probabilidad 3

Probabilidad y EstadısticaDistribuciones de probabilidad

Dr. Hector Aviles

Ingenierıa en Tecnologıas de la InformacionUniversidad Politecnica de Victoria

Cd. Victoria Tamaulipas

Agosto-Diciembre 2011

Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas

Contenido

Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valoresperado y varianza

Distribuciones de probabilidad discretas

Distribuciones de probabilidad continuas

H. Aviles UPV

Contenido

X Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valoresperado y varianza

Distribuciones de probabilidad discretas

H. Aviles UPV

Variables aleatorias

Un concepto muy util en probablidad es el de variablesaleatoria o variables estocastica

Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos ylas probabilidades asociadas

Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores numericosque describan los eventos, en vez de los eventos en si

Las variables aleatorias nos ayudaran a obtener tales valoresnumericos

Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valoresnumericos a cada salida de un experimento

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Mas formalmente, una V.A. X es una funcion que transformaun evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R

Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a loseventos donde se utilizan A, B o C )

Una V.A. se puede ver como el resultado de una medicion enalgun proceso, e.g., Y = “El numero de soles al lanzar dosmonedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2,Y ({aguila, sol}) =1,Y ({sol, aguila}) = 1,Y ({aguila, aguila}) = 0

En casos especiales, un evento e es igual al valor numericodeseado, i.e., X (e) = e, (e.g., Si X = “El numero que resultade lanzar un unico dado)

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Mas formalmente, una V.A. X es una funcion que transformaun evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → RUsualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a loseventos donde se utilizan A, B o C )

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Un ejemplo es X = “El numero de coches rojos que pasan poruna calle en 10 minutos” o Y = “La estatura de una persona”

En general, una V.A. puede ser discreta o continua

Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambosresultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},X ∈ N es discreta finita

Tambien hay V.A. discretas infinitas como el numero degranos de arena en una playa o el numero de estrellas en elcielo

Para casos especiales, las V.A pueden considerar valorescualitativos X ∈ {alto,mediano, bajo},Y ∈ {estudiante, profesionista}

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Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en unrango o intervalo de R

Un ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”o Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de unapersona”

Las V.A. pueden representar eventos simples o eventoscompuestos

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Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en unrango o intervalo de RUn ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”o Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de unapersona”

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Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en unrango o intervalo de RUn ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”o Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de unapersona”

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Distribuciones de probabilidad discreta

Las V.A son importantes porque nos permiten definirdistribuciones de probabilidad sobre ellas

Una distribucion de probabilidad es una funcion que nospermite asignar valores de probabilidad para los valores de unaV.A.

Para el caso de una V.A. discreta X , la distribucion deprobabilidad es una lista de probabilidades asociadas a losvalores de X

A una distribucion de probabilidad de este tipo se lesdenomina distribucion de probabilidad discreta

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Sea X una V.A. discreta que puede tomar N valores distintos,X ∈ {xi |1 ≤ i ≤ N}, entonces

P(X = xi ) = p(xi ),

donde 0 ≤ p(xi ) ≤ 1 y∑N

i=1 p(xi ) = 1

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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejemplo

Para un dado que no es justo y privilegia resultados impares:

xi p(xi )

1 3/122 1/123 3/124 1/125 3/126 1/12

Las distribuciones de probabilidad discreta pueden representarsepor medio de tablas o graficamente (i.e., mediante histogramas de

probabilidad)

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Funcion de probabilidad acumulada

Una funcion importante es la funcion de probabilidadacumulada

P(X ≤ xi ) =∑j≤i

A su grafica se le llama funcion escalera

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Valor esperado

Otra funcion importante es el valor esperado o esperanzamatematica E [X ] de una V.A. discreta X :

E [X ] =∑∀i

xi · p(xi )

Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo conX ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:

E [X ] = 1 · 1

6+ 2 · 1

6+ 3 · 1

6+ 4 · 1

6+ 5 · 1

6+ 6 · 1

6= 3.5

Si la grafica de la distribucion de probabilidad se ve como unobjeto con masa, el valor esperado “balancea” la masa delobjeto en dos partes iguales

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Valor esperado

E [X ] =∑∀i

xi · p(xi )

E [X ] = 1 · 1

6+ 2 · 1

6+ 3 · 1

6+ 4 · 1

6+ 5 · 1

6+ 6 · 1

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Valor esperado

E [X ] =∑∀i

xi · p(xi )

E [X ] = 1 · 1

6+ 2 · 1

6+ 3 · 1

6+ 4 · 1

6+ 5 · 1

6+ 6 · 1

6= 3.5

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Valor esperado

E [X ] =∑∀i

xi · p(xi )

