sesión 2 - cinemática de una partícula - movimiento curvilíneo

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO DINÁMICA - Docente E. Rodríguez B. 1 UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: DINÁMICA CURSO: DINÁMICA CURSO: DINÁMICA CURSO: DINÁMICA SESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA SESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA SESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA SESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA 1 Lic. Eduar Rodríguez Beltrán [email protected] Describir el movimiento curvilíneo de una partícula. Establecer las características y propiedades del movimiento curvilíneo. Expresar las cantidades cinemáticas en coordenadas rectangulares, componentes normal y tangencial. 2 OBJETIVOS OBJETIVOS OBJETIVOS OBJETIVOS El movimiento curvilíneo ocurre cuando la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Esta trayectoria a menudo se describe en tres dimensiones, por lo tanto es importante el uso del análisis vectorial para formular la posición, velocidad y aceleración de la partícula. MOVIMIENTO CURVILÍNEO MOVIMIENTO CURVILÍNEO MOVIMIENTO CURVILÍNEO MOVIMIENTO CURVILÍNEO Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa por r = r(t). Vector de Posición Vector de Posición Vector de Posición Vector de Posición Supongamos ahora que la partícula se mueve durante un pequeño intervalo de tiempo t hasta el punto P’, entonces su posición será r’ (t + t). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y se expresa: Vector desplazamiento Vector desplazamiento Vector desplazamiento Vector desplazamiento Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. la velocidad media se define como : Velocidad media Velocidad media Velocidad media Velocidad media

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Page 1: Sesión 2 - Cinemática de una partícula - Movimiento curvilíneo

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO

DINÁMICA - Docente E. Rodríguez B. 1

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: DINÁMICACURSO: DINÁMICACURSO: DINÁMICACURSO: DINÁMICA

SESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULASESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULASESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULASESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

1

Lic. Eduar Rodríguez Beltrán

[email protected]

� Describir el movimiento curvilíneo de unapartícula.

� Establecer las características y propiedadesdel movimiento curvilíneo.

� Expresar las cantidades cinemáticas encoordenadas rectangulares, componentesnormal y tangencial.

2

OBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOS

El movimiento curvilíneo ocurre cuando lapartícula se mueve a lo largo de una trayectoriacurva. Esta trayectoria a menudo se describe entres dimensiones, por lo tanto es importante eluso del análisis vectorial para formular laposición, velocidad y aceleración de lapartícula.

MOVIMIENTO CURVILÍNEOMOVIMIENTO CURVILÍNEOMOVIMIENTO CURVILÍNEOMOVIMIENTO CURVILÍNEO

Es aquel vector dirigido desde el origen de unsistema coordenado hacia el punto de ubicacióninstantánea P la partícula. Se representa por r = r(t).

Vector de PosiciónVector de PosiciónVector de PosiciónVector de Posición

Supongamos ahora que la partícula se muevedurante un pequeño intervalo de tiempo ∆t hasta elpunto P’, entonces su posición será r’ (t + ∆∆∆∆t). Eldesplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y seexpresa:

Vector desplazamientoVector desplazamientoVector desplazamientoVector desplazamiento

Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un

desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. la velocidad

media se define como :

Velocidad mediaVelocidad mediaVelocidad mediaVelocidad media

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Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño

(∆t→0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al

límite la velocidad media se obtiene la velocidad instantánea. Es

decir.

Velocidad instantáneaVelocidad instantáneaVelocidad instantáneaVelocidad instantáneaEn la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula

en P y Q. El cambio de velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración

media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es

decir

La aceleración media esun vector paralelo a ∆vy también depende dela duración del intervalode tiempo.

Aceleración mediaAceleración mediaAceleración mediaAceleración media

Se obtiene llevando al límite la aceleración media es decir haciendo

cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo

La aceleración instantáneaes un vector que tienemisma dirección que elcambio instantáneo de lavelocidad es decir apuntahacia la concavidad de lacurva

Aceleración instantáneaAceleración instantáneaAceleración instantáneaAceleración instantánea Coordenadas rectangularesCoordenadas rectangularesCoordenadas rectangularesCoordenadas rectangulares

vector de posición de un punto será:

y derivando:

En cualquier instante la posición horizontal del globometeorológico está definida por x = (9t) m, donde t esel segundo. Si la ecuación de la trayectoria esy = xª/30, donde a = 2. Determinar la distancia delglobo a la estación A, la magnitud y la dirección de lavelocidad y de la aceleración cuando t = 2 s

EJEMPLO EJEMPLO EJEMPLO EJEMPLO 1111

� Cuando t = 2 s, la posición del

globo es

� La distancia en línea recta será

� Las componentes de la

velocidad son

� La magnitud ydirección de lavelocidad para t = 2 sson:

EJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: Solución

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DINÁMICA - Docente E. Rodríguez B. 3

Las componentes de la

aceleración será

La magnitud y dirección de la

aceleración son

EJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: Solución

El movimiento de la caja B está

definida por el vector de posición

donde t esta en segundos y el

argumento para el seno y el

coseno está en radianes.

