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INGENIERÍA INFORMÁTICA Universidad Carlos III de Madrid

Programa de la asignatura

PPAARRTTEE II:: EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA DDEESSCCRRIIPPTTIIVVAA

TEMA 1: Estadística descriptiva

1.1 Introducción 1.2 Tipos de datos 1.3 Descripción de datos mediante tablas:

• Tablas de frecuencias univariantes

• Tablas de frecuencias bivariantes • Distribución marginal y condicionada

1.4 Descripción de datos mediante gráficos: • Diagrama de tallo y hojas

• Diagrama de barras

• Histograma y polígono de frecuencias • Pictograma

• Gráficos de dispersión 1.5 Medidas características de un conjunto de datos:

• Medidas de centralización

• Medidas de dispersión

• Otras medidas de forma • Medidas de dependencia lineal: covarianza y correlación

1.6 Transformaciones lineales y su efecto en las medidas características 1.7 Transformaciones no lineales que mejoran la simetría

PPAARRTTEE IIII:: PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD

TEMA 2: Probabilidad

2.1 Introducción 2.2 Definición de probabilidad y propiedades 2.3 Probabilidad condicionada y probabilidad total 2.4 Independencia de sucesos 2.5 Teorema de Bayes

Ybnias Elí Grijalva Yauri [email protected] 1 of 265

TEMA 3: Introducción a las variables aleatorias

3.1 Introducción: la variable aleatoria como modelo de variabilidad 3.2 Variables aleatorias discretas

• Función de probabilidad

• Función de distribución 3.3 Variables aleatorias continuas

• Función de densidad

• Función de distribución 3.4 Medidas características de las variables aleatorias

• Medidas de centralización

• Medidas de dispersión • Acotación de Tchebychev

• Efecto de las transformaciones lineales en las medidas características 3.5 Variables aleatorias multivariantes

• Distribución conjunta de un vector aleatorio

• Distribución marginal

• Distribución condicionada e independencia • Covarianza y correlación

TEMA 4: Modelos de probabilidad univariantes

4.1 Introducción 4.2 El proceso de Bernoulli 4.3 Variables aleatorias asociadas al proceso de Bernoulli

• Distribución de Bernoulli

• Distribución binomial

• Distribución geométrica 4.4 El proceso de Poisson 4.5 Variables aleatorias asociadas al proceso de Poisson

• Distribución de Poisson • Distribución exponencial

4.6 Fiabilidad • Tasa de fallos • Distribución Weibull

• Distribución Gamma 4.7 La distribución normal

• Propiedades

• El Teorema Central del Límite 4.8 Relación entre la normal, la binomial y la Poisson


PPAARRTTEE IIIIII:: IINNFFEERREENNCCIIAA

TEMA 5: Introducción a la inferencia estadística

5.1 La inferencia estadística. Población y muestra 5.2 Distribución muestral de un estadístico 5.3 La distribución de la media muestral 5.4 Estimación y estimadores 5.5 Diagnosis y crítica del modelo

• Contrastes de bondad de ajuste

• Métodos gráficos • Transformaciones para conseguir normalidad

5.6 El método de máxima verosimilitud • La distribución conjunta de la muestra

• La función de verosimilitud • El método de máxima verosimilitud

• Propiedades de los estimadores de máxima verosimilitud

TEMA 6: Inferencia con muestras grandes

6.1 Introducción 6.2 Intervalos de confianza para µ para muestras grandes 6.3 Determinación del tamaño muestral 6.4 Introducción al contraste de hipótesis 6.5 Contraste de hipótesis de la media µ para muestras grandes 6.6 Interpretación de un contraste usando el p-valor 6.7 Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza 6.8 Inferencia sobre una proporción con muestras grandes

• Estimación • Intervalos y tamaño muestral

• Contrastes 6.9 Inferencia con estimadores de máxima verosimilitud

• Intervalos

• Contrastes

TEMA 7: Inferencia en una población normal

7.1 Inferencia en muestras pequeñas 7.2 La distribución t de Student 7.3 Inferencia sobre µ

• Intervalos de confianza

• Contrastes 7.4 Inferencia sobre σ2

• La distribución χ2

• Intervalos • Contrastes


TEMA 8: Comparación de poblaciones

8.1 Introducción 8.2 Comparación de dos medias usando muestras independientes

• Intervalos de la diferencia de medias

• Contrastes para la diferencia de medias 8.3 Comparación de dos medias usando datos emparejados 8.4 Comparación de dos varianzas en poblaciones normales

• Intervalo del ratio de varianzas • Contrastes

8.5 Comparación de dos proporciones • Intervalo de la diferencia de proporciones • Contrastes

PPAARRTTEE IIVV:: CCOONNTTRROOLL EESSTTAADDÍÍSSTTIICCOO DDEE PPRROOCCEESSOOSS

TEMA 9: Introducción al Control Estadístico de Procesos

9.1 Fundamentos de los gráficos de control 9.2 Gráfico de control para la media 9.3 Gráficos de control para la dispersión 9.4 Capacidad de un proceso. Índice de capacidad 9.5 Gráficos P y NP


Capítulo 2

Probabilidad

1. Introducción

2. Definición de probabilidad y propiedades

3. Probabilidad condicionada y total

4. Independencia de sucesos

5. Teorema de Bayes

0Apuntes realizados por Ismael Sánchez. Universidad Carlos III de Madrid.


