iniciacion probabilidad de sucesos

2010

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Probabilidad de

Sucesos

Nivel de Iniciación

Probabilidad de sucesos

Nivel de iniciación

e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l

2




3

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

(justifique las falsas)

a) Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de

un evento: complementarios, condicionales y mutuamente

excluyentes.

Sol.

Esta afirmación es verdadera

b) La P(A B) es siempre P(A) + P(B)

Sol.

Esta afirmación es falsa ya que esta fórmula solo se usa

cuando los sucesos son mutuamente excluyentes

2. Hallar la probabilidad de tomar una ficha de domino y que salga

mayor que 8 en el número de puntos o que estos sean múltiplos

de 4.

Sol.

P(A)=puntos mayores que 8 =

P (B)=puntos múltiplos de 4 =

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =




4

3. Si tomamos una ficha de domino cuál es la probabilidad de que la

cantidad de puntos sea divisor de 6 o mayor que 10.

Sol

Determinemos los sucesos dados en el enunciado

A = los puntos de las fichas sean divisores de 6

B = los puntos de las fichas sean mayores de 10

Las probabilidades de estos sucesos son:

P (A) = P (B) =

Luego

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

4. Si se toma una ficha de dómino al azar ¿Cuál es la probabilidad de que los

puntos de la ficha sean menores que 4 o múltiplos de 3?

Sol.

Los sucesos de este ejercicio son:

A=los puntos sean menores que 4 y su

probabilidad de ocurrencia es de P(A) =

B = los puntos sean múltiplos de 3

y su probabilidad es

P (B) =




5

Ahora ocupamos la formula siguiente.

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo o que sea divisor de 10

al sacar al azar una ficha de domino?

Sol.

Los sucesos de esta probabilidad son:

A = obtener en los puntos de la ficha de domino un número primo

B = obtener en los puntos de la ficha de domino un divisor de 10

P (A) =

P (B) =

P(A B)=

Ocupando la fórmula para encontrar esta probabilidad tenemos

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

6. Al sacar una ficha de domino al azar. Hallar la probabilidad de que la cantidad

de puntos de la ficha sacada este entre 5 y 8 sin tomar los extremos o sea un

numero divisor de 7.

Sol.

Sean los sucesos:

A = que la cantidad de puntos este entre y este conjunto sería




6

B = que la cantidad de puntos sea un divisor de 7 y su conjunto sería

Para calcular esta probabilidad necesitamos la siguiente formula

P(A B)= P(A) + P (B) – P(A B) para esto necesitamos las probabilidades ahí

señaladas

P(A) = P (B) = P(A B) = ahora reemplazamos

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

7. Se necesita conocer la probabilidad de que al sacar una ficha de domino al azar

que esta tenga una cantidad de puntos con las siguientes características. A:

que la cantidad de puntos en la ficha sea un número impar mayor que 8 o B:

que la cantidad de puntos en la ficha sea un número primo mayor que 6.

Sol.

Como los sucesos ya estas declarados en el enunciado solo nos basta con

encontrar sus probabilidades

A = y P(A) =

B = y P (B) =

A B = y P(A B) =

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =




7

8. Hallar la probabilidad de que al sacar una ficha de domino al azar que la

cantidad de puntos sea un número par y mayor que 12.

Sol.

Determinando los sucesos

A = que los puntos sean un número par

B = que los puntos sean mayor que 12

Si analizamos los sucesos podemos observar y concluir que esta

probabilidad es nula ya que la máxima cantidad de puntos que puede tener

una ficha de domino es de 12 por lo tanto la ocurrencia de que ocurra el

suceso A y el suceso B es 0.

9. Si se saca una ficha de domino al azar ¿Cuál es la probabilidad de sacar un

número impar en la cantidad de puntos y que sea un número primo?

Sol.

Los sucesos son:

A = sacar un número impar

B = sacar un número primo

A B =

P (A B) = =

10. Si se saca al azar una ficha de domino y los sucesos son los siguientes.

A = sale el chancho 6, B = sale chancho 0. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

A o B?




8

Sol.

Como los sucesos ya están determinados solo se debe ocupar la formula de la

unión de sucesos mutuamente excluyentes ya que estos sucesos no pueden

ocurrir simultáneamente.

P (A B) = P (A) + P (B) =

11. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar de un domino de 28 fichas una

que sume en sus puntos 3 o que sume 4?

Sol.

Los sucesos del enunciado los denotaremos de la siguiente manera

A = la cantidad de puntos de una ficha sumen 3

B = la cantidad de puntos de una ficha sumen 4

P (A) = P(B) =

P (A B)= P(A) + P(B) =

12. Calcular la probabilidad de obtener un 6 o un múltiplo de 3 al

lanzar un dado.

Sol.

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

13. Si al lanzar un dado .¿Cual es la probabilidad de obtener un 3

o un múltiplo de 3?

Sol.




9

Identificando los sucesos tenemos

A = obtener un 3 al lanzar un dado

B = obtener un múltiplo de 3 al lanzar un dado

Luego calculando las probabilidades de cada suceso

P(A) = 1/6 y P (B) = 2/6

P(A B)= P(A) + P (B) – P(A B)=

14. Si al lanzar un dado. La probabilidad de que salga un número

mayor que 3 o divisor de 12 es de.

Sol.

Sean nuestros sucesos los siguientes:

A = que el número obtenido sea mayor que 3

B = que el número obtenido al lanza un dado sea divisor de 12

Como los sucesos son observables podemos obtener fácilmente

sus probabilidades

A = {4, 5, 6} y su probabilidad es 3/6 = 1/2

B = {1, 2, 3, 4, 6} y su probabilidad es 5/6

Luego para obtener la probabilidad pedida en el enunciado

claramente debemos usar P(A B) pero para esto tenemos que saber

P(A B) así

A B = {4, 6} y su probabilidad es 2/6 = 1/3 cono esto

podemos encontrar nuestra interrogante

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

15. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o un

número mayor que 4 al lanzar un dado?




