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18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora1UPAODEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIASDocente: Segundo Lizardo Gallardo Zamora Trujillo-2015

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFSICA AVANZADACINEMTICA - 1

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora2CINEMTICA-1 DESCRIPCIN VECTORIAL DEL MOVIMIENTO El movimiento de una partcula sobre una determinada trayectoria, con respecto de un sistema de referencia, se define mediante los vectores posicin, velocidad y aceleracin instantneos.Posicin. Si un mvil se mueve entre los puntos A y B sobre curva general C ubicada en el sistema de referencia (X,Y,Z), podemos definir su posicin instantnea en cada punto mediante un vector posicin que es funcin del tiempo. Esto significa que: CEl vector posicin del punto A en el instante t1 es(1)ABXYZFigura 1El vector posicin del punto B en el instante t2 es(2)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora3CINEMTICA-1 El vector desplazamiento o cambio de posicin del mvil entre A y B es el vector(4)El extremo final de este vector describe, en el tiempo t = t2 - t1, una lnea entre los puntos A y B de la curva a la cual se denomina trayectoria.Usando las Ecs.(1) y (2) en (3) obtenemos:(3)(5)Por lo tanto:

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora4CINEMTICA-1 Velocidad media o promedio.CABXYZFigura 2(6)Usando la Ec.(5) en la Ec.(6) tenemos(7)x ty tz tdonde: = Vmx, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje X. x t

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora5 Velocidad instantnea. Es el vector velocidad en un instante o punto determinado de la trayectoria del mvil. La velocidad instantnea en un punto de la trayectoria, tal como A, se determina haciendo el intervalo de tiempo t tan pequeo como sea posible, de modo que el punto B se aproxime cada vez ms al punto A, tal como lo indican los puntos B, B, de la Fig.3. ABFigura 3TangenteSecanteBBLas unidades de la velocidad son: m/s, cm/s, pie/s, Km/h , Mill/h.= Vmy, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje Y. y t= Vmz, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje Z. z tPor lo tanto(8)CINEMTICA-1

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora6 En el lenguaje matemtico este proceso equivale a calcular el valor lmite de la velocidad promedio cuando t tiende a cero. (10)(9)t 0t 0Este lmite, por definicin, es la derivada del desplazamiento respecto al tiempoEsta expresin indica que la velocidad instantnea es un vector que tiene la misma direccin que el cambio instantneo de posicin y como la posicin cambia en la direccin en la cual la secante se aproxima a la tangente en un punto, entonces, la velocidad instantnea siempre ser tangente a la curva en cada punto.CINEMTICA-1

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora7CINEMTICA-1 Usando la Ec. (7) en la Ec.(9) tenemos:(11)x ty tz tt 0t 0t 0Como los vectores unitarios son constantes, cada sumando, por definicin, es una derivada.Donde:(12)dxd tdyd tdzd tdxd tdyd tdzd tPor lo tanto:(13)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora8CINEMTICA-1 V = Vx2 + Vy2 + Vz2(14)De mdulo:El vector velocidad instantnea de la Ec. 13 se muestra en el grfico de la Fig. 4 en el punto A de la curva, con sus respectivas componentes en el sistema (X,Y,Z). Figura 4AXYZEn el movimiento curvilneo la velo- cidad, en general, cambia tanto en direccin como en magnitud. El cambio de direccin se debe al hecho de que la velocidad instantnea es tangente a la tra-yectoria en cada punto. El cambio de magnitud de la velocidad instantnea es porque su valor aumenta o disminuye. Estos cambios de velocidad relacionados con el tiempo determinan dos tipos de aceleraciones en el mvil, que veremos ms adelante.A

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora9CINEMTICA-1(15)Figura 5A(t1)XYZB(t2)Entonces el cambio de veloci-dad del mvil es el vectorFigura 6(16)que grficamente est defini- do en el tringulo de la Fig. 6.9

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora10CINEMTICA-1 Ahora usando la Ec. 13 definimos las velocidades en cada punto y luego los restamosdonde: (V2x V1x ) = Vx , es la componente del cambio de velocidad media en direccin del eje X. (V2y V1y) = Vy , es la componente del cambio de velocidad media en direccin del eje Y. (V2z V1z ) = Vza, es la componente del cambio de velocidad media en direccin del eje Z.Por lo tanto:(18)(17)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora11CINEMTICA-1 Reemplazando la Ec. 18 en la Ec.15, tendremos el vector aceleracin media en funcin de sus componentes (19)Cada sumando de esta expresin es la componente de la acelera-cin media sobre cada uno de los ejes (X,Y,Z). Por lo tanto:(20)Aceleracin Instantnea. Es el vector aceleracin en un instante o punto determinado de la trayectoria del mvil.Este lmite es la derivada de la velocidad respecto al tiempo Matemticamente esta aceleracin se define como: t 0t 0(21)(22)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora12CINEMTICA-1 Segn esta expresin el vector aceleracin instantnea es un vector en direccin del cambio instantneo en la velocidad. Como la velo-cidad cambia en la direccin en la cual la trayectoria se curva, la ace-leracin instantnea estar siempre apuntando hacia la concavidad de la curva.Usando la Ec. (19) en la Ec.(21) tenemos:Vx tt 0Vx tt 0Vx tt 0En esta expresin, el lmite de cada sumando es una derivada, ya que los vectores unitarios son constantes.dVxd tdVyd tdVzd t(23)dVxd tDonde:dVyd t

