tema 3. probabilidad

Tema 3: Probabilidad.

Gema Isabel Marín Caballero Página 1 de 53

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD 3

2. EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS 3

3. EXPERIMENTOS ALEATORIOS SIMPLES Y COMPUESTOS 5

3.1. Experimento simple ................................................................................................................................. 5

3.2. Experimento compuesto ........................................................................................................................ 5

4. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS 6

4.1. Introducción .............................................................................................................................................. 6

4.2. Espacio muestral ..................................................................................................................................... 6

4.3. Suceso elemental o individual .............................................................................................................. 7

4.4. Suceso compuesto ................................................................................................................................... 7

4.5. Suceso aleatorio ...................................................................................................................................... 8

4.6. Tipos de sucesos ...................................................................................................................................... 9

4.6.1. Suceso imposible ...................................................................................................................................... 10

4.6.2. Suceso seguro ........................................................................................................................................... 10

4.6.3. Suceso probable o posible ..................................................................................................................... 10

4.6.4. Suceso contrario o complementario de un suceso ............................................................................ 10

4.6.5. Sucesos compatibles ............................................................................................................................... 10

4.6.6. Sucesos incompatibles ............................................................................................................................ 11

4.6.7. Sucesos independientes ......................................................................................................................... 11

4.6.8. Sucesos dependientes ............................................................................................................................ 11

5. HERRAMIENTAS PARA DETERMINAR EL ESPACIO MUESTRAL 11

5.1. Introducción ............................................................................................................................................. 11

5.2. Diagrama de árbol ................................................................................................................................. 12

5.3. Tabla de doble entrada o Tabla de contingencia ......................................................................... 14

6. OPERACIONES CON SUCESOS 16

6.1. Introducción ............................................................................................................................................ 16

6.2. Unión ......................................................................................................................................................... 16

6.3. Intersección ........................................................................................................................................... 17

6.4. Diferencia ................................................................................................................................................ 17

6.5. Suceso contrario o complementario de un suceso....................................................................... 18

6.5.1. Leyes de Morgan ....................................................................................................................................... 19



6.6. Propiedades de las operaciones con sucesos ................................................................................ 19

7. PROBABILIDAD DE UN SUCESO EN EXPERIMENTOS SIMPLES 19

7.1. Definición ................................................................................................................................................. 19

7.2. Propiedades de la probabilidad ......................................................................................................... 21

7.3. Reglas de la adición o Probabilidad de la unión de sucesos ...................................................... 21

7.4. Probabilidad de la diferencia de dos sucesos.............................................................................. 23

7.5. Probabilidad de un suceso .................................................................................................................. 24

7.6. Resumen de probabilidad ................................................................................................................... 25

8. ENFOQUES PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD 25

8.1. Introducción ........................................................................................................................................... 25

8.2. Enfoque de frecuencia relativa o Enfoque empírico ................................................................. 26

8.3. Enfoque clásico o Regla de Laplace ................................................................................................. 28

8.4. Enfoque subjetivo ................................................................................................................................ 34

9. PROBABILIDAD CONDICIONADA 34

9.1. Definición ................................................................................................................................................ 34

9.2. Reglas del producto o Probabilidad de la intersección de sucesos ....................................... 36

9.3. Resumen de probabilidad ................................................................................................................... 39

10. PROBABILIDAD DE UN SUCESO EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS 39

11. HERRAMIENTAS PARA DETERMINAR EL ESPACIO MUESTRAL. PROBABILIDAD 39

11.1. Introducción .......................................................................................................................................... 39

11.2. Diagrama de árbol ............................................................................................................................... 39

11.3. Tabla de doble entrada o Tabla de contingencia....................................................................... 42

12. EXPERIMENTOS COMPUESTOS CON O SIN REEMPLAZAMIENTO 46

13. TABLA – RESUMEN DE PROBABILIDAD 52



1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los

nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue

asignado a los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy

diferentes para la que fueron creadas. Actualmente, se continuó con el estudio de nuevas metodologías

que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de

este modo, los márgenes de error en los cálculos.

Los juegos de azar fueron el origen de la teoría de probabilidades; pero aunque la mayoría de

los juegos de azar son tan antiguos como la humanidad misma, el cálculo de probabilidades no surgió

hasta finales del siglo XVI y principios del siglo XVII.

Hoy en día el cálculo de probabilidades no sólo se ocupa de problemas asociados a los juegos de

azar, sino que junto con la estadística interviene en otros ámbitos de la vida. Algunas aplicaciones son

los estudios sobre expectativas de vida con el fin de fijar las primas de seguro, el análisis de las

previsiones de voto ante unas elecciones, o el estudio de marketing para lanzar un nuevo producto al

mercado.

2. EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS

Cuando realizamos un experimento puede ocurrir que sepamos de antemano lo que va a ocurrir o

que no lo sepamos.

Si lanzamos una moneda hacia arriba es seguro que la moneda caerá por efecto de la gravedad;

sin embargo, no podemos predecir qué cara va a quedar visible.

Los experimentos, dependiendo de sus resultados, son:

Aleatorios. No podemos predecir el resultado que se obtendrá al realizarlo, es decir, depende

del azar. No se sabe el resultado a priori. Ejemplo: Tirar un dado.

Deterministas. Conocemos de antemano el resultado que se va a producir. Se sabe el resultado

a priori (antes de suceder). Ejemplo: Kms que recorre un coche.

La probabilidad se utiliza para estudiar los sucesos en un experimento aleatorio y saber cuáles

pueden darse más frecuentemente.

Ejemplos: Distingue entre experimento aleatorio y determinista.

a) Determinar el día de la semana que será mañana.

Conociendo el día de la semana que es hoy, podemos determinar con exactitud qué día será

mañana. El experimento es determinista.

b) Anotar el color de una bola que extraemos al azar de una urna que contiene bolas rojas y bolas verdes.

Al extraer una bola, ésta puede ser roja o verde, y de antemano no podemos conocer el color

que va a salir. El experimento es aleatorio.



c) Lanzar una chincheta y comprobar cómo cae.

Al lanzar una chincheta, ésta puede caer con el pico hacia arriba o hacia abajo. Antes de

lanzarla, no podemos saber cómo va a caer. El experimento es aleatorio.

d) Caída de una piedra.

Si dejamos caer una piedra desde una ventana, sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará

por la gravedad. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de

tiempo y después bajará por la gravedad. El experimento es determinista.

e) El lanzamiento de un misil.

Conociendo los pasos que hay que hacer para lanzar un misil, podemos determinar con exactitud

qué el misil será lanzado. El experimento es determinista.

f) Movimiento de un planeta.

Sabemos el resultado que va a ocurrir cuando se mueva el planeta. El experimento es

determinista.

g) Se lanza un dado equilibrado y se observa el número que aparece en la cara superior.

Al lanzar un dado, éste cuando cae puede aparecer con un punto, dos, tres, cuatro, cinco o seis.

Antes de lanzarla, no podemos saber qué puntuación va a salir. El experimento es aleatorio.

h) Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.

Al lanzar una moneda cuatro veces, éstas pueden caer con el valor de cara o cruz. Antes de

lanzarlas, no podemos saber qué valor va a salir. El experimento es aleatorio.

i) Resultado de un partido de fútbol.

Antes de empezar un partido de fútbol no podemos saber qué resultado se va a producir. El

experimento es aleatorio.

j) Extraer una carta de una baraja.

Al sacar una carta, ésta puede ser un as de oros, un caballo de corazones, etc. Antes de

extraerla, no podemos qué carta va a salir. El experimento es aleatorio.

k) Lanzar una moneda y anotar si sale cara o cruz.

Al lanzar una moneda, ésta puede caer con el valor de cara o cruz. Antes de lanzarla, no

podemos saber qué valor va a salir. El experimento es aleatorio.

l) Abrir un libro al azar y anotar el número de página.

Al abrir un libro, éste puede abrirse en una página o en otra, por lo que de antemano no podemos

conocer el número de página que va a salir. El experimento es aleatorio.



3. EXPERIMENTOS ALEATORIOS SIMPLES Y COMPUESTOS

3.1. Experimento simple

Un experimento aleatorio simple es el experimento que no se puede descomponer más.

Ejemplo: Lanzamos una moneda y anotamos el resultado.

Resultados posibles del experimento: { cara, cruz }

Sólo hemos lanzado la moneda una vez. Sólo hemos realizado una observación.

Por tanto, el lanzamiento de una moneda constituye un experimento aleatorio simple.

Ejemplo: En una urna, hay 15 bolas numeradas del 1 al 15. Extraemos una bola al azar y

observamos el número que tiene.

Resultados posibles del experimento: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

Sólo hemos sacado una bola de la urna una vez. Sólo hemos realizado una observación.

Por tanto, la extracción de una bola constituye un experimento aleatorio simple.

3.2. Experimento compuesto

Un experimento aleatorio compuesto es el experimento que está formado por dos o más experimentos simples. Son experiencias donde se distinguen etapas.

Ejemplo: Lanzamos dos monedas, es decir, primero lanzamos una y, luego, otra; y anotamos el

resultado.

Los valores que podemos obtener al lanzar una moneda son: cara (C) o cruz (+).

Resultados posibles del experimento: { (C, C), (C, +), (+, C), (+, +) }

Hemos lanzado la moneda dos veces. Hemos realizado un experimento y hemos observado.

Luego, hemos realizado el otro experimento y otra vez hemos observado.

Este experimento está compuesto por dos experimentos simples.

Por tanto, el lanzamiento de la misma moneda varias veces consecutivas es un experimento

aleatorio compuesto.

Ejemplo: Lanzamos una moneda y un dado, es decir, primero lanzamos la moneda y, luego, el

dado; y anotamos el resultado.


Los números que podemos obtener al tirar un dado son las puntuaciones: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

Resultados posibles del experimento: { (C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (+,1), (+,2), (+,3),

(+,4), (+,5), (+,6) }

Hemos lanzado la moneda y el dado. Hemos realizado un experimento y hemos observado.

Luego, hemos realizado el otro experimento y otra vez hemos observado.

Este experimento está compuesto por dos experimentos simples.

Por tanto, el lanzamiento de una moneda y un dado de forma consecutiva es un experimento

aleatorio compuesto.



4. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS

4.1. Introducción

En los experimentos aleatorios no podemos predecir el resultado, es decir, hay más de un resultado posible al realizar el experimento.

4.2. Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, y se representa con la letra E.

E = { R1, R2, R3, … , Rn }

Donde Rk son los resultados del experimento aleatorio.

