2. cinemÁtica 1.pdf

06/06/2015 01:32 p.m. Segundo L. Gallardo Zamora 1

DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS

Docente: Segundo Lizardo Gallardo Zamora

Trujillo-2015

FSICA AVANZADA

CINEMTICA - 1


CINEMTICA-1

DESCRIPCIN VECTORIAL DEL MOVIMIENTO

El movimiento de una partcula sobre una determinada trayectoria,

con respecto de un sistema de referencia, se define mediante los

vectores posicin, velocidad y aceleracin instantneos.

Posicin. Si un mvil se mueve entre los puntos A y B sobre curva

general C ubicada en el sistema de referencia (X,Y,Z), podemos

definir su posicin instantnea en cada punto mediante un vector

posicin que es funcin del tiempo. Esto significa que:

1C 2

El vector posicin del punto A en

el instante t1 es

(t)= x1(t) + y1(t) + z1(t) (1)

A B

X

Y

Z

Figura 1

El vector posicin del punto B en

el instante t2 es

(t)= x2(t) + y2(t) + z2(t) (2)


CINEMTICA-1

El vector desplazamiento o cambio de posicin del mvil entre A y B

es el vector

donde:

(x2 x1) = x, es el mdulo de la componente del desplazamiento (t)paralela al eje X.

(t) = (x2 x1) + (y2 y1) + (z2 z1) (4)

El extremo final de este vector describe, en el tiempo t = t2- t1, una

lnea entre los puntos A y B de la curva a la cual se denomina

trayectoria.

Usando las Ecs.(1) y (2) en (3) obtenemos:

(t) = - (3)

(y2 y1) = y, es el mdulo de la componente del desplazamiento (t)paralela al eje Y.

(z2 z1) = z, es el mdulo de la componente del desplazamiento (t)paralela al eje z.

(t) = x + y + z (5)Por lo tanto:


CINEMTICA-1

Velocidad media o promedio.

Es el vector definido como el cociente del vector desplazamiento

entre el tiempo t transcurrido.

1C 2

A B

X

Y

Z

Figura 2

t

m = (6)

Esta relacin nos indica que el

vector velocidad media m esparalelo al vector desplazamiento

y, por lo tanto, secante a latrayectoria entre los puntos A y B,

como se muestra en la Fig.2.

Usando la Ec.(5) en la Ec.(6) tenemos

(7)x

t m = + +

y

t

z

tdonde:

= Vmx, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje X.

x

t


Velocidad instantnea. Es el vector velocidad en un instante o punto

determinado de la trayectoria del mvil.

La velocidad instantnea en un

punto de la trayectoria, tal como A,

se determina haciendo el intervalo

de tiempo t tan pequeo como seaposible, de modo que el punto B se

aproxime cada vez ms al punto A,

tal como lo indican los puntos B,

B, de la Fig.3.

A

B

Figura 3

m

B

m

B m

Las unidades de la velocidad son: m/s, cm/s, pie/s, Km/h , Mill/h.

= Vmy, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje Y.

y

t

= Vmz, es el mdulo de la componente de la velocidad media paralela al eje Z.

z

t

Por lo tanto (8) m = Vmz + Vmz + Vmz

CINEMTICA-1


En este proceso, de acercar el punto B al punto A en intervalos de

tiempo cada vez ms pequeos, el vector desplazamiento , que essecante a la curva, cambia continuamente de magnitud y direccin, y

de igual manera lo hace la velocidad promedio m.

En el lmite, cuando B est muy cerca de A, el vector velocidad

instantnea ser un vector tangente a la trayectoria en el punto A.

En el lenguaje matemtico este proceso equivale a calcular el valor

lmite de la velocidad promedio cuando t tiende a cero.

= d

d t(10)

(9) = lim m = lim t

t 0 t 0

Este lmite, por definicin, es la derivada del desplazamiento

respecto al tiempo

Esta expresin indica que la velocidad instantnea es un vector que tiene la misma

direccin que el cambio instantneo de posicin y como la posicin cambia en la

direccin en la cual la secante se aproxima a la tangente en un punto, entonces, la

velocidad instantnea siempre ser tangente a la curva en cada punto.

CINEMTICA-1


CINEMTICA-1

Usando la Ec. (7) en la Ec.(9) tenemos:

(11)x

t = lim + lim + lim

y

t

z

tt 0 t 0 t 0

Como los vectores unitarios son constantes, cada sumando,

por definicin, es una derivada.

Donde:

(12)dx

d t = + +

dy

d t

dz

d t

dx

d t= x ,es el mdulo de la componente de la velocidad

instantnea paralela al eje Xdy

d t= y ,es el mdulo de la componente de la velocidad

instantnea paralela al eje Y

dz

d t= z ,es el mdulo de la componente de la velocidad

instantnea paralela al eje Z

Por lo tanto: (13) = x + y + z


CINEMTICA-1

V = Vx2 + Vy

2 + Vz2 (14)De mdulo:

El vector velocidad instantnea de la Ec. 13 se muestra en el grfico

de la Fig. 4 en el punto A de la curva, con sus respectivas

componentes en el sistema (X,Y,Z).

Figura 4

A

X

Y

Z

y

z

En el movimiento curvilneo la velo-

cidad, en general, cambia tanto en

direccin como en magnitud.

x

El cambio de direccin se debeal hecho de que la velocidad

instantnea es tangente a la tra-

yectoria en cada punto.

El cambio de magnitud de lavelocidad instantnea es porque

su valor aumenta o disminuye.

Estos cambios de velocidad relacionados con el tiempo determinan

dos tipos de aceleraciones en el mvil, que veremos ms adelante.

A


CINEMTICA-1

Aceleracin media o promedio. Es el vector definido como el cocien-

te del vector cambio de velocidad entre el tiempo t transcurri-do.

t m = (15)

Para definir el vector cambio de velocidad , consideremos en la Fig. 5, la velocidad del mvil cuando pasa por A en el instantes t1 y luego la velocidad cuando pasa por B en el instante t2.

