tema 3 probabilidad

PROBABILIDAD FPB2

SERGIO SALOBREÑA LUCENA

VÉLEZ-MÁLAGA Y ARENAS

FENÓMENOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS

• DETERMINISTAS: SON AQUELLOS CUYOS RESULTADOS SOMOS CAPACES DE PREDECIR. ESTOS FENÓMENOS SON ESTUDIADOS POR LA FÍSICA, LA QUÍMICA, LA BIOLOGÍA… EJ: LANZAR UNA PIEDRA AL AIRE ES UN FENÓMENO DETERMINISTA, PORQUE EL ÚNICO RESULTADO POSIBLE ES QUE LA GRAVEDAD LA DEVUELVA AL SUELO.

•ALEATORIOS: SON AQUELLOS CUYOS RESULTADOS NO SOMOS CAPACES DE PREDECIR. ESTOS FENÓMENOS SON ESTUDIADOS POR LA ESTADÍSTICA Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES… EJ: LANZAR UNA MONEDA AL AIRE ES UN FENÓMENO ALEATORIO, PORQUE NO SOMOS CAPACES DE PREDECIR SI SALDRÁ CARA O CRUZ.

ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS

• EL ESPACIO MUESTRAL (E) DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO ES EL CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES. EJ. LANZAMOS UNA MONEDA AL AIRE:E= CARA, CRUZ

EJ. LANZAMOS 2 MONEDAS AL AIRE:E = (CARA,CARA), (CARA, CRUZ), (CRUZ, CARA), (CRUZ, CRUZ)

•UN SUCESO ALEATORIO ES CADA UNO DE LOS SUBCONJUNTOS DEL ESPACIO MUESTRAL. PARA NOMBRARLOS SE UTILIZAN LETRAS MAYÚSCULAS: A,B,I,C. EJ: LANZAMOS UN DADO NUMERADO.E= 1,2,3,4,5,6.

SALIR UN Nº PAR. P= 2,4,6 SALIR Nº<3. A= 1,2

EJERCICIOS

1. INDICA CUAL DE LOS SIGUIENTES FENÓMENOS ES ALEATORIO (A) Y CUAL ES DETERMINISTA (D):

A) LANZAR UNA PELOTA AL AIRE_____D_____B) LA SELECCIÓN ESPAÑOLA GANA LA EUROCOPA____C) EL SEXO DE UN FETO____D) PRONOSTICAR UN TSUNAMI_____E) PRONOSTICAR QUE MAÑANA LLOVERÁ____F) SABER QUE DÍA DE LA SEMANA ES MAÑANA____G) QUE ENCIENDA LA LUZ AL DARLE AL INTERRUPTOR___

2. DESCRIBE EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A LOS SIGUIENTESEXPERIMENTOS ALEATORIOS:H) LANZAR 2 DADOS.I) LANZAR UN DADO Y UNA MONEDA.J) LANZAR 2 DADOS Y SUMAR SUS RESULTADOS.K) LANZAR 2 MONEDAS Y SUMAR SUS RESULTADOS.L) SACAR UNA BOLA DE UNA URNA CON BOLAS BLANCAS Y

VERDES.

TIPOS DE SUCESOS

• UN SUCESO ELEMENTAL ES CADA UNO DE LOS SUCESOS FORMADOS POR UN ÚNICO ELEMENTO DEL ESPACIO MUESTRAL.EJ. LANZAMOS UN DADO NUMERADO. ESPACIO MUESTRAL: E= 1,2,3,4,5,6. SUCESOS ELEMENTALES: A=(1), B=(2), C=(3), D=(4), E=(5), F=(6).

•UN SUCESO COMPUESTO ES CUALQUIER SUCESO FORMADO POR DOS O MÁS SUCESOS ELEMENTALES. EJ: LANZAMOS UN DADO NUMERADO.ESPACIO MUESTRAL: E= 1,2,3,4,5,6. SUCESO COMPLEJO: SALGA UN Nº PAR: P=(2,4,6).

EJERCICIOS

3. SI SACAMOS UNA BOLA DE UNA URNA QUE CONTIENE BOLAS ROJAS, BLANCAS Y NEGRAS. INDICA SI SON VERDADERAS O FALSAS ESTAS AFIRMACIONES:

A) EL SUCESO R= (ROJA) ES UN SUCESO COMPUESTO.B) EL SUCESO T= (ROJA, NEGRA) ES UN SUCESO COMPUESTO.C) EL SUCESO N= (NEGRA) ES UN SUCESO ELEMENTAL.