Ejemplos: Define el espacio muestral en los siguientes experimentos aleatorios.

a) Lanzar un dado y anotar su resultado.


Espacio muestral: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras.

Si lanzamos dos monedas al aire, podemos obtener cara en las dos monedas, cara en una de ellas

o ninguna cara.

Espacio muestral: E = { 2 caras, 1 cara, 0 caras }

c) Extraer una bola de una bolsa que tiene 2 bolas rojas y 3 azules.

Si tenemos una bolsa con bolas rojas y azules, podemos obtener una bola roja o azul.

Espacio muestral: E = { Sacar bola roja, Sacar bola azul }

NOTA: Un espacio muestral no necesariamente es un conjunto con una cantidad finita de

elementos. Hay espacios muestrales con un número infinito de elementos, incluso no numerable.

Ejemplos:

a) Lanzar un dardo a una diana y anotar la posición del punto donde se clava.

b) Cortar a ciegas un cordel y anotar la longitud del trozo menor.

c) Elegir al azar un punto del intervalo [0, 1] .



4.3. Suceso elemental o individual

Cada uno de los resultados Rk que forman el espacio muestral se llama suceso elemental.

Por tanto, un suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Ejemplo (continuación): Define los sucesos elementales en los siguientes experimentos

aleatorios.


Sucesos elementales: «Obtener el número 1» = { 1 }

«Obtener el número 2» = { 2 }






Sucesos elementales: «Sacar 2 caras» = { 2 caras }

«Sacar 1 cara» = { 1 cara }

«Sacar 0 caras» = { 0 caras }


Sucesos elementales: «Sacar bola roja» = { Roja }

«Sacar bola azul» = { Azul }

4.4. Suceso compuesto

Un suceso compuesto es aquél que contiene dos o más sucesos elementales.

Por tanto, un suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral que tiene dos o más elementos.

Ejemplo (continuación): Define varios sucesos compuestos en los siguientes experimentos

aleatorios.


Sucesos compuestos: «Obtener un número par» = { 2, 4, 6 }

«Obtener un número mayor que 3» = { 4, 5, 6 }

«Obtener un divisor de 6» = { 1, 2, 3, 6 }




Sucesos compuestos: «Sacar alguna cara» = { 2 caras, 1 cara }

«Sacar alguna cruz» = { 1 cara, 0 caras }


Sucesos compuestos: «Sacar alguna bola roja» = { 2 bolas rojas, 1 bola roja }

«Sacar alguna bola azul» = { 2 bolas azul, 1 bola azul }

4.5. Suceso aleatorio

En general, un suceso o evento o suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Se suele denotar con letras mayúsculas: A, B, C, etc.

Ejemplo: En el espacio muestral E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } del lanzamiento de un dado, los siguientes

son sucesos aleatorios:

a) A = «Obtener un número primo» = { 2, 3, 5 }

b) B = «Obtener un número primo y par» = { 2 }

c) C = «Obtener un número mayor o igual a 5» = { 5, 6 }

Ejemplo: Extraemos una bola de una urna con bolas numeradas del 1 al 5. Define el espacio

muestral y escribe sucesos que no sean elementales (esto es, sucesos compuestos).

El espacio muestral tiene 5 sucesos elementales: E = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Los sucesos no elementales pueden ser:

A = «Sacar un número par» = { 2, 4 }

B = «Sacar un número mayor que 3» = { 4, 5 }

Ejemplo: En el experimento compuesto “lanzar una moneda y un dado”, define el espacio

muestral, sus sucesos elementales y varios sucesos compuestos.



Espacio muestral: E = { (C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (+,1), (+,2), (+,3), (+,4), (+,5), (+,6) }

Sucesos elementales: A = «Obtener cara y el número 1» = { C, 1 }

B = «Obtener cara y el número 2» = { C, 2 }

C = «Obtener cara y el número 3» = { C, 3 }

D = «Obtener cara y el número 4» = { C, 4 }

E = «Obtener cara y el número 5» = { C, 5 }

F = «Obtener cara y el número 6» = { C, 6 }

G = «Obtener cruz y el número 1» = { +, 1 }

H = «Obtener cruz y el número 2» = { +, 2 }



I = «Obtener cruz y el número 3» = { +, 3 }

J = «Obtener cruz y el número 4» = { +, 4 }

K = «Obtener cruz y el número 5» = { +, 5 }

L = «Obtener cruz y el número 6» = { +, 6 }

Sucesos compuestos: M = «Obtener cara y un número par» = { (C,2), (C,4), (C,6) }

N = «Obtener cruz y un número mayor que 3» = { (+,4), (+,5), (+,6) }

Ejemplo: Consideremos el experimento compuesto “lanzar dos veces consecutivas una moneda y

apuntar los resultados en el orden en que aparecen”, define el espacio muestral, sus sucesos

elementales y varios sucesos compuestos.


Espacio muestral: E = { (C,C), (C,+), (+,C), (+,+) }

Sucesos elementales: A = «Obtener cara y cara» = { (C,C) }

B = «Obtener cara y cruz» = { (C,+) }

C = «Obtener cruz y cara» = { (+,C) }

D = «Obtener cruz y cruz» = { (+,+) }

Sucesos compuestos: E = «Sacar al menos una cara » = { (C,C), (C,+), (+,C) }

F = «Sacar al menos una cruz» = { (C,+), (+,C), (+,+) }

G = «No sacar dos cruces» = { (C,C), (C,+), (+,C) }

H = «No sacar cruz» = { (C,C) }

Fíjate en que los sucesos E y G son, en realidad, diferentes descripciones del mismo suceso.

4.6. Tipos de sucesos

Además de los sucesos vistos anteriormente, existen otros sucesos que presentan

características especiales.

Hay varios sucesos importantes:

Suceso imposible.

Suceso seguro.

Suceso probable o posible.

Suceso contrario.

Sucesos compatibles.

Sucesos incompatibles.

Dos sucesos son independientes.

Dos sucesos son dependientes.



4.6.1. Suceso imposible

Un suceso imposible Ø es aquel que nunca se verifica. Ø es el conjunto vacío ya que no hay ningún elemento. Nunca ocurre.

Ejemplo: Ø = «Sacar un siete al lanzar un dado»


No es posible sacar un siete si las puntuaciones son: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

4.6.2. Suceso seguro

Un suceso seguro E es aquel que se verifica siempre. E es el espacio muestral. Siempre ocurre.

Ejemplo: E = «Sacar cara o cruz al lanzar una moneda»

Espacio muestral: E = { cara, cruz }

Siempre que se lance una moneda saldrá cara o cruz.

4.6.3. Suceso probable o posible

Un suceso probable o posible A es aquel que se verifica a veces. A es el suceso aleatorio.

Ejemplo: A = «Sacar un cinco al extraer una carta de una baraja española»

La baraja española tiene 40 cartas (as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo, rey).

Espacio muestral: E = { 5 oros, 5 copas, 5 bastos, 5 espadas, etc.} = { el conjunto de cartas de la

baraja }

Al extraer una carta podrá ser un 5 u otro número.

4.6.4. Suceso contrario o complementario de un suceso

Un suceso contrario de A, que se designa por Ā, es aquel que se verifica cuando no lo hace A.

Es el suceso formado por todos los sucesos elementales que no están en A.

Ā = E – A

Ejemplo: Lanzamos un dado.


Suceso: A = «Sacar un número par» = { 2, 4, 6 }

Suceso contrario de A es: Ā = «Sacar un número impar» = { 1, 3, 5 }

4.6.5. Sucesos compatibles

Dos sucesos A y B son compatibles cuando se pueden verificar a la vez. Se verifican al mismo

tiempo los dos.

Por tanto, dos sucesos son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.



Suceso: A = «Obtener un número impar» = { 1, 3, 5 }

Suceso: B = «Obtener un número menor que cuatro» = { 1, 2, 3 }

A y B se pueden verificar a la vez porque obtenemos un uno o un tres.



4.6.6. Sucesos incompatibles

Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no se pueden verificar a la vez. No se verifican al

mismo tiempo los dos.

Por tanto, dos sucesos son incompatibles cuando no tienen ningún suceso elemental común.



Suceso: A = «Obtener un número par» = { 2, 4, 6 }

Suceso: B = «Obtener un cinco» = { 5 }

A y B no se pueden verificar a la vez porque cinco es impar.

4.6.7. Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes cuando el resultado de que suceda A no se ve afectado porque haya sucedido o no B. Cuando el resultado de uno de ellos no depende del resultado del otro. Es

decir, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro.

Ejemplo: Lanzar dos dados.

Al lanzar dos dados, los resultados son independientes.

4.6.8. Sucesos dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes cuando el resultado de que suceda A se ve afectado porque haya sucedido o no B. Cuando el resultado de uno de ellos influye o depende del resultado del

otro. Es decir, si la ocurrencia de uno de ellos afecta a la ocurrencia del otro.

Ejemplo: Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición.

Son sucesos dependientes porque la segunda carta está condicionada al valor obtenido de la

primera carta, ya que tiene menos casos posibles.

5. HERRAMIENTAS PARA DETERMINAR EL ESPACIO MUESTRAL

5.1. Introducción

Hay ocasiones en las que es difícil determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio,

pero para esos casos disponemos de algunas herramientas muy útiles, que son:

Diagrama de árbol.

Tabla de doble entrada también llamada tabla de contingencia.

Ambas herramientas se utilizan para describir los diferentes resultados de un experimento aleatorio compuesto. Cada resultado será una secuencia de resultados de los experimentos simples.



5.2. Diagrama de árbol

Si el experimento se compone de varias fases, nos ayudará mucho construir un “árbol”.

Ejemplo: Lanzamos tres monedas simultáneamente al aire y deseamos determinar el espacio

muestral y los siguientes sucesos:

a) A = «Sacar una sola cruz»

b) B = «Sacar una cara o más»

Podemos pensar que el experimento consiste en tres fases: lanzar una moneda, luego otra y,

finalmente, la tercera.

Construimos el diagrama de árbol:

1ª Moneda 2ª Moneda 3ª Moneda Espacio muestral

C ( C, C, C )

C

+ ( C, C, + )

C

C ( C, +, C )

+

+ ( C, +, + )

C ( +, C, C )

C

+ ( +, C, + )

+

C ( +, +, C )

+

+ ( +, +, + )

2 x 2 x 2 = 8

De esta manera, podemos escribir el espacio muestral del experimento:

E = { CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++ } Número de sucesos elementales = 8

Ahora, sólo tenemos que calcular los dos sucesos que nos piden.

a) A = «Sacar una sola cruz» = { CC+, C+C, +CC } Número de sucesos elementales = 3

b) B = «Sacar una cara o más» = { CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C } Número de sucesos

elementales = 7



Ejemplo: Juan quiere regalar a su hermana un jersey, pero duda si abierto o cerrado; rosa,

amarillo o verde; y de algodón o de lana. ¿Cuántas posibilidades tiene?

