cinemática - 2

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T2 CINEMTICA

27 27 45ENCUENTRO

CUNDO DOS COSAS SE ENCUENTRAN? Dos cosas se encuentran cuando pasan por el mismo lugar al mismo tiempo. Fjate que esto ltimo lo subray. Es que para que 2 cosas se encuentren no alcanza con que pasen por el mismo lugar. Tienen que pasar por el mismo lugar al Mismo tiempo. El otro da vos fuiste a lo de tu primo. Vos sabes que justamente yo tambin fui a lo de tu primo? Pero no te vi. Cmo puede ser que no te haya visto si estuvimos en el mismo lugar? Bueno, seguramente habremos estado a diferentes horas, o diferentes das. Es decir, los 2 estuvimos en el mismo lugar pero NO al mismo tiempo. No te compliques. Esto que parece fcil, es fcil. Una situacin de encuentro podra ser la siguiente: Esto muestra una ruta vista de arriba. (Tpico problema de encuentro). SISTEMA DE REFERENCIA

En algn momento los dos autos se van a encontrar en alguna parte de la ruta.

Lo que va a pasar ah es esto:

Este asunto del encuentro lo pongo en forma fsica as: Xa =xB para = te

Condicin encuentro Esta condicin se cumple en todos los casos y en todos los problemas de encuentro. Es decir, puede ser que los coches estn viajando en el mismo sentido o en sentido contrario. Puede ser que uno vaya frenando y el otro acelerando. Puede uno ir con MRUV y el otro con MRU. Lo que sea. La historia es siempre la misma y la condicin ser xA = xB para t = te. COMO RESOLVER PROBLEMAS DE ENCUENTRO: Los problemas de encuentro son problemas en los que una cosa sale del lugar A y otra sale del lugar B. Pueden salir al mismo tiempo o no. Pueden moverse en el mismo sentido o no. Pueden ir con MRU o no. Lo que siempre te van a preguntar es: dnde se encuentran los tipos y despus de cunto tiempo. Para resolver esto conviene seguir estos pasos. 1. Hago un dibujo de lo que plantea el problema. En ese dibujo elijo un sistema de referencia. Sobre este sistema marco las posiciones iniciales de los mviles y la velocidad de c/u de ellos con su signo. Si la velocidad va en el mismo sentido del eje x es (+). Si va al revs, es (-). 2. Escribo las ecuaciones horarias para c/u de los mviles.( xA = xB = ) 3. Planteo la condicin de encuentro que dice que la posicin de A debe ser igual a la de B para t = te. 4. Igualo las ecuaciones y despejo te . Reemplazando te en la ecuacin de xA o de xB calculo la posicin de encuentro. 5. Conviene hacer un grfico Posicin en funcin del tiempo para los 2 Mviles en donde se vea la posicin de encuentro y el tiempo de encuentro.

Ejemplo: Problema de encuentro en MRU

Un auto y un colectivo estn ubicados como muestra el dibujo y se mueven a 60 y 20 Km/h respectivamente. a)-Calcular cunto tiempo tardan en encontrarse. b)-Hallar el lugar donde se encuentran.

c)-Hacer el grfico de x (t) para los 2 mviles y verificar los puntos Bueno, empiezo haciendo un dibujito que explique un poco el enunciado.

Para calcular lo que me piden sigo los pasos que puse antes: 1 - Hago un esquema. 2 Elijo un sistema de referencia.3 Marco las posiciones 4 Las velocidades iniciales:

Puse el sistema de referencia en el lugar donde estaba el auto al principio. Las dos velocidades son (+) porque van en el mismo sentido del eje x. 5 - Planteo las ecuaciones horarias.