Figura 5

A(t1)

X

Y

Z

B(t2)

m

Entonces el cambio de veloci-

dad del mvil es el vector

Figura 6

= 2 - (16)

que grficamente est defini-

do en el tringulo de la Fig. 6.


CINEMTICA-1

Segn la Fig. 6 y la definicin de la Ec.15, el vector aceleracin

media m es paralelo al cambio de velocidad el mismo queapunta en el sentido de concavidad de la curva como se ve en la

Fig.5. Por lo tanto, al dibujar m en la curva AB, debe estar dirigidaen el sentido de concavidad de la curva como se ve en la Fig.5.

Ahora usando la Ec. 13 definimos las velocidades en cada punto y

luego los restamos 2 = V2x + V2y + V2z

donde: (V2x V1x ) = Vx , es la componente del cambio de velocidadmedia en direccin del eje X.

(V2y V1y) = Vy , es la componente del cambio de velocidadmedia en direccin del eje Y.

(V2z V1z ) = Vza, es la componente del cambio de velocidadmedia en direccin del eje Z.

- 1 = - V1x - V1y - V1z

= x + y + z Por lo tanto: (18)

2 - 1 = (V2x-V1x ) + (V2y-V1y ) + (V2z-V1z ) (17)


CINEMTICA-1

Reemplazando la Ec. 18 en la Ec.15, tendremos el vector

aceleracin media en funcin de sus componentes

m = + + x t

y t

z t

(19)

Cada sumando de esta expresin es la componente de la acelera-

cin media sobre cada uno de los ejes (X,Y,Z). Por lo tanto:

m = mx + my + mz (20)

Aceleracin Instantnea. Es el vector aceleracin en un instante o

punto determinado de la trayectoria del mvil.

Este lmite es la derivada de la velocidad respecto al tiempo

Matemticamente esta aceleracin se define como:

= lim m = lim t

t 0 t 0(21)

= d

d t(22)


CINEMTICA-1

Segn esta expresin el vector aceleracin instantnea es un vector

en direccin del cambio instantneo en la velocidad. Como la velo-

cidad cambia en la direccin en la cual la trayectoria se curva, la ace-

leracin instantnea estar siempre apuntando hacia la concavidad

de la curva.

Usando la Ec. (19) en la Ec.(21) tenemos:

= lim + lim + lim Vx t

t 0

Vx t

t 0

Vx t

t 0

En esta expresin, el lmite de cada sumando es una derivada, ya

que los vectores unitarios son constantes.

dVxd t = + +

dVyd t

dVzd t

(23)

dVxd t

= x , es el mdulo de la componente de la velocidad instantnea en direccin del eje X.

Donde:

dVyd t

= y , es el mdulo de la componente de la velocidad instantnea en direccin del eje Y.


CINEMTICA-1

Por lo tanto:(24) = x + y + z

En la Fig. 7 se muestra el vector aceleracin instantnea en el punto

A de la curva y sus respectivas componentes en el sistema (X,Y,Z).

Figura 7

X

Y

Z

A

= x 2 + x 2 + x 2 (25)

Segn la Fig.7, el mdulo de la

aceleracin es:

Ahora, si en la definicin de la acele-

racin instantnea (Ec.22) usamos la

definicin de la velocidad instant-

nea (Ec.10) se tiene

= = ( )d

d td

d t

d d t

dVzd t

= z , es el mdulo de la componente de la velocidad instantnea en direccin del eje Z

A

x y z


CINEMTICA-1

Segn la matemtica esto es la segunda derivada de la posi-

cin respecto al tiempo dos veces.

= d2

d t2

y si usamos: (t) = x(t) + y(t) + z(t)

Obtenemos: d2x

d t2 = + + (26)

d2y

d t2d2z

d t2

Esta expresin define cada una de las componentes de la acelera-

cin instantnea como la segunda derivada de las componentes de

la posicin, en cada eje, con respecto al tiempo dos veces.

= x , es el mdulo de la componente X de la aceleracin instantnea.d2x

d t2

= y , es el mdulo de la componente Y de la aceleracin instantnea.d2y

d t2

= z , es el mdulo de la componente Z de la aceleracin instantnea.d2z

d t2


CINEMTICA-1

En general, en el movimiento curvilneo el vector velocidad instant-

nea y el vector aceleracin instantnea forman entre s diferen-tes ngulos en cada punto a lo largo de la trayectoria como se mues-

tra en la Fig.8. 1

P1 1

P2

P3

P4 P5

2 2

3 4

5 3

4

5

Figura 8

Componentes tangencial y normal de la aceleracin.

Para simplificar el anlisis consideremos el movimiento de una

partcula a lo largo de la curva plana C en el sistema (X,Y). Los

resultados que obtengamos de este anlisis son vlidos para el

movimiento a lo largo de cualquier curva.

En la Fig.9 que sigue, dibujamos los vectores velocidad yaceleracin instantneas en un punto A de la curva.


CINEMTICA-1

Si por el punto A de la curva trazamos un eje perpendicular a la tan-

gente formamos un sistema local de coordenadas : Tangencial-

Normal (N,T) que acompaa al mvil en su recorrido por la curva.

A

C

Figura 9

T

Una componente tangencial T que estdirigida a lo largo de la tangente a la curva

que sigue el mvil. Esta aceleracin se

debe al cambio de magnitud de la

velocidad tangencial en el tiempo.

Una componente normal N dirigida hacia el centro decurvatura de la trayectoria, siguiendo el radio de curvatura

correspondiente. Esta aceleracin se debe al cambio de

direccin de la velocidad tangencial en el tiempo.

En este sistema local de coordenadas (N,T) el

vector aceleracin instantnea se puededescomponer en dos componentes que

tienen un significado bien definido.


