Variables Aleatorias Continuas

VARIABLES ALEATORIASVariables Aleatorias ContinuasSe dice que X es una variable aleatoria continua si existe una funcin f llamada funcin de densidad de probabilidad (fdp) que satisface las siguientes condiciones:

Si X es una variable aleatoria continua, entonces para cualesquiera y

FUNCION DE DENSIDAD PROBABILISTICALa funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria continua X es:

F(x) satisface las siguientes condiciones:

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

MOMENTOS DE UNA V.A.C

EJEMPLOSea X una variable aleatoria continua y

Verificar que f(x) es una f.d.p. Encontrar F(x)P(X>1/3 / X 3/4)

DISTRIBUCIN CONTINUA UNIFORMEUna variable aleatoria continua X con funcin de densidad de probabilidad

tiene una distribucin continua uniforme con parmetros:

EJEMPLO 1El grosor de un reborde de un componente aeronutico tiene una distribucin uniforme entre 0.95 y 1.05 milmetros. Determine la funcin de distribucin acumulada del grosor de los rebordesDetermine la proporcin de los rebordes que exceden 1.02 milmetrosDISTRIBUCIN NORMALEs la mas importante distribucin de probabilidad ya que alrededor de ella giran todas las distribuciones. Tambin conocida como la distribucin de Gauss o gaussiana, juega un papel importante en la teora de la informacin y la comunicacin.

Una variable aleatoria X con funcin de densidad de probabilidad

tiene una distribucin normal con parmetros

donde

Notacin

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARUna variable aleatoria normal con y se le conoce como variable aleatoria normal estndar y se denota por Z. La funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria normal estndar se denota como:

COMO ESTANDARIZAR UNA V.A. NORMALDesafortunadamente no hay una expresin de forma elemental para la fdp de la distribucin normal, las probabilidades basadas en la distribucin normal generalmente se hayan por mtodos numricos o por tablas. La mejor solucin es estandarizar la variable aleatoria normal y convertirla en una v.a. normal estndar.

Si X es una V.A normal con y , entonces la variable aleatoria

Es una variable aleatoria normal con

Es decir, es una variable aleatoria normal estndar

COMO ESTANDARIZAR UNA V.A. NORMALTABLA EJEMPLO 2El volumen de una mquina automatizada usada para llenar latas de una bebida carbonatada tiene una distribucin normal con una media de 12.4 onzas lquidas y una desviacin estndar de 0.1 onzas lquidas.Cul es la probabilidad de que un volumen de llenado sea menor que 12 onzas lquidas?Si se desechan todas latas con menos de 12.1 onzas o con ms de 12.6 onzas qu proporcin de latas se desecha? RELACIONES DE LA ~ NORMALSi y ambas son independientes, entonces tiene una distribucin exponencial

Si es una secuencia de variables normales estndar mutuamente independientes, entonces

tiene una distribucin gamma(1/2,n/2) o una distribucin ji-cuadrado con n grados de libertad.

Si X es una variable aleatoria binomial, entonces

es aproximadamente una variable aleatoria normal estndar. La aproximacin es buena para n.p>5 y n(1-p)>5

Si X es una variable aleatoria de Poisson con , entonces:

Es aproximadamente una V.A. normal estndar. La aproximacin es buena para >5

RELACIONES DE LA ~ NORMALDISTRIBUCIN EXPONENCIALLa variable aleatoria X que es igual a la distancia entre dos conteos sucesivos de un proceso de Poisson con una media mayor que cero, tiene una distribucin exponencial con parmetro . La f.d.p es

Los momentos

PROPIEDAD DE FALTA DE MEMORIALa distribucin exponencial y la distribucin geomtrica tienen la propiedad de prdida de memoria, es decir

EJEMPLO 3La vida de un ensamblaje mecnico en una prueba de vibracin tiene una distribucin exponencial con una media de 400 horas.Cual es la probabilidad de que un ensamblaje sometido a prueba falle en menos de 100 horas?Cul es la probabilidad de que un ensamblaje opere durante ms de 500 horas antes de fallar?Si un ensamblaje se ha sometido a prueba durante ms de 400 horas sin fallar, cul es la probabilidad de una falla en las 100 horas siguientes?DISTRIBUCIN DE ERLANGEs una generalizacin de la distribucin exponencial donde la variable de inters es la longitud hasta que ocurran r conteos en un proceso de Poisson.

DISTRIBUCIN GAMMALa distribucin de Erlang es un caso especial de la distribucin gamma con fdp:

Los momentos

EJEMPLO 4La duracin en aos de un repuesto es una variable aleatoria que tiene una distribucin exponencial con una media de 2 aos, una maquina consume un repuesto tras otro, Cul es la probabilidad de que la maquina dure mas de 5 aos trabajando con 2 repuestos?DISTRIBUCIN CHI-CUADRADAEs un caso especial de la distribucin gamma en la que =1/2 y r=n/2. sta distribucin se usa ampliamente en la estimacin de intervalos y en las pruebas de hiptesis. Tambin se encuentra tabulada.

EJEMPLO 5X ~ X2(5) hallar P(X< 7,289)P(3