4. SI EL EXPERIMENTO CONSISTE EN SACAR UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA. DI SI LOS SIGUIENTES SUCESOS SON ELEMENTALES O COMPUESTOS:

D) SACAR EL AS.E) SACAR EL REY DE COPAS.F) SACAR UNA ESPADA.G) SACAR EL 4 DE BASTOS.

TIPOS DE SUCESOS

• UN SUCESO IMPOSIBLE ES EL QUE NUNCA SE CUMPLE. EJ: LANZAR UN DADO DE 6 CARAS NUMERADAS Y SALE EL Nº7.

•UN SUCESO SEGURO ES AQUEL QUE SIEMPRE SE CUMPLE. EJ: LANZAR UN DADO DE 6 CARAS NUMERADAS Y SACAR ALGÚN NÚMERO ENTRE 1 Y 6.

• UN EXPERIMENTO ALEATORIO COMPUESTO ES AQUEL QUE ESTÁ FORMADO POR DOS O MÁS EXPERIMENTOS SENCILLOS. EJ: EXTRAER VARIAS BOLAS DE UNA URNA.

EL ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO COMPUESTO SERÁ EL PRODUCTO DE LOS RESULTADOS DE CADA UNO DE LOS EXPERIMENTOS SENCILLOS QUE LO COMPONEN. EJ: LANZAMOS UN DADO Y UNA MONEDA. HAY 6 RESULTADOS POSIBLES AL LANZAR UN DADO Y 2 RESULTADOS POSIBLES AL LANZAR UNA MONEDA. RESULTADOS POSIBLES: 6X2= 12.

E=(1,CARA),(2,CARA),(3,CARA),(4,CARA),(5,CARA),(6,CARA),(1,CRUZ),(2,CRUZ), (3,CRUZ), (4,CRUZ), (5,CRUZ), (6,CRUZ).

ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO COMPUESTO

• PARA CONOCER EL ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO COMPUESTO SE PUEDE UTILIZAR CUALQUIERA DE LAS SIGUIENTES HERRAMIENTAS:

- TABLA DE DOBLE ENTRADA: SE UTILIZA EN LOS CASOS EN QUE SE COMBINAN DOS EXPERIMENTOS SENCILLOS; LOS RESULTADOS DE UNO SE COLOCAN EN EL EJE VERTICAL Y DEL OTRO EN EL EJE HORIZONTAL. EJ. SE LANZAN 2 DADOS.

ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO COMPUESTO

- DIAGRAMA DE ÁRBOL: SE UTILIZA CUANDO SE COMBINAN DOS O MÁS EXPERIMENTOS SENCILLOS. SE DIBUJA UNA RAMA PARA CADA UNA DE LAS POSIBILIDADES DEL PRIMER EXPERIMENTO. AL FINAL DE CADA UNA DE ESTAS RAMAS, SE TRAZAN NUEVAS RAMAS CON CADA UNA DE LAS POSIBILIDADES DEL SEGUNDO EXPERIMENTO, Y ASÍ SUCESIVAMENTE. EJ: SE TIENEN 2 PANTALONES Y 3 CAMISETAS, ESCOGER UN PANTALÓN Y UNA CAMISETA.

C1 P1 C2

C3

C1 P2 C2

C3E= (P1,C1), (P1,C2), (P1,C3), (P2,C1), (P2,C2), (P2,C3)

EJERCICIOS

5. LANZAMOS UN DADO Y EXTRAEMOS UNA BOLA DE UNA URNA QUE CONTIENE UNA BOLA BLANCA, UNA ROJA, UNA AZUL Y UNA VERDE. CONSTRUYE UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA PARA CONOCER EL ESPACIO MUESTRAL DEL EXPERIMENTO.

6. CONSTRUYE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA CONOCER EL ESPACIO MUESTRAL DE LOS SIGUIENTES EXPERIMENTOS:A) LANZAR 3 MONEDAS.B) COMBINAR 3 PLATOS PRINCIPALES Y 3 POSTRES.

OPERACIONES CON SUCESOS

DADOS DOS SUCESOS A Y B DE UN ESPACIO MUESTRAL E, SE PUEDE OPERAR CON ELLOS Y OBTENER OTROS SUCESOS:

1. SUCESO COMPLEMENTARIO(AC): EL SUCESO COMPLEMENTARIO DE UN SUCESO A SERÁ EL SUCESO FORMADO POR TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES DEL ESPACIO MUESTRAL QUE NO ESTÁN EN A.

