cap 1 cinemática de partículas

52
Mecánica de los cuerpos macroscópicos Movimiento mecánico

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Page 1: Cap 1 cinemática de partículas

Mecánica de los cuerpos

macroscópicos

Movimiento mecánico

Page 2: Cap 1 cinemática de partículas

Cinemática: Rama de la Mecánica que se dedica a la descripción del movimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo provocan. Dinámica:Rama de la Mecánica que se dedica a investigar las causas que provocan el movimiento mecánico. Justificar el movimiento.

Page 3: Cap 1 cinemática de partículas

Movimiento Mecánico:

Cambio de posición de un cuerpo en función del tiempo, con respecto a otros, tomados como referencia.

El tiempo es el parámetro

de control

Definir Sistema de Referencia

(SR)

Page 4: Cap 1 cinemática de partículas

Pasos para el estudio del movimiento mecánico

• Definición del objeto de estudio

• Definición del Sistema de Referencia (SR)

• Identificación de las magnitudes físicas apropiadas y sus relaciones.

• Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.

• Utilización del principio de independencia de los movimientos de Galileo así como del principio de superposición. Empleo de las leyes que controlan el movimiento.

Page 5: Cap 1 cinemática de partículas

SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.

x(t)

y(t)

z(t)

Se le asocia

• Observador

• Sistema de Coordenadas

y

x

z

• Reloj

Pasos para el estudio del movimiento mecánico

Page 6: Cap 1 cinemática de partículas

SRI: Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU.

Los SRI tienen entre ellos velocidad constante

Pasos para el estudio del movimiento mecánico

SRNI: Es aquel para el cual el sistema bajo estudio sin la acción de otros

cuerpos, experimenta aceleraciones.

Page 7: Cap 1 cinemática de partículas

Magnitudes Físicas

Cinemáticas

Posición, Velocidad,

Aceleración

Dinámicas

Fuerza, Torque

Pasos para el estudio del movimiento mecánico

Page 8: Cap 1 cinemática de partículas

Modelos

de Partícula: el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.

de Cuerpo Rígido: Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varían.

Pasos para el estudio del movimiento mecánico

Page 9: Cap 1 cinemática de partículas

Traslación pura

Es aplicable el modelo de partícula

Pasos para el estudio del movimiento mecánico

Page 10: Cap 1 cinemática de partículas

Rotación pura de cuerpo sólido

Es aplicable el modelo del

cuerpo rígido pero no el de

partícula

Es aplicable el modelo de partícula

Pasos para el estudio del movimiento mecánico

Page 11: Cap 1 cinemática de partículas

Métodos

•Vectorial (conciso, elegante)

•de Coordenadas

Mayor número de ecuaciones

•Natural Coordenadas curvilíneas

Problemas de la cinemática

Posición (t)

Velocidad (t)

Aceleración (t)

P. Dire

cto

P. I

nvers

o

Con

d.

Inic

iale

s

Page 12: Cap 1 cinemática de partículas

12

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t ha sido en la tabla adjunta. Calcular su velocidad media en el intervalo de tiempo entre:  2 y 3 s.  2 y 2.1 s.  2 y 2.01 s.  2 y 2.001 s.  2 y 2.0001 s.  Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m

t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t   m/s

3 46 25 1 25

2.1 23.05 2.05 0.1 20.5

2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05

2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005

2.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005

 ...   ...  ...  ...  ...

  0 20

Page 13: Cap 1 cinemática de partículas

13

Derivada de una función en un punto Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe,

Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera que cuando h→0 se cumplirá que x→a.La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera:

)()()(

lim0

afh

afhafdxdf

h

Derivada de funciones

Page 14: Cap 1 cinemática de partículas

Sea la función y=f(x) = x2 -2x -1. Queremos calcular la derivada en el punto de abcisa x=2.

La ordenada correspondiente es  f(2) = -1Veamos el procedimiento a seguir:

2lim2

)2(lim

2

2lim

2

)1()12(lim

2

)2()(lim)2(

22

2

2

2

22

xx

xx

x

xx

x

xx

x

fxff

xxxxx

Derivada de funciones

Page 15: Cap 1 cinemática de partículas

431

31

1

32

1

212

1

11

11

2

1

2

11

)(lim))((

limlim

)()(lim

)()(lim)(

xx

xx

x

xx

x

xx

x

fxff

xxx

xx

Esto lo podemos hacer en cualquier punto del dominio de la función. Por ejemplo en el punto cualquiera “a”

2222

1212

22

22

aaxax

axax

ax

aaxx

ax

afxfaf

axax

axax

)(lim)()(

lim

)()(lim

)()(lim)(

Sigamos con otro ejemplo y calculemos para la función anterior y=x2 -2x -1 la derivada en x = -1La ordenada para x = -1 es f(-1)= 2