Podemos pensar que el experimento consiste en tres fases: si abierto o cerrado, el color y el

tipo de tejido.


Abierto o cerrado Color Tipo de tejido Espacio muestral

Algodón ( Abierto, Rosa, Algodón )

Rosa

Lana ( Abierto, Rosa, Lana )

Algodón ( Abierto, Amarillo, Algodón )

Abierto Amarillo

Lana ( Abierto, Amarillo, Lana )

Algodón ( Abierto, Verde, Algodón )

Verde

Lana ( Abierto, Verde, Lana )

Algodón ( Cerrado, Rosa, Algodón )

Rosa

Lana ( Cerrado, Rosa, Lana )

Algodón ( Cerrado, Amarillo, Algodón )

Cerrado Amarillo

Lana ( Cerrado, Amarillo, Lana )

Algodón ( Cerrado, Verde, Algodón )

Verde

Lana ( Cerrado, Verde, Lana )

2 x 3 x 2 = 12


E = { (Abierto, Rosa, Algodón), (Abierto, Rosa, Lana), (Abierto, Amarillo, Algodón),

(Abierto, Amarillo, Lana), (Abierto, Verde, Algodón), (Abierto, Verde, Lana), (Cerrado, Rosa, Algodón),

(Cerrado, Rosa, Lana), (Cerrado, Amarillo, Algodón), (Cerrado, Amarillo, Lana),

(Cerrado, Verde, Algodón), (Cerrado, Verde, Lana) } Número de sucesos elementales = 12



Ejemplo: Se lanzan una moneda y un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuántos

elementos tiene el espacio muestral?

Podemos pensar que el experimento consiste en dos fases: lanzar una moneda y un dado.


Moneda Dado Espacio muestral

1 ( C, 1 )

2 ( C, 2 )

3 ( C, 3 )

C 4 ( C, 4 )

5 ( C, 5 )

6 ( C, 6 )

1 ( +, 1 )

2 ( +, 2 )

3 ( +, 3 )

+ 4 ( +, 4 )

5 ( +, 5 )

6 ( +, 6 )

2 x 6 = 12


E = { (C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (+,1), (+,2), (+,3), (+,4), (+,5), (+,6) } Número de sucesos

elementales = 12

5.3. Tabla de doble entrada o Tabla de contingencia

La tabla de contingencia es una tabla de doble entrada que permite distribuir las frecuencias de dos variables. Por lo que permite clasificar los datos obtenidos en un recuento.

La tabla de contingencia describe un colectivo de individuos repartidos por dos conceptos. En

cada concepto hay varias clases. Cada individuo está contabilizado en alguna casilla y solo en una.

En esta tabla, se trabaja con dos características o aspectos: una se escribe arriba y la otra a la

izquierda.



Ejemplo: La encuesta sobre el agrado del fútbol en la TV según los sexos entre alumnos/as de

14 y 18 años es el siguiente:

A = «Varones» B = «Mujeres» Total

C = «Gusta el fútbol» 145 42 187

D = «No gusta el fútbol» 51 96 147

Total 196 138 334

Número total de personas = 334

Número total de personas que son varones = 196

Número total de personas que son mujeres = 138

Número total de personas que les gusta el fútbol = 187

Número total de personas que no les gusta el fútbol = 147

Ejemplo: Los alumnos de 3º y 4º de ESO de un IES se distribuyen por curso y sexo como se

indica en la tabla:

Alumnos/as

Curso A = «Chicos» B = «Chicas» Total

C = «3º ESO» 65 70 135

D = «4º ESO» 55 62 117

Total 120 132 252

Número total de alumnos = 252

Número total de alumnos que son chicos = 120

Número total de alumnos que son chicas = 132

Número total de alumnos que son de 3º ESO = 135

Número total de alumnos que son de 4º ESO = 117

Ejemplo: En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar

inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Organizamos los datos en una tabla y completamos los que faltan.

A = «Hablan francés» B = No hablan francés» Total

C = «Hablan inglés» 12 36 48

D = «No hablan inglés» 24 48 72

Total 36 84 120

Número total de personas = 120

Número total de personas que hablan francés = 36

Número total de personas que no hablan francés = 84

Número total de personas que hablan inglés = 48

Número total de personas que no hablan inglés = 72



6. OPERACIONES CON SUCESOS

6.1. Introducción

Una operación entre sucesos de un experimento aleatorio es una regla o criterio que nos permite obtener otro suceso del mismo experimento aleatorio. Las operaciones son:

Unión.

Intersección.

Diferencia.

Suceso contrario o complementario de un suceso.

6.2. Unión

La unión de dos sucesos A y B es otro suceso formado por todos los sucesos elementales que

hay en A o en B. Es decir, el suceso AB se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. Se

representa por AB o A o B. Conjunto formado por todos los elementos de ambos (sin repetir los

comunes).

AB se lee como “A o B”.

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si A = «Sacar par» y

B = «Sacar múltiplo de 3», calcula AB.

A = { 2, 4, 6 }

B = { 3, 6 }

AB = { 2, 3, 4, 6 }

Propiedades de la unión de sucesos:

a) Conmutativa: AB = BA

b) Asociativa: A(BC) = (AB)C

c) Simplificación de la unión respecto de la intersección: A(BC) = A

d) Distributiva de la unión respecto de la intersección: A(BC) = (AB)(AC)

e) Elemento neutro: AØ = A

f) Absorción: AE = E

Todas estas propiedades se pueden aplicar a más de dos eventos.



6.3. Intersección

La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso formado por todos los sucesos

elementales comunes que hay en A y en B. Es decir, el suceso AB se verifica cuando ocurren

simultáneamente A y B. Se representa por AB o A y B. Conjunto formado por todos los elementos

comunes a ambos.

AB se lee como “A y B”.

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si A = «Sacar par»

y B = «Sacar múltiplo de 3», calcula AB.

A = { 2, 4, 6 }

B = { 3, 6 }

AB = { 6 }

NOTA:

Si AB = Ø , entonces A y B son incompatibles.

Si AB ≠ Ø , entonces A y B son compatibles.

Un suceso A y su contrario Ā son incompatibles.

Propiedades de la intersección de sucesos:

a) Conmutativa: AB = BA

b) Asociativa: A(BC) = (AB)C

c) Simplificación de la intersección respecto de la unión: A(BC) = A

d) Distributiva de la intersección respecto de la unión: A(BC) = (AB)(AC)

e) Elemento neutro: AE = A

f) Absorción: AØ = A

Todas estas propiedades se pueden aplicar a más de dos eventos.

6.4. Diferencia

La diferencia de dos sucesos A y B es otro suceso formado por todos los sucesos elementales

que hay en A y que no están en B. Es decir, el suceso A−B se verifica cuando lo hace A y no B. Se

representa por A−B. Conjunto formado por todos los elementos de A que no son de B. La diferencia se

verifica cuando ocurre A y no ocurre B.

A−B se lee como “A menos B”.



Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si A = «Sacar par»

y B = «Sacar múltiplo de 3», calcula A−B.

A = { 2, 4, 6 }

B = { 3, 6 }

A−B = { 2, 4 }

Propiedad de la diferencia de sucesos: BABA

6.5. Suceso contrario o complementario de un suceso

El suceso contrario o complementario de un suceso A es otro suceso formado por los sucesos

elementales del espacio muestral que no están en A. Es decir, el suceso Ā = E – A se verifica siempre y

cuando no se verifique A. Se representa por Ā. Conjunto formado por todos los elementos que no

pertenecen a A.

Ā se lee como “complementario de A”.

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si A = «Sacar par»,

calcular el suceso contrario Ā.

A = { 2, 4, 6 }

Ā = { 1, 3, 5 }

Propiedades: AEA , EAA , AA , E , E

La unión de dos sucesos contrarios es el suceso seguro. EAA

La intersección de dos sucesos contrarios es el suceso imposible. AA

El suceso contrario del espacio muestral es el suceso imposible. E

El suceso contrario del suceso imposible es el espacio muestral. E

NOTA: Dos sucesos contrarios A y Ā son incompatibles, por lo que AĀ = Ø, y su unión es el

espacio muestral E, por lo que AĀ = E.

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si

A = «Sacar par» = { 2, 4, 6 } y el suceso contrario Ā = { 1, 3, 5 }, calcula AA y AA .

AA { 2, 4, 6 } { 1, 3, 5 } = Ø

AA { 2, 4, 6 } { 1, 3, 5 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = E



6.5.1. Leyes de Morgan

Las leyes de Morgan se aplican a los sucesos contrarios y son:

El contrario de la unión es la intersección de los contrarios. BABA

El contrario de la intersección es la unión de los contrarios. BABA

El contrario del contrario coincide con el suceso de partida. AA

6.6. Propiedades de las operaciones con sucesos

De las operaciones con sucesos, se derivan las siguientes propiedades:

Propiedad Unión Intersección

Conmutativa AB = BA AB = BA

Asociativa A(BC) = (AB)C A(BC) = (AB)C

Simplificación A(BC) = A A(BC) = A

Distributiva A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC)

Elemento neutro AØ = A AE = A

Absorción AE = E AØ = A

Leyes de Morgan BABA BABA

Propiedades

Diferencia BABA

Complementario AEA EAA AA E E AA

7. PROBABILIDAD DE UN SUCESO EN EXPERIMENTOS SIMPLES

7.1. Definición

La probabilidad es la medida de la posibilidad de realización de los sucesos.

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados)

al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles.

La probabilidad P de un suceso A es una función que a cada suceso de un experimento

aleatorio le asocia un número comprendido entre 0 y 1, que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso.

0 ≤ P(A) ≤ 1

Donde P(A) es la probabilidad del suceso A.



NOTA:

A mayor probabilidad, mayor será la posibilidad de que ocurra.

Cuanto más se acerque la probabilidad de un suceso a 1, mayor será la posibilidad de que ocurra,

y recíprocamente, cuanto más se acerque a 0, más difícil será que suceda.

La probabilidad de un suceso se puede expresar en forma de fracción o del decimal equivalente.

Si la probabilidad de un suceso es igual a 1, decimos que es un suceso seguro porque siempre ocurre. Es decir, ocurre el 100 % de las veces que se realiza la experiencia.

Como dijimos antes, el suceso seguro es E, entonces la probabilidad es P(E)=1.

