cinemática definitivo 1

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Cuadernos de Física “Cinemática” Elaboró: Francisco D. Franco M. 1 Unidad III Cinemática La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. En consecuencia, los conceptos básicos de la cinemática son el tiempo, conjunto de todos los instantes posibles, y el espacio, conjunto de todas las posiciones posibles. En cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias y se le llama sistema de referencia. La cinemática es un caso especial de geometría diferencial de curvas, en el que todas las curvas se parametrizan de la misma forma: con el tiempo. MOVIMIENTO MARCO DE REFERENCIA TRAYECTORIA DESPLAZAMIENTO VECTOR DE POSICIÓN VELOCIDAD RAPIDEZ ACELERACIÓN 1. CINEMATICA. La cinemática es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin atender a las causas que lo producen. La caída libre de los cuerpos, en movimiento de los proyectiles y en movimiento de los planetas alrededor del sol son, estudiados por la cinemática. En esta importante rama de la física se emplean algunos conceptos que permiten describir y entender de una manera simple los movimientos más generales de la materia y de la energía. Los conceptos más comunes en cinemática son los siguientes: movimiento, marco de referencia, trayectoria, desplazamiento, vector de posición, velocidad rapidez, aceleración, etc. Movimiento y marco de referencia.- Un cuerpo se encuentra en movimiento si al transcurrir el tiempo cambia de posición con respecto a otros cuerpos que se consideran fijos y a los cuales se les da el nombre de marcos o sistemas de referencia. Una mesa, una piedra, un punto, una recta o un plano pueden servir de marcos de referencia. En una gran mayoría de problemas como marco de referencia se emplean sistemas de coordenadas cartesianas (rectangulares) y sistemas de coordenadas polares, respecto a los cuales podemos: trazar la trayectoria, medir el desplazamiento y calcular la velocidad media de un cuerpo o partícula. Anteriormente se suponía que debía de existir un marco de referencia fijo en el espacio respecto al cual se podría afirmar si un cuerpo se movía o permanecía en reposos. Este marco de referencia al que se le llamó inercial no existe por que todos lo cuerpos en el universo están dotados de algún tipo de movimiento. Por lo tanto, el movimiento es un concepto relativo y un mismo cuerpo puede tener diferentes tipos de movimiento dependiendo del marco de referencia. Por ejemplo: para una persona

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EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMATICA

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  • Cuadernos de Fsica Cinemtica

    Elabor: Francisco D. Franco M.

    1

    Unidad III

    Cinemtica

    La cinemtica es la parte de la mecnica clsica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener

    en cuenta las causas que lo producen limitndose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en funcin del tiempo. En consecuencia, los conceptos bsicos de la cinemtica son el tiempo, conjunto de todos los instantes posibles, y el espacio, conjunto de todas las posiciones posibles.

    En cinemtica se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias y se le llama sistema de referencia.

    La cinemtica es un caso especial de geometra diferencial de curvas, en el que todas las curvas se parametrizan de la misma forma: con el tiempo.

    MOVIMIENTO

    MARCO DE REFERENCIA

    TRAYECTORIA

    DESPLAZAMIENTO

    VECTOR DE POSICIN

    VELOCIDAD

    RAPIDEZ

    ACELERACIN

    1. CINEMATICA. La cinemtica es la parte de la mecnica que estudia el movimiento de los

    cuerpos sin atender a las causas que lo producen. La cada libre de los cuerpos, en movimiento de los proyectiles y en movimiento de los planetas alrededor del sol son, estudiados por la cinemtica. En esta importante rama de la fsica se emplean algunos conceptos que permiten describir y entender de una manera simple los movimientos ms generales de la materia y de la energa. Los conceptos ms comunes en cinemtica son los siguientes: movimiento, marco de referencia, trayectoria, desplazamiento, vector de posicin, velocidad rapidez, aceleracin, etc.

    Movimiento y marco de referencia.- Un cuerpo se encuentra en movimiento si al transcurrir el tiempo cambia de posicin con respecto a otros cuerpos que se consideran fijos y a los cuales se les da el nombre de marcos o sistemas de referencia. Una mesa, una piedra, un punto, una recta o un plano pueden servir de marcos de referencia. En una gran mayora de problemas como marco de referencia se emplean sistemas de coordenadas cartesianas (rectangulares) y sistemas de coordenadas polares, respecto a los cuales podemos: trazar la trayectoria, medir el desplazamiento y calcular la velocidad media de un cuerpo o partcula. Anteriormente se supona que deba de existir un marco de referencia fijo en el espacio respecto al cual se podra afirmar si un cuerpo se mova o permaneca en reposos. Este marco de referencia al que se le llam inercial no existe por que todos lo cuerpos en el universo estn dotados de algn tipo de movimiento. Por lo tanto, el movimiento es un concepto relativo y un mismo cuerpo puede tener diferentes tipos de movimiento dependiendo del marco de referencia. Por ejemplo: para una persona

  • Cuadernos de Fsica Cinemtica

    Elabor: Francisco D. Franco M.

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    que gua un automvil el asiento no se mueve pero para otra persona parada a la orilla de la carretera el asiento se mueve en la misma direccin y con la misma velocidad que el resto del automvil. Aunque no existe un marco de referencia inercial una buena aproximacin lo constituye el sistema de coordenadas en los cuales el sol ocupa el origen y los ejes cartesianos estn dirigidos hacia las estrellas ms lejanos. Actualmente se dice que un sistema de referencia es inercial respecto a otros, cuando ambos sistemas poseen una velocidad relativa constante o nula. Trayectoria, desplazamiento y vector de posicin. En la figura se muestra una partcula que ha movido de la posicin inicial A a la posicin final B. La trayectoria (camino descrito por la partcula) se define como el conjunto de posiciones sucesivas que ocupa la partcula al moverse de un lugar a otro. El desplazamiento (S) se define como el vector que se traza desde la posicin inicial (punto A) hasta la posicin final (punto B) de la trayectoria, a los vectores que se trazan del origen de coordenadas al punto donde se localiza la partcula se denominan vectores de posicin. En la figura III.1 los vectores rA y rB indican, respectivamente la posicin inicial y final de la partcula.

    La resta vectorial de los vectores de posicin (rB - rA ) es igual al vector de desplazamiento (S = rB - rA) el cual se puede definir como la variacin o el incremento en la posicin de una partcula. Empleando

    la letra griega delta () para denotar el incremento de una magnitud resulta que:

    AB rrr , por lo tanto

    Cabe aclarar que el desplazamiento de una partcula no es lo mismo que la distancia recorrida, pues esta ltima es una cantidad escalar que se define como la longitud de la trayectoria.

