probabilidad inferencial

8/2/2019 Probabilidad inferencial

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Estadstica Inferencial Tema 1: Probabilidades 1

Estadstica InferencialTema 1: Probabilidades


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Tema 1: Probabilidades 2Estadstica Inferencial

Cul es la probabilidad de aprobar la asignatura?

Cul es la probabilidad de no sufrir un accidente cuando voy a

clases?

Todos los das nos hacemos preguntas sobre probabilidad eincluso los que hayan visto de esta materia en cursos anteriores,tendrn una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo quenecesitamos de ella en este curso.

En este tema vamos a: Estudiar qu entendemos por probabilidad. Ver algunas reglas de clculo de probabilidades. Ver cmo se aplican las probabilidades en Ciencias de la Salud. Aplicarlas a algunos conceptos nuevos de inters en Ciencias de la

Salud. Test diagnsticos.


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Nociones de probabilidad

Hay dos maneras principales de entender la probabilidad:

Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la frecuenciarelativa (%) de veces que ocurrira el suceso al realizar un experimentorepetidas veces.

Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre unsuceso. Es personal.

En ambos tipos de definiciones aparece el concepto desuceso. Vamos a recordar qu son y algunas operaciones

que se pueden realizar con sucesos.


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SucesosCuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados sonposibles.

El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral yse denota por E.

E espacio muestral

Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados. E espacio muestral

ASe llama suceso contrario (complementario) de un suceso A,

al formado por los elementos que no estn en A, se anotaA

E espacio muestral

A

A

Se llama suceso unin de A y B, AUB, al formado por los resultadosexperimentales que estn en A o en B (incluyendo los que estnen ambos

E espacio muestral

A

B

Se llama suceso interseccin de A y B,AB o simplemente AB, al formadopor los resultados experimentales que estn simultneamente en A y B

E espacio muestral

A

B

UNIN

E espacio muestral

A

B

INTERSEC.


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Definicin de probabilidad y prob. condicional Se llama probabilidad a cualquier funcin, P, que asigna a cada

suceso A un nmero real P(A), verificando las siguientes reglas

(axiomas) 0P(A) 1

P(E)=1

P(AUB)=P(A)+P(B) si A B= es el conjunto vaco.

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de Asabiendo que ocurri B:

( )( ) ( / )

( )B

P A BP A P A B

P B

E espacio muestral

100%

E espacio muestral

B

A

E espacio muestral

AB


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Intuir la probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10

P(A B) = 0,10

B

A

Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10

P(A B) = 0,08


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Intuir la probabilidad condicionadaA

B

A

B

Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A B) = 0


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Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teora medianteaplicacin de los axiomas. Sin embargo, es ms cmodo conocer algunasreglas de clculo:

P(A) = 1 - P(A)

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(AB) = P(A) P(B|A)=P(B) P(B|A)

Prob. de que ocurra A y B es la prob. de que ocurra A por la probabilidad de que ocurra Bsabiendo que ocurri A.

Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afectala ocurrencia del otro. En lenguaje probabilstico:

A y BindependientesP(A|B) = P(A)

Dicho de otra forma: A y BindependientesP(A B) = P(A) P(B)


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EJEMPLO: En una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entreuna poblacin de enfermos de osteoporosis 760 eran mujeres.

Qu porcentaje de mujeres hay en la muestra?

(760/1000)*100=0,76*100=76% Si elegimos a un individuo de la poblacin, qu probabilidad hay de que

sea mujer: La noc. frec. de prob. nos permite aproximarlo a P(Mujer)=076

Cul es la probabilidad de que elegido un individuo de la poblacin sea

hombre: P(Hombre)=P(Mujer)=1-0,76=0,24

Se sabe de otros estudios que entre los individuos con osteoporosis, aprox.la cuarta parte de las mujeres y la tercera parte de los hombres fuman.Elegimos a un individuo al azar de la poblacin de enfermos.

Qu probabilidad hay de que sea mujer fumadora? P(Mujer Fumar) = P(Mujer) P(Fumar|Mujer) = 0,76 x 0.25 = 0,19

Qu probabilidad hay de que sea un hombre fumador? P(Hombre Fumar) = P(Hombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08


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Sistema exhaustivo y excluyente de sucesosParticin medible de un espacio muestral

A1

A2

A3 A4

Son una coleccin de sucesos

A1, A2, A3,A4

Tales que la unin de todos ellos forman

el espacio muestral, y sus interseccionesson disjuntas.


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Divide y vencers

A1

A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuestoen componentes de dicho sistema.