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora13CINEMTICA-1 Por lo tanto:(24)En la Fig. 7 se muestra el vector aceleracin instantnea en el punto A de la curva y sus respectivas componentes en el sistema (X,Y,Z). Figura 7XYZAT(25)Segn la Fig.7, el mdulo de la aceleracin es:Ahora, si en la definicin de la acele-racin instantnea (Ec.22) usamos la definicin de la velocidad instant-nea (Ec.10) se tienedd tdVzd tA

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora14CINEMTICA-1 Segn la matemtica esto es la segunda derivada de la posi-cin respecto al tiempo dos veces.Obtenemos:d2xd t2(26)d2yd t2d2zd t2Esta expresin define cada una de las componentes de la acelera-cin instantnea como la segunda derivada de las componentes de la posicin, en cada eje, con respecto al tiempo dos veces.d2xd t2d2yd t2d2zd t2

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora15CINEMTICA-1P1 P2 P3P4 P5Figura 8Componentes tangencial y normal de la aceleracin.Para simplificar el anlisis consideremos el movimiento de una partcula a lo largo de la curva plana C en el sistema (X,Y). Los resultados que obtengamos de este anlisis son vlidos para el movimiento a lo largo de cualquier curva.

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora16CINEMTICA-1 Si por el punto A de la curva trazamos un eje perpendicular a la tan-gente formamos un sistema local de coordenadas : Tangencial-Normal (N,T) que acompaa al mvil en su recorrido por la curva. ATCFigura 9N

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora17CINEMTICA-1ATCFigura 10NXYEsto permite expresar la aceleracin en la forma(27)(28)d V d t(29)Usando el vector unitario tangente pode-mos expresar la velocidad tangencial en la formaEsta ecuacin se define mejor si consideremos que la porcin de curva, en el punto A, es parte de una gran circunferencia cuyo centro se encuentra ubicado en un punto muy lejano.

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora18CINEMTICA-1La gran circunferencia de la Fig. 11 tiene su centro de curvatura (C.C) en un punto muy lejano con un radio de curvatura . XYATCFigura 11C.CBajo estas consideraciones se demuestra que:V (30)Introduciendo este resultado en la Ec. (29) se tiene:d V d t(31)V2 Ver pag.104,105, Fsica, Vol.I, Mecnica, Alonso- Finn.

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora19CINEMTICA-1 Donde:d V d t= aT , es el mdulo de la aceleracin tangencial, asociada con el cambio de magnitud de la velocidad tangencial.= aN , es el mdulo de la aceleracin normal, asociada con el cambio de direccin de la velocidad tangencialV2 Por lo tanto, la magnitud de la aceleracin instantnea del mvil en el punto A esa = aT2 + aN2 = (dV/dt)2 + (V2/ )2 (32)Las ecuaciones obtenidas en este anlisis del movimiento curvilneo son vlidas tanto para movimientos en un plano como para movimientos en el espacio y su aplicacin se adapta al tipo de trayectoria y velocidad que tenga el mvil. Veamos las siguientes aplicaciones.

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora20CINEMTICA-1 APLICACIONES.1.1.- Movimiento Rectilneo UnidimensionalEs el movimiento sobre una lnea recta, como por ejemplo el eje horizontal unidimensional OX de la Fig.12. t1 t2El vector posicin del punto A en el instante t1 es(33)El vector posicin del punto B en el instante t2 es(34)El vector desplazamiento o cambio de posicin del mvil es(35)Consideremos el movimiento de una partcula desde el punto A que est en el instante t1 hasta el punto B en el instante t2.Figura 12ABO+X