    GRADOS DE LIBERTAD: El movimiento puede considerarse en:

    Un eje, una direccin, un grado de libertad. Un plano, dos dimensiones, dos grados de libertad. El espacio, tres dimensiones, tres grados de libertad

    A

    B

    rA

    rB

    Y

    A S

    B

    AB rrrS

    X

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    El concepto de grados de libertad esta relacionado con las dimensiones especiales en los cuales se efecta el movimiento. Este concepto es de mayor profundidad por lo que ser tratado en cursos posteriores. Si el movimiento de una partcula se realiza a lo largo de una lnea recta (en una dimensin), por ejemplo a lo largo del eje X (ver figura) entonces el desplazamiento se reduce a restar las coordenadas final e inicial de la partcula. Es decir:

    III.02.VELOCIDAD, VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTANEA Y RAPIDEZ. Velocidad: Vector que representa todo cambio. Cinemticamente, es el vector que mide los cambios del vector desplazamiento, respecto al tiempo transcurrido en dichos cambios. Estos cambios pueden ser de magnitud, de direccin, de sentido, en dos de ellos o en los tres a la vez. En la figura siguiente se ha trazado la trayectoria de una partcula que el tiempo inicial (tA) ocupa la posicin rA, y al tiempo final (tB) ocupa la posicin rB. La velocidad media denotada por el smbolo

    V , es una cantidad vectorial que se define como el cociente que resulta de dividir el vector desplazamiento entre el escalar tiempo empleado para realizar ese desplazamiento.

    El tiempo transcurrido se calcul, restando el tiempo inicial al tiempo final (tB tA). Esto no es otra cosa que el incremento del tiempo (t). Por lo tanto

    S

    rA

    rB

    tB tA

    Trayectoria

    X0 A S B

    X

    O

    0XXxS

    tS

    ttrr

    VBB

    AB

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    Velocidad media

    si el tiempo inicial es igual a cero (t A = 0), entonces t = tB tA = t. De donde:

    La velocidad media es una cantidad vectorial por que resulta de dividir a

    un vector (el desplazamiento) entre un escalar positivo (el tiempo). Esta

    velocidad posee la misma direccin y sentido que el desplazamiento, y su

    ecuacin dimensional es la siguiente.

    La velocidad media posee unidades de longitud entre unidades de tiempo o unidades de longitud por unidades de tiempo a la menos uno. La velocidad media no depende para nada de la trayectoria ni tampoco implica que la velocidad sea uniforme para cada trayectoria recorrida. Por ejemplo: para recorrer en automvil los 92 km. que separan las ciudades de Mxico y Cuernavaca se emplea (aproximadamente) una hora por lo que la velocidad media es de 92 km/h

    hrKm

    V1

    92

    Sin embargo, esto implica que el recorrido (trayectoria) se haya efectuado por la carretera de cuota por que podra haber sido por la carretera federal; en ambos casos el desplazamiento es de 92 km aun que las trayectorias (ambos casos) y las distancias recorridas pudieron ser diferentes. De igual forma, el resultado no implica que en todo viaje la velocidad haya sido de 92 km/h por que tuvo que haber variado en las curvas y en las pendientes, o incluso se pudo haber detenido a cambiar un neumtico ponchado. En el caso de ms de un desplazamiento (desplazamientos sucesivos), la velocidad es igual al desplazamiento total o neto, dividido entre el tiempo total. El desplazamiento total se obtiene sumando algebraicamente los desplazamientos, segn los signos de direccin.

    Quiz se pregunte si hay relacin entre rapidez media y velocidad media?. Si todo movimiento es en la misma direccin, es decir, si nunca se invierte la direccin, la distancia es igual a la magnitud del desplazamiento. De manera que la rapidez media es igual a la magnitud de la velocidad media. No obstante, hay que tener cuidado. Este conjunto de relaciones no se cumple si hay inversin de direccin, como en el siguiente ejemplo:

    tS

    V

    tiempoentodesplazami

    mediavelocidad

    101 TLMLTV TLtS

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    RAPIDEZ.- Es la magnitud de la velocidad.

    EJEMPLO: Si un objeto se mueve con una rapidez de 40 Km/h, estamos indicando el escalar de la velocidad, por que no indicamos; la direccin ni el sentido de la velocidad.

    EJEMPLO: Un deportista trota de un extremo a otro de una pista recta de 300 m en 2.50 min. Y, luego, trota de regreso al punto de partida en 3.2 min. Qu velocidad media tuvo el deportista a) al trotar al final de la pista, b) al regresar al punto de partida y c) en el trote total?

    Razonando:

    stst

    negativaregresodedireccinlaentomadomxpositivadireccinlaentomadomx

    192.min2.3150.min5.2

    ),(300)(300

    2

    1

    2

    1

    a) La velocidad media al trotar hasta el final de la pista ser:

    sm

    sm

    xx

    V 0.2150300

    2

    11

    b) De forma similar, para el trote de regreso, se tiene:

    sm

    sm

    tx

    V 5625.1192300

    2

    22

    c) Para el recorrido total, debemos considerar dos desplazamientos, de ida y de vuelta, as que si sumamos para obtener el desplazamiento total, que luego

    dividimos entre el tiempo total:

    sm

    ssmm

    ttxx

    V 0192150300300

    21

    21

    La velocidad media para el trote total es cero

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    GRFICAS Supongamos que observamos el comportamiento de un mvil y arroja los siguientes datos: Calculemos la rapidez media.

    OBSERVACION

    INTERVALO DE TIEMPO

    (s)

    DESPLAZAMIENTO

    (m)

    RAPIDEZ

    MEDIA

    sm

    CALCULOS

    NUMERICOS

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    10

    40

    4 s

    mVm 4

    010040

    1

    2

    20

    100

    6 s

    mVm 6

    102040100

    2

    . 3

    30

    140

    4

    sm

    Vm 42030100140

    3

    4

    40

    150

    1 s

    mVm 1

    1010

    3040140150

    4

    5

    50

    150

    0 s

    mceroVm

    4050150150

    5

    . 6

    60

    150

    0 s

    mceroVm

    5060150150

    6

    NOTA La velocidad media en toda la trayectoria, de la observacin 0 hasta la sexta, ser:

    sm

    Vm 5.20600150

    70

    GRAFICANDO DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO, TENEMOS:

    Se Observa que en el intervalo de 40 60 no hay desplazamiento.