Además, ese 100 % se reparte entre los sucesos elementales de que consta el experimento. Así

que, la suma de las probabilidades de los sucesos elementales debe ser 1.

Si la probabilidad de un suceso es 0, decimos que es un suceso imposible porque nunca ocurre.

Como dijimos antes, el suceso imposible es Ø, entonces la probabilidad es P(Ø)=0.

También podemos calcular la probabilidad del suceso contrario Ā como P(Ā)=1-P(A).

En general, la suma de la probabilidad de un suceso más la de su contrario es siempre 1, por lo

que sería P(A)+P(Ā)=1 y, además, P(A)+P(Ā)=P(E) puesto que P(E)=1.

NOTA: A veces es más fácil calcular la probabilidad del suceso contrario Ā que la del suceso A.

Por lo que la probabilidad del suceso A a partir del suceso contrario sería P(A)=1-P(Ā).

Ejemplo 1: Tenemos 2 bolas de igual peso y tamaño, una blanca y otra negra, en una bolsa. Si

extraemos una bola,

a) ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?

b) ¿cuál es la probabilidad de que sea negra?

Solución:

La probabilidad de coger una u otra bola será igual. Por tanto, podríamos repartir la

probabilidad de que ocurran ambos sucesos:

P(blanca)= 5,02

1 P(negra)= 5,0

2

1



Ejemplo 2: Lo mismo sucedería si tuviéramos 3 bolas, iguales en peso y tamaño, pero de

diferente color (rojo, azul y verde). Podríamos repartir la probabilidad de los 3 sucesos elementales, y

a cada uno le asignaríamos:

P(roja)= 3,03

1 P(azul)= 3,0

3

1 P(verde)= 3,0

3

1

Ejemplo 3: Halla la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan al menos una cara.

Es mucho más fácil si pensamos la probabilidad de que no salga ninguna cara, suceso contrario.

Tenemos que hay 8 posibilidades y sólo uno en el que salgan todas cruces.

Espacio muestral: E = { CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++ } Número de sucesos

elementales = 8

A = «Obtener al menos una cara»

Ā = «No obtener ninguna cara»

P(Ā)=8

1

Por tanto, P(A)=1-P(Ā)=8

7

8

11

7.2. Propiedades de la probabilidad

Las propiedades de la probabilidad son:

a) La probabilidad de un suceso es positiva y menor o igual que 1, por lo que no puede ser menor

que 0 ni mayor que 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1

b) La probabilidad del suceso seguro es 1.

P(E)=1

c) La probabilidad del suceso imposible es 0.

P(Ø)=0

d) La probabilidad de cualquier suceso es igual a 1 menos la probabilidad del suceso contrario.

P(A)=1-P(Ā)

e) La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso.

P(Ā)=1-P(A)

f) La suma de la probabilidad de un suceso más la de su contrario es siempre 1.

P(A)+P(Ā)=1

7.3. Reglas de la adición o Probabilidad de la unión de sucesos

Dada una fórmula para hallar la probabilidad de la unión (o suma) de los sucesos A y B, al

resultado en probabilidades se denomina regla de la adición o probabilidad de la unión; e indica la

probabilidad de que ocurra uno u otro de los sucesos (A o B).

La regla de la unión es la regla de la suma de las probabilidades.



Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, las probabilidades de la unión y

de la intersección se relacionan de la siguiente forma:

a) Si dos sucesos A y B son incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma de sus

probabilidades.

P(AB)=P(A)+P(B)

b) Si dos sucesos A y B son compatibles, la probabilidad de su unión es la suma de sus

probabilidades menos la probabilidad de la intersección.

P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)

Siendo:

P(A) = Probabilidad de ocurrencia del evento A.

P(B) = Probabilidad de ocurrencia del evento B.

P(AB) = Probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

NOTA: Para tres sucesos compatibles, la probabilidad de su unión es

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(CB)+P(ABC)

Demostración: Para calcular la probabilidad de la unión de tres sucesos compatibles, utilizaremos

la propiedad conocida para dos.

P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)+P(C)-P((AB)C)=

=P(A)+P(B)–P(AB)+P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)]=

=P(A)+P(B)–P(AB)+P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=

=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Donde:

P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)

P((AB)C)=P((AC)(BC)) por la propiedad distributiva

P((AC)(BC))=P(AC)+P(BC)-P((AC)(BC))=P(AC)+P(BC)-P(ABC)

P((AC)(BC))=P(ABC)

Este resultado puede generalizarse para una cantidad n, de manera que irían apareciendo además

todas las intersecciones de tres sucesos, las de cuatro, cinco, etc. hasta llegar a la intersección de los n

sucesos, alternándose el signo de la misma forma que en el obtenido para tres.

NOTA: Para averiguar si un suceso es compatible o no con otro, se aplican las siguientes reglas:

Si dos sucesos A y B son incompatibles, AB = Ø , entonces P(AB)=0.

Si dos sucesos A y B son compatibles, AB ≠ Ø , entonces P(AB)≠0.



Ejemplo: Sea el experimento consistente en lanzar un dado. Para este experimento,

consideramos los sucesos:

A= «Salir par» con P(A) = 5,02

1

6

3

B = «Salir impar» con P(B) = 5,02

1

6

3

Calcula la probabilidad de que sea par o impar.

Solución: Los sucesos A y B son incompatibles AB = Ø porque P(AB) = 0

P(AB) = «Sea par o impar» P(AB)=P(A)+P(B)= 0,5 + 0,5 = 1

Ejemplo: Consideramos los sucesos:

A = «Ser una persona morena» con P(A) = 0,6

B = «Tener los ojos marrones» con P(B) = 0,7

AB = «Ser moreno y con ojos marrones» con P(AB) = 0,42

Calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar:

a) No sea morena.

b) Sea morena o tenga ojos marrones.

Solución: Los sucesos A y B son compatibles AB ≠ Ø porque P(AB) = 0,42 ≠ 0

a) Ā = «No sea morena» P(Ā)=1-P(A)= 1 - 0,6 = 0,4

b) P(AB) = «Sea morena o tenga ojos marrones»

P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)= 0,6 + 0,7 – 0,42 = 0,88

7.4. Probabilidad de la diferencia de dos sucesos

Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, la probabilidad de la diferencia

de dos sucesos es BAPAPBAPBAP .

Si B⊆A, P(B)≤P(A), entonces la diferencia es P(A-B)=P(A)-P(B).

Ejemplo: Consideramos los sucesos:

A = «Ser una persona morena» con P(A) = 0,6

B = «Tener los ojos marrones» con P(B) = 0,7

AB = «Ser moreno y con ojos marrones» con P(AB) = 0,42

Calcula la probabilidad de que la persona elegida al azar sea morena y no tenga los ojos

marrones.


P(A-B) = «Sea morena y no tenga ojos marrones» P(A-B)=P(A)-P(AB)= 0,6 - 0,42 = 0,18



7.5. Probabilidad de un suceso

Si A y B son dos sucesos compatibles de un mismo experimento aleatorio, la probabilidad de un

suceso es BAPBAPAP y BAPBAPBP .

Demostración: Para calcular la probabilidad de un suceso A, utilizaremos la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles y las propiedades (distributiva, unión de dos sucesos contrarios y elemento neutro).

BAPBAPAP

Aplicamos la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles.

BABAP

Aplicamos la propiedad distributiva.

BBAP

Aplicamos la propiedad de la unión de dos sucesos contrarios es el suceso seguro.

EAP

Aplicamos la propiedad del elemento neutro.

AP

Demostración: Para calcular la probabilidad de un suceso B, utilizaremos la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles y las propiedades (distributiva, unión de dos sucesos contrarios y elemento neutro).

BAPBAPBP

Aplicamos la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles.

BABAP

Aplicamos la propiedad distributiva.

AABP

Aplicamos la propiedad de la unión de dos sucesos contrarios es el suceso seguro.

EBP

Aplicamos la propiedad del elemento neutro.

BP

Ejemplo: Sabiendo que: 2,0BAP y 5,0BAP . Calcula AP .


7,02,05,0 AP

Ejemplo: Sabiendo que: 1,0BAP y 4,0BAP . Calcula AP .


5,01,04,0 BP



7.6. Resumen de probabilidad

En la tabla siguiente, se presenta un resumen del cálculo de probabilidades.

Relaciones entre sucesos Propiedades

AB Elementos que hay en A o en B, o ambos.

AB Elementos que hay en A y en B.

A−B Elementos que hay en A y que no están en B.

BABA

Ā Elementos que no están en A.

Ā = E – A

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(E)=1

P(Ø)=0

P(A)=1-P(Ā)

P(Ā)=1-P(A)

P(A)+P(Ā)=1

Propiedades del complementario Leyes de Morgan

EAA , AA , E , E BABA , BABA , AA

Reglas de la adición o

Probabilidad de la unión de sucesos Probabilidad de la diferencia de dos sucesos

Sucesos incompatibles:

Si AB = Ø P(AB)=P(A)+P(B)

Sucesos compatibles:

Si AB ≠ Ø P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)

BAPAPBAPBAP

Si B⊆A, P(B)≤P(A), entonces P(A-B)=P(A)-P(B)

Probabilidad de un suceso A Probabilidad de un suceso B

BAPBAPAP BAPBAPBP

8. ENFOQUES PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD

8.1. Introducción

Es importante distinguir los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las

probabilidades experimentales o estadísticas. A través de la historia se han desarrollado tres

enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de

probabilidad:

El enfoque de frecuencia relativa también llamado enfoque empírico.

El enfoque clásico también llamado Regla de Laplace.

El enfoque subjetivo.

En este tema, estudiaremos sólo la probabilidad clásica, si bien es importante conocer las otras

dos.



8.2. Enfoque de frecuencia relativa o Enfoque empírico

El enfoque empírico determina la probabilidad en base a la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un número de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de

aleatoriedad porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos.

Este enfoque es una herramienta muy útil para calcular probabilidades de manera experimental.

La probabilidad experimental de un suceso A es el número hacia el que tienden las frecuencias relativas del suceso cuando repetimos el experimento aleatorio un número muy elevado de veces.

La probabilidad experimental consiste en realizar el suceso un número muy grande de veces,

anotando cuántas veces ocurre el suceso y cuántas veces realizamos el experimento. La probabilidad

experimental del suceso será igual al cociente entre el número de veces que ha ocurrido el suceso y el

número de veces realizado el experimento.

