tema1 cinemÁtica el movimiento de los cuerpos · en este primer tema estudiaremos cinemÁtica, es...

FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACH___________________________________________ IES EL PARADOR

Referencia bibliográfica: Fís y Quím 1º de Bachillerato (Jaime Carrascosa y otros)

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TEMA1

CINEMÁTICA

EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

La importancia que tiene el estudio del movimiento de los cuerpos radica en que los

orígenes de la Física pueden situarse en las investigaciones que algunos científicos

como Galileo y Newton realizaron en este campo en el siglo XVII. De esta manera,

asociado al estudio del movimiento de los cuerpos se encuentra el desarrollo de unos

procedimientos que dieron lugar a lo que hoy llamamos metodología científica.

Basados en esta metodología se desarrollan desde hace 300 años los trabajos de

investigación que han supuesto un desarrollo sin precedentes para la humanidad. Ya en

4º de ESO empezásteis a estudiar el movimiento con cierta precisión haciendo uso del

lenguaje matemático. Este curso profundizaremos un poco más en este estudio.

Son muchas las situaciones concretas en las que puede tener interés estudiar el

movimiento de un cuerpo: prácticas deportivas (carreras de atletismo, tiro con arco,

paracaidismo, voleibol, etc.), medios de transporte (movimiento de trenes, aviones,

coches, etc.), puesta en órbita de satélites artificiales, movimiento de planetas,

desplazamiento de un huracán, lanzamiento de proyectiles, etc.

En este primer tema estudiaremos CINEMÁTICA, es decir, que nos ocuparemos de

describir algunos movimientos de interés. Y para ello disponemos de una serie de

magnitudes cinemáticas que nos permiten realizar tal descripción: posición, velocidad,

aceleración, tiempo, distancia recorrida, etc. Conviene recordar que no existe una

descripción absoluta de ningún movimiento, sino que depende del observador que lo

describa. Es por ello por lo que necesitamos siempre elegir un sistema de referencia

determinado en base al cual vayamos a describir el movimiento en cuestión. Además,

consideraremos los cuerpos como puntos materiales en los que toda su masa reside en

un solo punto, lo que supone una simplificación necesaria para poder abordar sin

demasiadas complicaciones el estudio del movimiento de los cuerpos. Así, en el futuro

se podrán abordar problemas más reales y complejos al suponer los cuerpos como

cuerpos extensos.

Comenzaremos estudiando el movimiento de cuerpos que lo hacen sobre una trayectoria

conocida de antemano, abordando con un poco más de profundidad situaciones ya

estudiadas en el curso pasado. Seguidamente abordaremos el estudio del movimiento de

cuerpos que lo hacen sobre una trayectoria que no conocemos de antemano, para lo cuál

tendremos que introducir nuevas herramientas.



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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

CUANDO LA TRAYECTORIA SE CONOCE DE ANTEMANO

Existen movimientos cuya trayectoria conocemos de antemano con total precisión: el

movimiento curvilíneo de un tren por las vías, el movimiento curvilíneo de un coche por

la carretera, el movimiento rectilíneo de caída libre de una piedra, el movimiento

circular de un planeta en torno al Sol, etc. Describir este tipo de movimientos es más

sencillo que describir aquellos cuya trayectoria no conocemos de antemano (y de los

que nos ocuparemos más tarde). Las herramientas necesarias para describir los

movimientos son: las magnitudes cinemáticas, las ecuaciones del movimiento y las

gráficas del movimiento.

Las magnitudes cinemáticas útiles para describir los movimientos cuya trayectoria se

conoce de antemano, y con las que trabajasteis ya el curso pasado, son: posición,

desplazamiento, distancia recorrida, tiempo, intervalo de tiempo, velocidad y rapidez,

aceleración sobre la trayectoria. No hay que olvidar que no existe una única descripción

de un movimiento, pues todo depende del observador; así pues, es necesario establecer

previamente un origen de referencia y un criterio de signos.

Actividad inicial

Dejamos caer una bola desde lo alto de un tobogán de 20 m de longitud y observamos

que impacta con el agua al cabo de los 10 segundos con una rapidez de 15 m/s:

a) Escoge un sistema de referencia y un criterio de signos apropiado

b) ¿Cuál es la posición inicial de la bola? ¿Y su posición final?

c) ¿Cuál ha sido su desplazamiento? ¿Qué distancia ha recorrido?

d) ¿Qué intervalo de tiempo ha transcurrido?

e) ¿Cuál ha sido su velocidad media? ¿Y su rapidez media?

f) ¿Cuál ha sido su velocidad en el instante inicial? ¿Y en el final?

g) ¿Qué velocidad llevará al cabo de los 2,5 segundos?

h) ¿Cuál ha sido su aceleración media sobre la trayectoria?

i) ¿Llevará la misma aceleración en todo momento?

Además de las magnitudes cinemáticas, resultan muy útiles las ecuaciones del

movimiento para poder predecir dónde estará y lo rápidamente que se moverá un cuerpo

en un cierto instante. Estas ecuaciones permiten conocer cómo dependen la posición y la

velocidad de la variable tiempo. El curso pasado utilizasteis dichas ecuaciones para dos

movimientos muy particulares: el m.u. y el m.u.a. Pero no sólo las ecuaciones del

movimiento son una herramienta útil para su estudio, sino también las gráficas del

movimiento: e-t y v-t.

