cuerpo probabilidad

8/18/2019 Cuerpo Probabilidad

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Introducción a la Probabilidad

Estadística: Ciencia del estado. Descripción y recogida de grandes conjuntos de datos y su

presentación en tablas y gráficos.

Actualmente es el resultado de la unión de:

- Cálculo de Probabilidades (siglo XVII)- Estadística

Que evolucionan conjuntamente desde el siglo XIX.

Probabilidad: da una medida de la incertidumbre que puede ser debida a la aleatoriedad o al

desconocimiento del estado del sistema.

Estadística Teórica: Desarrolla modelos Matemáticos. Estadística Metodológica o Práctica.

Estadística Descriptiva: Resumen y descripción de datos. Estadística Inferencial: Toma decisiones a partir de los datos tomados en el contexto

general del que provienen.

Fenómeno Natural: Es cualquier cosa que ocurre en la naturaleza.

Existen 2 tipos de fenómenos: Deterministico y Probabilistico

- Fenómeno Deterministico o no Aleatorio: Bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado

es el mismo. Leyes físicas y químicas clásicas.

- Fenómeno Aleatorio: Dadas unas condiciones iniciales el resultado no es el mismo.

nº de partículas emitidas por una fuente radioactiva, Tiempo de vida de una lámpara, Resultado

del lanzamiento de una moneda.

Un experimento es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado.

Al eatorio

tico Determini s o Experiment

En la Estadística se estudian los experimentos aleatorios, en los cuales, no se puede

anticipar el resultado.

Experimento Deterministico o no Aleatorio: Observación de un fenómeno no aleatorio.

Experimento Aleatorio (E): Observación de un fenómeno aleatorio. Son rasgos esenciales:


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Los posibles resultados son conocidos antes de su realización (Espacio Muestral), no se

puede predecir con exactitud el resultado del experimento, se puede repetir indefinidamente en

las mismas condiciones. Ejemplo el lanzar una moneda al aire.

Características de un Experimento Aleatorio

-

Que pueda repetirse n veces.- Conduce a diferentes resultados, pero se pueden conocer estos.

- Posee regularidad estadística(de tanto que se repite tiende a un mismo resultado)

Espacio Muestral de un Experimento Aleatorio (S): El conjunto de todos los posibles

resultados de un experimento aleatorio.

E = Lanzar una moneda 2 veces

S = {(c, s) (s, c) (s, s) (c, c)}

Tipos de Espacios Muéstrales, de acuerdo al número de elementos, el espacio muestral seclasifica en:

Espacio Muestral finito: El número de resultados posibles es un número entero determinado

Espacio Muestral infinito: El número de resultados posibles es un número entero no

determinado, y el mismo puede ser contable (numerable), o no contable (no numerable).

Infinito Contable o Numerable: el número de resultados posibles no puede serdeterminado pero puede ser numerado.

Infinito no Contable o Numerable: el número de resultados posibles no puede serdeterminado ni numerado.

Ejemplos:

1. E: Lanzar un dado 2 veces

S: {(1,1)…….. (6,6)}; S es Finito.

2. E: Observar los Alumnos del núcleo

S: {1, 2, 3, 4………n} ; S es Finito.

3. E: Observar los Vehículos que pasan frente a la universidad

S: {1, 2, 3, 4,………….n……..} ; S es Infinito contable.

4. E: Observar la duración de un bombillo.

S: {t / t≥0} t es la duración del bombillo ; S es Infinito no contable.


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Suceso o Evento: Es una colección de posibles resultados. Los sucesos aleatorios son

subconjuntos del espacio muestral y se pueden utilizar entre ellos las operaciones habituales entre

conjuntos. Se denota con una letra mayúscula a partir de la A; A S.

Ejemplos:

1.- El espacio muestral asociado al experimento: lanzar una moneda es:S = {c, x}

A = {Que aparezca cara.}

A = {c}

2.- El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos monedas es:

S = {cc, cx, xc, xx}

A = {Que aparezca cara}

A = {(c,c) (c,x) (x,c)}

C

X

C

X

C

X

CC

CX

XC

XX

3.-Espacio muestral asociado al experimento: Lanzar un dado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {Que aparezca Par}

A = {2, 4, 6}

4.- Espacio muestral asociado a al experimento. : Lanzar dos dados:

S = { (1,1,),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

A = {Que aparezca Uno}

A = {1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1 (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)}


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Tipos de Eventos.

Compuesto

Simple EVENTO

Eventos simples:

Es un subconjunto que contiene un solo espacio muestral.

Eventos compuestos:

Es una combinación de eventos simples.

Relación Entre Eventos.

Eventos Solapados

AB, son eventos solapados, si tienen elementos comunes, estos elementos comunes a AB,

forman un subconjunto llamado intersección (A B) de AB.

Eventos Mutuamente Excluyentes

AB, son eventos excluyentes A B = (la ocurrencia de uno impide la ocurrencia delotro, no pueden darse o no pueden ocurrir simultáneamente) P(A B) = P (A) + P (B).

Eventos Dependientes: Dos o mas eventos son dependientes cuando el conocimiento de la

verificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del o de los otros. Si los eventos

AB, son dependientes A, si la probabilidad de que “B” suceda, esta influenciada por A

P (B) = P (B/A) P (A B) = P (A) x P (B/A).

Eventos Independientes: un evento B es independiente de un evento A, si la probabilidad de que

“B” suceda, no esta influenciada por A P (B/A) = P (B) P(A B) = P (A) x P (B)

Eventos Complementarios: AB, son eventos complementarios, si el segundo es unsubconjunto que contiene todos los elementos que no están en el primero. Los eventos

complementarios son a su vez mutuamente excluyentes: AB = S y A B = .

Operaciones con Eventos.

1. Unión de sucesos: AB: Sean A y B eventos, AB es otro evento, el cual ocurre cuando Aocurre, ocurre B o cuando ocurren ambos.

Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamaremos suceso unión de

A y B al suceso que se realiza cuando se realiza A o B.

Por tanto E A A


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Ejemplo

Sea el Experimento "Lanzar un dado" S = {1, 2, 3, 4, 5,6}

A ="Salir un número par" = {2, 4,6,}; B ="Salir un número primo = {1, 2, 3,5}A B= {1, 2, 3, 4, 5,6}

2. Intersección de sucesos. AB: Sean A y B eventos, AB es otro evento, cuando ocurre A yB simultáneamente.

Llamaremos suceso intersección de A y B al suceso que se realiza si se realizan A y B

(En el ejemplo anterior. B A = {2})

Si B A = , entonces se dice que A y B son incompatibles.Si B A , entonces se dice que A y B son compatibles.

3.- A: Se lee complemento de A y es el evento que ocurre cuando no ocurre A.n

4. - A1 A2 A3……….A = Aii = 1

n

5. - A1

A2

A3

……….

A = Aii = 1

6.- un evento que no ocurre.

7.- S Espacio Muestral.

8.- A

S = S.

9.- A

S = A.

10.- A =

11.- A = A

Ejemplos

1. Escribimos cada una de las letras de la palabras JUEGO en una ficha y las ponemos en una

bolsa. Extraemos una letra al azar.


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a) escriba los sucesos elementales de este experimento aleatorio. ¿tienen todos la misma

probabilidad?

b) Escriba el suceso obtener una vocal.

Solución

a) Los sucesos elementales son: (J), (U), (E), (G), (O)Todos tienen la misma probabilidad ya que las letras aparecen cada una, “una sola vez”.

b) A = Obtener vocal.

A = {U, E, O}

2. En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el premio

a) ¿Cual es el espacio Muestral?

b) Escriba los sucesos A = Menor que 5 ; B = Par

c)

Hallar los sucesos A B ; A B ; A’ ; B’ ; A’ B’ Solución

a)

E espacio muestral es S: 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 b) A: 4,3,2,1,0 B: 8,6,4,2,0 c) A B = 8,6,4,3,2,1,0 A B = 4,2,0 A’ = 9,8,7,6,5

B’= 9,7,5,3,1 A’ B’ = 9,7,5

3. Lanzamos tres veces una moneda y anotamos si sale cara o sello.

a) Escribir el espacio muestral. b) Escribir el suceso A = Salió cara la primera vez.c) Cual es el suceso contrario de A, escriba los puntos muéstrales.d) Escriba el suceso B = obtener el mismo valor tres veces.e)

Escribir los sucesos B’, . B A y B A

Solución

a) sss,ssc,scs,scc,csscsc,,ccs,cccS

b) csscsc,,ccs,cccA

c) sss ssc scs scc sello saliovez primerala A ,,,'

d) sssccc B ,

e) ssc,scs,scc,csscsc,csc,,ccsB


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sss,csscsc,,ccs,cccBA

.cccBA

4. En una caja hay una bola blanca y una bola negra, en otra caja hay una bola negra, una bola

blanca y una bola roja: se extrae una bola de cada una de las cajas y se anota su color:a) Cual es el espacio muestral. b) Escriba los sucesos: A = la segunda bola es roja, B = alguna de las bolas es blanca.c) Escriba los sucesos: A’, B’, . B A y B A

d) Cual es el suceso contrario de nr , br , bnC

Solución:

a)

S = {(b, n) (b, b) (b, r) (n, n) (n, b) (n, r)}.

b)

A = {(b, r) (n, r)}. b = {(b,n)(b,b)(b,r)(n,b)}c) A’ = {(b, b) (bn) (n, b) (n, n)}; b’ = {(n, n) (n, r)}.