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora21CINEMTICA-1 Si usamos las Ecs.(33) y (34) en la Ec.(35) se tiene que el desplaza-miento sobre el eje X est definido por el vector(36)Velocidad media o promedio.La velocidad media entre los puntos A y B de la Fig. 12 est definida por(37)x2 x1 t2 t1 x tVelocidad instantnea.La velocidad instantnea en el punto A de la recta est definida como el lmite de la velocidad promedio cuando el tiempo tiende a cero x tt 0t 0Este lmite es la derivada de x respecto al tiempo :d xd t(38)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora22CINEMTICA-1 Como en el movimiento rectilneo, la velocidad instantnea es para-lela al desplazamiento, se puede omitir el vector unitario y entonces el mdulo de la velocidad instantnea esV =d xd t(39)Podemos integrarla para obtener el desplazamiento del mvil entre la posicin inicial x1 en el instante t1 y la posicin final x2 en el instante t2.Si la velocidad es constante, se tiene un movimiento rectilneo uniforme, cuyo desplazamiento esta dado por(41)x2 x1 = V (t2 t1)(42)Que escribindola en su forma diferencial: d x = V dt(40)Las unidades de la velocidad son: m/s, cm/s, pie/s, km/h, mill/h

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora23CINEMTICA-1 Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t. Por lo tanto, la Ec. (42) se puede escribir comoSi la velocidad NO es constante, se tiene un movimiento rectilneo variado, cuyo desplazamiento esta dado porPara ejecutar esta integral debemos conocer la velocidad en funcin del tiempo: V = f(t). En general la velocidad de un mvil es funcin del tiempo. x2 x1 = V t(43)x2 - x1 = (45)Si la posicin inicial del mvil est en el origen de coordenadas entonces x1 = 0 y el desplazamiento ser simplemente x = V t(44)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora24CINEMTICA-1 La aceleracin media o promedio entre los puntos A y B de la recta est definida como el vector(46)V2 V1 t2 t1V tAceleracin mediat1 t2Figura 13ABO+XRelacionando el cambio de velocidad del mvil con el tiempo transcurrido en pasar del punto A al punto B podemos definir las siguientes cantidades:Aceleracin instantneaLa aceleracin instantnea en un punto, tal como A est, definida como el lmite de la aceleracin media cuando el tiempo tiende a cero

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora25CINEMTICA-1 V tt 0t 0Este lmite es la derivada de la velocidad respecto al tiempo :d Vd t(47)Como en el movimiento rectilneo, la aceleracin instantnea es pa-ralela al desplazamiento y se puede omitir el vector unitario de forma tal que, el mdulo de la aceleracin esa =d Vd t(48)(50)podemos integrarla para obtener el cambio de velocidad del mvil entre V1 en el instante t1 y V2 en el instante t2Escribindola en forma diferencial: d V = a dt(49)Las unidades de la aceleracin son: m/s2, cm/s2, pie/s2.

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora26CINEMTICA-1 Si la aceleracin es constante, se tiene un movimiento rectilneo uniformemente variado y la integracin nos da un cambio de velocidadSi la aceleracin NO es constante, se tiene un movimiento rectilneo variado, cuya velocidad final esta dada porV2 V1 = a (t2 t1)(51)V2 = V1 + (55)Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t. Por lo tanto, la Ec. (52) se puede escribir comoV2 = V1 + a t(53)Si el mvil parte del reposo entonces V1 = 0 y la velocidad final ser simplemente V2 = a t(54)De donde la velocidad final esV2 = V1 + a (t2 t1)(52)Para ejecutar esta integral debemos conocer la aceleracin en funcin del tiempo: a = f(t).

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora27CINEMTICA-1 Como la Ec.(53) nos da la V(t), podemos usarla ahora en la Ec.(45) a fin de ejecutar la integralSi el mvil parte del reposo V1 = 0, entoncesx2 x1 = x2 x1 = V1 t + a t2 (57)x2 - x1 = a t2 (58)x2 - x1 = a t2 (59)Si la posicin inicial est en el origen de coordenadas x1 = 0 se tienex2 x1 = V1 (t2 t1) + a (t2 t1)2 (56)Si t1 = 0, entonces el nico tiempo es t2 = t. Por lo tanto