Derivada de funciones

Page 16: Cap 1 cinemática de partículas

22)( xxfComprueba estos resultados: Función F

primitiva de ffunción fderivada de F

xn + k nx n-1, para todo n ≠ 0

e x + k e x

ln x + k 1 / x

x-n + k -n x–n-1

Cos x + k - sin x

sin x + k cos x

a x, a>0 ln a . a x

x1/2 ½ x-1/2

Ax + b A

Como “a” es cualquier punto del dominio, entonces es variable que la representaremos con x también y diremos: 

Derivada de funciones

Page 17: Cap 1 cinemática de partículas

Propiedad lineal de la derivadaPara funciones dentro del dominio de las derivadas

donde c es una constante

dx

dg

dx

df))x(g)x(f(

dx

d dx

dfc)x(cf

dx

d

dx

dfg

dx

dgf)x(g)x(f

dx

d

2g/)dx

dgf

dx

dfg()x(g/)x(f

dx

d

dx

df

df

dg))x(f(g

dx

d

Derivada de un producto

Derivada de un cociente

Regla de la cadena

Derivada de funciones

Page 18: Cap 1 cinemática de partículas

Otras PropiedadesSi f’(x) en x=a es positiva entonces f(x) en x=a es crecienteSi f’(x) en x=a es negativa entonces f(x) en x=a es decrecienteSi f’(x) en x=a es cero entonces f(x) en x=a tiene un punto critico extremoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es negativa entonces f(x) en x=a tiene un maximoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es positiva entonces f(x) en x=a tiene un minimoCurvaturaSi f´´(x) en cierto intervalo es positiva entonces f(x) es concava hacia arribaSi f´´(x) en cierto intervalo es negativa entonces f(x) es concava hacia abajoSi f(x) en cierto punto esta cambiando la concavidad entonces en dicho punto f´´(x) es cero.

Derivada de funciones

Page 19: Cap 1 cinemática de partículas

EJERCICIOS1.- Un cuerpo es movido levemente desde una posición de equilibrio inestable. Su velocidad aumenta según el fórmula v(x)=A√x , donde x es la distancia desde el punto de partida y A es una constante. ¿Cuánto vale la aceleración del cuerpo y que tipo de movimiento realiza?2.- La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2 , y=6t . Determinar el módulo del vector velocidad y aceleración en el instante t=4 (t se expresa en segundos , x e y en metros).3.- Hallar las dimensiones del rectángulo de area maxima inscrito en : a) En un triángulo equilátero de lado a. b) En un triángulo isósceles , que tiene por base 10 y por altura 16 cm, respectivamente. 4.- Dados tres segmentos de longitud a, hallar un cuarto segmento de longitud b que forma con los anteriores un trapecio isósceles de área máxima. Nota: Area=1/2(a+b)h

Derivada de funciones

Page 20: Cap 1 cinemática de partículas

EJERCICIO1.- Una partícula se mueve sobre un plano XY con una velocidad dada por v = (2t-2) i + 3 j , expresada en m/s. Cuando t = 2s su vector de posición es r = 2 i + 3 j, medido en m. Determinar la ecuación de la trayectoria de la partícula.

Problema inverso

Posición (t)

Velocidad (t)

Aceleración (t)

P. I

nvers

o

Con

d.

Inic

iale

s

Derivada Antiderivada

xn (n+1)-1 x n+1 +C para todo n ≠ -1

e x e x +C

1/x lnx+C

cosx senx+C

sen x - cos x+C

A Ax+C

lnx xlnx-x

ax ax /lna

1 x

Page 21: Cap 1 cinemática de partículas

ttr

tr

)(: trposición

ttV

tV

dt

dr

t

rtVvelocidad

t

lim

0

)(:dtdV

tanaceleració )(:

mV r

tr

Vmediavelocidad m :

r

)()(: trttrrentodesplazami

t

tVttVanaceleració m

:media

Vectorialdr

Page 22: Cap 1 cinemática de partículas

)(tx

)(ty

)(tz)(),(),(: tztytxposición

,)(:dtdx

tVvelocidad x

dtdy

tVy )(

dtdz

tVz )(

dtdV

tanaceleració xx )(:

dt

dVta y

y )(

dtdV

ta zz )(

De Coord.

y

x

zzyxentodesplazami ,,:

Page 23: Cap 1 cinemática de partículas

,)(: Vdtds

tVvelocidad

dtdV

taT )(

Ta

a

22

TNaaa

n

0s0s

nV

dtd

Vtanaceleració N 2

)(:

Na

Natural

)()(: Vdtd

dtdV

tanaceleració

n

)(: tsposición

0s

Page 24: Cap 1 cinemática de partículas

Ejercicio

Si el vector posición de una partícula esta dada por:

k)14t4(jt)7(ti)(t(t)r 232 t

Hallar:1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]ssu velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s7) Su aceleración tangencial en t=2s8) Su aceleración normal en t=2s9) Su radio de curvatura en t=2s

Page 25: Cap 1 cinemática de partículas

25

Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1, z=5t-2 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante.Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

Ejercicio

Page 26: Cap 1 cinemática de partículas

26

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4

m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Ejercicio

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil

vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del

móvil en cualquier instante.