. B A = {(b, r) (n, r) (b, b) (b, n) (n, b)}

A∩B = {(b, r)}.

d) C’ = {(b, b) (n, b) (n, n)}

Problemas Propuestos de Experimentos y Espacios Muéstrales

1. Determine el espacio muestral del siguiente experimento, lanzar un dado dos veces, estudiar el

Evento: que aparezca el número uno.

2. Determine el espacio muestral del siguiente experimento, lanzar una moneda tres veces,

estudiar los eventos: que aparezca un sello, que aparezca al menos una cara, que aparezca cara.

3. Determine el espacio muestral del siguiente experimento, se lanzan juntos una moneda y un

dado una sola vez.

4. Considérese el experimento lanzar dos dados una sola vez y observar la suma de sus caras.

Se pide:

a.-El espacio muestral.


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b.-Los eventos:

i: se observa 2

ii: se observa 7

iii: se observa una suma menor a 7

iv: se observan ambos A y C

c.-Que relación existe entre los eventos.

4. Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican como defectuosos (D), o no

defectuosos(N). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta

que se produzca dos (2) artículos defectuosos consecutivos o se verifiquen cuatro (04) artículos,

cualesquiera que ocurran primero. Describir un espacio muestral para este experimento.

Determinar el experimento.

5. Considérese cuatro (4) objetos, con a, b, c, d, supóngase que el orden que se anotan esosobjetos representa el resultado de un experimento, sea A el evento “a” esta en el primer lugar y B

el evento “b” esta en el segundo lugar. Determinar todos los elementos del espacio muestral y

sus tipos.

6. Un lote formado por 15 unidades de las cuales se sabe que contiene tres unidades defectuosas,

es inspeccionado por el consumidor tomando una a una hasta tres unidades. El lote se acepta al

aparecer una unidad buena.

7. Sea el siguiente experimento: Lanzamos un dado y una moneda.

a) Describir el espacio muestral

b) Describir los sucesos A y B

A = “Sacar uno o dos en el dado”

B = “sacar sello en la moneda”

c) Hallar AUB, A∩B, AUD'

8. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son

partidarias o no de consumir un determinado producto.

a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento utilizando la letra “s” para las

respuestas afirmativas y la “n” para las negativas.

b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso “al menos dos de las


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personas son partidarias de consumir el producto”?

c) Describe el suceso contrario de “más de una persona es partidaria de consumir el producto”.

9. En familias de tres hijos, se estudia la distribución de sus sexos.

a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral S ?

b) Describe los siguientes sucesos: A = “La menor es mujer”, B = “El mayor es varón”.

c) ¿En qué consiste A U B?

10. Describir el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias aleatorias. Si es

finito y tiene pocos elementos, enumérelos todos, y si tiene muchos, descríbelo y diga cual es el

número total.

a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número.

b) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos la figura.

c) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos la figura de cada una.

d) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado.

e) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras.

11. Si A y B son dos sucesos de un experimento aleatorio y P [ A] = 0:

a) ¿Qué podemos decir de P [ A ∩ B]?

b) ¿Y de P [ A U B]?c) Responde a las mismas preguntas si P [ A] = 1.


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Probabilidad

El Cálculo de probabilidades tiene por objeto la construcción y estudio de modelos

estadísticos.

La probabilidad es una medida de la posibilidad o certidumbre de la ocurrencia de un suceso

Definición de Probabilidad como Frecuencia

Suponga una población homogénea y finita con N elementos, de los que k presentan la

característica A.

P(A)=k/N o Si la población no es finita, se repite el experimento una “cantidad grande” de

veces.

Frecuencia Relativa: f A = mA/m

mA = nº de veces que apareció la característica A

m = nº de veces que se realizó el experimento.

La f A tiende a estabilizarse según crece m. Esta definición presenta problemas:

- ¿Cuántas veces ha de repetirse el experimento?

- La información es limitada

- El sistema observado puede cambiar en el tiempo de observación.

Por estas razones la probabilidad se introdujo axiomáticamente utilizando las propiedades de la

frecuencia relativa. Este enfoque ayuda a simplificar los modelos teóricos, pero no ofrece una

guía para calcular la probabilidad.

Idea Intuitiva de Probabilidad.

Suponga que se lanza una moneda y se anota las veces que sale cara. Después de 10,

20,30,......,200 lanzamientos se obtienen los resultados:

N de lanzamientos 10 20 30 40 50 60 70 80.................200

N de caras obtenidas 6 11 16 20 27 31 37 43.................101

frecuencia. relativa 0,6 0,55 0,53 0,5 0,54 0,51 0,52 0,53..............0,50


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Si se repitiera el experimento se obtendrían resultados muy parecidos.

Se puede sacar en conclusión que las frecuencias relativas del suceso cara tienden a

estabilizarse hacia el valor 0,5.

Este número al que la frecuencia relativa se acerca más cuanto mayor es el número de pruebas realizadas, se llamara probabilidad del suceso. La probabilidad de un suceso A, se

representará p (A).

Por tanto se puede interpretar la probabilidad de un suceso como el límite de frecuencias

relativas.

Regla de LAPLACE.

"La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el

número de casos posibles."

ss posiblenº de caso

favorablessnº de caso p(A)

Hay que tener en cuenta que los sucesos elementales tienen que ser igualmente probables

(equiprobables).

Ejemplos:

1. Si se realiza el siguiente experimento “Lanzar un dado”

Calcular la probabilidad de los eventos:

a) A = {número par} = {2, 4, 6} p (A) = 3/6 = 1/2

b) B = {Obtener primo} = {2, 3, 5} p (B) = 3/6 = 1/2

c) C = {Obtener múltiplos de 3} = {3, 6} p (C) = 2/6 = 1/3

d) D = {Obtener múltiplo de 5} = {5} p (D) = 1/6

2) Realizar el experimento siguiente: “Lanzar dos monedas” S = {cc, cs, ss, sc}

Calcular la probabilidad de los eventos

a) A = {Obtener dos caras} p(A) =1/4

b) B = {Obtener dos Sellos} p (B) = 1/4

c) C = {Obtener una cara y un sello} p(C) = 2/4

d) D = {Obtener al menos un sello} p (D) = ¾


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3) Sea el siguiente Experimento

E = {"Extracción de una carta de una baraja española"}

Calcular la probabilidad de los eventos:

a) A = {Obtener un oro} p(A) = 10/40 = 1/4

b) B = {Obtener un as} p (B) = 4/40 = 1/10

c) C = {Obtener una sota de espadas} p(C) = 1/40

d) D = {Obtener un as o una sota} p (D) = 8/40 = 1/5

e) E = {Obtener bastos o espadas} p(E) = 20/40 = 1/2

f) F = {Obtener una figura} p (F) = 12/40 = 3/10

Definición axiomática de probabilidad

Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real entre 0 y 1,

que llamaremos probabilidad de A y representaremos p(A). La probabilidad debe cumplir los

siguientes axiomas:

B p+A p=BA p =BASi -3.

1=E p-2.

A 0A p -1.

Propiedades:

BA pB pA pBA pv)

A 1A piv)

B pA pBASiiii)

0 pii)

A A p1A pi)

Ejemplos:

1. Sea el siguiente experimento:

E = "Extraer una carta de una baraja"

y los sucesos siguientes:


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A = "Obtener un oro" , B = "Obtener un rey"

C = "Obtener un as de espadas" , D = "Obtener figuras"

i)

A y B son compatibles, pues B A = "Obtener rey de oros"

40

13

40

1

40

4

40

10

)()()()( B A p B p A p B A p

ii)

A y C son incompatibles, pues no se puede obtener un oro y el as de espadas a la vez.

40

11

40

1

40

10 Cp ApC Ap

iii) A B P (B) = 4/40 = 1/10 < p (A) = 12/40 = 3/10

iv) D A ="obtener figura de oros"

40

19

40

3

40

12

40

10)()()()( D A p D p A p D A p

2. Sea el experimento siguiente:

Se lanza dos monedas y se anota el número de caras que se obtienen. El espacio muestral es

2,1,0S .

a. Tienen los tres sucesos elementales la misma probabilidad.

b. Calcular la probabilidad de: 0 caras, 1 cara, 2 caras, compruebe que su suma es igual a uno.c. Cual es el suceso contrario de 0 caras.

d. Cual es la probabilidad del suceso alguna cara.

