1º i.t.i. : mecanica i departamento: ingenierÍa mecÁnica, energÉtica y de materiales tema nº...

1º I.T.I. : 1º I.T.I. : MECANICA IMECANICA I

Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALESDepartamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

TEMA Nº 13: TEMA Nº 13: DINÁMICADINÁMICA

CINEMÁTICA DEL CINEMÁTICA DEL PUNTOPUNTO

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I.T.I 1º:I.T.I 1º:MECANICA IMECANICA I


Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila


IndiceIndice Punto 13.1 Introducción Punto 13.2 Posición, velocidad y aceleración Punto 13.3 Movimiento rectilíneo

Puntos 13.3.1 a 13.3.6 Conocidas x(t), v(t), a(t), a(x), a(v) y a = cte 13.3.7 Análisis gráfico

Punto 13.4 Movimiento relativo a lo largo de una recta Punto 13.4.1 Movimiento relativo independiente Punto 13.4.2 Movimiento relativo dependiente

Punto 13.5 Movimiento curvilíneo plano Punto 13.5.1 Coordenadas rectangulares Punto 13.5.2 Coordenadas polares

Punto 13.6 Movimiento relativo en un plano Punto 13.7 Movimiento curvilíneo en el espacio

Punto 13.7.1 Coordenadas rectangulares Punto 13.7.2 Coordenadas cilíndricas

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13.1 Introducción

El estudio de la Dinámica consta de dos partes:

• La Cinemática, que estudia como se mueven los cuerpos, describe cómo varían el espacio, la velocidad y la aceleración de un cuerpo con el tiempo y,• La Cinética que estudia la relación entre el movimiento y las fuerzas que lo originan.

Una partícula o un punto es un cuerpo cuyo tamaño puede ignorarse al estudiar su movimiento. Tan solo hay que considerar su centro de masa. La orientación del cuerpo o su rotación no desempeñan ningún papel en la descripción de su movimiento. Las partículas pueden ser muy pequeñas o muy grandes. Su pequeñez no garantiza que un cuerpo pueda modelarse por una partícula; por otro lado, un gran tamaño no siempre impide que el cuerpo se pueda modelar mediante una partícula.

En definitiva, el que un cuerpo se grande o pequeño está relacionado con la longitud del camino que sigue, con la separación entre cuerpos o con ambas cosas.

En este capítulo trataremos la Cinemática del punto o partícula y en el siguiente la Cinemática de los cuerpos rígidos en los que si importa su orientación y rotación.

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13.2 Posición, velocidad y aceleración

Suponiendo que un punto se mueve a lo largo de un camino, en un cierto instante se hallará en una posición P determinada, en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, por el vector de posición de P relativo al origen O

kzjyixr OP /

En función de otro sistema de coordenadas fijos y paralelos a los anteriores, pero con origen en Ô, el vector de posición del punto sería kzjyixr

OPˆˆˆˆ/

Según la regla del triángulo para la suma de vectores tenemos

OPOOOP rrr ˆ//ˆ/ Donde es un vector constante.OO

r/ˆ

OOOPOPrrr

/ˆ/ˆ/

- - 55 - -





La diferencia de posición del punto en dos instantes t y t+Δt se define como desplazamiento del punto

OPOQ rrr // El desplazamiento no depende de la posición del origen de coordenadas ya que:

OPOQOOOPOOOQOPOQrrrrrrrr ///ˆ//ˆ/ˆ/ˆ/

La velocidad de un punto es, por definición, la variación de posición por unidad de tiempo:

t

rr

dt

rdv

tOP

OPP

0

// lim

Como el desplazamiento es independiente de la posición del origen de coordenadas la velocidad también lo será. Además, el sentido de la velocidad será la del desplazamiento, o sea, tangente a la trayectoria del punto. La velocidad se podrá expresar en función de sus componentes así:

kzjyixkvjvivv zyxP t

zz

t

yy

t

xx

;;Donde:

- - 66 - -





La aceleración de un punto es, por definición, la variación de la velocidad por unidad de tiempo

OPOP

PP

P rdt

rdv

dt

vda /2

/2

También la aceleración es independiente de la posición del origen de coordenadas. En función de sus componentes, la aceleración se puede escribir en la forma:

kzjyixkvjvivkajaiaa zyxzyxP

Tipos de movimiento:• Movimiento rectilíneo.- Cuando exista un sistema de coordenadas para el cual las componentes y y z de la posición, velocidad y aceleración sean nulas en todo momento.• Movimiento curvilíneo plano.- Cuando exista un sistema de coordenadas para el cual las componentes z de la posición, velocidad y aceleración sean nulas en todo instante.• Movimiento curvilíneo en el espacio.- Cuando no sea posible encontrar un sistema de coordenadas cartesianas en el cual sea nula, en todo instante, al menos una componente de la posición, velocidad y aceleración.