10

Sol.

Identificamos los sucesos

C = obtener un número par al lanzar el dado y su probabilidad es

P(C) = 3/6 = 1/2

D = obtener un número mayor que 4 y su probabilidad es

P (D) = 2/6 = 1/3

C D = 1/6 ya que sus intersecciones solamente el número 6

Ahora

P(C D) = P(C) + P(D) – P(C D) =

16. Si lanzamos un dado ¿Cuál es la probabilidad de obtener un

número primo o un número impar?.

Sol.

Lo primero que debemos hacer es asignarle un nombre a los

sucesos existentes.

NP = obtener un número primo al lanzar un dado

NI = obtener un número impar al lanzar un dado

Ahora desarrollemos nuestros sucesos por extensión

NP = {2, 3, 5} y su probabilidad es P (NP) = 3/6 = 1/2

NI = {1, 3, 5} y su probabilidad es P (NI) = 3/6 = 1/2

P (NP NI) = P (NP) + P (NI) – P (NP NI) =

17. Se necesita conocer la probabilidad de que salga un múltiplo

de 2 menor que 5 o un divisor de 8 mayor que 2 al lanzar un dado.

Sol.




11

Sean nuestros sucesos los siguientes

A = que salga un múltiplo de 2 menor que 5 al lanzar un dado

{2, 4}

B = que salga un divisor de 8 mayor que 2 al lanzar un dado {4}

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

18. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 5 o un 6 al lanzar un dado?

Sol.

Identificamos los sucesos

A = que salga un 5 al lanzar un dado y su probabilidad es P(A) =

B = que salga un 6 al lanzar un dado y su probabilidad es P (B)=

Como la ocurrencia de ambos sucesos al mismo tiempo es imposible usamos

P (A B) = P (A) + P (B) =

19. Se lanza un dado con los siguientes sucesos: A = obtener un número par,

B = obtener un número impar ¿Cuál es la probabilidad de A o B?

Sol.

P(A) =

P (B) =

P(A B) = P(A) + P (B) =




12

20. Determine la probabilidad si se lanza un dado de que salga un número

divisor de 5 o mayor que 4.

Sol.

Los sucesos sean los siguientes;

A = salga un divisor de 5 {1, 5 } P(A) = 2/6 = 1/3

B = salga un número mayor que 4 {5,6} P(B) = 2/6 = 1/3

A B = {5} = 1/6

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

21. Si un jugador lanza un dado y aposto que salía un número mayor que 3

o múltiplo de 6. Si tú fueras su amigo le recomendarías apostar.

Sol.

Para poder recomendar debemos conocer la probabilidad que tiene de que

salgan estos números. Primeros reconozcamos los sucesos

A = que salga un número mayor que 3

B = que salga un múltiplo de 6

P(A B) = P(A) + P (B) = lo que es mas de un 50% de

probabilidades por lo tanto yo le recomendaría apostar

22. Si lanzamos un dado dos veces. Cuál es la probabilidad de

obtener en el primer lanzamiento un número impar y en el segundo

lanzamiento el numero 4.

Sol.

Como estos sucesos son independientes uno de otro usamos.




13

P (A B) = P (A) · P (B) =

23. Si lanzamos un dado dos veces. Cuál es la probabilidad de

obtener en el primer lanzamiento un número impar y en el segundo

lanzamiento el numero 3.

Sol.

Como estos sucesos son independientes uno de otro usamos.

P (A B) = P (A) · P (B) =

24. Al lanzar dos veces un dado, la probabilidad de sacar un

número par en el segundo lanzamiento y un número impar en el

primer lanzamiento.

Sol.

Determinemos los sucesos.

A = que en el primer lanzamiento salga un número impar.

B = que en el segundo lanzamiento salga un número par

P (A B) = P (A) · P (B) =

25. La probabilidad de obtener un número mayor que 4 en un

lanzamiento y un número impar en otro lanzamiento.

Sol.

Teniendo los sucesos claros los denotamos con letras.

A = salga un número mayor que 4 y su probabilidad es P(A) =

B = salga un número impar y su probabilidad es P (B) =

Como ambos sucesos son independientes uno del otro usamos la

siguiente formula




14

P (A B) = P (A) · P (B) =

26. Si se lanza un dado dos veces ¿Cuál es la probabilidad de que

en el primer lanzamiento salga un número mayor que 1 y en el

segundo lanzamiento obtener un número menor que 3?

Sol.

Determinando los sucesos.

M = obtener un número mayor que 1

N = obtener un número menor que 3

P (M) =

P (N) =

Como claramente un suceso es totalmente ajeno al otro, es decir,

son sucesos independientes por lo que usamos

P (M N) = P (M) · P(N) lo que al reemplazar nos da

27. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado obtener un

1, 2, 3, 4, 5 o un 6?

Sol.

Como el espacio muestral al lanzar un dado esta dado por 6

posibilidades que son 1,2,3,4,5,6 que son los mismos que nos piden

encontrar podemos decir de inmediato que esta probabilidad es 1

que se conoce como probabilidad total.

La otra manera de hacerlo es realizando la unión de todos los

sucesos es decir

Que salga un uno es 1/6, que salga un dos es 1/6 que salga un tres

es 1/6 que salga un cuatro es 1/6 que salga un cinco es 1/6 que

salga un seis es 1/6




15

Y luego sumarlas

28. Sea nuestro experimento aleatorio lanzar un dado y tenemos

los siguientes sucesos

A = {1, 3, 5} y B = {2, 3, 4, 5, 6} Entonces P(A) =

y P (B) =

Si sabemos que el evento B haya ocurrido, ¿Cuál es la probabilidad

de A ocurrido B?