Solución:

a. No el suceso una cara tiene mas probabilidad que los sucesos o caras y dos caras.

b. 4

1)0(0 P Caras P ;

2

1

4

2)1(1 P Caras P ;

4

1)2(2 P Caras P

14

1

2

1

4

1)2()1()0( P P P

c. S = 0 Caras; S’ = Al menos una Cara.

d. 4

3

4

11)Cara Ninguna(P1CaraunamenosAlP


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METODOS DE ENUMERACION

Combinatoria

Se llama factorial de un número natural X y se representa por X! Al producto de X

factores consecutivos y decrecientes a partir de x hasta el 1:

Ejemplos: .241.2.3.4!461.2.3!321.2!21!11!0 etc

VARIACIONES:

Se llaman Variaciones ordinarias de n elementos tomados de m en m (m < n) a los grupos

de m elementos que se pueden formar con los n elementos dados considerándose como distintos

dos de ellos cuando difieran en algún elemento o en el orden de colocación de los mismos.

El número de variaciones ordinarias se calcula así:

)!mn(

!nV

m

n

Ejemplo: ?Cuántas palabras de 3 letras se pueden formar con las cinco letras vocales (tengan o

no sentido)? Como influye el orden y n = 5; m = 3, se tiene:

601.2

1.2.3.4.5

!2

!5

)!35(

!5V

3

5

Se Usa cando se quiere calcular cuantos grupos de m elementos se poden formar con m

elementos (m


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PERMUTACIONES:

A las variaciones ordinarias de n elementos tomados n a n (n = m) se las llama permutaciones de

n elementos y su número es:

!n P n

Las permutaciones permiten calcular de cuantas formas distintas se pueden ordenar m elementos.

Ejemplo:¿ De cuantas formas distintas pueden sentarse 7 personas en un banco?.

Solución: 50401.2.3.4.5.6.7!77 P

Ejemplo: ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse con las 5 letras vocales?1201.2.3.4.5!57 P

COMBINACIONES:Combinaciones de n elementos tomados de m en m:

)!(!

!

mnm

n

m

nC

m

n

Como en el caso de las variaciones también calcula el número de grupos de m elementos que se

pueden formar con los n elementos dados considerándose como distintos dos de ellos cuando

difieran en algún elemento pero no en el orden de colocación de los mismos.

Ejemplo: ¿Cual es el número de apuestas diferentes que se pueden hacer en una lotería que tiene49 números, si el numero ganador tiene 6 cifras?

816.983.13!43.1.2.3.4.5.6

43.44.45.46.47.48.48

)!649(.!6

!49

6

49

)!(!

! 649

C

mnm

n

m

nC mn

Ejemplo: Si en una clase de 40 alumnos queremos formar grupos de 5 sin que importe el orden en

que se elige a los componentes ¿Cuántos grupos saldrían?

658008!35.1.2.3.4.5.

!35.36.37.3938.40

)!540(.!5

!40

5

40

)!(!

! 540

C mnmn

m

n

C m

n

En la mayoría de problemas de combinatoria, la dificultad estriba es saber si hay que aplicar las

fórmulas de variaciones, permutaciones o combinaciones. La siguiente tabla nos ayudará a

decidir:


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Principio de Multiplicación: Si se tiene un evento A y ese evento puede ocurrir de m

maneras diferentes y un elemento B que puede ocurrir de n maneras diferentes, la Intercepción de

esos eventos ocurrirá de m x n maneras diferentes.

Ejercicios resueltos de combinatoria

1) ¿De cuantas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?

Solución:

Nótese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son

diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez. Por lo tanto, hay V10; 4 =

10!/6! = 10 . 9 . 8 . 7 = 5040 maneras.

2) En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuantos modos puede

hacerse si:

a. los premios son diferentes;

b. los premios son iguales.

Solución:

Hay dos supuestos posibles:

Determinamos n y m

¿Es n = m?

Sí No

!n P n ¿Influye el

orden?

No Sí

¿Pueden

repetirse?

)!(!

!

mnm

n

m

nC

m

n

Sí No

mm

n n RV )!(

!

mn

nV mn


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Si una misma persona no puede recibir más de un premio:

a. hay V 10;3 = 10 . 9 . 8 = 720 maneras de distribuir los premios si estos son diferentes;

b. En el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirse de C 10;3 = (10 . 9 . 8)/6 = 120

maneras.Si una misma persona puede recibir más de un premio:

a. Se pueden distribuir los premios, si estos son diferentes, de V R10;3 =103 = 1000 maneras;

b. Hay CR10;3 = 220 maneras de distribuir los premios si estos son iguales.

3) Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los

lugares pares. ¿De cuantas maneras puede hacerse?

Solución:

Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas

por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los 5 hombres). Por lo tanto, pueden colocarse de

P 4 . P 5 = 4! . 5! = 2880 maneras.

4) ¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9

a. Permitiendo repeticiones;

b. Sin repeticiones;

c. Si el ultimo dıgito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?

Solución:

Asumiendo que para que un número sea de 4 dígitos su primer dıgito debe ser distinto de

cero.

a. Puesto que debe formarse un número de 4 dígitos, el primero de estos no puede ser cero. Por lo

tanto, hay nueve posibilidades para el primer dıgito y diez para cada uno de los tres dígitos

restantes, obteniéndose un total de 9 . 103 = 9000 números posibles.

b. Al igual que en el apartado anterior, el primer dıgito no puede ser cero. Como además no se

permiten repeticiones, hay nueve posibilidades para el segundo dıgito: el cero y las ocho no

escogidas para el primer dıgito. Por tanto, se pueden formar 92 . 8 . 7 = 4536 números.

c. Fijando el último dıgito y, como no puede haber repeticiones, se obtiene un total de 9 . 8 . 7 . 1

= 504 números.


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5) En un grupo de 10 amigos, ¿cuantas distribuciones de sus fechas de cumpleaños pueden darse

al año?

Solución:

Considerando que el año tiene 365 días y que puede darse el caso de que varias personas cumplan

en la misma fecha, el numero de maneras distintas es V R365;10 = 36510

6) Cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química han de ser colocados en una

estantería ¿Cuantas colocaciones distintas admiten si:

a. Los libros de cada materia han de estar juntos;

b. Solo los de matemáticas tienen que estar juntos?

Solución:

Suponiendo que los libros de cada materia también son diferentes (de distintos autores).

a. Se considera cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad. Entonces, hay 3!

= 6 ordenaciones posibles de las materias. Además hay que considerar también las 4! = 24

permutaciones de los libros de matemáticas, así como las 6! = 720 y las 2! = 2 de los de física y

química, respectivamente. Se concluye así que hay 3!.4!.6!.2! = 207360 colocaciones distintas.

b. Si se consideran los cuatro libros de matemáticas como una unidad.

Se tendría entonces una unidad correspondiente a matemáticas, 6 unidades diferentes de física y

dos unidades diferentes de química. Por lo tanto, existen 9! = 362880 maneras de ordenar estas 9

unidades, y por cada una de ellas hay 4! ordenaciones posibles de los 4 libros de matemáticas, porlo que en total hay 9! . 4! = 8709120 formas de colocar los libros.

Suponiendo que los libros de cada materia son idénticos.

a. Consideremos cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad. Nótese que

entonces se tendría un total de 3 unidades, que pueden ordenarse de 3! = 6 formas distintas.

b. En este caso se tiene una única unidad de matemáticas, además de 6 de física y 2 de química,

que se considera diferentes para este cálculo inicial. Se tiene entonces un total de 9! = 362880ordenaciones posibles y, puesto que los libros de cada materia son indistinguibles, nótese que

deben tenerse en cuenta las 6! . 2! = 1440 formas de colocar los libros de física y matemáticas.

Por lo tanto, hay un total de 9!/ (6! . 2!) = 252 ordenaciones.

7) Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuantas maneras puede

elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?


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Solución:

El orden en que elija las preguntas, que además no podrán repetirse, es irrelevante. Así, puede

elegir las preguntas de C 10;7 = (10.9.8) / (3 . 2) = 120 maneras.

Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas entre las 6 restantes

para completar las 7 necesarias, resultando un total de C 6;3 = (6 . 5 . 4) / (3 . 2) = 20 maneras.

Problemas Propuestos de Cálculo de Probabilidades

1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados.

2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados.

3. Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la “e” aparezca la primera y la “o” la última.

4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída?

5. Una caja contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?

6. Una caja contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída?

7. De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballoseguido de un tres, reintegrando la primera carta? ¿Y sin reintegrarla?

8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que serealice efectuando 4 pruebas.