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora28CINEMTICA-1 En la Ec.(26) hemos demostrado que la aceleracin se relaciona con la posicin a travs de una segunda derivada. Por lo tanto, para un movimiento rectilneo sobre el eje X, la componente X de la acelera-cin se puede expresar comod2xd t2(60)De mdulo:d2xd t2a =(61)Otra forma de relacionar la posicin y la velocidad se obtiene multiplicando entre s las Ecs.(39) y (49).d V = a d tV =d xd tV d V = a d td xd tSimplificando los diferenciales dt se tieneV d V = a d x (62)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora29CINEMTICA-1 Integrando desde la posicin inicial X1 donde la velocidad es V1 hasta la posicin final X2 donde la velocidad es V2, obtenemos =(63)En el Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado la acelera-cin es constante, por lo tanto, integracin anterior nos da ( V22 - V12 ) =(64)(65)(66)Estas mismas ecuaciones se aplican al movimiento vertical paralelo al eje (Y, -Y) a fin de analizar el movimiento de cada libre.Para ejecutar la integral del lado derecho debemos conocer a(t). ( V22 - V12 ) = a(64)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora30CINEMTICA-1 Ejemplo 1. Una partcula que se mueve sobre el eje OX+, parte del origen con una velocidad de 5 m/s y decelera constantemente a ra-zn de 10 m/s2. Calcular: a) la mxima distancia que se aleja la par-tcula del origen hasta que se detiene, b) el tiempo que demora en detenerse y c) Qu sucedera si la partcula mantuviera su decele-racin despus de detenerse? Explique su respuesta en un grfico simple. Datos. V1 = 5 m/s, como el movimiento es decelerado a = -10 m/s2.Solucin. a) En la Fig.14 se muestran los datos y la mxima distan-cia xm que se aleja la partcula hasta que se detiene cuando su velocidad final sea V2 = 0. x1 = 0 tFigura 14O+XV2 = 0Para calcular xm usamos valores en

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora31CINEMTICA-1 c) Si la partcula mantuviera su aceleracin negativa, luego de de-tenerse, retornara hacia el origen y continuara movindose en el sentido de eje OX.2(-10)(xm -0) = 0 - 52 xm = 1,25 mb) La partcula se detiene cuando su velocidad final es V2 = 0, por lo tanto usando valores enV2 = V1 + a tSe tiene: 0 = 5 + (-10) tt = 0,5 sEjemplo 2. El movimiento de una partcula que se mueve sobre el eje (+X,-X) est descrito por la ecuacin x = 6 + 4t 9t2, donde x se expresa en metros y t en segundos. En t = 0 y 4 s, calcular: a) la posicin, b) la velocidad y c) la aceleracin. Dibuje en cada instante los vectores posicin, velocidad y aceleracin sobre la trayectoria e indique si la velocidad est aumentando o disminuyendo. Datos. Ecuacin x = 6 + 4t 9t2 , t = 4 s

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora32CINEMTICA-1 Solucin. En t = 0.x = 6 + 4(0) 9(0)2En t = 0 V = 4 18(0)x = 6 mV = 4 m/s a) La posicin en t = 0 se obtiene usndolo en la ecuacinx = 6 + 4t 9t2b) La ecuacin de la velocidad se obtiene derivando la posicin.V = = (6 + 4t 9t2)d xd tdd tV = 4 18 t0t = 0 Figura 15+X-X0t = 0 Figura 16+X-X

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora33CINEMTICA-1 c) La ecuacin de la aceleracin se obtiene derivando la velocidad.a = = ( 4 18 t) = 18 m/s2 d Vd tdd tEste resultado indica que la aceleracin es constante y negativa0t = 0 Figura 17+X-XEn t = 4 s (Queda como tarea para los estudiantes)a) La posicin en t = 0 se obtiene usndolo en la ecuacin0Figura 18Como en t = 0 la velocidad es opuesta a la aceleracin, su mdulo disminuir para tiempos t > 0 s.

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora34CINEMTICA-1 b) La velocidad en t = 4 se obtiene derivando la posicin.0Figura 19c) La aceleracin en t = 4 s se obtiene derivando la velocidad.0Figura 20Como la velocidad y la aceleracin son

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora35CINEMTICA-1 Ejemplo 3. Usando la ecuacin de movimiento de la partcula en el Ejemplo 2, determinar: a) en qu instantes la partcula pas por el origen de coordenadas y con qu velocidad y aceleracin se mova? b) en que instante la partcula se detuvo y qu posicin y acelera-cin tena? Dibujar los vectores posicin, velocidad y aceleracin de la partcula en tal instante. c) Calcular la longitud de la trayectoria de la partcula entre 0 t 4 s. Datos. Segn el Ejemplo 2, la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula estn determinadas por las ecuaciones: x = 6 + 4t 9t2 m, V = 4 18 t m/s, a = 18 m/s2 = constante Solucin. a) El instante en que la partcula pas por el origen de coordenadas se obtiene cuando su posicin es x = 0.0 = 6 + 4t 9t2ResolviendoReordenando tenemos la ecuacin cuadrtica9t2 4t 6 = 0 t =4 ( 4)2 4(9)( 6)2(9)