    020406080

    100120140160

    10 2 30 40 50 50

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

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    ACTIVIDAD UNO: INTERPRETA LAS SIGUIENTES GRAFICAS

    Lo anterior demostrar que: una grfica de desplazamiento contra tiempo, la pendiente de la secante que cruza por dos puntos de la curva es igual a la velocidad media entre esos dos puntos:

    La velocidad media solo ofrece una descripcin general del movimiento. Una forma de estudiar ms de cerca el movimiento es considerando intervalos de tiempo ms pequeos, es decir, haciendo que

    el tiempo de observacin ( )( t sea cada vez ms pequeos. Al igual que la rapidez, cuando )( t se aproxime a cero, obtendremos la velocidad instantnea. La velocidad instantnea (V) es una cantidad vectorial que se define como la velocidad que un mvil posee en un instante o en un punto de su trayectoria. En forma ms estricta la velocidad instantnea se define como l limite que tienen la velocidad media cuando el tiempo tiende a cero, esto se expresa de la siguiente manera

    200

    150

    100

    50

    0

    -50 0 10 20 30 40 50

    S (m)

    337133090

    /2455.635.1

    8683.94

    8683.949008100900

    9030

    1

    2

    222

    2222

    21

    00

    arctankmkm

    arctand

    darctan

    hkmhkm

    t

    dV

    kmkmkmkm

    kmkmddd

    tanCDtx

    LimVLimVtt

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    La interpretacin geomtrica de la velocidad instantnea se comprende fcilmente haciendo referencia a la figura siguiente:

    Grfica de desplazamiento contra tiempo para un objeto en movimiento rectilneo no uniforme. Si la velocidad no es uniforme, una grfica de x contra t es una curva. La pendiente de la lnea entre dos puntos es la velocidad media entre esos dos puntos, y la velocidad instantnea es la pendiente de una lnea tangente a la curva en cualquier punto. Se muestran tres lneas tangentes, con los

    intervalos tx

    Lo anterior demuestra que la velocidad instantnea es un vector tangente (en cada punto) a la curva de la grfica de desplazamiento contra tiempo, y direccin y sentido son los mismos que el desplazamiento.

    Finalmente recordaremos que la rapidez es una cantidad escalar que se

    define como la magnitud de la velocidad instantnea y posee las mismas

    unidades que la velocidad media.

    MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION:

    MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.). Un mvil efecta un Movimiento Rectilneo Uniforme (M.R.U.), si se mueve en lnea recta y realiza desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales. Lo anterior implica que la velocidad media debe ser constante en magnitud, direccin, sentido; sin importar entre que puntos de la trayectoria se efecten las medidas de desplazamiento y de tiempo. No importa que tan pequeo se tome la medida del tiempo la velocidad ser constante, por lo tanto en el limite cuando el tiempo tiende a cero se obtiene la velocidad instantnea.

    .

    . .

    S (m)

    T (s)

    s

    t

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    hkmhkm

    t

    SV /2455.63

    5.18683.94

    EJEMPLOS RESUELTOS

    EJEMPLO: La velocidad media desarrollada por una mariposa monarca que durante media hora se desplaza 30km hacia el este y durante la siguiente hora se desplaza 90km en direccin norte. En la figura siguiente, se muestra los desplazamientos sucesivos S1 (hacia el este) y S2 (hacia el Norte.

    Estos vectores forman un ngulo de 90 por lo que el valor de su resultante se determina empleando teorema de Pitgoras, es decir:

    kmSSS 868.9481009009030 222221

    La mariposa tarda 1.5 horas en desplazamiento 94.8683 km. Por lo tanto, su velocidad media durante todo el trayecto adquiere el siguiente valor Magnitud de la velocidad media =

    La direccin y el sentido (ngulo ) de la Vm son los mismos que los del desplazamiento (S) resultante. Por lo tanto.

    Finalmente: S resultante = 63.2455km/h 7133

    La distancia recorrida por la mariposa es igual a |S1 | + | S2 | (=30km+90km=120) que no es lo mismo que el desplazamiento.

    S2

    S1

    E

    N

    S

    33713arctan33090

    arctanarctan1

    2 kmkm

    SS

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    hkmAB

    hkm

    tS

    V 71.57

    40

    hkmAB

    hkm

    td

    V 71.5740

    EJEMPLO Una persona que viaja de un pueblo a otro, tarda 7 horas en recorrer los 40km rectilneos que existen entre ellos. Determinar la velocidad media desarrollada por esta persona. Solucin: En la figura se muestran a uno de los pueblos (representados por A)situado en el origen del eje cartesiano x, y a una distancia rectilnea de 40km se encuentra al otro pueblo (representado por B) situado sobre el mismo eje. Ahora bien, desde el punto de vista vectorial no resulta lo mismo si la persona se desplaza de A a B ( SAB) que de B a A (-SBA). En ambos casos la magnitud es del, desplazamiento es de 40 Km, su direccin es horizontal, pero tienen sentidos contrarios (difieren en signo).

    Si la persona se desplaza de A a B (desplazamiento positivo), la velocidad media adquiere el siguiente valor., direccin horizontal dirigido hacia la derecha

    Si la persona se desplaza de B a A (desplazamiento negativo), la velocidad media adquiere el siguiente valor, direccin horizontal dirigido hacia la izquierda

    Los resultados anteriores demuestran que al referirse a la velocidad de un cuerpo, se debe especificar respecto a que marco de referencia se realiza la medicin. EJEMPLO Determinar el tiempo empleado por un automvil en desplazarse 50 Km cuando viaja en lnea recta con una velocidad constante de 85 km./h. Solucin: El automvil realiza un M.R.U., lo cual implica que su velocidad instantnea tenga una magnitud constante de 85 km/h. Este valor es precisamente la rapidez del automvil, porque el dato, al tomar valores absolutos de velocidad y de desplazamiento basta con tomar solamente valores positivos. De esta manera resulta que:

    De donde

    - SBA

    tS

    V

    A SAB B

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

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    Como cada hora tiene 60 minutos, resulta que: t = (0.5882)(60mn)= 35.292 minutos

    EJEMPLO El sonido en el aire se desplaza con una velocidad constante de tal forma que en 2 segundos realiza un desplazamiento de 680m, Determinar el valor de esta velocidad Solucin: En esta solucin no especificaremos respecto a que marco de referencia se realizan las mediciones. Por lo tanto, el valor de la rapidez y de la velocidad del sonido se determinan

    tomando valores absolutos, es decir.

    Es importante hacer notar que al emplear simplemente el trmino velocidad, nos estamos refiriendo a la velocidad instantnea o a la velocidad media ya que en el M.R.U. estas dos velocidades son iguales. EJEMPLO Determinar el desplazamiento realizado durante 2.5 h por una avioneta que se mueve en lnea recta con una velocidad constante de 500 km/h. Solucin: En la solucin no tomaremos en cuenta respecto a que el marco de referencia se realizan las medidas. Por lo tanto tomando valores absolutos se tiene que

    De donde

    hkm

    VS

    thkm

    5882.08550

    segm

    gm

    td

    V 3402

    680

    td

    V

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    tVd 1

    VELOCIDAD RELATIVA

    EJERCICIOS RESUELTOS A las 8 A.M. un tren que pasa por una seal, viaja en lnea recta con una velocidad constante de 40 km/h. Una hora mas tarde otro tren pasa por la misma seal, en la misma direccin y sentido que el anterior, con una velocidad constante de 60 km./h. Determinar: a) La hora en que el segundo tren alcanza al primero, b) la distancia total que es recorrida hasta que se produce el alcance. Solucin: En la figura siguiente se muestra a los dos trenes corriendo sobre vas paralelas en el instante en el cual, el segundo tren alcanza al primero. El desplazamiento (d), medido a partir de la seal, es recorrido por el primer tren en un tiempo t que se empieza a medir a partir de las 8 A.M. El segundo tren tardar una hora menos (t-1h) en recorrer el mismo desplazamiento porque pasa por la seal a las 9 A.M.