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13.3 Movimiento rectilíneo

Como posición, velocidad y aceleración quedan determinadas si se conocen sus componentes x, podremos prescindir de la notación vectorial de la siguiente manera:

xvaaxvvxxxxr PPPQOP ;;;/ Cuando velocidad y aceleración tengan el mismo signo, la velocidad aumentará y se dice que el punto está acelerando. Cuando velocidad y aceleración tienen signos opuestos, la velocidad decrece por lo que el punto se desacelera.

El desplazamiento de un punto es la diferencia (vectorial) de posición entre el final y el principio de la trayectoria por lo que no es lo mismo que la distancia recorrida por él (escalar y siempre positiva).

Las ecuaciones anteriores relacionan las cuatro variables principales: posición, velocidad, aceleración y tiempo. En los problemas, se da una relación entre dos de dichas variables y se desea hallar las otras dos. A continuación veremos algunas de las 6 combinaciones más comunes.

Este movimiento tiene lugar a lo largo de una recta que haremos coincidir con el eje x como recta horizontal, con su sentido positivo hacia la derecha.

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13.3.1 Conocida x(t)Si se da la posición en función del tiempo, se hallará la velocidad y la aceleración

derivando dt

dvta

dt

dxtv )(y)(

13.3.2 Conocida v(t)Si se da la velocidad en función del tiempo, puede hallarse la aceleración derivando como antes y la posición integrando así:

t

t

x

x

dttvdxxxdt

dxtv

00

)()( 0

13.3.3 Conocida a(t)Si se da la aceleración en función del tiempo, la velocidad se obtiene integrando así:

t

t

v

v

dttadvvvdt

dvta

00

)()( 0

La posición se obtiene, como antes, integrando la velocidad.

- - 99 - -





13.3.4 Conocida a(x)

Cuando se da la aceleración en función de la posición, hay que aplicar la regla de la

cadena de la derivación a la definición de aceleración:)(xa

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dv

Integrando entonces: x

x

v

v

dxxadvvvv

00

)(2

20

2

Ahora se conoce la velocidad en función de la posición y podemos hallar esta en

función del tiempo integrando: 0

00)(

)( ttdtxv

dxxv

dt

dx t

t

x

x

13.3.5 Conocida a(v)

Cuando se da la aceleración en función de la velocidad, esta se puede hallar integrando:

0

00)(

)( ttdtva

dvva

dt

dv t

t

v

v

Una vez conocida la velocidad en función del tiempo podemos integrarla así

t

t

x

x

dttvdxxxdt

dxtv

00

)()( 0

- - 1010 - -





De otra manera, se puede hallar la velocidad en función de la posición integrando la ecuación siguiente

13.3.6 Conocida a = constante

Si la aceleración es constante las integraciones del apartado 13.3.3 son inmediatas y dan

Análogamente, la integración del apartado 13.3.4 da

MUY IMPORTANTE: Estas últimas ecuaciones (del apartado 13.3.6) sólo son válidas cuando la aceleración sea constante.

0

00)(

)( xxdxva

dvvva

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dv x

x

v

v

2000000

00

)(2

1)()(

y)(

0

0

ttattvdtttavxx

ttadtavv

t

t

t

t

)(2 020

2 xxavv

- - 1111 - -





13.3.7 Análisisgráfico

En la figura pueden verse gráficas de la posición, la velocidad y la aceleración en función del tiempo.La aceleración es la pendiente de la gráfica de la velocidad.