E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4)

AC= (5,6,7,8,9,10)

2. SUCESO DIFERENCIA (A-B): EL SUCESO DIFERENCIA DE DOS SUCESOS A Y B SERÁ EL FORMADO POR LOS SUCESOS ELEMENTALES DE A QUE NO ESTÁN EN B. SE CUMPLE CUANDO SUCEDE A, PERO NO B.

E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4)B= (1,2,5,6,7,8)

A-B= (3,4)

EJERCICIOS

7. EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UN DADO DE 6 CARAS, CONSIDERAMOS ESTOS SUCESOS: A=“SALIR UN NÚMERO PAR”=(2,4,6), B=“SALIR UN NÚMERO IMPAR”=(1,3,5), C= “SALIR UN NÚMERO MENOR QUE 3”=(1,2), D=“SALIR EL NÚMERO 3”=(3).

A) DESCUBRE EL SUCESO COMPLEMENTARIO DE A.B) DESCUBRE EL SUCESO COMPLEMENTARIO DE B.C) CALCULA EL SUCESO DIFERENCIA DE A Y C.D) CALCULA EL SUCESO DIFERENCIA DE B Y C.E) CALCULA EL SUCESO DIFERENCIA DE B Y D.


3. SUCESO UNIÓN(AUB): EL SUCESO UNIÓN DE 2 SUCESOS A Y B, ES EL SUCESO FORMADO AL REUNIR LOS SUCESOS ELEMENTALES DE A Y LOS SUCESOS ELEMENTALES DE B. ES DECIR, SE CUMPLE CUANDO SE CUMPLE A O SE CUMPLE B.

E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4) B= (1,2,5,6,7,8)

AUB= (1,2,3,4,5,6,7,8)

2. SUCESO INTERSECCIÓN (AΩB): EL SUCESO INTERSECCIÓN DE DOS SUCESOS A Y B SE FORMA CON LOS SUCESOS ELEMENTALES QUE TIENEN EN COMÚN A Y B. SE CUMPLE CUANDO SE CUMPLEN A Y B.

E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4)B= (1,2,5,6,7,8)

AΩB= (1,2)


DOS SUCESOS SON INCOMPATIBLES SI NO TIENEN NINGÚN SUCESO ELEMENTAL EN COMÚN.

E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,4,6) B= (3,5,7,9)

AΩB= Ф

DOS SUCESOS SON COMPATIBLES SI TIENEN ALGÚN SUCESO ELEMENTAL EN COMÚN.

E= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) A= (1,2,3,4)B= (1,2,5,6,7,8)

AΩB≠ Ф

EJERCICIOS

8. EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UN DADO DE 6 CARAS, CONSIDERAMOS ESTOS SUCESOS: A=“SALIR UN NÚMERO PAR”=(2,4,6), B=“SALIR UN NÚMERO IMPAR”=(1,3,5), C= “SALIR UN NÚMERO MENOR QUE 3”=(1,2), D=“SALIR EL NÚMERO 3”=(3).

A) ¿ SON COMPATIBLES A Y B?B) ¿SON COMPATIBLES A Y C?C) ¿SON COMPATIBLES A Y D?D) ¿SON COMPATIBLES B Y D?.E) ¿SON COMPATIBLES C Y D?

EJERCICIOS

9. TENEMOS 2 URNAS CON 9 BOLAS CADA UNA NUMERADAS DEL 1 AL 9. SE SACA UNA BOLA DE CADA URNA SIMULTÁNEAMENTE Y SE ANOTAN LOS NÚMEROS QUE SALEN. CONSIDEREMOS LOS SUCESOS A= “SALIR UN NÚMERO PRIMO”= (1,2,3,5,7) Y B= “SALIR EL CUADRADO DE UN NÚMERO”= (4,9). ENCUENTRA:

A) EL SUCESO UNIÓN DE A Y B. (AUB)B) EL SUCESO INTERSECCIÓN DE A Y B. (AΩB)C) LOS SUCESOS A Y B ¿SON COMPATIBLES O

INCOMPATIBLES?.D) LOS SUCESOS COMPLEMENTARIOS DE A Y B. (AC) Y

(BC)

PROBABILIDAD DE UN SUCESO• UN SUCESO IMPOSIBLE ES AQUEL QUE NUNCA SUCEDE, POR LO QUE SU

PROBABILIDAD ES 0%. P(E)=0. EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA 7 EN UN DADO.

