bloque nº 2 cinemática-2011
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ISFDyT N° 12 – FISICA - BLOQUE N° 2 CINEMATICA.-
A.- Significado de Cinemática.- B.- Movimiento de un cuerpo.-C.- Movimiento rectilíneo uniforme.-D.- Movimiento rectilíneo variado.-E.- Caída de los cuerpos.-F.- Movimiento circular uniforme.-G.- Actividad de aplicación.-H.- Evaluación del Bloque.-
A.- Significado de Cinemática:
El Universo está compuesto de múltiples galaxias y en la galaxia de la que forma parte nuestro sistema solar existen aproximadamente 1011 (cien mil millones) de estrellas. El Sol es una de esas estrellas y se traslada a una velocidad de 90.000 km/h con respecto a un punto de referencia ubicado fuera de él.-La Tierra lo acompaña en su movimiento, pero, además, gira a su alrededor y sobre sí misma.-En el Universo nada se halla en estado de reposo, sino que todo se encuentra en movimiento.-El vocablo cinemática deriva del griego kinema que significa movimiento.-
La cinemática es la parte de la Mecánica que describe los movimientos, independientemente de las causas que los originan.-
B.- Movimiento de un cuerpo.-
Resulta fácil decir que un cuerpo está en movimiento, pero es más difícil explicar lo que se quiere decir con eso.- Consideremos el caso de un alumno que está sentado en su banco, participando de la
clase de Física. Ese alumno está en reposo con respecto al banco, al pizarrón, las paredes del aula, etc. Si dicho alumno se levanta y empieza a caminar, cambia de posición, está en movimiento con respecto a los cuerpos antes mencionados (banco, pizarrón, paredes, etc.).-
Veamos otro caso: Una persona sube a un ómnibus de pasajeros en una estación terminal y se ubica en un asiento. Cuando el ómnibus está en movimiento, dicha persona está en reposo con relación al propio ómnibus pero se mueve con él, alejándose de la estación.-
Esto muestra que un cuerpo puede estar en reposo y en movimiento simultáneamente; todo depende del punto de referencia que se considere.-Además, la estación terminal se mueve conjuntamente con el movimiento de traslación y rotación de la Tierra alrededor del Sol y, en consecuencia es un punto fijo.-
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De los ejemplos señalados se puede deducir que: un cuerpo está en movimiento cuando se aleja o se acerca a un punto elegido como fijo. En otras palabras: un cuerpo está en movimiento cuando varía su distancia con relación al punto elegido como fijo.-Pero éste concepto no se puede aplicar a todos los casos. Así, si atamos un trozo de madera a una soga y lo hacemos girar a nuestro alrededor, el trozo se mueve recorriendo una circunferencia cuyo centro es nuestro cuerpo pero su distancia con respecto a él no varía.- Por este motivo, para definir el movimiento no se toma como referencia a un punto sino a un sistema de coordenadas, al que se denomina sistema de referencia.-Cuando consideramos el movimiento de un objeto en el plano, son suficientes dos ejes de coordenadas (x e y) para determinar las sucesivas posiciones de ese objeto. Por ejemplo: y 3 P2
2 P1
1 -
0 1 2 3 X En la posición P1, el móvil tiene las coordenadas x = 1 e y = 2 y en la posición P2 , x = 3 e y = 3Si se considera el movimiento en el espacio, es necesario determinar un sistema de tres ejes de coordenadas (x, y, z) para establecer las sucesivas posiciones que va ocupando dicho cuerpo.- z p
o y
X
Esta posición puede caracterizarse por el vector r (OP).-Para precisar cuándo un cuerpo está en movimiento, además de determinar un sistema de referencia, es necesario tener en cuenta que el movimiento no es instantáneo, sino que se produce a lo largo de un cierto tiempo.-
Definición de Movimiento: Un cuerpo está en movimiento cuando varía su posición, a medida que transcurre el tiempo, con respecto a un sistema de referencia (Sistema de Coordenadas).-
B-1.-Trayectoria de un móvil:Consideremos el siguiente caso: Un automóvil parte de Córdoba a las 8,00 y arriba a Buenos Aires a las 17,00 registrándose en el esquema la ruta seguida y en el cuadro las
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localidades por donde pasa, las distancias recorridas desde el punto de partida y la hora en que pasa por dichas ciudades:
Córdoba
Villa María
Marcos Juárez
Rosario
San Pedro
Buenos Aires
Como se puede observar en el esquema, el automóvil, en su recorrido desde Córdoba hasta Buenos Aires, fue ocupando sucesivamente distintos punto del espacio a medida que iba transcurriendo el tiempo.-Lo mismo ocurre en cualquier movimiento que se observe: el vuelo de un pájaro, el desplazamiento de un barco, una piedra que se arroja al aire, etc. En todos los casos, el móvil va ocupando distintos punto del espacio en un cierto intervalo de tiempo.-Entonces se puede establecer que:
TRAYECTORIA DE UN MOVIL es el conjunto de punto del espacio que va ocupando sucesivamente a medida que transcurre el tiempo.-
Cuando la trayectoria seguida por el móvil es una recta, el movimiento se denomina rectilíneo; en cambio, si es una curva recibe el nombre de movimiento curvilíneo. En éste último caso, el movimiento toma nombre de la curva que describe: si es una circunferencia, movimiento circular; si es una elipse, movimiento elíptico; si es una parábola, movimiento parabólico, etc.-
B-2.- Posición de un móvil:En su trayectoria, el automóvil del ejemplo anterior fue ocupando distintos punto. Así a las 8,00 estaba en Córdoba; a las 9,35 en Villa María; a las 10,50 en Marcos Juárez, etc.-
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Localidad Distancia(km) Hora de paso
Córdoba 0 8,00Villa María 140 9,35Marcos Juárez 260 10,50Rosario 400 12,25San Pedro 510 14,10Buenos Aires 700 17,00
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Cada uno de éstos punto corresponde a la ubicación del automóvil en un determinado instante y recibe el nombre de posición.-Por lo tanto, podemos decir que:POSICION es el punto donde está ubicado el móvil en un determinado instante.-
Sistema de abscisas:En el caso de un móvil cuya trayectoria es rectilínea, dicha trayectoria se puede representar por medio de una línea recta sobre la cual se fija un punto de origen (O) y se establece su longitud con una cierta unidad elegida para tal fin:
-7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
I i i i i i i i i i i i i i i X
UNIDAD
El número que indica la longitud entre el punto de origen (O) y la posición del móvil en un determinado instante, se denomina abscisa X.-Así, en el caso de un móvil (M) que en un cierto instante (t1) ocupa la posición (X1): t1 0 M I i i i i i i i i i i i i i i X - X1 +
el valor de la abscisa X1 es igual a +2Si en el instante t1, la abscisa del móvil (M) es X1, en el instante t2 su abscisa es X2. Luego, en la variación de intervalo (t = t2 - t1) se ha producido una variación de la abscisa: x = X2 - X1
Por ejemplo, un ómnibus de pasajeros sale de Córdoba (0 km), por la Ruta Nacional N° 9 llega a Tucumán (600 km) y regresa por la misma ruta a Santiago del Estero (160 km)
San Miguel de Tucumán
Santiago del Estero
V. Ojo de Agua
CórdobaEl camino recorrido es: 600 + 160 = 760 km, mientras que la variación de la abscisa es: 600 – 160 = 440 km
B-3.- Velocidad del móvil:
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Es muy frecuente que asociemos la expresión movimiento con velocidad.-Para calcular la velocidad se divide el espacio recorrido por el tiempo empleado en recorrerlo. Así, un automóvil recorre una distancia de 240 km en un tiempo de 3 h, su velocidad es de: V = 240 km / 3 h = 80 km/h Esto no indica que el automóvil por cada hora recorrió una distancia de 80 km. De modo que la velocidad informa qué espacio fue recorrido en una unidad de tiempo (en este caso en una hora).-En consecuencia podemos definir:La VELOCIDAD DE UN MOVIL es el cociente entre el espacio recorrido (s) y el tiempo empleado en recorrerlo (t): V = s /t
Unidades:La unidad de velocidad está expresada por el cociente entre la unidad de longitud y la unidad de tiempo.-En el ejemplo anterior se utilizó kilómetro por hora (km/h). El SIMELA ha adoptado como unidad de velocidad al metro por segundo (m/s). Otras unidades muy usadas son el kilómetro por segundo (km/s), la milla por hora (milla/h) (en los países de habla inglesa) y en náutica el nudo.-Cambio de unidades: Las unidades pueden transformarse unas en otras.Caso 1: Transformar km/h a m/sPor ejemplo, 180 km/hTeniendo en cuenta que 1 km = 1000 m y 1 hora = 3600 segundosV = 180 km /h = 180 . 1000 m / 3600 s = 50 m/s
Caso 2: Transformar nudos en km/hPor ejemplo, 30 nudos:Sabiendo que 1 nudo = 1,852 km/hV = 30 . 1,852 km/1 h = 55,56 km/h
En suma conociendo las equivalencias entre las unidades de longitud y de tiempo, es posible expresar una misma velocidad con diferentes unidades.-
C.- Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).-
Al registrar el desplazamiento de una persona que camina se obtienen los siguientes resultados:
Distancia (m) 15 30 45 60 75Tiempo (s) 10 20 30 40 50
El análisis de estos datos nos muestra que para recorrer cada tramo de 15 m emplea 10 segundos y que la velocidad en cada tramo es siempre 1,5 m/sEstas dos características:a) el móvil recorre espacios iguales en tiempos igualesb) La velocidad es constanteSon propias del movimiento uniforme.