Signo de la aceleración



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Cuestión 1

Una moto y un coche se mueven por una carretera con velocidad constante. La gráfica

posición-tiempo de cada uno de esos movimientos uniformes (mu) son las que aparecen

en las figuras. Dibuja debajo de cada una de ellas las gráficas v-t y a-t

correspondientes.

Cuestión 2

Dos cuerpos se desplazan sobre una trayectoria cualquiera con aceleración constante.

Las gráficas v-t de cada uno de esos movimientos uniformemente acelerados (mua) son

las que aparecen en las figuras. Dibuja encima de cada una de ellas la gráfica e-t y

debajo la gráfica a-t correspondientes. Imagina para ello que parten, en ambos casos,

desde el origen de referencia. ¿Qué movimientos reales pueden representar estos dos

ejemplos?

MOVIMIENTO

UNIFORMEMENTE ACELERADO

2

0 0

1

2e e v t at 0v v at

MOVIMIENTO

UNIFORME

0e e vt



4

Cuestión 3

Una moto que circula a 72 km/h por una carretera curvilínea pasa en un instante dado

por delante de una señal que indica “gasolinera a 1500 m”. En ese mismo instante, un

coche que circula con una velocidad constante de 108 km/h y en sentido contrario a la

moto, le faltan 60 m para llegar a la gasolinera. Se pide:

a) Después de escribir las ecuaciones del movimiento para ambos móviles, representa

en una sola gráfica e-t el movimiento de la moto y del coche entre t=0s y t=40s.

b) Determina a qué distancia de la señal se cruzan ambos vehículos.

(Rdo. Se cruzan a 624 m de la señal)

Cuestión 4

Analiza detalladamente la siguiente gráfica dando

toda la información que seas capaz de extraer de

la misma. A continuación, construye las gráficas

v-t y a-t a partir de los datos suministrados.

Cuestión 5

Un coche que va a 108 km/h frena con una aceleración constante hasta conseguir

reducir su rapidez a la mitad en 5 s para luego continuar con esa rapidez durante 5 s

más. Tomando como origen de espacios y de tiempos la posición y el instante en que

comenzó a frenar, se pide:

a) Sin realizar ningún cálculo, dibujad una posible trayectoria señalando en ella la

posición del coche mediante cruces a intervalos de 1 s desde t=0 hasta t=10 s.

b) Escribid las ecuaciones "v" y de "e" en función del tiempo, mientras frena

c) Escribid las ecuaciones de v y de e en función del tiempo después de la frenada

d) Representad v-t y e-t desde t=0 hasta t=10 s

e) Calculad la distancia total recorrida por el coche a los 10 segundos

(Rdo. e) 187'5 m)

Cuestión 6

En las dos gráficas siguientes se

representa el movimiento de dos

móviles que en el instante inicial

t=0, se encontraban en la

posición e=0 m. Interpretad

cada uno de los movimientos

representados y, a continuación,

proceded a construir las gráficas

e-t y a-t de cada uno de ellos.

Cuestión 7

Un objeto se mueve de forma que su posición sobre la trayectoria viene dada por la

expresión: e = 25 + 40t -5t2 m. Se pide:

a) Extraed toda la información posible sobre el movimiento: tipo de movimiento,

valores de la rapidez y de la posición en el instante inicial (v0 y e0), la aceleración

sobre la trayectoria atg, el sentido en que se mueve y la ecuación de su rapidez en

función del tiempo v(t).

b) Calculad dónde estará y con qué rapidez se moverá en el instante t=5s. ¿Qué

distancia total habrá recorrido el móvil en esos 5 segundos?

(Rdo. e5=100 m; v5=10 m/s; d=85 m)

e(m)

t(s)

10

2 8 12



5

Cuestión 8

Un tren de alta velocidad circula a 90 km/h cuando acelera de forma constante hasta

que transcurridos 15 segundos alcanza los 306 km/h. Tomando como origen de

espacios y tiempos el punto y el instante en que comenzó a acelerar, se pide:

a) Escribe las ecuaciones del movimiento. ¿Dónde se encontrará en el instante t=5 s?

b) Construye e interpreta las gráficas v-t y e-t

c) Sobre un dibujo de la trayectoria marca las posiciones del tren a intervalos de 3 s

d) Compara el desplazamiento en el primer segundo con el desplazamiento en el último

segundo.

(Rdo. a) 175 m; d) 27 m y 83 m respectivamente)

Problema 1

Una moto va a 100 km/h por la ciudad cuando su conductor frena (con aceleración

constante) para no atropellar a una persona que se encontraba a 25 m de distancia,

parando en 4 s. Determina la distancia recorrida durante la frenada e indica si

consiguió parar a tiempo de evitar el accidente.

(Rdo. 0

2

fv td ; No para a tiempo porque recorre 55,6 m)

Problema 2

Un cierto tipo de avión necesita alcanzar una velocidad mínima de 288 km/h para

comenzar a elevarse. Dicho avión tiene unos motores capaces de proporcionarle una

aceleración máxima de 5 m/s2. ¿Cuál será la longitud mínima que deberá tener la

pista?

