UNIDAD 3 – PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAFACULTAD REGIONAL HAEDO

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

Experimento aleatorio: Se efectúa un tiro al blanco en un disco de un 30 cm de radio, separado en sectores circulares de igual centro (ver figura). Las marcas que definen las zonas interiores están en 20 cm, 10 cm y 2cm.

x

y { } { }2 2 2( , ) / 0 30 exterior al discoE x y x y= ∈ ≤ + ≤ ∪2R Medidas geométricas en cm

v.a.c.W: la distancia entre el punto de impacto en el disco y el centro (medida en cm)

[ ]: 0;30WR

v.a.d.G: ganancia del jugador (en $) de acuerdo a la tabla de valores por zonas

Derecho a juego: $ 100Premio Zona 1 (Círculo central blanco): $ 1000 (0≤r<2)Premio Zona 2 (Sector Celeste): $ 250 (2≤r<10)Premio Zona 3 (Sector Azul): $ 115 (10≤r<20)Premio Zona 4 (Sector Azul Marino): $ 100 (20≤r≤30)

{ }100;0;15;150;900GR = −

El tiro impacta en el exterior del discoImpacto en Zona 4

Impacto en Zona 3Impacto en Zona 2

Impacto en Zona 1

Experimento aleatorio: Se efectúa un tiro al blanco en un disco de un 30 cm de radio, separado en sectores circulares de igual centro (ver figura). Las marcas que definen las zonas interiores están en 20 cm, 10 cm y 2cm.

x

yv.a.d.G: ganancia del jugador (en $) de acuerdo a la tabla de valores por zonas

Derecho a juego: $ 100Premio Zona 1 (Círculo central blanco): $ 1000 (0≤r<2)Premio Zona 2 (Sector Celeste): $ 250 (2≤r<10)Premio Zona 3 (Sector Azul): $ 115 (10≤r<20)Premio Zona 4 (Sector Azul Marino): $ 100 (20≤r≤30)

{ }100;0;15;150;900GR = −

( ) ( )1000

15150900

g P G g p g= =−

Supongamos un jugador con igual probabilidad de acierto dentro del disco que afuera, y que dentro del disco su disparo impacta en cualquier lugar por igual.

¿? ¿E(X)?

¿Con cuál pericia?

¿Cuál es la función de probabilidad puntual o distribución de probabilidad de G?

G: ganancia del jugador (en $) de acuerdo a la tabla de valores por zonas { }100;0;15;150;900GR = −

Jugador con igual probabilidad de acierto dentro del disco que afuera, y que dentro del disco su disparo impacta en cualquier lugar por igual.

A: el impacto del jugador da en el disco

A

A

1( )2

P A =

1( )2

P A =

Zi: el impacto del jugador da en la zona ii =1; 2; 3;4

Definición de eventos

14( / )

900P Z A =

Regla de Laplace adaptada a situaciones geométricas

2

1 2

2( / )30

P Z A π⋅=π⋅Z1

Z2

Z3

Z4

2 2

2 2

(10 2 )( / )30

P Z A π⋅ −=

π⋅2

96( / )900

P Z A =

2 2

3 2

(20 10 )( / )30

P Z A π⋅ −=

π⋅3

300( / )900

P Z A =

2 2

4 2

(30 20 )( / )30

P Z A π⋅ −=

π⋅

4500( / )900

P Z A =

área de la zona ( / )área total del disco

ii

ZP Z A =

¿?

( )

4 4

3 3

2 2

1 1

( ) ( )1100 ( 100)21 5000 ( ) ( ) ( / )2 9001 30015 ( ) ( ) ( / )2 9001 96150 ( ) ( ) ( / )2 9001 4900 ( ) ( ) ( / )2 900

g P G g p g

P A P G

P A Z P A P Z A

P A Z P A P Z A

P A Z P A P Z A

P A Z P A P Z A

= =

− = = − =

∩ = = ⋅

∩ = = ⋅

∩ = = ⋅

∩ = = ⋅

1 1 500 1 300 1 96 1 4( ) 100 0 15 150 900 37,52 2 900 2 900 2 900 2 900

E G = − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −

Interpretación: Este modelo de jugador tiene una pérdida esperada de $37,5 al hacer un tiro2( ) 8037,5 ( ) 6631,25 81,43GE G V G= = σ ≅

Experimento aleatorio: Un dado equilibrado se arroja dos veces y se anota el resultado cada vez

X: el mayor de los números entre los dos resultados (si son iguales, el número obtenido)

1

1 2 3 4 5 6

2

1 2 3 4 5 6

3

1 2 3 4 5 6

4

1 2 3 4 5 6

5

1 2 3 4 5 6

6

1 2 3 4 5 6

x 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6

y 0 1 -32 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 -4 -3 -2 -1 0 1 -5 -4 -3 -2 -1 0

Y: la diferencia entre el segundo y el primero de los resultados obtenidos

RX = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

RY = {-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

x 1 2 3 4 5 6

P(X = x) 136

336

536

736

936

1136

y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

P(Y = y) 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Función de probabilidad puntual o distribución de probabilidad