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También notamos que para recorrer el doble de una distancia requiere el doble de tiempo; el triple de distancia el triple de tiempo, o sea que la distancia recorrida está en proporción directa con el tiempo que se emplea para recorrerla.-Entonces, podemos establecer que:MOVIMIENTO UNIFORME es aquel en que el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado en recorrerlo.-
Cuando un movimiento es uniforme, se aplica la fórmula de la velocidad V = s /t
Ecuación horaria del M.R.U.Consideremos el siguiente caso:Deseamos conocer el espacio recorrido (s) hasta las 11,00 h (t) por un avión que circula con movimiento uniforme a una velocidad (v) de 300 km/h, sabiendo que dicho avión pasó por el km 20 (s0) a las 9,00 h (t0)
Los datos consignados son:V = 300 km/h t0 = 9,00 h t = 11,00 h s0 = 20 km
La incógnita es s (espacio recorrido)
Como en el movimiento uniforme la V = s /t = constante, resultas = V t (1)Sabiendo que s = s - s0 y t = t – t0
Al reemplazar en (1) tenemos: s - s0 = V . (t – t0)Por lo tanto: s = s0 + V . (t – t0)Entonces reemplazando por los datos consignados:
S = 20 km + 300 km/h . (11,00 h – 9,00 h) = 620 km
La ecuación s = s0 + V . (t – t0) recibe el nombre de ecuación horaria del movimiento uniforme.-Cuando t0= 0, la ecuación resulta: s = s0 + V . tSi además, s0 = 0 queda s = v . t Representación gráfica del espacio en función del tiempo.-
En el caso del movimiento uniforme resulta útil representar gráficamente el espacio recorrido en función del tiempo empleado en recorrerlo.-A modo de ejemplo, construiremos el gráfico correspondiente a la siguiente tabla:Movimiento uniforme de un tren
Tiempo (h) 1 2 3 4 Espacio (km) 60 120 180 240
Primero, se traza un sistema de coordenadas, constituido por el eje de la abscisa y el eje de la ordenada (la longitud de ambos ejes debe ser similar) Luego, sobre el eje de la abscisa, se coloca la escala correspondiente al tiempo y sobre el eje de la ordenada los valores correspondientes al espacio.-
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Espacio (km)
240
180
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A continuación se procede a determinar los pares relacionados.-Finalmente se unen los puntos hallados, obteniéndose la representación gráfica del movimiento uniforme que hemos tomado como ejemplo.-La observación de este gráfico nos muestra que todos los puntos hallados están sobre la misma recta, que suele denominarse recta representativa.-Entonces, podemos señalar que:En el movimiento uniforme, la representación gráfica del espacio recorrido en función del tiempo empleado en recorrerlo es una línea recta.-Asimismo, se observa que: La recta obtenida pasa por el origen O, porque en el instante cero (t = 0), el espacio
recorrido es cero (s = 0).- Como t = 0 y s = 0, la ecuación horaria resulta s = v . t El espacio recorrido es función creciente del tiempo. (El espacio se incrementa a
medida que transcurre el tiempo).- Se pueden resolver problemas referidos a tiempos o distancias por interpolación
(Obtención de datos entre dos mediciones).- Velocidad y tangenteEn la representación gráfica antes realizada, consideremos un punto A de la recta obtenida:
Observemos que AB corresponde al espacio recorrido y OB al tiempo empleado para recorrerlo. De donde deducimos:AB/OB = espacio (s) / tiempo (t) = velocidad (v)En el ejemplo AB = 120 km y OB = 2 h Por lo tanto: V = 120 km / 2 h = 60 km/hEn el triángulo rectángulo OAB, el cociente entre el cateto AB (opuesto al ángulo ) y el cateto OB (adyacente al ángulo ) constituye la tangente del ángulo . Por lo tanto, podemos deducir que: tg = AB/OB = v
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Espacio (km)
240
180
S (km)
240
180 A 120 60 B 0 t (h) 1 2 3 4
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Entonces en la representación gráfica de un movimiento uniforme:La tangente del ángulo que forma la recta hallada con el eje de los tiempos representa la velocidad numérica del movimiento.-Es necesario tener en cuenta que para calcular esa tangente no se usa el procedimiento habitual (medir el ángulo y luego buscar el valor de la tangente en tablas), sino que se realiza la división entre las cantidades que representan los catetos opuestos y adyacente. –
Representación gráfica de s en función de t, cuando so = 0
Consideremos el caso de un móvil que se desplaza con movimiento uniforme a una velocidad de 5 m/s y que en el instante cero (t = 0) ya ha recorrido un espacio de 15 metros (so = 15 m). Los datos correspondientes al desplazamiento de dicho móvil se encuentran en la siguiente tabla:Tiempo en s (t) 0 1 2 3 4Espacio en m (s) 15 20 25 30 35 Con estos datos podemos construir la siguiente representación gráfica:
Cuando t = 0 y So 0, la ecuación horaria es: S = So + V . tRepresentación gráfica para dos móviles con igual to
En un mismo sistema de coordenadas, representamos conjuntamente el espacio recorrido en función del tiempo de un tren que circula con M.U. a 60 km/h y el otro tren que parte a la misma hora, pero con velocidad 90 km/h
S (km) 240 V=90 km/h (1) V= 60 km/h (2) 180 120 60
0 t (h) 1 2 3 4 Observamos que la recta (1) posee mayor pendiente que la recta (2), esto es debido a la diferencia de velocidad.-
Representación gráfica de la velocidad en función del tiempo
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S (m)
30 – V . t - 20 -- - 10 -- So - o 1 2 3 4 t (s)
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Movimiento uniforme de un automóvilTiempo en h 1 2 3 4 5 6Velocidad en km/h 80 80 80 80 80 80
Efectuando la representación gráfica, colocando el tiempo sobre el eje de las abscisas y la velocidad sobre el eje de ordenadas:
V (km/h) 80
0 t (h) 1 2 3 4
La representación es una recta paralela al eje del tiempo porque la velocidad es constante.-
La velocidad es una magnitud vectorial
Al comenzar el tema velocidad se ha explicado cómo se calcula su medida. Así, por ejemplo, expresamos valores tales como 60 km/h, 50 m/s, etc.-Sin embargo, un mismo valor de velocidad puede tener diferentes direcciones y sentidos. Por ejemplo, un avión puede desplazarse a 800 km/h en dirección Sur – Norte, Este – Oeste, Sudeste – Noroeste, etc. A su vez dentro de cada dirección pueden ser dos sentidos opuestos: un avión se desplaza en dirección Sur –Norte desde el Sur hacia el Norte o desde el Norte hacia el SurEntonces, para precisar la velocidad no es suficiente con señalar su valor, sino que es necesario indicar su dirección y su sentido.-Todos estos datos se reúnen en un segmento orientado (flecha) que recibe el nombre de vector:
O S
Así, por ejemplo, en el caso del avión:
S N O E
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S O 40° Paralelo
En el vector observamos:
1. El punto O que indica la posición del avión y que se denomina origen o punto de aplicación.-
2. La recta que forma un ángulo de 40 ° con el paralelo correspondiente a la posición del avión y señala dirección del vuelo.-
3. El extremo S de la flecha muestra que el avión se dirige hacia el nordeste. Este es el sentido del desplazamiento.-
4. La recta presenta ocho divisiones iguales. Como cada división representa 100 km/h, la velocidad es de 800 km/h. Entonces, la longitud del vector fijada de acuerdo con una escala preestablecida indica el valor o intensidad de la velocidad.-
Las magnitudes que deben ser representadas por vectores para que queden perfectamente definidas, se denominan magnitudes vectoriales.-En consecuencia, podemos establecer que:LA VELOCIDAD ES UNA MAGNITUD VECTORIALPor esta causa, la representación precisa de la velocidad se realiza colocando un pequeño vector (v ) sobre la letra v:
O I I I I I
El VECTOR indica origen, dirección, sentido e intensidad.-
D.- Movimiento rectilíneo variado (M.R.V.).-