(Rdo.

2

,640

2

f mín

mín

máx

vL m

a )

EL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE

Cuando un cuerpo se mueve libremente en

dirección vertical (sube o baja sometido sólo a

la acción de la gravedad) podemos comprobar

experimentalmente que, siempre que se

encuentre a alturas no muy grandes, el

movimiento es uniformemente acelerado y

que el valor de la aceleración sobre la

trayectoria vale 9’8 m/s2 y es común para

todos los cuerpos, sea cual sea su masa. De

acuerdo con ello, siempre que el rozamiento

con el aire sea o se pueda considerar

despreciable, todos los cuerpos que se dejen

caer desde la misma altura llegarán al suelo

en el mismo tiempo.



6

Al tratarse de una trayectoria rectilínea podemos considerarla conocida de antemano,

por lo que podemos describir el movimiento con las magnitudes e, v y a. Debemos

escoger un punto de la trayectoria como origen de referencia y un criterio de signos. La

aceleración de la gravedad se simboliza mediante la letra g, con lo que las ecuaciones de

este tipo de movimiento serán:

2

0 0

1

2e e v t gt 0v v gt

Problema 3

Se lanza un cuerpo hacia arriba con una rapidez de 50 m/s. ¿Qué altura alcanzará?

(Rdo. 2

0 1252

vh m

g )

Problema 4

Se deja caer un cuerpo desde una altura de 15 m. Calcula en km/h con qué velocidad

llegará al suelo suponiendo despreciable el rozamiento con el aire.

(Rdo. 2 61,7fv gh km h )

Problema 5

Desde un globo que está ascendiendo a 5 m/s se suelta un saco de lastre en el instante

en que se encuentra a 100 m de altura. Despreciando el rozamiento con el aire,

calculad con qué rapidez chocará el saco contra el suelo y expresad el resultado en

km/h.

(Rdo. 2

0 02 160, 4 /fv v gh km h )

Problema 6

Desde la boca de un pozo de 20 m de profundidad, se lanza verticalmente y hacia

arriba una piedra con rapidez de 10 m/s. Determinad con qué rapidez chocará contra

el fondo.

(Rdo.2

0 2 22, 2 /fv v gh m s , donde h es la profundidad del pozo)

Problema 7

Desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una cierta rapidez

inicial v0, comprobándose que éste tarda 4 s en alcanzar la altura máxima. Se pide:

a) Valor de dicha altura máxima.

b) ¿A qué altura máxima habría llegado y cuánto tiempo habría tardado si se hubiera

lanzado con el doble de rapidez inicial?

(Rdo. a)

2

78, 42

fgth m . b) Hubiese llegado a 313,6 m de altura en 8 s)

El signo de la aceleración será positivo o negativo

dependiendo del criterio de signos escogido en cada caso.

Así pues, ¡¡habrá que estar muy atento a eso!!



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Problema 8

Desde lo alto de una torre de 62’5 m se deja caer una piedra. Se pide:

a) Determinad las ecuaciones del movimiento y a partir de ellas construid las gráficas

v-t y e-t desde que se deja caer la piedra hasta el instante en que choca contra el suelo.

b) Sobre las dos gráficas anteriores, indicad (sin calcular) el instante en el que alcanza

la mitad de la torre, así como la velocidad que llevará en ese instante. Calculad luego

el valor de dicha velocidad a partir de las ecuaciones del movimiento.

(Rdo. b) /2 24,75 /hv gh m s )

Aunque conozcamos la trayectoria de

antemano, es importante destacar el

carácter vectorial que tienen la

velocidad y la aceleración. La

velocidad la podemos representar

como un vector cuya dirección es

siempre tangente a la trayectoria en

cada punto, su sentido indica el sentido

del movimiento, y su módulo

representa la rapidez con la que se

mueve el objeto. Por tanto, cuando

cambia la velocidad de un cuerpo

puede ser porque cambie su módulo (rapidez), porque cambie su dirección o porque

cambien los dos a la vez. Consecuentemente, si la aceleración indica el ritmo al que

cambia la velocidad, ésta presenta dos componentes muy útiles: la aceleración

tangencial (atg), que representa el ritmo al que cambia el módulo de la velocidad (su

rapidez), y que es un vector siempre tangente a la trayectoria; y la

aceleración normal (an), que representa el ritmo al que cambia la

dirección del movimiento, y que es un vector siempre normal a la

trayectoria (perpendicular a la tangente).

EL MOVIMIENTO CIRCULAR Y

UNIFORME

Entre los diferentes tipos de

movimiento en los que la trayectoria se

conoce de antemano, en la naturaleza

es particularmente importante el

movimiento circular uniforme. Éste es

el caso, al menos de forma aproximada,

del movimiento de los planetas en

torno al Sol, o el de la Luna en torno a

la Tierra, o el de los electrones en torno

al núcleo de los átomos, etc.

Con la presentación de diapositivas que

pondrá el profesor te enterarás mejor



8

Cuando hablamos de un movimiento circular estamos suponiendo que conocemos la

trayectoria de antemano, así que podemos describir el movimiento sobre la trayectoria

sin más que fijar un origen de referencia sobre esa trayectoria y un criterio de signos.

