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TEMA 3 :SUCESOS Y PROBABILIDAD

TEMA 3: SUCESOS Y PROBABILIDAD

1. ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS 1.1 ESPACIO MUESTRAL. ÁLGEBRA DE SUCESOS1.2 FRECUENCIAS

2. PROBABILIDAD 2.1 CONCEPTO DE PROBABILIDAD2.2 AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD2.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD2.4 CONTEO DE ELEMENTOS2.5 PROBABILIDAD CONDICIONADA2.6 PROBABILIDAD COMPUESTA (TEOREMA DEL PRODUCTO)2.7 PROBABILIDAD TOTAL2.8 TEOREMA DE BAYES2.9 INDEPENDENCIA DE SUCESOS

TEMA 3:SUCESOS Y PROBABILIDAD

1. ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS

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1.1 ESPACIO MUESTRAL. ÁLGEBRA DE SUCESOSFenómenos aleatorios Sus características más notables son:

a) Es posible repetir el experimento indefinidamente, sin cambiar las condiciones iniciales. b) Una pequeña modificación en las condiciones iniciales altera el resultado final.

c) No se puede predecir un resultado particular, pero se puede dar el conjunto de todos los resultados posibles.

d) Si el experimento se repite un gran número de veces aparece un modelo de regularidad.

Definición Se dice que un experimento es aleatorio, estocástico o estadístico, si, pudiéndose repetir indefinidamente en análogas condiciones, es imposible predecir el resultado, aún conociendo las condiciones iniciales. En un experimento aleatorio no conocemos el resultado hasta que se ha realizado la prueba.

Ejemplos- Sacar una carta de la baraja- Lanzar un dado- Lanzar una moneda- Sacar una bola de un bombo de la lotería

NO SON EXPERIMENTOS ALEATORIOS :

- El resultado de una reacción química- La velocidad de llegada de un cuerpo a tierra al dejarlo caer desde una torre

Nota Llamaremos prueba a cada realización de un experimento.

Definición El conjunto de todos los resultados posibles a que puede dar lugar

un experimento aleatorio se llama espacio muestral. Suele representarse por E ó ; y diremos que es finito si el número de resultados posibles es finito.

Definición Dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E, se llama suceso a cada uno de los subconjuntos de E. Distinguimos los siguientes tipos de sucesos:

- Suceso simple o elemental: sólo consta de un elemento- Suceso compuesto: consta de dos o más elementos- Suceso imposible : es el que nunca puede realizarse ( viene determinado por el conjunto vacío, ) - Suceso seguro: es el que siempre se cumple (viene determinado por el conjunto total, E )

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- Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes : aquellos sucesos A y B que no pueden realizarse a la vez, A B =

Ejemplo Clarifiquemos estos conceptos con unos ejemplos: Realizamos el experimento aleatorio “Lanzar un dado”- Espacio muestral: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }- Suceso simple: Sacar un 2 = { 2 }- Suceso compuesto: Sacar un número impar = { 1, 3, 5 }- Suceso imposible: Sacar un 7 = { }- Suceso seguro: Sacar un nº menor que 7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = E- Sucesos disjuntos: A = Sacar un nº par = { 2, 4, 6 } B = Sacar un nº impar = { 1, 3, 5 }

Definición Llamaremos Álgebra de sucesos al conjunto de las partes del

espacio muestral, (), o sea, al conjunto de todos los sucesos.

Nota

card () = 2 card()

Así, el número de subconjuntos que tenemos al lanzar un dado es26 ; y el número de subconjuntos que tenemos al tirar una moneda es 22,veamos este último:

{ } 1 subconjunto { C } , { X } 2 subconjuntos { C , X } = 1 subconjunto

Total, 4 subconjuntos 4 = 22

Nota Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos de E (de ),podemos aplicarles la teoría general de conjuntos. Nos interesarán las uniones, intersecciones, diferencias y complementarios entre conjuntos.

Propiedades de la teoría de conjuntos

- Conmutativa: A B = B A A B = B A

- Asociativa: A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C

- Leyes de Morgan: AB = A B A B = A B

- Distributivas: A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

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A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

Además: A A = A A = A – B = A B

Ejemplo Sea el experimento aleatorio “Lanzar un dado”, y sean: Suceso A = “sacar un número par” = { 2, 4, 6 } Suceso B = “sacar un número mayor o igual a 4” = { 4, 5, 6 }

Se tiene : A = { 1, 3, 5 B = { 1, 2, 3 A B = { 2, 4, 5, 6 A B = { 4, 6 A – B = { 2 B – A = { 5

1.2 FRECUENCIASSe llama frecuencia de un suceso aleatorio al número de veces que

ocurre dicho suceso al realizar un experimento. Se denota F . Se llama frecuencia relativa de un suceso aleatorio al cociente entre la frecuencia y el número de veces que se ha realizado el experimento. Se denota f .