    Sea V1 la velocidad (constante) del primer tren que recorre el desplazamiento d en un tiempo t. Por lo tanto .

    De donde

    . . . . (1)

    td

    V 1

  • Cuadernos de Fsica Cinemtica

    Elabor: Francisco D. Franco M.

    13

    12 tVd

    De igual forma , sea V2 la velocidad (constante) del segundo tren que recorre el desplazamiento d en un tiempo t-1h. Por lo tanto

    De donde

    . . . . (2)

    Igualando las relaciones (1) y (2), se dice que

    De donde

    a) El resultado anterior muestra que el segundo tren alcanza al primero, dos horas despus

    que este ultimo pasa por la seal, o tres horas transcurren para el primero. Por lo tanto, el alcance se realiza a la 11 A.M

    b) La distancia total recorrida es igual al valor numrico del desplazamiento. Por lo tanto,

    sustituyendo valores en la relacin (1) resulta que

    Y si lo sustituimos en la relacin (2) resulta que:

    kmhhkm

    d 120260

    OTRA OPCION PARA RESOLVER ESTE EJERCICIO

    Construyamos una tabla, donde aparezcan los datos del problema y como varan los desplazamientos con respecto al tiempo. En la primera fila colocaremos el tiempo en horas que va transcurriendo al efectuar los desplazamientos, en la segunda y tercera fila colocaremos los desplazamientos de cada tren.

    t (h) 8 am 9 a m 10 a m 11 a m

    S1 ( km ) 0 40 80 120

    S2 ( km ) 0 0 60 120

    12 td

    V

    )1(21 htVtV

    h

    hkmkm

    hkm

    hkm

    hhkm

    VVhV

    t 320

    60

    4060

    1*60)1(

    12

    2

    kmhhkm

    d 120)3(40

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

    14

    thKm

    d )9(

    La quinta columna indicar los resultados del problema, en la cual se observan que se encuentran o alcanzan a las 11:00 a m y a una distancia de 120 km.

    EJEMPLO

    Dos atletas compiten en una carrera, desplazndose respectivamente, con velocidades constantes de 9 y 10 km./h. Determinar : a) El tiempo que debe transcurrir para que el ms veloz de los atletas le lleve 1km de ventaja al otro competidor, b) la distancia que el atleta ms veloz le lleva de ventajas al otro competido, media hora despus de haberlo rebasado. Solucin: a) En la figura se muestra a los dos atletas en el instante en el que el mas veloz (marcando un nmero 2), le lleva una ventaja de 1 Km al otro competidor (marcado con el numero 1). El punto P seal el lugar en el cual el segundo atleta comienza a rebasar al primero.

    1 2

    P d 1 km Sea t el tiempo que transcurre desde que el segundo atleta rebasa al primero hasta que lleva una ventaja de 1km. En este tiempo el primer atleta recorre el desplazamiento d con una velocidad constante de 9km/h, por lo tanto.

    De donde

    . . . . . . (1)

    En ese mismo tiempo el segundo competidor recorre el desplazamiento (d+1km) con una velocidad de 10km/h, por lo tanto.

    De donde

    Igualando las relaciones (1) y (2) resulta que

    td

    hkm9

    tkmd

    hkm 1

    10

    )2..(..........1)10( kmthkm

    d

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

    15

    de donde

    b) Durante la media hora el competidor que marcha con una velocidad de 9km/h realiza un desplazamiento d1, de tal forma que

    de donde

    En ese mismo tiempo (0.5h), el competidor que corre con una velocidad de 10km7h realiza un desplazamiento d2, de tal forma que

    De donde

    Por lo tanto, en esa media hora, el competidora ms veloz le lleva una ventaja (en distancia recorrida) igual a la diferencia de los desplazamientos. Es decir: ventaja d2 d1= 5km 4.5km =0.5km = 500m

    EJEMPLO Una pareja de chicos que nadan en una alberca se dirigen una hacia el otro (en sentidos contrarios) con velocidades constantes y respectivamente iguales a 0.8 y 0.9 m/seg. Determinar : a) El tiempo que debe transcurrir para que los chicos se encuentren unos frente al otro, partiendo del instante en que se encuentran separados una distancia de 5 m, b) La distancia que recorre cada chico con las condiciones del inciso anterior. Solucin: a) En la figura se muestra la situacin que guardan los chicos cuando se encuentran separados una

    distancia de 5 m. El punto "p" nos indica el lugar donde estarn uno frente a otro despus de nadar los 5 m.

    P

    d1 d2 5 m

    h

    hkmkm

    hkm

    hkmkm

    t 111

    910

    1

    hd

    hkm5.0

    /9 1

    kmhhkmd 5.4)5.0)(/9(1

    hd

    hkm5.0

    /10 2

    kmhhkmd 5)5.0)(/10(2

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

    16

    En un tiempo "t", el mas veloz (marcado con el numero 1) Beber desplazarse hacia la derecha una distancia igual a la magnitud del desplazamiento "d1". En ese mismo tiempo el otro competidor (marcado con el numero 2) deber desplazarse hacia la izquierda una distancia igual a la magnitud del desplazamiento "d2". Puesto que las velocidades son constantes resulta que: Para el dicho numero 1, su rapidez es la siguiente

    de donde

    Para el chico numero 2, su rapidez es la siguiente

    de donde

    Ahora bien, sabemos que / d1 / + /d2 / = 5 m. Por lo tanto, al sustituir las relaciones (1) y (2) resulta que

    mtsm

    tsm

    58.09.0

    por lo cual

    b) Sustituyendo valores en las relaciones (1) y (2), resulta que:

    t

    dsegm 1/9.0

    1/9.01 tsegmd

    td

    segm 2/8.0

    2/8.02 tsegmd

    segsegmm

    segmsegmm

    t 94.2/7.1

    5/8.0/9.0

    5

    msegmsegmd

    msegmsegmd

    352.2/94.2/8.0

    646.2/94.2/9.0

    2

    1

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    17

    EJEMPLO A las 7 A.M., dos autos salen de una misma ciudad "A" y se dirigen,en lnea recta y con velocidad constante, a la ciudad "B". A las 9 A.M., al carro menos veloz le falta 40 Km para llegar a la ciudad B. Pero el carro ms veloz ya la rebas y se halla a 50 Km de ella. Si el carro ms rpido posee una velocidad de 120 km./h, determinar: a) La distancia entre ambas ciudades, b) La velocidad del carro menos veloz. Solucin: a) En la figura III.12 se muestra la situacin en que se encuentran los carros a las 9 A.M., a dos

    horas de haber salido de la ciudad A.