Sol.

P(A/B) = = =

29. Sea nuestro experimento aleatorio lanzar un dado y tenemos los siguientes sucesos

A = {1,5} y B = {2, 3, 5, 6}

Sol.

Entonces P(A) = y P (B) = Si sabemos que el evento B haya

ocurrido, ¿Cuál es la probabilidad de A ocurrido B?

P (A/B) = = =

30. Se extrae una carta al azar de un mazo inglés de 52 cartas.

Los eventos son. A: "sale 3" y B: "sale una figura" .Cual es la

probabilidad de que ocurra A ó B.




16

Sol.

Como se puede apreciar claramente estos dos sucesos no pueden

ocurrir simultáneamente, estamos en presencia de sucesos

mutuamente excluyentes, así

P (A B) = P (A) + P (B) =

31. Se extrae una carta al azar de un mazo inglés de 52 cartas.

Los eventos son. A: "sale 2" y B: "sale un rey " .Cual es la

probabilidad de que ocurra A ó B.

Sol.

Claramente estos dos sucesos no pueden ocurrir simultáneamente,

estamos en presencia de sucesos mutuamente excluyentes, así

P (A B) = P (A) + P (B) =

32. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 7 de trébol o un 10 rojo

de un mazo ingles de 52 cartas?

Sol.

Definamos los sucesos:

A = sacar un 7 del mazo

B = sacar un 10 rojo del mazo

Como estamos en presencia de sucesos mutuamente excluyentes

obtenemos esta probabilidad a través de

P (A B) = P (A) + P (B) =




17

33. Si sacamos una carta de un mazo ingles completo de 104

cartas ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea jota o un as de

trébol?

Sol.

Los sucesos encontrados en el enunciado son:

A = la carta obtenida sea una jota

B = la carta obtenida sea un as de trébol

Luego

P(A) = como existen 8 jotas de un total de 104 cartas es 8/104 =

1/13

P (B) = como existen 2 as de trébol en un total de 104 cartas es

2/104 = 1/52.

Y al ser dos sucesos mutuamente excluyentes usamos la siguiente

fórmula para obtener nuestro resultado.

P (A B) = P (A) + P (B) =

34. Si se extrae una carta al azar de un naipe que tiene 52 cartas

(mazo ingles) ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un

diamante o que sea un par mayor que 9?

Sol.

Sean los sucesos los siguientes

A = que la carta sea un diamante

{1 , 2 , 3 ,4 , 5 , 6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12 ,13 }

P(A) =




18

B = que la carta sea un par mayor que 9

{10 trébol, 10 pica, 10 diamante, 10 corazón, 12 trébol, 12 pica,

12 diamante, 12 corazón, }

P (B) =

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

35. Si se quieren sacar dos cartas de un naipe ingles de 52 cartas ¿Cuál

es la probabilidad de que la primera carta sea un rey y la segunda un 5?

Sol.

Determinemos los sucesos que en el enunciado están

A = que la primera carta sea un rey y su probabilidad es P(A) =

B = que la segunda carta sea un 5 y su probabilidad es P (B) =

P (A) P (B) = P (A) · P (B) = · =

36. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta de un naipe

ingles que consta de 52 cartas esta sea un múltiplo de 4 o mayor que 10?

Sol.

Sean los sucesos:

A = la carta es un múltiplo de 4 (4, 8, 12)

B = la carta sea mayor que 10 (11, 12, 13)




19

A B = 12

P(A) = la que se puede observar es la misma que la probabilidad

de b P (B)

Y la P(A B) = por lo que nuestra probabilidad que se pretende

encontrar esta dada por.

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

37. La probabilidad de obtener un rey de diamantes o un 2 al tomar una

carta al azar de un mazo ingles de 52 cartas es

Sol.

Como los sucesos indicados en el enunciado no pueden ocurrir al mismo

tiempo usamos

P(A B) = P(A) + P (B) para esto debemos encontrar las probabilidades

necesarias

P(A) = la probabilidad de obtener un rey de diamantes, como solo hay 1 del

total de 52 P(A) =

P (B) = la probabilidad de obtener un 2 en este caso existen cuatro 2 ya

que existen 4 pintas por esto P (B) =

Ahora podemos reemplazar en la fórmula y encontrar la probabilidad

deseada

P (A B) = P (A) + P (B) = + =

38. Sea nuestro espacio muestral el siguiente

y los sucesos los siguientes.




20

A = que salga un 3

B = que salga un trébol

Calcular la probabilidad de que salga A o B

Sol.

A = {3t, 3d, 3c} por lo que su probabilidad estaría dada por P(A) =

B = {3t, 5t, 10t, 9t} por lo que su probabilidad está dada por P (B) =

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

39. Si extraemos una carta de un mazo de naipes ingles de 52 y los eventos A y B son mutuamente excluyentes. La probabilidad de que la carta sea un as o un diamante es

Sol.

Sean nuestros sucesos. A = salga un as

B = salga un diamante

P(A B) = P(A) + P (B) – P(A B) =




21

40. En una urna hay 2 bolitas azules y 3 bolitas verdes ¿Cuál es la

probabilidad de sacar una bolita azul y después una bolita verde, si

es con reposición?

Sol.

Que exista reposición indica que después de sacar la primera bolita,

esta se devuelve a la urna, entonces como son sucesos

independientes usamos

P (A B) = P (A) · P (B) = · =

41. Una bolsa contiene 10 bolitas de dos colores distintos 7 rojas y 3

azules. Calcular la probabilidad de sacar una bolita roja y luego una bolita

azul si la primera bolita se vuelve a colocar en la bolsa.