9. Se sacan dos cartas de una baraja de 40 ¿Cuál es la probabilidad de que sean un caballoy un tres, reintegrando? ¿Y sin reintegrar?

10.

Una caja contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y sedesea saber:

a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.

11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas.

b) ¿Y de que sean un as, un dos y un tres?

c) ¿Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete?


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12. Una caja contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatronegras. si extraemos una bola de cada caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dosnegras?

13. Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos seadivisible por tres?

14. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sinrepetir cifras en cada número. si se señala un número al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 4?

b) ¿Y de que sea múltiplo de 3?

15. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea

saber:

a) La probabilidad de que las tres sean rojas.

b) La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.

c) La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.

d) La probabilidad de que todas sean de distinto color.

e) La probabilidad de que todas sean del mismo color.

16.

Se lanza un dado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga algún 1 en los 6lanzamientos?

17.

Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3 blancas, 5negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. ¿Qué probabilidad hay de quesean del mismo color?

18.

En una bolsa hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al 50. ¿Qué probabilidad hay de sacar, una a una, las 50 bolas en el orden natural?

19. La probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,2. La probabilidad de acertar en dos disparos será P1= 0,04; P2= 0,36; P3= 0,12. Determinarqué respuesta el la correcta.

20.

¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar tres torpedosy la probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %?.

21. Se considera el experimento aleatorio “lanzar dos veces un dado”. ¿Cuál es la probabilidad de obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado aobtener impar en el primero? ¿Son dependientes o independientes estos sucesos? ¿Porqué?


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22.

Cierto analista de contabilidad tiene que revisar el movimiento contable de cuatrodepartamentos: A,B,C,D. de los cuales conoce el total de asientos contables de cadauno, siendo estos 100 de A, 200 de B, 300 de C y 400 de D. Además se sabe que estosasientos pueden presentar errores, estimándose en un 2%, 4%, 6% y 8%respectivamente para el A,B,C,D. Ahora bien el analista para comenzar su trabajorealiza el siguiente experimento, primero lanza un dado y si sale un número par,elegirá al azar un movimiento en las cuentas de los departamentos A o B; si sale por elcontrario un número impar elegirá un asiento del movimiento de los departamentos Co D. se pide:a) Espacio Muestral y el cálculo de la probabilidad de elegir un asiento de B. b)

Calcular la probabilidad de que el asiento elegido presente error.c) Si el asiento elegido presenta error cual es la probabilidad de que pertenezca aldepartamento A o D

23. En una gran población de moscas, el 25% de ellas presenta mutación de ojos, el 50% presenta mutación de alas y el 10% presenta ambas mutaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que una mosca escogida al azar presente:a.

al menos una de las dos mutaciones?

b.

mutación de ojos pero no de alas?c. mutación de alas pero no de ojos?d.

ningún tipo de mutaciones?e. mutación de ojos dado que presenta mutación de alas?f. mutación de alas dado que no presenta mutación de ojos?


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PROBABILIDAD CONDICIONAL

Cada suceso aleatorio está asociado con un espacio muestral, su probabilidad depende de

la información que se disponga.

Si se sabe que ha ocurrido un suceso B, esta información modifica la probabilidad de los demás

sucesosLo importante es estudiar como queda modificada la probabilidad de un suceso cuando se

dispone de información adicional de que ha ocurrido otro.

Ejemplo.

"Lanzar dos monedas", cuyo espacio muestral es:

S = {cc, ss, cs, sc} ; La probabilidad de {cc} es 1/4.

Si se supone que salió una cara, entonces la p (cc)=1/2 puesto que el nuevo espacio

muestral queda reducido a S = {cc, cs}.

Cuando el experimento se considera resultado de varios experimentos (como en el caso

anterior), se habla de experimentos compuestos.

Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y se denota por p

(B/A), a la probabilidad de que ocurra B, habiendo ocurrido A. Se calcula según la fórmula:

0)()(

)( A p si

A p

B A p

A B p

Se llama probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B, y se denota por p

(A/B), a la probabilidad de que ocurra A, habiendo ocurrido B. Se calcula según la fórmula:

0)()(

)(

B p si

B p

B A p

B A p

Usando la formula de la probabilidad condicionada, se obtiene:

ProductodelRegla p(B/A) p(A)= p(A/B) p(B)=B) p(A

p(A/B)B pBA p

p(B/A)A pBA p

Si A y B son eventos independientes → P(A/B) = P(A) y P (B/A) = P (B) entonces:

P (A∩B) = P(A) x P (B)


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Ejemplo.

"Lanzar un dado al aire". Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3, sabiendo que

ha salido un número par.

Sea A = "Salir n° par" = {2, 4,6} P (A) = 3/6 = 1/2

B = "Salir múltiplo de 3" = {3,6} P (B) = 2/6 = 1/3

3

1

6

2

21

61

)A( p

)BA( p

AB p

Pues B A = "Salir un nº par múltiplo de 3" = {6}

Sucesos Independientes

Dos sucesos son independientes si la realización de uno no modifica la probabilidad de

realización del otro. Por tanto A y B son independientes si:

P (A/B) = P (A)

P (B/A) = P (B)

Y entonces, por la regla del producto: P ( B A ) = P(A) P (B)

En caso contrario se dirá que los Sucesos son dependientes.

Tablas de contingencia y diagramas de árbol

En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada,

resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un

diagrama de árbol.

Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado

uno de ellos se puede construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir

fácilmente uno de ellos y a partir de él se puede construir el otro, que ayudará en la resolución del

problema.


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Conversión de una tabla en diagrama de árbol

Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos

o más sucesos.

En el caso de los sucesos A, A - B y B , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los

sucesos A y A se les ha asociado los sucesos B y B .

Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadascorrespondientes, deducidas de las relaciones análogas a:

)A(P

)AB(P

ABP

Conversión de un diagrama en tabla de contingencia

De manera recíproca, dado el diagrama de árbol se puede construir la tabla decontingencia equivalente si más que utilizar la expresión.

)A(PA

BP)AB(P

Para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

A A TOTAL

B P( A B ) P( A B ) P( B )

B P( A B ) P( B A ) P( B )TOTAL P( A ) P( A ) 1


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Ejemplo:

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas

eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de latonería, y por la tarde 2 con

problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de latonería.

a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde.

b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la

mañana

Solución:

En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente,

pueden verse recogidos los datos del enunciado.

Las respuestas a las interrogantes planteadas basta leerlas en las tabla. Así:

El 30% de los automóviles acude al taller por la tarde.

El porcentaje de vehículos ingresados con problemas mecánicos es el 55%.

La probabilidad buscada es: P (acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos) = 3/5 = 0.6

Ejemplos.

1. si se considera el experimento de "lanzar un dado al aire". Calcular, por ejemplo, la

probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar:

Definiendo los sucesos A = "sacar 3" y B = {1, 3, 5}; entonces, P(A/B) = 1/3 puesto que si se sabe

que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A

sólo 1.

ELÉCTRICOS MECÁNICOS LATONERÍA TOTAL

MAÑANA 3 8 3 14

TARDE 2 3 1 6

TOTAL 5 11 4 20

ELÉCTRICOS MECÁNICOS LATONERÍA TOTAL

MAÑANA 0.15 0.40 0.15 0.70TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30

TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00


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2. Se lanzan dos dados:

¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?

Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido

un tres?

Solución:

Sean los sucesos A ="la suma de los puntos es 7" y B ="en alguno de los dados ha salido un tres".

a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis

siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A ) = 6/36 = 1/6

b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7.

Se observa que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P (B/A) = 2/6 = 1/3

3. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo

menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de

que en el primer dado aparezca el numero dos.

Solución:

El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a

continuación;

S = (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

(6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

(6,6)

a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y B, siendo

estos:

A = Evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,

B = Evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es

el evento que está condicionando)

B = 21 elementos, los cuales son los que suman siete o más

B = (6,1) (5,2) (6,2) (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = 6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro A = (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) Luego, AB = (3,4) (4,4) (5,4) (6,4), AB= 4 elementosPor tanto; P(A/B) = PAB/ PB= 4/21 = 0.19048


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b. B = Evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

B = Conocemos de la parte a que el Evento consta de 21 elementos

A = Evento de que ambos números sean pares

A = (2,2) (4,2) (6,2) (2,4) (4,4) (6,4) (2,6) (4,6) (6,6)

AB = (6,2) (4,4) (6,4) (2,6) (4,6) (6,6)

AB= 6 elementos p(A/B) = PAB/ PB = 6/ 21 = 0.28571

c. B = Evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

B = (6,1) (5,2) (6,2) (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6)

(3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = Evento de que en el primer dado aparezca el número dos

A = (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

AB = (2,5),(2,6, AB= 2 elementosP(A/B) = PAB/PB = 2/21 = 0.095238

4. Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si la suma de los números

que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, b.

Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.Solución:

S = (1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) (3,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (1,7) (2,7)

(3,7) (4,7) (5,7) (6,7)(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9)(8,9)

a. E = Evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par

E = (1,3) (2,4) (1,5) (3,5) (2,6) (4,6)(1,3) (3,7) (5,7)(2,8) (4,8) (6,8)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = 16 elementos A = Evento de que ambos números sean pares

A = (2,4) (2,6) (4,6) (2,8) (4,8) (6,8)

A = 6 elementos AE = (2,4) (2,6) (4,6) (2,8) (4,8) (6,8)AE = 6 elementos, p(A/E) = PAE/ PE= 6/16 = 0.375

b. E = Evento de que la suma de los números seleccionados es par

E = (1,3) (2,4) (1,5) (3,5)(2,6) (4,6)(1,3) (3,7) (5,7)(2,8) (4,8) (6,8)(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = Evento de que ambos números sean impares


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A = (1,3) (1,5) (3,5)(1,7) (3,7) (5,7)(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = 10 elementos AE = (1,3) (1,5) (3,5) (1,7) (3,7) (5,7)(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)AE= 10 elementos; p(A/E)= PAE/ PE= 10/16 = 0.625

5. Una pareja de recién casados ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. ¿Cual es la probabilidad de que tenga puros hijos varones?, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como

máximo un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d. Si esta

familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e.

Si esta familia tiene como máximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras

hijas?

Solución:

Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual

se puede hacer uso de un diagrama de árbol en donde se representa uno tras otro el nacimiento decada uno de sus hijos, solo se consideraran partos de un solo bebé, no múltiples y ademas que

existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña.

El espacio muestral obtenido es:

H = Niño

M = Niña

S = HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM

a. A = Evento de que la familia tenga puros hijos varones

A = HHH P(A) = 1/8 = 0.125

b. B = Evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

B = ningún hijo varón o un hijo varón= MMM, HMM, MHM, MMH P(B) = 4/8 = 1/2 =0.5

c. C = Evento de que el segundo hijo de la familia sea varón

C = HHH, HHM, MHH, MHM P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5

d. Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir

dos eventos, el evento E que es el que condiciona y el evento A;

E = Evento de que la familia tenga por lo menos una hija

E = tenga una o más hijas E = HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM= 7 elementos


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80

A = Evento de que el segundo hijo sea varón

A = HHH, HHM, MHH, MHM AE = HHM, MHH, MHM = 3 elementos Luego:

P(A/E) = PAE/PE= 3/7 = 0.42857

e. E = Evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

A = Evento de que la familia tenga puras hijas

E = MMM, MHM, MMH, HMM= 4 elementos A = MMM AE = MMM = 1 elemento P(A/E) = AE/E= 1/4 = 0.25

6. Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue

gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina,

¿cuál es la probabilidad de que ponga aceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor, ¿cuál es la

probabilidad de que ponga gasolina?

Solución:

a. E = Evento de que un auto cargue gasolina

P(E) = 0.79A = Evento de que un auto ponga aceite al motor

P(A) = 0.11AE = Evento de que un auto ponga gasolina y aceiteP(AE) = 0.06P(A/E) = P(AE)/P(E) = 0.06/ 0.79 = 0.07594

b. E = Evento de que un auto ponga aceite al motor

P(E) = 0.11

A = Evento de que un auto ponga gasolina

P(A) = 0.79AE = Evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolinaP(AE) = 0.06P(A/E) = P(AE)/ P(E) = 0.06/0.11 = 0.5454


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81

Partición de un Espacio Muestral S

Para que los eventos A1, A2, A3,….An, Sean una partición deben cumplir con:

a) A1, A2, A3,……An...Ai ≠ 0.

b) A1∩ A2∩ A3∩……∩An = Ф.

c)

A1 A2 A3……An S.

-Formula o Teorema de las probabilidades Totales:

n

1i

i

n321

n321

B)P(AP(B)

B)P(A.............B)P(AB)P(AB)(APP(B)

B)(A.............B)(AB)(AB)(AB

.

)A/B( p)A( p..................)A/B( p)A( p)A/B( p)A( p)B( p nn2211

Ejemplos

1. En un curso de matemáticas el 30% son varones, el 45% de los varones y el 20% de las

hembras son de Carabobo.

a)

¿Cual es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea de Carabobo?

Solución:

Sea: los eventos siguientes:

A1 = {El estudiante seleccionado es Varón}A2 = {El estudiante seleccionado es hembra}

B = {El estudiante seleccionado es de Carabobo}

P (A1) = 0, 3 P (A2) = 0.7 P (B/A1) = 0, 45 P (B/A2) = 0, 2

P (B) = P (B/A1) P (A1) + P (B/A2) P (A2) = 0, 45.0, 3 + 0, 2.0, 7 = 0,275


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2 Dos candidatos a la presidencia de de un club social, compiten por el control del club, la

probabilidad de ganar estos candidatos es 0,7 y 0,3 respectivamente, si el primer candidato gana,

la probabilidad de introducir cambios en los estatutos es de0, 8, si gana el segundo candidato esta

probabilidad es de 0,4¿determine la probabilidad de que se introduzca cambios en los estatutos?

Solución:

Sea: los eventos siguientes:

A1 = {El Primer candidato gana las elecciones}

A2 = {El segundo candidato gana las elecciones}

B = {Se introducen cambios en los estatutos}

P (A1) = 0, 7 P (A2) = 0.3 P (B/A1) = 0, 8 P (B/A2) = 0, 4

P (B) = P (B/A1) P (A1) + P (B/A2) P (A2) = 0, 8 x 0, 7 + 0, 4 x 0, 3 = 0, 68

3. En cierta fabrica un articulo es producido por tres maquinas, una semiautomática y dos

manuales, se sabe que la automática produce el doble de artículos que las otras dos, y que estas

producen la misma cantidad de artículos (en un periodo de producción dado). Además se sabe

que el 3% de los artículos producidos por la maquina semiautomática es defectuoso y el 4% de lo

producido por las otras 2 maquinas también lo son.

Si se selecciona al azar un artículo producido en la fábrica calcular:

a) la probabilidad de que el artículo seleccionado sea defectuoso.

Solución:

A1= {El articulo seleccionado es producido en la maquina semiautomática}

A2= {El articulo seleccionado es producido en la 1ra maquina manual}

A3= {El articulo seleccionado es producido en la 2da maquina manual}

B = {El articulo es defectuoso}

P(A1) = 2[P(A2) + P(A3)] ; P(A2) = P(A3) → P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1

2[P(A2) + P(A3)] + P(A2) + P(A3) = 1 → 6P(A3) = 1 → P(A3) = 1/6

P(A2) = 1/6 ; P(A1) = 4/6 ; P(B/A1) = 0,03 ; P(B/A2) = 0,04 ; P(B/A3) = 0,04

P(B) = 0,03 x 0,66 + 0,04 x 0,16 + 0,04 x 0,16 = 0,0326

- Fórmula o Teorema de Bayes

P (Aj/B) = P (Aj) P (B/Aj) / P (B)

P (Aj/B) = P (Aj) P (B/Aj) / Σ P (Ai) P (B/Ai)

P (Ai) probabilidades a priori


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83

P (Aj/B) probabilidades a posteriori

Las dos últimas fórmulas son especialmente útiles cuando se dan las circunstancias

- El experimento aleatorio se produce en dos etapas.

- Es sencillo encontrar una partición en el espacio muestral correspondiente a los resultados del

primer experimento.

- Son conocidas o se calculan fácilmente P (Ai)- Son conocidas o se calculan fácilmente P (B/Ai)

Ejemplos:

1. En el ejemplo anterior # 1 de probabilidad Total

Si el estudiante seleccionado es de Carabobo ¿Cuál es la Probabilidad de que sea hembra?

P (A2/B) = 509,0

0326,0

7,027,0

)B(P

)A(P)A/B(P 22

2. En el ejemplo # 3 de probabilidad total

Si el articulo seleccionado es defectuoso, cual es la probabilidad de que haya sido producido por

la maquina semiautomática

P (A3/B) = 02327,0275,0

16,004,0

)B(P

)A(P)A/B(P 33

Problemas Propuestos de Probabilidad Condicional y Probabilidad Total

1.La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera

media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumáticos en esa primera

media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de

neumáticos en la primera media hora de recorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que

cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la

probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de

recorrido, c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el auto carga combustible en la primera

media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también?

2. Se tiene tres cajas de igual aspecto. En la primera hay 3 bolas blancas y 4 negras; en la segunda

hay 5 negras y en la tercera hay 2 blancas y 3 negras. Se desea saber:


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84

a) Si se extrae una bola de una caja, elegida al azar, cuál es la probabilidad de que la bola

extraída sea negra.

b) Se ha extraído una bola negra de una de las cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido

extraída de la 2ª caja?