2 CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD

2.1. Introducción

La Estadística es la disciplina que ayuda a predecir el resultado de un experimento en el queinterviene el azar, así como a valorar e interpretar su resultado. Recordemos que en el Tema 1definimos Experimento como cualquier procedimiento de obtención de un dato en el quemantenemos fijos ciertos factores. De esta forma se puede hablar de repetir el experimento sivolvemos a obtener un nuevo dato mientras se mantiene constante el efecto de esos mismos factores.Al conjunto de factores que controlamos en un experimento le denominaremos condiciones deexperimentación. Si dichas condiciones cambian, el experimento será diferente; no estaríamosrepitiendo el mismo experimento, sino realizando otro experimento diferente. Nuestro interés eneste tema es sobre los resultados que se obtienen al repetir el mismo experimento. En estadísticaes importante distinguir entre dos tipos de experimentos:

Experimento determinista: Un experimento es determinista cuando al repetirse siem-pre se observa el mismo resultado. De esta forma, en un experimento determinista puedepredecirse exactamente el dato que se va a obtener. La razón por la que se obtiene el mismoresultado es porque en el experimento se controlan absolutamente todos los factoresque influyen sobre el resultado. De esta forma si dichos factores se mantienen fijos, se obtienesiempre el mismo valor de la variable, pues no habrá nada que lo altere. Por ejemplo, el resul-tado de una operación matemática es determinista. El resultado de un modelo matemáticoconstruido para describir algún fenómeno también es determinista. En la realidad, es difíciltener este tipo de experimentos, pues habrá factores imposibles de controlar, y no podránincluirse dentro de las condiciones de experimentación.

Experimento aleatorio: Un experimento es aleatorio si al repetirle no siempre se ob-tiene el mismo resultado. Un experimento aleatorio es un esquema de experimentaciónmás realista que un experimento determinista. En la realidad, será difícil diseñar experimen-tos en los que todos los factores estén bajo control, siendo la situación más frecuente aquellaen las que las condiciones de experimentación (es decir, el conjunto de factores que decidimoscontrolar) supongan sólo una porción de los factores que influyan en el resultado. De estaforma, al repetir el experimento habrá circunstancias que habrán cambiado, lo que posibilitaque el resultado sea diferente cada vez. Como el resultado del experimento aleatorio dependeprecisamente de los factores que no controlamos, habrá incertidumbre sobre el resul-tado final. La incertidumbre será tanto mayor cuanto más importantes sean losfactores que no controlamos. En estadística, al efecto de los factores no controlados sele denomina azar. Por tanto, en un experimento aleatorio hay varios resultados posibles yen el valor finalmente observado interviene en mayor o menor medida el azar. Por ejemplo,si el experimento consiste en lanzar una moneda y observar el resultado, hay dos posiblesresultados: cara y cruz, y en el resultado final intervienen factores imposibles de controlar:impulso en el lanzamiento, velocidad de giro de la moneda, tiempo hasta que se detiene,etc. Por tanto, no sabremos a ciencia cierta que saldrá finalmente. Otro experimento podríaconsistir en medir cuánto tiempo tardará una máquina en realizar una tarea. En este segun-do ejemplo hay infinitos resultados posibles, por ser el tiempo una variable continua, y hayigualmente incertidumbre de cuánto se tardará finalmente. Una vez lanzada la moneda o una


2.1. INTRODUCCIÓN 3

vez realizado el proceso la incertidumbre desaparecerá y observaremos el dato final.

En estadística usaremos el concepto de probabilidad para medir la indertidumbre de observarun determinado resultado antes de ejecutar el experimento. El conocimiento de dicha probabilidadserá esencial para poder extraer conclusiones generalizables a futuras repeticiones del experimento.La probabilidad de un suceso puede utilizarse de dos formas principales:

1. El conocimiento de la probabilidad de un suceso ayudará a predecir los resultados y así podervalorar el riesgo de nuestras decisiones o anticipar los recursos que nos preparenpara dicho suceso. Esta actividad es puramente deductiva.

2. Una vez observado un conjunto de resultados de un experimento aleatorio, podemos utilizardichas observaciones para valorar si nuestras hipótesis sobre lo que esperábamosobtener eran o no razonables. Esta valoración se realiza comparando los resultadosobtenidos con la probabilidad que habíamos calculado para su aparición. Esta actividadcombina tanto deducción como inducción (o inferencia). (¿por qué?)

Antes de entrar a definir el concepto de probabilidad continuaremos introduciendo algunasdefiniciones útiles.

Suceso: es el conjunto de resultados de un experimento que comparte alguna característicadefinida. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, un suceso puede ser sacar un númeropar, o bien sacar exactamente el número 6, o sacar un número inferior a 3. Cada vez que alrealizar un experimento obtenemos un valor contenido en la definición del suceso, diremosque hemos observado dicho suceso.

En general. usaremos las letras mayúsculas del alfabeto para designar a los sucesos. Porejemplo, sea el suceso A: obtener un número impar al lanzar un dado. Si lanzamos un dado 3veces y obtenemos {1,5,3} hemos observado el suceso A sólo una vez en esas tres repeticionesdel experimento. Otro ejemplo, sea el suceso C: tardar menos de una hora en ejecutar lamáquina M la tarea T. Si la máquina realiza la tarea 10 veces y en todas ellas ha tardadomás de una hora, no habremos observado nunca dicho suceso.

Sucesos elementales: Cada uno de los resultados elementales de un experimento aleatorio.Es decir, son los valores diferentes de la variable de interés que se obtienen al repetir elexperimento. Por ejemplo, al lanzar un dado, los sucesos elementales son seis: {1,2,3,4,5,6}.Al lanzar una moneda, los sucesos elementales son dos: {cara, cruz}. Al medir el tiempo quela máquina M tarda en realizar la tarea T, los sucesos elementales son infinitos, al ser eltiempo una variable continua.