CINEMTICA-1

Sobre estos nuevos ejes consideremos los vectores unitarios T paralelo a la tangente y N paralelo a la normal.

TA

C

Figura 10

X

Y

Esto permite expresar la aceleracin en

la forma

= V T (27)

= = d

d t

d V Td t

(28)

Como el mdulo de la velocidad tangen-

cial V y el vector unitario T cambian conel tiempo, la derivada de la Ec. (28) es

= T + Vd V

d td Td t

(29)

N

Usando el vector unitario tangente pode-

mos expresar la velocidad tangencial en

la forma

Esta ecuacin se define mejor si consideremos que la porcin de

curva, en el punto A, es parte de una gran circunferencia cuyo

centro se encuentra ubicado en un punto muy lejano.


CINEMTICA-1

1. La gran circunferencia de la Fig.

11 tiene su centro de curvatura

(C.C) en un punto muy lejano

con un radio de curvatura .

2. El vector unitario N normal ala curva en A est dirigido hacia

el centro de curvatura, como se

muestra en la Fig.11.

T

X

Y

A

C

Figura 11

N

Bajo estas consideraciones se

demuestra que:

d Td t

= NV

(30)

Introduciendo este resultado en la

Ec. (29) se tiene:

= T + Nd V

d t(31)

V2

Ver pag.104,105, Fsica, Vol.I, Mecnica, Alonso- Finn.


CINEMTICA-1

Donde:d V

d t= aT , es el mdulo de la aceleracin tangencial, asociada con

el cambio de magnitud de la velocidad tangencial.

= aN , es el mdulo de la aceleracin normal, asociada con elcambio de direccin de la velocidad tangencial

V2

Por lo tanto, la magnitud de la aceleracin instantnea del mvil en

el punto A es

a = aT2 + aN

2 = (dV/dt)2 + (V2/ )2 (32)

Las ecuaciones obtenidas en este anlisis del movimiento curvilneo

son vlidas tanto para movimientos en un plano como para

movimientos en el espacio y su aplicacin se adapta al tipo de

trayectoria y velocidad que tenga el mvil. Veamos las siguientes

aplicaciones.


CINEMTICA-1

APLICACIONES.

1.1.- Movimiento Rectilneo Unidimensional

Es el movimiento sobre una lnea recta, como por ejemplo el eje

horizontal unidimensional OX de la Fig.12.

1

t1 2 t2

El vector posicin del punto A en el instante t1 es

(t)= x1(t) (33)

El vector posicin del punto B en el instante t2 es

(t)= x2(t) (34)

El vector desplazamiento o cambio de posicin del mvil es

(t) = (35)

Consideremos el movimiento de una partcula desde el punto A que

est en el instante t1 hasta el punto B en el instante t2.

Figura 12

A B

O +X


CINEMTICA-1

Si usamos las Ecs.(33) y (34) en la Ec.(35) se tiene que el desplaza-

miento sobre el eje X est definido por el vector

(t) = (x2 x1) = x (36)Velocidad media o promedio.

La velocidad media entre los puntos A y B de la Fig. 12 est definida

por

(37)x2 x1t2 t1

m = = x

t

Velocidad instantnea.

La velocidad instantnea en el punto A de la recta est definida

como el lmite de la velocidad promedio cuando el tiempo tiende a

cero x

t = lim m = lim

t 0 t 0

Este lmite es la derivada de x respecto al tiempo :

= d x

d t(38)


CINEMTICA-1

Como en el movimiento rectilneo, la velocidad instantnea es para-

lela al desplazamiento, se puede omitir el vector unitario y entonces

el mdulo de la velocidad instantnea es

V =d x

d t(39)

Podemos integrarla para obtener el desplazamiento del mvil entre

la posicin inicial x1 en el instante t1 y la posicin final x2 en el

instante t2.

Si la velocidad es constante, se tiene un movimiento rectilneo

uniforme, cuyo desplazamiento esta dado por

=

(41)

x2 x1 = V (t2 t1) (42)

Que escribindola en su forma diferencial:

d x = V dt (40)

Las unidades de la velocidad son: m/s, cm/s, pie/s, km/h, mill/h


CINEMTICA-1

Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t.

Por lo tanto, la Ec. (42) se puede escribir como

Si la velocidad NO es constante, se tiene un movimiento rectilneo

variado, cuyo desplazamiento esta dado por

Para ejecutar esta integral debemos conocer la velocidad en

funcin del tiempo: V = f(t). En general la velocidad de un mvil es

funcin del tiempo.

x2 x1 = V t(43)

x2 - x1 = (45)

Si la posicin inicial del mvil est en el origen de coordenadas

entonces x1 = 0 y el desplazamiento ser simplemente

x = V t (44)

Para analizar el cambio de velocidad en el tiempo usemos el

grfico de la Fig.13, que sigue, donde el mvil en A tiene una velo-

cidad 1 en el instante t1 y en B una velocidad 2 en el instante t2 .


CINEMTICA-1

La aceleracin media o promedio entre los puntos A y B de la

recta est definida como el vector

(46)V2 V1t2 t1

m = = V

t

Aceleracin media

1

t1 2 t2Figura 13

A B

O +X

1 2

Relacionando el cambio de velocidad del mvil con el tiempo

transcurrido en pasar del punto A al punto B podemos definir las

siguientes cantidades:

Aceleracin instantnea

La aceleracin instantnea en un punto, tal como A est, definida

como el lmite de la aceleracin media cuando el tiempo tiende a

cero


CINEMTICA-1

V

t = lim m = lim

t 0 t 0

Este lmite es la derivada de la velocidad respecto al tiempo :

= d Vd t

(47)

Como en el movimiento rectilneo, la aceleracin instantnea es pa-

ralela al desplazamiento y se puede omitir el vector unitario de

forma tal que, el mdulo de la aceleracin es

a =d V

d t(48)

=

(50)

podemos integrarla para obtener el cambio de velocidad del mvil

entre V1 en el instante t1 y V2 en el instante t2

Escribindola en forma diferencial:

d V = a dt (49)

Las unidades de la aceleracin son: m/s2, cm/s2, pie/s2.