Sol.

Sean los sucesos a trabajar.

A = sacar una bolita roja P(A) = 7/10

B = sacar una bolita azul P (B) = 3/10

P (A B) = P (A) · P (B) =




22

42. En una tómbola hay 2 bolitas blancas y 3 negras ¿cuál es la

probabilidad de sacar una bolita blanca y después una bolita negra,

sin reposición?

Sol.

Sin reposición indica que al sacar la primera bolita esta no se

devuelve a la tómbola, lo que implica que estos sucesos son

dependientes.

P (A B) = P (A) · P (B/A) = · =

43. En un bolso del utilero de un equipo de futbol el que está compuesto

por 16 camisetas numeradas desde el 1 hasta el 16 las cuales las 11 primeras

son de los titulares y el resto son de los reservas. Determinar la probabilidad

de que la primera camiseta sacada del bolso sea de un titular y sea entregada

al jugador y que la segunda camiseta entregada sea la de un reserva.

Sol.

Sean los sucesos:

A = que la primera camiseta sea de un titular

B = que la segunda camiseta sea de un reserva

Para resolver este ejercicio debemos encontrar la probabilidad de la

intersección de ambos sucesos P(A B). Como al sacar la primera camiseta

esta se entrega al jugador entonces estos sucesos son dependientes por lo

que la probabilidad será:

P (A B) = P (A) · P (B/A) = · =




23

44. Un estuche está compuesto por 12 lápices de los cuales 5 son

negros 4 son blancos y 3 amarillos ¿Cuál es la probabilidad de sacar

uno amarillos o uno negro?

Sol.

Llamemos a los sucesos de la siguiente manera

X = que salga un lápiz amarillo y su probabilidad es claramente

P(X) =

Y = que salga un lápiz negro y su probabilidad es P (Y) =

Por lo tanto

P(A B)= P(A) + P (B) =

45. Una urna contiene 3 bolas verdes y 4 amarillas y otra urna contiene 5 bolas verdes y 2 amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de

que al sacar una bola de cada urna salgan las dos amarillas?

Sol. Como son urnas distintas obtenemos las probabilidades de cada

urna de obtener una bola amarilla y luego las unimos de esta manera tendremos.

A = sacar bola amarilla de urna 1 B = sacar bola amarilla de urna 2

P(A) = y P (B) = luego la probabilidad pedida está dada por

P(A B) y ambos sucesos son independientes, nos daría




24

P (A B) = P (A) · P (B) = · =

46. En una mochila hay 13 cuadernos divididos en 10 rojos y 3

azules y el 40% de los cuadernos rojos tienen sus hojas

cuadriculadas mientras que el resto de los cuadernos son de líneas.

Hallar la probabilidad de sacar un cuaderno rojo con hojas con

líneas o uno azul con hojas cuadriculadas.

Sol.

Los sucesos son:

A = sacar un cuaderno rojo con líneas de la mochila para esto

debemos tomar en cuenta el porcentaje entregado, como el 40% de

10 cuadernos rojos que corresponde a 4 que son cuadernos rojos

con hojas cuadriculadas por lo que los restantes son rojos con líneas

de esta manera P(A) =

B = sacar un cuaderno azul con hojas cuadriculadas. Como el

enunciado nos dice que solo el 40% de los cuadernos rojos tienen

hojas cuadriculadas y el resto con líneas la probabilidad de B es

nula P (B) = 0

Por lo tanto

P(A B)= P(A) =

47. En una tienda existe en vitrina 3 prendas en liquidación. Si la

probabilidad de elegir la prenda 1 es de 30% elegir la prenda 2 es de

40% y elegir la prenda 3 es de 50% ¿Cuál es la probabilidad de sacar

la prenda 1 o la prenda 2 o la prenda 3?




25

Sol.

Como las probabilidades están ya dadas solo usamos la formula

P (A B C) = P (A) + P (B) +P(C) = 0, 3 + 0, 4 + 0, 5 = 0, 12

48. Hay tres urnas las cuales contienen 5 fichas cada una

compuesta de la siguiente manera urna A, 4 fichas negras y 1

blanca, urna B, 2 fichas negras y 3 blancas, urna C, 3 fichas negras

y 2 fichas blancas. Encuentre la probabilidad de que al sacar una

bolita de cada urna que las tres sean negras.

Sol.


A = de la urna A salga una bolita negra

P(A) =

B = de la urna B salga una bolita negra

P (B) =

C = de la urna C salga una bolita negra

P(C) =

Como son sucesos independientes unos de otros usamos

P (A B C) = P (A) · P (B) · P(C) = · · =

49. En una caja hay bolitas de tres colores distintos rojas azules y verdes

repartidas en las siguientes cantidades 5 rojas, 4 azules y 3 verdes ¿Cuál es

la probabilidad de que si se saca una bolita al azar esta sea roja o azul?

Sol.




26

La probabilidad de sacar una bolita roja será P(A) = y la probabilidad de

sacar una bolita azul será

Así la probabilidad de sacar una bolita roja o una azul de la caja es de

50. Hallar la probabilidad de sacar 2 bolitas de una urna condicionadas

que estas sean primero sacar una bolita roja y después una bolita verde sin

reposición, si se sabe que en la urna hay 5 bolitas rojas 4 azules y 3 bolitas

verdes.

Sol.

Determinemos los sucesos a trabajar.

A = que la primera bolita sea roja

B = que la segunda bolita sea verde

Como es sin reposición el primer suceso no es afectado por esta

condición y su probabilidad será

P(A) = No obstante la probabilidad del segundo suceso si se ve afectada

por la condición señalada ya que el la cantidad de bolitas en la urna será

menor por la falta de la primera bolita sacada de esta manera

P (B) =

Por lo que la probabilidad buscada será

·




27

51. En una bolsa hay 12 bolitas numeradas del 1 al 12. Si sacamos una bolita al azar ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5?

