Conceptos de Probabilidad y estadstica

Jhon Jairo Padilla A., PhD

Introduccin La ingeniera de trfico est soportada sobre conceptos de

probabilidad y estadstica como: Probabilidad Variable aleatoria

Estos conceptos se utilizan para describir parmetros como: Perodos de bloqueo Perodos de ocupacin Tiempos de espera Tiempos de servicio Tiempo de ocupacin de CPU Tiempos entre llegadas de:

Comunicaciones Paquetes

Todos estos tiempos son llamados Tiempos de Vida y sus funciones de distribucin de probabilidad son llamadas Distribuciones de tiempo.

Clculo de la probabilidad La probabilidad de que x

est entre a y b se calcula como la integral de f(x) de a hasta b.

f(x) es la funcin de distribucin de probabilidad

( ) ( )b

a

P a x b f x< < = Fuente: Montgomery, D. 2007

Funcin de distribucin acumulada Definicin:

La funcin de distribucin acumulada F(x) de una variable aleatoria contnua X con funcin de densidad f(x) es

para ( ) ( ) ( )x

F x P X x f t dt

= = x < <

Funciones de distribucin de los tiempos Un intervalo de tiempo puede describirse mediante una

variable aleatoria T (no negativa)que se caracteriza por una funcin de distribucin de probabilidad acumulada F(t):

La integral inicia en 0- para evitar posibles discontinuidades: Para sistemas de espera, es posible que la probabilidad de no tener

que esperar sea mayor que cero Para tiempos entre llegadas de llamadas o paquetes, se asume que la

probabilidad de que este tiempo sea cero es igual a cero.

0

( ) ( ) ( )

( ) 0; 0

t

F t P T t f x dx

F t t

= =

=

Supuestos comunes en Teletrfico Usualmente se asume que:

El tiempo de servicio es independiente de los procesos de llegada.

Los tiempos de servicio de diferentes procesos son independientes entre s.

Se asume que existe la media de la distribucin de tiempo. Se asume que la funcin F(t) es diferenciable, es decir:

( ) ( ) { }dF t f t dt p t T t dt= = < +

Caracterizacin de las distribuciones Una funcin se caracteriza por sus momentos. Las distribuciones de tiempo que slo asumen

argumentos no negativos poseen algunas propiedades que simplifican su modelamiento matemtico (p.ej. Identidad de Palm).

Momento no central i-simo:

A esta expresin se le conoce como la identidad de Palm.

1

00

{ } ( ) {1 ( )}i i iiE T m t f t dt it F t dt

= = =

Relacin Media, segundo momento y Varianza La media de una distribucin de tiempo es el primer

momento:

El segundo momento se obtiene como:

Un momento central se define como:

La varianza de una distribucin de tiempo es su segundo momento central:

1 10{( ) } ( ) ( )i iE T m t m f t dt

=

1 00

( ) {1 ( )}m t f t dt F t dt

= =

22 0

0

( ) 2 {1 ( )}m t f t dt t F t dt

= =

2 2 21 10

{( ) } ( ) ( )E T m t m f t dt

= =

Relacin Media, segundo momento y varianza Finalmente, estos se relacionan por la expresin:

Debe recordarse adems, que la Desviacin estndar () es la raz cuadrada de la varianza.

Medidas normalizadas de la dispersin La dispersin de los datos de una distribucin de

probabilidad se mide por la varianza y por la desviacin estndar.

Sin embargo, existen otras mediciones de la dispersin que son normalizadas (son coeficientes adimensionales): Coeficiente de variacin (CV):

Factor de forma de Palm (): 1CV

m

=

2

221 1

1 1mm m

= = +

Propiedades de los coeficientes Son adimensionales e independientes de la escala A mayor valor del coeficiente, mayor es la dispersin de

los datos (variabilidad) El valor mnimo del factor de forma de Palm () es 1

(cuando =0)

Estimacin de una distribucin de tiempo Mtodo de los momentos:

Para estimar una distribucin de tiempo a partir de observaciones, a menudo es suficiente con conocer sus dos primeros momentos, ya que los dems momentos requieren demasiadas observaciones para obtener resultados confiables.

Combinacin de variables aleatorias

Necesidad En ciertas situaciones aparecen tiempos de vida (variables

aleatorias) que estn organizados en serie o en paralelo o en una combinacin de ambas.

Se asume que los tiempos de vida son independientes y no-negativos.

Variables aleatorias en serie

Un encadenamiento de k intervalos de tiempo independientes corresponde a la adicin de k variables aleatorias independientes, es decir, la convolucin de las variables aleatorias.