    A B X 40 Km 40 Km 50 Km X En esas dos horas, el carro ms veloz (No.2) ha realizado un desplazamiento igual a X + 50 Km, donde "X" representa la distancia entre ambas ciudades. Para este auto resulta que

    de donde

    b) Sea V1 la velocidad del auto menos veloz (No.1). Este auto habr realizado en dos horas, un desplazamiento igual a X - 40 km. Por lo tanto

    EJEMPLO Un pez que desarrolla, en aguas tranquilas, una velocidad constante de 2 m/seg., se encuentra en un ro cuya corriente se desplaza con una velocidad constante de 0.9 m/seg. Calcular : a) La distancia (respecto a la orilla del ro) recorrida por el pez en 10 seg., cuando nada contra la corriente, b) El tiempo que deber transcurrir para que el pez realice un desplazamiento (respecto a la orilla del ro) de 20m cuando nada a favor de la corriente.

    hkmx

    hkm250

    /120

    kmkmkmkmhkmhx 1905024050/1202

    hkmhkm

    hkmkm

    hkmx

    V /752

    1502

    40190240

    1

    1 2

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

    18

    )1......(..........tanABBC

    Solucin: a) Cuando un pez nada contra la corriente posee una velocidad ( Vr ),respecto a la orilla del ro, que resulta igual a su velocidad en aguas tranquilas menos la velocidad de la corriente. Es decir:

    Con esta rapidez, el pez recorre (en 10 seg. ) una distancia "X" (respecto a la orilla del ro) de tal forma que:

    Por lo tanto

    b) Cuando el pez nada a favor de la corriente posee una velocidad ( Vr ), respecto a la orilla del ro, que resulta igual a su velocidad en aguas tranquilas ms la velocidad de la corriente. Es decir:

    Con esta rapidez, el pez tiene que recorrer (respecto a la orilla del ro), un desplazamiento de zona que tarda un tiempo "t", de tal forma que

    Por lo tanto

    11. - Una persona que gua una lancha de remos trata de cruzar, perpendicularmente, un ro rectilneo de 500 m de ancho. Si la persona desarrolla en aguas tranquilas una velocidad constante de 0.5 m/seg. Y la corriente del ro es de 0.2 m/seg. ; calcular: a) Qu tanto de desva la persona al llegar a la otra orilla?, b) Cunto tiempo tarda en cruzar el ro? Solucin: B C A Vectores desplazamiento a) La figura muestra la lancha que sale del punto A y se dirige hacia el punto B situado, perpendicularmente, en la otra orilla del ro. Sin embargo, la corriente obliga a la lancha a dirigirse hacia el punto C.

    Por lo tanto, la lancha realiza el desplazamiento BC que forma un ngulo con la direccin AB de tal forma que la lancha es obligada a desviarse una distancia, AC de donde:

    segmsegmsegmVr /1.1/9.0/2

    segx

    segm10

    /1.1

    msegsegmx 1110/1.1

    segmsegmsegmVr /9.2/9.0/2

    tm

    segm20

    /9.2

    segsegmm

    t 896.6/9.2

    20

    ABBC

    tan

    500 m corriente

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

    19

    AC

    Ahora bien, en la siguiente figura se muestra a la lancha en el momento de salir del punto A. La velocidad V1, dirigida hacia B, (es la velocidad de la lancha en aguas tranquilas); la velocidad V2, dirigida hacia la derecha, (es la velocidad de la corriente), y V es la velocidad resultante que posee la misma direccin que el desplazamiento AC (dirigida hacia el punto C). B C La magnitud de esta velocidad se determina empleando el teorema de Pitgoras, es decir

    Los vectores V1 y V forman el mismo ngulo () que los vectores AB y AC. Por lo tanto

    Sustituyendo valores en la relacin (1), se obtiene el valor de la desviacin. Es decir

    b) Empleando el teorema de Pitgoras calculamos la magnitud del desplazamiento, es decir

    Este desplazamiento es recorrido por la lancha, en un tiempo t, con una velocidad constante de 0.5385 m/seg. De tal forma que

    Por lo tanto

    222221 /2.0/5.0 segmsegmVVV

    segmsegmsegmsegm /5385.0/29.04.0//25.0 222222

    4.0/5.0/2.0

    1

    2 segmsegm

    V

    Vtan

    mmBC 2004.0500

    2222222 29000040000250000,200500 mmmmBCABAC m516.538

    tm

    segm516.538

    /5385.0

    mnsegsegmm

    t 667.16029.1000/5385.0

    516.538

    V1 V

    V2

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    EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.- Una avioneta realiza los siguientes desplazamientos consecutivos: 100 Km. hacia el oeste en 20 minutos, 130 Km. hacia el sur en 30 minutos y 100 Km. hacia el este en 10 minutos. Determinar la magnitud la direccin y el sentido de la velocidad media durante todo el vuelo. Respuesta: V = 150 km./h hacia el sur 2.- Una hormiga tarda 190 segundos en trepar las 2.5 m de una barda. Calcular la magnitud de su velocidad media Respuesta: 1.31578 cm/seg. 3.-Un jaguar que se desplaza en lnea recta, viaja con una velocidad constante de 110 km./h. Determinar el tiempo empleado en recorrer 200 metros Respuesta: 6.5434 segundos 4.- Un cohete que asciende verticalmente, desarrolla una velocidad constante 300 m/seg. Si el cohete parte del suelo, calcular; la altura a la que se encuentra a los 3.7 segundos de iniciar el ascenso. Respuesta: 1.11 kilmetros 5.- La luz se desplaza ,en el espacio vaco, con una velocidad constante de 300,000 km./seg. La luz proveniente del Sol tarda, 300 seg. en llegar a la Tierra. Determinar la distancia Tierra - Sol. Respuesta: 150 millones de kilmetros 6.- un gato que posee una velocidad constante de 20 m/seg. , persigue a un ratn que corre con una velocidad igualmente constante. La persecucin es en lnea recta y el gato tarda 2 segundos en alcanzar al ratn. Calcular la velocidad de este ltimo, si los 2 segundos se miden a partir del instante en que se encuentran separados una distancia de 10 m Respuesta: 15 m/seg. 7.- Dos trenes del metro que corren sobre vas paralelas y rectilneas, se uno hacia el otro (en sentido contrario) con velocidad constante y respectivamente iguales a 70 y 60 km./h. Los dos trenes miden: cada uno, una longitud total de 100 metros. Determinar: a)El tiempo que debe transcurrir para que se encuentren uno frente el otro, contando a partir del instante en que se encuentran separados completamente (cuando estn extremo con extremo) a partir del momento en que se hayan uno frente al otro. Respuesta: a)13.846 seg. , b) 5.538 seg. 8.- Sobre el techo de un carro de ferrocarril que viaja en lnea recta con una velocidad constante de 15 km./h, una persona se desplaza con una rapidez de 0.3 m/seg. Calcular : a) el tiempo que tarda la persona en desplazarse (respecto a la va) una distancia de 5 m ,cuando camina en el mismo sentido que el ferrocarril, b) El desplazamiento de la persona (respecto a la va) durante 10 segundos, cuando camina en sentido contrario al del ferrocarril. Respuesta: a)1.119 seg. , b) 38.66 metros, en el mismo sentido en que avanza el ferrocarril. 9.-Un halcn que desarrolla una velocidad constante de 100 km/h , trata de dirigirse hacia el oeste. Pero el viento que sopla de norte a sur, hace que se desva hacia el sur oeste. Determinar : a) La velocidad del viento, b) La velocidad del halcn respecto al suelo. Respuestas: a) 100 km./h , b) 141.42 km./h

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    21

    MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) HORIZONTAL Y VERTICAL. La descripcin bsica del movimiento implica el valor de cambio de posicin con el tiempo, que llamamos velocidad. Podemos ir ms un poco ms lejos como cambia ese valor. Supongamos que algo se esta moviendo a velocidad constante y luego la velocidad cambia. Semejante cambio de velocidad se denomina aceleracin.