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora36CINEMTICA-1 De dondeLa velocidad cuando pas por x = 0, se obtiene usando t = 1,07 s en V = 4 18 tV = 4 18(1,07)t = -0,62, esta raz NO se considera como vlida porque no existe tiempo negativoV = 15,26 m/st =4 15,2318t= 1,07 s, esta raz es la respuesta por ser positiva.Figura 21+X-X x = 0t = 1,07 Figura 22+X-X x = 0t = 1,07 t =4 - 15,2318t =4 + 15,2318

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora37CINEMTICA-1 La aceleracin en t = 1,07 s es a = 18 m/s2, porque es constante.Como en t = 1,07 s la velocidad tiene la misma direccin que la aceleracin, su mdulo aumentar para tiempos t >1,07 s.Figura 23+X-X x = 0t = 1,07 s b) La partcula se detiene cuando el mdulo de su velocidad es V = 0.Entonces resolviendo 0 = 4 18 t t = 0,22 sx = 6 + 4(0,22) 9(0,22)2x = 6,44 mLa posicin en t = 0,22 se obtiene usndolo en la ecuacinx = 6 + 4t 9t2V = 0 0t = 0,22 Figura 24+X-X

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora38CINEMTICA-1 La aceleracin en el instante, t = 0,22 s, en que se detuvo la part-cula es la misma, a = 18 m/s2, porque es constante.Figura 25+X-Xt = 0,22 s V = 0 0to Figura 26+X-Xt1 V = 0t2 38

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora39CINEMTICA-1Por lo tanto la distancia total recorrida por la partcula en 0 t 4 s, es

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora40CINEMTICA-1 Ejemplo 4. La velocidad de una partcula que se mueve sobre una lnea recta est definida por V = 48 3t2, donde V se mide en m/s y t en s . Usando el clculo, hallar: a) una expresin para la posicin en funcin del tiempo s en t1 = 0 s, X1 = 2 m, b) una expresin para la aceleracin en funcin del tiempo y c) su velocidad media en el intervalo: 0 t 9 s.Solucin.a) La posicin se obtiene integrando la funcin velocidad X = V (t) dtX = ( 48 3 t2 ) dt = 48 dt 3 t2 dtX = 48 dt 3 t2 dt = 48 (t) (3) + Ct 2+1 2+1X = 48 t t3 + C Para calcular el valor de la constante de integracin C, usamos las condiciones inciales ( c.i ): t1 = 0 s, x1 = 2 m, en la expresin obtenida.

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora41CINEMTICA-1 2 = 48 (0) (0) 3 + C C = 2 m X = 48 t t 3 2 [m]Luego:b) La aceleracin se obtiene derivando la funcin velocidadd Vd ta = = (48 3 t2 )d d tdd ta = (48) 3 (t2 )d d ta = 6 t m/s2b) La velocidad media entre 0 t 15 s, se obtiene usando:Vm = x2 x1 t2 t1X1 = 48(0) (0)3 2 X1 = 2 mla posicin en t1 = 0 es:Donde:

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora42CINEMTICA-1 y la posicin en t1 = 9 s es: X2 = 48(9) (9)3 2 Reemplazando valores en la frmula de la velocidad media se tieneVm = 290 ( 2) 9 0Vm = 32 m/sX2 = 290 mEjercicio CIN-01Una partcula que se mueve sobre el eje OX+, parte del origen con una velocidad de 5 m/s y decelera constantemente a razn de 10 m/s2. Cal-cular: a) la mxima distancia que se aleja la partcula del origen hasta que se detiene, b) el tiempo que demora en detenerse y c) Qu sucedera si la partcula mantuviera su deceleracin despus de detenerse? Explique su respuesta en un grfico simple.

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora43CINEMTICA-1 La posicin de una partcula que se mueve en lnea recta est definida por la relacin X = t3 - 5t2 - 12 t + 30, donde X se expre-sa en metros y t en segundos. Determinar: a) el instante en que la velocidad es cero, b) la posicin y aceleracin de la partcula en tal instante y d) la distancia que viaja la partcula desde t = 3 [s] hasta t = 6 [s].La rapidez de una bala mientras viaja por el can de un rifle hacia la abertura est dada por: V = -5,00x107 t2 + 3,00x105 t, donde V est en m/s y t en s. Si la aceleracin de la bala es cero justo cuando sale del can, determinar: a) la aceleracin y la posicin de la bala en funcin del tiempo cuando est en el can, b) el intervalo de tiempo durante el que la bala acelera, c) la rapidez con la que sale la bala del can y d) la longitud del can del rifle.1.2.- Movimiento de Cada Libre

18/04/2015 03:57 p.m.44 Ignorando la resistencia del aire y considerando solamente peque-os desplazamientos sobre la superficie terrestre (comparados con el radio de la Tierra, RT = 5000 km), todos los cuerpos caen con ace- leracin constante de mdulo: g = 9,81 m/ s2 = 32,2 pie/ s2 .