P(E)=0• UN SUCESO SEGURO ES AQUEL QUE SIEMPRE SUCEDE, POR LO QUE SU

PROBABILIDAD ES DEL 100%. P(A)=1. EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA EN UN DADO UN NÚMERO DEL 1 AL 6.

P(A)=1• LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO (S) QUE NO SEA NI IMPOSIBLE NI SEGURO,

SE ENCUENTRA ENTRE 0 Y 1. EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA UN NÚMERO PAR AL TIRAR UN DADO.

P(S)= 0,5SI UN SUCESO ES POCO PROBABLE SU PROBABILIDAD SERÁ CERCANA A CERO. EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA 1 AL TIRAR UN DADO.

P(S)=1/6= 0,17

SI UN SUCESO ES MUY PROBABLE SU PROBABILIDAD SERÁ CERCANA A UNO. EJ. PROBABILIDAD DE QUE SALGA UN NÚMERO ENTRE 1 Y 5 AL TIRAR UN DADO.

P(S)=5/6= 0,83

EJERCICIOS

10. LANZAMOS UNA CHINCHETA AL AIRE.

A) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CAIGA DE CABEZA?

B) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CAIGA DE PUNTA?

11. UN AUXILIAR DE VUELO ANOTA LA PROCEDENCIA DE 100 TURISTAS:

C) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN TURISTA SEA ALEMÁN?

D) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN TURISTA SEA CHINO?

REGLA DE LAPLACEUN ESPACIO MUESTRAL EQUIPROBABLE ES AQUEL EN EL QUE TODOS

LOS SUCESOS TIENEN LAS MISMAS POSIBILIDADES DE OCURRIR. EJ. AL TIRAR UN DADO TENEMOS LAS MISMAS POSIBILIDADES DE QUE SALGA UN 1,2,3,4,5,6.

• EN UN ESPACIO MUESTRAL EQUIPROBABLE(E), LA REGLA DE LAPLACE DICE QUE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO A SERÁ:

EJEMPLO: EN UNA CLASE DE 42 ALUMNOS, 24 SON CHICAS Y 18 CHICOS. SEA EL SUCESO A= “ESCOGER UNA ALUMNA AL AZAR”, SU PROBABILIDAD ES:

EJERCICIOS

12. SE SACA UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS. HALLA LA PROBABILIDAD DE SACAR:

A) UNA FIGURA.B) UNA SOTA.C) UN 3 O UN 6.D) EL REY DE ESPADAS.E) UNA CARTA QUE NO SEA DE OROS.F) UNA FIGURA DE BASTOS.

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD• LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES UN NÚMERO ENTRE 0 Y 1.

0 ≤P(A)≤1

• LA PROBABILIDAD DEL SUCESO SEGURO ES 1 Y DEL SUCESO IMPOSIBLE ES 0.

P(E)= 1 P(Ф)=0• LA PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE 2 SUCESOS COMPATIBLES ES LA SUMA DE SUS PROBABILIDADES MENOS LA PROBABILIDAD DE SU INTERSECCIÓN:

P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AΩB)EJ: 67% ENTRADA AL CINE. P(A)=0,67 64% ENTRADA AL TEATRO P(B)=0,63 38% ENTRADAS PARA AMBOS P(AΩB)=0,38

P DE ELEGIR A ALGÚN COMPAÑERO AL AZAR QUE HALLA COMPRADO ALGUNA ENTRADA=P(AUB)

• LA PROBABILIDAD DEL SUCESO COMPLEMENTARIO ES IGUAL A 1 MENOS LA PROBABILIDAD DEL SUCESO:

P(AC)= 1-P(A)EJ: P(A)= 0,35 P(AC)=1-0,35=0,65

EJERCICIOS

13.EL 40% DE MIS COMPAÑEROS TIENEN FACEBOOK Y EL 60% TIENEN TWITTER. SABIENDO QUE EL 85% TIENE CUENTA EN ALGUNA DE LAS DOS REDES SOCIALES ¿QUÉ PORCENTAJE TIENE CUENTA EN LAS DOS?

14. SALVA TIENE EN SU ARMARIO 7 CAMISETAS ROJAS, 9 AZULES Y 4 VERDES. SI COGE UNA CAMISETA AL AZAR, ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEA VERDE O AZUL?

