modulo 2 elementos cinemática
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Anexo: Módulo 2 Conceptos básicos de cinemática
Institución educativa Alvernia
Tema: Cinemática
Grado escolar: Décimo
Conceptos a trabajar:
Conceptos básicos
Movimiento uniforme
Velocidad
aceleración
Elaboración de gráficos
Objetivo general
Analizar y explicar el movimiento rectilíneo de los cuerpos a partir de sus elementos fundamentales como posición, trayectoria, desplazamiento, velocidad, aceleración
Objetivos específicos
Identificar conceptos básicos de la cinemática para estudiar el movimiento de los cuerpos.
Describir el movimiento de un móvil cuando se mueve en línea recta con movimiento uniforme o acelerado.
Elaborar e interpretar el movimiento rectilíneo de los cuerpos a partir del análisis gráfico.
Introducción
La cinemática trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general, se ocupa por estudiar el movimiento sin importar sus causas, analiza sus características como posición, velocidad, la aceleración, rapidez, distancia recorrida, entre otros. La cinemática es la descripción matemática del movimiento y en ella no se estudian las fuentes que lo “originan” (las fuerzas). Hay movimientos de diversos tipos, tales como: movimiento de cuerpos rígidos (por ejemplo, un trompo girando o una esfera rodando), vibraciones en los cuerpos deformables (por ejemplo, las ondas sonoras), movimiento de los fluidos (hidrodinámica). La cinemática más simple es la de la partícula en movimiento rectilíneo, que es la base de todos los movimientos por complejos que sean.
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Los conceptos básicos de la cinemática son: marco de referencia, sistema de coordenadas, trayectoria, posición, desplazamiento, longitud recorrida, velocidad, aceleración. En este módulo se realiza el estudio de la cinemática rectilínea mediante análisis gráfico para el caso de dos movimientos especiales:
Movimiento rectilíneo con velocidad constante, denominado Movimiento Uniforme, MU.
Movimiento rectilíneo con aceleración constante, denominado Movimiento Uniformemente Variado, MUV.
Objetivo: Establecer y consolidar conceptos fundamentales de la cinemática: el
movimiento, sistema de referencia, trayectoria, desplazamiento, distancia recorrida,
velocidad y aceleración, por medio de situaciones problemas, actividades
experimentales y simulaciones
computacionales.
Situación problema
Observas una persona lanza una pelota en el interior de una camioneta, ¿cuál será la diferencia cuando te encuentras afuera de la camioneta y al interior de esta? Visualiza la figura 1 detenidamente, ¿cuál de los dos observadores A y B es el que percibe el movimiento real de la pelota? Explica tu respuesta
En mecánica, el movimiento es un
fenómeno físico que se define como
todo cambio de posición en el espacio
que experimentan los cuerpos de un
sistema con respecto a ellos mismos o
a otro cuerpo que se toma como
referencia. Todo cuerpo en
movimiento describe una trayectoria
Movimiento
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Sistema de coordenadas
Es un conjunto de una o más variables, denominadas
coordenadas, que permiten la ubicación de la partícula
respecto a un marco de referencia.
Para el movimiento rectilíneo el sistema de coordenadas
puede ser estar simplemente compuesto por un eje,
Figura 1.
Figura 1: El piso (marco de referencia). El eje x (sistema de coordenados) para
el movimiento rectilíneo el sistema de coordenadas puede ser y estar simplemente
compuesto por un eje, Figura 1.
Figura 4: El piso (marco de referencia). El eje x (sistema de coordenados)
Un sistema de referencia o marco de referencia es un conjunto de convenciones usadas por
un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un objeto o sistema
físico en el tiempo y el espacio.
En mecánica se refiere usualmente al conjunto de coordenadas espacio-temporales que
permiten identificar cada punto del espacio físico de interés y el orden cronológico de sucesos
en cualquier evento. En ese sentido, diremos que un sistema de referencia sirve para
determinar la dirección y el sentido del cuerpo en movimiento (o expresar respecto a ellos
cualquier otra magnitud física vectorial.
Marco de referencia
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Posición
La posición de una partícula física se refiere a la localización en el espacio-tiempo
de la misma, normalmente se expresa por un conjunto de coordenadas.