Bastaría luego con conocer los valores de la posición e sobre la trayectoria en cada

instante de tiempo.

El caso particular que nos ocupa, el del movimiento

circular uniforme (mcu), se caracteriza por tener una

rapidez constante. En este caso, la ecuación del

movimiento correspondiente resulta ser 0e e v t .

Además, existen otras dos características muy

importantes de un movimiento circular uniforme que

son, en definitiva, las que lo determinan con mayor

simplicidad: por un lado, el radio r de la circunferencia

que describe el móvil y, por otro, el tiempo que tarda en

dar una vuelta completa, es decir, el período T.

La expresión para la velocidad de un mcu cuyo radio sea r y cuyo período sea T puede

expresarse como:

2e rv

t T

2 r

vT

Cuestión 9

El movimiento que describe cada planeta alrededor del Sol es un movimiento plano

que, como muy buena aproximación, lo podemos considerar como un mcu.

a) A partir de los datos de la tabla siguiente trata de completar el resto de la tabla.

b) Compara luego los resultados entre unos planetas y otros y trata de sacar alguna

conclusión.

Planeta Distancia media al Sol

(106 km)

Período

(años)

Velocidad

(km/h) (km/s)

Mercurio 57,9 0,24

Venus 108,2 0,62

Tierra 149,6 1,00 107.229 29,8

Marte 227,9 1,88

Júpiter 778,3 11,86

Saturno 1.429,4 29,42

Urano 2.875,0 83,75

Neptuno 4.504,4 163,72

v

r

v



9

Cuestión 10

El movimiento que describe la Luna alrededor de La Tierra es un movimiento que,

como muy buena aproximación, lo podemos considerar también como un mcu.

a) A partir de los datos de la tabla siguiente trata de completar el resto de la tabla. b) Si la Luna está mucho más cerca de la Tierra de lo que está Mercurio del Sol, ¿por qué crees

que no se mueve con mayor rapidez que éste?

Satélite Distancia media a la

Tierra (106 km)

Período

(días)

Velocidad

(km/h) (km/s)

Luna 0,4 28

Cuestión 11

Nuestra estrella, el Sol, pertenece a la Vía Láctea,

galaxia con forma de espiral formada por billones

más de estrellas. A partir de los datos que aparecen

en la imagen, determina el tiempo que tarda el Sol

en dar una vuelta completa en torno al centro de la

galaxia arrastrando consigo a todo el sistema solar.

(La distancia del sistema solar al centro de la

galaxia es de 26.100 años-luz) (Rdo. T=205 millones de años)

Cuestión 12

En el modelo atómico de Rutherford, el movimiento que describe

un electrón alrededor del núcleo de un átomo puede considerarse

también como un mcu. En el caso del átomo de hidrógeno, el

electrón gira en torno al protón a una distancia de 0,5 A

(1A=1010 m) y con una velocidad de unos 2.250 km/s.

Determina el período de su movimiento. ¿Sabrías calcular el

número de vueltas que da en 1 segundo?

Para movimientos periódicos (como es el mcu) cuyo período sea muy pequeño la misma

posición se repite muy frecuentemente. En estos casos conviene introducir una nueva

magnitud que llamamos, precisamente, frecuencia f del movimiento. Si el período

representa el tiempo que se tarda en dar una vuelta, la frecuencia representa lo contrario,

es decir, el número de vueltas que se producen en cada segundo, y su unidad es el

hertzio (1Hz=1s-1). Por tanto:

1f

T

Cuestión 13

Determina en Hz la frecuencia de Mercurio, La Tierra y Neptuno a partir de los datos

de la tabla de la cuestión 9. ¿Cuál de las dos magnitudes, T ó f, te parece más

apropiada para caracterizar el movimiento circular de los planetas? ¿Y para

caracterizar el movimiento circular de los electrones?



10

Hasta ahora hemos hablado del movimiento circular que

describen algunos cuerpos en torno a un punto central en el

que se sitúa otro cuerpo diferente: un planeta en torno al

Sol, la Luna en torno a la Tierra, un electrón en torno a un

núcleo, etc. Pero imaginemos ahora el movimiento circular

que describen los diferentes puntos de un cuerpo que gira en

torno a un eje que lo atraviesa. Por ejemplo, el movimiento

circular que describe cada uno de los puntos de un CD, o el

movimiento circular que cada uno de nosotros describimos

diariamente en torno al eje de rotación de la Tierra, o el

movimiento circular que describe cada estrella de una

galaxia espiral en torno al eje de rotación de la galaxia, etc.

En estos casos, un punto que esté más alejado del

eje de giro se mueve con mayor velocidad que otro

situado más cerca, pues el primero recorrerá un

arco de circunferencia de mayor longitud en el

mismo intervalo de tiempo. Sin embargo, todos los

puntos barren el mismo ángulo en el mismo

intervalo de tiempo, razón por la cual resulta

cómodo introducir magnitudes relacionadas con el

ángulo barrido, pues así el movimiento de todos los

puntos podrá ser descrito con una única ecuación

que considere ángulos en vez de distancias. Pero no

debes de preocuparte por tener que asimilar más

conceptos, ya que todo ello va encaminado a

facilitar enormemente la descripción de estos

movimientos que tan importantes resultan en la naturaleza.