15. DADA UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS, CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE SE PRODUZCAN LOS SIGUIENTES SUCESOS:A) SACAR UNA FIGURA.B) SACAR UNA ESPADA O UNA FIGURA.

PROBABILIDAD DE EXPERIMENTOS COMPUESTOS

• DADOS 2 SUCESOS SIMPLES, A Y B DE UN EXPERIMENTO COMPUESTO, PUEDE SER QUE UN SUCESO DEPENDA DEL OTRO, SIENDO A Y B SUCESOS DEPENDIENTES.O PUEDE QUE LA PRESENCIA DE UNO NO INFLUYA EN LA PRESENCIA DEL OTRO, SIENDO A Y B SUCESOS INDEPENDIENTES.

EJ:EN EL EXPERIMENTO COMPUESTO EXTRAER 2 BOLAS DE UNA URNA CON BOLAS MORADAS Y NARANJAS, SE DEFINEN LOS SUCESOS M= EXTRAER UNA BOLA MORADA Y N=EXTRAER UNA BOLA NARANJA.

M Y N SON INDEPENDIENTES SI SE EXTRAE LA 1º BOLA, LA DEVOLVEMOS A LA URNA Y LUEGO EXTRAEMOS LA 2º BOLA.

M Y N SON DEPENDIENTES SI SE EXTRAE LA 1º BOLA Y SIN DEVOLVERLA A LA URNA SE EXTRAE LA SEGUNDA BOLA.


• SI 2 SUCESOS SON INDEPENDIENTES, LA PROBABILIDAD DE SU INTERSECCIÓN SERÁ: P(AΩB)=P(A)XP(B)

• SI 2 SUCESOS SON DEPENDIENTES, LA PROBABILIDAD DE SU INTERSECCIÓN SERÁ: P(AΩB)=P(A)XP(B/A).

LA PROBABILIDAD CONDICIONADA P(B/A), ES LA PROBABILIDAD DE QUE SE PRODUZCA B SABIENDO QUE HA OCURRIDO A. EJ: EN UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS SE CONSIDERAN LOS SUCESOS:A= “SACAR UNA FIGURA EN LA 1º EXTRACCIÓN”B= “SACAR UNA FIGURA EN LA 2º EXTRACCIÓN”


• EJEMPLO: EN UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS SE CONSIDERAN LOS SUCESOS:A= “SACAR UNA FIGURA EN LA 1º EXTRACCIÓN”B= “SACAR UNA FIGURA EN LA 2º EXTRACCIÓN”CALCULAR LA PROBABILIDAD DE EXTRAER 2 FIGURAS.

P(A)=12/40=0,3

PARA CALCULAR LA P(B), HAY 2 POSIBILIDADES;

• SI TRAS LA 1º EXTRACCIÓN DEVOLVEMOS LA CARTA AL MAZO Y LUEGO SACAMOS LA 2º CARTA:P(B)=12/40=0,3. A Y B SON SUCESOS INDEPENDIENTES POR LO QUE:

P(AΩB)=P(A)XP(B)=12/40 X 12/40 = 0,09

• SI TRAS LA 1º EXTRACCIÓN NO DEVOLVEMOS LA CARTA AL MAZO. P(B)=11/39=0,28. A Y B SON SUCESOS DEPENDIENTES POR LO QUE:

P(AΩB)=P(A)XP(B/A)=12/40X11/39=0,08

EJERCICIOS

16. LANZAMOS DOS DADOS A LA VEZ. ¿CUÁL SERÁ LA POSIBILIDAD DE SACAR EL Nº1 EN AMBOS DADOS?.

17. TENEMOS UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS. SI CONSIDERAMOS LOS SUCESOS:A= “SACAR UNA FIGURA EN LA PRIMERA EXTRACCIÓN”B= “SACAR UNA FIGURA EN LA SEGUNDA EXTRACCIÓN”

CALCULA LA PROBABILIDAD DE EXTRAER 2 FIGURAS.

EJERCICIOS

18. SE EXTRAEN 2 CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS. CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE SEAN:A) LAS 2 CARTAS DE ESPADASB) LA PRIMERA CARTA DE COPAS Y LA SEGUNDA DE BASTOS.

19. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE NO SACAR NI OROS NI FIGURAS AL EXTRAER DOS CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA?

tema 3 probabilidad

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