CINEMTICA-1

Si la aceleracin es constante, se tiene un movimiento rectilneo

uniformemente variado y la integracin nos da un cambio de velocidad

Si la aceleracin NO es constante, se tiene un movimiento rectilneo

variado, cuya velocidad final esta dada por

V2 V1 = a (t2 t1) (51)

V2 = V1 + (55)

Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t.

Por lo tanto, la Ec. (52) se puede escribir como

V2 = V1 + a t(53)

Si el mvil parte del reposo entonces V1 = 0 y la velocidad final ser

simplementeV2 = a t (54)

De donde la velocidad final es

V2 = V1 + a (t2 t1) (52)

Para ejecutar esta integral debemos conocer la aceleracin en

funcin del tiempo: a = f(t).


CINEMTICA-1

Como la Ec.(53) nos da la V(t), podemos usarla ahora en la Ec.(45) a

fin de ejecutar la integral

Si el mvil parte del reposo V1 = 0, entonces

( V1 + a t

)

x2 x1 =

x2 x1 = V1 + a

t

x2 x1 = V1 t + a t2 (57)

x2 - x1 = a t2 (58)

x2 - x1 = a t2 (59)

Si la posicin inicial est en el origen de coordenadas x1 = 0 se

tiene

x2 x1 = V1 (t2 t1) + a (t2 t1)2 (56)

Si t1 = 0, entonces el nico tiempo es t2 = t. Por lo tanto


CINEMTICA-1

En la Ec.(26) hemos demostrado que la aceleracin se relaciona con

la posicin a travs de una segunda derivada. Por lo tanto, para un

movimiento rectilneo sobre el eje X, la componente X de la acelera-

cin se puede expresar como

d2x

d t2 = (60)

De mdulo: d2x

d t2a = (61)

Otra forma de relacionar la posicin y la velocidad se obtiene

multiplicando entre s las Ecs.(39) y (49).

d V = a d t

V =d x

d t

V d V = a d td x

d tSimplificando los diferenciales dt se tiene

V d V = a d x (62)


CINEMTICA-1

Integrando desde la posicin inicial X1 donde la velocidad es V1 hasta

la posicin final X2 donde la velocidad es V2, obtenemos

= (63)

En el Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado la acelera-

cin es constante, por lo tanto, integracin anterior nos da

( V22 - V1

2 ) =

(64)

( V22 - V1

2 ) = ( ) (65)

2 = V22 V1

2(66)

Estas mismas ecuaciones se aplican al movimiento vertical

paralelo al eje (Y, -Y) a fin de analizar el movimiento de cada libre.

Para ejecutar la integral del lado derecho debemos conocer a(t).

( V22 - V1

2 ) = a

(64)


CINEMTICA-1

Ejemplo 1. Una partcula que se mueve sobre el eje OX+, parte del

origen con una velocidad de 5 m/s y decelera constantemente a ra-

zn de 10 m/s2. Calcular: a) la mxima distancia que se aleja la par-

tcula del origen hasta que se detiene, b) el tiempo que demora en

detenerse y c) Qu sucedera si la partcula mantuviera su decele-

racin despus de detenerse? Explique su respuesta en un grfico

simple. Datos. V1 = 5 m/s, como el movimiento es decelerado a = -10 m/s

2.

Solucin. a) En la Fig.14 se muestran los datos y la mxima distan-

cia xm que se aleja la partcula hasta que se detiene cuando su

velocidad final sea V2 = 0.x1 = 0 m

t

Figura 14

O +X 1 V2 = 0

-

Para calcular xm usamos valores en

2 = V22 V1

2


CINEMTICA-1

c) Si la partcula mantuviera su aceleracin negativa, luego de de-

tenerse, retornara hacia el origen y continuara movindose enel sentido de eje OX.

2(-10)(xm -0) = 0 - 52

xm = 1,25 m

b) La partcula se detiene cuando su velocidad final es V2 = 0, por lo

tanto usando valores enV2 = V1 + a t

Se tiene: 0 = 5 + (-10) t t = 0,5 s

Ejemplo 2. El movimiento de una partcula que se mueve sobre el

eje (+X,-X) est descrito por la ecuacin x = 6 + 4t 9t2, donde x seexpresa en metros y t en segundos. En t = 0 y 4 s, calcular: a) la

posicin, b) la velocidad y c) la aceleracin. Dibuje en cada instante

los vectores posicin, velocidad y aceleracin sobre la trayectoria

e indique si la velocidad est aumentando o disminuyendo.

Datos. Ecuacin x = 6 + 4t 9t2 , t = 4 s


CINEMTICA-1

Solucin. En t = 0.

x = 6 + 4(0) 9(0)2

En t = 0 V = 4 18(0)

x = 6 m

V = 4 m/s

En forma vectorial: = 6 m, que se muestra en la Fig.15

En forma vectorial: = 4 m/s, que se muestra en la Fig.16

a) La posicin en t = 0 se obtiene usndolo en la ecuacin

x = 6 + 4t 9t2

b) La ecuacin de la velocidad se obtiene derivando la posicin.

V = = (6 + 4t 9t2)d x

d t

d

d t

V = 4 18 t

0

t = 0

Figura 15

+X-X

0

t = 0

Figura 16

+X-X


CINEMTICA-1

c) La ecuacin de la aceleracin se obtiene derivando la velocidad.

En forma vectorial: = 18 m/s2, que se muestra en la Fig.17

a = = ( 4 18 t) = 18 m/s2d V

d t

d

d t

Este resultado indica que la aceleracin es constante y negativa

0

t = 0

Figura 17

+X-X

En t = 4 s (Queda como tarea para los estudiantes)

a) La posicin en t = 0 se obtiene usndolo en la ecuacin

0

Figura 18

Como en t = 0 la velocidad es opuesta a la aceleracin, su

mdulo disminuir para tiempos t > 0 s.