En mecánica clásica, la posición de una partícula en el espacio es una magnitud
vectorial utilizada para determinar su ubicación en un sistema coordenado de
referencia. En el SI la posición se mide en metros (m)
Figura 5: Posición x de la partícula m
Trayectoria
La trayectoria es la línea continua por la cual un cuerpo se mueve, se entiende como la huella que deja un cuerpo cuando realiza un movimiento, por lo tanto, esta puede ser recta, curva o circular, ya que el objeto puede pasar varias veces sobre el mismo punto. A la longitud de la trayectoria la denominaremos distancia recorrida (d).
Distancia recorrida
La distancia recorrida se mide a lo largo de la trayectoria y siempre aumenta
mientras el móvil se desplaza. Por el contrario el desplazamiento siempre
dependerá de la distancia mínima entre el punto final y el inicial, pudiendo aumentar
o disminuir mientras el móvil se mueva, se debe aclarar que si el cuerpo se devuelve
por la misma trayectoria se continua sumando la longitud recorrida.
Desplazamiento
El desplazamiento ( X
); se representa por un segmento de recta dirigido desde el punto
inicial (ix ), del movimiento hasta un punto cualquiera, denominado punto final ( fx ) en el
que se encuentre el móvil y corresponde al cambio de posición de este, su magnitud también se entiende como la distancia en línea recta entre la posición inicial y la posición final.
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El desplazamiento solo depende de los puntos entre los cuales se ha movido el cuerpo, y es independiente del camino, en SI se mide en metros y se puede calcular con la expresión
if xxX
[1]
Magnitudes físicas fundamentales
Rapidez La distancia recorrida está representada por la longitud de la trayectoria. Al valor de la razón entre distancia recorrida y tiempo empleado en recorrerla lo llamaremos rapidez y lo representaremos a través de la siguiente expresión:
t
dV
[2]
Esta definición es válida para cualquier tipo de movimiento curvo o rectilíneo. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la rapidez se expresa en m/s. Sin embargo, es frecuente expresar la rapidez en km/h.
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El concepto de rapidez instantánea corresponde al valor de la rapidez en cualquier instante. Una buena aproximación de dicho valor la entrega el velocímetro de los automóviles
Velocidad Esta magnitud indica el cambio de posición del cuerpo con respecto al tiempo.
La velocidad se expresa como el cociente entre el desplazamiento,if xxX
(donde xf
es la posición final y xi es la posición inicial) y el tiempo transcurrido ( t ): Las unidades en
las que se expresa la velocidad son las mismas que las señaladas para la rapidez.
t
XV
[3]
if
if
tt
xxV
[4]
Aceleración
Es el cambio de velocidad de los cuerpos en un intervalo de tiempo determinado, se llama
aceleración y habitualmente nosotros la experimentamos en nuestro diario vivir, cuando nos
desplazamos al caminar, al ir dentro de un auto, al subir en un ascensor, entre otros.
Comúnmente, la aceleración se asocia al aumento de la rapidez, pero, en física, la
aceleración involucra cualquier cambio de velocidad ocurrido durante un cierto tiempo.
Cuando un cuerpo en movimiento aumenta o disminuye su velocidad (rapidez) en la misma
cantidad cada segundo, entonces se dice que su aceleración es constante. Esto es lo que
ocurre, por ejemplo, cuando dejamos caer un objeto desde cierta altura o si lo lanzamos
hacia arriba.
Operacionalmente, la aceleración media se obtiene como la variación de la velocidad en un
intervalo de tiempo, es decir:
t
va
[5]
if
if
tt
vva
[6]
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La unidad en el SI para expresar la aceleración es el m/s2, que indica la cantidad de
(velocidad en m/s) que un cuerpo cambia en cada segundo.
El signo de la aceleración depende de dos cosas:
a. que la velocidad esté aumentando o disminuyendo. b. el movimiento del cuerpo en relación al sistema de referencia. Entonces, de acuerdo con esto, ocurre que:
• Si un móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces el signo de la aceleración es contrario al de la velocidad. • Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo signo que la velocidad
Fundamentos de análisis gráfico
Pendiente de gráfica
Según la ecuación [4], el cálculo de la pendiente en la gráfica x vs t (Posición vs Tiempo) da
información sobre la velocidad del móvil, Figura 4.
Figura 9 Figura 10
Figura 9: La pendiente de la recta secante a la gráfica x vs t corresponde a la velocidad
media (izquierda). La pendiente de la recta tangente en el instante t a la gráfica x vs t
corresponde al valor de la velocidad instantánea del móvil en ese instante, figura
10(derecha).