Acotaciones de las frecuencias : Consideremos un resultado elemental del experimento aleatorio y observemos en n realizaciones la frecuencia con que se ha presentado este suceso, que llamaremos r. Evidentemente : 0 Fn ( x = r ) n Si dividimos entre n: 0 [ Fn ( x = r ) / n ] 1

Por lo tanto , 0 fn ( x = r ) 1

2. PROBABILIDAD

2.1 CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad se aplica a los elementos de una

población homogénea. Supongamos una población finita con N elementos, k de los cualestienen la característica A. Llamaremos “probabilidad de la característicaA en la población” a la frecuencia relativa k / N. Se escribe: P ( A ) = k / N2.2 AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD

AXIOMA 1 : La probabilidad del suceso seguro vale 1. P ( ) = 1.AXIOMA 2 : La probabilidad de cualquier otro suceso S es no negativa . P ( S ) 0 .AXIOMA 3 : La probabilidad de la unión de dos sucesos, A y B, Mutuamente excluyentes, es la suma de sus probabili-

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dades. Si A B = , entonces P(AB) = P(A) + P(B)

Generalizando este último axioma:La probabilidad de la unión de un conjunto infinito numerable de

sucesos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilida-des. P ( Ai ) = P ( Ai ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ...........

2.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDADDe estos axiomas podemos deducir una serie de propiedades:

Propiedad 1Si A1, A2, ......., An son sucesos disjuntos dos a dos con n 2 ( o sea,

Ai Aj = con i j ) , entonces : P ( A1 A2 ....... An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ....... + P ( An )

Demostración Es inmediata por el Axioma 3, ya que el número de sucesos que hemos tomado es n (un nº finito ), y ya teníamos que se cumple para dos sucesos y para una cantidad infinita numerable se cumple para una cantidad finita.

Propiedad 2 P (A ) = 1 – P ( A ) , siendo A un suceso cualquiera. (Nota : A es el complementario de A ).

Demostración A A = P ( A A ) = P ( ) = 1 Y como A A = AXIOMA 3 P ( A A ) = P ( A ) + P (A ) De ambas consecuencias, P(A) + P(A ) = 1 P(A ) = 1 – P ( A )

Propiedad 3 P ( ) = 0

Demostración = P () = P ( ) Por la Propiedad 2, P ( ) = 1 – P ( ) = 1 – 1 = 0 Por lo tanto, P ( ) = 0 .

Propiedad 4 P ( S ) 1 , siendo S un suceso cualquiera.

Demostración Por reducción al absurdo, supongamos que P ( S ) > 1 . Como por la Propiedad 2 se tiene que P ( S ) + P (S ) = 1, debe-rá ser P ( S ) < 0 , pero esto no puede ser, ya que por el AXIOMA 2 ,la probabilidad de cualquier suceso siempre es 0 .

Nota

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Del AXIOMA 2 y de la Propiedad 4 deducimos : 0 P ( S ) 1 , siendo S un suceso cualquiera.

Propiedad 5 Dados dos sucesos A y B tales que A B P ( A ) P ( B )

Demostración

Luego B = A ( B A ) Además, A ( B A ) = A y ( B A ) son disjuntos Por lo tanto, por el AXIOMA 3 : P ( B ) = P ( A ) + P ( B A ) Como, por el AXIOMA 1 , P ( B A ) 0 P ( B ) P ( A )

Propiedad 6 A, B , P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A B )

Demostración Intuitivamente :

Al hacer A + B , tomamos dos veces A B, luego para calcular lo que queremos hemos de restar una vez A B .