6 - Planteo la condicin de encuentro que dice que la posicin de los 2 tipos debe coincidir en el momento del encuentro: xA = xB para t = te Las ecuaciones de la posicin para A y B eran: Una hora son 3600 segundos, entonces, multiplicando por 3600 : te = 9 seg TIEMPO DE ENCUENTRO 4 - Igualo las ecuaciones y despejo lo que me piden: Reemplazando este te en cualquiera de las ecuaciones horarias tengo la posicin de Por ejemplo, si reemplazo en la de xA : Para verificar puedo reemplazar te en la otra ecuacin y ver si da lo mismo. A m me gusta verificar. Es decir que la respuesta al problema es que el coche alcanza al colectivo en 9 segundos, despus de recorrer 150 m. De la misma manera podra haber dicho que el encuentro se produce a los 9 segundos y despus que el colectivo recorri 50 m. Esto es importante. Cuando uno dice que el encuentro se produce a los 150 metros tiene que aclarar desde Dnde estn medidos esos 150 metros. La situacin final vendra a ser esta: AUTO ENCUENTRO

c) Otra manera de verificar que lo que uno hizo est bien es hacer el grfico x(t) representando c/u de las ecuaciones horarias. Lo que hago es ir dndole valores a t y calcular los de equis. Auto xA t | xB t Colectivo xA = 60.t 0 0 100m 0 xB = 0,1 + 20.t 50m 3 seg | 116m 3 seg 100m 6 seg | 133m 6 seg 150m 9 seg | 150m 9 seg

Siguiendo estos pasos se pueden resolver todos los ejercicios de encuentro. Hay tambin otros mtodos para resolver estos problemas, sin embargo vos tens que aprender ste, porque es el que ellos te van a pedir que uses ( y que est perfecto porque de todos los mtodos, ste es el mejor ). IMPORTANTE: PROBLEMAS EN DONDE UNO DE LOS MOVILES SALE ANTES O DESPUES QUE EL OTRO. Puede pasar que en un problema uno de los tipos salga antes que el otro. Por ejemplo que el auto hubiera salido 3 segundos antes que el colectivo. En ese caso lo que hago es calcular qu distancia recorri el auto en esos 3 segundos y plantear un nuevo problema de encuentro.

Este mtodo de resolver problemas de encuentro para mviles que no salen en el mismo momento sirve para todos los casos de encuentro. Se puede aplicar siempre. Los objetos pueden estar movindose en el mismo sentido, en sentido contrario, con MRU, con MRUV, cada libre, tiro vertical. Lo que sea. Hay OTRO mtodo para resolver este tipo de problemas. Este mtodo es el que generalmente usan ellos y por eso te lo explico. La cosa es as: En realidad las ecuaciones horarias estn escritas en funcin de t menos t cero. (t t0 ). De manera que si uno de los mviles sali 3 segundos antes que el otro, lo nico que uno tiene que hacer es reemplazar te cero por 3 segundos.1 - Las DOS ecuaciones horarias tienen el trmino (t t0 )... En cul de las 2 tengo que reemplazar ? Si el mvil sali 3 segundos ANTES 2 Si uno de los objetos va con MRUV (acelera), entonces el parntesis ( t t0 ) tiene que ir al 2. Eso sper-complica las cosas porque te va a quedar el cuadrado de un binomio.

Resumiendo: El mtodo de reemplazar t0 = 3 segundos en (t t0 ) sirve perfectamente. Yo no digo que no. Como usar, se puede. El problema es que la posibilidad de equivocarse es muy grande por todo eso que te dije. Por ese motivo yo te recomiendo que no uses ese mtodo. MRUV - MOVIMIENTO RECTLNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Supn un coche que est quieto y arranca. Cada vez se mueve ms rpido. Primero se mueve a 10 por hora, despus a 20 por hora, despus a 30 por hora y as siguiendo. Su velocidad va cambiando (vara). Esto vendra a ser un movimiento variado. Entonces, cundo uno tiene un movimiento variado?. Rta: cuando la velocidad cambia. (vara). Ahora, ellos dicen que un movimiento es uniformemente variado si la velocidad cambia lo mismo en cada segundo que pasa. Mir:

En el ejemplo ste, cuando el tipo ve al monstruo se pone a correr. Despus de 1 segundo su velocidad es de 10 Km/h y despus de 2 segundos es de 20 Km/h. Es decir, su velocidad est aumentando, de manera uniforme, a razn de 10 Km/h por cada segundo que pasa. Atencin: Ac en fsica, la palabra uniforme significa Siempre igual, siempre lo mismo, siempre de la misma manera . Digo entonces que el movimiento del tipo es uniformemente variado aumentando v = 10 Km/h en cada t = 1 seg.