CINEMTICA-1

b) La velocidad en t = 4 se obtiene derivando la posicin.

0

Figura 19

c) La aceleracin en t = 4 s se obtiene derivando la velocidad.

0

Figura 20

Como la velocidad y la aceleracin son


CINEMTICA-1

Ejemplo 3. Usando la ecuacin de movimiento de la partcula en el

Ejemplo 2, determinar: a) en qu instantes la partcula pas por el

origen de coordenadas y con qu velocidad y aceleracin se mova?

b) en que instante la partcula se detuvo y qu posicin y acelera-

cin tena? Dibujar los vectores posicin, velocidad y aceleracin de

la partcula en tal instante. c) Calcular la longitud de la trayectoria de

la partcula entre 0 t 4 s. Datos. Segn el Ejemplo 2, la posicin, velocidad y aceleracin de

la partcula estn determinadas por las ecuaciones:

x = 6 + 4t 9t2 m, V = 4 18 t m/s, a = 18 m/s2 = constante

Solucin. a) El instante en que la partcula pas por el origen de

coordenadas se obtiene cuando su posicin es x = 0.

0 = 6 + 4t 9t2

Resolviendo

Reordenando tenemos la ecuacin cuadrtica

9t2 4t 6 = 0

t =4 ( 4)2 4(9)( 6)

2(9)


CINEMTICA-1

De donde

La velocidad cuando pas por x = 0, se obtiene usando t = 1,07 s en

V = 4 18 t

V = 4 18(1,07)

En forma vectorial: = -15,26 m/s, que se muestra en la Fig.22

t = -0,62, esta raz NO seconsidera como vlida porque

no existe tiempo negativo

V = 15,26 m/s

t =4 15,23

18t= 1,07 s, esta raz es larespuesta por ser positiva.

Figura 21

+X-X x = 0

t = 1,07

Figura 22

+X-X x = 0

t = 1,07

t =4 - 15,23

18

t =4 + 15,23

18


CINEMTICA-1

La aceleracin en t = 1,07 s es a = 18 m/s2, porque es constante.

En forma vectorial: = 18 m/s2 , que se muestra en la Fig.23

Como en t = 1,07 s la velocidad tiene la misma direccin que la

aceleracin, su mdulo aumentar para tiempos t >1,07 s.

Figura 23

+X-X x = 0

t = 1,07 s

b) La partcula se detiene cuando el mdulo de su velocidad es V = 0.

Entonces resolviendo 0 = 4 18 tt = 0,22 s

x = 6 + 4(0,22) 9(0,22)2 x = 6,44 m

En forma vectorial: = 6,44 m, que se muestra en la Fig. 24

La posicin en t = 0,22 se obtiene usndolo en la ecuacin

x = 6 + 4t 9t2

V = 0

0t = 0,22

Figura 24+X-X


CINEMTICA-1

La aceleracin en el instante, t = 0,22 s, en que se detuvo la part-

cula es la misma, a = 18 m/s2, porque es constante.En forma vectorial: = 18 m/s2, que se muestra en la Fig.25

Figura 25

+X-X t = 0,22 s

V = 0

c) La longitud de la trayectoria que recorre la partcula entre0 t 4 s, se obtiene sumando el mdulo del desplazamiento

desde t = 0 hasta t1 = 0,22 s, donde se detiene la partcula,con el mdulo del desplazamiento desde t1 = 0, 22 s hastat2 = 4 s.

0

to

Figura 26

+X-X

t1

V = 0

t2


CINEMTICA-1

El desplazamientos entre la posicin = 6 , en t = 0 y la posicin = 6,44 , en t = 0,22 s, donde V = 0, es:

= ( - ) = (6,44 6)

= , m

De mdulo: x = 0,44 m

El desplazamientos entre la posicin = 6,44 , en t = 0,22 s y laposicin =-122 , en t = 4 s es:

= ( - ) = (-122 6,44)

= -, m

De mdulo: x = , m

Por lo tanto la distancia total recorrida por la partcula en 0 t 4 s,

es

x = 0,44 + ,

x = x + x

x = ,


CINEMTICA-1

Ejemplo 4. La velocidad de una partcula que se mueve sobre una

lnea recta est definida por V = 48 3t2, donde V se mide en m/s y t en s . Usando el clculo, hallar: a) una expresin para la posicin

en funcin del tiempo s en t1 = 0 s, X1 = 2 m, b) una expresin para la aceleracin en funcin del tiempo y c) su velocidad media

en el intervalo: 0 t 9 s.

Solucin.

a) La posicin se obtiene integrando la funcin velocidad

X = V (t) dt

X = ( 48 3 t2 ) dt = 48 dt 3 t2 dt

X = 48 dt 3 t2 dt = 48 (t) (3) + Ct 2+1

2+1X = 48 t t3 + C

Para calcular el valor de la constante de integracin C,

usamos las condiciones inciales ( c.i ): t1 = 0 s, x1 = 2 m,en la expresin obtenida.


CINEMTICA-1

2 = 48 (0) (0) 3 + C

C = 2 m

X = 48 t t 3 2 [m]Luego:

b) La aceleracin se obtiene derivando la funcin velocidadd V

d ta = = (48 3 t2 )

d

d t

d

d ta = (48) 3 (t2 )

d

d t

a = 6 t m/s2

b) La velocidad media entre 0 t 15 s, se obtiene usando:

Vm =x2 x1t2 t1

X1 = 48(0) (0)3 2 X1 = 2 m

la posicin en t1 = 0 es:

Donde:


CINEMTICA-1

y la posicin en t1 = 9 s es:

X2 = 48(9) (9)3 2

Reemplazando valores en la frmula de la velocidad media se tiene

Vm = 290 ( 2)

9 0

Vm = 32 m/s

X2 = 290 m

Ejercicio CIN-01

1. Una partcula que se mueve sobre el eje OX+, parte del origen con una

velocidad de 5 m/s y decelera constantemente a razn de 10 m/s2. Cal-

cular: a) la mxima distancia que se aleja la partcula del origen hasta

que se detiene, b) el tiempo que demora en detenerse y c) Qu

sucedera si la partcula mantuviera su deceleracin despus de

detenerse? Explique su respuesta en un grfico simple.