Definición Llamaremos espacios muestrales finitos a los espacios muestrales que provengan de experimentos para los cuales sólo existe un número finito de resultados posibles, así = { w1, w2, ... , wn }

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En un experimento aleatorio con un espacio muestral finito, una distribución de probabilidad se especifica asignando una probabilidad p i

a cada resultado wi , pi = P ( { wi } ) . Debe cumplirse: a ) pi 0 b ) P ( ) = 1 pi = 1 En estas condiciones, si A = { wi1, wi2, ... , wir }, se tiene P(A) = pij

Definición Llamaremos espacios muestrales simples a los espacios muestrales

finitos en los que todos los resultados son equiprobables ( tienen la mis-ma probabilidad ) . Si = { w1, w2, ... , wn } , entonces P({wi}) = 1 / n , i = 1, ... , n En estos espacios muestrales simples, dado un suceso A = {w1, w2, .... , wk } con k < n se tiene:

P ( A ) = casos favorables = k casos posibles n

Esto está estrechamente relacionado con la Fórmula de Laplace:

P ( S ) = nº de elementos de S = casos favorables nº de elementos de casos posibles

(siendo S un suceso cualquiera )

Ejemplo Si lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? El espacio muestral correspondiente es = { (C,C), (C,), (,C), (,) } , siendo C = cara y = cruz Sea el suceso A = “al menos una cara” = { (C,C), (C,), (,C) } Así, la probabilidad pedida es: P ( A ) = casos favorables = 3 casos posibles 4

2.4 CONTEO DE ELEMENTOSA veces, contar el número de elementos puede ser difícil. Para ello

utilizaremos lo que se conoce con el nombre de combinatoria. Llamaremos “n factorial” (o “factorial de n”), designándolo por n! , al producto de los n primeros números naturales. Es decir, n! = 1·2·3·4· .......·(n-1)·n Nota: Se define 0! = 1 Se deducen las siguientes relaciones: n! · (n+1) = (n+1)! n! = (r+1)·(r+2)·(r+3)·....·(n-1)·n r!

Suponiendo todos los elementos distintos, tenemos:

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a ) Variaciones: Dados n elementos, llamaremos variaciones de orden k a todos los conjuntos distintos que podamos formar con esos n elementos, tomados de k en k teniendo en cuenta el orden. El núme- ro de tales variaciones es Vn,k = _n!___

(n-k)!

b ) Permutaciones: Dados k elementos, llamaremos permutaciones de orden k a todos los conjuntos distintos que podamos formar con esos k elementos, tomados de k en k. El número de tales permu-taciones es Pk = k!

c ) Combinaciones: Dados n elementos, llamaremos combinaciones de orden k a todos los conjuntos distintos que podamos formar con esos n elementos, tomados de k en k sin tener en cuenta el or-den. Su número es igual a Cn,k = n!___ = n k! (n-k)! k

Se cumple la siguiente propiedad : Vn,k = Cn,k · Pk

Suponiendo que los elementos se pueden repetir, tenemos:

d ) Variaciones con repetición: A partir de n elementos distintos formamos variaciones de orden k tales que 2, 3, ...., los k elementos pueden ser uno mismo. El número de tales variaciones, que designa- remos por VRn,k , es VRn,k= nk

e ) Permutaciones con repetición: Sean k elementos, de los que k1 son iguales entre sí, k2 son iguales entre sí, ......, kr son iguales entre sí,

con k1 + k2 + ....... + kr = k . El número de tales permutaciones es igual a PRk ,k , .....,k

= k!____ k1!·k2!·.....·kr!

f ) Combinaciones con repetición: A partir de n elementos distintos, formamos combinaciones de orden k tales que 2 de sus elementos, 3,...., k elementos pueden ser uno mismo. El número de tales combinaciones es CRn,k = n + k – 1 = (n + k – 1)!

k k! (n – 1)!

Ejemplo:(Problema 2.5 del libro “Problemas de Probabilidad y Estadística”,

de Floreal Gracia, Jorge Mateu y Pura Vindel , editorial Tilde)Calcular el número de elementos del espacio muestral en cada uno

de los siguientes experimentos: a) Una moneda se lanza cinco veces consecutivas

b) Cinco monedas se lanzan una vez c) Se seleccionan cinco cartas, de una en una, de una baraja de 40

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d) Se sacan a la vez cinco cartas de una baraja de 40 e) De una habitación en la que hay 7 personas, salen al azar, de una en una, todas las personas

f) De una caja con 10 bombillas, con 3 defectuosas, se extraen de una en una todas las bombillas

g) Se rellena al azar una quiniela de 14 resultados h) Se rellena al azar una lotería primitiva

Solución:a) Si se lanza la moneda cinco veces consecutivas se puede determi-

nar cuál es el orden de aparición de las caras y las cruces. Por tanto, el número de elementos vendrá dado por:VR2,5 = 25 = 32

b) El número de elementos del espacio muestral se obtiene conside-rando una combinatoria con repetición: (dos posibilidades: cara o cruz y cinco experimentos):