La variación de velocidad entre dos instantes t0 y t1 es igual al área bajo la gráfica a-t entre dichos instantes ya que

Análogamente la velocidad es la pendiente de la gráfica de la posición ya que

Además la variación de posición entre dos instantes t0 y t1 es igual al área bajo la gráfica v-t entre dichos instantes ya que

dt

dvta )(

1

0

)(01

t

t

dttavv

dt

dxtv )(

1

0

)(01

t

t

dttvxx 1

0

)(recorridadistanciat

t

dttv

dttadv )(

dttvdx )(

- - 1212 - -





PROBLEMA 13.1PROBLEMA 13.1

smvmytEn

sradw

smwtsenta

/

/,

)/()(

520

70

5

00

2

Punto material que se mueve a lo largo del eje y:

Determinar:• La velocidad y la posición del punto en función del tiempo.• Gráficas de posición, velocidad y aceleración.• Desplazamiento del punto entre t=0 s y t=4s.• La distancia total recorrida por el punto entre t=0 s y t=4s.

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13.4 Movimiento relativoa lo largo de una recta

• Cuando dos o más puntos se mueven con movimiento rectilíneo, para describir su movimiento podemos escribir ecuaciones separadas. • Los puntos pueden moverse a lo largo de la misma recta o a lo largo de rectas diferentes.• Si los n puntos están descritos por sus distintas n coordenadas pero solo m de estas pueden variarse libremente, diremos que el sistema tiene m grados de libertad (GDL).• Si m = n, cada punto podrá moverse independientemente de los demás y se dirá que están en movimiento relativo independiente.• Si m < n, el movimiento de uno o varios puntos estará determinado por el movimiento de los demás y se dice que están en movimiento relativo dependiente.• Sea dependiente o independiente el movimiento relativo de dos puntos, el movimiento de uno cualquiera puede escribirse relativo al movimiento de otro u otros.• En ingeniería se presenta a menudo la necesidad de una descripción relativa del movimiento. Por ejemplo.- Posición relativa de dos puntos de una estructura (deformación), choques de vehículos y radar de policía (velocidad relativa), etc.

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13.4.1 Movimiento relativo independiente

Sean A y B dos puntos que se mueven a lo largo de una misma recta como en la figura.

Las posiciones xA y xB se miden relativas al origen fijo O y se denominan posiciones absolutas de los puntos.La posición de B medida desde A se representa por xB/A y se denomina posición de B relativa a A. estas posiciones guardan la relación:

ABAB xxx /Derivando esta ecuación respecto al tiempo tenemos:

ABAB

ABAB

aaa

vvv

/

/

Es decir, la velocidad/aceleración de B relativa a A es la diferencia de las velocidades/aceleraciones absolutas (medidas respecto a un sistema de coordenadas fijo) de los puntos A y B.

ABAB

ABAB

aaa

vvv

/

/

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13.4.2 Movimiento relativo dependiente

En muchos casos, dos puntos no pueden moverse independientemente, sino que el movimiento de uno depende del movimiento del otro.

Ejemplo: una dependencia o ligadura corriente consiste en que los puntos estén unidos por una cuerda de longitud fija como en la figura.

Ahora, la ecuación xB=xA+xB/A se cambia por una ecuación que represente a la ligadura.• Aun cuando ambos puntos estén animados de movimiento rectilíneo, no tienen por qué moverse a lo largo de una misma recta.• Ambos puntos suelen medirse respecto a un origen fijo, aunque a menudo conviene utilizar un origen diferente para cada punto.• A menudo conviene establecer, por separado, el sentido positivo correspondiente a cada punto aunque se muevan en la misma recta y se midan respecto al mismo origen.

PROCESO: Se escribirá una ecuación de ligadura con las coordenadas de los puntos y esta se deriva para obtener la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas. Cuidado en la interpretación de los sentidos positivos de velocidades y aceleraciones de acuerdo con los sentidos positivos que se hayan asignado a las coordenadas.

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PROBLEMA 13.5PROBLEMA 13.5Si el cuerpo A de la figura se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 6 m/s, determinar la velocidad del cuerpo B. Además, si la velocidad del cuerpo A disminuye a razón de 1 m/s2, determinar la aceleración del cuerpo B.

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PROBLEMA 13.6PROBLEMA 13.6Si el cuerpo A de la figura se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 4 m/s, determinar el movimiento del cuerpo B.

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13.5 Movimiento curvilíneo plano

Cuando el movimiento tiene lugar en un solo plano, se necesitarán dos coordenadas para describir el movimiento.