CINEMTICA-1

2. La posicin de una partcula que se mueve en lnea recta estdefinida por la relacin X = t3 - 5t2 - 12 t + 30, donde X se expre-sa

en metros y t en segundos. Determinar: a) el instante en que la

velocidad es cero, b) la posicin y aceleracin de la partcula en tal

instante y d) la distancia que viaja la partcula desde t = 3 [s] hasta t

= 6 [s].

3. La rapidez de una bala mientras viaja por el can de un rifle haciala abertura est dada por: V = -5,00x107 t2 + 3,00x105 t, donde V est

en m/s y t en s. Si la aceleracin de la bala es cero justo cuando sale

del can, determinar: a) la aceleracin y la posicin de la bala en

funcin del tiempo cuando est en el can, b) el intervalo de

tiempo durante el que la bala acelera, c) la rapidez con la que sale la

bala del can y d) la longitud del can del rifle.

1.2.- Movimiento de Cada Libre

Es un MRUV (unidimensional) en direccin vertical paralela al eje

(-Y,+Y), con una aceleracin = - g debido a la fuerza gravitato-ria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que la rodean.

06/06/2015 01:32 p.m. 44

Ignorando la resistencia del aire y considerando solamente peque-

os desplazamientos sobre la superficie terrestre (comparados con

el radio de la Tierra, RT = 5000 km), todos los cuerpos caen con ace-

leracin constante de mdulo: g = 9,81 m/ s2 = 32,2 pie/ s2 .

Segundo L. Gallardo Zamora

1

-

y1

t1 = 0

y2

Posicin y

velocidad

finales

Posicin y

velocidad

inciales

t

2 < 1

Figura 27. Posicin, desplazamiento, velocidad

y aceleracin en el movimiento de cada libre

Y

Superficie terrestre

X

(y2 y1 )2. Para que un cuerpo se mue-

va hacia arriba es necesario

darle una velocidad inicial 1 en tal direccin.

1. El movimiento es paralelo

al eje (Y, -Y); con acelera-cin = -g

Propiedades.

3. El desplazamiento del cuer-

po entre los instantes t1 = 0

y t2 = t es:

y = (y2 y1 )

CINEMTICA-1

06/06/2015 01:32 p.m. 45Segundo L. Gallardo Zamora

3. Un cuerpo lanzado hacia arriba asciende hasta que su velocidadfinal sea cero (V2 = 0), al alcanzar su altura mxima Ym. Desdeesta posicin, el cuerpo retorna en cada libre, siempre bajo laaccin de la misma aceleracin (- ).

Figura 28. Posicin y Velocidad de un cuerpo

lanzado hacia arriba cuando alcance la altura

mxima.

1

tV2 = 0

y1

t1 = 0

y2 = Ym

Posicin y

velocidad final

en la altura

mxima4. El tiempo t que demora el cuerpo

en ascender hasta la altura m-

xima es igual al tiempo que de-

mora en retornar al punto de lan-

zamiento. Por lo tanto, el tiempo

total, de ida y vuelta, es t = 2 t,al cual se denomina tiempo de

vuelo.

Y

X


-

CINEMTICA-1


1

Y


X

-

Figura 29 Posicin y sentido de la

velocidad en dos instantes diferentes

en el movimiento de un cuerpo

lanzado verticalmente hacia Arriba.

y1

ti = 0

y2

t

- 2

V = 0

Ym

2t

5. En cualquier punto de la tra-yectoria, el mdulo de lavelocidad de ascenso (+ )es igual al mdulo de lavelocidad de descenso (- ).

6. Las velocidades (+ 2) y (- 2)son opuestas en la misma po-

sicin y2 pero se dan en dife-

rentes instantes. En el instan-

te t el mvil pasa de subida yen el instante t el mvil pasade bajada, retornando des-

pus de alcanzar su altura

mxima.

CINEMTICA-1


7. En ausencia de aire, los cuerpos de

diferente peso, que caen desde la

misma altura y con la misma

velocidad inicial, recorren tal altura

en el mismo tiempo y alcanzan la

misma velocidad final. Esto signi-

fica que la velocidad de cada libre

es independiente del peso del

cuerpo, como se ilustra con los

cuerpos de la Fig.30.

Y


X

-

ti = 0

y1

2

m1

m2

V1 = 0

y2 = 0

Figura 30. La velocidad de cada

libre en el vaco no depende del

peso de los cuerpos

t

8. Esta propiedad ya fue demostrada

en agosto de 1971 por el astronauta

norteamericano David Scott, durante

la misin del Apolo 15 en la Luna.

Puede verse en Youtube.https://www.youtube.com/watch?v=s5QcJfMH-es

CINEMTICA-1

06/06/2015 01:32 p.m. 48

Ecuaciones del Movimiento de Cada Libre.


y1

t1 = 0

2

t2

X

Y


Como el movimiento de cada libre es un MRUV en direccin del eje(Y,-Y) con aceleracin constante = -g, entonces su velocidadinstantnea est definida por

y2

Figura 31

1

= d y

d t(67)

De mdulo = d y

d t(68)

Podemos integrarla para obtener el despla-

zamiento del mvil entre la posicin inicial y1en el instante t1 y la posicin final y2 en el

instante t2.