Page 27: Cap 1 cinemática de partículas

27

Ejercicio

1. Identificar sistema físico:

La pelota

2. Selección del SRI (Ubicación del Observador):

La azotea (ver gráfico). Tiempo t=0 al inicio del movimiento

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

Page 28: Cap 1 cinemática de partículas

28

Ejercicio

3. Selección del método o métodos:

de coordenadas

4. Resolver el problema directo (derivando) o el indirecto (integrando) o ambos:

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

Page 29: Cap 1 cinemática de partículas

29

Ejercicio

15102150

)15;0()0(102

102

21

21

22

tvtvCC

tvCtvCtv

msamsa

yx

yx

yx

ttytx

CCyx

CttyCtx

155

000)0(0)0(

155

22

43

42

32

Problema indirecto

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

Page 30: Cap 1 cinemática de partículas

30

Ejercicio

mtxd

stttmy

x 25)5(

551550 *2**

mtyh

sttttvy

25,6150)5,1(5)5,1(1550)(

5,1101500)(2

max

Distancia horizontal

Altura máxima

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

Page 31: Cap 1 cinemática de partículas

31

Ejercicio

El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobreel suelo (10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m.

Instantes para y=10m

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura máxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

bajandosmvsmvst

subiendosmvsmvst

ststtty

yx

yx

/5/42

/5/21

1^251510 2

Page 32: Cap 1 cinemática de partículas

Ejercicio

Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine:

a) El tiempo que permanece en el aire.

b) Su posición en el instante t = 5 s.

c) La altura máxima alcanzada.

d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s

e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s

Page 33: Cap 1 cinemática de partículas

33

Posición angular, q

Velocidad angular, w

El ángulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Aceleración angular, a

Movimiento circular

Page 34: Cap 1 cinemática de partículas

34

Movimiento circular uniforme

Movimiento circular uniformemente acelerado

Movimiento circular

Page 35: Cap 1 cinemática de partículas

35

nt aanrra

dt

d

d

drr

dt

dr

dt

dr

dt

vda

2

Magnitudes lineales y angulares

Aceleración tangencial

rdt

ds

dt

rdv

dsrd

Aceleración normal

Movimiento circular

Page 36: Cap 1 cinemática de partículas

EjemploUna rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene de manera uniforme en 4s. Calcular:

1. La aceleración angular ω=ω0+αt En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0 α=-π rad/s2

El ángulo girado hasta este instante es

2. La posición y la velocidad angular del móvil en el instante t=1 s θ=0+4π ·1-π/2=7π/2 rad ω=4π+(-π)·1=3π rad/s La velocidad lineal v=ω·r     v=0.1·3π=0.3π m/s

3. La componente tangencial de la aceleración es at=α·r      at=-0.1π m/s2

4. La componente normal de la aceleración es

Movimiento circular

Page 37: Cap 1 cinemática de partículas

37

2211

2211

rrs

rrvc

Movimiento de una bicicleta

bba

bbaa

rrv

rrs

2

2

2

2

rr

vv

tt

r

v

r

v

vtrvts

ac

bba

bb

a

aa

Movimiento circular

Page 38: Cap 1 cinemática de partículas

38

•Sean dos observadores O y O’ que se desplazan uno respecto al otro con un movimiento rectilíneo.

O

X

Y

Z

Y’

Z’

X’O’R

Ov

r

P(x,y,z) (x’,y’,z’)r

La relación entre la posición de la partícula descrita por O y O’ es

RrrRrr

Relatividad del movimiento

Page 39: Cap 1 cinemática de partículas

39

Page 40: Cap 1 cinemática de partículas

40

O

X

Y

Z

Y’

Z’

X’O’R

Ov

Derivando respecto a t la expresión anterior

O

vvvdt

Rd

dt

rd

dt

rd

Y derivando nuevamente

OO

aaa

dt

vd

dt

vd

dt

vd

Si O’ se desplaza respecto de O con un movimiento rectilíneo uniforme se tiene que

0OO actev

aa

vvv

Rrr

O Transformaciones de Galileo

r

P(x,y,z) (x’,y’,z’)r

Relatividad del movimiento

Page 41: Cap 1 cinemática de partículas

41

P

rr

O

X Y

Z

Y’

Z’

X’

O’

t

t

•Sean dos observadores O y O’ que giran uno con respecto a otro con velocidad angular uniforme sin traslación relativa.