Sucesos compuestos: cualquier unión de sucesos elementales es un suceso compuesto. Unsuceso compuesto se suele definir mediante el conjunto de resultados o sucesos elementalesque lo forman. Por ejemplo, el suceso A: obtener un valor par al lanzar un dado es un sucesocompuesto, y se escribirá como A : {2, 4, 6}. Observar en la máquina anterior una duraciónsuperior a diez minutos en ejecutar la tarea es también un suceso compuesto y puede escribirsecomo B : {t | t > 10}, donde el símbolo ’|’ se lee ’dado que’ o ’condicionado a’.



Suceso contrario o complementario: Sea A un suceso. Llamaremos A al suceso queocurre cuando no ocurre A. Por ejemplo, si A es el suceso: obtener un número par al lanzarun dado, entonces A será el suceso: obtener un número impar al lanzar un dado. Si A es elsuceso: la máquina tarda más de 10 minutos en ejecutar la tarea, entonces A será el suceso:la máquina tarda 10 minutos o menos en ejecutar la tarea. Cuando observamos A, entoncesno observarenos A, y cuando no observamos A, entonces lo que observamos es A. Al sucesocontrario A también se le denomina suceso complementario.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los sucesos que es posible observar al realizarun experimento. El espacio muestral asociado a un experimento se construye uniendo todoslos sucesos elementales. Cualquer suceso observado, elemental o compuesto, estará dentro delespacio muestral. Por ejemplo, el suceso A: obener un 2 al lanzar un dado está dentro delespacio muestral del resultado del lanzamiento de un dado, así como el suceso B: obtener 1ó 3; pero el suceso C: obtener un número mayor que 12 no está dentro del espacio muestralde dicho experimento.

Suceso seguro: diremos que un suceso es seguro si siempre se observa. A este suceso ledenotaremos por E. El espacio muestral es un suceso seguro. Por eso al espacio muestral sele suele denotar por la letra E.

Suceso imposible: es un suceso que nunca se puede observar, por estas fuera del espaciomuestral se denomina suceso imposible, y se denota por ∅. Por ejemplo, obtener un 10 allanzar un dado es un suceso imposible. Observar una duración negativa en la ejecución deuna tarea por una máquina es también un suceso imposible.

Suceso unión A ∪ B: El suceso unión A ∪B o también A+ B es el suceso que se observasi suceden alguno de los sucesos A y B. Es decir, puede observarse sólo A, sólo B o ambos.Al suceso unión también se le denomina A ó B. Por ejemplo, sea A: observar un númeropar al lanzar un dado, y B: observar un número mayor que 3 al lanzar un dado. EntoncesA ∪ B = {2, 4, 5, 6}. La unión de todos los sucesos elementales dará el espacio muestral E.Asímismo, la unión de un suceso y su complementario también dará el espacio muestral:A+ A = E.

Suceso intersección A∩B: El suceso intersección A∩B o AB es el suceso que se observacuando se observan A y B simultáneamente. También se le denomina A y B. Utilizando elejemplo anterior, sea A: observar un número par al lanzar un dado, y B: observar un númeromayor que 3 al lanzar un dado. Entonces A ∩B = {4, 6}.


2.2. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Y PROPIEDADES 5

Las operaciones unión e intersección verifican las siguientes propiedades:

Unión IntersecciónConmutativa A ∪B = B ∪A A ∩B = B ∩AAsociativa A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪C A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩CIdempotente A ∪A = A A ∩A = ASimplificación A ∪ (B ∩A) = A A ∩ (B ∪A) = ADistributiva A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪B) A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩B)Elemento neutro A ∪∅ = A A ∩E = AAbsorción A ∪E = E A ∩∅ = ∅

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebrasde Boole. En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas comoleyes de De Morgan:

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:A ∪B = A ∩ BEl suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:A ∩B = A ∪ B

2.2. Definición de probabilidad y propiedades

Supongamos que estamos interesados en la observación de un suceso, resultado de un experi-mento aleatorio. Salvo que dicho suceso sea el suceso seguro o un suceso imposible, nunca sabremossi ese suceso será finalmente observado o no. Habrá una incertidumbre sobre la observación de dichosuceso. El grado de incertidumbre, o análogamente, certidumbre, será mayor o menor dependien-do de cada caso concreto. Usaremos el concepto de probabilidad para medir dicha incertidumbre.Definiremos probabilidad de un suceso en un experimento aleatorio como la frecuencia relativa deaparición de dicho suceso si repetimos el experimento indefinidamente. A veces esta probabilidadserá fácil de cuantificar. Por ejemplo, la probabilidad de observar el suceso A: cara, al lanzar unamoneda es de 0.5; es básicamente un razonamiento lógico. En general, el cálculo de probabilidadeses sencillo si todos los sucesos elementales son equiprobables.Otras veces requerirá un proceso de experimentación para obtener dicha probabilidad empíri-

camente. Por ejemplo, sabremos la probabilidad de que una máquina tarde menos de 10 minutosen medir una tarea si medimos muchas veces dicha tarea. Será imposible repetir la tarea in-definidamente, pero tras un número elevado de repeticiones podemos conseguir una aproximaciónsatisfactoria. Otras veces, dicha probabilidad será simplemente una medida subjetiva útil, pues noserá posible repetir el experimento. Por ejemplo, la probabilidad de que mañana llueva es una me-dida subjetiva de la certidumbre de que llueva, pues el mañana sólo lo podremos observar una vez.Sin embargo todo el mundo entiende que si la probabilidad de que mañana llueva es de 0.9 habrágran riesgo de lluvia sin necesidad de imaginar la repetición de ningún experimento de viajes en eltiempo. En estas situaciones irrepetibles puede interpretarse que la probabilidad es la frecuenciarelativa de observación del suceso en situaciones análogas.