CR2,5 = 2 + 5 – 1 = 6 = ___6!____ = 65 5 5!·(6 – 5)!

c) Al importar el orden y no poder repetirse, se trata de una variación:(40 posibilidades y 5 experimentos):V40,5 = __40!__ = 40! = 78.960.960

(40 – 5)! 35!

d) No se repiten y no importa el orden, luego es una combinación:C40,5 = 40 = ___40!___ = __40!__ = 658.008 5 5! ·(40 – 5)! 5! · 35!

e) Importa el orden, no se repiten y k = n:P7 = 7! = 5.040

f) Importa el orden, existe repetición (ya que hay 3 bombillas defec-tuosas y 7 no defectuosas hay más de una de cada tipo), y k = n:PR3,7

= _10!_ = 120 3! · 7!

g) Importa el orden y hay repetición ( 3 posibilidades y 14 experimentos ): VR3,14 = 314 = 4.782.969

h) No importa el orden y no se repiten: C49,6 = 49 = __49!____ = __49!__ = 13.983.816 6 6! · (49-6)! 6! · 43!

Nota: A la vista de los resultados obtenidos, ¿qué es más probable, acertar

una quiniela con 14 resultados o una lotería primitiva con 6 números?

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2.5 PROBABILIDAD CONDICIONADADados dos sucesos A y B (), se llama probabilidad de A

condicionada a B y se escribe P ( A / B ) a la probabilidad que existe de que ocurra el suceso A considerando que antes ha ocurrido el su-ceso B. Veamos cómo calcular P ( A / B ) :

Si suponemos que ha ocurrido B, tendremos un nuevo espaciomuestral, B = B = B , y así:

P ( A / B ) = nº de casos favorables en A B =

nº de casos posibles en B

nº de casos favorables en A B nº de casos posibles en = __________________________ = P ( A B ) nº de casos posibles en B P ( B ) nº de casos posibles en

Por lo tanto: P ( A / B ) = P ( A B )

P ( B )

Ejemplo : En un juego de dados, hemos apostado por el 2. Se tira el dado, yantes de ver el resultado, nos dicen que ha salido par. Hallar la probabili-dad de ganar.

Sea A = {obtener un 2 al lanzar un dado} Sea B = {obtener un nº par al lanzar un dado}

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P ( A ) = 1 y P ( B ) = 3 6 6

Por la expresión de la probabilidad condicionada, P(A/B) = P(A B) P(B) Notar que A B = {obtener un 2} {obtener un nº par} == {obtener un 2} , por lo que P ( A B ) = 1 6 Así, P ( A / B ) = P ( A B ) = 1 / 6 = 1 P ( B ) 3 / 6 3

2.6 PROBABILIDAD COMPUESTA ( TEOREMA DEL PRODUCTO )Sea un espacio muestral , dados dos sucesos A y B () tal

que P ( A ) > 0 y P ( B ) > 0 , se cumple: P ( A B ) = P ( A / B ) · P ( B ) P ( B A ) = P ( B / A ) · P ( A )

Esto es así porque por la definición de la probabilidad condicional,P ( A / B ) = P ( B A ) P ( B A ) = P ( A / B ) · P ( B )

P ( B )

Análogamente, P(B/A) = P(B A) P(BA) = P(B/A) · P(A) P(A)

Si en vez de 2 sucesos tenemos n sucesos : Sean A1, A2, A3, A4, ..... , An ( ) : P[ Ai ] = P(A1)·P(A2/A1)·P(A3/A1A2)·P(A4/A1A2A3)·...·P(An/ Ai)

Ejemplo

Supongamos que se extraen 4 bolas sin reemplazamiento de unaurna que contiene 8 rojas y 10 azules. Calcular la probabilidad deobtener “azul, rojo, rojo, azul “

P(A1R2R3A4) = P(A1)·P(R2/A1)·P(R3/A1R2)·P(A4/A1R2R3) == 10 . _8_ . _7_ . _9 _ = 0,0686

18 17 16 15

2.7 PROBABILIDAD TOTALDado un espacio muestral , y siendo {Ai} () / Ai = y

Ai Aj = i j , y siendo B un suceso del que se conoce P(B/Ai),

i, se tiene que:

P(B) = P(B/Ai) · P(Ai)

Demostración

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B = (BA1)(BA2)(BA3)....(BAi)....(BAn) Como son todos disjuntos: P(B) = P(BA1) + P(BA2) + P(BA3) + ..... + P(BAn) Y aplicando el Teorema del Producto: P(B) = P(B/A1) · P(A1) + P(B/A2) · P(A2) + .... + P(B/An) · P(An) == P(B/Ai) · P(Ai) P(B) = P(B/Ai) · P(Ai)

Ejemplo Dos cajas contienen cerrojos grandes y pequeños. Supongamos que una caja contiene 30 grandes y 10 pequeños, y que la otra contie-ne 30 grandes y 20 pequeños. Seleccionamos una caja al azar yextraemos un cerrojo. ¿Cuál es la probabilidad de que el cerrojo sea pequeño?