Segundo L. Gallardo Zamoray1t1 = 0 y2 Posicin y velocidad finalesPosicin y velocidad incialestFigura 27. Posicin, desplazamiento, velocidad y aceleracin en el movimiento de cada libreYSuperficie terrestreX(y2 y1 )Propiedades.3. El desplazamiento del cuer-po entre los instantes t1 = 0 y t2 = t es: y = (y2 y1 )CINEMTICA-144

18/04/2015 03:57 p.m.45 Segundo L. Gallardo ZamoraFigura 28. Posicin y Velocidad de un cuerpo lanzado hacia arriba cuando alcance la altura mxima.tV2 = 0y1t1 = 0y2 = YmPosicin y velocidad final en la altura mxima4. El tiempo t que demora el cuerpo en ascender hasta la altura m-xima es igual al tiempo que de-mora en retornar al punto de lan-zamiento. Por lo tanto, el tiempo total, de ida y vuelta, es t = 2 t, al cual se denomina tiempo de vuelo.YXSuperficie terrestre CINEMTICA-145

18/04/2015 03:57 p.m.46 Segundo L. Gallardo ZamoraYSuperficie terrestreXFigura 29 Posicin y sentido de la velocidad en dos instantes diferentes en el movimiento de un cuerpo lanzado verticalmente hacia Arriba.y1ti = 0 y2 tV = 0YmtCINEMTICA-146

18/04/2015 03:57 p.m.47 Segundo L. Gallardo ZamoraEn ausencia de aire, los cuerpos de diferente peso, que caen desde la misma altura y con la misma velocidad inicial, recorren tal altura en el mismo tiempo y alcanzan la misma velocidad final. Esto signi-fica que la velocidad de cada libre es independiente del peso del cuerpo, como se ilustra con los cuerpos de la Fig.30.YSuperficie terrestreXti = 0y1m1 m2V1 = 0y2 = 0Figura 30. La velocidad de cada libre en el vaco no depende del peso de los cuerpost Esta propiedad ya fue demostrada en agosto de 1971 por el astronauta norteamericano David Scott, durante la misin del Apolo 15 en la Luna.Puede verse en Youtube.https://www.youtube.com/watch?v=s5QcJfMH-esCINEMTICA-147

18/04/2015 03:57 p.m.48Ecuaciones del Movimiento de Cada Libre.Segundo L. Gallardo Zamoray1t1 = 0t2XYSuperficie terrestrey2Figura 31d yd t(67)De mdulod yd t(68)Podemos integrarla para obtener el despla-zamiento del mvil entre la posicin inicial y1 en el instante t1 y la posicin final y2 en el instante t2.Escribindola en su forma diferencial: d y = V dt(69)(70)CINEMTICA-148

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora49CINEMTICA Al ejecutar la Integral solamente se puede obtenerIntegrndola podemos obtener el cambio de velocidad del mvil entre V1 en el instante t1 y V2 en el instante t2Que, sin los vectores unitarios, su forma diferencial es d Vd t(72)d Vd t(73)Porque en el lado derecho de la igualdad no conocemos como vara la velocidad con el tiempo V(t). Para lograr esta relacin usamos la definicin de aceleracin instantnea.(71)(y2 y1 ) =(74)d V = -g dt

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora50CINEMTICA (75)V2 V1 = - g (t2 t1)(76)V2 = V1 g (t2 t1)(77)Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t, entonces, la Ec. (77) se puede escribir comoV2 = V1 - g t(78)Ahora, con la Ec.(78) ya tenemos V(t) y podemos integrar la Ec.(71) Integrando el lado derechoy2 y1 = V1 (t2 t1) g (t2 t1)2 (79)(y2 y1 ) =y2 y1 = V1 t a t2 (80)Si t1 = 0, entonces el nico tiempo es t2 = t. Por lo tanto

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora51CINEMTICA Siguiendo un proceso similar al usado para obtener la Ec.(66) se de-duce que en el movimiento de cada libre(81)Como vemos las ecuaciones del MRUV vertical son similares a las del MRUV horizontal y se obtienen con slo cambiar a por g, y X por y.Ejemplo 5. Un estudiante parado sobre una plataforma lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 17,5 m/s. Al momento del lanzamiento la pelota esta a 4 m sobre el suelo. Calcular: a) la velocidad y posicin de la pelota en el instante t = 1,5 s; b) la mxima altura de ascenso, c) la velocidad y posicin de la pelota en el instante t = 3,5 s y d) la velocidad de impacto de la pelota en el suelo y el tiempo que demora desde que fue lanzada.Datos: Ubicamos el sistema de referencia (X,Y) como en la Fig. 19 que sigue y anotamos los datos conocidos: V1 = 17,5 m/s, y1 = 4 m en t1 = 0mos51