Escribindola en su forma diferencial:

d y = V dt (69)

=

(70)

CINEMTICA-1


CINEMTICA

Al ejecutar la Integral solamente se puede obtener

Integrndola podemos obtener el cambio de velocidad del mvil

entre V1 en el instante t1 y V2 en el instante t2

Que, sin los vectores unitarios, su forma diferencial es

Pero en este movimiento la aceleracin es constante y su valor es:

= - g . Por lo tanto:

= d Vd t

(72)

-g = d Vd t

(73)

Porque en el lado derecho de la igualdad no conocemos como

vara la velocidad con el tiempo V(t). Para lograr esta relacin

usamos la definicin de aceleracin instantnea.

(71)(y2 y1 ) =

(74)d V = -g dt


CINEMTICA

=

(75)

V2 V1 = - g (t2 t1) (76)

V2 = V1 g (t2 t1) (77)

Si el tiempo inicial es t1 = 0, el tiempo final ser simplemente t2 = t,

entonces, la Ec. (77) se puede escribir como

V2 = V1 - g t (78)

Ahora, con la Ec.(78) ya tenemos V(t) y podemos integrar la Ec.(71)

Integrando el lado derecho

y2 y1 = V1 (t2 t1) g (t2 t1)2 (79)

(V1 g t ) (y2 y1 ) =

y2 y1 = V1 t a t2 (80)

Si t1 = 0, entonces el nico tiempo es t2 = t. Por lo tanto


CINEMTICA

Siguiendo un proceso similar al usado para obtener la Ec.(66) se de-

duce que en el movimiento de cada libre

2 = V12 V2

2 (81)

Como vemos las ecuaciones del MRUV vertical son similares a las

del MRUV horizontal y se obtienen con slo cambiar a por g, y Xpor y.

Ejemplo 5. Un estudiante parado sobre una plataforma lanza una

pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 17,5 m/s.

Al momento del lanzamiento la pelota esta a 4 m sobre el suelo.

Calcular: a) la velocidad y posicin de la pelota en el instante t =

1,5 s; b) la mxima altura de ascenso, c) la velocidad y posicin de

la pelota en el instante t = 3,5 s y d) la velocidad de impacto de la

pelota en el suelo y el tiempo que demora desde que fue lanzada.

Datos: Ubicamos el sistema de referencia (X,Y) como en la Fig. 19

que sigue y anotamos los datos conocidos:

V1 = 17,5 m/s, y1 = 4 m en t1 = 0

06/06/2015 01:32 p.m. 52

Solucin:


Y

X

a) La velocidad en el instante t = 1,5 s se

obtiene usando datos en la ecuacin:

1

2

y2

y1

t1 = 0

t2 = t = 1,5 s V2 = V1 g t

Como la velocidad es positiva

deducimos que la pelota todava est

ascendiendo.

V2 = 17,5 ( 9,81)(1,5)

= 2,79 m/s


Figura 32

La posicin en el instante t2 = t = 1.5 s

se obtiene usando datos en la ecua-

ciny2 y1 = V1 t g t

2

Usando valores:

y2 4 = (17,5)(1,5) (9,81)(1,5)2

y2 = 19,21 m

CINEMTICA-1

06/06/2015 01:32 p.m. 53

b) La mxima altura de ascenso se alcanza cuando V2 = 0. Por lo

tanto, usando datos en la ecuacin


Ym = 19,61 m

2 g ( y2 y1 ) = V12 V2

2

2 (9.81)( Ym 4 ) = (17.5)2 (0)2

y haciendo y2 = Ym se tiene:

c) La velocidad en t = 3,5 s; se obtie-

ne usando datos en la ecuacin:

V2 = 16,84 m/s

El signo negativo de la velocidad

nos indica que en t = 3,5 s, la pelota

esta descendiendo, luego de alcan-

zar la altura mxima.

V2 = V1 g t

V2 = 17,5 ( 9,81)(3,5)Esto es:

Y

X

2

1 y2

y1

t1 = 0

t2 = t = 3.5 s

V = 0

Ym


Figura 33

CINEMTICA-1

06/06/2015 01:32 p.m. 54

La posicin en t = 3,5 s se obtiene usando valores en la ecuacin:


y2 4 = (17,5)(3,5) (9,81)(3,5)2

y2 y1 = V1 t g t2

d) Queda como ejercicio para el alumno.

Ejemplo 6. Dos piedras A y B se dejan caer libremente desde la

misma altura al borde de un acantilado de 60 m de altura. Si la piedra

B se deja caer 1,6 s despus de la piedra A, qu distancia habr

cado la piedra B para que la separacin entre ambas sea de 36 m?

ya

yb

h

X

Y

Suelo

Figura 30

y

Figura 34

y2 = 5,16 m

Datos.

Las dos piedras se dejan caer desde lamisma altura y1 = 60 m y con velocidad

inicial V1 = 0 (parten del reposo).

La piedra B se deja caer 1,6 s despusde la piedra A.

La separacin entre ambas piedras sery = (ybya) = 36 m, cuando la piedra Bhaya cado una distancia h.

(t1 = 0, V1 = 0)

y1

A B

CINEMTICA-1

06/06/2015 01:32 p.m. 55

Solucin. Para calcular la distancia h = (y1 yb) que habr cado la

piedra B, fijamos en la Fig.21 el sistema (X,Y) en el suelo y calcula-

mos la posicin de cada piedra usando la condicin de separacin (ybya) = 36 m entre ellas.


(ya -60) = - g t2 (a)

Como la piedra B es soltada 1,6 s despus que la piedra A, entonces el tiempo que demora en caer es tb = (t -1,6). En este tiempo, su po-

sicin se puede obtener con

Si t es el tiempo que demora en caer la piedra A, su posicin en tal

instante es

(ya 60) = g t2

(yb 60) = g (t-1,6)2

(yb ya ) = g [(t-1,6)2 - t2 ]

Restando la Ec.(a) de la Ec.(b) se tiene:

(yb -60) = - g (t-1,6)2 (b)

(yb ya ) = 1,6 g t 1,28 g (c)

Desarrollando el cuadrado del binomio y simplificando obtenemos:

CINEMTICA-1


Usando este tiempo en la Ec.(b) obtenemos la posicin de la pie-

dra B.

