Conceptos de Probabilidad

En la vida nada es seguro. Siempre calculamos las posibilidades o chance de un buen resultado, tanto en los negocios, deportes, medicina o clima…Probabilidad: valor numérico que varía entre cero y uno, que describe la posibilidad de ocurrencia de un evento o suceso.

Definiciones básicas:• Experimento aleatorio:

es el proceso que genera resultados observables. Un experimento es aleatorio si tiene más de un resultado posible de ocurrencia.

EJ. - lanzar 2 dados- respuesta ante un medicamento

• Resultado elemental:una de las respuestas que puede tener un experimento aleatorio.Ej: si se lanzan los 2 dados, una respuesta puede ser el par (1,2)

• Espacio muestral:conj. de todos los resultados elementales posibles de un experimento aleatorio. Se anotaEj: 36 pares ordenados al lanzar 2 dados.

Ω

Vamos a imaginar un experimento aleatorio con resultados elementales E1,E2, ..,En.

Queremos asignarle un “peso numérico” o probabilidad a cada uno para medir la posibilidad que aparezca.

Escribiremos la probabilidad de Ei como:P(Ei)

- Por ej., al lanzar una moneda hay dos resultados posibles: cara y sello, y es bastante natural que:

P(cara) = P(sello) = ½Es decir, cada resultado aparece en la mitad de ocasiones.

- Si el experimento es lanzar dos dados, ya vimos que hay 36 resultados posibles, asíla probabilidad de P(Blanco=5, Rojo=2) = 1/36

Los dos ejemplos analizados se denominan equiprobables, es decir, cada resultado tiene la misma ponderación o chance.

Suponga ahora que se ha trucado un dado, tal que la pinta “1” aparece un 25% de las veces. Nótese que el espacio muestral es1, 2, 3, 4, 5, 6, pero las probabilidades

son diferentes, dado que P(1)=0,25 y las restantes 5 suman 0,75. Se tiene:

P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=0,75 / 5 = 0,15

En general, los resultados elementales notienen por qué tener la misma probabilidad.

Se cumple que:• 0 < P(Ei) < 1 probabilidad NO

NEGATIVA y menor o igual que 1.

• P(E1) + P(E2) +…+ P(En) = 1la probabilidad total de los resultados elementales es uno (suceso seguro).

Lo anterior es la Axiomática de probabilidad

• ¿Cómo asignamos una probabilidad a un resultado?

- probabilidad clásica- probabilidad frecuentista- probabilidad subjetiva

En la probabilidad clásica la suposición fundamental es que todos los resultados elementales tienen la misma probabilidad.

Así la probabilidad es el cuociente entre casos posibles y casos totales.

=

La definición de frecuencia relativa se usa cuando el experimento se puede repetir varias veces. Así, la probabilidad de un resultado es la proporción de ocasiones en las que aparece es resultado en el largo plazo (hay que experimentar).

=

La probabilidad subjetiva se utiliza en aquellos sucesos irrepetibles y su probabilidad es simplemente una valoración personal del especialista.

… tengo una alta probabilidad de obtener sobre un 5,0 en la prueba …

Nota:

La diferencia entre la asignación de probabilidades clásica y frecuentista radica en que la primera se obtiene sin efectuar el experimento, y la segunda después de haberlo efectuado un gran número de veces.

• Suceso o evento: es un subconjunto del espacio muestral. Se anotan A,B,C…

Ejemplos: Considere un experimento donde se seleccionan dos componentes y se clasifican conforme cumplen (s) o no (n) los requerimientos.

sea A= al menos uno de los componentes es aceptable, entonces,

=Ω

=

Sean dos sucesos A y B asociados a un espacio muestral

- A y B son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno, anula la ocurrencia del otro suceso, entonces:

- A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos, no interfiere en la ocurrencia del otro, entonces:

Ω

=∩

⋅=∩

• Regla de la adiciónsi A y B son sucesos asociados a un espacio muestral

si los sucesos son A, B, C

Ω

∩−+=∪

∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪

• Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces:

• Si A y B son sucesos independientes, entonces:

−+=∪

⋅−+=∪

• Ej:

Un distribuidor acepta pedidos de 3 maneras distintas: por teléfono (A), por internet (B) o por visita del vendedor (C). Las ordenes se clasifican según monto del pedido en: pequeñas (1), medianas (2), grandes (3) y mayores (4). La tabla muestra un resumen de 4000 pedidos recibidos por el distribuidor:

4000765038172604total1360141092161021C8144930837186B182613862301497Atotal4321

1. Si los pedidos que se aceptan de la formaA o B se pasan por proceso de entrada especial ¿cuál es la probabilidad que un pedido pase por este proceso?

En este caso A y B son mutuamente excluyentes.

=+=∪

2. Las ordenes mayores y las telefónicas se retienen mientras se verifica el crédito ¿cuál es el porcentaje de ordenes que se retiene?

=−+=∪

3. ¿es independiente un pedido telefónico con que sea de monto mayor?Si A y 4 son independientes, se cumpliría que

Para estos datos, A y 4 no son independientes.

⋅=∩

≠