Ley de los grandes números: Si un experimento aleatorio se repite un número muy grande de

veces, y calculamos la frecuencia relativa de un suceso A, fr(A), la Ley de los grandes números asegura

que dicha frecuencia converge hacia un determinado valor que llamaremos probabilidad de A, P(A). Por

lo que el valor de la frecuencia relativa se aproximará a la medición probabilística P del evento A.

P(A) ≈ N

ff A

rA

Por tanto, erimentoelrealizasequevecesdeNúmero

AsucesoelocurrequevecesdeNúmeroAP

exp)(

Ejemplo: Calcula la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda.

Realizamos el experimento muchas veces y vamos anotando el número de caras que salen.

xi fi fri

10 8 8,010

8

100 42 42,0100

42

1.000 557 557,0000.1

557

10.000 4.969 4969,0000.10

969.4

Donde ix es el número de lanzamientos de la moneda y if es el número de caras que salen.

Decimos que el suceso A = «Sacar cara».

P(A) ≈ rAf A medida que aumentamos el número de lanzamientos, la frecuencia relativa se

aproxima cada vez más a 0,5. Por tanto, P(A) ≈ 0,5 que es lo mismo que decir P(Cara) ≈ 0,5.



Ejemplo: En un bombo hay diez bolas numeradas del 0 al 9. Se repite 100 veces el experimento

extraer una bola y reemplazarla. Los resultados obtenidos fueron:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

fi 7 13 11 12 8 10 12 6 10 11 100

Se consideran los siguientes sucesos:

A = «Múltiplo de 3»

B = «Número impar»

C = «Divisor de 6»

Hallar la probabilidad de los sucesos A, B, C, AB, AB, AC y AC.

Para hallar la probabilidad, calculamos las frecuencias relativas de cada uno de los sucesos

elementales y, luego, las frecuencias relativas de los sucesos mencionados y sumamos las que componen

dichos sucesos:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

fi 7 13 11 12 8 10 12 6 10 11 N = 100

fri 0,07 0,13 0,11 0,12 0,08 0,10 0,12 0,06 0,10 0,11 1

Sucesos Frecuencias relativas fri fri·100 (%)

A = { 3, 6, 9 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

C = { 1, 2, 3, 6 }

AB = { 1, 3, 5, 6, 7, 9 }

AB = { 3, 9 }

AC = { 1, 2, 3, 6, 9 }

AC = { 3, 6 }

fA = 0,12 + 0,12 + 0,11 = 0,35

fB = 0,13 + 0,12 + 0,10 + 0,06 + 0,11 = 0,52

fC = 0,13 + 0,11 + 0,12 + 0,12 = 0,48

fAB = 0,13 + 0,12 + 0,10 + 0,12 + 0,06 + 0,11 = 0,64

fAB = 0,12 + 0,11 = 0,23

fAC = 0,13 + 0,11 + 0,12 + 0,12 + 0,11 = 0,59

fAC = 0,12 + 0,12 = 0,24

35 %

52 %

48 %

64 %

23 %

59 %

24 %

Ejemplo: Calcula la probabilidad de que al lanzar 2 monedas salga 1 cara, 2 caras o ninguna.

Hacerlo por la probabilidad experimental si lanzamos las monedas 10.000 veces y obtenemos los

siguientes resultados:

xi fi

0 caras 2.434

1 cara 5.078

2 caras 2.488

Total N = 10.000



Para hallar la probabilidad, calculamos las frecuencias relativas de cada uno de los sucesos

elementales:

xi fi fri

0 caras 2.434 2434,0000.10

434.2)0( carasP

1 cara 5.078 5078,0000.10

078.5)1( caraP

2 caras 2.488 2488,0000.10

488.2)2( carasP

Total N = 10.000 1

8.3. Enfoque clásico o Regla de Laplace

El enfoque clásico se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible y

permite calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra.

La regla de Laplace sólo se puede usar cuando se sabe que los sucesos elementales del experimento aleatorio son equiprobables, es decir, la ocurrencia de un resultado es igualmente posible

que la ocurrencia de cualquiera de los demás resultados. Por lo que los sucesos elementales tienen la

misma probabilidad de ocurrir o salir.

La probabilidad de que ocurra un suceso A es el cociente entre el número de sucesos

elementales que lo componen y el número total de sucesos elementales del espacio muestral.

Esta regla se calcula mediante la fórmula:

erimentodelposiblescasosdetotalNúmero

AsucesoelparafavorablescasosdeNúmeroAP

exp)(

NOTA: A veces el número total de casos posibles de un experimento se calcula con las

técnicas de conteo de combinatoria.

NOTA:

Sucesos equiprobables son cuando los N posibles resultados tienen iguales probabilidades de

ocurrir, N resultados igualmente posibles, todos los resultados son igualmente posibles y

mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir los dos resultados al mismo tiempo, incompatibles).

Por tanto, todos los posibles resultados tienen las mismas oportunidades de salir. Cuando tienen

la misma probabilidad de verificarse.

Ejemplos:

En un dado perfecto de 6 caras, todos tienen la misma probabilidad de salir 6

1 porque el

dado lanzado da la misma oportunidad a cada una de sus caras.

En una baraja completa de 40 cartas, todos tienen la misma probabilidad de salir 40

1 porque

donde todas las posibles cartas tienen las mismas oportunidades de salir.



En una caja que contiene 7 bolas de diferentes colores y se saca una al azar, todas tienen la

misma probabilidad de salir 7

1 porque cada una de las bolas tiene la misma oportunidad de

salir que otra cualquiera.

Son sucesos equiprobables pues cada suceso tiene igual probabilidad de salir.

Sucesos no equiprobables son cuando los N posibles resultados no tienen iguales probabilidades

de ocurrir, N resultados no igualmente posibles, todos los resultados no son igualmente posibles

y no mutuamente excluyentes (pueden ocurrir los dos resultados al mismo tiempo, compatibles).

Por tanto, alguno de los posibles resultados tiene mayor oportunidad de salir que los otros.

Cuando no tienen la misma probabilidad de verificarse.

Ejemplos:

En un dado chapucero, no todos tienen la misma probabilidad de salir.

En una moneda trucada, no todos tienen la misma probabilidad de salir.

Lanzar dos dados y sumar las caras mostradas. Las sumas de los dos dados no tienen la

misma probabilidad de ocurrir porque obtener una suma de 2 no tiene la misma oportunidad

de salir que una suma de 5, el 2 solo se da con (1,1) mientras que el 5 con (1,4), (2,3), (3,2),

(4,1).

No son sucesos equiprobables pues cada suceso está compuesto por un número distinto de

sucesos elementales.

Ejemplo (continuación): Calcula la probabilidad de que al lanzar 2 monedas salga 1 cara, 2 caras

o ninguna. Hacerlo por la probabilidad clásica.

Espacio muestral: E = { CC, CX, XC, XX } Número de sucesos elementales = 4

Número total de resultados o casos posibles = 4

Los sucesos elementales son equiprobables porque hay 4 posibles resultados y cada uno de ellos

con probabilidad de ocurrencia = 4

1. Hay igual probabilidad de que salga 1 cara, 2 caras o ninguna.



Para hallar la probabilidad, aplicamos la regla de Laplace a cada uno de los sucesos aleatorios:

Suceso Casos favorables Probabilidad

Salir 0 caras 1 5,04

1)0( carasP

Salir 1 cara 2 5,04

2)1( caraP

Salir 2 caras 1 25,04

1)2( carasP

Total 4 1

Ejemplo: Carmen tiene una bolsa con 5 caramelos: 1 de menta, 2 de limón y 2 de fresa. Si

escoge un caramelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de menta? ¿Y de limón? ¿Y de fresa?

Espacio muestral: E = { Menta, Limón, Fresa } Número de sucesos elementales = 3

Número total de resultados o casos posibles = 1 + 2 + 2 = 5

Los sucesos elementales son equiprobables porque hay 5 posibles resultados y cada uno de ellos

con probabilidad de ocurrencia = 5

1. Carmen tiene igual probabilidad de coger cualquiera de los 5

caramelos.



Menta 1 2,05

1)1( mentaP

Limón 2 4,05

2)lim2( ónP

Fresa 2 4,05

2)2( fresasP

Total 5 1

Ejemplo: En un aula, hay 17 chicos y 19 chicas. Se elige una persona al azar. Determina la

probabilidad de estos sucesos.

a) «Ser un chico» b) «Ser una chica»

Espacio muestral: E = { Chicos, Chicas } Número de sucesos elementales = 2

Número total de resultados o casos posibles = 17 + 19 = 36

Los sucesos elementales son equiprobables porque hay 36 posibles resultados y cada uno de

ellos con probabilidad de ocurrencia = 36

1. Hay igual probabilidad de coger cualquier chico o chica.





Ser un chico 17 472,036

17)( chicounSerP

Ser una chica 19 528,036

19)( chicaunaSerP

Total 36 1

Ejemplo: Lanzamos un dado de parchís y anotamos el resultado.

En el experimento de tirar un dado, los 6 posibles resultados son “igualmente posibles” (salvo

que el dado esté trucado) y “mutuamente excluyentes” (dos cualesquiera no pueden darse a la vez).

Espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Número de sucesos elementales = 6

Número total de resultados o casos posibles = 6

Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) A = «Sacar el número 1» = { 1 } Número de casos favorables = 1 6

1)( AP

b) B = «Sacar el número 2» = { 2 } Número de casos favorables = 1 6

1 P(B)

c) C = «Sacar el número 3» = { 3 } Número de casos favorables = 1 6

1 P(C)

d) D = «Sacar el número 4» = { 4 } Número de casos favorables = 1 6

1 P(D)

e) E = «Sacar el número 5» = { 5 } Número de casos favorables = 1 6

1 P(E)

f) F = «Sacar el número 6» = { 6 } Número de casos favorables = 1 P(F) = 6

1

g) G = «Sacar un número menor que 3» = { 1, 2 } Número de casos favorables = 2 6

2 P(G)

h) H = «Sacar un divisor de 6» = { 1, 2, 3, 6 } Número de casos favorables = 4 6

4 P(H)

i) I = «Sacar un número par» = { 2, 4, 6 } Número de casos favorables = 3 6

3 P(I)

j) J = «Sacar un número impar» = { 1, 3, 5 } Número de casos favorables = 3 6

3 P(J)



También se podría calcular de otra forma.

Sabemos que la 6

3 P(I) y que J es el suceso contrario de I, entonces utilizamos la fórmula de

la probabilidad del suceso contrario P(J)= )(IP =1-P(I)=6

3

6

36

6

31

.

Ejemplo: En un dado, se suprime la cara 6 y se añade otra cara 1. ¿Cuál es el espacio muestral?

