Unidad 16 – Probabilidad PÁGINA 365

SOLUCIONES

1. El azar no tiene memoria. Por cualquiera de las dos, cara o cruz.

2. La probabilidad queda: 2 24 1 1 3(2 hembras) · ·

2 2 2 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞P = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. El resultado más probable es 2 caras y 2 cruces, se presentará 6 veces de cada 16 por término medio.

4. Recopilamos la información en la siguiente tabla:

Inglés Francés Total

281

Chicos 27 4 31

Chicas 63 6 69

Total 90 10 100

69P(Chica) 0,69100

= =

PÁGINA 381

SOLUCIONES

1. La suma queda: 21 (2 1)1 3 5 7 ... 2 1 ·2nn n+ −

+ + + + + − = =n

2. La solución queda:

1.er piso: se necesitan 2 naipes. 2.º piso: se necesitan 5 naipes. 3.er piso: se necesitan 8 naipes. 4.º piso: se necesitan 11 naipes. Luego en el enésimo piso habrá (3 1)n − naipes.

Una torre con n pisos tendrá: (3 1)·2

n + n naipes.

Una torre con 15 pisos tendrá: (3·15 1)·15 3452+

= naipes.

Veamos cuántos pisos tendrá un castillo de 3 775 naipes:

2(3 1)· 3775 3 7750 0 50 pisos2

n n n n n+= ⇒ + − = ⇒ =

282

3. Imaginamos que la rueda del padre tarda 6 segundos en dar una vuelta y la del hijo 6 segundos en dar vuelta y media. En la situación de partida vuelven a estar al cabo de 12’’, pero en ningún momento coincidirán las marcas azules sobre el suelo.

4. El cuadrado de cualquier número entero termina en 0, 1, 4, 5, 6, 9. Si el número entero es par, su cuadrado es múltiplo de 4.

Así, 214 196 4.= =i

Si el número entero es impar, su cuadrado es múltiplo de 4 1+ . Así, 213 169 4 1.= = +i

Ahora bien, si el número al cuadrado termina en 111, 555, 666 ó 999, éstos no son ni múltiplos de 4 ni múltiplos de 4 1+ , luego no pueden ser. Veamos, pues, los que terminan en 000 ó 444. Efectivamente: , luego también se verifica si no son cero las cifras. 21444 38=

5. La demostración queda:

[ ]2

(2 )! 2 ·(2 1)·(2 2)·...·3·2·1Veamos si es cierta la igualdad anterior transformada en otra :

2 ·(2 1)·(2 2)·...·3·2·1 1·3· 5·...· (2 1) · 2 12 2 ·(2 2)·...·6·4·22 1

1·3· 5·...· (2 1) (2 1)·...5·

n n n n

n n n n nn n nn

n n

= − −

− − > − + ⇒

−⇒ > + ⇒

− −2 1

3·1Esto es lo que vamos a demostrar por el método de inducción :

Para 1 2 2·1 1 2 32 ·(2 2)·...·6·4·2Supongamos que es cierto para : 2 1

(2 1)·...5·3·1(2 2)·(2 )·(2Veamos que es cierto para 1: ¿

n

nn nn n

nn n nn

> +

= ⇒ > + ⇒ >

−> +

−+ −

+

2

2)·...·6·4·2 2 3 ? (I)(2 1)·(2 1)·...5·3·1

(2 2)·(2 )·(2 2)·...·6·4·2 (2 2) (2 )·(2 2)·...·6·4·2 (2 2)· 2(2 1)·(2 1)·...5·3·1 (2 1) (2 1)·...5·3·1 (2 1)

Elevando al cuadrado : (2 2) (2 1

nn n

n n n n n n n n nn n n n n

n n

> ++ −

+ − + − += >

+ − + − +

+ + 2) (2 1) (2 1) (2 3)16 4 14 3 2 1 0

Esto siempre es cierto, pues es cierta la desigualdad (I) es cierto el enunciado.