    Definimos aceleracin como el incremento o decremento de velocidad (cambio de velocidad) con el tiempo. La aceleracin media es anloga a la velocidad media, es decir, es el cambio de velocidad dividido entre el tiempo que toma realizar ese cambio.

    En el SI de unidades, la aceleracin tendr como unidades a los 2s

    m

    Si la velocidad de una partcula cambia de magnitud, de direccin o de sentido, se dice que la partcula realiza un movimiento variado o que se encuentra acelerada. Por ejemplo: Un cuerpo que cae libremente al suelo realiza un movimiento variado o acelerado. El cuerpo al ir descendiendo va aumentando la magnitud de su velocidad, permaneciendo la magnitud de su aceleracin constante en direccin y sentido.

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    22

    Otro ejemplo lo constituye un cuerpo que realiza un movimiento circular uniforme (ver fig. III.16). En este movimiento la velocidad de la partcula (tangente a la trayectoria circular) permanece constante en magnitud pero su direccin y sentido cambia constantemente.

    En la figura III.17 se muestra la trayectoria de una partcula. Al tiempo inicial (to) la partcula posee la velocidad inicial (Vo) , y al tiempo final (t) una velocidad inicial (V). La aceleracin media, denotada

    por el smbolo a, se defina como la razn de la variacin de la velocidad (V/t).

    Tambin se le define como el incremento de velocidad (V = V- Vo) entre el incremento de tiempo (t = t - to).Es decir:

    median Aceleraci 0

    0

    ttVV

    tV

    a

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    23

    AB PQ

    tanABa

    Si el tiempo inicial es igual a cero (to=0) , entonces t = t - to = t. De donde

    La aceleracin media es una cantidad vectorial que resulta de dividir a un vector (la velocidad) entre un escalar positivo (el tiempo). La aceleracin posee la misma direccin y sentido

    que V, y su ecuacin dimensional es la siguiente

    La aceleracin posee unidades de longitudes entre unidades de tiempo al cuadrado o unidades de longitud por unidades de tiempo a la menos dos. Por ejemplo, un auto de longitud de 10 m/seg. es acelerado y en un tiempo de 2 segundos alcanza una velocidad de 24 m/seg. ,Por lo tanto

    En una grfica de velocidad contra tiempo como de la figura III.18,

    Grfica de Velocidad - tiempo

    La pendiente de la secante o del segmento es igual al cociente V/t que se

    corresponde con el valor numrico de la aceleracin media y con la tangente (tan ) de la secante. Por lo tanto

    Pendiente de la

    secante

    tiempotVV

    a velocidadla devariacin

    naceleraci 0

    2022

    TLMLT

    TL

    TTL

    tV

    a

    2/72

    /142

    /10/24segm

    segsegm

    segsegmsegm

    a

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

    24

    AB

    tanCDa

    CD

    Lo anterior muestra que en una grfica de velocidad de velocidad contra tiempo, la pendiente de la secante que cruza por dos puntos de la curva (por ejemplo P y Q) es igual al valor numrico de la aceleracin media entre esos dos puntos.

    Aceleracin Instantnea.- La aceleracin instantnea, denotada con la letra a, es un vector que se define como la aceleracin que posee una partcula en un instante de tiempo de tiempo o en un punto de su trayectoria. Grficamente, la aceleracin instantnea tiene la siguiente interpretacin: Si en la figura III.18 hacemos que el punto Q se

    aproxime (a lo largo de la curva) al punto P, el incremento tiempo(t) tender a cero y la secante girar en torno del punto P hasta situarse a lo largo de la tangente . Al lograr esto, obtendremos la aceleracin instantnea se define como el lmite a que tiende la aceleracin media cuando el tiempo tiende a cero, es decir.

    Ahora bien, la pendiente de la tangente (igual a tan ) ocupar el lugar de la pendiente de la secante, y su valor ser igual a la magnitud de la aceleracin instantnea. Es decir.

    Pendiente de la secante

    Una partcula realiza un movimiento Rectilneo Uniforme Variado (M.R.U.V.) si se desplaza en lnea recta y realiza iguales incrementos de velocidad en iguales incrementos de tiempo. Esto implica que la aceleracin media deber ser constante en magnitud, direccin, sentido; sin importar entre que puntos cuales quiera de la trayectoria se efecten las medidas de velocidad y de tiempo. Por lo tanto, en un M.R.U.V. la aceleracin media (entre dos puntos cual quiera de la trayectoria) es igual a la aceleracin instantnea en cualquier punto de la trayectoria, la cual permanece constante durante todo el recorrido. En una grfica de velocidad contra tiempo, para un Movimiento Rectilneo Uniforme Variado, resulta una recta (ver figura ) cuya pendiente es igual al valor numrico de la aceleracin.

    tV

    limat

    0

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    25

    PQ

    21 AA

    )1(

    20

    0

    VVt

    tVd

    tVV

    aa 0

    taVV 0

    20VV

    td

    Como se mencion anteriormente, en una grfica de velocidad contra tiempo, el valor numrico del desplazamiento (d) es igual al rea bajo la curva (segmento de la recta ) comprendida las coordenadas del tiempo. En la figura III.19, el rea referida es igual a A1 que es rea de un rectngulo y A2 es rea de un tringulo. Por lo tanto:

    Si el tiempo inicial es igual a cero (to=0), entonces

    Pero para un M.R.U.V,. De donde: .

    En resumen: . Esta relacin establece que: el desplazamiento es igual a la velocidad inicial por el tiempo, ms un medio de la aceleracin por el tiempo al cuadrado. Realizando operaciones en la relacin (1), resulta que

    De donde: .Esta relacin establece que: el desplazamiento, dividido entre el tiempo empleado para recorrerlo, es igual a la semisuma de las velocidades final e inicial del recorrido. Ahora bien, a=(V-V0)/t, de donde: t=(V- V0)/a. Sustituyendo esta expresin es la relacin (1), y efectuando

    operaciones resulta que:

    22

    000021

    VVttttV

    alturabaseladoladoAAd

    22

    2

    00

    attV

    tattVd

    222

    222

    2 000000 VVttVVttvVttVtVVttVd

    aVV

    aVVV

    VVaVV

    aVV

    Vd22

    22

    2000

    00

    00

    aVV

    aVVVVVVV

    aVVVVV

    22222

    22 20

    2200

    2200

    2000

    2

    2

    0

    attV

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

    26

    Por lo tanto: V

    2=V0

    2+2ad. Esta relacin establece que: la velocidad final cuadrado es igual a la

    velocidad inicial cuadrado, ms el doble producto del desplazamiento por la aceleracin.