Un análisis de unidades ayuda en la interpretación. Observar que la pendiente de
esta curva tiene las siguientes unidades, (Unidades del eje x) / (Unidades del eje t) =
m/s que corresponde a unidades de velocidad.
Según la ecuación [6], el cálculo de la pendiente en la gráfica V vs t (Velocidad vs
Tiempo) da información sobre la aceleración del móvil, Figura 11.
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Figura 11 figura 12
Figura 11: La pendiente de la recta secante a la gráfica V vs t corresponde a la aceleración
media (izquierda). La pendiente de la recta tangente en el instante t a la gráfica V vs t
corresponde al valor de la aceleración instantánea del móvil en ese instante (derecha).
Un análisis de unidades ayuda en la interpretación. Observar que la pendiente de
esta curva tiene las siguientes unidades, (Unidades del eje V) / (Unidades del eje
t)=m.s-1/s= m.s-2 que corresponde a las unidades de aceleración.
Área de la gráfica
De la ecuación [2] se obtiene,
tVX .
[7]
Según la ecuación [5], el cálculo del área bajo la curva de la gráfica V vs t (Velocidad
vs Tiempo) da información sobre el desplazamiento del móvil, Figura 11.
Un análisis de unidades ayuda en la interpretación. Observar que el área bajo esta
curva tiene las siguientes unidades,
(Unidades del eje V) x (Unidades del eje t)=m.s-1xs=m
que corresponde a las unidades de posición, desplazamiento o longitud recorrida.
Sin embargo, es claro que la interpretación corresponde es al desplazamiento
(observar ecuación [7]).
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Figura 13
Figura 6: El área bajo la curva de la gráfica V vs t en el intervalo de tiempo
∆t corresponde al desplazamiento del móvil en ese intervalo. Observar que
para la situación ilustrada es aproximadamente igual al área del trapecio.
De la ecuación [3] se obtiene,
taV m .
[8]
donde am corresponde a la aceleración media del móvil.
Según la ecuación [8], el cálculo del área bajo la curva de la gráfica a vs t (Aceleración vs
Tiempo) da información sobre el cambio de velocidad del móvil, Figura 11.
Figura 14: El área bajo la curva de la gráfica a vs t
en el intervalo de tiempo ∆t corresponde al cambio
de velocidad del móvil en ese intervalo
Figura 14
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Un análisis de unidades ayuda en la interpretación. Observar que el área bajo esta curva tiene
las siguientes unidades,
(Unidades del eje a) x (unidades del eje t)=m.s-2xs=m/s
que corresponde a las unidades de velocidad o cambio de velocidad. Sin embargo es claro
que la interpretación corresponde es al cambio de velocidad (observar ecuación [8].
Gráficas de movimientos especiales
Movimiento rectilíneo uniforme (MU): Velocidad constante, aceleración nula.
Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MUV): Velocidad variable, aceleración constante.
En la tabla se ilustran dos situaciones diferentes para el MU. Se asume que el eje coordenado
es X, Figura 15.
Figura 15: Eje de coordenadas
Tabla 1
TIPO DE MOVIMIENTO x VS t V VS t a VS t
MU
(velo
cid
ad
co
nsta
nte
)
Velocidad constante en el sentido positivo de las X
Velocidad constante en el sentido negativo de las X
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En la Tabla 2 se ilustran tres diferentes situaciones para el MUV. Se asume que el eje
coordenado es X, Figura 15.
Tabla 2
MU
V
(acele
rac
ión
co
nsta
nte
)
Velocidad en el sentido de la aceleración (MUVA) y ambos en el sentido positivo de las X. La aceleración es constante (positiva).
MU
V
(acele
rac
ión
co
nsta
nte
)
Velocidad en sentido contrario de la aceleración (MUVR) y disminuye. La aceleración está en el sentido negativo de las X y es constante (negativa)
Este MUV inicia desde una posición inicial igual a cero, con velocidad inicial negativa (apuntando en el sentido negativo del eje X) y aceleración positiva (apuntando en el sentido positivo del eje X). El movimiento inicia retardado (MUVR) hasta que el móvil llega a tener velocidad cero y luego continúa acelerado (MUVA) aumentando su velocidad continuamente
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Simulación
Bajar SimulPhysics del sitio Web:
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a gráficas de cinemática del
movimiento rectilíneo. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la
Figuras 16. Se despliega la simulación
de la Figura 17. En ésta hacer las
variaciones permitidas y observar
detenidamente los resultados.