Hasta ahora se han considerado movimientos uniformes, pero en la realidad los movimientos experimentan variaciones en la velocidad durante sus desplazamientos. Así, por ejemplo, un automóvil puede marchar a 100 km/h en un tramo, luego tiene que disminuir a 60 km/h por inconvenientes en el tránsito, después acelera nuevamente y así se producen constantes cambios en la rapidez de su desplazamiento.-Entonces, se puede definir:
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MOVIMIENTO VARIADO es aquel cuya velocidad experimenta modificaciones (es decir, que no es constante).-
Cuando un ómnibus de pasajeros se dirige de Buenos Aires a Mendoza recorre unos 1000 km en 16 horas. Su movimiento es variado: al partir, la velocidad va creciendo, hay momentos en que llega a 100 km/h, luego decrece porque se acerca a una curva o se interpone un camión, etc. No se puede hablar entonces de una velocidad constante porque ella cambia continuamente, pero sí se puede calcular un promedio de velocidad del ómnibus, porque se conoce la distancia recorrida y el tiempo empleado entre la salida y la llegada. A dicho promedio se lo denomina velocidad media y es igual al cociente entre el espacio recorrido (s) y el tiempo empleado en recorrerlo (t): s
Vm = tEn el ejemplo que estamos considerando:
Vm = 1000 km/16 h = 62,5 km/hPodemos observar que la fórmula de la velocidad media es la misma que se utiliza en el movimiento uniforme. Por lo tanto, se puede deducir que si el ómnibus hubiese circulado con movimiento rectilíneo uniforme a 62,5 km/h también habría demorado 16 horas para llegar a Mendoza.-Generalizando:La VELOCIDAD MEDIA DE UN MOVIL, en un cierto intervalo de tiempo, coincide con la velocidad del movimiento uniforme que dicho móvil debería tener para recorrer el mismo espacio en igual tiempo.- Movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.)Entre los movimiento variados hay algunos que presentan regularidades que facilitan su estudio. Así, cuando un esquiador se desliza por una pendiente, su velocidad aumenta gradualmente, siendo cada vez mayor a medida que transcurre el tiempo.-Un efecto similar se logra si se deja rodar libremente una pequeña esfera de madera por un plano inclinado.-Para comprender mejor este tipo de movimiento, veamos la siguientes actividades:A.- El esquema describe el desplazamiento de una esfera en un plano inclinado y en él se consignan los resultados obtenidos en una experiencia: 0 cm 2 cm 8 cm 18 cm 32 cm 50 cm 0 s 1 s 72 cm 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s
Con los datos de este esquema, completar la siguiente tabla:
Tiempo (s) Espacio (cm) Velocidad (cm/s) Variación de la velocidad (cm/s) 0 0 0 -------
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1 2 2 2
2 8 4 2 3 18 4 5 6
En base a los datos obtenidos:1. ¿Es un movimiento uniforme o variado?.....................................................
¿por qué? ................................................................................................... ................................................................................................................. ........
2. Calcule cuánto varía la velocidad entre:a.- 0 y 1 s: ..................................... b.- 1 y 2 s: ................................................c.- 2 y 3 s: ..................................... d.- 3 y 4 s: ................................................e.- 4 y 5 s: .................................... f.- 5 y 6 s: ................................................
3. De acuerdo con los resultados obtenidos en el inciso anterior, señale si es correcto afirmar que:
“En tiempos iguales, el aumento de la velocidad es siempre igual”....................Justifique..............................................................................................................Todo movimiento que presenta esta característica se denomina uniformemente acelerado.-
B.- Considerando el siguiente caso:Al ingresar un tren en una estación, se han registrado los siguientes datos:
Hora t (s) Velocidad (m/s) v (m/s)10 h 15 min 00 s ------ 15 -------10 h 15 min 05 s 5 12 310 h 15 min 10 s 5 9 310 h 15 min 15 s 5 6 3 10 h 15 min 20 s 5 3 310 h 15 min 25 s 5 0 3
Luego de analizar la tabla anterior, responda:
a.- ¿Es un movimiento variado o uniforme? ....................................................... ¿Por qué? ......................................................................................................
b.- ¿Cómo varía la velocidad en tiempos iguales?..............................................
Todo movimiento en que la velocidad disminuye en valores iguales cuando se consideran tiempos iguales, se denomina uniformemente retardado.-
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C.- Generalización:Tanto el movimiento uniformemente acelerado como el movimiento uniformemente retardado se caracterizan por la variación en forma uniforme de su velocidad y por tanto, reciben el nombre de movimientos uniformemente variados (M.U.V.). Por lo que:
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO es aquel que, en tiempos iguales, experimenta variaciones idénticas en su velocidad.-
Al examinar la tabla anterior, también se puede observar que en tiempos dobles la velocidad se reduce el doble, en tiempos triples disminuye el triple y así sucesivamente. Esto permite deducir otra característica de los movimientos uniformemente variados:La variación de la velocidad en movimientos uniformemente variados es directamente proporcional al tiempo.-
La aceleración en el M.R.U.V. En un movimiento uniformemente variado, la proporcionalidad existente entre las variaciones de la velocidad y los tiempos en que se producen, permiten identificar una constante característica de los movimientos uniformemente variados, denominada aceleración.-
Consideremos el siguiente caso:Un automóvil parte y su velocidad va registrando los siguientes valores: en 1 segundo, 4 m/s; en 2 segundos, 8 m/s; en 3 segundos, 12 m/s; en 4 segundos, 16 m/s; en 5 segundos, 20 m/s.Al efectuar el cociente entre las variaciones de la velocidad (v) y los tiempos en que ocurren (t) se obtienen los siguientes resultados:v 4 m/s 8 m/s 12 m/s 16 m/s 20 m/s m/s------ = ------- = -------- = --------- = --------- = --------- = 4 ------ = 4 m/s2 = constante t 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s s
Este resultado indica que la velocidad varía en 4 m/s por cada segundo que transcurre.Con el mismo procedimiento, en todos los movimientos uniformemente variados es posible hallar un valor constante que expresa la variación de la velocidad en la unidad de tiempo y que recibe el nombre de aceleración (a)En consecuencia:ACELERACION (a) es el cociente entre la variación de la velocidad (v) y el tiempo (t) en que ocurre dicha variación.- De acuerdo con esta definición, resulta la siguiente fórmula de la aceleración: v a = aceleracióna = ------ v = variación de la velocidad t t = variación del tiempoEn el ejemplo que estamos considerando el movimiento es uniformemente acelerado y en él la aceleración tiene un resultado positivo (a = 4 m/s2) Pero, ¿cuál es el signo de la aceleración cuando el movimiento es uniformemente retardado? Para responder a esta cuestión, veamos el siguiente caso:
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- Calcúlese la aceleración de un automóvil que va deteniendo su marcha con M.R.U.V., sabiendo que en un cierto instante su velocidad es de 20 m/s (Vo) y 15 segundos después (t) disminuye a 5 m/s (Vf).-
v Vf - V0 5 m/s – 20 m/s -15 m/sa = ------ = ----------- = ---------------------- = ----------------= -1 m/s2
t t 15 s 15 s
Observamos que el resultado presenta signo negativo y esto se da porque en un movimiento uniformemente retardado la velocidad disminuye a medida que pasa el tiempo.-En síntesis: Cuando la aceleración es positiva el movimiento se denomina uniformemente acelerado y cuando es negativa, uniformemente retardado.-
ACELERACION
POSITIVA NEGATIVA
M.U.A. M.U.R.