En cualquier caso, tanto en situaciones objetivas o subjetivas, la probabilidad tiene las mismaspropiedades que la frecuencia relativa. Sea A un suceso (simple o compuesto), resultado de unexperimento aleatorio. Entonces la probabilidad de observar A se denotará por P (A) y verifica lassiguientes propiedades

1. 0 ≤ P (A) ≤ 1

2. P (E) = 1

3. P (∅) = 0

4. Sea A el suceso contrario o complementario de A, entonces P (A) = 1− P (A)

5. Si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes P (A+B) = P (A) + P (B)

6. Si A y B no son excluyentes P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

Si los sucesos elementales son equiprobables, como sucede al lanzar un dado o unamoneda, la probabilidad de cada suceso elemental es 1/n donde n es el número desucesos elementales. Por eso es fácil deducir que la probabiidad de obtener cara al lanzar unamoneda es 1/2 y la de obtener un 4 al lanzar un dado es 1/6. A este tipo de situaciones se ledenomina modelo de probabilidad uniforme.Siguiendo con este tipo de razonamiento puramente lógico para calcular probabilidades, si el

suceso cuya probabilidad nos interesa calcular es la unión de sucesos elementales, suprobabilidad será la suma de las probabilidades de dichos sucesos elementales, lo quese deduce de la propiedad 5 anterior. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un número par allanzar un dado es igual a la probabilidad de sacar 2 más la de sacar 4 más la de sacar 6, en total,3/6. Esta regla de cálculo de probabilidades se denomina regla de Laplace, y puede enunciarsecomo sigue:

Regla de Laplace: Sea un espacio muestral E consistente en n sucesos elementales equiprob-ables, y sea A un suceso compuesto por k sucesos elementales, enconces

P (A) =k

n=número de sucesos elementales favorablesnúmero de sucesos elementales posibles

.

Hay que remarcar nuevamente que esta regla sólo es aplicable en contextos en los que cada re-sultado elemental es equiprobable. Fuera de este contexto en el que se manejan sucesos elementalesequiprobables, el cálculo de probabilidades de sucesos puede complicarse enormemente. La literatu-ra está llena de problemas clásicos de probabilidad realmente endiablados, para cuya resolución nocabe más que analizar con cuidado y paciencia cómo es el espacio muestral y como descomponer elsuceso de interés en partes más sencillas. Problemas clásicos de probabilidad ’recreativa’ se puedenencontrar, por ejemplo, en www.mathpages.com.En las secciones siguientes vamos a analizar algunas reglas que nos permitan calcular prob-

abilidades de sucesos complejos en función de la información que se tenga de otros sucesos mássencillos.


2.3. PROBABILIDAD CONDICIONADA Y TOTAL 7

2.3. Probabilidad condicionada y total

La incertidumbre sobre la observación de un suceso depende del grado de información quetengamos, y por tanto la probabilidad de un mismo suceso puede variar según el conjunto deinformación. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un 2 al lanzar un dado es 1/6; sin embargosi alguien nos dice que el número que ha salido es par, entonces la probabilidad de que sea 2 será1/3. Podemos decir entonces que la probabilidad incondicional de sacar un 2 es 1/6, pero laprobabilidad condicionada a que el número ha sido par es 1/3. La notación para este tipode probabilidades es la siguiente. Llamemos A al suceso que no sabemos si observaremos o no ycuya probabilidad queremos calcular (obtener un 2 al lanzar un dado). Llamemos B al suceso queya ha sido observado, y que precisamente por eso se ve modificada la incertidumbre sobre A (ennuestro ejemplo del dado, el suceso B sería obtener un número par). Entonces la probabilidad deA condicionada a B, o también la probabilidad de A dado B es

P (A|B).

El cálculo de P (A|B) depende de la relación que haya entre ambos sucesos. Es posible obtenerlasi conocemos P (B) y P (A ∪B) a través de la relación

P (A|B) = P (A ∩B)P (B)

. (2.1)

A esta relación la denominaremos regla de la probabilidad condicionada. Para entender yjustificar esta fórmula usaremos un ejemplo. En una sala hay 300 personas. La siguiente tabla defrecuencias bivariante establece la clasificación por sexo y por ser o no fumador

Chicas Chicos Total fumadoresFuma 15 15 30No fuma 105 165 270

Total por sexo 120 180 300

Sea F el suceso: ser fumador; es decir, que al extraer a una persona al azar de entre los 300resulte que es una persona fumadora. La probabilidad de ese suceso será la frecuencia relativade su aparición al repetirse indefinidamente este experimento de extracción de un individuo alazar, es decir P (F ) = 30/300 = 0,1. Nótese que estas repeticiones (imaginarias) del experimentoson siempre sobre una base de 300 individuos, por que son extracciones con reposición. Una vezanalizado un individuo, éste volvería al grupo. Este valor también puede obtenerse por la regla deLaplace anterior, pues todos los individuos tiene la misma probabiidad de ser seleccionados, perosólo 30 de los 300 poseen el atributo definido por el suceso.Sea M el suceso: ser mujer; es decir, que al seleccionar a una persona al azar de entre las 300

resulte ser ua mujer. Entonces P (M) = 120/300 = 0,4. ¿Y la probabilidad del suceso P (F |M)?es decir, suponiendo que la persona seleccionada es na mujer ¿cuál es la probabilidad de que seafumadora? En este caso, la probabilidad de que una persona fume dado que sea mujer será lafrecuencia relativa de aparición de personas fumadoras dentro del colectivo femenino, formado por120 personas. Las condiciones de experimentación son las de seleccoinar personas entre el grupo



de 120 mujeres. Es por tanto 15/120. Se puede escribir entonces que

P (F |M) =número de mujeres que fuman

número de mujeres

=número de mujeres que fuman/número total de personas

número de mujeresn/número total de personas=15/300

120/300

=P (fumar y ser mujer)