La elección de las coordenadas a utilizar en un problema particular dependerá de la geometría de este, de la forma en que se den los datos del problema y del tipo de solución que se desee.

Tres de los sistemas de coordenadas utilizados corrientemente para representar el movimiento son:

• Las coordenadas cartesianas rectangulares.• Las coordenadas polares.• Las coordenadas normal/tangencial.

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13.5.1 Coordenadas rectangulares

En este sistema, la posición de un punto se describe dando su distancia a dos rectas ortogonales fijas llamadas ejes x e y y las coordenadas se denominan componentes x e y de la posición. (Los vectores unitarios asociados a los ejes x e y se representan por i y j respectivamente).

Aun cuando las direcciones de los ejes de coordenadas no tienen por que ser horizontal y vertical, siempre deben ser perpendiculares entre sí y una vez elegidos deben mantenerse fijos.

La posición de un punto P respecto al origen O del sistema fijo de coordenadas viene dada por

j)(i)()(/ tytxtr OP

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El desplazamiento del punto entre los instantes t1 y t2 > t1 es

j)()(i)()()()( 12121/2/ tytytxtxtrtrr OPOP Derivando la expresión vista en la transparencia anterior se obtienen la velocidad y la aceleración del punto:

j)(i)()(

j)(i)()(j)(i)()(

j)(i)()(j)(i)()(

/

/

tytxtr

tvtvtvtatata

tytxtrtvtvtv

OP

yxyxP

OPyxP

Este sistema suele ser el más conveniente cuando se dan las componentes x e y del movimiento por separado, cuando no dependa una de otra o ambas cosas a la vez.

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13.5.2 Coordenadas polares (radial y transversa)

En este sistema, la posición de un punto se describe dando su distancia a un punto fijo y su desplazamiento angular relativo a una recta fija.

rOP etrtr )()(/

Los sentidos de las direcciones coordenadas er y eθ

se toman radialmente en el sentido de alejamiento del punto fijo y perpendicularmente a la recta radial en el sentido de los ángulos θ crecientes.

La posición de P respecto al origen viene dada por:

Derivando esta expresión una vez obtendremos la expresión de la velocidad, pero antes debemos realizar una serie de derivadas y en primer lugar la derivada siguiente utilizando la regla de la cadena:

d

ed

dt

d

d

ed

dt

ede rrr

r

- - 2222 - -





Para calcular las derivadas de er y eθ respecto a θ las escribimos en función de sus componentes cartesianas rectangulares y luego las derivamos:

jcosi

jicos

sene

sener

r

r

esend

ed

esend

ed

jicos

jcosi

Podemos ahora calcular la velocidad y la aceleración del punto:

errerr

ererrerer

ererrerertveaeata

erererertrevevtv

r

rr

rrPrrP

rrrOPrrP

2

)()(

)()(

2

/

- - 2323 - -





En el caso particular de un punto animado de movimiento circular (r constante) las ecuaciones anteriores se reducen a:

ererta

ertv

rP

P

2)(

)(

El sistema de coordenadas polares suele ser el más conveniente cuando la posición del punto se mide respecto a un punto fijo (como en el caso de seguimiento de un avión por radar) o cuando el punto esté fijo en un brazo giratorio o moviéndose a lo largo de él.

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PROBLEMA 13.7PROBLEMA 13.7 Bala disparada en la atmósfera. Se desprecia la resistencia del aire. Aceleración vertical y hacia debajo de 9,81 m/s2 Velocidad inicial de 225 m/s en una dirección que forma 30º con la horizontal y en sentido ascendente,

Determinar:a. La altura máxima que alcanza la balab. El alcance de la bala

j)(i)()(

j)(i)()(

j)(i)()(/

tytxta

tytxtv

tytxtr

P

P

OP

RECUERDA:

- - 2525 - -





PROBLEMA 13.9PROBLEMA 13.9Un radar que sigue a un avión da las coordenadas de este en la forma r(t) y (t). En un cierto instante, =40º y r=1920 m. De medidas sucesivas de r y se deduce que las derivadas en ese instante son dr/dt=93,6 m/s, d/dt=-0,039 rad/s, d2r/dt2=2,925 m/s2, d

2/dt2=0,003807 rad/s2. Calcular la velocidad y la aceleración del avión en el instante considerado.