Sol.

Sean los sucesos:

A = Sea menor que 5 B = Sea múltiplo de 5

Así para obtener nuestra solución ocupamos

P (A B) = P (A) + P (B) = + = + =

52. Tomemos un experimento en este caso Z =lanzar un dado al aire y nuestros sucesos sean:

A = {2, 4, 6} B = obtener un múltiplo de 3 C = {1, 3} D = {4, 6}

E = obtener un numero par F = {1, 2, 3, 5}

Determinar:

Sol.

a) D, ya que todos sus elementos están contenidos en A

b) Z, ya que al unir B con F tenemos todas las opciones del dado {1, 2, 3, 4, 5,6}

c) , y estos sucesos son llamados incompatibles complementario ya

que su unión nos da el suceso Z

d) , ya que el suceso sería obtener un número impar




28

53. Se lanza primero una moneda y luego un dado ¿Cuál es la probabilidad que en la moneda salga sello y en el dado salga un 2?

Sol.

Como la probabilidad a encontrar está dada por (A B) y la

realización del suceso A de lanzar la moneda no influye en la realización del suceso B de lanzar el dado, podemos inferir que estamos en presencia de sucesos independientes por lo que

utilizamos.

P (A B) = P (A) · P (B) =

54. Si lanzamos un dado y luego una moneda. Determine la probabilidad que salga un par al lanzar un dado y cara al lanzar la

moneda.

Sol.

Sean los sucesos A = salga un número par al lanzar un dado B = salga cara al lanzar una moneda

P (A B) = P (A) · P (B) =

55. ¿Cuál es la probabilidad de sacar sello al lanzar una moneda y

un número impar al lanzar un dado?

Sol.

P(A) =

P (B) =

P(A B) = P(A) · P (B) =




29

56. Hallar la probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda y

obtener un número primo al lanzar un dado.

Sol.

Los sucesos sean.

A = obtener una cara al lanzar una moneda

B = obtener un número primo al lanzar un dado

P (A) =

P (B) =

P (A B) = P (A) · P (B) =

57. Sean el suceso A = obtener un 6 al lanzar un dado y suceso B = obtener

un sello al lanzar una moneda. ¿Calcular la probabilidad que ocurra el suceso

A o el suceso B?

Sol.

P(A) =

P (B) =

P(A B) = P(A) + P (B) =

58. Si lanzamos un moneda y luego un dado ¿cuál es la probabilidad de que

salga una cara al lanzar la moneda o un número menor que 3 al lanzar un

dado?




30

Sol.


A = que salga cara al lanzar una moneda

B = que salga un número menor que 3 al lanzar un dado

Como son sucesos independientes usamos.

P(A B) = P(A) + P (B) luego la P(A) = y la P (B) = reemplazando sería

P (A B) = P (A) + P (B) =

59. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 5 al lanzar un

dado o una cara al lanzar una moneda?

Sol.

Como la probabilidad de sacar un número mayor que 5 al lanzar un dado

sería

P (>5) = y la probabilidad de sacar una cara al lanzar una moneda sería

P(C) =

P (A B) = P (A) + P (B) =

Si se lanza una primero una moneda y luego un dado. Determine la

probabilidad de que salga sello primero o un número par después.

Sol.

Denotemos a los sucesos con las letras A y B

A = salga un sello, P(A) = 1/2




31

B = salga un número par, P (B) = 1/2 luego para encontrar la probabilidad

pedida usamos

P (A B) = P (A) + P (B) =

60. De un naipe español de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as y luego un 5 de copas reintegrando la primera carta?

Sol. San los sucesos:

A = sacar un as y su probabilidad es

B = sacar un 5 y su probabilidad es de

Como la primera carta se reintegra claramente estamos en presencia de sucesos independientes por lo que obtener esta

probabilidad debemos usar

P (A B) = P (A) · P (B) = · = = 0, 0025

61. De un naipe español de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un rey y luego un 2 sin reintegrar la primera carta?

Sol.

Determinar los sucesos:

A = sacar un rey en la primera carta B = sacar un 2 en la segunda carta




32

Al saber que no se reintegra la primera carta determinamos que estamos en presencia de sucesos dependientes por lo que utilizamos

la formula de.

P (A B) = P (A) · P (B/A) = · =

62. Si sacamos dos cartas al azar de un naipe español de 40 cartas. Hallar

la probabilidad de que la primera carta que salga sea una zota y que la

segunda reintegrando la primera también sea una zota.

Sol.

Como reintegramos la primera carta estamos en presencia de sucesos

independientes por esto si los sucesos son A y B sería.

P (A B) = P (A) · P (B) = · =

63. Determinar la probabilidad de sacar dos cartas de un naipe español y

que la primera carta sea un oro y que la segunda sea una espada sin

reposición

Sol.

Sean los sucesos

O = que la primera carta sea un oro y su probabilidad es P(O) =




33

E = que la segunda carta sea una espada y como es sin reposición ya existe

una carta menos entonces su probabilidad es P (E/O) =

P(A B) = P(A) · P (E/O) = · =

64. De un naipe español de 40 cartas queremos conocer la probabilidad de

que al sacar tres cartas, la primera sea una figura, la segunda sea una figura

de copas y la tercera sea un rey de oro. Si cada carta que se estrae del mazo

es devuelta de inmediato al mazo

Sol.

A = la primera carta sea una figura,

B = la segunda sea una figura de copas

C = la tercera sea un rey de oro

La reponerse las cartas usamos

P(A B C) = P(A) · P (B) · P(C) = · =

65. Si sacamos tres cartas de un naipe español. Hallar la probabilidad de

que la primera carta sea un múltiplo de 4 de basto, la segunda un par de oro

y la tercera un primo de copas.