B = (BA1) U (BA2) U ( BA3) U ( BA4)

Nos permite descomponer el problema B ensubproblemas ms simples. Creanlo . Funciona.


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Probabilidad total

A1

A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cadauno de los componentes de un sistemaexhaustivo y excluyente de sucesos,entonces

podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(BA1) + P(BA2) + P( BA3) + ( BA4)

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) +


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Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. Deellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el20%.

Qu porcentaje de fumadores hay en total? P(F) = P(FH) + P(FM)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

Se elije a un individuo al azar y resultafumador. Cul es la probabilidad de que sea un hombre? P(H|F) = P(F H)/P(F)

= P(F|H) P(H) / P(F)

= 0x2 x 0,3 / 0,13

= 0,46 = 46%

MujeresVarones

fumadores

Probabilidad Total.Hombres y mujeresformanuna particin del espaciomuestral

R. Bayes


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Expresin del problema en forma de arbol

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2

P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)

Los caminos a travs de nodosrepresentan intersecciones.

Las bifurcaciones representanuniones disjuntas.

Puedes resolver los problemasusando la tcnica de tupreferencia.


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Regla de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B encada uno de los componentes de un

sistema exhaustivo y excluyente desucesos, entonces

si ocurre B, podemos calcular la

probabilidad (a posteriori) de ocurrenciade cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(BA1) + P(BA2) + P( BA3) + ( BA4)

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) +

( )( ) ( / )

( )

i

B i i

P A BP A P A B

P B


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Test diagnsticosUn test diagnstico sirve para ayudar a mejorar una estimacin de la

probabilidad de que un individuo presente una enfermedad.

En pricipio tenemos una idea subjetivade P(Enfermo). Nos ayudamos de Incidencia,

Porcentaje de nuevos casos de la enfermedad en la poblacin. Prevalencia,

Porcentaje de la poblacin que presenta una enfermedad.

Por otra parte, para confirmar, usamos una prueba diagnstica. La mismaha sido evaluada con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos yenfermos. As de modo frecuentista se ha estimado: Sensibilidad (verdaderos +)= Tasa de acierto sobre enfermos. Especificidad (verdaderos -)= Tasa de acierto sobre sanos.

A partir de lo anterior y usando la Regla de Bayes, podemos calcular las

probabilidades a posteriori(en funcin de los resultados del test): ndicespredictivos P(Enfermo | Test +) = ndice predictivo de verdaderos positivo P(Sano | Test -) = ndice predictivo de verdaderos negativo


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Test diagnsticos: aplicacin Regla de Bayes.

Individuo

Enfermo

T-

Sano

T+

T-

T+

P. a prioride enfermedad:incid., preval., intuicin,

Sensibilidad,verdaderos +

Falsos +

Especificidad,Verdaderos -

Falsos -


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Ejemplo: Test diagnstico y Regla de Bayes

La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden

a una consulta. La presencia de glucosuria se usa comoindicador de diabetes. Su sensibilidad es de 0,3 y laespecificidad de 0,99. Calcular los ndices predictivos.

88,001,08,03,02,0

3,02,0

)()()()|(

TSanoPTEnfPTEnfPTEnfP

Individuo

EnfermoT-

Sano

T+

T-

T+

0,3

0,01

0,99

0,7

0,2

0,8

85,07,02,099,08,0

99,08,0

)()()()|(

TEnfPTSanoPTSanoPTSanoP


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Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un

individuo a la consulta tenemos una ideaa priorisobre la probabilidad de quetenga una enfermedad.

A continuacin se le pasa un testdiagnstico que nos aportar nueva

informacin: Presenta glucosuria o no.

En funcin del resultado tenemos unanueva idea (a posteriori) sobre laprobabilidad de que est enfermo. Nuestra opinin a priori ha sido

modificada por el resultado de unexperimento.

Relacinalo con el mtodo cientfico.

-Qu probabilidad tengode estar enfermo?

- En principio 0.2. Le

haremos unas pruebas.

- Presenta glucosuria. Laprobabilidad ahora es de

0.88


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Qu hemos visto hasta el momento? lgebra de sucesos

Unin, interseccin, complemento Probabilidad

Nociones Frecuentista Subjetiva o Bayesiana

Axiomas

Probabilidad condicional Reglas del clculo de probabilidades

Complementario, Unin, Interseccin Independencia de sucesos Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Probabilidad total. Regla de Bayes

Test diagnsticos A priori: Incidencia, prevalencia. Eficacia de la prueba: Sensibilidad, especificidad. A posteriori: ndices predictivos.

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