ACELERACIN El concepto de aceleracin es muy importante. Es la base para poder entender bien MRUV y tambin otras cosas como cada libre y tiro vertical. Pero no es difcil. Ya tens una idea del asunto porque la palabra aceleracin tambin se usa en la vida diaria. De todas maneras lee con atencin lo que sigue y lo vas a entender mejor. En el ejemplo, el tipo pasa de 0 10 Km/h en 1 seg. Pero podra haber pasado de 0 10 Km/h en un ao. En ese caso estara acelerando ms despacio. Digo entonces que la aceleracin es la rapidez con la que est cambiando la velocidad. Ms rpido aumenta (o disminuye ) la velocidad, mayor es la aceleracin. Digamos que la aceleracin vendra a ser una medida de la brusquedad del cambio de la velocidad. Para tener entonces algo que me indique qu tan rpido est cambiando la velocidad, divido ese cambio de velocidad V por el tiempo t que tard en producirse. Es decir : a = v Definicin de aceleracin t Supn un auto que tiene una velocidad V0 en t0 y otra velocidad V al tiempo t:

En ese caso la aceleracin del tipo va a ser: v-v0a = ---------- t t0 As se calcula La aceleracin que cuando en fsica se habla de aceleracin, hablamos de aumentar o disminuir la velocidad. Lo que importa es que la velocidad CAMBIE Para la fsica, un auto que est frenando tiene aceleracin.

Atencin porque en la vida diaria no se usa as la palabra aceleracin. Cmo puede estar acelerando un auto que va cada vez ms despacio?Vamos a un ejemplo. EJEMPLO DE MRUV Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado momento una velocidad de 30 m/s y, 10 segundos despus, una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleracin. Para calcular lo que me piden aplico la definicin anterior:

Fjate que el resultado dio en m/s 2. stas son las unidades en las que se mide la aceleracin. Es decir, metro dividido segundo cuadrado o cualquier otra unidad de Longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado (como Km/h 2). Qu significa esto de 1 m/s 2 ?. Bueno, 1 m/s 2 lo puedo escribir como: Esto ltimo se lee as: La aceleracin de este coche es tal que su velocidad aumenta 1 metro por segundo, en cada segundo que pasa Un esquema de la situacin sera ste: De ac quiero que veas algo importante: Al tener ya una idea de lo que es la aceleracin puedo decir que la caracterstica del movimiento uniformemente variado es, justamente, que tiene aceleracin constante. Otra manera de decir lo mismo es decir que en el MRUV la velocidad aumenta todo el tiempo (o disminuye todo el tiempo ) y ese aumento ( o disminucin ) . SIGNO DE LA ACELERACIN: La aceleracin que tiene un objeto que se mueve puede ser (+) o (-). Esto depende de 2 cosas:

1 De si el tipo se est moviendo cada vez ms rpido o cada vez ms despacio. 2 De si se est moviendo en el mismo sentido del eje x o al revs.