Sol.

Como las cartas no se repone entonces sean los sucesos




34

P(A B C) = P(A) · P(B/A) · P(C/B) = ·

66. Se desea obtener al sacar dos cartas de un naipe español que ambas

cartas sean un ases. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra si cuando se

saca la primera carta esta no se devuelve al mazo?

Sol

Sean nuestros sucesos los siguientes.

A = que la primera carta sea un as

B = que la segunda carta sea un as

Al no reponerse la carta debemos usar

P (A B) = P (A) · P (B/A) = ·

67. Al sacar dos cartas de un naipe español. Hallar la probabilidad de que

al sacar la primera carta esta sea un 3 de espada y la segunda un 4 de

espada si se repuso la carta sacada con anterioridad.

Sol.

Describamos los sucesos

A = la primera carta sea un 3 de espada y su probabilidad es P(A) =

B = la segunda carta sea un 4 de espada y su probabilidad es P (B) =

Al reponerse la primera cara sacada tener sucesos independientes por

lo que usamos

P (A B C) = P (A) · P (B) = · =




35

68. Si se tiene un naipe español de 40 cartas. Si al sacar una carta al azar y se vuelve a meter ¿Cuál es la probabilidad de extraer

2 tres?

Sol. Como son sucesos independientes solo utilizamos

P (A B) = P (A) · P (B) =

69. Si lanzamos dos monedas seguidas, y sus sucesos son

A = obtener dos sellos B = obtener alguna cara

Determine si estos dos sucesos son incompatibles y si de serlos decir en qué caso no lo serían

Sol.

Si desglosamos cada suceso por separado obtendremos que el suceso

A = {(s, s)} mientras que el suceso B = {(s, c), (c, s), (c, c)} Para que dos suceso sean incompatibles su intersección debe

ser vacía esto quedaría

(A B) = y claramente en este caso (A B) = por lo que

ambos sucesos son incompatibles

Y para que ambos sucesos no sean incompatibles solo debemos usar el complemento de cualquiera de los dos sucesos.

70. Se lanzan dos monedas la aire una tras otra y los sucesos son

los siguientes




36

S = obtener algún sello C = obtener dos caras

¿Son estos sucesos incompatibles?

Sol.

Lo primero que debemos tener claro es cuando dos sucesos son incompatibles

la intersección de sus sucesos debe ser vacía. Si tomamos los sucesos

presentados en el enunciado.

S= {(s, c), (c, s), (s, s)}

C = {(c, c)}

Como se puede apreciar claramente no existen elementos comunes entre

estos sucesos por lo que (A B) = por lo que S y C son sucesos

incompatibles.

71. Sean los sucesos al lanzar dos monedas al aire

A = obtener un sello

B = obtener dos sellos

Explique si estos sucesos son incompatibles o no

Sol.

Escribamos ambos sucesos por extensión de esta manera los sucesos son

A = (s, c), (c, s), (s, s)

B = (s, s)

De esta manera podemos observar claramente que la intersección de estos

sucesos no es vacía por lo que estos sucesos no son incompatibles.

72. Sean los sucesos: al lanzar dos monedas




37

X = que salgan dos caras

Y = que salga una cara

Determine si estos sucesos son incompatibles

Sol.

Para que dos sucesos incompatibles sean tal se debe cumplir que X Y =

si X = (c, c) e Y = {(c, s) (s, c) (c, c)} podemos observar claramente X Y = (c,

c) por lo que podemos afirmar que los sucesos X e Y no son incompatibles

73. Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la

probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad?

Sol

Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de

una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen

la misma probabilidad. El espacio muestral es Z = {xX, xY, XX, XY}

el suceso A=hijo enfermo

corresponde al genotipo xY, por tanto

P(A) = 1/4 = 0,25

74. La mujer ya tuvo su hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga

la enfermedad?

Sol

Sean los sucesos

A = hijo enfermo

B = ser varón = {xY, XY}




38

La probabilidad pedida es P(A|B) y aplicando la definición anterior

P (B) = 0, 5

A B = {xY}; P (A B) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5

Por lo tanto se puede calcular p(A|B)

P (A|B) = 1/2 = 0,5

75. Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es

hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?

Sol

A = ser hipertenso

B = ser fumador P (B) = 0,5

A B = ser hipertenso y fumador P(A B) = 0,1

P(A|B) = 0,1/0,5 = 0,2

76. Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene

problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares

revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos

con placas de ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento

de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto

a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma?

Sol.

A1 = problemas vasculares

A2 = placas de ateroma

A3 = expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos

P (A1) = 0,001




39

P (A2|A1) = 0,20

P (A3|A1 Ç A2) = 0,1

P (A1 A2 A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002

77. Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2

azules. Se extraen al azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera

sea azul, y las otras dos verdes.

Sol.

Definimos los sucesos

A1 = la 1ª bola es azul

A2 = la 2ª bola es verde

A3 = {la 3ª bola es verde}

P (A1) = 2/10 puesto que hay 10 bolas y 2 son verdes.

P (A2|A1) = 5/9; si la primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9

bolas, 5 de ellas verdes.

P (A3|A1 A2) = 4/8; si la primera bola extraída es azul y la segunda verde

en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes.

P (A1 A2 A3) = 2/10 · 5/9 · 4/8 = 1/18

78. Si lanzamos dos veces una moneda ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos una cara?.

Sol.

Como sabemos que nuestro espacio muestral es S = {CC, CS, SC, SS}. Nuestro resultado saldría inmediato pero determinado por

sucesos sería de la siguiente manera.