3. En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están

enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide:

a) Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo?

b) Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el

citado individuo sea macho?

4. Se consideran dos cajas con bolas. La caja 1 contiene 3 bolas rojas y 2 azules, la caja 2

contiene 2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda, si se obtiene cara se saca una bola de lacaja 1, y si se obtiene cruz se saca una bola de la caja 2.

(a) Hallar la probabilidad que la bola extraída sea roja.

(b) Si se sabe que la bola extraída es roja, ¿Cuál es la probabilidad que provenga de la caja 1?

5. De una caja que contiene 3 bolas rojas y 2 azules se extrae una bola al azar y se la coloca en

una segunda caja que contiene 4 bolas azules y 2 rojas. A continuación se extrae una bola al azar

de la segunda caja.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga la misma bola que se extrajo de la primera caja?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la segunda caja sea roja?

(c) Si la bola extraída de la segunda caja es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea la misma

bola que se extrajo de la primera caja?

6. Se tiene una caja con 10 tornillos, de estos 8 son buenos y 2 son defectuosos. Se extraen dos

tornillos de la caja. Se pide:

(a) Calcular la probabilidad de que la segunda extracción sea un tornillo bueno, sabiendo que la

primera extracción ha sido un tornillo bueno.(sin reemplazo).

(b) Calcular la probabilidad de que la segunda extracción sea un tornillo bueno, sabiendo que la

primera extracción ha sido un tornillo bueno (con reemplazo).

7. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de

una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto


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85

manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se

encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en

la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la

probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?

8. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles

de la ciudad; Palacio del Puerto, El Palito o Fiesta Mar, en una proporción de 18.5%, 32% y

49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal

servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es

la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?,b. Si se selecciona a un visitante al

azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se

haya hospedado en el Palacio del Puerto?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio

prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en e hotel Fiesta Mar?

9. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A 1 es 0,7, y la probabilidad de que

provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fábrica A1 produce un 4 por mil de artículos

defectuosos y la A2 un 8 por mil.

a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga

de la fábrica A2?

b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que

esté defectuoso?c) Se piden 5 artículos a la fábrica A1 ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?

10. En una fábrica de televisores las máquinas I, II y III producen respectivamente el 28%, el

32% y el 40% del total. En la producción de cada máquina el 3%, 4% y el 5% son televisores

defectuosos. Se toma al azar un televisor de la producción total y se le encuentra defectuoso

¿Cuales son las probabilidades que haya sido producido por:

(a) La máquina I, (b) la máquina II, (c) la máquina III

11. En un país hay cuatro partidos políticos que se dividen la opinión pública. Se sabe que:

El 35% de la población adhiere al partido I

El 31% adhiere al partido II

El 28% adhiere al partido III

El 6% adhiere al partido IV.


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86

Entre los adherentes al partido I, un 36% corresponde a personas con ingresos inferiores a dos

salarios mínimos Entre los adherentes al partido II, esa proporción es del 52% Para el partido III,

es un 42% Para el partido IV, 11%. Si se elige una persona al azar y resulta tener ingresos

inferiores a dos salarios mínimos. Calcular la probabilidad de que sea un adherente al partido I; al

partido II; al partido III y al partido IV.

12. Suponga que en un país un 40% de los ciudadanos habilitados para votar es adherente al

partido A, un 35% al partido B y un 25% al partido C. Se realiza de manera simultánea una

elección interna en los tres partidos, pero como no se requiere acreditar la adhesión a cada

partido, el voto "extrapartidario" es posible: un votante de un partido puede, si quiere, participar

en la interna de otro partido. Supongamos que Ud. sabe que:

Entre los adherentes de A, un 10% votó en la elección interna de otro partido

Entre los adherentes de B, un 15% votó en la interna de AEntre los adherentes de C, un 5% votó en la interna de A

(a) ¿Cuál fue el porcentaje de votos obtenidos por el partido A en las internas?

(b) Si se elige al azar una persona dentro de todas las que en las votaron a A

i. ¿cuál es la probabilidad que sea un adherente de B?

ii. ¿cuál es la probabilidad que sea un adherente de C?

13. Un libro tiene 3 capítulos. El 85% de las páginas del 1 er capítulo no tiene ningún error. El

90% del segundo y el 95% del tercero tampoco tienen ningún error. El primer capítulo tiene 125

páginas, el 2º 150 y el 3º 175.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una página al azar no tenga ningún error?

(b) ¿Suponga que se elige una página al azar y se observa que no tiene ningún error ¿cuál es la

probabilidad de que sea del capítulo 2º?


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87

Variable Aleatoria

Definición de Variable Aleatoria (V.A.): Se dice que se ha definido una variable aleatoria

para un experimento aleatorio cuando se asocia un valor numérico a cada resultado del

experimento.

Sea E el espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a todaaplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a cada

elemento de E un número real).

Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas

minúsculas (x, y,...) para designar valores concretos de las mismas.

Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es

natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado

valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notación:

(X = x ); representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x "

P (X = x ); representa "la probabilidad de dicho suceso".

(X < x ); representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x "

P (X < x ); representa "la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x ".

(X x ); representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x "

P (X x ); representa "la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual a x ".

Ejemplos

1. Sea X, la variable aleatoria que representa el numero de puntos obtenidos al lanzar un dado dos

veces.

E = Lanzar un dado dos veces ; X = El numero de puntos obtenidos al lanzar un dado dos

veces.

S = {(1,1)(2,1)(3,1)(4,1).......(1,2)(2,1)......(1,3)(2,3).....(1,4)(2,4)....(1,5).......(6,6)}

(1,1) 2 ; (1,2) 3 ; (6,6) 12 Número de puntos obtenidos

2. Sea el experimento lanzar una moneda 3 veces, sea X: la variable que representa el número de

caras obtenidas en el experimento.

E = lanzar una moneda 3 veces. ; X = Numero de caras obtenidas al lanzar una moneda 3 veces.(c,c,c) 3 ; (c,c,s) 2 ; (c,s,s) 1 ; (s,s,s) 0 Número de caras obtenidas

Rango de una Variable Aleatoria (Rx).

Es el conjunto de números reales que puede tomar la Variable, en el caso de los ejemplos

anteriores, tenemos:

R x de 1 = {2, 3, 4,5,..........12} R x de 2 = {0, 1, 2,3}


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88

Clasificación de las variables aleatorias

Según la amplitud del campo de variación de la función se pueden distinguir: variables

aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. De la misma forma que en estadística

descriptiva, una variable aleatoria es discreta si toma valores en un conjunto finito o infinito

numerable. Y una variable aleatoria es continua si puede tomar valores en un conjunto infinito nonumerable. Como ejemplo típico de variable aleatoria discreta se tiene a la distribución binomial,

y como ejemplo típico de variable aleatoria continua se vera a la distribución normal.

Ejemplos

1. Considerar el experimento aleatorio el cual consiste en lanzar tres monedas, se supone que a

cada elemento de su espacio muestral S = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} se le asigna un

número real, el cual corresponde al número de caras (discreta ).

Esta correspondencia que se acaba de construir es una función del espacio muestral S en elconjunto de los números reales R. A esta función se llamara Variable Aleatoria y será denota

por X.

Si se supone el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, se puede asignar a

cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta ).

Al considerar el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su

estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria ( continua ).

Si se estudia el experimento que consiste en elegir al azar 100 Tomates de una plantación

y pesarlas. La ley que asocia a cada tomate su peso es una variable aleatoria (continua ).

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Si una variable aleatoria sólo toma valores enteros, es decir, un número finito de valores o

infinito numerable diremos que es discreta.

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t21_distribucion_normal.htmhttp://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t21_distribucion_normal.htm


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89

Función de Probabilidad f(x)

Considerando una V.A. discreta X, que toma los valores x1, x2,..., xn. y se supone que se

conoce la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que:

P(X = x1) = P1, P(X = x2) = P2, P(X = x3) = P3,..., P(X = x1) = Pn, en general P(X = xi) = Pi

La función de probabilidad f(x) de la v.a. X es la función que asigna a cada valor xi de la

variable (rango de la variable) su correspondiente probabilidad Pi.

1.)()(

,....,2,1,0.:

1

n

ii

i

P II x X P x f x

ni P I R R f

La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de

barras no acumulativo.

Función de Distribución F(x)

En muchas ocasiones no interesa tanto conocer la probabilidad de que la v.a. X tome

exactamente un determinado valor xi, cuanto la probabilidad de que tome valores menores o

iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la

función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función

de distribución.

Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores se suponen ordenados de menor a

mayor. Se llama función de distribución de la variable X, y se simboliza por F(x), a la función

)()(

:

x X P x F x

R R F

Es decir, asocia a cada valor de la v.a. discreta la probabilidad acumulada hasta ese valor

(la Probabilidad de que la v.a. tome valores menores o iguales a x i).