Magnitudes angulares útiles para describir el mcu

En el estudio del movimiento circular, la posición del

móvil se expresa mediante la posición angular , es

decir, mediante el ángulo formado por un radio que se

toma como origen de ángulos y el radio que señala la

posición del móvil en el instante considerado. Además,

se establece también un criterio de signos para ángulos

positivos y negativos. En cuanto al cambio de posición

ocurrido en un determinado intervalo, se expresa como

el desplazamiento angular . El ritmo al que cambia la

posición angular con el tiempo se expresa mediante la

velocidad angular , definida como:

0

0

( )

( )

f

ft t t

De ahí, se deduce fácilmente que para cualquier instante de tiempo t:

0 t

ROTACIÓN DE LA TIERRA

r

R

0

f=0



11

ev

t

t

La siguiente tabla resume las magnitudes que se utilizan para describir el movimiento

circular uniforme, y en ella se puede apreciar claramente la correspondencia existente

entre las magnitudes angulares y las lineales:

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Radio r Período T Frecuencia f

Magnitudes lineales

Velocidad v=cte

Desplazamiento e

Posición e=e0+v·t

Magnitudes angulares

Velocidad angular =cte

Desplazamiento angular

Posición angular =0+·t

Relación entre las magnitudes lineales y las angulares

Tanto la posición angular como el desplazamiento angular podrían medirse en grados,

pero es más conveniente hacerlo en radianes porque así es muy sencillo relacionar las

magnitudes lineales (e, v) con las angulares (, ).

Un radián es la unidad internacional que se utiliza para expresar

la medida de un ángulo, y corresponde al ángulo tal que la

longitud del arco que abarca mide lo mismo que el radio que lo

describe (ver figura de la derecha).

Para averiguar entonces cuántos

radianes miden cualquier ángulo

como el de la figura de la izquierda tendríamos que saber

cuántas veces contiene la longitud del arco e al radio r.

Es decir: e

r

Cuestión 14

a) Determina a cuántos radianes equivalen los siguientes

ángulos expresados en grados: 360º, 180º, 90º, 60º, 45º.

b) ¿A cuántos grados equivale un radián?

A partir de aquí, es fácil determinar las expresiones que nos permiten relacionar las

magnitudes lineales con las angulares:

e r e r

v rt t

v r

Por otro lado, la expresión que nos permite relacionar la velocidad angular con el

período T o con la frecuencia f vendrá dada por:

22 f

t T

2

2 fT

Se puede ver fácilmente que si el desplazamiento angular lo expresamos en radianes, la

velocidad angular se expresará en rad/seg.

e

r



12

Finalmente, cabe destacar que si en un mcu la rapidez no cambia, no habrá entonces

aceleración tangencial (atg=0). Sin embargo, la dirección del vector velocidad sí que

cambia, y lo hace siempre al mismo ritmo. Por tanto, existirá una aceleración normal

cuyo valor será constante y que será mayor cuanto más rápido se mueva el cuerpo y

cuanto más cerrada sea la curvatura, es decir, cuanto menor sea el radio de la

circunferencia. Se puede demostrar (y no lo vamos a hacer en este año), que para todo

mcu la aceleración normal toma la siguiente expresión (que nos va a acompañar ya el

resto del curso):

2

n

va

r

Cuestión 15

a) Hallar la frecuencia del movimiento, la velocidad

angular y la velocidad lineal de un punto del Ecuador

terrestre sabiendo que el radio de la Tierra es

aproximadamente de 6.380 km.

b) Repite el ejercicio anterior, pero ahora para un punto

situado en el Trópico de Cáncer.

c) Repite el ejercicio anterior, pero ahora para un punto

situado en el Polo Norte.

d) Calcula, en cada uno de los tres casos anteriores, el

desplazamiento lineal y el desplazamiento angular (en

radianes y en grados) sufrido en el intervalo de una

hora.

Cuestión 16

a) Hallar la frecuencia del movimiento, la velocidad angular y la velocidad lineal con

la que se desplazan los habitantes de Almería arrastrados por el movimiento de

rotación de la Tierra. Busca en internet los datos que necesites.

b) Completa la siguiente tabla con todos los resultados de la cuestión anterior y del

apartado a) de esta cuestión. ¿Por qué crees que se introducen las magnitudes

angulares para el estudio del movimiento circular?

Lugar Latitud (ºN) T (h) (rad/s) v (km/h) (rad) en 1 h

e (km) en 1 h

Ecuador

T. Cáncer

Polo Norte

Almería



13

Cuestión 17

La Luna siempre ofrece la misma cara a la Tierra

debido a que su período de rotación se ha igualado

a su período de traslación (27,3 días). Determina la

velocidad angular (en rad/s) con la que gira

cualquier punto situado sobre la superficie de la

Luna. ¿Cómo será la velocidad angular de otro

punto situado en el interior del satélite terrestre,

mayor o menor que la anterior?