Sean A1 = “seleccionar caja 1” A2 = “seleccionar caja 2” B = “seleccionar cerrojo pequeño”

P(B) = P(A1) · P(B/A1) + P(A2) · P(B/A2) = 1/2 · 10/40 + 1/2 · 20/50 == 0,125 + 0,2 = 0,325

2.8 TEOREMA DE BAYESSea un espacio muestral.Sean {Ai} () / Ai = , Ai Aj = i j , conociéndose

P(Ai) i , P(Ai) > 0 Sea B un suceso tal que P(B) > 0 y del que se conocen P(B/Ai) i Entonces :

P(Ai/B) = ________ P(B/Ai) · P(Ai)____________________ P(B/A1) ·P(A1) + P(B/A2) ·P(A2) + .......+ P(B/An)·P(An)

Es decir :

P(Ai/B) = __P(B/Ai) · P(Ai)__

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P(B/Ak) · P(Ak)

Demostración : P(Ai/B) = P(Ai B) por la probabilidad condicionada. P(B)

Si en el numerador aplicamos el Teorema del Producto , y en eldenominador la Probabilidad Total , queda :

P(Ai/B) = P(Ai B) = P(B/Ai) · P(Ai)___ P(B) P(B/Ak) · P(Ak)

Ejemplo Para la fabricación de un gran lote de artículos similares se utilizan3 máquinas : M1, M2 y M3 . La máquina 1 fabrica el 20%, la máquina 2 el 30%, y la máquina 3 el 50% restante. La máquina 1 produce un 1% dedefectuosos, la máquina 2 un 2% de defectuosos y la máquina 3 un 3%.Se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Calcular la probabilidad de que haya sido producido por la máquina 3.

Sean : D = “ser defectuoso” Mi = “ser fabricado por Mi” Así : P(M1) = 0,2 P(M2) = 0,3 P(M3) = 0,5 P(D/M1) = 0,01 P(D/M2) = 0,02 P(D/M3) = 0,03 Nos piden la probabilidad del suceso M3/D . Se cumple que M1, M2

y M3 forman una partición, por lo que:

P(M3/D) = __P(D/M3) · P(M3)_ = ______ 0,03 · 0,5__________ =

P(D/Mi) · P(Mi) 0,01·0,2 + 0,02·0,3 + 0,0330,5

= 0,015_ = 0,6522 0,023

2.9 INDEPENDENCIA DE SUCESOSDos sucesos A y B son estocásticamente independientes cuando

P(A/B) = P(A) , o sea, que el hecho de que ocurra el suceso B no influ-ye para nada en la probabilidad del suceso A .

Teorema de Caracterización : Dos sucesos A y B son independientes sii P(AB) = P(A) · P(B)

Veámoslo : () P(AB) = P(A/B) · P(B) Si son independientes , se tiene que P(A/B) = P(B) Uniendo ambas cosas, P(AB) = P(A) · P(B)

() Ahora se tiene que P(AB) = P(A) · P(B) Como P(AB) = P(A/B) · P(B) , sustituyendo : P(A) · P(B) = P(A/B) · P(B) Por lo tanto, P(A) = P(A/B) , y así los sucesos A y B son inde-

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pendientes.

Consecuencia : P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) .

Propiedades de la independencia estocástica : 1.- Si A y B son independientes A y B también lo son 2.- Si A y B son independientes A y B también lo son 3.- Si A y B son independientes A y B también lo son 4.- Si existe implicación entre A y B No existe independencia (salvo que A = ó B = ) 5.- Si dos sucesos son incompatibles No existe independencia (salvo que P(A) = 0 ó P(B) =0)

Nota : Diremos que tres sucesos A1, A2 y A3 son independientes si, ysólo si, verifican las relaciones: P(A1A2) = P(A1) · P(A2)

P(A1A3) = P(A1) · P(A3) P(A2A3) = P(A2) · P(A3) y P(A1A2A3) = P(A1) · P(A2) · P(A3)

Esta definición se puede generalizar a n sucesos.

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