36 = 1,6 g t 1,28 g

t = 3,09 sResolviendo se tiene

(yb-60) = - g (3,09-1.6)2

Por lo tanto, la distancia recorrida por B es:

h = (y1 yb) = (60- 49,11) = 10,89 m

yb = 49,11 m

Ejemplo 7. Un hombre parado dentro de la canasta de un globo ae-

rosttico, que asciende con una rapidez de 20,0 [m/s], sostiene un

paquete en las manos. En el instante que est a 180 [m] del suelo

lanza el paquete hacia abajo con una rapidez de 1,5 [m/s]. Calcular:

a) la altura mxima que asciende el paquete, respecto al suelo, b) la

velocidad y el tiempo que demora el paquete en ubicarse a 190 m

sobre el suelo, c) la velocidad y el tiempo que demora el paquete

en impactar el suelo.

pero (yb ya) = 36 m, entonces

CINEMTICA-1

06/06/2015 01:32 p.m. 57

Datos. En la Fig.35 mostramos la rapidez del globo respecto al suelo

es VG = 20,0 m/s, la posicin y1 = 180 m del paquete al momento de

ser lanzado y la rapidez del paquete respecto al globo es Vp = 1,5

m/s.


Solucin.

Primero debemos calcular la velocidad ini-

cial del paquete respecto al suelo.

1 = VG Vp = (VG Vp )

Cuyo mdulo es:

V1 = 20,0 1,5 = 18,5 m/s p

G

X

Y

p

1 G

1

Suelo

Figura 35

Esta es la velocidad inicial que usare-

mos en la solucin del problema. y1

a) El paquete alcanza la altura mxima cuan-

do su velocidad final V2 = 0, y su valor se

obtiene usando datos en

2 (9.81) ( Ym -180 ) = (18,52 0)

2 g ( y2 y1 ) = V12 V2

2

CINEMTICA-1

06/06/2015 01:32 p.m. 58

Obteniendo: Ym = 197,44 m, como se muestra en la Fig.36.


b1) La velocidad del paquete

en la nueva posicin y2 = 190

m, que se muestra en la Fig.

24, se obtiene usando valores

en:2 g ( y2 y1 ) = V1

2 V22

2(9,81)(190180) = (18,5)2 V22

V2 = 146,05 = 12,09 m/s

V2 = 0

1

Y

y1

VG

X

V2 = + 12,09 m/s, cuando el

paquete pasa de subida ha-

cia la altura mxima Ym.

V2 = - 12,09 m/s, cuando pa-

sa de retorno desde Ym.

Suelo

Figura 36

y2

- 2

2

Figura 37

Donde podemos considerar

que

Suelo

Ym

V = 0

Ym

1

Y

VG

X y1

CINEMTICA-1

06/06/2015 01:32 p.m. 59

b2) El instante en que el bloque alcanza la altura y2 = 190 m, sobre el

suelo se calcula usando datos en la ecuacin:


y2 y1 = V1 t g t 2

190 180 = 18,5 t (9,81) t 2

9,81 t 2 37 t + 20 = 0

t = ( 37) (37)2 4(9,81)(20)

2(9,81)

Reordenando obtenemos la ecuacin

cuadrtica

Cuya solucin se obtiene con la frmula:

V = 0

1

Y

y1

VG

X

y2

2 , t

- 2 , t

Suelo

Figura 34

t = 37 24,17

19,62

t = = 0,65 s 37 24,17

19,62

t = = 3,12 s 37 + 24,17

19,62Figura 38

Ym

CINEMTICA-1


Los dos races indican que el paquete pasa por la misma

posicin y2 en dos instantes. En t = 0,65 s, pasa cuando est

ascendiendo hacia la altura mxima y en t= 3,12 s pasa

cuando esta bajando o retornando de la altura mxima.

Ejercicio CIN-02

1. Un objeto que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza una velo-

cidad de 18 [m/s] cuando est a mitad de su altura mxima. Calcular:

a) la mxima altura que asciende, b) la velocidad con que fue lanzado,

c) el tiempo que tardar en ubicarse a 16 [m] arriba del punto de lanza-

miento y d) el tiempo de vuelo. (Rpta: a) 33,03 m; b) 25,46 m/s; c) 0,73

s al subir y 4,46 s al bajar y d) 5,19 s)

2. Una maceta cae desde la azotea de un edificio de apartamentos. Una

persona de un apartamento inferior que tiene un cronmetro, observa

que la maceta tarda 0,2 s en pasar a travs de una ventana que tiene

4,0 m de altura. A qu altura sobre el borde superior de la ventana

est la azotea? (Rpta: 22,43 m)

CINEMTICA-1


3. Un hombre con un paquete en las manos viaja parado dentro de la

canasta de un globo aerosttico que desciende con una velocidad de

5 [m/s]. Cuando el globo est a una altura de 190 [m] sobre la

superficie terrestre, el hombre lanza el paquete hacia arriba con una

velocidad de 15 [m/s]. Calcular el tiempo que demora el paquete en

ubicarse a 194 [m] de altura respecto a la superficie terrestre. Usar g =

9,81 m/s2 y explique su respuesta. (Rpta: 0,55 al subir y 1,49 s al bajar )

4. En el instante t = 0, se deja caer una piedra desde un acantilado sobre

un lago; 1,6 s despus, se lanza otra piedra hacia abajo desde el

mismo punto con una velocidad inicial de 32 m/s. Si ambas piedras

chocan en el agua al mismo tiempo, cul es la altura del acantilado?(Rpta: 27,55 m)

Continua en Cinemtica 2

CINEMTICA-1

2. cinemÁtica 1.pdf

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