P (ser mujer)=P (F ∩M)P (M)

,

que corresponde precisamente con la regla de la probabilidad condicionada expuesta en (2.1).De (2.1) se obtiene también

P (A ∩B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B), (2.2)

que proporciona otra expresión útil para calcular probabilidaes conjuntas a partir de otras proba-biidades que conozcamos.En ocasiones estamos interesados en la probabilidad de observar un suceso A que sólo ha sido

observado con anterioridad unido a otro suceso B. Por ejemplo, supongamos que sólo sabemosla proporción de hombres y mujeres que fuman (P (F |M) y P (F |H)) y savenmos la roporción dehombres y mujeres (P (M) y P (H) = 1− P (M)). ¿Cuál es entonces la proporción de fumadores?es decir ¿qué vale P (F )? De la definición de suceso seguro E se puede deducir que

A ∩E = A

B ∪ B = E

Estas relaciones nos ayudarán a obtener P (A) en función de la observación del suceso B. Elrazonamiento es el siguiente

P (A) = P (A ∩E) = P (A ∩ ¡B ∪ B)¢y de esta forma ya hemos introducido en escena el suceso B del que tenemos información. Entonces

P (A ∩ ¡B ∪ B)¢ = P (A ∩B) ∪ (A ∩ B)= P (A ∩B) + P (A ∩ B)− P (A ∩B ∩A ∩ B)= P (A ∩B) + P (A ∩ B)

pues P (A∩B∩A∩B) = 0, pues no es posible observar B y B simultáneamente, es decir B∩B = ∅.Usando (2.2) tenemos que

P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩ B)= P (A|B)P (B) + P (A|B)P (B)

a este resultado se le llama regla de la probabilidad total. Este resultado se puede extenderal caso en que en lugar de tener los sucesos B y B tenemos una separación en más categorías, esdecir B1 ∪B2 ∪B3 ∪ · · · ∪Bk = ∪ki=1Bi = E. Entonces podemos escribir que

P (A) = P¡A ∩ ¡∪ki=1Bi¢¢ = kX

i=1

P (A ∩Bi) =kXi=1

P (A|Bi)P (Bi) (2.3)


2.3. PROBABILIDAD CONDICIONADA Y TOTAL 9

que nos permite reconstruir la probabilidad de un suceso después de haber observado la proba-bilidad de ocurrir cuando se observaban otros. En nuestro ejemplo de personas fumadoras o nofumadoras tenemos que

P (F |M) =15

120= 0,125;P (M) =

120

300= 0,4

P (F |H) =15

180= 0,0833 : P (H) = 0,6,

y por tanto

P (F ) = P (F |M)P (M) + P (F |H)P (H) = 0,10,que vemos que coincide con el cálculo directo que se obtiene al observar los valores de la tabla, dedonde se puede ver que P (F ) = 30/300 = 0,10.

Ejemplo: Una de las tareas más críticas en la gestión del tráfico de una red informática es ladetección de un ataque externo. Dicha detección se hace analizando trazas de los datos quecirculan. Se ha de disponer entonces de un algoritmo que detección (AD) que clasifique dichatraza como un ataque o no. Un AD se evalúa en función de dos características: la probabilidadde detectar un ataque, Pd, y la probabilidad de dar una falsa alarma.Pf . Si llamamos I alsuceso de sufrir un ataque y A a su detección, tendremos que Pd = P (A|I) y Pf = P (A|I),donde I es el suceso complementario a I.

La compañía SSi (www.ebusiness-security.com) comercializa un producto para la detección deataques (http://www.ebusiness-security.com/eTrust_Intrusion_detection.htm). El AD quecomercializa tiene unas características bastante buenas. La probabilidad de detectar unataque es Pd = 0,99, mientras que la probabilidad de falsa alarma es Pf = 0,002. (Loideal sería Pd = 1 y Pf = 0).

Cuando el AD está analizando una unidad de información (packet) hay dos opciones, que déalarma o que no dé alarma, es decir P (A) y P (A). Si el sistema recibe por término medio unataque cada 50.000 unidades de información ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema déuna alarma? Si el sistema recibe una media de un millón de packets al día ¿Cuántas alarmasse darán por término medio?

Solución:

Para calcular esta probabilidad usaremos la regla de la probabilidad total, pues tenemos laprobabilidad de alarma condicionada a otro suceso, que se produzca un ataque, así como suprobabilidad. Se tiene entonces que

P (A) = P (A|I)P (I) + P (A|I)P (I)= 0,99× (1/50000) + 0,002× (1− 1/50000) = 0,00201976.

El número de alarmas en un día será 106×P (A) ≈ 2020 alarmas. Puesto que cada alarma hade ser analizada, 2020 alarmas puede ser un número excesivamente elevado. ¿Cómo se podríareducir?



2.4. Independencia de sucesos

Dos sucesos son independientes si la observación de uno de ellos no aporta información sobrela aparición de otro. Por tanto, la aparición de uno no hace variar la probabilidad del otro suceso.Por tanto, si dos sucesos A y B son independientes se tiene que

P (A|B) = P (A)

P (B|A) = P (B).

Por tanto, utilizando la regla de la probabilidad condicionada

P (A|B) = P (AB)

P (B)= P (A)

y por tanto, si hay independencia

P (AB) = P (A)P (B). (2.4)

A esta expresión se le denomiará regla de la independencia, y es con frecuencia utilizada paradefinir independencia.