Deducciones:A partir de la fórmula de la aceleración, se deduce que:
v = a. t y t = v / a
Unidades de aceleraciónComo la aceleración es el cociente entre la variación de la velocidad y el tiempo en que transcurre dicha variación, la unidad de aceleración resulta del cociente entre la unidad de velocidad y la unidad de tiempo.-
Así, por ejemplo, si la unidad con que se mide la velocidad es km/h y la unidad para el tiempo es h, tendremos:Unidad de velocidad km/h----------------------------- = ------------- = km / h2 = unidad de aceleraciónUnidad de tiempo h
Es conveniente utilizar las unidades establecidas por el SIMELA que son: a) Velocidad: (m/s) b) Tiempo: segundos (s) Siendo por tanto la unidad de aceleración SIMELA m / s2
De modo que :La unidad de aceleración SIMELA es la aceleración del móvil que, en cada segundo, varía su velocidad en un m/s.-
La velocidad en el M.R.U.V.Para efectuar el estudio de la velocidad en los movimientos uniformemente variados, vamos a considerar tres situaciones:a.- Un móvil desde una posición de reposo (velocidad inicial igual a cero) parte con M.R.U.A.
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b.- Un móvil que ya se está desplazando y adquiere un M.R.U.A.-c.- Un móvil que ya se está desplazando y adquiere un M.R.U.R.-
- Caso 1: Móvil que parte con M.R.U.A- Un automóvil que, luego de estar detenido, sale con una aceleración (a) de 2 m/s2
¿Cuál es su velocidad (Vf) al cabo de 5 segundos (t)?:Sabemos que: v = a. t (1)Pero v = Vf – Vo
Como el automóvil parte de una posición de reposo, la velocidad inicial (Vo) es igual a cero ( Vo = 0). Entonces v = Vf
Por otra parte t = t – to pero to = 0 luego t = tEn consecuencia, la ecuación (1) resulta Vf = a.tReemplazando por los valores del caso planteado: Vf = 2 m/s2 . 5 s = 10 m/sResultado = Al cabo de 5 segundos la velocidad es de 10 m/s
Representación gráfica
La velocidad del movimiento uniformemente acelerado que hemos considerado, en función del tiempo, se puede representar gráficamente como sigue: V (m/s) V = a.t 10
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0 1 2 3 4 5 t (s)Como la velocidad es directamente proporcional al tiempo, se obtiene una recta.-
En el siguiente gráfico podemos señalar el triángulo rectángulo ABC y el ángulo que forma la recta con el eje de los tiempos (abscisa)
V (m/s) V = a.t
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10 C 8 6 4 2 0 B A 1 2 3 4 5 t (s)Sabemos que: tg = BC / ABPero BC = v y AB = tLuego tg = v / t = aEntonces, en el gráfico de la velocidad en función del tiempo, la aceleración está representada por la tangente del ángulo que forma la recta obtenida con el eje de los tiempos.- Cuando en un mismo sistema de coordenadas se representa la velocidad en función del tiempo de los dos M.R.U.V., como por ejemplo: uno cuya aceleración es de 10 m/s2 y otro con aceleración de 5 m/s2, se obtiene el siguiente gráfico:
V (m/s) a = 10 m/s2
25 20 a = 5 m/s2 15 10 5 0 1 2 3 4 5 t (s)
Al efectuar el análisis de este gráfico, resulta fácil advertir que cuando la aceleración es menor, la recta presenta menos inclinación.-
- Caso 2: Móvil en movimiento que adquiere un M.R.U.A
Analicemos el siguiente caso: Una motocicleta que se desplaza a una velocidad (V) de 10 m/s entra en una pendiente y adquiere una aceleración (a) de 1,5 m/s2 ¿Cuál es su velocidad (Vf) al cabo de 10 segundos (t)?
Sabemos que: v = a. t (1)
Pero v = Vf – Vo Por otra parte t = t – to pero to = 0 luego t = t
En consecuencia, la ecuación (1) resulta Vf – Vo = a. t ó Vf = Vo + a.t
Reemplazando por los valores del caso planteado: Vf = 10 m/s + 1,5 m/s2 . 10 s = 10 m/s + 15 m/s = 25 m/sResultado = Al cabo de 10 segundos la velocidad es de 25 m/s
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Representación gráficaLa velocidad del M.R.U.A. analizado se puede representar en función del tiempo, del siguiente modo: V (m/s)
25 20 a . t 15 10 5 Vo
0 2 4 6 8 10 t (s)
La recta obtenida no pasa por el origen (0), sino que corta al eje de las velocidades en el punto correspondiente a la velocidad inicial (Vo).- - Caso 3: Móvil con M.R.U.RAnalicemos el siguiente caso: Un tren que se desplaza con M.R.U.R., en un determinado instante marcha a 20 m/s (Vo) y 10 segundos (t) después a 3 m/s a una velocidad (Vf).¿Cuál es su aceleración (a)? v = Vf – Vo = 3 m/s – 20 m/s = -17 m/s Sabemos que: a = v /t t = 10 s -17 m/sa = ------------- = -1,7 m/s2
10 sResultado = La aceleración es de –1.7 m/s2
Representación gráficaLa velocidad en función del tiempo del M.R.U.R. analizado se puede representar así: V (m/s)
25 20 15 10 5 0 2 4 6 8 10 12 t (s)La recta obtenida en este caso forma un ángulo obtuso () con el eje de los tiempos. La tangente de dicho ángulo, que representa la aceleración, es negativa. (Esto coincide con el resultado matemático antes hallado).-
En resumen:
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- En los movimientos uniformemente variados, la velocidad que adquiere un móvil en un determinado instante depende de la aceleración y el tiempo que ha transcurrido.-
- La velocidad de un movimiento uniformemente variado se puede calcular con las siguientes fórmulas:
a.- Vf = a . t cuando el móvil parte de una posición de reposo (Vo =0) b.- Vf = Vo + a . t cuando el móvil está en movimiento (Vo 0)
- En la representación gráfica de la velocidad en función del tiempo de un M.R.U.V., la tangente del ángulo que forma la recta obtenida con el eje de los tiempos representa la aceleración.-
RECORDANDO LAS SIGLAS
M.R.V. (M ovimiento R ectilíneo V ariado ) (en tiempos iguales, experimenta variaciones idénticas en su velocidad)
M.R.U.V. (M ovimiento R ectilíneo U niformemente V ariado )
M.R.U.A (M ovimiento R ectilíneo U niformemente A celerado ) (cuando la aceleración es positiva)
M.R.U.R (M ovimiento R ectilíneo U niformemente R etardado ) (cuando la aceleración es negativa)
- La ecuación horaria en el M.R.U.V.
Como el espacio recorrido por un móvil depende del tiempo de marcha, trataremos de descubrir la ecuación que relaciona estas dos magnitudes.-A partir de la generalización efectuada al tratar el movimiento rectilíneo variado: “La velocidad media de un móvil, en un cierto intervalo de tiempo, coincide con la velocidad del movimiento uniforme que dicho móvil debería tener para recorrer el mismo espacio en igual tiempo”, podemos escribir: Vo + Vf
Vm = --------------S = Vm . t y como 2
Vf = a . t Considerando Vo = 0 Vf a . tS = ------ . t S = ---------- . t S = ½ a . (t)2
2 2
B.2 - 2004 18
Considerando Vo 0
Vo . t = S con M.R.U.
S = Vo . t + ½ a . (t)2
½ a . (t)2 = S con M.U.V.
