unidad 2 cinemática

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Cinemtica: Magnitudes cinemticas

Unidad 2I.E.S. Miguel Romero Esteo Curso 2010/2011

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Contenidos (1)1.- Introduccin. 2.- Magnitudes escalares y vectoriales. 3.- Sistemas de referencia. Concepto de movimiento. 4.- Operaciones con vectores. 5.- Trayectoria, posicin y desplazamiento. 6.- Velocidad media e instantnea (introduccin al concepto de derivada).

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Contenidos (2)7.- Aceleracin media e instantnea. 8.- Componentes intrnsecas de la aceleracin: tangencial y normal..

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Magnitudes escalares y vectoriales Escalares: quedan perfectamente definidas con una cantidad (nmero) y una unidad Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg.

Vectoriales (vectores): Se caracterizan por: Mdulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud del vector. Es la parte escalar. Direccin: es la recta que contiene el vector. Sentido: indicado por la punta de la flecha. Punto de aplicacin: origen de la flecha. Ejemplo: la posicin, velocidad, fuerza...

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Sistema de referencia y movimiento Un objeto se encuentra en movimiento si cambia su posicin respecto al sistema de referencia. Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (mdulo igual a 1): i sobre el eje x j sobre el eje y k sobre el eje zz y

k

j i x

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Vectores Se representan con una flecha encima de la letra que utilizada para dicha magnitud. Se suelen expresar en forma cartesiana en donde ax, ay y az son sus componentes cartesianas: p p p p a = ax i + ay j + az k A partir de ahora, los vectores los escribiremos en negrita y diferente color para mayor comodidad: a = ax i + ay j + az k en donde i, j y k representan los vectores unitarios sobre los ejes x, y, z.

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Suma de vectores Sean dos vectores: a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k El vector suma vendr dado por: a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j + (az + bz) ky

Ejemplo: Sean a=3i+2j b=2i3j a + b = (3+2) i + (2 3) j =5 ij

a5

x b

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Clculo del mdulo de un vector. Sean un vector: a = ax i + ay j + az k El mdulo de a, que se representa como |a| se calcula aplicando el teorema de Pitgoras: ____________ |a| = ax2 + ay2 + az2 Ejemplo: En el vector anterior c = a + b= 5 i j ____________ ____________ ___ |c| = cx2 + cy2 + cz2 = 52 + (1)2 + 02 = 26

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Vector Posicin ( r = r) . Para un punto P de coordenadas (x,y,z) el vector posicin viene dado por: r=xi+yj+zk

r=2i+2j

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Ecuacin del movimiento La ecuacin que proporciona la posicin de un objeto con respecto al tiempo se llama ecuacin del movimiento ecuacin movimiento: r(t) = x(t) i + y(t) j +z(t) k Ejemplo: r(t) = [2t i + (1t) j + (3t2+4) k] m En el S.I. la unidad ser el m.

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Ejercicio:

Sea el movimiento definido por la siguiente ecuacin r = 2t i + 8j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posicin en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos.y10

t (s) r (m) 0 8 j (0,8) 2 4 i + 8 j (4,8) 4 8 i + 8 j (8,8) 6 12 i + 8 j (12,8)

5

5

10

x

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Ecuaciones paramtricas. Son las ecuaciones que relacionan cada componente cartesiana con el tiempo. x = f(t); y = g(t); z = h(t) Son ecuaciones escalares (no vectores). Ejemplo: En el vector: Ejemplo:r(t) = [2ti + (1t) j + (3t2+4)k] m

las ecuaciones paramtricas seran: x = 2t ; y = 1 t ; z = 3t2 + 4

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Trayectoria Es la lnea que sigue el movimiento. Los diferentes puntos de dicha lnea se obtienen dando valores a t en la ecuacin del movimiento (paramtricas).y

x

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Ecuaciones de la trayectoria. Se obtienen despejando el parmetro (tiempo) en una ecuacin y sustituyendo el valor en la otra. Son ecuaciones escalares (no vectores). Ejemplo: r(t) = [(2t+3)i + t2j ] m x = 2t+3 ; y =t2 t = x-3 y = x-3 2 2 2 Expresin que corresponde a la ecuacin de la trayectoria de una parbola.

Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramtricasy de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuacin: r(t) = [(t 2)i + (2t2 + 4t 3 )j] mEcuaciones paramtricas: x=t2 ; y = 2t2 + 4t 3

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Despejando tde la 1 ecuacin: t = x + 2 Y sustituyendo en la segunda: y = 2 (x + 2)2 + 4(x + 2) 3 y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4(x + 2) 3 y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 3 Ecuacin de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13

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Ejercicio: Determina el valor del vector posicin del vector : r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el mdulo de dichos vectores y la ecuacin de la trayectoria. t (s) 0 2 r(t) (m) 6j 6i+ 2j r(t) (m) (6)2

= 6,00 = 6,32

62 + 22

122 + 262 = 28,64 4 12 i + 26 j 6 18 i + 66 j 182 + 662 = 68,41 Despejando t de x = 3 t t = x/3, y sustituyendo en y = 2 t2 6 queda: y = 2x2/9 6 y = 2(x/3)2 6;

Ejercicio: Representa grficamente la ecuacinanterior: (0,6); (6,2); (12,26); (18,66).y50

17

25

5

10

15

x

18

Vector desplazamiento ((r = (r) Es el vector diferencia de dos vectores de posicin en dos momentos distintos. Sean r0 = x0 i + y0 j + z0 k y r1 = x1 i + y1 j + z1 k Dos vectores posicin.