    Relaciones, para describir el Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado (con aceleracin constante).

    PROBEMARIO III.2 1. determinar la aceleracin media de un auto que vara su velocidad de 30 a 40km/h, en un tiempo de 5seg. Solucin: Transformando los km./seg. a m/seg. se obtiene los siguientes resultados

    )(0 ItVV

    a

    )(2

    2

    0 IIat

    tVd

    )(2

    0 IIIVV

    td

    )(202 IVadVV

    segm

    hkm

    segm

    V 333.836001000

    30300

    segm

    hkm

    segm

    V 111.1136001000

    4040

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    Elabor: Francisco D. Franco M.

    27

    Por lo tanto

    2.- Determinar la aceleracin media de un ciclista que al frenar, cambia su velocidad de 7 a 4 m/seg.en un tiempo de 3 seg. Solucin :

    En este caso la aceleracin result negativa. Pero esto no siempre implica que todo cuerpo que este frenando tenga aceleracin negativa, y para comprenderlo veremos los siguientes dos problemas. 3.- Un tren que parte del reposo es acelerado hasta alcanzar, en un tiempo de 10 segundos. una velocidad constante de 10 m/seg. Si la aceleracin es constante, determinar: a) El valor de la aceleracin, b) El desplazamiento del tren durante los 10 segundos del enunciado. Solucin : a) En esta solucin suponemos que el tren (fig. III.20) se desplaza hacia la derecha del eje

    horizontal x. Por lo tanto, los vectores de velocidad y de desplazamiento son positivos.

    Ahora bien, el tren parte del reposo (V0=0m/seg.). Por lo tanto, sustituyendo valores en la relacin (I), se obtiene que:

    La aceleracin result positiva. Pero si hubiramos supuesto que el tren se moviera a la izquierda. Entonces, los vectores de velocidad seran negativos. Por lo tanto, tendramos que:

    20 /5556.0

    5/77.2

    5

    333.8111.11segm

    segsegm

    segtVV

    a segm

    segm

    20 /1

    3/3

    3

    74segm

    segsegm

    segtVV

    a segm

    segm

    20 /1

    10/10

    10

    010segm

    segsegm

    segtVV

    a segm

    segm

    20 /1

    10/10

    10

    010segm

    segsegm

    segtVV

    a segm

    segm

  • Cuadernos de Fsica Cinemtica

    Elabor: Francisco D. Franco M.

    28

    La relacin sera negativa b) Sustituyendo valores en la relacin (II), resulta que:

    El desplazamiento hubiera sido negativo si el tren viajara hacia la izquierda 4.- A un tren que viaja en lnea recta con una velocidad constante de 2 m/seg. , se le aplica los frenos y despus de 20 segundos queda en el estado de reposo . Determinar : a)El valor de la aceleracin se mantiene constante Solucin: a) Nuevamente supondremos que: El tren se desplaza hacia la derecha del eje horizontal x (ver

    figura III.20). Por lo tanto, los vectores de velocidad y desplazamiento son positivos. En este caso la velocidad inicial V0 es de 2 m/seg. y la velocidad final es igual a 0m/seg. Por lo tanto

    La aceleracin result negativa. Pero si hubiramos supuesto que el tren se moviera hacia la izquierda. Entonces, los vectores su velocidad sera negativas. Por lo tanto, tendramos que:

    La aceleracin sera positiva b) Sustituyendo valores en la relacin (II), resulta que:

    El desplazamiento hubiera sido negativo, si el tren viaja hacia la izquierda. Los resultados numricos de la aceleracin, de los problemas anteriores, ponen de manifiesto que: La aceleracin resulta POSITIVA, si el cuerpo se desplaza en el sentido positivo del eje de referencia aumentando su rapidez, o desplazamiento hacia la izquierda disminuyendo su rapidez (frenando). La

    2

    10/110/0

    2

    222

    0

    segsegmsegsegm

    attVd

    m

    mm

    segsegmm 50

    2100

    02100/1

    022

    20 /1.0

    20/2

    20

    20segm

    segsegm

    segtVV

    a segm

    segm

    20 /1.0

    20/2

    20

    20segm

    segsegm

    segtVV

    a segm

    segm

    2

    20/1.020/2

    2

    222

    0segsegm

    segsegmat

    tVd

    mmm

    mm

    segsegmm 202040

    240

    402

    400/1.040

    22

  • Cuadernos de Fsica Cinemtica

    Elabor: Francisco D. Franco M.

    29

    2

    0VVt

    d

    aceleracin resulta NEGATIVA, si el cuerpo se desplaza en el sentido positivo del eje de referencia disminuyendo su rapidez (frenando), o desplazndose hacia la izquierda aumentando su rapidez. 5.- Un joven que anda en patines, se desplaza en lnea recta con una velocidad constantes de 3m/seg . Si recibe un empujn (por la espalda ) que lo obliga a adquirir una aceleracin constante de 0.4m/seg

    2 .

    Determinar : a) La velocidad que posee cuando se desplaza 0.5metros despus del empujn , b) el tiempo transcurrido para recorrer los 0.5 metros del inciso anterior. Solucin : a) En la figura III.21 se ha supuesto que el joven se desplaza en el sentido positivo del eje x y al

    recibir el empujn, su velocidad inicial (V0 ) de 3m/seg aumente hasta un valor (V) al final de los 0.5 m.

    Lo anterior implica que la aceleracin, el desplazamiento y las velocidades son positivas . Por lo tanto, sustituyendo valores en la relacin IV (V

    2= V

    20+2ad) , resulta que:

    De donde

    Tomando el valor positivo, resulta que V=3.0659m/seg b) De la realizacin III resulta que

    222222 /4.9/4.0/95.0/4.02/3 222 segmmsegmsegmmsegmsegmV

    segmsegmV /0659.3/4.9 22

    seg

    segmm

    segmsegmm

    VVd

    t 164.0/0659.6

    1/3/0659.3

    5.022

    0

  • Cuadernos de Fsica Cinemtica

    Elabor: Francisco D. Franco M.

    30

    202attVd

    tVV

    a 0

    6.- Un avin que se encuentra inicialmente reposo, comienza a moverse con una aceleracin constante de 8.01m/seg

    2 y recorre una distancia de 1000metros antes de elevarse. Calcular : a)El

    tiempo que tarda en recorrer los 100m. b) La velocidad que posee al final de los 1000m. Solucin : a) En la figura III.22 se ha supuesto que el avin viaje hacia la derecha del eje de referencia.

    Las velocidades y el desplazamiento son positivos y puesto que la rapidez aumenta, la aceleracin tambin es positiva. Ahora bien, puesto que la velocidad inicial (V0) es nula. Entonces, de la relacin II resulta que

    De donde

    b) Sea V la velocidad al final de los 1000m. Entonces, de la relacin I y sabiendo que V0 es nula, resulta que

    7.- Un elevador, que inicialmente se encuentra en reposo, comienza a acceder y cuando se ha desplazando 1metro posee una velocidad constante de 0.5m/seg. Si el movimiento inicial se realiza con aceleracin constante, determinar: a) El tiempo empleado para desplazar ce el metro indicado en el enunciado , b) El valor de la aceleracin.