Figura 16
Esta simulación permite que los estudiantes observen el comportamiento de las diferentes
características de un movimiento rectilíneo uniforme o uniformemente acelerado, se proponen
algunas actividades que ilustran de forma precisa el proceder de un móvil en el transcurso del
tiempo, además muestra la modelación grafica en este tipo de movimiento.
Esta simulación ayuda a reforzar a los estudiantes el reconocimiento de las gráficas de cinemática
para el movimiento rectilíneo. En estas actividades el estudiante debe analizar los siguientes
conceptos: Marco de referencia, sistema de coordenadas, condiciones iniciales, trayectoria,
desplazamiento, posición, velocidad, aceleración, entre otros.
Actividad 1
Activa la simulación, plantea la posición en 0.0m, la velocidad en 20 m/s y la aceleración en
0.0 m/s2, luego clic al botón inicio y contesta:
Figura 17. Condición inicial (izquierda). En un instante t (derecha)
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a. ¿Qué tipo de línea posee la gráfica X vs T? ¿Cómo se interpreta físicamente?
b. ¿Cómo es el comportamiento de la línea en la gráfica V vs T, a medida que
transcurre el tiempo?
c. ¿Cuál es el valor de la aceleración en el segundo 1, 2, 3, 4 y 5? ¿Cómo se
interpreta físicamente?
d. ¿Qué tipo de movimiento realiza el móvil?
Actividad 2
Activa la simulación, plantea la posición en 0.0m, la velocidad en 0.0 m/s y la aceleración en
5.0 m/s2, luego clic al botón inicio, observa detenidamente y contesta:
Figura 18. Condición inicial (izquierda). En un instante t (derecha)
a. ¿Qué tipo de línea posee la gráfica X vs T? ¿Cómo se interpreta físicamente?
b. ¿Cómo es el comportamiento de la línea en la gráfica V vs T, a medida que
transcurre el tiempo?
c. ¿Cuál es el valor de la aceleración en el segundo 1, 2, 3, 4 y 5? ¿Cómo se interpreta
físicamente?
d. ¿Qué tipo de movimiento realiza el móvil?
Actividad 3
Activa la simulación, plantea la posición en 42.0m, la velocidad en -10.0 m/s y la aceleración
en 3.0 m/s2, luego clic al botón inicio, observa detenidamente y contesta:
Figura 19. Condición inicial (izquierda). En un instante t (derecha)
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Ecuaciones básicas de los movimientos rectilíneos especiales
A continuación se ilustra un resumen de las ecuaciones cinemáticas, teniendo en cuenta un
marco de referencia en una dimensión, además considerando que se trata de un movimiento
uniformemente acelerado (MUV) y en sentido positivo de eje coordenado de las X:
Tabla 3
t
dV
tVd
Expresiones utilizadas
normalmente en el movimiento
uniforme, permiten obtener la
velocidad instantánea o rapidez
con unidades de (m/s) (Km/h)
(cm/s) y la distancia recorrida
con unidades (m) (Km) (cm).
Ecuación Velocidad
instantánea o Rapidez Ecuación distancia recorrida
t
XVm
tVX m
Expresiones utilizadas en el
movimiento uniformemente
acelerado, ilustran la las variables
para obtener la velocidad media
de un (MUV), sus unidades
dimensionales son (m/s) (Km/h)
(cm/s) y el desplazamiento con
unidades (m) (Km) (cm).
Ecuación velocidad media si se
conoce el desplazamiento Ecuación desplazamiento
t
va
taV
Expresiones utilizadas en el
movimiento uniformemente
acelerado, ilustran la las
variables para obtener la
aceleración media de un (MUV),
sus unidades dimensionales son
(m/s2) (Km/h2) (cm/s2) y la
velocidad media con unidades
(m/s) (Km/h) (cm/s)
Ecuación aceleración si se
conoce la velocidad media Ecuación velocidad media
En la tabla anterior se observan las ecuaciones
tVX m
[9]
taV
[10]
De acuerdo a estas ecuaciones se puede inferir que la aceleración posee el mismo valor a medida
que pasa el tiempo, esto implica que la aceleración es constantes y permanece invariable a medida
que pasa el tiempo
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Las gráficas correspondientes se ilustran en la Tabla 4 y permiten resolver las ecuaciones
anteriores. Tabla 4 Tabla 4
Velocidad en el sentido de la aceleración (MUVA) y ambos en el sentido positivo de las X. La aceleración es constante (positiva).