Cuestión 18

Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con MCU de 384.000 km de radio

y sabiendo que emplea 27’3 días en dar una vuelta completa en torno a nosotros, se

pide:

a) Rapidez angular de la Luna en rad/s y rapidez lineal en km/h

b) Distancia en km que recorre la Luna cada semana. Representa esa distancia en un dibujo. c) Desplazamiento angular (en radianes y en grados) descrito por la Luna en una semana.

Representa también ese desplazamiento angular en el dibujo d) Aceleración normal de la Luna en m/s2. Explica por qué sale un valor tan bajo.

e) ¿Cuánto valdrá la aceleración tangencial de la Luna en su movimiento alrededor de la

Tierra? Explica tu respuesta

Cuestión 19

Suponiendo que la Tierra gira alrededor del Sol

con MCU de 150.000.000 km de radio, se pide:

a) Rapidez angular de la Tierra en rad/s y

rapidez lineal en km/h

b) Distancia en km que recorre la Tierra cada mes.

Representa esa distancia en un dibujo. c) Desplazamiento angular (en radianes y en

grados) descrito por la Tierra en un mes.

Representa también ese desplazamiento angular en el dibujo d) Aceleración normal de la Tierra en m/s2. Trata de explicar por qué sale un valor

tan bajo.

e) ¿Cuánto valdrá la aceleración tangencial de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol?

Explica tu respuesta

Cuestión 20

Otra unidad que se utiliza mucho para expresar la velocidad

angular es la de revoluciones por minuto (rpm). Una lavadora, por

ejemplo, puede centrifugar a 500 rpm, mientras

que un taladro puede girar a unas 2.500 rpm.

Explica el significado de esos datos técnicos y

determina a continuación la frecuencia de

trabajo (en Hz) y la velocidad angular (en

rad/s) de las dos máquinas anteriores.

Rotación de la Luna



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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

CUANDO LA TRAYECTORIA NO SE CONOCE DE ANTEMANO

Cuando la trayectoria no se conoce de antemano con exactitud no podemos describir el

movimiento a partir de la posición e que ocupa el móvil con respecto a un origen de

referencia y medida sobre la trayectoria. Es por ello que necesitamos introducir otras

magnitudes cinemáticas relacionadas con la posición y que sean útiles a la hora de

describir el movimiento. El único movimiento que nos vamos a encontrar de estas

características a lo largo de este curso de Física y Química es el movimiento parabólico

que describe un objeto lanzado no verticalmente en las cercanías de la superficie

terrestre. Si te fijas en las siguientes imágenes puedes comprobar que todos ellos

transcurren en un solo plano, es decir, que son movimientos en dos dimensiones.

Cuando despreciamos el rozamiento con el aire, de manera que sólo haya movimiento

bajo la influencia de la gravedad terrestre, sabemos que la trayectoria de todos estos

cuerpos tiene forma de parábola, pero no exactamente qué parábola (por eso no

conocemos con exactitud la trayectoria de antemano).

Si hacemos un estudio detallado del

movimiento de la bala de la figura de la

derecha podemos observar que la

distancia que recorre en cada segundo

en la dirección horizontal es siempre la

misma, por lo que se trata de un

movimiento uniforme. Sin embargo, en

la dirección vertical cada segundo que

pasa recorre más distancia, tratándose

de un movimiento uniformemente

acelerado exactamente igual que el de

caída libre. Como ya sabemos analizar

cada uno de ellos, cabe esperar que sea

más sencillo abordar dos problemas simples por separado (un mu en la horizontal y un

mua en la vertical) que no un sólo problema más complejo. Esa es la clave para abordar

el estudio de los movimientos cuya trayectoria no conocemos de antemano (siempre y

cuando sepamos analizar el movimiento en cada dirección por separado).

¡ Es el momento de visualizar unos vídeos

que ponen de manifiesto esta independencia !



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Así pues, escogiendo un origen de referencia adecuado en común para las dos

direcciones y estableciendo el criterio de signos apropiado para cada dirección podemos

escribir las ecuaciones del movimiento para cada una de ellas por separado:

Las tres ecuaciones recuadradas son las herramientas de las que dispondremos para

resolver cualquier problema relacionado con el movimiento parabólico. Si te das cuenta,

en la caída libre disponíamos sólo de dos ecuaciones (una para la posición y otra para la

velocidad). Así pues, no es más complicado resolver este tipo de problemas. Tan sólo

hay que saber escribir bien las ecuaciones para cada caso e identificar los datos

apropiados.

Una forma muy habitual de expresar las magnitudes cinemáticas (posición, velocidad y

aceleración) en estos casos es haciendo uso del lenguaje vectorial, pero tampoco es

imprescindible. Se trata de expresar las componentes de cada magnitud como pares

ordenados, de la misma manera que se hace con los vectores:

Vector de posición

2

0 0 0 0

1( , ) ( , )

2x yr x y x v t y v t gt

Vector velocidad

0( , ) ( , )x y x yv v v v v gt

Vector aceleración

( , ) (0, )x ya a a g

Sólo hay una magnitud que relaciona ambos movimientos: se trata del tiempo.

Consideramos siempre el mismo instante inicial t0=0 para ambos movimientos, de

forma que el tiempo transcurrido en una dirección debe de ser el mismo que el

transcurrido en la otra.