Experimento aleatorio: Un dado equilibrado se arroja dos veces y se anota el resultado cada vez

X: el mayor de los números entre los dos resultados (si son iguales, el número obtenido)

x P(X = x)1 1

362 3

363 5

364 7

365 9

366 11

361 2 3 4 5 6

1/36

9/36

x

p(x)

1 2 3 4 5 6

11/36

2 1( ) ( )36

1;2;3;4;5,6

xP X x p x

x

−= = =

=

x

F(x)

1/364/36

9/36

16/36

25/36

36/36

5/36

3/36

7/36

Función de probabilidad puntual o distribución de probabilidad

Función de distribución o función de probabilidad acumulada

0 11/ 36 1 1 24 / 36 2 1 3

( ) 9 / 36 3 416 / 36 4 525 / 36 5 61 6

X

x

F x xxx

x

< ≤ < ≤ <≡ ≤ < ≤ <

≤ < ≥

Sumar

ratseR

0 ( ) 1 Xp x x R• ≤ ≤ ∀ ∈ ( ) 1Xx R

p x∈

• =∑

( ),

: [0;1] / ( ) ( )X

X Xx R x t

F F t P X t p x∈ ≤

→ = ≤ = ∑R

1 2 3 4 5 6

1/364/36

9/36

16/36

25/36

x

F(x)1

Función de distribución o función de probabilidad acumulada

0 11/ 36 1 1 24 / 36 2 1 3

( ) 9 / 36 3 416 / 36 4 525 / 36 5 61 6

X

x

F x xxx

x

< ≤ < ≤ <≡ ≤ < ≤ <

≤ < ≥

( )2 5 (5) (2)(3) (4) (5) 21/ 36

(5 ) (2 ) 25 / 36 4 / 36

X x

X x

P X F Fp p pF F+ +

< ≤ = −

+ + =

− = −

( )2 5 (5) (1)(2) (3) (4) (5) 24 / 36

(5 ) (2 ) 25 / 36 1/ 36

X x

X x

P X F Fp p p pF F+ −

≤ ≤ = −

+ + + =

− = −

( )2 5 (4) (1)(2) (3) (4) 15 / 36

(5 ) (2 ) 16 / 36 1/ 36

X x

X x

P X F Fp p pF F− −

≤ < = −

+ + =

− = −

( )2 5 (4) (2)(3) (4) 12 / 36

(5 ) (2 ) 16 / 36 4 / 36

X x

X x

P X F Fp pF F− +

< < = −

+ =

− = −

( )4 (4) (3)(4) 5 / 36

(4 ) (4 ) 16 / 36 9 / 36

X x

X x

P X F FpF F+ −

= = −

=

− = −

( )4,7 (4,7) (4)(4,7) 0

(4,7 ) (4,7 ) 16 / 36 16 / 36

X x

X x

P X F FpF F+ −

= = −

=

− = −

( ) ( ) ( )X xP X a F a F aa

+ −= = −

∈R

( ) ( ) ( )X xP a X b F b F aa b

+ +< ≤ = −

<( ) ( ) ( )X xP a X b F b F a

a b

+ −≤ ≤ = −

<

( ) ( ) ( )X xP a X b F b F aa b

− −≤ < = −

<

( ) ( ) ( )X xP a X b F b F aa b

− +< < = −

<

ba

ba

ba

ba

Número de recorrido anterior a 2

FX(b) FX(a) FX en el valor del recorrido anterior a a FX en el valor del recorrido anterior a b

424 236

1 36 36

= =

( 4 / )P X A≤

X: el mayor de los números entre los dos resultados (si son iguales, el número obtenido)

Experimento aleatorio: Un dado equilibrado se arroja dos veces y se anota el resultado cada vez

A: el primer resultado obtenido es un 3

3

1 2 3 4 5 6

3 3 3 5 64x

P [(3,1)∪(3,2) ∪(3,3) ∪(3,4) ∪(3,5) ∪(3,6)]=6⋅(1/36)

( 4 / )P X A≤ =

P [(3,1)∪(3,2) ∪(3,3) ∪(3,4)]=4⋅(1/36)

4( 4 / )6

P X A≤ =

( )4( )

P X AP A≤ ∩ =

( 5 / 2)P X X≤ >

X: el mayor de los números entre los dos resultados (si son iguales, el número obtenido)

Experimento aleatorio: Un dado equilibrado se arroja dos veces y se anota el resultado cada vez

( ) ( )5 2( 2)

P X XP X≤ ∩ > =

>( )2 5

1 ( 2)P X

P X< ≤

=− ≤

(5) (2)( 5 / 2)1 (2)

F FP X XF−

≤ > =−

21

21

521 43

621 43 5

Valor esperado o esperanza de la v.a.d. X: [ ]( ) ( )X

Xx R

E X x p x∈

= µ = ⋅∑1 3 5 7 9 11 161( ) 1 2 3 4 5 6 ( 4,472)36 36 36 36 36 36 36XE X = µ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ≅

