241112334 )(

5823616312

El determinante

1243

0112

0110

4211

C

No se puede resolver con ninguna regla

particular por ser de orden 4

Aplicamos el desarrollo por los elementos de una línea

Vamos a desarrollarlo por los

elementos de la segunda fila

1243

0112

0110

4211

C

124

011

421

01 12)(

123

012

421

11 22)(

143

012

411

11 32)(

243

112

211

01 42

)(

48047111110 )()(C

Todo esto hecho con entusiasmo puede parecerse a . . .

Un juego de niños

Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr. Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr.

Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es primitiva e infantil . . . y sin embargo es lo mas primitiva e infantil . . . y sin embargo es lo mas preciado que tenemos. preciado que tenemos.

El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la ciencia logra abrir. que la ciencia logra abrir.

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