@ En el siguiente enlace puedes visualizar muy bien con una animación el

movimiento parabólico y la evolución de las magnitudes cinemáticas que lo

gobiernan. También puedes encontrar el enlace en mi blog.

http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htm

Dirección horizontal

Eje x

mu

0xa

0x xv v cte

0 0xx x v t

Dirección vertical

Eje y

mua

ya g cte

0y yv v gt

2

0 0

1

2yy y v t gt

x

y

x

y

a

v

r

http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htm



16

En los casos en los que no conocemos la trayectoria de antemano no tiene sentido

trabajar con las componentes intrínsecas de la aceleración (atg y an) ya que, al no

conocer la trayectoria, no sabemos en cada momento cuál es la componente tangencial

ni cuál la normal. Es por ello que solemos trabajar con las componentes cartesianas x e

y. Sin embargo, eso no quita para que podamos, al menos, realizar un análisis

cualitativo del movimiento parabólico a partir de las componentes intrínsecas de la

aceleración.

Cuestión 21

Con ayuda del siguiente dibujo, dibuja las

componentes intrínsecas de la aceleración en cada

uno de los tres instantes representados y responde a

las siguientes cuestiones:

a) Justifica por qué es curvilínea la trayectoria en

cada instante.

b) Justifica por qué en unos instantes la curva de la

trayectoria es más cerrada y en otros más abierta.

c) Justifica por qué al subir el movimiento es cada vez

más lento y al bajar es cada vez más rápido.

d) El movimiento parabólico no es un mua en contra

de lo que mucha gente cree. Explica por qué no lo es.

EL TIRO HORIZONTAL

Un caso particular del movimiento parabólico es el tiro horizontal, que se presenta en

situaciones en las que el cuerpo es lanzado inicialmente en la dirección horizontal desde

una altura h y con una rapidez inicial v0. (Datos: v0, h, g)

En todos estos casos, eligiendo adecuadamente el origen de referencia para que la

componente x de la posición inicial sea nula, las ecuaciones del movimiento que nos

quedan son:

0x v t

21

2y h gt

yv gt

0

0

0 0

0

0

0

x

y

x

y h

v v

v

Condiciones

iniciales



17

En este caso existen dos características importantes de este tipo de movimiento que

conviene saber calcular:

- Por un lado hay que saber encontrar la ecuación de la trayectoria, que no es más

que una función que exprese cómo depende la posición y en función de la posición

x. Es decir, se trata de encontrar la función y=f(x)

- Por otro lado hay que saber calcular también el alcance A del tiro horizontal, que no

es más que el valor de x cuando se alcanza el suelo (y=0).

Problema 9

A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro horizontal, demuestra

que el alcance viene dado por la expresión:

Problema 10

a) A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro horizontal,

demuestra que la forma de la trayectoria viene dada por la función:

b) Para el caso de un objeto lanzado horizontalmente desde 100 m de

altura con una rapidez inicial de 80´5 km/h, y tomando g=10 m/s2, construye una tabla

y la correspondiente gráfica y(x) para demostrar la forma parabólica de la trayectoria.

Problema 11

Desde lo alto de una torre de 50 m se lanza horizontalmente un proyectil con una

rapidez inicial de 160 m/s. a) Calcula a qué distancia “A” de la base de la torre

impactará contra el suelo (alcance). b) Calcula la rapidez con la que chocará contra el

suelo. c) Si al mismo tiempo que se lanza ese proyectil se deja caer desde el mismo

punto otro de doble masa ¿Cuál de los dos llegará antes al suelo?

(Rdo. a) A=506 m, v=163 m/s; Con rozamiento despreciable, ambos tardan 3,16 s)

Problema 12

Un avión de carga vuela siguiendo el curso de

un río. Justo en el momento en que se

encuentra sobre la vertical de un puente,

pierde uno de los fardos que transporta.

Sabiendo que el río en esa zona discurre en

línea recta y que el avión volaba a 1000 m de

altura con una rapidez de 800 km/h,

determina a qué distancia del puente habría

que buscar dicho fardo. (Desprecia el

rozamiento con el aire).

(Rdo. A=3.174’6 m)

Problema 13

Una pelota rueda sobre una mesa horizontal a 1’5 m de altura del suelo, cayendo por el

borde de la misma. Si choca con el suelo a una distancia de 1’8 m, medidos

horizontalmente desde el borde de la mesa. ¿Cuál es la rapidez con la que salió de la

mesa?

(Rdo. v=3’27 m/s)

2

2

02

gy h x

v

0

2hA v

g



18

EL TIRO OBLICUO

Otro caso particular del movimiento parabólico es el tiro oblicuo, que se presenta en

situaciones en las que el cuerpo es lanzado inicialmente desde el suelo con un ángulo de

inclinación sobre la horizontal y con una rapidez inicial v0. (Datos: v0, , g)

En todos estos casos, eligiendo adecuadamente el origen de referencia para que las

componentes x e y de la posición inicial sean nulas, las ecuaciones del movimiento que

nos quedan son:

Las dos características importantes

de este tipo de movimiento que

conviene saber calcular son:

- Por un lado hay que saber

encontrar la altura máxima

hmax, que no es más que el valor

de y cuando la componente

vertical de la velocidad se anula,

es decir, cuando vy=0.