(r = r1 r0 = (x1x0) i + (y1y0) j + (z1z0) k= = (x i + ( y j + (z k En el S.I. la unidad ser el m.

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Ejercicio: Cul ser el vector desplazamiento ycunto valdr su mdulo en la ecuacin anterior: r(t) = 3t i + (2t2 6) j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s. r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m r2 (t= 4 s) = (12 i + 26j) m (r = r2 r1 = (x i + ( y j + (z k = = [(12 6) i + (26 2) j] m (r = (6 i + 24 j) m (r= 62 + 242 m = 36 + 576 m = 24,74 m

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p Velocidad media (vm = vm) (r (x i + ( y j + (z k vm = = (t (t (x (y (z vm = i + j + k (t (t (t vm = vmx i + vmy j + vmz k

El mdulo del vector vm toma el valor: 2 vm= vmx2 + vmy2 + vmz

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Velocidad media (continuacin) La direccin y el sentido son los mismos que los del vector desplazamiento (r ya que (t es un escalar. En el S.I. la unidad ser el m/s.

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Ejercicio: Calcular la velocidad media entre losinstantes t = 2s y t = 5, as como su mdulo en el movimiento: r(t) = [(2t2 4) i + (1 4t) j] m r1 (t =2 s) = (4 i 7 j) m r2 (t =5 s) = (46 i 19 j) m (r (2sp5s) = r2 r1 = (42 i 12 j) m (r (42 i 12 j) m vm (2sp5s) = = = (14 i 4 j) m/s (t 5s2s vm (2sp5s)= (14 m/s)2 + ( 4 m/s)2 = 14,56 m/s

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Velocidad instantnea (v = v) Es el valor lmite que toma la velocidad media cuando los intervalos de tiempo (t van aproximndose a 0.

p

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Componentes cartesianas de la velocidad instantnea v(x i + ( y j + (z k (r v = lim = lim (tp0 (t (tp0 (t dr dx dy dz v = = i + j + k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k

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Velocidad instantnea (cont.) La direccin de v es tangente a la trayectoria en el instante en el que calculemos la velocidad. El sentido es el del movimiento.

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Ejemplo: Calcular la expresin del vector velocidad del vector de posicin r(t) = [3t i + (2t2 6) j]m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo. v = dr/dt = 3 i + 4t j Ecuacin de la velocidad: v = 3 i + 4t jt (s) 0 2 4 6 v(t) (m/s) 3i 3i + 8j 3 i + 16 j 3 i + 24 j v(t) (m/s) 32 32 + 82 32 + 162 32 + 242 =3 = 854 = 1628 = 2419

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Aceleracin media (am = am) La definicin es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues indica la variacin de velocidad con el tiempo.(v (vx i + ( vy j + (vz k am = = (t (t

am = amx i + amy j + amz k En el S.I. la unidad ser el m/s2.

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Aceleracin instantnea (a = a).(v (vx i + (vy j + (vz k a = lim = lim (tp0 (t (tp0 (t dv dvx dvy dvz a = = i + j + k dt dt dt dt a = ax i + ay j + az k La direccin y el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad (v ya que (t es un escalar.

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Ejemplo: Calcular la expresin del vector aceleracin del movimiento anterior r(t) = 3ti + (2t26)j, cuyo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.

Ecuacin del movimiento (de la posicin): r(t) = 3ti + (2t26)j Ecuacin de la velocidad: v = 3 i + 4t j Ecuacin de la aceleracin: a = dv/dt = 4 j Para todos los valores de tiempo a = 4 j m/s2, ya que se observa que a no depende de t. 2 a= 42 m/s = 4 m/s2

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Componentes intrnsecas de la aceleracin nicamente en los movimientos rectilneos a tiene la misma direccin y sentido que v. En general, a tiene una direccin y sentido hacia dentro de la curva, con lo que normalmente se descompone en dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel. normal) tangente y perpendicular a la trayectoria.

Componentes intrnsecas de la aceleracin (at y an)a = at + an = at ut + anun siendo ut y un los vectores unitarios tangente y perpendicular a la trayectoria en el punto en el que calculamos la aceleracin. dv v2 an=an= at=at= ; dt Rsiendo R el radio de curvatura de la trayectoria. Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R

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2 Igualmente llamamos a = a= at2 + an

Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pista

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circular de 1 km de radio. El mdulo de la velocidad aumenta segn la ecuacin: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a) la aceleracin tangencial; b) la aceleracin normal y el mdulo del vector a a los 6 s. a) at = = 7 m/s2 at = 7 ut m/s2 dt b) v2 49 t2 m2s-2 an = = = 0,049 t2 m/s2 R 1000 m an (t= 6 s) = 0,049 62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; an = 1,76 un m/s2 2 a (t= 6) = at2 + an2 = 72 + 1,7642 m/s = 7,2 m/s2

dv