¿Son los sucesos elementales equiprobables? ¿Puedes calcular su probabilidad?

Espacio muestral: E = { 1, 2, 3, 4, 5 } Número de sucesos elementales = 5

Número total de resultados o casos posibles = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

Los sucesos elementales no son equiprobables porque hay 5 posibles resultados. El suceso 1 está

compuesto por dos sucesos elementales, por lo que su probabilidad de ocurrencia = 6

2; y los otros

cuatro sucesos 2, 3, 4, 5 por 6

1. No hay igual probabilidad de salir 1, 2, 3, 4 ó 5.



1 2 3,03

1

6

2)1(

P

2 1 61,06

1)2(

P

3 1 61,06

1)3(

P

4 1 61,06

1)4(

P

5 1 61,06

1)5(

P

Total 6 1

Ejemplo: Una urna contiene bolas del mismo tamaño pintadas de distintos colores: 3 amarillas, 5

rojas y 6 verdes. Si se extrae una bola al azar:

a) Determina el espacio muestral.

b) ¿Son equiprobables los sucesos «Bola amarilla», «Bola roja» o «Bola verde»?

c) Halla la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores.

Espacio muestral: E = { Amarilla, Roja, Verde } Número de sucesos elementales = 3

Número total de resultados o casos posibles = 3 + 5 + 6 = 14



Los sucesos elementales no son equiprobables porque hay 3 posibles resultados y cada suceso

está compuesto por un número distinto de sucesos elementales. El suceso Amarilla está compuesto por

tres sucesos elementales, por lo que su probabilidad de ocurrencia = 14

3; el suceso Roja por 5 sucesos

elementales, por lo que 14

5; y el suceso V por 6 sucesos elementales, por lo que

14

6. No hay igual

probabilidad de salir una bola amarilla, roja o verde.



Amarilla 3 21,014

3)( AmarillaP

Roja 5 36,014

5)( RojaP

Verde 6 43,014

6)( VerdeP

Total 14 1

Ejemplo: Un surtido de dulces contiene seis mentas, cuatro chicles y tres chocolates. Si una

persona hace una selección aleatoria de uno de estos dulces, calcula la probabilidad de:

a) Sacar una menta.

b) Sacar un chicle o un chocolate.

Solución:

Llamamos:

M al suceso «Sacar una menta»

T al suceso «Sacar un chicle»

C al suceso «Sacar un chocolate»

El espacio muestral es E = { Menta, Chicle, Chocolate }

Número total de casos posibles = 6 + 4 + 3 = 13

El número total de dulces es 13, los cuales tiene la misma probabilidad de ser seleccionados.

a) La probabilidad pedida es )(MP .

M = «Sacar una menta» = { 6 mentas } Número de casos favorables = 6 13

6)( MP

b) La probabilidad pedida es )( CTP .

TC al suceso «Sacar un chicle o un chocolate» = { 4 chicles, 3 chocolates } Número de casos

favorables = 4 + 3 = 7 13

7)( CTP



8.4. Enfoque subjetivo

El enfoque subjetivo dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de

creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición.

Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de

ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

Algunas personas de acuerdo a su propio criterio generalmente basado en su experiencia,

asignan probabilidades a eventos, éstas son llamadas probabilidades subjetivas.

Hay muchas veces donde no podemos asignar la probabilidad de un suceso ni de forma

experimental ni por la probabilidad clásica, en este caso, usamos el enfoque subjetivo.

Cuando tenemos que asignar una probabilidad a este suceso, la probabilidad es subjetiva, es

decir, depende de la persona que se la asigne, si bien ha de cumplir unos requisitos como:

La probabilidad del suceso debe ser menor o igual que 1.

La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es 1.

Ejemplos:

La probabilidad de que llueva mañana es 40 %.

La probabilidad de que haya un terremoto en Puerto Rico antes del 2.000 es casi cero.

La probabilidad de que el caballo Camionero gane el clásico del domingo es 75%.

¿Cuál es la probabilidad de que gane España la Eurocopa?

9. PROBABILIDAD CONDICIONADA

9.1. Definición

Sea un experimento aleatorio en el que hay dos sucesos A y B. La probabilidad condicionada del

suceso B respecto del suceso A indica la probabilidad de que ocurra el suceso B sabiendo que ha

ocurrido el suceso A.

)(

)()/(

AP

BAPABP

siempre que 0)( AP

ó

)(

)()/(

BP

ABPBAP

siempre que 0)( BP

P(B/A) se lee como “probabilidad de B condicionado a A”.

P(A/B) se lee como “probabilidad de A condicionado a B”.

NOTA: Se debe tener claro que A/B ó B/A no es una fracción.



Ejemplo: Se realiza un lanzamiento de un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1

si se sabe que el resultado ha sido impar?

Solución:

Llamamos:

B al suceso «Obtener un 1»

A al suceso «Obtener un impar»

La probabilidad pedida es )/( ABP .

Llamamos B/A al suceso «Obtener un 1 si se sabe que es impar».

El espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Número total de casos posibles = 6

B = «Obtener un 1» = { 1 } Número de casos favorables = 1 6

1)( BP

A = «Obtener un número impar» = { 1, 3, 5 } Número de casos favorables = 3 6

3)( AP

BA = «Obtener un 1 y ha sido impar» = { 1 } Número de casos favorables = 1

6

1)( BAP

Por tanto, 3

1

36

61

6

3:

6

1

6

36

1

)(

)()/(

AP

BAPABP

Ejemplo: La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D)=0,83 ,

la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A)=0,82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo

P(D y A)=0,78. Calcula la probabilidad de que un avión:

a) Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo.

b) Salga a tiempo, dado que llegó a tiempo.

Solución:

Probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo P(D)=0,83

Probabilidad de que llegue a tiempo P(A)=0,82

Probabilidad de que salga y llegue a tiempo P(D y A)=P(DA)=P(AD)=0,78

a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es P(A/D).

94,083,0

78,0

)(

)()/(

DP

ADPDAP

b) La probabilidad de que un avión saliera a tiempo, dado que llegó a tiempo es P(D/A).

95,082,0

78,0

)(

)()/(

AP

DAPADP



9.2. Reglas del producto o Probabilidad de la intersección de sucesos

Del concepto de probabilidad condicional, obtenemos una fórmula para hallar la probabilidad de

la intersección (o producto) de los sucesos A y B. Este resultado en probabilidades se denomina regla

del producto, probabilidad de la intersección o probabilidad conjunta; y expresa la probabilidad de

que ocurran conjuntamente los sucesos A y B.

La regla de la intersección es la regla del producto de las probabilidades.

A continuación, vamos a ver cómo a partir de la fórmula de la probabilidad condicionada se

obtiene la probabilidad de la intersección.

)(

)()/(

AP

BAPABP

)/()()( ABPAPBAP

ó

)(

)()/(

BP

ABPBAP

)/()()( BAPBPABP

Si AB son sucesos independientes

P(B/A)=P(B) P(AB)=P(A)·P(B)

ó

P(A/B)=P(A) P(BA)=P(B)·P(A)

Si AB son sucesos dependientes

P(B/A)≠P(B) P(AB)=P(A)·P(B/A)

ó

P(A/B)≠P(A) P(BA)=P(B)·P(A/B)

Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, las probabilidades de la

intersección se calcula de la siguiente forma:

a) Si dos sucesos A y B son independientes, la probabilidad de su intersección es el producto de

sus probabilidades.

P(AB)=P(A)·P(B)

b) Si dos sucesos A y B son dependientes, la probabilidad de su intersección es el producto de la

probabilidad de un suceso por la probabilidad del otro suceso condicionada al cumplimiento del

suceso del primero.

P(AB)=P(AB)=P(A)·P(B/A) con P(B) > 0

P(BA)=P(BA)=P(B)·P(A/B) con P(A) > 0

Siendo:

P(A) = Probabilidad de ocurrencia del evento A.

P(B) = Probabilidad de ocurrencia del evento B.

P(AB) = P(BA) = Probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.



Por tanto, la probabilidad condicionada se calcula para sucesos independientes y dependientes.

NOTA: Para averiguar si un suceso depende o no de otro, se aplican las siguientes reglas:

Dos sucesos A y B son independientes si P(B/A)=P(B) y P(A/B)=P(A).

Dos sucesos A y B son dependientes si P(B/A)P(B) y P(A/B)P(A).

Ejemplo: Calcula la probabilidad de que sucedan los siguientes sucesos:

A = «Haga buen tiempo» con P(A) = 0,4

B = «Salga cara al tirar una moneda» con P(B) = 0,5

Solución: Los sucesos A y B son independientes.

P(AB)=P(A)·P(B)= 0,4 · 0,5 = 0,2

Ejemplo: De dos sucesos A y B sabemos que P(Ā) = 0,48 ; P(AB) = 0,82 ; P(B) = 0,42.

a) ¿Son A y B incompatibles?

b) ¿Son A y B independientes?

c) ¿Cuánto vale P(A/B) ?

Solución:

a) Para calcular si los sucesos A y B son incompatibles, hay que hallar P(AB) y P(A).

P(A)=1-P(Ā) = 1 - 0,48 = 0,52

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) ; P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0,52 + 0,42 - 0,82 = 0,12

Los sucesos A y B son compatibles AB ≠ Ø porque P(AB) = 0,12 ≠ 0

b) Para calcular si los sucesos A y B son independientes, hay que hallar P(A)·P(B) y P(AB), y,

luego, ver que son iguales.

P(A)·P(B) = 0,52 · 0,42 = 0,2184

P(AB) = 0,12

P(AB) ≠ P(A)·P(B)

0,12 ≠ 0,2184

Los sucesos A y B no son independientes.

c) Calculamos la probabilidad condicionada de dos sucesos dependientes P(A/B):

29,042,0

12,0

)(

)()/(

BP

ABPBAP



Ejemplo: Teniendo en cuenta que A y B son dos sucesos tales que P(Ā) = 0,5 ; P(AB) = 0,12 ;

P(AB) = 0,82.

a) ¿Son A y B incompatibles?

b) ¿Son A y B independientes?

c) ¿Cuánto vale )/( ABP ?

Solución:

a) Los sucesos A y B son compatibles AB ≠ Ø porque P(AB) = 0,12 ≠ 0

b) Para calcular si los sucesos A y B son independientes, hay que hallar P(A)·P(B) y P(AB), y,

luego, ver que son iguales.