Esto quiero que lo veas con un ejemplo numrico. Voy a suponer que en todos los casos el t es de 1 segundo y saco el signo de la aceleracin de : a =v f v0 Estos son los 4 casos posibles. Ms no hay. La conclusin que saco de ac es que hay que tener cuidado con el signo de la aceleracin al hacer los problemas. Si el tipo va cada vez ms rpido, su aceleracin va a ser positiva y si va cada vez ms despacio, su aceleracin va a ser negativa. Esto vale solamente si el tipo se mueve en el sentido positivo del eje x. (Casos 1 y 2 ). Pero si el tipo va para el otro lado, los signos son exactamente al revs.( casos 3 y 4 ). Esto sale de reemplazar los valores de las velocidades en la ecuacin: a =v v 0 tt0

0 ttf

ECUACIN DE UNA PARBOLA En matemtica, una parbola se representaba por la siguiente ecuacin: y = a.x2 +b.x+c ECUACION DE UNA PARABOLA. Por ejemplo una parbola podra ser : Y = 3x2 5x+ 2 )

Dndole valores a X voy obteniendo los valores de Y. As puedo construir una tabla. Representando estos valores en un par de ejes x-y voy obteniendo los puntos de la parbola. Eso puede dar una cosa as:

Puede dar cualquier cosa, dependiendo de los valores de a, b y c, pero siempre tendr forma de parbola. Atento con esto.Las parbolas siempre aparecen en los problemas de MRUV.

ECUACIONES HORARIAS Y GRFICOS EN EL MRUV (IMPORTANTE) Las ecuaciones horarias son siempre las de posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo. Quiero que veas cmo da cada una en el MRUV. Voy a empezar de atrs para adelante porque as es ms fcil de entender. 3 Ecuacin horaria ( a = f(t) )

La caracterstica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la aceleracin es constante. No cambia. Siempre es igual. Siempre vale lo mismo. Esto puesto en forma matemtica sera: a = cte 3ra Ecuacin horaria El grfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal.

2 Ecuacin horaria (V = f(t) ) Otra manera de decir que la aceleracin es constante es decir que la velocidad aumenta (o disminuye ) linealmente con el tiempo. Esto sale de la definicin de aceleracin, que era: a = vf v 0 /tt0 Entonces, si despejo: Vf - V0 = a (t t 0 ) == > Vf = V0 + a (t t 0 )

Casi siempre te cero vale cero. Entonces la ecuacin de la velocidad queda as: Vf = t V0 + a

SEGNDA ECUACION HORARIA Esto es la ecuacin de una recta. Tiene la forma y = eme equis + be.(Y = m X + b). La representacin es as: Por ejemplo, una 2 ecuacin horaria tpica podra ser: Vf = 10 ms + 2 s m2 t El tipo que se moviera siguiendo esta expresin habra salido con una velocidad inicial de 10 m/s y tendra una aceleracin de 2 m /s 2. Esto lo vas a entender mejor cuando veas algn ejemplo hecho con nmeros o cuando empieces a resolver problemas. 1ra Ecuacin horaria (x = f(t) ) Esta es la ecuacin importante y es la que hay que saber bien. La ecuacin de la posicin en funcin del tiempo para el movimiento uniformemente variado es sta: X = X0 + V0 t + a t 2 1ra ECUACION HORARIA.

Prefiero no explicarte la deduccin de esta ecuacin porque es un poco largo. Lo que s quiero que veas es que es la ecuacin de una parbola. Fjate: x = x0 +v0 .t + 21 a . t2

Cada trmino de la ecuacin X = X0 + V0 t + a t 2 tiene su equivalente en la expresin Y = a X2 + b X + C. La expresin completa-completa de la 1 ecuacin horaria vendra a ser en realidad el siguiente: x = x0 +v0 (tt0) + 21a (tt0 )2 Pero as escrita con (t-t0) se usa poco en los problemas. Esto es porque casi siempre en los problemas t0 vale cero. Yo siempre voy a usar la ecuacin con t, salvo que en algn ejercicio tenga que usar obligatoriamente (t-t0 ). La representacin de la posicin en funcin del tiempo es esta:

Es un grfico muy importante que representa la variacin de la posicin en funcin del tiempo para un movimiento uniformemente variado. Este grfico nos da nada ms ni nada menos que la posicin del mvil para cualquier instante t. De esta manera tenemos el movimiento completamente descripto desde el punto de vista cinemtico. Es la representacin grfica de la funcin X = X0 + V0 t + a t 2 . Esta funcin es una ecuacin cuadrtica. ( t est al cuadrado ).