Si además existe espacio inicial (So)
S = So + Vo . t + ½ a . (t)2 Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación horaria del movimiento uniformemente variado
Como hemos visto, cuando Vo = 0 y So = 0, la ecuación horaria resultaS = ½ a . (t)2
En este caso, la distancia recorrida por el móvil es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Así, si en 3 segundos recorre 5 metros, en el doble de tiempo (6 s) recorrerá 22
= 4 veces más, o sea 20 metros; en el triple (9 s) recorrerá 32 = 9 veces más, o sea 45 metros.-En los casos en que Vo 0 y So 0, la distancia recorrida por el móvil, si bien depende del cuadrado del tiempo, no lo es en forma directamente proporcional.-Recordar: En un M.R.U.V. la distancia recorrida por el móvil depende del cuadrado del tiempo.-
- Representación gráfica de la ecuación horariaEn el movimiento uniformemente variado resulta ilustrativo representar gráficamente el espacio recorrido en función del tiempo empleado en recorrerlo.- A modo de ejemplo, consideremos el caso de un automóvil de carrera que parte con M.R.U.V. registrando los siguientes datos:
TIEMPO (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ESPACIO (m) 0 1,25 5,00 11,25 20,00 31,25 45,00 61,25 80,00 101,25 125,00
Con estos datos construiremos el siguiente gráfico:
B.2 - 2004
s (m) 100
80
60
40
20
19
La representación gráfica del espacio en función del tiempo en el M.R.U.V. origina una línea curva denominada parábola.-La forma de la parábola depende de la aceleración. Así, si tomamos como ejemplo dos automóviles que salen simultáneamente con M.R.U.V., pero el A con a = 2 m/s2 y el B con a = 3 m/ s2 se obtiene el siguiente gráfico: s (m) 150 B
120
90 A
60
30
0 2 4 6 8 10 t (s)Observamos que la parábola correspondiente al automóvil B, que tiene mayor aceleración, crece más rápidamente.-
E.- Caída de los cuerpos.-
La gravedad terrestre
La materia tiene una propiedad que generalmente pasa inadvertida: la gravedad. Todo cuerpo material, pequeño o grande, presenta una fuerza de atracción sobre los cuerpos que están en su proximidad. Esa fuerza de atracción es evidente en los cuerpos que están en su proximidad. Esa fuerza de atracción es evidente en los cuerpos de gran tamaño, como la Tierra, que atrae con marcada intensidad a todos los cuerpos que están en sus inmediaciones, llegando a ejercer inclusive sobre la Luna.-
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s (m) 100
80
60
40
20
20
Esta acción se denomina gravedad terrestre.-Entonces, todos los cuerpos próximos a la Tierra son atraídos hacia su centro por la fuerza de la gravedad. Esta característica determina lo que denominamos peso de los cuerpos.-Si disponemos de dos esferas de igual radio, una de madera de 1 kg y otra de hierro de 10 kg, la fuerza de atracción de la gravedad sobre la esfera de madera es diez veces menor que sobre la de hierro.-Suponiendo que desde lo alto de una torre dejamos caer ambas esferas, cabe preguntarnos: ¿lo hacen con la misma velocidad? ó ¿cuál de las esferas cae más rápido?Esta inquietud ya se la planteaban los griegos, quienes sostenían que los cuerpos más pesados caen con mayor rapidez.-
- El cuestionamiento de Galileo
Hacia fines del siglo XVI, Galileo Galilei cuestionó esta suposición, comenzando a sustentar la hipótesis de que, si bien un cuerpo más pesado es atraído con mayor fuerza por la Tierra que otro más liviano, es más difícil moverlo. Entonces, había una compensación y todos los cuerpos caen con la misma velocidad si se los deja libre desde una misma altura.-Para comprobar su hipótesis, Galileo efectuó una experiencia muy conocida: desde lo alto de la torre de su ciudad (Pisa) dejó caer en el mismo momento dos esferas de igual radio, una que pesaba 1libra y otra cuyo peso era de 10 libras. Ante el asombro de los estudiantes y amigos presentes, los dos cuerpos tocaron tierra en el mismo instante.-Ante este resultado, algunos adversarios de Galileo le efectuaron la siguiente objeción: ¿Por qué una pluma de ave cae más lentamente que una piedra?Galileo les respondió que ello se debía a la resistencia que opone el aire a la caída de los cuerpos.-
- La acción del aire
Algunas experiencias sencillas nos ayudan a comprender la acción del aire:
a.- Tomamos dos hojas de papel iguales y una de ellas la transformamos en una pelotita bien apretada.-Luego, soltamos ambas hojas desde igual altura y en el mismo instante. Veremos que la hoja arrugada cae con mucha más rapidez.-Esto nos indica que la velocidad de caída es diferente, aunque el peso sea el mismo.-El efecto de rozamiento del aire se manifiesta más en la hoja no arrugada (plana) porque tiene mayor superficie libre.-
b.- Cuando se deja caer en el mismo momento y desde una misma altura una moneda y un trozo de papel de igual diámetro, éste cae más lentamente que aquella. Pero, si colocamos el trozo de papel sobre la moneda y se los deja caer, veremos que ambos caen juntos.-Entonces, aunque sus pesos son diferentes adquieren la misma velocidad.-En este caso, la moneda protege al trozo de papel de la acción del aire.-
- La caída libre
Las dos experiencias anteriores demuestran que el aire opone resistencia al movimiento de caída de los cuerpos.-Esto lleva a preguntarnos: ¿si no hay aire, todos los cuerpos caen con igual velocidad?
B.2 - 2004 21
La respuesta a esta cuestión se encuentra efectuando el siguiente experimento: en un tubo de vidrio cerrado de un metro de longitud, provisto de pico con llave, se coloca una pluma de ave y una pequeña esfera de plomo. Luego, mediante una bomba neumática, se extrae el aire hasta lograr el vacío y se cierra la llave. A continuación, si se invierte rápidamente el tubo de manera que quede en posición vertical, se ve que ambos cuerpos caen juntos durante todo el trayecto.-Esto nos indica: En el vacío todos los cuerpos caen con igual velocidad.-El movimiento de caída sin la presencia de aire se denomina caída libre.-
- ¿Qué clase de movimiento es el de caída libre?
Cuando se deja deslizar libremente una esfera sobre un plano inclinado, dicha esfera adquiere un movimiento uniformemente variado.-Si se aumenta la inclinación del plano, la aceleración del movimiento es cada vez mayor, comprobándose que las distancias recorridas por la esfera son directamente proporcionales al cuadrado de los tiempos empleados en recorrer dichas distancias.-Recordemos que ésta es una de las características de un movimiento uniformemente variado.-Cuando la inclinación del plano es de 90°, dicho plano se encuentra en posición vertical y puede suprimirse, observándose que la esfera cae con movimiento uniformemente variado.-
90°
En consecuencia: El movimiento de caída de un cuerpo es vertical y uniformemente variado.-Esto se cumple plenamente en el vacío (caída libre), porque si no el rozamiento con el aire modifica el movimiento, sobre todo cuando la velocidad es elevada.-Galileo estableció que si se deja caer un cuerpo desde una gran altura, al principio el movimiento es uniformemente variado, pero, paulatinamente, la aceleración disminuye por la resistencia del aire hasta anularse y, entonces, el movimiento se transforma en uniforme.-
- La aceleración de la gravedad
Como el movimiento de caída de todos los cuerpos en el vacío es uniformemente variado y con igual velocidad, se deduce que:
En el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración.-
Dicha aceleración es provocada por la gravedad terrestre y por lo tanto se denomina aceleración de la gravedad, representándose con la letra g.-
B.2 - 2004 22
Determinaciones efectuadas en distintos lugares de la Tierra demostraron que el valor de la aceleración de la gravedad depende de la latitud. Así, en los polos alcanza su valor más alto (9,83 m/s2) y en el ecuador el valor más bajo (9,78 m/s2).-A 45° de latitud y al nivel del mar vale 9,807 m/s2 y se llama aceleración normal.-En la práctica, para resolver problemas de aplicación, se utiliza el valor de 9,8 m/s por cada segundo que transcurre.-La aceleración de la gravedad disminuye gradualmente a medida que aumenta la altura sobre la superficie terrestre, llegando al valor cero a distancias astronómicas.-
Fórmulas del movimiento de caída libre
Como la caída libre es un movimiento uniformemente variado (M.R.U.V.), las fórmulas de éste se aplican a aquella teniendo en cuenta que la aceleración (a) es la aceleración de la gravedad (g) y el espacio recorrido (s) es la altura de la caída (h). En consecuencia, resultan las siguientes fórmulas:
a.- De velocidad:- Si el cuerpo se deja caer desde una cierta altura, sin velocidad inicial (Vo):
V = g . t- En cambio, si se arroja un cuerpo hacia abajo, sí debe considerarse la velocidad inicial
(Vo). Entonces: V = Vo + g . t
b.- De altura (espacio recorrido):- Si se deja caer un cuerpo (Vo = 0): g . t2
h = ---------- = ½ g . t2
2- Si se lanza un cuerpo hacia abajo, debe considerarse la velocidad inicial (Vo):
g . t2
h = Vo . t + ---------- = Vo . t + ½ g . t2
2
c.- De tiempo:A partir de las fórmulas anteriores y según los datos de que se dispone, por pasaje de términos, se puede calcular el tiempo transcurrido.Así, por ejemplo:
- Si a un obrero que trabaja a 49 m de altura, en una obra en construcción se le cae un martillo ¿cuánto tiempo tarda en llegar dicho martillo al suelo?