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90

Propiedades:

F(x) es una probabilidad: 0 ≤ F(x) ≤1

F(x) = 0 para todo X < xi

F(x) =1 para todo X ≥ xn

Es constante en cada intervalo [xi,xi+1)

Es continua por la derecha de cada puntoEs creciente

P(a < X ≤ b) = F (b) – F (a)

Se puede expresar la función de distribución de la siguiente forma:

Si una variable aleatoria tiene como función de probabilidad:

n21

n21

P..................PP)xX(P)x(f

______ __________ __________ __________

X..................XXX

Su función de distribución es:

n

n1n1n21

321

211

i

xxsi1

xxxsiP.........PP

xxxsiPP

xxxsiP

xxsi0

)X(F

Su representación gráfica tiene forma escalonada, siendo los saltos coincidentes con las

probabilidades Pi, correspondientes a los valores xi de la variable X.


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91

Ejercicios.

1. Sea X la Variable Aleatoria que representa el número de caras obtenidas al lanzar una moneda

tres veces. Determinar:

a) Función de Probabilidad y su grafica.

b)

Probabilidad de obtener a lo máximo 2 caras.c) Probabilidad de obtener entre 1 y 3 caras.

d) Si se obtiene como mínimo 1 cara, ¿cuál es la probabilidad de obtener como máximo 3

caras?

Solución

E = lanzar una moneda 3 veces. ; x = nº de caras obtenidas

Rx = {0,1,2,3} ; S = {(c,c,c) (c,c,s) (c,s,c) (c,s,s) (s,c,c) (s,c,s) (s,s,c)(s,s,s)}

a) P(x)

X 0 1 2 3

P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Grafica:

Y

3/8

1/8

b) P(X 2) =

2

0 8

7

8

3

8

3

8

1)2()1()0()(

X

X

P P P x P

c)

P(1 X 3) =

3

1 8

7

8

1

8

3

8

3

)3()2()1()(

X

X P P P x P

d) 18

78

7

)1(

)13(

13

X P

X X P

X X P

2. La venta de cierto articulo (en miles de unidades) es una variable aleatoria con la siguiente

función de probabilidad, P(X) = ax + a ; x = 0,1, 2,3. Determinar:

0 1 2 3 x


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92

a) La probabilidad de que se vendan más de mil artículos y no más de tres mil.

b) Probabilidad de que se vendan a lo sumo mil artículos.

c) Grafique P(x).

Solución.

P (0) = a ; P (1) = 2a ; P (2) = 3a ; P (3) = 4a

x 0 1 2 3

P(x) 1/10 1/5 3/10 2/5

a) P(1 x 3) = P(2 x 3) =

3

2 10

7

5

2

10

3)3()2()(

X

X

P P x P

b) P(x 1) =

1

0 10

3

5

1

10

1)1()0()(

X

X

P P x P

c) Grafica

y

2/5

3/10

1/5

1/10

3. Se lanza un dado 2 veces, Determinar:

a)

Función de probabilidad del número de puntos obtenidos.

b) La probabilidad de obtener no más de 5 puntos.

c) Probabilidad de obtener mas de 7 puntos pero no mas de 11

Solución. a)

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

b) P(x 5) =

5

2 36

10

36

4

36

3

36

2

36

1)5()4()3()2()(

X

X

P P P P x P

c) P (7 x 11) =

11

8 36

14

36

2

36

3

36

4

36

5)11()10()9()8()(

X

X

P P P P x P

3

0X 10

1a1a101a4a3a2a1)x(P

0 1 2 3 x


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Parámetros de una Variable Aleatoria Discreta.

a) Esperanza Matemática o Valor Esperado

n

1i

ii )Media( px)x(E

b) Varianza n

1i

222

i

2

i )x(E)x(E)x(E px)x(V ; Desviación Típica: )x(V

Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión, de tal manera que

cuanto menores son estos dos parámetros más agrupados se encuentran los valores de la

distribución entorno a los valores centrales. Por el contrario, para valores grandes de la varianza o

la desviación típica los datos de la distribución se encuentran muy dispersos.

Ejemplos:

1º Un juego consiste en lanzar dos dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se gana

300 Bolívares, si está comprendida entre 7 y 9 se ganan 100 Bolívares. Para cualquier otro

resultado no se gana nada. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia esperada

de la banca sea de 50 Bolívares?

Solución

El espacio muestral para el problema es E = {(1,1), (1,2), (1,3),..., (6,6)} con 36 puntos

muéstrales. Todos los sucesos elementales tiene la misma probabilidad 1/36.

Se define la v.a. X: suma de las dos caras.

Esta variable puede tomar los valores 2, 3, 4,....,12. El espacio Muestral y la tabla con la P(x) es:

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

S = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Definiendo H(x) como la función premio tenemos:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(x) 1/36 2/36 3/36 3/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

H(x) 0 0 0 0 0 100 100 100 300 300 300


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94

Por lo tanto el valor esperado del premio es:

12

2x

)h( 7,9136

1300

36

2300

36

3300

36

4100

36

5100

36

6100)x(f )x(hE

En consecuencia, la apuesta debería costar 91,7 + 50 = 141,7 para que la ganancia esperada de la

banca sea 50 Bolívares.

2º La siguiente tabla muestra la f(x) para la variable X: número de personas por día que solicitan

un tratamiento innecesario en el servicio de urgencias de un pequeño hospital.

x 0 1 2 3 4 5

f(x) 0,01 0,1 0,3 0,4 0,1 ?

a. Encontrar f (5)

b. Construir F(x)

c. Encontrar P(x 2)d. Encontrar P(x < 2)

e. Encontrar P(x > 3)

f. Calcular la media y la varianza

Solución

a). Por la construcción de las f(x) es obvio que

x

1)x(f .

Para que se cumpla esta condición es necesario que f (5)=0,09

b).

X 0 1 2 3 4 5

f(x) 0,01 0,1 0,3 0,4 0,1 0,09

F(x) 0,01 0,11 0,41 0,81 0,91 1

c). P(x 2) = F(2) = 0,41

d). P(x < 2) = P(x 1) = F(1)=0,11

e). P(x > 3) = 1 - P(x 3) = 1- F(3) = 1 - 0,81 = 0,19


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95

f).

5

0x

)x( 75,209.0x51.0x44.0x33.0x21.0x101.0x0)x(xf E

22 )x(E)x(E)x(V

75.809.051.044.033.021.0101.00)x(f X)x(E 222225

0x

222

1875.1)75.2(75.8)x(V 2

3º Se desarrolla un compuesto para aliviar cierta enfermedad. El fabricante afirma que es efectivo

en un 90% de los casos. Se prueba en 4 pacientes. Sea x el número de pacientes que tienen alivio.

a. Encontrar la f(x) para x, suponiendo que la afirmación del fabricante sea correcta.

b. Encontrar P(x 1)c. Si el compuesto no alivia a ninguno de los pacientes ¿es esa una razón para poner en duda la

eficacia afirmada por el fabricante? Razonar sobre la base de la probabilidad implicada.

d. Calcular la media. ¿Qué significa en este ejemplo?

Solución

a. Si a representa que un paciente tenga alivio y n que no lo tenga, el espacio muestral para el

problema es E = {aaaa, naaa, anaa, aana, aaan,..., nnnn}(ver en un diagrama de árbol), Si es

cierta la afirmación del fabricante P(a) = 0,9 y p(n) = 0,1

La V.A. x: número de pacientes que tienen alivio puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4. La tabla

con la f(x) inducida es

x 0 1 2 3 4f(x) 0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561

P(x 1) = f (0) + f (1) = 0,14 + 4 x 0, 9 x 0, 13 = 0,0037La probabilidad de que no alivie a ningún paciente es f (0) = 0,0001. Es una probabilidad tan baja

que, efectivamente, si ese fuera el resultado hay suficientes razones para poner en duda la

afirmación de que alivia al 90% de los pacientes.

6.3)9.0(x4)9.0(x1.0x4x3)9.0(x)1.0(x6x29.0x)1.0(x4x1)1.0(x0)x(xf )x(Ex

432234

Si se repitiera un número suficientemente grande de veces la experiencia de administrar el

fármaco a 4 pacientes, el número promedio de pacientes que experimentarían alivio sería 3,6.

4º. El beneficio obtenido en un negocio es una variable aleatoria x (en millones de bolívares) con

la siguiente función de probabilidad.


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96

x -1 0 1 2

P(x) 0.2 0.15 0.5 0.15

Determine:

a) El Beneficio Promedio.

b) El Valor más Probable.

c)

La Mediana del Beneficio.d) Si la inversión en el negocio es la mitad del beneficio, ¿cuál es la inversión promedio del

negocio?

e) Fractil punto 85.

Solución.