18/04/2015 03:57 p.m.52 Solucin:Segundo L. Gallardo ZamoraYXa) La velocidad en el instante t = 1,5 s se obtiene usando datos en la ecuacin:y2y1t1 = 0t2 = t = 1,5 sV2 = V1 g tComo la velocidad es positiva deducimos que la pelota todava est ascendiendo.V2 = 17,5 ( 9,81)(1,5) = 2,79 m/sSuperficie terrestreFigura 32La posicin en el instante t2 = t = 1.5 s se obtiene usando datos en la ecua-ciny2 y1 = V1 t g t 2 Usando valores:y2 4 = (17,5)(1,5) (9,81)(1,5) 2y2 = 19,21 mCINEMTICA-152

18/04/2015 03:57 p.m.53b) La mxima altura de ascenso se alcanza cuando V2 = 0. Por lo tanto, usando datos en la ecuacin

Segundo L. Gallardo ZamoraYm = 19,61 m2 g ( y2 y1 ) = V12 V222 (9.81)( Ym 4 ) = (17.5)2 (0)2y haciendo y2 = Ym se tiene:c) La velocidad en t = 3,5 s; se obtie-ne usando datos en la ecuacin:V2 = 16,84 m/sEl signo negativo de la velocidad nos indica que en t = 3,5 s, la pelota esta descendiendo, luego de alcan-zar la altura mxima.V2 = V1 g tV2 = 17,5 ( 9,81)(3,5)Esto es:YXy2y1t1 = 0t2 = t = 3.5 sV = 0YmSuperficie terrestreFigura 33CINEMTICA-153

18/04/2015 03:57 p.m.54 La posicin en t = 3,5 s se obtiene usando valores en la ecuacin:

Segundo L. Gallardo Zamoray2 4 = (17,5)(3,5) (9,81)(3,5) 2y2 y1 = V1 t g t2 d) Queda como ejercicio para el alumno.Ejemplo 6. Dos piedras A y B se dejan caer libremente desde la misma altura al borde de un acantilado de 60 m de altura. Si la piedra B se deja caer 1,6 s despus de la piedra A, qu distancia habr cado la piedra B para que la separacin entre ambas sea de 36 m? yaybhXYSueloFigura 30AcantiladoyFigura 34y2 = 5,16 mDatos.

Las dos piedras se dejan caer desde la misma altura y1 = 60 m y con velocidad inicial V1 = 0 (parten del reposo).La piedra B se deja caer 1,6 s despus de la piedra A.La separacin entre ambas piedras ser y = (ybya) = 36 m, cuando la piedra B haya cado una distancia h.(t1 = 0, V1 = 0)y1ABCINEMTICA-154

18/04/2015 03:57 p.m.55 Solucin. Para calcular la distancia h = (y1 yb) que habr cado la piedra B, fijamos en la Fig.21 el sistema (X,Y) en el suelo y calcula-mos la posicin de cada piedra usando la condicin de separacin (yb- ya) = 36 m entre ellas.Segundo L. Gallardo Zamora(ya -60) = - g t2 (a)Como la piedra B es soltada 1,6 s despus que la piedra A, entonces el tiempo que demora en caer es tb = (t -1,6). En este tiempo, su po-sicin se puede obtener con Si t es el tiempo que demora en caer la piedra A, su posicin en tal instante es(ya 60) = g t2 (yb 60) = g (t-1,6)2 (yb ya ) = g [(t-1,6)2 - t2 ]Restando la Ec.(a) de la Ec.(b) se tiene: (yb -60) = - g (t-1,6)2 (b)(yb ya ) = 1,6 g t 1,28 g (c)Desarrollando el cuadrado del binomio y simplificando obtenemos:CINEMTICA-155

18/04/2015 03:57 p.m.56 Segundo L. Gallardo ZamoraUsando este tiempo en la Ec.(b) obtenemos la posicin de la pie- dra B. 36 = 1,6 g t 1,28 g t = 3,09 sResolviendo se tiene(yb-60) = - g (3,09-1.6)2Por lo tanto, la distancia recorrida por B es: h = (y1 yb) = (60- 49,11) = 10,89 myb = 49,11 mEjemplo 7. Un hombre parado dentro de la canasta de un globo ae-rosttico, que asciende con una rapidez de 20,0 [m/s], sostiene un paquete en las manos. En el instante que est a 180 [m] del suelo lanza el paquete hacia abajo con una rapidez de 1,5 [m/s]. Calcular: a) la altura mxima que asciende el paquete, respecto al suelo, b) la velocidad y el tiempo que demora el paquete en ubicarse a 190 m sobre el suelo, c) la velocidad y el tiempo que demora el paquete en impactar el suelo.pero (yb ya) = 36 m, entonces CINEMTICA-156