Ejemplo: Unas piezas cilíndricas pueden ser defectuosas por tener una longitud inadecuada opor tener un diámetro inadecuado, siendo ambos tipos de defectos independientes. Si laproporción de cilíndros con longitud inadecuada es de 5% y la de cilindros con diámetroinadecuado es del 3%. ¿Qué porcentaje de cilindros son defectuosos?

Solución:

Si llamamos L al suceso: longitud inadecuada, y D al suceso diámetro inadecuado, entoncesun cilindro es defectuosos si

P (defectuoso) = P (L+D) = P (L) + P (D)− P (LD)

y al ser ambos sucesos independientes

P (LD) = P (L)P (D) = 0,05× 0,03 = 0,0015.

Por tantoP (defectuoso) = 0,05 + 0,03− 0,0015 = 0,0785.

No debemos confundir sucesos independientes con sucesos mutuamente excluyentes (o disjun-tos). Sucesos mutuamente exclyentes son aquellos que nunca ueden observarse simultáneamente.Por ejemplo, los sucesos elementales son mutuamente excluyentes. Al lanzar un dado no puedeobservarse un 2 y un 4 simultáneamente. En sucesos mutuamente excluyentes se verifica queP (A ∩ B) = ∅, por lo que si P (A) 6= 0 y P (B) 6= 0 se tiene que no se cumple la regla de laindependencia y P (AB) 6= P (A)P (B). Dos sucesos mutuamente excluyentes son por tanto de-pendientes, pues si hemos observado uno de ellos, ya sabemos que el otro suceso no podrá serobservado.


2.5. TEOREMA DE BAYES 11

2.5. Teorema de Bayes

De la fórmula de probabilidad condicionada se tiene que

P (A|B) = P (AB)

P (B)

pero, por otra parte

P (B|A) = P (AB)

P (A)

coincidiendo por tanto el numerador de ambas expresiones. Despejando en la segunda y sustituyen-do en la primera se tiene que

P (A|B) = P (B|A)P (A)P (B)

, (2.5)

resultado que se conoce como Teorema de Bayes. Esta expresión también puede escribirse como

P (A|B) = P (B|A)P (B)

P (A),

donde P (A) es la probabilidad de A antes de observar B y P (A|B) es la nueva probabilidad de Auna vez que hemos observado B. Si B y A son independientes tendremos que P (B|A) = P (B) ypor tanto P (B|A)/P (B) = 1. Es frecuente también expresar el Teorema de Bayes sustituyendo eldenominador por su expresión respectiva usando el resultado de la probabilidad total, es decir

P (A|B) = P (B|A)P (A)P (B|A)P (A) + P (B|A)P (A) . (2.6)

Ejemplo: La probabilidad de que un componente de un sistema se averíe en un período de tiempodado es 0,01. Su estado (averiado, funcionando) se comprueba con un ensayo que cumple quecuando el componente funciona la probabilidad de que el ensayo diga lo contrario es 0,05,pero si el componente está averiado el ensayo no se equivoca. Si el ensayo indica que elcomponente está averiado, ¿ cuál es la probabilidad de que realmente lo esté?

Solución:

Llamando A y F a los sucesos el componente está averiado y funciona y a y f a los resultadosdel ensayo, que indican que el componente está averiado, o que funciona, podemos escribirque la probabilidad pedida. Lo primero es traducir el texto de nuestro problema en términosestadísticos. Es necesaro darse cuenta qué sucesos se han observado y de qué sucesos tenemosincertidumbre sobre si serán o no observados. Cuando establecemos que la probabilidad deque se averíe es 0.01, equivale a P (A) = 0,01. Si cuando el componente funciona (sucesoobservado) la probabilidad de que el ensayo diga lo contrario (hay pues incertidumbre) es 0,05,equivale a P (a|F ) = 0,05. Si cuando el componente está averiado (suceso observado) el ensayono se equivoca (declaración sobre su incertidumbre) tendremos que P (a|A) = 1. Y lo quequeremos calclar es que si sabemos que el el ensayo da resultado de avería (suceso observado),cuál es la probabilidad de que realmente lo esté (suceso sobre el que hay incertidumbre), queequivale a P (A|a). Puede verse que la probabilidad condicionada que queremos calcularP (A|a) es la contraria, en el sentido de los sucesos que conocemos y desconocemos, a las



probabilidades condicionadas que ya conocemos P (a|A) y P (a|F ). Por tanto puede resolversecon el Teorema de Bayes. Se tiene entonces que

P (A | a) = P (a | A)P (A)P (a | A)P (A) + P (a | F )P (F ) =

1× 0,011× 0,01 + 0,05× 0,99 = 0,168.

El numerador de esta fracción representa la probabilidad de que el componente esté averiadoy el ensayo así lo indique, y el denominador representa la probabilidad de que el ensayo décomo resultado que el componente está averiado.

Ejemplo: Sigamos con el ejemplo anterior del AD para detectar intrusiones en un sistema. ¿Cuáles la probabilidad de que al analizar una alarma, ésta sea falsa?

Aquí se ha de tener mucho cuidado con el lenguaje, pues es fácil confundirse. Antes hemosdefinido falsa alarma como Pf = P (A|I). Pf es la proporción a largo plazo de packetsanalizados en los que no había ataque y sin embargo sí se dió la alarma. El experimentoque se repetía era el análisis de packets sin intrusión, y el resultado era alarma o no-alarma.Ahora analizamos situaciones de alarma, y el resultado es que ha habido o no ha habidointrusión, y lo que queremos es calcular la probabilidad de que al analizar una alarma, elresultado haya sido negativo. Para distinguirlo de la situación anterior de falsa alarma, a estasituación le llamaremos Detección Negativa, y su probabilidad Pn = P (I |A), mientras queuna Detección Positiva se haría con probabilidad Pp = P (I|A).Utilizaremos el Teorema de Bayes, pues necesitamos calcular una probabilidad condicionadapero lo que tenemos es precisamente la probabilidad condicionada opuesta. Por el teoremade Bayes tenemos que

P (I|A) = P (A|I)P (I)P (A)

=0,002× (1− 1/50000)

0,00201976= 0,99.