Como h =½ g . t2 Resulta t = 2 . h / g
t = 2 x 49 m / 9,8 m/s2 = 10 s2 = 3,16 s
Resumiendo
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Condición Fórmulas del M.R.U.V. Fórmulas de caída libre Velocidad (Vo = 0) V = a . t V = g . t Velocidad (Vo 0) V = Vo + a . t V = Vo + g . t Espacio (Vo = 0) s = ½ a . t2 ---------------------------------- Espacio (Vo 0) s = Vo . t + ½ a . t2 ---------------------------------- Altura (Vo = 0) ----------------------------- h = ½ g . t2
Altura (Vo 0) ------------------------------ h = Vo . t + ½ g . t2
Tiempo (Vo = 0) ----------------------------- t = 2 . h / g
- ¿Qué es tiro vertical?
El movimiento que adquiere un cuerpo en el vacío cuando es arrojado hacia arriba verticalmente se denomina tiro vertical.-Es un movimiento uniformemente variado, pero la velocidad inicial va disminuyendo hasta anularse, por la acción de la aceleración de la gravedad (g). (En este caso g es negativa).- Cuando la velocidad se anula, el cuerpo ha alcanzado su altura máxima (hm).-En los cálculos habituales no se considera la resistencia del aire.-
Las fórmulas del tiro vertical
A.- De Velocidad: V = Vo – g . t
B.- De Altura: h= Vo . t – g . t2 / 2 = Vo . t - ½ . g . t2
C.- De Tiempo: Vo – g . t = 0 donde t = Vo / g
Cuando se quiere calcular el tiempo que tarda un cuerpo en alcanzar la altura máxima y el único dato de que se dispone es la velocidad inicial, debe tenerse en cuenta que el ascenso dura hasta que la velocidad se anula.-
Un ejemplo de tiro vertical
Alguien tira manteca al techo. Supongamos que queremos describir el movimiento de la manteca, que se arroja hacia arriba con una velocidad inicial enorme, de 24,5 m/s. Tomamos el sistema de referencia de la figura, con origen en el punto desde el cual parte el cuerpo
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Las ecuaciones que describen el movimiento son:
x = 0 m + 24,5 m/s . t + ½ (-9,8 m/s2) . t2 = 24,5 m/s . t – 4,9 m/s2 . t2
v = 24,5 m/s + (-9,8 m/s2) . t = 24,5 m/s – 9,8 m/s2 . t
Donde x y v son, respectivamente, la posición y la velocidad del cuerpo en cualquier instante t. Calculemos la posición y la velocidad para t1 = 2s
X1 = 24,5 m/s . 2 s –4,9 m/s2 . (2 s)2 = 29,4 m
v 1= 24,5 m/s -9,8 m/s2 . 2 s = 4,9 m/s
Hagamos el mismo cálculo para t2 = 3 s
X2 = 24,5 m/s . 3 s –4,9 m/s2 . (3 s)2 = 29,4 m
v 1= 24,5 m/s -9,8 m/s2 . 3 s = -4,9 m/s
¿Cómo interpretamos estos valores obtenidos? ¿Puede ser que en dos instantes el cuerpo tenga la misma posición? ¿Puede ser que la velocidad sea positiva y después negativa? Analicemos los resultados tenidos en cuenta el sistema de referencia que hemos elegido:A los 2 segundos, el cuerpo se encuentra en la posición 29,4 m y subiendo (pues la velocidad es positiva y esto significa que se está moviendo en el sentido positivo, que elegimos hacia arriba) , mientras que a los 3 segundos pasa por el mismo punto, pero descendiendo (la velocidad es negativa). Debe haber entonces un instante en que el cuerpo “pega la vuelta”. Vamos a calcularlo: el punto más alto que alcanza el cuerpo recibe el nombre de altura máxima, y se escribe hmax . En ese punto, la velocidad se hace cero (pues, si al cuerpo le queda algo de velocidad, seguirá subiendo un poco más aún). Entonces, de la ecuación de la velocidad:
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0 m/s = 24,5 m/s – 9,8 m/s2 . tmax de donde tmax = 2,5 s
Reemplazando los valores de tmax en la ecuación para la posición, queda que:
hmax = 24,5 m/s . 2,5 s – 4,9 m/s2 . (2,5 s)2 = 30,625 m
Una consideración especial sobre tmax
La forma que adopta la curva que representa la posición en función del tiempo, corresponde a la de una parábola, centrada en tmax. Es importante destacar que, mientras que en la subida el cuerpo recorre distancias cada vez menores, en la bajada sucede lo contrario.-
Esto se debe a que hasta tmax la aceleración es contraria a la velocidad (el cuerpo se frena), mientras que después de tmax la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad, por lo que el cuerpo desciende cada vez más rápido. Observen que tmax marca un eje de simetría: las posiciones se repiten a uno y otro lado.-
Observen también que, si bien el movimiento cambia antes y después de tmax la recta que determina la velocidad tiene una única pendiente, cuyo valor es a = -9,8 m/s2. Los valores positivos de v corresponden al ascenso, mientras que los valores negativos de v corresponden al descenso. Justamente la recta cruza el eje (que corresponde a v = 0) en tmax.-
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Vector posición y vector velocidad
Cuando un cuerpo se mueve en un plano, es conveniente definir un vector, llamado vector posición r, que señala el punto donde está ubicado el cuerpo en un determinado instante.- y
Figura 1
En la figura 2 se observa la trayectoria que siguió un cuerpo que en t1 estaba en la posición r1, y en t2 estaba en la posición r2. El tiempo transcurrido entre dos posiciones lo llamaremos t, y lo calcularemos como sigue:
t = t2 – t1 De igual forma definimos la magnitud vectorial r = r2 – r1
¿Qué representa el vector r ? r es el vector que señala el desplazamiento del móvil en el intervalo t . Noten que el desplazamiento no da información sobre la trayectoria que describió el cuerpo en ese intervalo de tiempo, sino que simplemente depende de la posición r1 y r2 del móvil.-Haciendo el cociente entre el desplazamiento r y el intervalo t, obtenemos la velocidad media ( vm)
vm = r/t= r2 – r1 / t2 – t1
Note que la velocidad media tampoco da información sobre la velocidad que tenía el móvil en el intervalo t. Todavía más, en la mayoría de los casos, el cuerpo no se movió con esa velocidad en ningún instante comprendido en t.-La velocidad media representa la velocidad con que se movería el cuerpo si se trasladara desde r1 hasta r2, en forma rectilínea y uniforme, en un intervalo de tiempo t.-
Movimiento de proyectiles
En el mundo físico, llamamos proyectil a cualquier objeto que es lanzado al espacio por algún agente y cuyo movimiento continúa bajo la acción de la atracción gravitatoria. Así, una bala disparada por un cañón, una piedra lanzada al vacío o una pelota que cae desde el techo, serán considerados proyectiles.-Supongamos que pateamos una pelota desde la azotea de un edificio en forma horizontal. La experiencia nos indica que la pelota, una vez que abandone la superficie de la azotea, irá cayendo y alejándose del edificio. Cuanto más fuerte la pateamos, tanto más lejos de la base caerá. Analicemos el movimiento de la pelota:
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¿Cuál es la diferencia entre este movimiento y el de caída libre? Que además de caer, el cuerpo se mueve horizontalmente. El movimiento de la pelota se produce en el plano formado por la dos direcciones en las que se desplaza: la vertical (eje y) y la horizontal (eje x). Si bien a primera vista la trayectoria de la pelota puede parecer muy complicada, veremos que el hecho de descomponer el movimiento en estas dos direcciones simplificará notablemente el problema.-Supongamos que iluminamos la pelota desde arriba y estudiamos el movimiento de la sombra proyectada sobre el piso, que es equivalente a estudiar el movimiento horizontal de la pelota. Veremos que la sombra recorre espacios iguales en tiempos iguales, es decir, que el movimiento horizontal de la pelota se realiza a velocidad constante. Más aún; si calculáramos la velocidad con la que avanza la sombra, veríamos que coincide con la velocidad con la que la pelota abandonó la superficie de la azotea. Es decir, la pelota se mueve en la dirección horizontal siempre con la misma velocidad. Diremos, entonces, que:El movimiento horizontal de la pelota es rectilíneo y uniforme; es decir: no existe aceleración en el eje x.-Ahora supongamos que iluminamos la pelota desde un costado y estudiamos el movimiento de la sombra proyectada sobre la pared del edificio. Veremos que la sombra recorre espacios cada vez mayores en intervalos iguales de tiempo, es decir, que el movimiento vertical de la pelota se realiza con velocidad variable. Además, si midiéramos cómo avanza la posición de la sombra sobre la pared, veríamos que lo hace como cualquier cuerpo que se encuentra en caída libre. Diremos, entonces, que:El movimiento vertical de la pelota es uniformemente acelerado, con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad.-
Es muy importante destacar que: la componente horizontal del movimiento de la pelota es totalmente independiente de la componente vertical.- ¿Cómo será la trayectoria de la pelota, si la pateamos de tal manera que abandona la superficie de la azotea con el doble de velocidad?En el eje x, la pelota avanza con velocidad constante, por lo que duplicará la distancia horizontal que recorre en la unidad de tiempo. En el eje y, seguiremos observando una caída libre, por lo que las posiciones verticales serán las mismas que en el caso anterior. La trayectoria de la pelota tendrá sobre la horizontal una forma mas estirada (el doble que en el primer caso).-
De tal modo definimos que:
El movimiento de un proyectil está compuesto por dos movimientos: uno, rectilíneo y uniforme (en el eje x); y, otro, rectilíneo uniformemente acelerado (en el eje y). La combinación de estos dos movimientos determina la trayectoria que describe el cuerpo.-
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F.- Movimiento circular uniforme.-
Si tomamos como punto de referencia a uno de los caballitos de una calesita en funcionamiento, podemos observar que la trayectoria que describe ese caballito es una circunferencia y por lo tanto constituye un movimiento circular. Como la trayectoria seguida por el caballito (móvil) es una circunferencia, los espacios que va recorriendo corresponden a arcos de dicha circunferencia.-
En caso de que el móvil esté dotado de rapidez constante, veremos que recorre arcos iguales en el mismo tiempo. Entonces, el movimiento circular es uniforme.-Por lo tanto, podemos decir que un movimiento circular es uniforme cuando el móvil recorre arcos iguales en el mismo tiempo.-
Si en lugar de considerar la trayectoria de un punto (P) que recorre arcos sobre una circunferencia, se tiene en cuenta el radio que une a dicho punto con el centro del círculo (o):
P’ P
o
Veamos que a cada arco le corresponde un ángulo central, de modo que arcos iguales pertenecen a ángulos centrales iguales:
1 s 1 S 1 S 60° 60° 60°
En consecuencia se puede establecer que:
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME es aquel en que el móvil describe ángulos iguales en tiempos iguales.-
El Período
En el M.C.U. adquiere importancia establecer el tiempo que emplea el móvil para dar una vuelta completa, el cual recibe el nombre de período.-
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Así, sí un motor realiza 2000 vueltas por minuto, ¿Cuántos segundos demora en efectuar una vuelta?
2000 vueltas ---------------------- 60 s
1 vuelta ---------------------- X = 1 v . 60 s / 2000 v = 0,03 s
El período se representa generalmente con la letra T y se lo mide en segundos.En consecuencia, se puede establecer:
Período es el tiempo en segundos que emplea un móvil para completar una vuelta.-
La frecuencia
También es importante en el M.C.U. determinar cuántas vueltas da un móvil en la unidad de tiempo. Esto se denomina frecuencia.-Veamos como ejemplo el caso de una hélice de avión que completa una vuelta en 0,02 segundos, ¿Cuántas vueltas efectúa por segundo?:
0,02 s --------------- 1 vuelta1 s ------------------- X = 1 s . 1 v / 0.02 s = 50 vueltas / segundo
La frecuencia se puede representar con la f y generalmente se utiliza el segundo como unidad de medida.-
FRECUENCIA es el número de vueltas o fracción de vuelta que el móvil da en un segundo A partir de los concepto de período y frecuencia, se deduce que:T = 1/f y f = 1/T
A modo de ejemplo: Si f = 4 vueltas / s T = 1 / 4 = 0,25 s Si T = 0,25 s f = 1 / 0,25 = 4 vueltas /s
La Velocidad en el M.C.U.
Consideramos el caso de un ventilador:Sobre una de las paletas marcamos dos puntos: uno (A) a 30 cm del centro de rotación (o) y otro (B) a 20 cm del mismo centro:
B.2 - 2004 32
o Ao A o Bo B
s A s B o
Luego de hacer girar con M.C.U. a razón de 3 vueltas por segundo. ¿Cuál de los dos puntos gira a mayor velocidad?Si consideramos el espacio recorrido, ( s ) es mayor en el caso del punto A, pero si tomamos en cuenta el ángulo descripto ( ) es el mismo para los dos puntos.-Entonces, para diferenciar este hecho, se debe considerar la velocidad lineal y la velocidad angular.- La velocidad lineal es la que estudiamos en el movimiento rectilíneo uniforme y que se expresa del siguiente modo:
V = s / tLa velocidad angular es el cociente entre el ángulo descripto y el tiempo empleado en describirlo. Se representa con la letra griega (omega):
= / t
Por lo tanto, en el caso del ventilador que estamos analizando, la velocidad lineal es mayor para el punto A que para el B, pero la velocidad angular es igual para los dos puntos.-En general, podemos establecer que, cuando el movimiento circular es uniforme:- La velocidad angular es la misma para todos los puntos.-- La velocidad lineal varía si los puntos considerados están ubicados a diferentes
distancias del centro de rotación.-
Unidades de velocidad angular
La unidad de velocidad angular está expresada por el cociente entre la unidad de ángulo y la unidad de tiempo.-Así, una de las formas de expresar dicha unidad es: grados °
B.2 - 2004 33
velocidad angular = ----------- = ---- = ° / s segundo s
También suele usarse: vueltas / segundo = revoluciones / segundoó vueltas / minuto = revoluciones / minuto = r.p.m.