n n nn n n

n

> + > + + ⇒⇒ + > + ⇒ + >

∈ ⇒ ⇒

1 2 3+ > +

283

PÁGINA 384

284

SOLUCIONES

1. El espacio muestral tiene elementos: 32 8= { }( )( )( )( )( )( )( )( )E ccc ccx cxc xcc cxx xxc xcx xxx= .

2. Quedan:

{ }{ }

{ }{ }

a) sacar oros

b)

c) sacar oros o rey

d) rey deoros

A C

A B C

A B

B A

∩ =

∩ ∩ = ∅

∪ =

∩ =

3. Quedan:

a) No es una probabilidad pues 77P( ) P( ) P( ) P( ) 160

A B C D+ + + = ≠

b) Es una probabilidad pues P( ) P( ) P( ) P( ) 1A B C D+ + + =

c) No es una probabilidad pues 1P( ) 03

B =− <

4. Quedan: 1P( ) 1 P( ) P( )2

A B C= − − =

b) Llamando P( ) P( ) 6 ; P( ) 2 ; P( ) P( ) P( ) 11 29 1 P( )9 3

C x A x B x A B C

x x A

= ⇒ = = + + =

⇒ = ⇒ = ⇒ =

5. La probabilidad es 1P(cruz)4

=

6. Queda: 11P(Al menos un seis)36

3 1P(Suma 10)36 12

=

= =

7. El espacio muestral tiene 16 elementos. 6 1a) P(2 caras y 2 cruces) c) P(alguna cara)

16 165 5b) P(como máximo una cruz) d) P(como mínimo 3 caras)

16 16

= =

= =

5

8. Queda: 1 12 3 16 4a) P(copas) b) P(figura) c) P(oros o sota)4 52 13 52 13

= = = = =

285

9. Queda: 5 4 10a) P(2 negras) ·

14 13 919 5 45b) P(1 roja y 1 negra) · ·2

14 13 915 4 81c) P(al menos 1 roja) 1 ·

14 13 91

= =

= =

= − =

10. Queda: 6 7 5 35Con devolución : · · ·6

18 18 18 1626 7 5 35Sin devolución : · · ·6

18 17 16 136

=

=

11. Queda: 6 5 3 6 8 4 5 34a) P(2 de aluminio) · ; P(materiales distintos) · ·

10 13 13 10 13 10 13 651 4 3 1 8 7 16b) P(2 monedas de cobre) · · · ·2 10 9 2 13 12 65

= = = + =

= + =

286

PÁGINA 385

287

SOLUCIONES

12. Introducimos los datos en una tabla:

Mujeres Hombres Total

Gafas 62,5 600 662,5

No gafas 187,5 400 587,5

Total 250 1000 1250

13. Queda:

Alumnas Alumnos Total

Ciencias 300 300 600 Letras 250 150 400

Total

288

550 450 1000

14. Queda:

( ) ( )1 2par3a) P b) Pimpar mayor que33 3= =

15. Queda:

Hombres Mujeres Total

40 años 60 ≥ 70 130

< 40 años 40 30 70

Total 100 100 200

16. Queda:

Hombres Mujeres Total

Enfermo 12 11 23

No enfermo 188 89 277

100 300 Total 200 ( )

200a) P(hombre) 0,67300

23b) P(enfermo) 0,77300

12hombrec) P 0,52enfermo 23

= =

= =

= =

( )

1a) P(mujer) 0,52

7b) P( 40 años) 0,3520

70 7mujerc) P 40 años 130 13

= =

< = =

= =≥

600 3P(ciencias)1000 5

= =

587,5a) P(persona sin gafas) 0,471250

600b) P(mujer con gafas) 0,481250

= =

= =

17. Sean A y B respectivamente la primera y la segunda prueba.

( )

a) P( ) P( ) P( ) P( ) 0,6 0,8 0,5 0,9

b) P(no pase ninguna) 1 P(pase al menos una) 1 0,9 0,1

c) No son independientes puesP( )·P( ) P( )