Esto es importante porque me da una caracterstica fundamental del movimiento uniformemente variado. Supongo que no la debe saber, as que se la digo a ver si aprende algo til: EN EL MRUV LA POSICIN VARA CON EL CUADRADO DEL TIEMPO. X = f t 2 . EQUIS DEPENDE DE t CUADRADO. Te deca entonces que la representacin grfica de X = X0 + V0 t + a t 2 da una parbola. Esta parbola puede dar para derecha, para la izquierda, muy cerrada, muy abierta. Eso va a depender de los valores de equis cero, de V cero y de a. Ahora, el hecho de que la parbola vaya para arriba o para abajo depende del signo de la aceleracin. Si a esa ( + ) , ir para arriba ( ). Si a esa ( - ) , ir para abajo ( ). Esto podes acordrtelo de la siguiente manera: a = + a = - La parbola La parbola positiva negativa Ejemplo. Supongamos que tengo esta ecuacin horaria para algo que se mueve con MRUV : X = 4 m+1 m.t+ 2 m2 .t2 Este sera el caso de algo que sali de la posicin inicial 4 m con una velocidad de 1 m/s y una aceleracin de 4 m/ s2. Para saber cmo es el grfico le voy dando valores a t y voy sacando los valores de x. Es decir, voy haciendo las cuentas y voy armando una tablita. x [m] t [seg]

4 0 TABLA 7 1 VALORES DE LAS 14 2 POSICIONES Ahora represento esto y me da una cosa as:

Este grfico es la representacin de la 1 ecuacin horaria.

1) -La parbola va para arriba ( ) porque a es positiva. 2) -Aunque uno vea slo un arco as esto es una parbola. La parte que falta estara a la izquierda y no la dibuj. La podra representar si le diera valores negativos a t ( como 1 segundo)

UN EJEMPLO DE MRUV Una hormiga picadorus sale de la posicin X0 = 0 y comienza a moverse con aceleracin a = 2 m/s2 .( V0 = 0 ). a)- Escribir las ecuaciones horarias. b)- Hacer los grficos x(t), v(t) y a(t). Voy a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia: Las ecuaciones horarias para una cosa que se mueve con movimiento rectilneo uniformemente variado son:

Ahora, dando valores a t voy sacando los valores de equis y de v. Con estos valores hago estas tablas:

Teniendo las tablas puedo representar las ecuaciones horarias.

LA ECUACIN COMPLEMENTARIA Hay una frmula ms que se usa a veces para resolver los problemas. La suelen llamar ecuacin complementaria. La frmula es sta: Ecuacin complementaria.() 2f=0f20xxa2vv

Esta ecuacin vendra a ser una mezcla entre la 1ra y la 2da ecuacin horaria. La deduccin de esta ecuacin es un poco larga. Pero te puedo explicar de dnde sale. Fijate: Escribo las 2 primeras ecuaciones horarias. Despejo t de la 2 y lo reemplazo en la 1.

Sobre esta ecuacin me gustara que veas algunas cosas. Fijate: Primero: La ecuacin complementaria NO es una ecuacin horaria. En ella no aparece el tiempo. Segundo: Esta frmula no es una ecuacin nueva. Es mezcla de las otras dos (de la 1 y la 2 ). Tercero: Nunca es imprescindible usar la ecuacin complementaria para resolver un problema. Todo problema de MRUV puede resolverse usando solamente la 1 y la 2 ecuacin horaria. Lo que tiene de bueno la expresin Vf 2 V0 2 = 2 a ( Xf X0 ) es que facilita las cuentas cuando uno tiene que resolver un problema en donde el tiempo no es dato. Eso es todo.

Ejemplo: En el problema anterior, calcular la velocidad que tiene la hormiga picadorus despus de recorrer 1 m.

Lo hago ahora sin usar la ecuacin complementaria: Escribo las ecuaciones horarias. De la 2 ecuacin horaria :