Luego la inmensa mayoría de las alarmas analizadas son detecciones negativas. Este resultadopuede ser muy frustrante para los técnicos de seguridad, pues quiete decir que invierten lamayoría de su tiempo con alarmas innecesarias.

Este hecho, el que un técnico de seguridad de una red dedique la mayoría de su tiempo aanalizar detecciones negativas es un problema importante pues lleva al técnico a rechazar elAD. Sin embargo, como se vió antes, el AD tenía unas características bastante buenas.

¿Cuál es la solución a este problema? Del análisis anterior se deduce que una posibilidad esreducir aún más la probabilidad de falsa alarma Pf (¿por qué?). Es necesario entonces queel AD tenga una probabilidad de falsa alrma realmente baja. Si Pf = 0,0001 (veinte vecesmenor que el anterior) se tendrá que

P (A) = P (A|I)P (I) + P (A|I)P (I)= 0,99× (1/50000) + 0,0001× (1− 1/50000) = 1,19798× 10−4.

Entonces

P (I |A) = P (A|I)P (I)P (A)

=0,0001× (1− 1/50000)

1,19798× 10−4 = 0,83,


2.5. TEOREMA DE BAYES 13

que aunque elvado, es menor que el anterior. Se deduce entonces que una seguridad efectivaante intrusiones necesita de un sistema de detección altamente preciso así como una labor deanálisis de alarmas donde es de esperar un elevado porcentaje de detecciones negativas, sinque ello deba interpretarse como que el AD no funciona.

En las expresiones del Teorema de Bayes (2.5) y (2.6) se ha usado que sólo tenemos el suce-so A y su complementario A. Estas expresoines pueden fácilmente generalizarse para el caso enque tengamos más de dos sucesos elementales, por ejemplo A1,A2, ...,AJ , tal que ∪Jj=1Aj = E.Entonces, aplicando el resultado de la probabilidad total (2.3), el Teorema de Bayes se escribiríacomo

P (Ai|B) = P (B|Ai)P (Ai)PJj=1 P (B|Aj)P (Aj)

,

que es una expresión más general que las anteriores


Tema 2: ProbabilidadHOJA DE EJERCICIOS

1. Si A y B son sucesos con probabilidad no nula, analizar si son independientes (i) en el caso en que seanmutuamente excluyentes y (ii) en el caso en que sean complementarios (B = A).

SOLUCIÓN:

No pueden ser independientes.

2. El departamento de calidad de una fábrica de elementos de sujección ha evaluado que cierto tipo deanclajes metálicos producidos pueden ser defectuosos debido a las siguientes causas: defectos en la roscay defectos en las dimensiones. Se ha calculado que el 6% de los anclajes que producen tiene defectos enla rosca, mientras que el 9% tiene defectos en las dimensiones. Sin embargo, el 90% de los anclajes notienen ningún tipo de defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que un anclaje tenga ambos tipos de defectos?(junio 01)

SOLUCIÓN:

P = 0.05

3. Un componente eléctrico se empaqueta en lotes de 25 unidades. Se rechaza el lote si al inspeccionar unmáximo de dos de sus componentes alguno es defectuoso.

(a) Un inspector realiza el siguiente procedimiento de inspección: extrae primeramente un componente;si resulta defectuoso se rechaza el lote. Si este primer componente es aceptable extrae el segundocomponente. Si este segundo componente es también aceptable acepta el lote entero.

(b) Un segundo inspector utiliza un aparato donde introduce dos componentes simultáneamente, rec-hazando el lote si alguno de ellos es defectuoso.

Cierto lote contiene cuatro artículos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar ese lote por cadauno de estos dos inspectores?

SOLUCIÓN:

Ambas son iguales a 0.3

4. Una máquina consta de tres componentes en serie, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de fallode 0.01. Por motivos de seguridad se decide colocar otros tres componentes, en paralelo con los primeros,para reducir el riesgo de avería de la máquina. Suponiendo que todos los componentes actúan indepen-dientemente, ¿cuál de las dos alternativas presentadas en la figura es preferible, teniendo en cuenta que,por motivos económicos, los componentes de seguridad son de inferior calidad y tienen una probabilidadde averiarse de 0.05?

SOLUCIÓN:

En el caso a) P (avería de la máquina) = 4.236 × 10−3.En el caso b),P (avería de la máquina) = 1.499 ×10−3.Por consiguiente, es preferible la alternativa b) a la a).

1


5. Las proporciones de piezas defectuosas fabricadas por dos máquinas M1 y M2 son 0.04 y 0.01, respectiva-mente. Se toma una pieza al azar y resulta aceptable. Sabiendo que la probabilidad de elegir una piezade cualquiera de las dos máquinas es 0.5, calcular la probabilidad de que provenga de M1.

SOLUCIÓN:

P = 0.492.

6. La probabilidad de que un componente se averíe en un período de tiempo dado es 0.01. Su estado (averiado,funcionando) se comprueba con un ensayo que cumple que cuando el componente funciona la probabilidadde que el ensayo diga lo contrario es 0.05, pero si el componente está averiado el ensayo no se equivoca.Si el ensayo indica que el componente está averiado, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo esté?

SOLUCIÓN:

P = 0.168.

