probabilidad e independencia de sucesos

E S T A D Í S T I C A I N F E R E N C I A L

Probabilidad e independencia de sucesos

Martha Laura Rosales Raya

Probabilidad.


Rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso.

La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

Definiciones


Definición Ejemplo

Experimento aleatorio: Es el conjunto de todas las pruebas de un experimento que se realizan de manera aleatoria. De este experimento se conocen los posibles resultados. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.

Ejemplo: El lanzamiento de un dado.

Espacio Muestral: Son todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota por S

En el lanzamiento de una moneda el espacio muestral es S= (cara, sello) que son los posibles resultados del experimento.


Definición Ejemplo

Punto muestral – Evento Elemental – Suceso elemental : Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Suceso Seguro: Cuando son favorables todos los casos posibles. La probabilidad de ocurrencia es 1. Suceso imposible: Cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido. Probabilidad de ocurrencia es cero.

En el lanzamiento de una moneda el espacio muestral es S= (cara, sello), los puntos muestrales son e1= cara E2 = sello Ganar un premio de la lotería si no ha comprado un boleto.


Definición Ejemplo

Punto muestral – Evento Elemental – Suceso elemental : Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

En el lanzamiento de una moneda el espacio muestral es S= (cara, sello), los puntos muestrales son e1= cara E2 = sello

Espacio Muestral y Eventos


Experimentos Aleatorios y Espacios Muestrales. Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. Tipos de experimentos:

Experimentos Determinísticos: Son aquellos en donde no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuando éstos son repetidos varias veces.

Experimentos Aleatorios: Son aquellos en donde no se puede anticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando éste es ejecutado.


Espacio Muestral: Es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. Representación del espacio muestral S y cada elemento de él es llamado un punto muestral. Ejemplo:

Tipos de espacios muestrales:

Espacios muestrales discretos: Son espacios muestrales cuyos

elementos resultan de hacer conteos, y por lo general son subconjuntos de los números enteros.

Espacios muestrales continuos: Son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones, y por lo general son intervalos en la recta Real.

Eventos


Un Evento es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto. Ejemplo: A: Que salga un número par al lanzar un dado. E: Que haya que esperar más de 10 minutos para ser

atendidos.

Evento Nulo: Es aquél que no tiene elementos. Se

representa por .

Evento Seguro: Es el espacio muestral que puede ser considerado como un evento.

Relaciones entre eventos


Unión de eventos: Dados dos eventos A y B de un

mismo espacio muestral su unión se representa por

AUB y es el evento que contiene los elementos que

están en A o en B, o en ambos. El evento ocurre si al

menos uno de los dos eventos ocurre. Dada una

colección de eventos, su unión denotada por

ocurre si al menos uno de los ocurre.

Relaciones entre eventos


Intersección de eventos: Dados dos eventos A y B de

un mismo espacio muestral su intersección se representa

por A∩B y es el evento que contiene los elementos que

están en A y B al mismo tiempo. El evento ocurre

cuando los eventos ocurren simultáneamente. Dada una

colección de eventos, su intersección denotada

por ocurre si todos los eventos ocurren a la

vez.

Probabilidad de eventos

Probabilidad = Describe la posibilidad de que ocurra un evento (valor entre 0 y 1). Probabilidad de evento = Es la frecuencia relativa que se espera que el evento ocurra.

Diagrama de árbol


Es una gráfica que sirve para organizar probabilidades (secuencia de eventos).

Ejemplo: 20 estudiantes están tomando la materia de Hematología y han rendido una prueba. Sus registros se señalan en la tabla.

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar a una mujer que tenga una nota de 17?

Propiedades básicas de las probabilidades


La probabilidad adopta un valor entre 0 y 1.

La suma de las probabilidades es igual a 1.

Diagrama de Venn: Los eventos se representan por círculos en un espacio muestral de forma vertical. El mayor círculo tendrá un mayor valor y así sucesivamente

A

No A

Probabilidad condicional de eventos


Probabilidad de que un evento en particular ocurra (A) dado que otro evento haya acontecido (B).

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar a una mujer que tenga una nota de 17? (ejercicio anterior).

A = Género Mujer (hombre y mujer).

B = Nota 17 (14, 15, 16 y 17 puntos).


Reglas de probabilidad

Reglas de la probabilidad


Probabilidad de no A (eventos complementarios)


Ejemplo: El salario de cuatro personas es el siguiente: 10, 15, 20 y 30. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a una persona con un ingreso superior a los 10 USD?

A = 10 USD Probabilidad = 0.25 (1/4).

B = 15 USD Probabilidad = 0.25 (1/4).

C = 20 USD Probabilidad = 0.25 (1/4).

D = 30 USD Probabilidad = 0.25 (1/4).

P(A) + P(no A) = 1.0 P(A) = 1 – P(A)

P(A) = 1 - 0.25 = 0.75

Probabilidad de A o B (Regla general de la adición)


Ejemplo: El 50% de los estudiantes aprobó la materia “XX”, el 80% la materia “YY” y el 40% las dos materias “XX y YY”. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a un estudiante al azar que haya aprobado las dos materias?

A = 50% 0.50.

B = 80% 0.80.

C = 40% 0.40.

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A o B)

P(A o B) = 0.50 + 0.80 - 0.40 = 0.90

Probabilidad de A y B (Regla general de la multiplicación)


Ejemplo: 10 concejales (6 hombres y 4 mujeres) votaron por una ley que incrementa los impuestos. 2 hombres están a favor de incrementarlos. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar a un hombre que esté a favor de incrementar los impuestos?

A = 0.60 (6 / 10).

B = 0.40 (4 / 10).

A│B = (2 / 6) = 0.33

P(A y B) = P(A) • P(B A)

P(A y B) = 0.6 • 0.33 = 0.20

Eventos mutuamente excluyentes


Un evento excluye a otro evento.

Ejemplo: La persona A votó a favor del candidato “X” No votó por “Y” o “Z”

Eventos no son mutuamente excluyentes.

Regla especial de la adición:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Eventos independiente


Si el suceso (o no suceso) de un evento no da información acerca de la probabilidad de que ocurra el otro evento.

Ejemplo: La persona 1 votó por el candidato “X” y la persona 2 por el candidato “Y” El votó de 1 es independiente del voto de 2 y viceversa.

Eventos dependientes = No son independientes.

Regla especial de la multiplicación

Cuando los eventos son independientes.

P(A y B) = P(A) • P(B)

Ejercicios


Aplicar la probabilidad, con los datos del grupo y al grupo de datos de la investigación.

Enviar archivo excell y diapositivas de presentación.

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