errerrta

erertv

rP

rP

22)(

)(RECUERDA:

- - 2626 - -





13.6 Movimiento relativo en un plano

Dos puntos separados que se muevan con movimiento curvilíneo plano tienen movimientos que pueden relacionarse de igual manera que se hizo en el caso de dos puntos con movimiento rectilíneo.La diferencia estriba en que ahora el movimiento relativo, al igual que los movimientos individuales, deberán describirse mediante vectores.La relación entre las posiciones de los puntos y su posición relativa es:

PQOPOQ rrr /// PQr /Donde es la posición del punto Q relativa a la posición del punto P. derivando

la ecuación anterior respecto al tiempo tenemos:Donde es la posición del punto Q relativa a la posición del punto P. derivando la ecuación anterior respecto al tiempo tenemos:

PQPQ

PQPQ

aaa

vvv

/

/

Los distintos términos de estas ecuaciones se pueden escribir en cualquier sistema de coordenadas conveniente, siempre y cuando todas las componentes se han de convertir a un sistema de coordenadas común antes de sumarlas.

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PROBLEMA 13.13PROBLEMA 13.13Un avión intenta volar en línea recta

hacia el norte. Sin embargo, un viento del oeste lo desviaría a menos que el avión se dirigiera en una dirección que forme cierto ángulo con la dirección deseada. Si la velocidad del avión es de 250 km/h, determinar:

a) El rumbo que ha de poner para que su derrota sea hacia el norte.

b) El tiempo necesario para que el avión recorra 250 km en la dirección norte.

wawa

PQPQ

vvv

vvv

/

/

RECUERDA:

- - 2828 - -





13.7 Movimiento curvilíneoen el espacio

Para describir el movimiento a lo largo de una curva en el espacio tridimensional se necesitan tres coordenadas. Los sistemas más comúnmente utilizados son el de coordenadas cartesianas rectangulares y el de coordenadas cilíndricas.

13.7.1 Coordenadas rectangularesEl sistema tridimensional de coordenadas cartesianas rectangulares parte de las coordenadas rectangulares x e y y luego se le añade una coordenada z (distancia al plano x-y). El vector unitario asociado a la dirección z será k y el vector de posición de un punto será:

k)(j)(i)()( tztytxtr y derivando:

k)(j)(i)()()()(

k)(j)(i)()()(

tztytxtrtvta

tztytxtrtv

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El sistema de coordenadas cilíndricas parte del sistema bidimensional de coordenadas polares al que se añade una coordenada z (distancia al plano r-θ). El vector unitario asociado a la dirección z será también k (constante en módulo, dirección y sentido). Así tenemos:

k)(e)()( tztrtr r y derivando:

13.7.2 Coordenadas cilíndricas

k)()()(

k)()()(

zerrerrtrtvta

tzerertrtv

r

r

22

El sistema de coordenadas cilíndricas suele utilizarse cuando un cuerpo gira alrededor de un eje. Entonces, el eje z suele hacerse coincidir con el eje de rotación.

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PROBLEMA 13.15PROBLEMA 13.15Un punto que sigue una curva en el espacio tiene una velocidad dada por:

)/(kji)( 232 1612 smtsentttv Si en t = 0 su posición es

mr kj 340 Hallar:

a) la aceleración a(t) del puntob) la posición r(t) del punto

k)(j)(i)()()()(

k)(j)(i)()()(

k)(j)(i)()(

tztytxtrtvta

tztytxtrtv

tztytxtr

RECUERDA:

- - 3131 - -





PROBLEMA 13.16PROBLEMA 13.16La rampa de salida de un aparcamiento tiene forma de hélice:

msenr 315 )(que baja 6 m en cada revolución completa.

Para un automóvil que baje por la rampa de manera que

./3,0 constsrad • Determinar su velocidad y aceleración cuando θ = 0º• Determinar su velocidad y aceleración cuando θ = 90º• Demostrar que velocidad y aceleración son perpendiculares cuando θ = 90º

k ) (

k) ( ) (

k) ( e) ( ) (

z e r r e r r t a

t z e r er t v

t z t r t r

r

r

r

22

RECUERDA:

1º i.t.i. : mecanica i departamento: ingenierÍa mecÁnica, energÉtica y de materiales tema nº...

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