E [X ] = 1 · 1

6+ 2 · 1

6+ 3 · 1

6+ 4 · 1

6+ 5 · 1

6+ 6 · 1

6= 3.5

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Varianza

La varianza V (X ) es una medida que nos indica que tanto se“esparcen” o varian los valores de X en la distribucion (en eleje horizontal de su grafica), tomando en cuenta sus pesos (oprobabilidades)

Para una variable X la varianza viene dada por

V (X ) = E [(X − E [X ])2] =n∑

(xi − E [X ])2 · p(xi )

Esto indica que V (X ) es el valor esperado de la diferencia alcuadrado entre cada valor para X y su esperanza matematica

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Varianza

V (X ) = E [(X − E [X ])2] =n∑

(xi − E [X ])2 · p(xi )

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Varianza

V (X ) = E [(X − E [X ])2] =n∑

(xi − E [X ])2 · p(xi )

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Varianza

La varianza tambien se puede calcular como:V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor deX elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X alcuadrado)

Por ejemplo, para un dado justoE [X 2] =

∑∀i (xi )

2 ·p(xi )(12 +22 +32 +42 +52 +62)/6 = 15.5,y (E [X ])2 = (

∑∀i xi · p(xi ))2 =

((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25

Ası, V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = 15.5− 12.25 = 3.25

Esta forma es muy util cuando se tiene una descripcionanalıtica de la distribucion

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Varianza

∑∀i (xi )

2 ·p(xi )(12 +22 +32 +42 +52 +62)/6 = 15.5,y (E [X ])2 = (

∑∀i xi · p(xi ))2 =

((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25

Ası, V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = 15.5− 12.25 = 3.25

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Varianza

∑∀i (xi )

2 ·p(xi )(12 +22 +32 +42 +52 +62)/6 = 15.5,y (E [X ])2 = (

∑∀i xi · p(xi ))2 =

((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25

Ası, V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = 15.5− 12.25 = 3.25

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Varianza

∑∀i (xi )

2 ·p(xi )(12 +22 +32 +42 +52 +62)/6 = 15.5,y (E [X ])2 = (

∑∀i xi · p(xi ))2 =

((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25

Ası, V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = 15.5− 12.25 = 3.25

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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio

Considere la siguiente tabla de edades y la V.A. X o la edadde una persona del grupo. Grafique p(xi ) ∀i , su funcionacumulada, y obtenga E , V y P(X = 25 o X = 21)

Edad2522212425292122252421

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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio

Para los siguientes valores de una variable X , grafique p(xi )∀i ,su funcion acumulada, y calcule E , V y P(X ≤ 25)

13, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 24, 23, 38, 36, 24, 29, 25, 17, 17, 34,36, 39, 34, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 37, 31, 37, 34, 32, 35, 28,

32, 31, 28, 15, 32, 13

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Variables aleatorias continuas

Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | −∞ ≤ y ≤ ∞} y sufuncion de densidad de probabilidad es p(y), la probabilidadde Y = y esta dada por:

P(a ≤ Y ≤ b) =

ap(y)dy

donde a y b son los lımites inferior y superior en que p(y)debe evaluarse

Se debe satisfacer∫∞−∞ p(y)dy = 1 y p(y) ≥ 0

Recordar que∫ yy p(y)dy = 0, por tanto, no podemos usar una

forma tabular para P(·) de V.A. continuas

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P(a ≤ Y ≤ b) =

ap(y)dy

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P(a ≤ Y ≤ b) =

ap(y)dy

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P(a ≤ Y ≤ b) =

ap(y)dy

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Funcion de probabilidad acumulada y valor esperado

La funcion de distribucion acumulativa es:

P(Y ≤ b) =

−∞p(y)dy

La esperanza matematica de Y es:

P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) =

∫ ∞−∞

y · p(y)dy

La varianza es:

V (Y ) =

∫ ∞−∞

(y − E (Y ))2 · p(y)dy

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P(Y ≤ b) =

−∞p(y)dy

P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) =

∫ ∞−∞

y · p(y)dy

La varianza es:

V (Y ) =

∫ ∞−∞

(y − E (Y ))2 · p(y)dy

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P(Y ≤ b) =

−∞p(y)dy

P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) =

∫ ∞−∞

y · p(y)dy

La varianza es:

V (Y ) =

∫ ∞−∞

(y − E (Y ))2 · p(y)dy

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Ejemplos de una funcion de probabilidad continua (izquierda) y elcomportamiento de su funcion acumulativa (derecha)

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Hay diferentes maneras de calcular el area bajo un segmento[a, b] de la curva:

Graficamente (para figuras geometricas simples comotriangulos y trapecios)Calculando la suma de segmentos (solo aproximacion)Cuando la forma de la integral es conocida (o puedeconocerse) y resolviendo para a y b

Recordar de los teoremas fundamentales de calculo:P(a ≤ Y ≤ b) =

∫ ba p(y)dy = P(Y )|ba = P(Y ≤ b)− P(Y ≤ a)

¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!