18/04/2015 03:57 p.m.57 Datos. En la Fig.35 mostramos la rapidez del globo respecto al suelo es VG = 20,0 m/s, la posicin y1 = 180 m del paquete al momento de ser lanzado y la rapidez del paquete respecto al globo es Vp = 1,5 m/s. Segundo L. Gallardo ZamoraSolucin. Primero debemos calcular la velocidad ini-cial del paquete respecto al suelo.Cuyo mdulo es: V1 = 20,0 1,5 = 18,5 m/sXYSueloFigura 35Esta es la velocidad inicial que usare-mos en la solucin del problema.y1a) El paquete alcanza la altura mxima cuan-do su velocidad final V2 = 0, y su valor se obtiene usando datos en2 (9.81) ( Ym -180 ) = (18,52 0)2 g ( y2 y1 ) = V12 V22CINEMTICA-157

18/04/2015 03:57 p.m.58 Obteniendo: Ym = 197,44 m, como se muestra en la Fig.36.

Segundo L. Gallardo Zamorab1) La velocidad del paquete en la nueva posicin y2 = 190 m, que se muestra en la Fig. 24, se obtiene usando valores en:2 g ( y2 y1 ) = V12 V222(9,81)(190180) = (18,5)2 V22V2 = 146,05 = 12,09 m/sV2 = 0 Yy1VGXV2 = + 12,09 m/s, cuando el paquete pasa de subida ha-cia la altura mxima Ym.V2 = - 12,09 m/s, cuando pa-sa de retorno desde Ym.SueloFigura 36y2 Figura 37Donde podemos considerar queSueloYmV = 0 YmYVGXy1CINEMTICA-158

18/04/2015 03:57 p.m.59 b2) El instante en que el bloque alcanza la altura y2 = 190 m, sobre el suelo se calcula usando datos en la ecuacin:Segundo L. Gallardo Zamoray2 y1 = V1 t g t 2190 180 = 18,5 t (9,81) t 2 9,81 t 2 37 t + 20 = 0t = ( 37) (37)2 4(9,81)(20) 2(9,81)Reordenando obtenemos la ecuacin cuadrticaCuya solucin se obtiene con la frmula:V = 0 Yy1VGXy2 SueloFigura 34t = 37 24,17 19,62t = = 0,65 s 37 24,17 19,62t = = 3,12 s 37 + 24,17 19,62Figura 38YmCINEMTICA-159

18/04/2015 03:57 p.m.60 Segundo L. Gallardo ZamoraLos dos races indican que el paquete pasa por la misma posicin y2 en dos instantes. En t = 0,65 s, pasa cuando est ascendiendo hacia la altura mxima y en t= 3,12 s pasa cuando esta bajando o retornando de la altura mxima. Ejercicio CIN-02Un objeto que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza una velo-cidad de 18 [m/s] cuando est a mitad de su altura mxima. Calcular: a) la mxima altura que asciende, b) la velocidad con que fue lanzado, c) el tiempo que tardar en ubicarse a 16 [m] arriba del punto de lanza-miento y d) el tiempo de vuelo. (Rpta: a) 33,03 m; b) 25,46 m/s; c) 0,73 s al subir y 4,46 s al bajar y d) 5,19 s) Una maceta cae desde la azotea de un edificio de apartamentos. Una persona de un apartamento inferior que tiene un cronmetro, observa que la maceta tarda 0,2 s en pasar a travs de una ventana que tiene 4,0 m de altura. A qu altura sobre el borde superior de la ventana est la azotea? (Rpta: 22,43 m) CINEMTICA-160

18/04/2015 03:57 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora61 Un hombre con un paquete en las manos viaja parado dentro de la canasta de un globo aerosttico que desciende con una velocidad de 5 [m/s]. Cuando el globo est a una altura de 190 [m] sobre la superficie terrestre, el hombre lanza el paquete hacia arriba con una velocidad de 15 [m/s]. Calcular el tiempo que demora el paquete en ubicarse a 194 [m] de altura respecto a la superficie terrestre. Usar g = 9,81 m/s2 y explique su respuesta. (Rpta: 0,55 al subir y 1,49 s al bajar ) En el instante t = 0, se deja caer una piedra desde un acantilado sobre un lago; 1,6 s despus, se lanza otra piedra hacia abajo desde el mismo punto con una velocidad inicial de 32 m/s. Si ambas piedras chocan en el agua al mismo tiempo, cul es la altura del acantilado? (Rpta: 27,55 m) Continua en Cinemtica 2CINEMTICA-1