Analizando específicamente la gráfica V vs T, se pueden deducir ciertas características como que
el área bajo la recta, pertenece al desplazamiento del cuerpo. El área señalada geométricamente
corresponde al área de un trapecio y se puede calcular relacionando sus bases y altura.
hbB
A
2
)( [11]
Área del trapecio
Figura 20
Donde el área bajo la recta se expresaría como:
tVV
tVXfo
2
)(
[12]
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La ecuación de una recta de color rojo en la figura 20, se expresa como:
taVV of …………………………………….[13]
Combinando las ecuaciones (12) y [13] se obtiene,
2
2
1tatVX o
[14]
Esta ecuación corresponde a grafica posición vs tiempo, figura 21
Figura 21
Adicionalmente, combinando las ecuaciones [13] y [14] se obtiene,
XaVV of 222
[15]
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Tabla 5
RESUMEN DE ECUACIONES PARA EL MU Y MUV
t
dV
tVd
MOVIMIENTO UNIFORME
Ecuación velocidad instantánea o
rapidez
Ecuación distancia recorrida
2
2
1tatVX o
taVV of
XaVV of 222
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE
ACELERADO
Ecuación desplazamiento
Ecuación velocidad final en función
del tiempo
Ecuación velocidad final en función
del desplazamiento
Experimentos simulados sobre el MUV
Una de las herramientas que se pueden
usar para que los estudiantes se
entrenen antes de realizar un
laboratorio son los “laboratorios
simulados”. Por ejemplo, antes del
laboratorio de “MUV” se puede dejar de
tarea a los estudiantes que se entrenen
con el laboratorio simulado sobre este
tema que es parte de SimulPhysics.
Para acceder a éste se hace clic en el
ítem MUV (acelerado) ilustrado en la
Figura 21: se desplegará la una
ventana. Al ejecutar la aplicación se
observa que el bloque se desplazará tal
como se ilustra en las Figura 22. Figura 21
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Figura 22
Una vez el estudiante defina el marco de referencia y el sistema de coordenadas, con base
en la simulación, se le pide elaborar una tabla de datos de posición contra tiempo (x vs t).
Luego procederá a realizar una regresión cuadrática (por ejemplo, empleando
PhysicsSensor) el cual se brindará una gráfica y de aquí deducirá la aceleración del móvil.
Sería interesante que estudiante repitiera esta actividad pero con la simulación para MUV (retardado).
CAÍDA LIBRE
Se dice que un cuerpo se encuentra en “caída libre” cuando es lanzado verticalmente (o
soltado) y solo se tiene en cuenta la acción de la fuerza de gravedad (se desprecia la fuerza
de fricción y la fuerza arquimediana o también denominada empuje). En este caso la
aceleración es igual a la gravedad g (9,80 m/s2).
Al ser un movimiento vertical lo usual será tomar como sistema de coordenadas al eje Y.
Tabla 6
RESUMEN DE ECUACIONES CAÍDA LIBRE
t
Vg
Ecuación para hallar la aceleración
de la gravedad en caso de tener la
velocidad inicial y la velocidad final.
2
2
1tgtVy o
tgVV of
ygVV of 222
Ecuación desplazamiento vertical
Ecuación velocidad final en función
del tiempo
Ecuación velocidad final en función
del desplazamiento
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Tomando como marco de referencia el piso y como sistema de coordenadas el ilustrado en
la Figura 23 se obtiene las gráficas de la Tabal 4 para un cuerpo en caída libre soltado desde
el reposo.
Figura 23
Tabla 7
Grafica posición vs tiempo, pero en la dimensión vertical
Grafica velocidad vs tiempo, partiendo del reposo
Grafica aceleración vs tiempo, para g=9,8 m/s2
NOTA:
De la pendiente de la gráfica de V vs t, se deduce el valor de la gravedad, teniendo
en cuenta que si el cuerpo pierde velocidad por acción y efecto de la gravedad es un
movimiento retardado y se gana velocidad es un movimiento acelerado y los signos
de los términos dependen exclusivamente del sistema de coordenadas elegido.