P( ) P( ) P( ) 0,3d) P 0,751 P( ) 0,4P( )

A B A B A B

A B A B

A B B A BBA AA

∪ = + − ∩ = + − =

= − = − =

≠ ∩

∩ − ∩= = = =

−

18. Queda:

289

Diurno Nocturno Total

Defectuosa 4 8 12

No defectuosa

Total 200 100 300

( )( )

12a) P(defectuosa) 0,04300

8 2nocturnob) P defectuosa 12 34 1diurnoc) P defectuosa 12 3

= =

= =

= =

19. Queda:

21

11

2 2 21 1

1 1

2 4P( )·P · 44 6P2 4 2 3 7P( )·P P( )·P · ·4 6 4 6

BB BBB B BB RB R

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

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SOLUCIONES

20. Queda:

( )

50 1a) P(defectuoso y por A) · 0,25100 2

50 1 25 1 25 1 17b) P(defectuoso) · · ·100 2 100 4 100 6 48

25 5· 10100 6Cc) P no defectuoso 25 5 50 1 25 3 31· · ·100 6 100 2 100 4

= =

= + + =

= =+ +

21. Las configuraciones de las urnas son:

1a urna: Dos bolas blancas con probabilidad de salir dos caras. 2a urna: Una bola blanca y otra negra con probabilidad de salir cara y cruz. 3a urna: Dos bolas negras con probabilidad de salir dos cruces.

a1 ·1 11 urna 4P 0blanca 1 1 1 1 2·1 · ·0

4 2 2 4

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ + +

,5=

22. Queda:

Ingeniero Economista Otros Total

291

Directivo 15 10 12 37 No directivo 5 10 48 63

Total 20 20 60 100

( ) 15ingenieroP 0directivo 37= = ,41

23. Queda:

1 0,20·0,5 5NP pérdidas 0,20·0,5 0,04·0,5 6⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

24. Queda:

a5 4·5 4 3 7 41 201 roja 8 9a) P(2 roja) · · b) P 2 roja 5 4 3 78 9 8 9 72 41· ·

8 9 8 9

aa

⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ +

25. Queda:

( )

1 1 1 1 1 1a) P(acierte llave) · · · 0,163 5 3 7 3 8

1 7 7b) P( y no abra) · 0,293 8 24

1 1· 563 5Ac) P 0,43llave abre 1 1 1 1 1 1 131· · ·3 5 3 7 3 8

C

= + + =

= = =

= =+ +

=

26. Queda:

( )45 5· 225100 1001ºP 0fallo 45 5 55 8 665· ·

100 100 100 100

= =+

,34=

27. Queda:

( ) P( ) 0,2 2a) P( ) 0,4 0,3 0,2 0,5 c) PP( ) 0,3 3

b) P( ) P( ) 1 0,2 0,8 d) P( ) P( ) P( ) 0,3 0,2 0

A BAA B B B

A B A B A B B A B

∩∪ = + − = = = =

∪ = ∩ = − = ∩ = − ∩ = − =

,1

28. Queda: 1 3 3 1 7a) P( ) P( ) P( ) P( ) c) P( ) P( )2 8 4 8 8

1 7b) P( ) P( ) d) P( )4 8

A B A B A B A B A B

A B A B A B

∩ = + − ∪ = + − = ∪ = ∩ =

∩ = ∪ = ∩ =

29. Queda: y son compatibles pues P( ) 01 1 5 1a) P( ) y son independientes pues P( ) P( )·P( )4 2 8 8 y son incompatibles pues P( ) 01 1 1b) P( ) 0 y son dependientes pues P( ) P( )·P(6 3 2

A B A BA B

A B A B A B

A B A BA B

A B A B A

∩ ≠⎧∩ = + − = ⇒ ⎨ ∩ =⎩

∩ =∩ = + − = ⇒

∩ ≠ )B⎧⎨⎩

292