rr vector de posición de P respecto del

origen común

Odt

rdv

velocidad de P medida por O

• Si P está en reposo respecto a O’ entonces

'Odt

rdv

velocidad de P medida por O’

0v

pero como O’ gira con velocidad angular respecto a O, entonces P describirá un movimiento circular respecto a O, cumpliéndose que

rv

Relatividad del movimiento

Page 42: Cap 1 cinemática de partículas

42

•Pero si P se mueve respecto de O’ entonces

0v

y ambas velocidades se encuentran relacionadas a través de

rvvrvv

•La relación entre la aceleración de P medida por O y O’ viene dada por

centrífuganAceleració

CoriolisdenAceleració

rvaa

2

Relatividad del movimiento

Page 43: Cap 1 cinemática de partículas

43

•En el caso más general en que O’ se traslada y gira respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores es

rvaaarvvv

O

O

2'

'

Ov

P

O

X

Y

Z

SRF

O’

X’

Y’

Z’

SRM

Traslación de O’ respecto O

Rotación de O’ respecto O

Relatividad del movimiento

Page 44: Cap 1 cinemática de partículas

44

Aceleración de Coriolis•La aceleración de Coriolis es perpendicular a la velocidad de la partícula respecto del observador móvil, y su efecto consiste en desviar la partícula en una dirección perpendicular a la velocidad.

Desviación hacia el este de un cuerpo en caida libre en el Hemisferio Norte, debida a la aceleración de Coriolis

Plano horizontal

S

N

E

O

Vertical

A

S

N

v

2

Eje terrestre

Polo Norte

Plano ecuatorial

C

Eje terrestre

A’

Trayectoria Plano

horizontal

v

Vertic

al

A

v

Relatividad del movimiento

Page 45: Cap 1 cinemática de partículas

45

Aceleración de Coriolis

Desviación hacia la derecha de un cuerpo que se mueve horizontalmente en el hemisferio norte

Trayectoria

v

Plano ecuatorial

S

N

Vertic

al

Polo Norte

Plano horizontal

C

Eje terrestre

v

2

Ha E

S

N

O

Plano horizontal

Vertical Eje terrestre

Relatividad del movimiento

Page 46: Cap 1 cinemática de partículas

46

•Desarrollo de centros de bajas presiones en la atmósfera.

Baja Presión

Baja Presión

Hemisferio Norte

Hemisferio Sur

Relatividad del movimiento

Page 47: Cap 1 cinemática de partículas

47

•Péndulo de Foucault.

N

S

EOB

Hemisferio Norte

A’’’

B’’’

A’’

B’’

A’

B’

A

Relatividad del movimiento

Page 48: Cap 1 cinemática de partículas

•En el caso más general en que O’ se mueve con respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores es

rvaaarvvv

O

O

2'

'

Ov

P

O

X

Y

Z

SRF

O’

X’

Y’

Z’

SRM

Traslación de O’ respecto O

Rotación de O’ respecto O

Suma de velocidades

OOPOOP

OOPOOP

aaa

vvv

OOOPPO

OOOPPO

aaa

vvv

Trasformaciones de Galileo

Page 49: Cap 1 cinemática de partículas

•En el caso más general en que O’ se mueve con respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores es

rvaaarvvv

O

O

2'

'

Ov

P

O

X

Y

Z

SRF

O’

X’

Y’

Z’

SRM

Traslación de O’ respecto O

Rotación de O’ respecto O

Suma de velocidades

luzladevelocidadcc

vvvv

vOOPO

OOPOOP

21

Trasformaciones de Lorentz

Page 50: Cap 1 cinemática de partículas

50

Suma de velocidades

Un avión que viaja al Este, en una región sin viento a 40 m/s, se encuentra con un viento de 10 m/s en dirección 20 grados al Este del Norte. Considerando que la rapidez con respecto al aire se mantiene, como debe orientarse el avión para que su desplazamiento continúe al Este? Con qué rapidez se moverá ahora hacia el Este?

Page 51: Cap 1 cinemática de partículas

51

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba). Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es vBT=c+vBA, es decir de 7 m/s.Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es 3-4= -1 m/s.

El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c) El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)El tiempo total es

Con los datos t=800/7=114.3 s.

Suma de velocidades

Page 52: Cap 1 cinemática de partículas

52

Un río fluye hacia el este con velocidad de vAT =3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de vBA =4 m/s.¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?Calcular la velocidad del bote respecto de tierra.Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

El vector velocidad vBT del barco debe apuntar hacia P. El resultado de la suma vBT=vBA+vAT es vBT =vBA cosθ0=vAT-vBA senθ

smvvvvvv ATBABTBAATBT /.65291622222

5484

652.

.cos s

vv

d

v

dt

ATBABT

4775652

20022

22.

.

Suma de velocidades