X = beneficio obtenido en el negocio.

a)

E(x) =

2

1

6.0)15.0)(2()50.0)(1()15.0)(0()20.0)(1()( X

Bsde Millones x P X .

b) Moda: como P(1) es máxima, la moda es x = 1Millon de Bs. El beneficio mas probable

es de x = 1 millón.

c) Mediana: P(x me) = 0.50 P(-1) = 0.20 0.50; P(-1) + P(0) = 0.20 + 0.15 = 0.35 0.50P(-1) + P(0) + P(1) = 0.35 + 0.5 = 0.85 0.50, por tanto la mediana se encuentra ubicadaentre x = 0 Millones y x = 1 millón de Bs.

d)

y = Inversión Promedio E (y) = Desconocida; y = x/2 E(x/2) = E(x)/2 0.6/2 = 0.3millones de Bs. la cual es la inversión promedio del negocio.

x (0.85) P (Xx (0.85)) = 0.85) P (-1)+P (0)+P (1) = 0.85, El fractil (0.85) es x = 1 millónde Bs.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Una variable aleatoria es continua si puede tomar valores en un conjunto infinito no

numerable. Como hemos visto hay variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor de un

intervalo real de la forma (a, b), (a, +∞), (-∞, b), (-∞, +∞) o uniones de ellos. A las variables de

este tipo se las denomina variables aleatorias continuas.

Ejemplos

1. Se Pretende observar la altura de un grupo de personas y se selecciona a una persona de forma

totalmente aleatoria. La probabilidad de que la altura de esa persona sea exactamente 1,62894635


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97

Mt. es cero. Pero la probabilidad de que la altura de esa persona esté entre 1,62 Mts. y 1,63 Mts.

tendrá un valor concreto y casi con certeza que será mayor que la probabilidad de que esté entre

2,10 Mts. y 2,11 Mts. Por tanto, la densidad de probabilidad en el entorno de 1,625 Mts. es mayor

que la densidad de probabilidad en el entorno de 2,105 Mts. Sin embargo, que el valor exacto

1,62894635 tenga probabilidad cero de ocurrir no implica que sea imposible que ocurra. De

hecho, cualquier persona que se seleccione tendrá una altura concreta y exacta que tenía probabilidad cero de suceder.

2. Sea X la v.a. que describe la duración de los neumáticos de una determinada marca y modelo.

Los valores de una variable estadística continua siempre se consideran agrupados en intervalos de

clase, luego no tiene sentido plantearse la probabilidad de resultados "aislados" (como, por

ejemplo, la probabilidad de que un neumático dure, exactamente, 56.000 Km., 235 Mt., 47 Cm. y

6 Mm.). En todo caso, esas probabilidades deben valer cero. Pero sí se puede preguntar, por

ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que un neumático dure menos de 50.000 Km.? o ¿cuál es la

probabilidad de que un neumático dure entre 60.000 y 70.000 Km.?

Tanto en el ejemplo 1 como en el 2 si se quiere hallar esas probabilidades se tiene que

recurrir a métodos empíricos y usar técnicas estadísticas: tomar una muestra, examinar y anotar

las frecuencias observadas. Entonces se tomara como valor de la probabilidad de un suceso s1 la

frecuencia observada de éste: p (s1) = fr (s1).

Y así se puede construir un histograma de frecuencias relativas y un histograma de

frecuencias relativas acumuladas. En el primero, la fr (X ≤ x) será la suma de las frecuencias de

todas las clases anteriores a x; lo que, geométricamente, es el área bajo la curva de frecuencias

entre el inicio de la gráfica y el valor x. La obtención de fr(X ≤ x) en la segunda gráfica es más

rápido pues, fr (X ≤ x) es la frecuencia acumulada del valor x y se lee directamente de la

gráfica.

A partir de una situación real con densidades de frecuencias se crea un modelo teórico con

asignación de probabilidades.

Sea X una variable aleatoria continua que toma valores en un intervalo [a, b]. Si se

procede a dividir el intervalo cada vez en más partes el polígono de frecuencias relativas(densidades de frecuencias) se va aproximando a una curva con un determinado aspecto.

Una vez realizado este proceso de dividir sucesivamente el intervalo, las densidades de

frecuencias pasan a ser, en el límite, densidades de probabilidad.

La probabilidad de que la variable X tome los valores entre x0 y x0+h es P(x0

0+h) y corresponde al área bajo la curva en el intervalo [x0 , x0+h]. La función

correspondiente a esta curva, y = f(x), se denominara Función de densidad..


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Función de Densidad

Una función y = f(x) es una función de densidad de una variable aleatoria continua si

cumple las siguientes condiciones:

Es positiva en todo su dominio: 0 f(x) 1

Permite obtener p(a X b) como área bajo la grafica entre X = a y X = b. Verifica la formulaP(a X b) =

b

adx)x(f .

El área total entre la grafica de f(x) y el eje x vale 1 1dx)x(f

.

Permite obtener F(x) como área bajo la grafica hasta el valor de x

Función de Distribución

En general, la función de distribución de una variable aleatoria continua X es el modelo

teórico de la curva de frecuencias acumuladas que se espera obtener para X, y debe cumplir,evidentemente, estas propiedades:

Ser creciente

Tomar valores de 0 a 1

Si X es una variable aleatoria continua con valores en un intervalo [a, b], entonces F(x)

será la probabilidad de que la variable X tome valores entre a y x. F(x) = P(a ≤

bxsi1

bxasidx)x(f

axsi0

)x(Fx

a

x

dx)x(f )xX( p)x(F

badecualquiravalor un x siendo x X P ad probabilid la x F dx

xdF t f ,,0)()´(

)()( 00

Es decir, la función de distribución F(x) es una primitiva de la función de densidad f(x), o

dicho de otra forma, la función de densidad es la derivada de la función de distribución.

Indica la probabilidad de que la variable aleatoria continua X sea menor o igual que un

valor dado, es decir, proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la

variable.

Ejercicios

1. La longitud de una pieza (en metros) es una variable aleatoria X con la siguiente función de

Densidad f(x) = 2(1-X), 0 X 1 y 0; para otro valor. Determinar:a) La probabilidad de que la pieza mida entre ½ metro y un metro.


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b) Probabilidad de que la pieza mida más de ¾ de metro.

c) Grafica de la función densidad.

Solución

X = longitud de una piezaa) P(1/2 X 1) =

4

1)2()1(2

1

21

1

21

2 x xdx X

b)

P(X 3/4) =16

1)2()()1(2)(

1

434

3

1

43 1

2

x xdx x f dx X dx x f

c) Grafica

y

2

1

-ω 1 ω x

2. El peso de una caja (Kg.) es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:

..;0

54;4

43;

2

1

)(

V O

x x

X

x f Determinar:

a) Grafica de la Función de Densidad.

b)

Probabilidad de que el peso de la caja este entre 3,5 y 4,5 Kg.

c)

Probabilidad de que el peso supere los 4 Kg.

Solución.

a) Graficay

1

3 4 5/8 x


49/93

100

b) P(3,5 X 4,5) =

4

5,3

5,4

4

5,4

4

24

5,3 8

34

22

1)4(

2

1 x

x xdx xdx

c)

c) P(X 4) =

5,4

5

4 5

5

4

2

2

14

2)()4()( x

xdx x f dx xdx x f

3. La temperatura promedio (ºC) de cierta región es una variable aleatoria con la siguiente

función de densidad:

..;0

42;)2(8

3

)(

2

C O

x X x f

Calcular:

a) Probabilidad de que la temperatura promedio sea menor de 3 ºC.

b) Probabilidad de que la temperatura promedio este entre 2,5 y 3,5 ºC.

c)

Grafica de la función densidad.

Solución.

X = Temperatura promedio de cierta región.

a)

P(x < 3) =

3 2 3

2

2

8

1)2(

8

3)()( dx xdx x f dx x f

b) P(2,5 X 3,5) = 5,3

5,2

2

5,3

5,2

41.0)2(

8

3)( dx xdx x f

c) Grafica

Parámetros de Una Variable Aleatoria Continua

Por analogía con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas, se

definen la esperanza matemática E(x) o media μ, la varianza V(x) o σ2 y la desviación típica σ de

una variable aleatoria continúa de la siguiente forma:

f(x)

3/2

2 4


50/93

101

Si toma valores en toda la recta real

Valor Esperado o Media

dx)x(f x)x(E

dx)x(f x)x(E;)x(E)x(E)x(VVarianza 2222

Si toma valores en (a, b)

Valor Esperado o Media b

a

dx)x(f x)x(E

b

a

2222dx)x(f x)x(E;)x(E)x(E)x(VVarianza

Ejemplo

El peso de una caja (Kg.) es una variable aleatoria X con la siguiente función de Densidad,

..0

102)(

co

x x x f Calcular:

a) P

cuerpo probabilidad

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