[ ] [ ]( ) ( ) ( )Xx R

E h X h x p x∈

= ⋅∑2 2 2 2 2 2 21 3 5 7 9 11 791( ) 1 2 3 4 5 6 ( 21,972)

36 36 36 36 36 36 36XE X = µ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ≅

{ } { }min ( )x XR E X MAX R≤ ≤

1 2 3 4 5 6

1/36

9/36

x

p(x)11/36

5/36

3/36

7/36

Valor esperado o esperanza de la v.a.d. X2:

Varianza o variancia de X: ( )2 2( ) ( ) ( ) ( )X

Xx R

V X E X E X x p x∈

= − = −µ ⋅ ∑2 2 2 2 2 2

2 161 1 161 3 161 5 161 7 161 9 161 11 2555( ) 1 2 3 4 5 636 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 1296XV X = σ = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =

Forma abreviada de calcular al varianza: ( ) [ ]22( ) ( )V X E X E X= −

2791 161 2555( )36 36 1296

V X = − =

( )X V Xσ =Desvío estándar de X 2555 1,4041296Xσ = ≅

1 2 3 4 5 6µ

µ −3σ

σ σ σσσσ

µ +3σ

Una compañía de seguros debe determinar la cuota anual a cobrarse por un seguro de $60000 por incendiosprovocados por desperfectos eléctricos en hogares de una zona urbana. Cuenta con la información, en base adatos estadísticos de la zona, de que ocurren 5 de estos incendios por cada mil hogares en el año y que en unmismo año los incendios no se repiten en un mismo hogar. Si X es la variable aleatoria que representa laganancia (en $) de la compañía de seguros, determinar el monto de la cuota anual para que la compañía nopierda, a pesar de tener un número grande de tales seguros.

La compañía conseguirá el objetivo planteado si pone un valor tal a la cuota (c en $) para que la ganancia esperada por hogar sea no negativa, esto es E(X) ≥ 0

( ) ( )512 60000

100099512

1000

X P X x p x

c

c

= =

⋅ −

⋅

I

I

I: Se produce el incendio5( )

1000P I =

995( )1000

P I = 5 995( ) (12 60000) 12 12 3001000 1000

E X c c c= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = −

12 300 0 25c c⋅ − ≥ ⇒ ≥

Rta. La compañía debe cobrar al menos $25 por mes.

Establecer la cuota de un seguro

Propiedades valor esperado y varianza

Sea X una v.a.d. con recorrido RX, P(X = x) = p(x) x∈RX, valor esperado E(X) y desvío estándar σX. Se propone la transformación Y = aX + b con a > 0. ¿Cuánto deben valer las constantes a y b para que E(Y) = 0 y σY = 1?

X v.a.d ( ) ( ) 1, 2,...,i iP X x p x i n= = =

1( ) [ ( )] [ ( )]

X

n

X i ix R i

E X x p x x p xµ∈ =

= = ⋅ =∑ ∑ 2 2 2

1( ) [( ) ( )] [( ) ( )]

X

n

X X i X ix R i

V X x p x x p xσ µ µ∈ =

= = − ⋅ = −∑ ∑

{ } 1

nX i i

R x=

= { }1 2; ; ;X nR x x x=

{ }1 1 2 2; ; ;Y n nR y ax b y ax b y ax b= = + = + = +1,2,...,i iY aX b y ax b i n= + ⇒ = + =

( ) ( ) ( ) ( ) 1, 2,...,i i i iP Y y p y p x P X x i n= = = = = =

1 1( ) [ ( )] [( ) ( )]

n n

Y i i i ii i

E Y y p y ay b p xµ= =

= = = +∑ ∑1 1[ ( )] [ ( )]

n n

i i ii i

ax p x bp x= =

= +∑ ∑1 1[ ( )] [ ( )]

n n

i i ii i

a x p x b p x= =

= +∑ ∑ Xa bµ= +

( ) ( )E Y aE X b= +

2 2

1( ) [( ) ( )]

n

Y i Y ii

V Y y p yσ µ=

= = − ⋅∑ 2

1{[( ) ( )] ( )}

n

i X ii

ax b a b p xµ=

= + − + ⋅∑2( ) ( ) Y XV Y a V X aσ σ= ⇒ =

2 2 2

1 1{[ ( )] ( )} [ ( ) ( )]

n n

i X i i X ii i

a x p x a x p xµ µ= =

= − ⋅ = − ⋅∑ ∑

( )E X 1

( ) 0XE Y a bµ= + =

2( ) ( ) 1Y XV Y a V X aσ σ= ⇒ = =

01

X

X

a baµσ

+ = =

1

X

aσ

=0Xσ >Xb aµ= −

0Y aX b a= + >

1 X

X X

Y X µσ σ

= −

( )X

X

XY µσ−

=

Estandarización de la variable

( ) 0E Y =

2( ) 1V Y =