    222

    2 68789.24901.8

    2000/01.8

    100022segseg

    segmm

    ad

    t

    segsegt 80.1568789.249 2

    hkmsegmsegsegmatV /6088.455/558.12680.15/01.8 2

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    31

    Solucin : a)puesto que el elevador asciende (ver fig. III.23), el desplazamiento y las velocidades adquiridas son positivas.

    Ahora bien, puesto que el elevador parte del reposo (Vo= 0 m/seg) entonces de la relacin III (d/t = [V + Vo]/2), resulta que:

    segsegsegmm

    Vd

    t 45.0

    2/5.0)1(22

    b) Puesto que Vo es nula, de la relacin I (a= [V Vo] /t) se obtiene que:

    2/125.04

    /5.0segm

    segsegm

    tV

    a

    8._ Resolver el problema anterior suponiendo que el elevador desciende en lugar de ascender Solucin : a) Puesto que el elevador desciende, el desplazamiento y las velocidades adquiridas son negativas. Ahora bien, de la relacin III (d/t = [V + Vo]/2)y sabiendo que Vo es nula, se obtiene que:

    segsegsegmm

    Vd

    t 45.0

    2/5.0)1(22

    El tiempo siempre ser positivo b) De la relacin I (a= [V Vo]/t) y puesto que Vo es nula, se obtiene que

    2/125.04

    /5.0segm

    segsegm

    tV

    a

    La aceleracin resulto negativa

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    32

    9._ Un elevador que asciende con una velocidad constante de 0.9 m/seg. Comienza a frenar en un tiempo de 6 seg. se desplaza 3 metros, Si al frenar la aceleracin es constante, calcular: a) El valor de la aceleracin, b) la velocidad al final de los 6 segundos del enunciado, b) El tiempo transcurrido para quedar en reposo, d) El desplazamiento realizado, desde el instante en que se aplican los frenos, hasta que se detiene. Solucin : a)Puesto que el elevador asciende, el desplazamiento y las velocidades adquiridas son positivas. La velocidad inicial del elevador (Vo) es de 0.9 m/seg. . Por lo tanto, de la relacin II ( d= Vot + at

    2 /2),

    se obtiene que:

    222 36]4.53[2

    )6()]6)(/9.0(3[2][

    segmm

    segsegsegmm

    tVotda

    a

    222 /1333.036

    8.436

    ]4.2[2segm

    segm

    segm

    La aceleracin resulto negativa b) Sea V1 la velocidad al final de los 6 segundos del enunciado. Por lo tanto de la relacin III (d/t = [V1 + Vo]/2 ) , se obtiene que:

    segmsegm

    segmsegm

    Votd

    V /9.066

    /9.063

    221

    segmsegmsegm /1.0/9.0/1 c) Sea t 1 el tiempo transcurrido, desde que se aplican los frenos, hasta que el elevador se detiene. En este caso, la velocidad inicial es la misma que en los incisos anteriores y la velocidad final (representada por V2) tiene un valor nulo. Por lo tanto, de la relacin I (a= [V 2 V0] / t1] resulta que:

    segsegmsegm

    aV

    t 751.6/133.0

    /9.001

    d) Sea d 1 el desplazamiento realizado, desde el instante en que se aplican los frenos, hasta que el elevador se detiene. Por lo tanto , de la relacin IV (V 2

    2= V 0

    2 + 2 a d 1) y sabiendo que V 2 es nula,

    se tiene que:

    segsegmsegm

    aV

    d 751.6/133.0/9.0

    2

    20

    1

    10._ Desde la parte superior de un plano inclinado 30, una moneda que parte del reposo comienza a descender con una aceleracin constante de 4.9 m/seg

    2. si el plano mide 0.6 metros de longitud,

    calcular: a) El tiempo que tarda la moneda en descender por l por el plano, b) La velocidad de la moneda al llegar al pie del plano inclinado.

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    33

    Solucin : a) La inclinacin del plano (Figura III.24 ) no es importante por que ya nos dan el valor de la aceleracin. La moneda, al descender, realiza un desplazamiento cuya magnitud es igual a la longitud del plano. En la figura se ha elegido a lo largo del plano, un eje de referencia X que no es horizontal pero concuerda con la trayectoria de la moneda. Puesto que la moneda parte del reposo (V 0 es nula) y su velocidad se incrementa al moverse en el sentido positivo del eje X entonces, el desplazamiento, las velocidades y la aceleracin resultan positivas. Por lo tanto, de la relacin II ( d= Vot + at

    2 /2), se

    obtiene que:

    222

    2 24489795.0/9.42.1

    /9.4)6.0(22

    segsegmm

    segmm

    ad

    t

    de donde

    segsegt 4948.02444897995.0 2 b) sabiendo que V 0 es nula. Entonces de la relacin IV (V 2

    2= V 0

    2 + 2 a d 1) resulta que:

    2222 /88.5)6.0)(/9.4(22 segmmsegmadV

    De donde

    segmsegmV /4248.2/88.5 22 11._ Una canica que se desplaza en lnea recta, sobre una superficie horizontal, viaja con una velocidad constante de 0.42 m/seg. 2, calcular: a) El tiempo empleado por la canica en recorrer un metro de distancia, a partir del instante en que comienza a frenar, b) La velocidad de la canica, cuando termina de recorrer el primer metro a que se hace referencia en el inciso anterior Solucin: En la figura III.25 se ha supuesto que la canica se desplaza hacia la derecha del eje horizontal X. Cuando la canica comienza a frenar, su velocidad disminuye pero su valor se mantiene positivo. Por este motivo, el valor de la aceleracin es negativo; y al recorrer el primer metro, la canica varia su velocidad desde un valor inicial V 0 (de 2m/seg) hasta un valor final V.

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    34

    Por lo tanto, sustituyendo valores en la relacin II (d= Vot + at

    2 /2) se obtienen los siguientes

    resultados

    2)/42.0(

    )/2(122 tsegm

    tsegmm

    22)/21.0()/2(1 tsegmtsegmm

    Pasando todos los trminos al primer miembro de la igualdad, se obtiene que

    )1.(..............................01)/2()/21.0( 22 tsegmtsegm La igualdad anterior es una ecuacin de segundo grado de la forma AX

    2 + BX + C = 0, cuya solucin

    es la siguiente:

    ACABB

    X2

    ))((4)()( 2

    Para el caso especial de la ecuacin (1), se tiene que: X = t, A= 0.21 m /seg. 2, B = -2 m/seg. , C = 1 m. Por lo tanto.

    )/21.0(2)1)(/21.0(4)/2()/2(

    2

    22

    segmmsegmsegmsegm

    t

    2

    22

    2

    2222

    /42.016.3/2

    /42.0/84.0/4/2

    segmsegmsegm

    segmsegmsegmsegm

    2/42.0/7776388.1/2

    segmsegmsegm