La forma más nueva para expresar las velocidades angulares es: radianes / segundo = rad / s
El radian es la unidad de ángulo plano aceptada por el Sistema Internacional (SI) y se define como el ángulo central al que corresponde un arco de longitud igual al radio.-Se representa del siguiente modo:
arco radio Longitud arco = longitud radio
El ángulo central () mide 1 radian porque la longitud del arco (s) es igual a la longitud del radio (r):
Longitud del arco s = -------------------------- = --- = 1 = radian Longitud del radio r
Equivalencia entre grado sexagesimales y radianes
En el caso de un ángulo llano sabemos que su medida en grados es igual a 180° arco 180° r Longitud de arco = ½ de la circunferencia = . r
Para expresarlo en radianes, como la longitud del arco en este caso es igual a . r, resulta: Longitud del arco . r ------------------------- = ----- = radianes Longitud del radio rEntonces : radianes = 180° de donde: 1 radian = 180° / = 57° 17’ 44,3” = 206.264,3”
En consecuencia:- Cuando se tiene un ángulo expresado en grados y se desea pasar a radianes, primero
se reduce su medida a segundos y luego se divide por 206.264,3”
B.2 - 2004 34
Así, por ejemplo:Expresar en radianes el ángulo de 85° 32’ 18”
85° 32’ 18” = 307.938” 307.938 / 206.264,3 = 1,493 rad
En cambio, si la medida del ángulo está dada en radianes y se quiere expresar en grados, se multiplican los radianes por 206.264,3” obteniéndose El resultado en segundos. Luego éstos se reducen a grados. Por ejemplo:Expresar en grados el ángulo de 2,31 radianes:2,31 . 206.264,3 = 476.470,53” = 132° 21’ 10,53”
Representación gráfica de la velocidad angular
La velocidad angular de un movimiento circular se representa gráficamente mediante un vector que reúne las siguientes características:a.- Dirección: es perpendicular al plano en que el móvil describe la circunferencia: vector plano
b.- Sentido: se ha convenido en que sea el mismo en que avanza un tirabuzón colocado perpendicularmente al plano en que se realiza el movimiento y de modo que gire en el mismo sentido en que lo hace el móvil.-Se representa del siguiente modo:
c.- Medida: se representa mediante una escala adecuada.-
Velocidad lineal o tangencial
En el movimiento circular uniforme, la velocidad lineal en un cierto punto queda determinado por un vector velocidad, cuya dirección es tangente a la trayectoria del móvil y el sentido es el mismo que tiene el movimiento:
Vector velocidad
o*
B.2 - 2004 35
Por este motivo, la velocidad lineal también se denomina velocidad tangencial.-
En un M.C.U. se pueden señalar numerosos vectores velocidad como por ejemplo:
V2
V1
O*
V3
Los vectores V1; V2; V3 son distintos, porque, aunque tienen el mismo valor numérico de velocidad (respetado por su longitud), presentan diferentes dirección y sentido.-
El período y la velocidad angular
Como ya se ha señalado, el período (T) es el tiempo que emplea un móvil para completar una vuelta.-
Por otra parte, cuando se realiza la medición en radianes, el ángulo correspondiente a una vuelta (360°) es igual a 2 .-
Luego como la velocidad angular: ángulo descripto = ----------------------- Resulta = 2 / T tiempo empleado
El período y la velocidad tangencial sv = ------- pero en el movimiento circular s = 2 . r V= 2 V= 2 . r / T . r / T t
¿Cómo se relaciona las velocidades angular y tangencial?
Si = 2 / T y V= 2 V= 2 . r / T . r / T
Resulta: V = V = . r. r y = v / r ISB – FISICA 1° “A”Apellido y Nombre: Fecha:
Bloque 2 – Parte 1 Práctico 7
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1.- Lea atentamente las siguientes afirmaciones. Cuando considere que son correctas, encierre con un círculo la “V”; en caso contrario, marque de igual modo la “F” La cinemática describe los movimientos .......................................
Para definir un movimiento se necesita un sistema de referencia .
Trayectoria es el punto donde está el móvil ....................................
Posición es un punto fijo elegido como referencia ........................
La abscisa representa la trayectoria rectilínea de un móvil ..........
La velocidad indica el espacio recorrido en la unidad de tiempo .
La fórmula de la velocidad es: V = t / s .....................................
El mov. uniforme se caracteriza por tener velocidad constante ...
La ecuación horaria permite calcular la velocidad en cierto intervalo de tiempo.........................................................................
La velocidad es una magnitud horaria............................................
2.- Una motocicleta se desplaza a 86 km/h. Exprese dicha velocidad en:a.- km/s
b.- m/s
c.- cm/s
3.- Una motocicleta recorre 120 km en 1 h 23 min 12 s ¿Cuál es su velocidad?
4.- Un atleta corre con movimiento rectilíneo uniforme a una velocidad de 9 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 10 km?
5.- ¿Qué distancia recorre en 3 h 30 min un ómnibus que marcha con M.R.U. a una velocidad de 72 km/h?
6.- En base a la siguiente tabla:
Tiempo (min) 30 60 90 120
B.2 - 2004
V F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1
1
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Espacio (km) 40 80 120 160
Confeccione el gráfico correspondiente al espacio recorrido en función del tiempo empleado.-
ISB – FISICA 1° “A”Apellido y Nombre: Fecha:
Bloque 2 – Parte 2 Práctico 5
1.- Teniendo en cuenta los siguientes gráficos:
s (m) v (m/s) s (m) v (m/s)
t (s) t (s) t (s) t (s) Señale cuál:a) indica que la velocidad es constante Justifique:
b) corresponde a un móvil que está detenido Justifique:
c) muestra que la velocidad aumenta al transcurrir el tiempo Justifique:
d) indica que el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado en recorrerlo: Justifique:
2.- El siguiente gráfico representa los movimientos de dos automóviles sobre una misma carretera: s (m)
B.2 - 2004
AAB C D
B
A
1
1
1
1
38
t (s) Observe, analice y responda:a.- ¿Qué clase de movimiento presentan?: ¿Por qué?:
b.- ¿Cuál de los dos automóviles tiene mayor velocidad?: ¿Por qué?:
c.- ¿Cuál es la ecuación horaria para calcular el espacio recorrido por el automóvil A?
Justifique:
d.- ¿El automóvil A puede alcanzar al B?
Justifique:
3.- Teniendo en cuenta que: un móvil A desarrolla una velocidad de 88 km/h; un móvil B recorre 30 metros en 1 segundo; y un móvil C emplea 15 minutos en recorrer 25 kilómetros. (Los tres móviles con M.R.U.) Indique:a.- ¿Cuál es el móvil que desarrolla mayor velocidad?
b.- ¿Qué distancia recorre el móvil C en 30 segundos?
c.- ¿Qué tiempo emplea el móvil B en recorrer 8 km?
d.- Represente en un mismo gráfico las velocidades de los tres móviles en función del tiempo:
ISB – FISICA 1° “A”Apellido y Nombre: Fecha:
Bloque 2 – Parte 3 Práctico 6
B.2 - 2004
1/
1/
1/
1/
1
1
1
1
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1.- A las 8 horas pasa por la localidad A un automóvil con movimiento uniforme a 80 km/h. Dos horas después pasa otro en su persecución a 120 km/h. Calcule a qué hora y a que distancia de la localidad A, el segundo automóvil alcanza al primero. Hallar la solución gráfica y la solución algebraica
2.- A las 8 h pasa por la localidad A un automóvil (M) a 80 km/h rumbo a otra localidad B distante 710 km en línea recta.- Dos horas después pasa por B otro vehículo (M’) a 120 km/h en dirección a la localidad A.-Calcular a qué hora se encuentran y a que distancia de la localidad A. Solución gráfica y algebraica.-
3.- Un avión viaja de Buenos Aires a Mar del Plata a una velocidad de 350 km/h. Calcule:a.- ¿A qué hora partió de Buenos Aires si a las 9,00 horas pasa por Pilar ubicada a 180 km de aquella?b.- ¿A qué distancia de Buenos Aires estará a las 9 h 15 min?
4.- El radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de 1,49 x 1011 m. ¿A qué velocidad se desplaza la Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol? Expresarlo en las unidades del SIMELA.-
5.- La velocidad de la luz en el vacío es de 2,9979 x 108 m s-1. ¿Qué tiempo tarda en desplazarse 10 km? Expresar en las unidades del SIMELA.-
6.- El paralaje es la diferencia en la dirección aparente de un objeto debida al cambio de posición del observador. (Ejemplo si colocamos un lápiz frente a nosotros y nos cubrimos primero un ojo y luego el otro, veremos que en cada caso el lápiz aparece sobre un fondo distinto).El paralaje estelar es el cambio de posición aparente de una estrella como resultado del movimiento orbital de la Tierra alrededor del Sol. Se expresa cuantitativamente como la mitad del ángulo formado por el diámetro orbital de la Tierra E1 E2, perpendicular a la recta que une las estrellas con el Sol. Está dado por θ = ½ (180º - α - β), en donde los ángulos α y β se miden en las posiciones E1 y E2, separadas seis meses. La distancia r de la estrella al Sol se puede obtener de a = r.θ, donde a es el radio de la órbita terrestre y θ está expresado en radianes. La estrella más próxima, Alfa del Centauro , tiene el paralaje más grande, de 0,76". Hallar la distancia de ésta estrella al Sol, expresarla en metro y en kilómetros.-
B.2 - 2004
Alfa del Centauro 2
r
E2 E 1
2
2
2
1
11
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Alfa del Centauro 2
r
E2 E 1
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