Sucesos:




40

A = salga cara cara (CC) y su probabilidad es 1/4 B = salga cara sello (CS) y su probabilidad es 1/4 C = salga sello cara (SC) y su probabilidad es 1/4

Solo tenemos estos sucesos ya que son la única opción de tener al

menos una cara. Luego como son sucesos mutuamente excluyentes tenemos.

P (A B C) = P (A) P(B) P(C) =

79. En un pueblo existe una epidemia del cual el 10% de los

hombres está enfermo y el 18% de las mujeres también lo está, otro dato que se tiene es que existe el doble de mujeres que de hombres. Al elegir al azar a un individuo de ese pueblo ¿Cuál es la

probabilidad de que esté enfermo?

Sol.

Determinemos los sucesos que tenemos en este problema

A = El individuo este enfermo B = El individuo es hombre y su probabilidad es P (B) = 1/3

C = El individuo es mujer y su probabilidad es P(C) = 2/3 P(A/B) = 0,1

P(A/C) = 0,18

Luego por el teorema de probabilidad total tenemos que

P(A) = P(A/B)·P(B) + P(A/C) · P(C) = 0,1 · + 0,18 · = 0,153

80. En un colegio existe una enfermedad del cual el 20% de los alumnos de

básica está enfermo y el 12% de enseñanza media también lo está, si la

cantidad de alumnos de enseñanza media es la mitad de los alumnos de

básica. Al elegir un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este

enfermo?

Sol.




41

Sean los sucesos siguientes

E = el alumno este enfermo

EB = el alumno es de enseñanza básica

EM = el alumno es de enseñanza media

P (EB) = y P (EM) =

P(E/EB) = 0,2 y P(E/EM) = 0,12

P (E) = P (E/EB) · P (EB) + P (E/EM) · P (EM) = 0,2 · + 0,12 · =

0,1733333

81. En una perrera existe la enfermedad de distemper la cual el 30% de las

hembras está enferma y el 15% de los machos está enfermo y la cantidad de

perros triplica a la cantidad de las perras. Al elegir un perro de esta perrera

¿Cuál es la probabilidad de que este enfermo?

Sol.

Determinemos los sucesos:

A = que un perro este enfermo

B = que el perro sea hembra y su probabilidad es P(B) = 1/4

C = que el perros sea macho y su probabilidad es P(C) = 3/4

Ahora como nos dan los porcentajes de perros hembras enfermas

estamos en presencia de la probabilidad condicionada P(A/B) = 30% = 0,3

De igual manera obtenemos la probabilidad de perros enfermos dada en

el enunciando; P(A/C) = 15% = 0,15

Ahora con la totalidad de los datos adquiridos a través del enunciado,

para calcular la probabilidad deseada y con los datos que se tiene podemos

usar el teorema de la probabilidad total.

P (A) = P (A/B) · P (B) + P (A/C) · P(C) = 0, 3 · + 0, 15 · = 0, 1875




42

82. En una caja hay 12 bebidas en lata, 8 son de coca cola y cuatro son fanta. Si al sacar 2 botellas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bebidas sean fanta?

Sol.

A = primera lata sea fanta B = segunda lata sea fanta

Para resolver nuestra problemática debemos usar P(A B) pero

como estos eventos no son independientes

P (A B) = P (A) · P (B/A) = · = =

83. En una caja vienen 40 lápices los cuales están divididos en partes iguales en cuatro colores rojo(R), azul (A), verde (V) y morado

(M). Si se extrae un lápiz al azar y se tienen los siguientes sucesos

A = el lápiz es R o A y esta probabilidad es P(A) =

B = el lápiz no es R y esta probabilidad es P(B) =

C = el lápiz es R o V y esta probabilidad es P(C) =

Determinar si los sucesos (A y B) y los sucesos(A y C) son

independientes.

Sol.

Para determinar si estos sucesos son independientes usamos la propiedad siguiente:

P(A/B) = P(A) y P(A/C) = P(C)

P(A/B) = = P(A) por lo que

evidentemente los sucesos A y B no son independientes.

P(A/C) = = P(A) lo que nos indica que

los sucesos A y C son independientes




43

84. Sean los suceso M y N y sus probabilidades son las siguientes. P(A) = 3/5 P (B) = 1/2 P(A B) = 2/7

Determinar P(A B) y P ( ).

Sol.

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) =

P ( ) = P ( ) = 1 – P (A B) = 1 – 0,814 = 0,186.

85. Determine cuál de los siguientes sucesos son mutuamente excluyentes.

A = El hijo de Ana tiene hepatitis B = El hijo de Ana es portador de hepatitis

C = Martín sufre de hipotermia D = La temperatura de Martín es de 40º

Sol.

En este ejercicio los sucesos que son mutuamente excluyentes son claramente los sucesos C y D ya que estos sucesos son los que no pueden ocurrir en un mismo momento.

86. A un grupo de gatos se les suministra una vacuna. El 50 % de los gatos muere, el 40% de los gatos presenta distemper y el 25% de

los gatos muere y presentan distemper. Si sacamos un gato al azar. ¿Cuál es la probabilidad que el gato muera o tenga distemper?

Sol. Sean los sucesos acá presentes;

A = que los gatos mueran B = que los gatos tengan distemper

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0,5 + 0,40 – 0,25 = 0,65 = 65%




44

87. Si nos dicen que P(A B) = 0. Determine que tipo de sucesos

son y porque

Sol.

Como su intersección P(A B) = 0 esto implica que A B = lo que

claramente no señala que estos sucesos no pueden ocurrir en el mismo

tiempo lo que es una característica inequívoca de que estos sucesos son

mutuamente excluyentes

88. La probabilidad de que Pamela quede en una universidad de Santiago es de 2/3 y la probabilidad que quede en una universidad

de Valparaíso es de 4/9. Si la probabilidad que quede en ambas universidades es de 1/4 ¿Cuál es la probabilidad de que quede en al

menos una de estas universidades?