La media y la varianza de la distribucin de tiempo resultante seran:

T1 T2 T3 Tk

1 2( ) ( ) ( ) . . . ( )kF t F t F t F t=

1 1,1

2 2

1

k

ii

k

ii

m m

=

=

=

=

Diagrama de Fases:

Convolucin para variables aleatorias Para v.a. contnuas, la convolucin se define como:

Para v.a. discretas, la convolucin ser:

0

* ( ) ( ) ( )t

x

f g t f t x g x d x=

=

0( ) ( ) ( )

i

jp q i p i j q j

=

=

Ejemplo Suponga un experimento de Bernoulli (dos posibles

resultados) con probabilidad de xito p(1)=p y con probabilidad de fracaso p(0)=(1-p)

Si se realizan S experimentos, el nmero de xitos (i) se calcula mediante una distribucin binomial:

Luego, si se realiza un experimento ms, el nmero de xitos se podra calcular mediante la convolucin:

( ) (1 )i S isS

p i p pi

=

Variables aleatorias en paralelo

Si cada v.a. tiene una probabilidad pi, entonces la unin de todas las probabilidades deber dar uno:

La media y la varianza de la distribucin resultante sern:

T1

T2

Tk

1 1,1

2 2 2 21, 1

1( )

k

i ii

k

i i ii

m p m

p m m

=

=

=

= +

11

k

ii

p=

=

1

1

( ) ( )

( ) ( )

k

i iik

i ii

F t p F t

f t p f t

=

=

=

=

Suma estocstica Por suma estocstica entendemos la suma de un nmero

aleatorio de variables aleatorias (Feller, 1950). Una suma estocstica se puede ver como una combinacin de

variables aleatorias (tiempos de servicio) en serie y en paralelo.

Suma estocstica Obsrvese que para una rama i

cualquiera, la media, la varianza y el segundo momento sern:

m1,t es la media de la variable tiempo de servicio para una variable aleatoria.

Sumando todas las ramas obtenemos los parmetros totales:

Suma estocstica: Aplicacin Aplicacin:

Consideremos un grupo de troncales sin congestin Los tiempos de llegada y los tiempos de servicio son estadsticamente

independientes Supongamos un tiempo fijo T El nmero de llegadas de llamadas es la variable aleatoria n, con funcin

de distribucin de probabilidad p(i), media m1,n y varianza 2n La i-sima llamada que llega tiene un tiempo de servicio Ti. Se asume

que todos los tiempos Ti tienen la misma distribucin de probabilidad. Cada llegada contribuir con un tiempo de servicio que es una variable

aleatoria t caracterizada por la distribucin f(t), media m1,t y varianza 2t Obsrvese que para la varianza total hay dos trminos que aportan:

la varianza de las llegadas de llamadas (n) y el trmino debido a la varianza de los tiempos de servicio (t).

Suma estocstica Aplicaciones para otras reas diferentes del teletrfico:

N podra denotar el nmero de lluvias y Ti podra denotar la precipitacin debida a la i-sima lluvia. ST es entonces la variable aleatoria que describe la precipitacin total durante un mes.

Variables Aleatorias para Teletrfico

Variables de Teletrfico Algunas variables importantes en tele-trfico son:

Tiempo de vida residual Carga de tiempos de servicios menores que x Tiempo de recurrencia de re-envo

Aqu slo explicaremos el tiempo de vida residual.

Tiempo de vida residual Es un tiempo t adicional que dura un proceso, dado que

ya tiene una edad x. Por tanto, se puede calcular la probabilidad de alcanzar

dicho tiempo de vida residual como:

Donde p{T>x}>0 y t>0

Tiempo de vida residual Y as:

Es la misma expresin de la diapositiva anterior

Conceptos de Probabilidad y estadsticaIntroduccinClculo de la probabilidadFuncin de distribucin acumuladaFunciones de distribucin de los tiemposFuncin de distribucin complementariaSupuestos comunes en TeletrficoCaracterizacin de las distribucionesRelacin Media, segundo momento y VarianzaRelacin Media, segundo momento y varianzaMedidas normalizadas de la dispersinPropiedades de los coeficientesEstimacin de una distribucin de tiempoCombinacin de variables aleatoriasNecesidadVariables aleatorias en serieConvolucin para variables aleatoriasEjemploVariables aleatorias en paraleloSuma estocsticaSuma estocsticaSuma estocstica: AplicacinSuma estocsticaVariables Aleatorias para TeletrficoVariables de TeletrficoTiempo de vida residualTiempo de vida residual