7. Un laboratorio quiere introducir en el mercado un test para detectar una enfermedad. Cuando la personaestá enferma, el test indica un 95% de las veces que lo está. Sin embargo, a veces el test da positivoaunque la persona no tenga la enfermedad. Esto ocurre un 1% de las veces. Si el 0.5% de la población estáenferma, ¿cuál es la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad cuando el test así lo indica?(junio 97).

SOLUCIÓN:

P = 0.323.

8. En una ciudad determinada, el 30% de las personas son conservadores, el 50% son liberales y el 20%son independientes. Los registros muestran que en unas elecciones concretas, votaron el 65% de losconservadores, el 82% de los liberales y el 50% de los independientes. Si se selecciona al azar una personade la ciudad y se sabe que no votó en las elecciones pasadas, ¿cuál es la probabilidad de que sea un liberal?(examen sep. 97).

SOLUCIÓN:

P = 0.305

9. Los porcentajes de votantes clasificados como conservadores en tres distritos electorales distintos sereparten como sigue: en el primer distrito, 21%; en el segundo distrito, 45% y en el tercero, 75%. Siun distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabil-idad de que sea conservador? (sep.97).

SOLUCIÓN

P = 0.47

10. En un sistema protegido por una alarma, la probabilidad de que se produzca una situación de peligro es0,1. Si ésta se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que laalarma funcione sin haber existido peligro es 0.03. Hallar la probabilidad de que habiendo funcionado laalarma no haya habido peligro. (sep.98).

SOLUCIÓN:

P = 0.2213

11. Sean A y B dos sucesos independientes. Comprobar si son independientes los sucesos:

(a) A y B

(b) A y B

(c) A y B, donde A y B son los sucesos complementarios de A y B respectivamente.(sep. 98).

12. Tres máquinas A, B y C producen piezas con una proporción de defectuosas del 5%, 3% y 2% respec-tivamente. Se tiene un lote compuesto por 100 piezas de A, 50 de B y 50 de C. Se extrae una pieza alazar.

(a) Calcular la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.

2


(b) Si la pieza es defectuosa, calcular la probabilidad de que venga de A.(junio 99).

SOLUCIÓN:

a)P = 0.0375 ; b)P = 0.66

13. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas periféricas de una gran ciudad, de maneraque el 60% de los autobuses cubren el servicio de la primera línea, el 30% cubren el servicio de la segundalínea y el 10% cubren el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, unautobús se averíe es:

• Del 2% en la primera línea.

• Del 4% en la segunda línea.

• Del 1% en la tercera línea.

Calcular:

(a) La probabilidad de que en un día un autobús sufra avería.

(b) Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad deque preste servicio en la primera línea? (sep 99).

SOLUCIÓN:

a)P = 0.025 ; b)P = 0.48

3


Probabilidad

1. Un laboratorio ha diseñaado dos tipos de aislante, aislante Tipo A y aislante Tipo B. El destino del aislante escubrir un componente electrónico que ha de estar colocado en una atmósfera muy corrosiva durante un periodocontinuado de 100 horas. Para evaluar la probabilidad de que un aislante resista bajo dicha atmósfera duranteese tiempo, se colocan un conjunto grande de elementos de ambos tipos de aislante durante 100 horas en dichaatmósfera. Después del experimento se observa que 80 de cada 100 aislantes de Tipo A siguen en buen estado,mientas que sólo 60 de cada 100 aislantes de Tipo B siguen en buen estado. De esta forma, puede concluirseque, aproximadamente, la probabilidad de que el aislante de Tipo A resista es P(A)=0.8 y la probabilidad(aproximada) de que el aislante de Tipo B resista es P(B)=0.6.

(a) ¿Por qué se califica estas probabilidades como aproximadas?

(b) Para aislar un componente se tiene dos opciones (1) colocar primero el aislante B y encima el aislante A, o(2) colocar primero el aislante A y luego el B. ¿Cuál de las dos opciones es más recomendable?

SOLUCIÓN:

b: son iguales

2. Una empresa petrolífera ha de decidir si un emplazamiento es adecuado para hacer una prospección petrolífera.La empresa iniciará la propección si la probabilidad de encontrar petróleo es mayor del 0.5. Los geólogosconcluyen que dadas las condiciones geológicas de la zona, la probabilidad de que en el emplazamiento hayapetróleo es de sólo 0.4. Existe una forma adicional, aunque más compleja, de obtener más información sobre elpotencial del emplazamiento. Es posible contratar a una empresa de ingeniería una prueba sísmica para detectarla presencia de petróleo. Esta prueba sísmica tampoco es del todo concluyente. La experiencia revela que cuandorealmente hay petróleo, la prueba sísmica da un resultado positivo el 40% de las veces, mientas que cuando nohay petróleo, la prueba sísmica detecta erróneamente la presencia de petróleo el 10% de las veces ¿Debe laempresa petrolífera contratar esa prueba sísmica?

SOLUCIÓN:

Sí le interesa

3. Se tiene un sistema de componentes conectados según la siguiente figura:

1


Todos los componentes son de una fiabilidad similar, y tienen una probabilidad de averiarse de 0.01. Las averíasde los componentes son independientes del estado del resto de los componentes. El sistema fuciona si entre Ay B es posible encontrar un camino de componentes que funcionen. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistemafuncione?

4. Calcula la probabilidad de que el siguiente sistema funcione, donde los componentes tienen las mismas carac-terísticas que en el problema anterior

5. Calcula la probabilidad de que el siguiente sistema funcione, donde los componentes tienen las mismas carac-terísticas que en el problema anterior

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parte i: estadística descriptiva · pdf file2.3 probabilidad condicionada y...

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