Sol.

Sean nuestros sucesos denominados de la siguiente manera.

S = Pamela quede en la universidad de Santiago P(S) = 2/3

V = Pamela quede en la universidad de Valparaíso P(V) = 4/9 P(S V) = 1/4

P(S V) = P(S) + P (V) - P(S V) =

89. La probabilidad de que un bus programado normalmente

salga a tiempo es de 0,80; la probabilidad que el bus llegue a la hora es 0,79 y que ocurran ambas que salga y llegue a tiempo es de 0,75.

Encuentre la probabilidad de que el bus llegue a tiempo siendo que este salió a la hora

Sol.

Démosle nombres a los sucesos enunciados en el ejercicio

A = que el bus salga a tiempo




45

B = que el bus llegue a tiempo C = que el bus salga y llegue a la hora

Y como las probabilidades ya están dadas solo debemos reconocer que probabilidad debemos usar. En este caso B está

condicionado por A por lo tanto usamos

P (B/A) =

90. En una caja hay 12 bebidas, 8 son desechables y 4 retornables. Si al sacar 2 botellas al azar ¿Cuál es la probabilidad

de que ambas bebidas sean retornables?

Sol.

A = la primera botella sea retornable B = la segunda botella sea retornable

Para resolver nuestra problemática debemos usar P(A B)

pero como estos eventos no son independientes

P (A B) = P (A) · P (B/A) = · = =

91. Si tenemos una caja de servicio con tenedores, cucharas y

cuchillos los cuales tienen las siguientes probabilidades de ser

sacados de la caja. 50% sacar un tenedor, 30% sacar una cuchara y

20% sacar un cuchillo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un tenedor

o un cuchillo al querer sacar un servicio de la caja?

Sol.


A = sacar un tenedor de la caja

B = sacar un cuchillo de la caja

Como las probabilidades de nuestros sucesos ya son conocidos

reemplazamos en.

P(A B) = P(A) + P (B) = 0,5 + 0,2 = 0,7 = 70%




46

92. Un gato es colocado dentro de una caja con 3 pulsadores de distintos colores, el primero es blanco, el segundo es negro, y el

tercero es rojo, si pulsa dos veces las palancas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que el ratón pulse la primera vez o la segunda o ambas

el color blanco?

Sol. Claramente estamos en presencia de unión de sucesos, pero

estos sucesos no son incompatibles por lo que usamos:

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) = + - =

93. Tenemos una tómbola con 7 bolas numeradas del 1 al 7. El ejercicio es sacar una bolita al azar anotar su número y devolverla a

la tómbola. Los sucesos a considerar son los siguientes :

A = obtener un número cuadrado B = obtener un número primo

Calcular entonces.

a)

b) Determinar si ambos sucesos son compatibles

Sol. a) , ya que los elementos del suceso B están contenidos en

b) Los sucesos A y B no son compatibles ya que

94. Si P(A) = y P(B/A) = , determine si cumple con A B =

Sol.

P(B/A) = y como la formula de esta probabilidad esta dada

por




47

P(B/A) = por contradicción tenemos que si A B =

P(A B) = 0 y si esto fuese así P(B/A) = 0 por esto claramente

A B

95. Una mujer tiene 4 hijos 2 hombres y 2 mujeres. Ella debe salir con 2 de los 4 a comprar y los otros dejarlos con su abuela si se sabe que al menos uno de los que saldrá es mujer ¿Cuál es la

probabilidad de que ambos hijos con los que salga sean mujeres?

Sol. Sean nuestros sucesos = {mm ; mh ; hh ; hm} estas son las posibilidades de elegir a

los hijos para salir

A = {mm} que sean ambos mujeres B = {mh ; hm ; mm} que al menos uno sea mujer

Así tenemos la siguiente probabilidad P(A/B) = = = =

96. Una caja de mercadería está compuesta por 16 productos divididos entre 4 kilos de arroz, 7 de azúcar, 2 botellas de aceite, 2

bolsas de sal, y 1 tarro de duraznos en conserva. Si los productos se ocupan inmediatamente una vez que se sacan de la caja. Determinar la probabilidad de que el primer producto que se saque

de la caja sea el tarro de durazno y luego una bolsa de arroz. Sol.

Solo necesitamos conocer los sucesos pedidos para encontrar la probabilidad pedida

A = que el primer producto sacado sea el tarro de durazno B = que el segundo producto sea una bolsa de arroz

Luego debemos ocupar P(A B) y su formula será

P(A B) = P(A) · P(B/A) = · =




48

97. Un ratón es colocado dentro de una caja con 3 pulsadores de

distintos colores, el primero es blanco, el segundo es negro, y el

tercero es rojo, si pulsa dos veces las palancas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que el ratón pulse la primera vez o la segunda o ambas

el color blanco?

Sol. Claramente estamos en presencia de unión de sucesos, pero

estos sucesos no son incompatibles por lo que usamos:

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) = + - =

98. Una mujer embarazada tundra dos hijos se sabe que al menos

uno es hombre ¿Cuál es la probabilidad de que ambos bebes sean hombres?

Sol. Sean nuestros sucesos

= {hh; hm; mm; mh}

A = {hh} que sean ambos hombres B = {hm; mh; hh} que al menos uno sea hombre

Así tenemos la siguiente probabilidad P(A/B) = = = =

Si se tienen los siguientes datos P(A) = P(B) = 0,48 y P(A B)=

0,40. Determinar P(A B).

Sol.

Para resolver estas interrogantes debemos recordar que

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) y solo debemos reemplazar lo que

nos daría P(A B) = 0,48 + 0,48 – 0,40 = 0,56

iniciacion probabilidad de sucesos

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