P(A)=1-P(Ā) = 1 - 0,5 = 0,5

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) ; P(B)=(AB)-P(A)+P(AB) = 0,82 - 0,52 - 0,12 = 0,44

P(A)·P(B) = 0,5 · 0,44 = 0,22

P(AB) = 0,12

P(AB) ≠ P(A)·P(B)

0,12 ≠ 0,22

Los sucesos A y B no son independientes.

c) Para calcular la probabilidad condicionada de dos sucesos dependientes )/( ABP , hay que hallar

)( BAP .

BAPBAPAP ; 38,012,05,0)( BAPAPBAP

76,05,0

38,0

)(

)()/(

AP

BAPABP



9.3. Resumen de probabilidad

En la tabla siguiente, se presenta un resumen del cálculo de probabilidades.

Probabilidad condicionada

)(

)()/(

AP

BAPABP

siempre que 0)( AP

ó

)(

)()/(

BP

ABPBAP

siempre que 0)( BP

Reglas del producto o Probabilidad de la intersección de sucesos

Sucesos independientes:

Si P(B/A)=P(B) y P(A/B)=P(A) P(AB)=P(A)·P(B)

Sucesos dependientes:

Si P(B/A)P(B) P(AB)=P(AB)=P(A)·P(B/A) con P(B) > 0

Si P(A/B)P(A) P(BA)=P(BA)=P(B)·P(A/B) con P(A) > 0

10. PROBABILIDAD DE UN SUCESO EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS

La probabilidad de un suceso en experimentos compuestos se deriva de la probabilidad

condicionada, por lo que se utiliza la regla del producto de probabilidades.

La probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se calcula a partir de las probabilidades de los experimentos simples que lo forman.

En los experimentos compuestos es conveniente usar las herramientas estudiadas antes para

encontrar el espacio muestral del mismo.

11. HERRAMIENTAS PARA DETERMINAR EL ESPACIO MUESTRAL. PROBABILIDAD

11.1. Introducción

En los experimentos aleatorios compuestos disponemos de algunas herramientas muy útiles

para determinar el espacio muestral, que son:

Diagrama de árbol.

Tabla de doble entrada también llamada tabla de contingencia.

11.2. Diagrama de árbol

El diagrama de árbol permite calcular la probabilidad de un suceso A. Para llegar al suceso A,

puede ocurrir por diferentes caminos que obtendrán los sucesos elementales del experimento

compuesto.



La probabilidad de cada suceso elemental del experimento compuesto se obtiene

multiplicando las probabilidades de los sucesos parciales que lo componen. Así pues, la probabilidad de

un camino en un diagrama de árbol es igual al producto de las probabilidades de las ramas de dicho camino.

En los experimentos compuestos la probabilidad de un resultado es igual al producto de las

probabilidades de las ramas del diagrama en árbol que forman el camino que da lugar a ese resultado.

Regla del producto.

La probabilidad de un suceso A será igual a la suma de las probabilidades de los diferentes caminos.

Si un suceso se puede obtener por más de un camino del diagrama en árbol, su probabilidad

se obtiene sumando las probabilidades de todos los caminos de ese suceso. Regla de la adición.

Probabilidad total.

Ejemplo: Lanzamos tres monedas simultáneamente al aire y deseamos determinar la

probabilidad de los siguientes sucesos:

a) A = «Sacar una sola cruz»

b) B = «Sacar una cara o más»

Podemos pensar que el experimento consiste en tres fases: lanzar una moneda, luego otra y,

finalmente, la tercera.

Previamente calculamos la probabilidad de salir cara o cruz al lanzar una moneda. La

probabilidad será la misma para las tres monedas.

Probabilidad de sacar cara en una moneda: 2

1)( CP

Probabilidad de sacar cruz en una moneda: 2

1)( P

Seguidamente, construimos el diagrama de árbol:



Monedas 1ª Moneda 2ª Moneda 3ª Moneda Espacio muestral Probabilidad

C ( C, C, C ) 8

1

2

1

2

1

2

1),,( CCCP

C

+ ( C, C, + ) 8

1

2

1

2

1

2

1),,( CCP

C

C ( C, +, C ) 8

1

2

1

2

1

2

1),,( CCP

+

+ ( C, +, + ) 8

1

2

1

2

1

2

1),,( CP

C ( +, C, C ) 8

1

2

1

2

1

2

1),,( CCP

C

+ ( +, C, + ) 8

1

2

1

2

1

2

1),,( CP

+

C ( +, +, C ) 8

1

2

1

2

1

2

1),,( CP

+

+ ( +, +, + ) 8

1

2

1

2

1

2

1),,( P


E = { CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++ } Número de casos posibles = 8

Ahora, sólo tenemos que calcular la probabilidad de los dos sucesos que nos piden.

a) A = «Sacar una sola cruz» = { CC+, C+C, +CC } Número de casos favorables = 3 8

3 P(A)


La probabilidad es igual a la suma de las probabilidades de los diferentes caminos.

8

3

8

1

8

1

8

1 CC) P(C)C ()CC()( PPAP

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2 1

2

1

2



b) B = «Sacar una cara o más» = { CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C } Número de casos

favorables = 7 8

7 P(B)


Sabemos que la 8

1 P(C) con C = «Sacar todo cruces» = { +++ } Número de casos

favorables = 1

y que B es el suceso contrario de C, entonces utilizamos la fórmula de la probabilidad del

suceso contrario P(B)= )(CP =1-P(C)=8

7

8

18

8

11

.

11.3. Tabla de doble entrada o Tabla de contingencia

La tabla de doble entrada es muy útil para calcular la probabilidad condicionada.

Por tanto, la tabla de doble entrada o de contingencia es una tabla de doble entrada en la

cual se distribuyen los sucesos para hacer cálculos de probabilidades condicionadas.

En esta tabla, se trabaja con dos características o aspectos: una se escribe arriba y la otra a la

izquierda.

NOTA: Las tablas de contingencia también se pueden usar con probabilidades, con frecuencias relativas y con porcentajes.

Una tabla de contingencia con probabilidades, para los sucesos A, B, a y b, se distribuye de la

forma siguiente:

A B Total

a )( aAP )( aBP )(aP

b )( bAP )( bBP )(bP

Total )(AP )(BP 1

Una tabla de contingencia con probabilidades, para dos sucesos A y B y sus contrarios, se

distribuye de la forma siguiente:

A Ā Total

B )( BAP )( BAP )(BP

B )( BAP )( BAP )(BP

Total )(AP )(AP 1



Ejemplo: La encuesta sobre el agrado del fútbol en la TV según los sexos entre alumnos/as de

14 y 18 años es el siguiente:

A = «Varones» B = «Mujeres» Total

C = «Gusta el fútbol» 145 42 187

D = «No gusta el fútbol» 51 96 147

Total 196 138 334

Calculamos las siguientes probabilidades:

Probabilidad de que los alumnos/as sean varones: 334

196)( AP

Probabilidad de que los alumnos/as sean mujeres: 334

138)( BP

Probabilidad de que a los alumnos/as les guste el fútbol: 334

187)( CP

Probabilidad de que a los alumnos/as no les guste el fútbol: 334

147)( DP

Calcula las siguientes probabilidades condicionadas:

a) Probabilidad de que siendo varón (A) le guste el fútbol (C) 196

145)/( ACP

b) Probabilidad de que siendo varón (A) no le guste el fútbol (D) 196

51)/( ADP

c) Probabilidad de que siendo mujer (B) le guste el fútbol (C) 138

42)/( BCP

d) Probabilidad de que siendo mujer (B) no le guste el fútbol (D) 138

96)/( BDP

e) Probabilidad de que gustándole el fútbol (C) sea varón (A) 187

145)/( CAP

f) Probabilidad de que gustándole el fútbol (C) sea mujer (B) 187

42)/( CBP

También se podría calcular de otra forma aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada.

a) Probabilidad de que siendo varón (A) le guste el fútbol (C):

196

145

334

196334

145

)(

)()/(

AP

CAPACP



b) Probabilidad de que siendo varón (A) no le guste el fútbol (D):

196

51

334

196334

51

)(

)()/(

AP

DAPADP

c) Probabilidad de que siendo mujer (B) le guste el fútbol (C):

138

42

334

138334

42

)(

)()/(

BP

CBPBCP

d) Probabilidad de que siendo mujer (B) no le guste el fútbol (D):

138

96

334

138334

96

)(

)()/(

BP

DBPBDP

e) Probabilidad de que gustándole el fútbol (C) sea varón (A):

187

145

334

187334

145

)(

)()/(

CP

CAPCAP

f) Probabilidad de que gustándole el fútbol (C) sea mujer (B):

187

42

334

187334

42

)(

)()/(

CP

CBPCBP

Ejemplo: Se ha seguido la pista a 100.000 coches, durante un año, de tres marcas: de Seat,

50.000 ; de Volvo, 20.000 ; de Audi, 30.000. El número que han tenido accidente ( AC ) de cada marca

es: de Seat, 400 ; de Volvo, 200 ; de Audi, 400. Se elige un coche al azar. Hallar las siguientes

probabilidades:

a) De que sea un Seat, sabiendo que el coche elegido ha tenido accidente.

b) De que haya tenido accidente, sabiendo que el coche elegido es un Volvo.

c) De que el coche elegido haya tenido accidente.

d) De que el coche elegido sea un Audi.



Solución: Las dos características son tener accidente y la marca. Los datos se distribuyen en la

siguiente tabla de contingencia:

Seat Volvo Audi Total

AC = «Accidente» 400 200 400 1.000

NO ac = «No accidente» 49.600 19.800 29.600 99.000

Total 50.000 20.000 30.000 100.000

Calcula las siguientes probabilidades condicionadas:

a) 4,010

4

000.1

400

000.100

000.1000.100

400

)(

)()/(

ACP

ACSeatPACSeatP

b) 01,0200

2

000.20

200

000.100

000.20000.100

200

)(

)()/(

VolvoP

VolvoACPVolvoACP

c) 01,0100

1

000.100

000.1)( ACP

d) 3,010

3

000.100

000.30)( AudiP

Ejemplo (continuación): Hallar las siguientes probabilidades:

a) De que haya tenido AC, sabiendo que el coche elegido es un Seat.

b) De que sea un Volvo, sabiendo que el coche elegido ha tenido AC.

c) De que sea un Audi, sabiendo que el coche elegido ha tenido AC.

d) De que haya tenido AC, sabiendo que el coche elegido es un Audi.

e) De que el coche elegido sea un Seat.

f) De que el coche elegido sea un Volvo.

g) ¿Cuál es la marca que tiene menos AC ?

h) ¿Cuál es la marca que tiene más AC ?

i) Estudiar si son dependientes o no los sucesos tener AC y marca Seat.

j) Estudiar si son dependientes o no los sucesos tener AC y marca Volvo.

k) Estudiar si son dependientes o no los sucesos tener AC y marca Audi.