Determine la localización de la

caja cuando t = 0,75 s y la

magnitud de su velocidad y

aceleración en este instante

EJEMPLO 2EJEMPLO 2EJEMPLO 2EJEMPLO 2

� La posición de la partícula cuando t = 0,75 s es

� La distancia medida desde el origen será

� La dirección es

EJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: Solución

� La velocidad de la partícula cuando t = 0,75 s es

� La aceleración de la partícula cuando t = 0,75s

a = 2 m/s2

EJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: Solución

Es caso mas simple del

movimiento plano, en el

cual ax = 0 y ay = - g = -

9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2.

En la figura se muestra

este movimiento y su

trayectoria.

MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICO MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICO

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Conociendo la función de posición de unapartícula, obtener las funciones de velocidad yaceleración. Utiliza las funciones obtenidas ycalcula la posición, velocidad y aceleración dela partícula a los 5 segundos de iniciado elmovimiento.

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

r (t) = e-t i + 4j.

Componentes normal y tangencialComponentes normal y tangencialComponentes normal y tangencialComponentes normal y tangencial

Cuando un auto se mueve en unacurva experimenta una aceleración,debido al cambio en la magnitud o enla dirección de la velocidad.¿Podría Ud. preocuparse por laaceleración del auto?.

Si el motociclista inicia su movimientodesde el reposo e incrementa suvelocidad a razón constante.¿Cómo podría determinar suvelocidad y aceleración en la partemás alta de su trayectoria.

Componentes normal y tangencial: AplicacionesComponentes normal y tangencial: AplicacionesComponentes normal y tangencial: AplicacionesComponentes normal y tangencial: Aplicaciones

Cuando la trayectoria de unapartícula es conocida, a veceses conveniente utilizar lascoordenadas normal (n) ytangencial (t) las cuales actúanen las direcciones normal ytangencial a la trayectoria.

En un movimiento plano seutilizan las vectores unitariosun y ut

El origen se encuentra ubicadosobre la trayectoria de lapartícula.

El eje t es tangente a latrayectoria y positivo enla dirección delmovimiento y el eje n esperpendicular al eje t yesta dirigido hacia elcentro de curvatura

Componentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: Posición

El radio de curvatura ρ, es ladistancia perpendicular desdecurva hasta el centro decurvatura en aquel punto.

La posición es la distancia Smedida sobre la curva a partirde un punto O considerado fijo.

Componentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: Posición

Debido a que la partícula se estamoviendo, la posición S estácambiando con el tiempo.

La velocidad v es un vector quesiempre es tangente a latrayectoria y su magnitud sedetermina derivando respecto deltiempo la posición S = f(t).Por lo tanto se tiene:

Componentes normal y tangencial: VelocidadComponentes normal y tangencial: VelocidadComponentes normal y tangencial: VelocidadComponentes normal y tangencial: Velocidad

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Consideremos el movimiento deuna partícula en una trayectoriacurva plana

En el tiempo t se encuentra en Pcon una velocidad v en direccióntangente y una aceleración adirigida hacia la concavidad de lacurva. La aceleración puededescomponerse en unacomponente tangencial at

(aceleración tangencial)paralela a la tangente y otraparalela a la normal an

(aceleración normal)

La aceleración tangenciales la responsable delcambio en el modulo dela velocidad. responsabledel cambio en ladirección de la velocidad

Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración

Tracemos en A un vectorunitario . La aceleración será:

Si la trayectoria es una recta,el vector sería constante enmagnitud y dirección, por tanto

Pero cuando la trayectoria escurva la dirección de cambiapor lo tanto:

Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración

Introduzcamos el vectorunitario normal a la curvay dirigido hacia el lado cóncavode la curva. Sea β el ánguloque forma la tangente en A conel eje x. Entonces se tiene

La derivada del vector unitariotangente será

Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración

� Por otro lado se tiene que

� Donde dS es el pequeñoarco a lo largo delmovimiento en un dt.

� Las normales a la curva enA y A´ se intersecan en C.Entonces

� La razón de cambio delvector unitario tangenciales

Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración

Remplazando estaecuación en la aceleraciónse tiene:

Es decir las aceleracionestangencial y normal seescriben:

� La magnitud de la aceleración

total será:

Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración

� Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se está

incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria

parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y

aceleración en el instante que llega a A. Desprecie en los cálculos

el tamaño del esquiador.

PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1

Page 6: Sesión 2 - Cinemática de una partícula - Movimiento curvilíneo

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� Estableciendo los ejes n y

t mostrados se tiene.

� La velocidad de 6 m/s es

tangente a la trayectoria y

su dirección será

� Por lo tanto en A la

velocidad forma 45° con el

eje x

PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 ---- SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN� Se sabe que la aceleración

tangencial es constante e

igual a

� La aceleración normal será

� La aceleración total será

� La velocidad en este

instante será

PROBLEMA 2 PROBLEMA 2 PROBLEMA 2 PROBLEMA 2 ---- SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN

� La aceleración se determina

aplicando la ecuación

� Para ello se determina el

radio de curvatura

PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 ---- SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN

� La magnitud y la dirección de la

aceleración serán

PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 ---- SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN

� Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal

circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su

rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el

reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una

aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.

PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2

Una caja parte del reposo en A e

incrementa su rapidez a razón deat = (0.2t) m/s2 y viaja a lo

largo de la pista horizontal

mostrada. Determine la magnitud

y dirección de la aceleración

cuando pasa por B

PROBLEMA 3PROBLEMA 3PROBLEMA 3PROBLEMA 3

Page 7: Sesión 2 - Cinemática de una partícula - Movimiento curvilíneo

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DINÁMICA - Docente E. Rodríguez B. 7

La posición de la caja en

cualquier instante es S medida a

partir del punto fijo en A.

La velocidad en cualquier instante

se determina a partir de la

aceleración tange:cial, esto es

PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 ---- SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN

Para determinar la velocidad en

B, primero es necesario

determinar S = f(t), después

obtener el tiempo necesario para

que la caja llegue a B. es decir

De la geometría se tiene

sB = 3 + 2π(2)/4 = 6.142 m.

Entonces tenemos

PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 ---- SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN

Remplazando el tiempo en las

ecuaciones (1) y (2) resulta

En el punto B el radio de curvatura

es ρ = 2 m, entonces la

aceleración será

La aceleración total será

Su modulo y dirección serán

PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 ---- SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN

� Un avión viaja a lolargo de unatrayectoria parabólicavertical . En elpunto A el avión tieneuna velocidad de 200m/s la cual seincrementa a razón de0,8 m/s2. Determine lamagnitud de laaceleración del avióncuando pase por A.

PROBLEMA 4PROBLEMA 4PROBLEMA 4PROBLEMA 4

� Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley ax=0, ay=4cos(2t) m/s2. En el instante t=0, el móvil se encontraba en x=0, y=-1 m, y tenía la velocidad vx=2, vy=0 m/s.

� Hallar las expresiones de rrrr(t) y vvvv(t).� Dibujar y calcular las componentes tangencial

y normal de la aceleración en el instante t=π/6 s.

PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA 5555

SOLU

CIÓ

N P

RO

BLEM

A

SOLU

CIÓ

N P

RO

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A

SOLU

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A

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RO

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A 55 55

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El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por vvvv=(3t-2)iiii+(6t2-5)jjjj m/s.... Si la posición del móvil en el instante t=1 s es rrrr=3iiii-2jjjj m. Calcular� El vector posición del móvil en cualquier

instante.� El vector aceleración.� Las componentes tangencial y normal de la

aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA 6666

SOLU

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SOLU

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SOLU

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A 6

Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo a la ley ax=0, ay=2cos(πt/2) m/s2. En el instante inicial t=0,x=0,y=-8/π2, vx=2, vy=0. Encontrar:� El vector posición y el vector velocidad en

función del tiempo.� La ecuación de la trayectoria, representarla� Representar la aceleración, aceleración

tangencial y normal sobre la trayectoria en los instantes t=1 y t=2s.

PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA 7777

SOLUCIÓN PROBLEMA 7SOLUCIÓN PROBLEMA 7SOLUCIÓN PROBLEMA 7SOLUCIÓN PROBLEMA 7

SOLU

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A 7

SOLU

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A 7

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Se lanza una pelota verticalmente haciaarriba con una velocidad de 20 m/s desde laazotea de un edificio de 50 m de altura. Lapelota además es empujada por el viento,produciendo un movimiento horizontal conaceleración de 2 m/s2, (tómese g=10 m/s2).Calcular:� La distancia horizontal entre el punto de

lanzamiento y de impacto.� Las componentes tangencial y normal de la

aceleración en el instante t=3 s

PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA 8888

SOLU

CIÓ

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RO

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A 8

SOLU

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