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Graficamente (para figuras geometricas simples comotriangulos y trapecios)

Calculando la suma de segmentos (solo aproximacion)Cuando la forma de la integral es conocida (o puedeconocerse) y resolviendo para a y b

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Graficamente (para figuras geometricas simples comotriangulos y trapecios)Calculando la suma de segmentos (solo aproximacion)

Cuando la forma de la integral es conocida (o puedeconocerse) y resolviendo para a y b

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Variables aleatorias continuas - Ejemplo

Si se considera que∫ ba p(y)dy = limn→∞

∑bi=a p(yi ) ·∆n,

para una variable Y con densidad de probabilidad

p(y) =

{12 y 0 ≤ y ≤ 20 de lo contrario

calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4

∆n = b−an = 1−0

4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1

i=0 p(yi ) ·∆n

P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1

i=012 (yi ) · ( 1

4 ) =( 1

4 ) · ( 12 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈ 9

32 o 0.28

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p(y) =

∆n = b−an = 1−0

4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1

i=0 p(yi ) ·∆n

P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1

i=012 (yi ) · ( 1

4 ) =( 1

4 ) · ( 12 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈ 9

32 o 0.28

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p(y) =

∆n = b−an = 1−0

4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1

i=0 p(yi ) ·∆n

P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1

i=012 (yi ) · ( 1

4 ) =( 1

4 ) · ( 12 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈ 9

32 o 0.28

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Dado que∫ 1

0 p(y)dy =∫ 1

012 ydy

Resolviendo la integral definida:∫ 1

2ydy = (

2|10 = (

4)y 2|10 = (

4)[(1)2−(0)2] =

4= 0.25

Si se grafica la ecuacion 12 y , se observa que es una lınea recta

y forma un triangulo en los lımites b y a

Si se recuerda que area = base·altura2 , y

base = b− a = 1− 0 = 1 y altura = p(y = 1) = ( 12 · 1) = 1/2,

area =base · altura

1 · 12

2= 1/4

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Dado que∫ 1

0 p(y)dy =∫ 1

012 ydy

2ydy = (

2|10 = (

4)y 2|10 = (

4)[(1)2−(0)2] =

4= 0.25

1 · 12

2= 1/4

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Dado que∫ 1

0 p(y)dy =∫ 1

012 ydy

2ydy = (

2|10 = (

4)y 2|10 = (

4)[(1)2−(0)2] =

4= 0.25

1 · 12

2= 1/4

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Dado que∫ 1

0 p(y)dy =∫ 1

012 ydy

2ydy = (

2|10 = (

4)y 2|10 = (

4)[(1)2−(0)2] =

4= 0.25

1 · 12

2= 1/4

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E [Y ] de p(y) = 12 y se obtiene como∫ 2

0 y · p(y)dy =∫ 2

0 y · 12 ydy =

∫ 20

12 y 2dy = ( 1

2 ) y3

3 |20 =

( 12 )[ 23

3 − 0] = ( 12 )( 8

3 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33

Si V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2, V (Y ) podemos obtenerla

calculando E [Y 2] =∫ 2

0 y 2 · p(y)dy =∫ 2

0 y 2 · 12 ydy =∫ 2

012 y 3dy = ( 1

2 ) y4

4 |20 = ( 1

2 )[ 24

4 − 0] = ( 12 )( 16

4 ) = 4/2 = 2

Ası, V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2 = 2− (1.33)2 ≈ .23

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0 y · p(y)dy =∫ 2

0 y · 12 ydy =

∫ 20

12 y 2dy = ( 1

2 ) y3

3 |20 =

( 12 )[ 23

3 − 0] = ( 12 )( 8

3 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33

0 y 2 · p(y)dy =∫ 2

0 y 2 · 12 ydy =∫ 2

012 y 3dy = ( 1

2 ) y4

4 |20 = ( 1

2 )[ 24

4 − 0] = ( 12 )( 16

4 ) = 4/2 = 2

Ası, V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2 = 2− (1.33)2 ≈ .23

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0 y · p(y)dy =∫ 2

0 y · 12 ydy =

∫ 20

12 y 2dy = ( 1

2 ) y3

3 |20 =

( 12 )[ 23

3 − 0] = ( 12 )( 8

3 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33

0 y 2 · p(y)dy =∫ 2

0 y 2 · 12 ydy =∫ 2

012 y 3dy = ( 1

2 ) y4

4 |20 = ( 1

2 )[ 24

4 − 0] = ( 12 )( 16

4 ) = 4/2 = 2

Ası, V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2 = 2− (1.33)2 ≈ .23

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Variables aleatorias continuas - Ejercicio 1