Solución: Calculamos las siguientes probabilidades condicionadas:

a) 008,0500

4

000.50

400

000.100

000.50000.100

400

)(

)()/(

SeatP

SeatACPSeatACP

b) 2,010

2

000.1

200

000.100

000.1000.100

200

)(

)()/(

ACP

ACVolvoPACVolvoP

c) 4,010

4

000.1

400

000.100

000.1000.100

400

)(

)()/(

ACP

ACAudiPACAudiP

d) 301,0300

4

000.30

400

000.100

000.30000.100

400

)(

)()/(

AudiP

AudiACPAudiACP

e) 5,010

5

000.100

000.50)( SeatP

f) 2,010

2

000.100

000.20)( VolvoP

g) De entre 01,0)/( VolvoACP , 301,0)/(

AudiACP y 008,0)/( SeatACP , la marca que

tiene menos AC es Seat con 0,008.

h) De entre 01,0)/( VolvoACP , 301,0)/(

AudiACP y 008,0)/( SeatACP , la marca que

tiene más AC es Audi con 0,013333...

i) 01,0)( ACP y 008,0)/( SeatACP 0,01 0,008 AC y Seat son dependientes.

j) 01,0)( ACP y 01,0)/( VolvoACP 0,01 0,008 AC y Volvo son independientes.

k) 01,0)( ACP y 301,0)/(

AudiACP 0,01 0,01333… AC y Audi son dependientes.

12. EXPERIMENTOS COMPUESTOS CON O SIN REEMPLAZAMIENTO

En las experiencias compuestas por sucesivas extracciones pueden darse dos modalidades:

a) Extracciones con reemplazamiento: son aquellas en las que, después de cada extracción, el

elemento extraído se repone. De este modo, cada extracción se realiza en las mismas condiciones que la anterior.

b) Extracciones sin reemplazamiento: las sucesivas extracciones se realizan sin devolver el

elemento anteriormente extraído. Las condiciones de cada extracción son distintas y dependen de cuál o cuáles sean los elementos anteriormente extraídos.



Experimentos aleatorios con reemplazamiento o con devolución: Sucesos son independientes.

Experimentos aleatorios sin reemplazamiento o sin devolución: Sucesos son dependientes.

Ejemplo: En una urna, hay 15 bolas rojas y 10 verdes. Extraemos dos bolas de la urna y

queremos hallar la probabilidad de que ambas sean rojas en los siguientes casos:

a) Devolviendo la primera bola extraída.

b) Sin devolverla.

Solución:

Representamos por:

R1 = «Obtener bola roja en la primera extracción»

R2 = «Obtener bola roja en la segunda extracción»

El espacio muestral es E = { Rojas, Verdes }

Número total de casos posibles = 15 + 10 = 25

a) Con devolución o con reemplazamiento:

Los sucesos R1 y R2 son independientes.

Según el diagrama en árbol, tenemos:

Urna 1ª Extracción 2ª Extracción Espacio muestral Probabilidad

P(A) P(B/A) P(AB)

Roja { Roja, Roja } 25

15

25

15)( 21 RRP

Roja

Verde { Roja, Verde } 25

10

25

15)( 21 VRP

Roja { Verde, Roja } 25

15

25

10)( 21 RVP

Verde

Verde { Verde, Verde } 25

10

25

10)( 21 VRP

Por tanto, 25

9

625

225

25

15

25

15)( 21 RRP con la regla del producto.

Otra forma, aplicando la fórmula: P(R1R2)=P(R1)·P(R2)

25

9

625

225

25

10

25

15)()()( 2121 RPRPRRP

25

15

25

1025

15

25

1025

15

25

10



b) Sin devolución o sin reemplazamiento:

Los sucesos R1 y R2 son dependientes.



P(A) P(B/A) P(AB)

Roja { Roja, Roja } 24

14

25

15)( 21 RRP

Roja

Verde { Roja, Verde } 24

10

25

15)( 21 VRP

Roja { Verde, Roja } 24

15

25

10)( 21 RVP

Verde

Verde { Verde, Verde } 24

9

25

10)( 21 VRP

Por tanto, 20

7

600

210

24

14

25


Otra forma, aplicando la fórmula: P(R1R2)=P(R1)·P(R2/R1)

20

7

600

210

24

14

25

15)/()()( 12121 RRPRPRRP

Ejemplo: Una urna contiene las siguientes cinco bolas: O, N, N, N, O. Se extrae una bola dos

veces seguidas y se escriben en una pizarra las letras obtenidas en el orden en que van apareciendo.

Hallar la probabilidad de obtener la palabra NO, en los siguientes casos:

a) Devolviendo a la urna la bola extraída después de cada extracción.

b) Sin devolver la bola extraída.

Solución:

Representamos por:

N1 = «Obtener bola N en la primera extracción»

O2 = «Obtener bola O en la segunda extracción»

El espacio muestral es E = { O, N }

Número total de casos posibles = 2 + 3 = 5

24

14

24

10

24

15

24

9

25

15

25

10




Los sucesos R1 y R2 son independientes.



P(A) P(B/A) P(AB)

N { N, N } 5

3

5

3)( 21 NNP

N

O { N, O } 5

2

5

3)( 21 ONP

N { O, N } 5

3

5

2)( 21 NOP

O

O { O, O } 5

2

5

2)( 21 OOP

Por tanto, 25

6

5

2

5

3)( 21 ONP con la regla del producto.

Otra forma, aplicando la fórmula: P(N1O2)=P(N1)·P(O2)

25

6

5

2

5

3)()()( 2121 OPNPONP


Los sucesos R1 y R2 son dependientes.


5

3

5

2

5

3

5

2

5

3

5

2




P(A) P(B/A) P(AB)

N { N, N } 4

2

5

3)( 21 NNP

N

O { N, O } 4

2

5

3)( 21 ONP

N { O, N } 4

3

5

2)( 21 NOP

O

O { O, O } 4

1

5

2)( 21 OOP

Por tanto, 10

3

20

6

4

2

5


Otra forma, aplicando la fórmula: P(N1O2)=P(N1)·P(O2/N1)

10

3

20

6

4

2

5

3)/()()( 12121 NOPNPONP

Ejemplo: Extraemos de una baraja tres cartas. Hallar la probabilidad de que sean tres ases en

los siguientes casos:

a) Con devolución después de cada extracción.

b) Sin devolución.

Solución:

Representamos por:

Ai = «Obtener un As en la extracción i», i = 1, 2, 3

El espacio muestral es E = { 40 cartas }

Número total de casos posibles = 40


Los sucesos A1 , A2 y A3 son independientes.


4

2

4

2

4

3

4

1

5

3

5

2



Baraja 1ª Extracción 2ª Extracción 3ª Extracción Espacio muestral

P(A) P(B/A) P(C/AB) P(ABC)

As { As, As, As }

As

No As { As, As, No As }

As

As { As, No As, As }

No As

No As { As, No As, No As }

As { No As, As, As }

As

No As { No As, As, No As }

No As

As { No As, No As, As }

No As

No As { No As, No As, No As }

Por tanto, 000.1

1

000.64

64

40

4

40

4

40

4)( 321 AAAP con la regla del producto.

Otra forma, aplicando la fórmula: P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)

000.1

1

000.64

64

40

4

40

4

40

4)()()()( 321321 APAPAPAAAP


Los sucesos A1 , A2 y A3 son dependientes.


40

4

40

36

40

4

40

36

40

4

40

36

40

4

40

36

40

4

40

36

40

4

40

36

40

4

40

36



Baraja 1ª Extracción 2ª Extracción 3ª Extracción Espacio muestral

P(A) P(B/A) P(C/AB) P(ABC)

As { As, As, As }

As

No As { As, As, No As }

As

As { As, No As, As }

No As

No As { As, No As, No As }

As { No As, As, As }

As

No As { No As, As, No As }

No As

As { No As, No As, As }

No As

No As { No As, No As, No As }

Por tanto, 470.2

1

280.59

24

38

2

39

3

40

4)( 321 AAAP con la regla del producto.

Otra forma, aplicando la fórmula: P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2/A1)·P(A3/A1A2)

470.2

1

280.59

24

38

2

39

3

40

4)()()()( 321321 APAPAPAAAP

13. TABLA – RESUMEN DE PROBABILIDAD

En la tabla siguiente, se presenta un resumen de probabilidad.

Relaciones entre sucesos Propiedades

AB Elementos que hay en A o en B, o ambos.

AB Elementos que hay en A y en B.

A−B Elementos que hay en A y que no están en B.

BABA

Ā Elementos que no están en A.

Ā = E – A

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(E)=1

P(Ø)=0

P(A)=1-P(Ā)

P(Ā)=1-P(A)

P(A)+P(Ā)=1

39

3

39

36

40

4

40

36

38

2

38

36

38

3

38

35

38

3

38

35

38

4

38

34

39

4

39

35



Propiedades del complementario Leyes de Morgan

EAA , AA , E , E BABA , BABA , AA

Reglas de la adición o

Probabilidad de la unión de sucesos Probabilidad de la diferencia de dos sucesos

Sucesos incompatibles:

Si AB = Ø P(AB)=P(A)+P(B)

Sucesos compatibles:

Si AB ≠ Ø P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)

BAPAPBAPBAP

Si B⊆A, P(B)≤P(A), entonces P(A-B)=P(A)-P(B)

Probabilidad de un suceso A Probabilidad de un suceso B

BAPBAPAP BAPBAPBP

Ley de los grandes números

P(A) ≈ N

ff A

rA

erimentoelrealizasequevecesdeNúmero

AsucesoelocurrequevecesdeNúmeroAP

exp)(

Regla de Laplace

erimentodelposiblescasosdetotalNúmero

AsucesoelparafavorablescasosdeNúmeroAP

exp)(

Probabilidad condicionada

)(

)()/(

AP

BAPABP

siempre que 0)( AP

ó

)(

)()/(

BP

ABPBAP

siempre que 0)( BP

Reglas del producto o Probabilidad de la intersección de sucesos

Sucesos independientes:

Si P(B/A)=P(B) y P(A/B)=P(A) P(AB)=P(A)·P(B)

Sucesos dependientes:

Si P(B/A)P(B) P(AB)=P(AB)=P(A)·P(B/A) con P(B) > 0

Si P(A/B)P(A) P(BA)=P(BA)=P(B)·P(A/B) con P(A) > 0

tema 3. probabilidad

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