- Por otro lado hay que saber

calcular también el alcance A

del tiro horizontal, que no es

más que el valor de x cuando el

cuerpo alcanza el suelo, es

decir, cuando y=0.

Problema 14

a) A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro oblicuo,

demuestra que el alcance viene dado por la expresión:

b) Determina para qué ángulo de lanzamiento es máximo el alcance.

Problema 15

A partir de las ecuaciones del movimiento del tiro oblicuo,

demuestra que la altura máxima viene dada por la expresión:

Condiciones

iniciales

0

0

0 0

0 0

0

0

cosx

y

x

y

v v

v v sen

0 cosx v t

2

0

1

2y v sen t gt

0yv v sen gt

2

0 2v senA

g

2 2

0max

2

v senh

g



19

Problema 16

Mario es saltador de longitud. Inicia un

salto con una rapidez de 32 km/h y un

ángulo con la horizontal de 38º.

Despreciando el rozamiento con el aire:

a) Determina la marca conseguida.

b) ¿Cómo podría mejorar al máximo su

marca si es incapaz de correr más rápido?

¿Cuál sería esa nueva marca?

Problema 17

Se lanza un proyectil con una rapidez inicial de 720

km/h y con una elevación de 45º sobre la horizontal

para que el alcance sea máximo. El punto de

lanzamiento se encuentra sobre un acantilado de

150 m de altura sobre el nivel del mar. Determina

la altura máxima que alcanza el proyectil sobre el

nivel del mar y razona cómo afectará el rozamiento

con el aire al valor de esa altura máxima.

Sol: max 1170,4h m

Problema 18

Laurita es gimnasta. Si se mueve en línea recta con

rapidez constante de 21 km/h y lanza verticalmente una

pelota con una rapidez inicial de 40 km/h. Determina la

altura que se elevará la pelota y la distancia del punto

de lanzamiento a la que Laurita recogerá la pelota.

Sol: a)

2

0

max 6,32

yvh m

g ; b)

0 0213,23

x yv vd m

g

Problema 19

Un intrépido motorista pretende saltar una fila de

camiones dispuestos a lo largo de 45 m. La rampa

de despegue es de 20º y aterriza en otra rampa

similar de la misma altura. Si en el momento del

despegue su velocímetro marcaba 90 km/h, ¿cuál

es el futuro inmediato de nuestro abnegado héroe:

la gloria o el hospital? Demuéstralo.

Sol: HOSPITAL !!

Existe el caso más general de tiro parabólico que incluye los dos estudiados aquí, que es

cuando el lanzamiento se realiza desde una determinada altura sobre el suelo y con un

determinado ángulo de inclinación. El tratamiento que se hace es similar al del tiro

oblicuo, pero aparece la dificultad matemática añadida de un término independiente en

la ecuación para la componente vertical de la posición inicial. Esto conlleva la

resolución de ecuaciones de segundo grado que hace más engorroso el tratamiento. Este

curso no vamos a tratar este tipo de problemas. De todos modos, esa situación se

simplifica al tiro oblicuo estudiado si colocamos adecuadamente el eje horizontal para

que y0 se anule, tal y como se puede comprobar en el siguiente problema.



20

Problema 20 (*)

¿Con qué velocidad inicial

(módulo v0 y dirección ) tendrá

que lanzar la pelota el jugador

de básquet de la figura para que

pueda entrar en la canasta y

hacer un triple? La distancia

entre la vertical de la bola y

vertical de la canasta es de 6’25

m. La bola sale desde 1’6 m de

altura y la canasta está a 3 m

sobre el suelo. ¿Existe realmente

una única opción?

Rdo.:

2

0 2( ) cos

f

f f

g xv

x tag y

f

f

ytag

x 12'63ºtag

(Por ejemplo, si =45º v0=8’88 m/s)

¡Fin!



21

Si, para terminar, quieres practicar más problemas relacionados con el tiro oblicuo puedes realizar los siguientes ejercicios algo

más complicados y así reforzar lo aprendido.

¡¡ Puedes llegar a subir hasta 0,5 punto la nota de este tema !!

1. Un arquero, realizando el máximo esfuerzo, es capaz de impulsar

una flecha con una rapidez inicial de 300 km/h. Si el ángulo de

disparo es de 30º, la flecha da justo en el blanco.

a) Indica razonadamente si, con los datos de la figura, la flecha

pasará por encima del obstáculo. Realiza los cálculos necesarios.

b) En caso negativo, indica si habrá alguna forma de conseguir que

la flecha llegue al blanco. Realiza los cálculos necesarios.

2. Un cazador apunta

directamente a un mono

situado en la rama de un árbol:

a) ¿Alcanzará la bala al mono?

Imagina al mono como un

objeto puntual.

b) Si en el mismo instante del

disparo el mono se asusta y

se deja caer, ¿se salvará el

primate? Realiza los cálculos necesarios.

(Sol: a) Nunca lo alcanzará porque... b) No se salvará porque…)

306,84m

150 m

tema1 cinemÁtica el movimiento de los cuerpos · en este primer tema estudiaremos cinemÁtica, es...

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