Considere una variable Y con densidad de probabilidad

p(y) =

10 (y + 3) −1 ≤ y ≤ 20 de lo contrario

calcule P(1 ≤ Y ≤ 2) para n = 5 incrementos, resolviendo laintegral definida; ademas calcule E [Y ] y V (Y )

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Variables aleatorias continuas - Ejercicio 2

Considere una variable Y con densidad de probabilidad

p(y) =

{6y(1− y) 0 ≤ y ≤ 10 de lo contrario

calcule P(0.5 ≤ Y ≤ 1) con 10 incrementos, resolviendo laintegral definida y obtenga E [Y ] y V (Y )

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Distribuciones discretas

x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valoresperado y varianza

X Distribuciones de probabilidad discretas

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Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen sermuy importantes en la practica y teorıa

Por esto, algunas formas han recibido nombres especiıficos

Esto ayuda a su aplicacion y al estudio de sus propiedades

Como casos especiales de distribuciones discretas veremos: ladistribucion uniforme, de Bernoulli y la distribucion binomial

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Distribucion uniforme

La distribucion uniforme discreta es una de las distribucionesdiscretas mas simples

La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementosde un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalosiguales) que toma una V.A. discreta X

Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidadP(xn) = 1/n, ∀n

En general, nos permitira representar problemas en los quetodos los eventos simples tienen la misma probabilidad (e.g.,lanzar un dado o una moneda “justa”)

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El valor esperado es:E [X ] =

∑ni=1 xi · p(xi ) = 1

∑ni=1 xi · = 1

n · (x1+xn

2 · n) = x1+xn2

La varianza es:V (X ) = E [(X − E [X ])2] =

∑ni=1(xi − E [X ])2 · p(xi )

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El valor esperado es:E [X ] =

∑ni=1 xi · p(xi ) = 1

∑ni=1 xi · = 1

n · (x1+xn

2 · n) = x1+xn2

∑ni=1(xi − E [X ])2 · p(xi )

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Distribucion uniforme - Ejercicio

Sea X una V.A. discreta con X ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}distribuida uniformemente. Su representacion grafica es:

Calcule su valor esperado, su varianza y grafique su funcionescalonada

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Distribucion de Bernoulli

La distribucion de Bernoulli nos sirve para representar laprobabilidad de exito (p) y fracaso (q =1− p) de unexperimento aleatorio

Considere una V.A. X que indica si un evento se cumplio o noen una unica repeticion del experimento aleatorio

En este caso X se comporta con una distribucion de Bernoullicon parametro p (X = 1 en caso de exito, X = 0 en fracaso)

La funcion de probabilidad es P(X ) = px · (1− p)1−x , esdecir, P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1− p

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La esperanza matematica es: E [X ] =∑1

i=0 x = i · p(x = i) =0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p

∑1i=0(x = i − E [X ])2 · p(x = i) =∑1

i=0(x = i − p)2 · p(x = i) = (0− p)2 · p(x =0)+(1−p)2·p(x = 1) = (0−p)2·(1−p)+(1−p)2·p = p·(1−p)

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La esperanza matematica es: E [X ] =∑1

i=0 x = i · p(x = i) =0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p

∑1i=0(x = i − E [X ])2 · p(x = i) =∑1

i=0(x = i − p)2 · p(x = i) = (0− p)2 · p(x =0)+(1−p)2·p(x = 1) = (0−p)2·(1−p)+(1−p)2·p = p·(1−p)

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Distribucion de Bernoulli - Ejemplo

Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamientode una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caercara, entonces p = P(X = 1) = .6

Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado“justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6

Si Z es una V.A. que representa si el resultado es mayor de 3,p = P(Z = 1) = 1/2

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Distribucion de Bernoulli - Ejercicio

Para los 3 ejemplos anteriores, calcule E (·), V (·) y grafique sufuncion p(·)

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Distribucion binomial

La distribucion binomial mide la probabilidad de un numero rde exitos en un conjunto de n repeticiones “independientes”de Bernoulli, e.g., P(X = r) donde 0 ≤ r ≤ n

Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una monedan veces, o la probabilidad de que un coche siga avanzando enuna autopista o se detenga en un momento r determinado(asumiendo que cada intento corresponde a una unidad detiempo)

La probabilidad de exito es p y de fracaso q = 1− p

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Para obtener P(X = r) suponga una sucesion de r resultadosexitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1y Xr+1 = 0 ∧ Xr+2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ındice indica laposicion del experimento aleatorio en la secuencia

Ası, para esta situacionp1 ·p2 · ... ·pr ·(1−p)r+1 ·(1−p)r+2 · ... ·(1−p)n = pr (1−p)n−r

Como solo estamos interesados en la probabilidad de r exitos(sin importar el orden), entonces hay que calcular el numerode r combinaciones en n elementos:(

r !(n − r)!

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r !(n − r)!

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r !(n − r)!

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Como se tiene la probabilidad para una combinacionpr (1− p)n−r solo resta multiplicar por el total decombinaciones posibles:

r !(n − r)!pr (1− p)n−r =

)pr (1− p)n−r

De esta manera, la funcion de probabilidad de la V.A. X con

distribucion binomial es P(X = r) =

)pr (1− p)n−r ,

0 ≤ r ≤ n

El valor esperado esta dado por np y la varianza por np(1− p)

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r !(n − r)!pr (1− p)n−r =

)pr (1− p)n−r

)pr (1− p)n−r ,

0 ≤ r ≤ n

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r !(n − r)!pr (1− p)n−r =

)pr (1− p)n−r

)pr (1− p)n−r ,

0 ≤ r ≤ n

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Distribucion binomial para n = 20 y p = 0.1(rojo), p = 0.5(verde),p = 0.8(azul)

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Otras distribuciones

La distribucion geometrica permite calcular la probabilidad deun numero r de repeticiones antes del primer exito

La distribucion de Poisson calcula la probabilidad de queocurra un cierto evento r veces en un perıodo de tiempo (oespacio) determinado (e.g., el numero de piezas defectuosasen un dıa o las estrellas en un segmento particular del cielo)

Para estas distribuciones describe su funcion de probabilidad, elvalor esperado, su varianza y de un ejemplo

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Contenido

x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valoresperado y varianza

x Distribuciones de probabilidad discretas

X Distribuciones de probabilidad continuas

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Distribucion normal

La distribucion normal, de Gauss, o Gaussiana es una de lasmas utilizadas en la literatura

Permite modelar multiples fenomenos en muchas areas de laciencia

Para una V.A. Y continua con distribucion normal, sudensidad de probabilidad esta dada por:

P(Y = y) =1

2πe−

( y−µσ

donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ =√

V (Y )es la desviacion estandar (o raız cuadrada de la varianza)

La distribucion normal frecuentemente se denota comoN (µ, σ)

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Distribucion normal

P(Y = y) =1

2πe−

( y−µσ

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Distribucion normal

P(Y = y) =1

2πe−

( y−µσ

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Distribucion normal

P(Y = y) =1

2πe−

( y−µσ

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Distribucion normal

P(Y = y) =1

2πe−

( y−µσ

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Distribucion normal

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Distribucion normal

Esta distribucion tiene diferentes propiedades interesantes:

Es simetrica con respecto a la mediaLos porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a ladesviacion estandardSi se realizan n experimentos aleatorios y se consideran losresultados de cada uno identificados con las V.A. Xi

independientes e identicamente distribuidas (e.g., por unadistribucion de Bernoulli), entonces

∑∀i xi ≈ N (µ, σ)

Describa un ejemplo de la utilidad de esta distribucion, comocalcular areas bajo la curva, su relacion con la distribucion estandar

normal y por que esta es util

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Distribucion normal

Es simetrica con respecto a la media

Los porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a ladesviacion estandardSi se realizan n experimentos aleatorios y se consideran losresultados de cada uno identificados con las V.A. Xi

∑∀i xi ≈ N (µ, σ)

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Distribucion normal

Es simetrica con respecto a la mediaLos porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a ladesviacion estandard

Si se realizan n experimentos aleatorios y se consideran losresultados de cada uno identificados con las V.A. Xi

∑∀i xi ≈ N (µ, σ)

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Distribucion normal

Es simetrica con respecto a la mediaLos porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a ladesviacion estandardSi se realizan n experimentos aleatorios y se consideran losresultados de cada uno identificados con las V.A. Xi

∑∀i xi ≈ N (µ, σ)

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probabilidad 3

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