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1 Tema 1. Probabilidad y modelos probabil´ ısticos En este tema: Probabilidad Variables aleatorias Modelos de variables aleatorias m´ as comunes Vectores aleatorios Estad´ ıstica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11 Tema 1

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    Tema 1. Probabilidad y modelos probabilsticos

    En este tema:

    Probabilidad

    Variables aleatorias

    Modelos de variables aleatorias mas comunes

    Vectores aleatorios

    Estadstica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11 Tema 1

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    Tema 1. Probabilidad y modelos probabilsticos

    Probabilidad: Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos. Interpretaciones de la probabilidad. Propiedades de la probabilidad. Probabilidad condicionada. Sucesos Independientes. Teoremas fundamentales del calculo de probabilidades: regla de la

    multiplicacion, th. de la probabilidad total y th. de Bayes.

    Variables aleatorias: Concepto de variable aleatoria. Variables aleatorias discretas: funcion de probabilidad, funcion de

    distribucion, momentos. Variables aleatorias continuas: funcion de densidad, funcion de

    distribucion, momentos. Algunas propiedades de la esperanza y la varianza.

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    Tema 1. Probabilidad y modelos probabilsticos

    Modelos de variables aleatorias mas comunes: Distribucion Bernoulli Distribucion Binomial Distribucion de Poisson Distribucion uniforme continua Distribucion exponencial Distribucion normal Teorema Central del Lmite Distribuciones asociadas a la normal (Tema 4. Introduccion a la Inferencia Estadstica)

    Vectores aleatorios: Concepto de vector aleatorio. Vectores aleatorios discretos: distribucion conjunta, distribuciones

    marginales, distribuciones condicionadas, independencia. Vectores aleatorios continuos: distribucion conjunta, distribuciones

    marginales, distribuciones condicionadas, independencia. Covarianza, correlacion y esperanza condicionada. Algunas propiedades de la esperanza y la varianza

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    Conceptos basicos

    Experimento aleatorio: proceso de observar un fenomeno del que seconocen de antemano todos sus posibles resultados, pero a partir de lascondiciones iniciales no puede predecirse exactamente cual de estosresultados se producira.

    Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de unexperimento aleatorio.Se denota por = {e1, e2, . . . , en, . . .} y cada uno de sus elementos sedenomina suceso elemental o punto muestral.

    Un espacio muestral (correspondiente a un determinado experimentoaleatorio) tiene asociada una coleccion F no vaca de subconjuntos de .Los elementos de F se denominan sucesos y se denotan por las letrasA,B,C , . . ..

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    Conceptos basicos: ejemplos Experimento aleatorio: lanzamiento de un dado

    Espacio muestral finito: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sucesos elementales (o puntos muestrales): 1, 2,3,4, 5 y 6 Sucesos aleatorios: A =obtener una puntuacion par= {2, 4, 6},B =obtener una puntuacion superior a 3= {4, 5, 6}.

    Exp. aleatorio: numero de accesos a la pagina web de la universidad elproximo lunes

    Espacio muestral infinito numerable: = {0, 1, 2, . . . , n, . . .} = N {0} Sucesos elementales: 0, 1, 2, 3, . . . Sucesos aleatorios: A =se reciben al menos 100 accesos= {100, 101, . . .}

    y B =se reciben menos de 500 accesos= {0, 1, . . . , 499}. Exp. aleatorio: precio de una cierta accion al cierre de sesion del proximo

    lunes Espacio muestral infinito no numerable: = (0,+), o siendo realistas,

    = (0,M) Sucesos elementales: x (0,M) Sucesos aleatorios: A =el precio de cierre es superior a 5 euros= (5,M)

    y B =precio de cierre entre 3 y 8 euros= (3, 8).

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    Sucesos: conceptos basicosSucesos triviales Suceso seguro: siempre se verifica despues del experimento aleatorio. El

    propio espacio muestral Suceso imposible: nunca se verifica como resultado del experimento

    aleatorio. El conjunto vaco Suceso complementario o contrario a un suceso A: suceso que se verificacuando no se verifica A. Es el conjunto de todos los sucesos elementales de que no estan en A. Se suele denotar por Ac o A

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  • 7

    Operaciones basicas con sucesos aleatorios

    Interseccion de sucesos: Si A y B son dos sucesos del espacio muestral ,entonces el suceso interseccion, A B, es el conjunto de todos los elementosde que estan en A y en B a la vez.

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  • 8

    Operaciones basicas con sucesos aleatorios

    A y B son sucesos incompatibles si no tienen ningun suceso elemental encomun, i.e., el suceso interseccion es el suceso imposible, A B =

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  • 9

    Operaciones basicas con sucesos aleatorios

    Union de sucesos: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral ,entonces el suceso union, A B, es el conjunto de todos los sucesoselementales de que pertenecen a cualquiera de los dos, A o B.

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    Operaciones basicas con sucesos aleatorios

    Diferencia de sucesos: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral ,entonces el suceso diferencia, A \ B, es el conjunto de todos los sucesoselementales de que pertenecen a A pero no a B.

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    Operaciones basicas con sucesos aleatorios

    Leyes de Morgan

    Relacion entre la union, interseccion y suceso complementario

    A B = A BA B = A B

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    Ejemplo: lanzamiento de un dado

    Consideremos el experimento aleatorio resultado observado al lanzar undado:

    suceso elemental: el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6

    espacio muestral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} suceso: A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6}

    El suceso A es sale un numero par.El suceso B es sale un numero mayor que tres.

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    Ejemplo: lanzamiento de un dado

    = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6}

    Complementario:A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3}

    Interseccion:A B = {4, 6} A B = {1, 3}

    Union:A B = {2, 4, 5, 6} A B = {1, 2, 3, 5}

    A A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Sucesos incompatibles:

    A A =

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    Probabilidad. Intuicion

    La probabilidad es una medida subjetiva sobre la incertidumbre de que sucedacierto suceso.

    Al tirar un dado: la probabilidad de que salga un 1 es mas pequena que la probabilidad de

    que salga un numero mayor que uno

    la probabilidad de que salga un 4 es igual que la probabilidad de que salgaun 6.

    la probabilidad de que salga un 7 es mnima, igual a la probabilidad delsuceso imposible

    la probabilidad de que salga un numero positivo es maxima, igual a laprobabilidad del suceso seguro

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    Tres enfoques/interpretaciones

    Probabilidad clasica (regla de Laplace): Considera un experimento para elque todos los sucesos elementales son equiprobables. Si A es un sucesoformado por n(A) puntos muestrales, entonces se define la probabilidad de Acomo

    P(A) =numero de casos favorables a A

    numero de casos posibles=

    n(A)

    n().

    Enfoque frecuentista: Si repetieramos el experimento muchas veces, lafrecuencia con que ocurre el suceso sera una aproximacion de la probabilidad.

    Probabilidad el valor lmite de la frecuencia

    Probabilidad subjetiva: Depende de la informacion que tengamos en esemomento.

    Probabilidad creencia o certeza de que ocurra

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    Propiedades de la probabilidad

    Definicion Sea F la coleccion no vaca de todos los sucesos de . Laprobabilidad es una aplicacion P : F [0, 1], que asigna a cada suceso A Fun valor numerico P(A), verificando:

    P(A) 0, para todo suceso A F P() = 1

    Probabilidad de la union de sucesos disjuntos: si A y B son incompatibles,entonces P(A B) = P(A) + P(B).

    Propiedades

    Probabilidad del complementario: P(A) = 1 P(A). P() = 0. Si A B P(A) P(B) Si A = {e1, . . . , en} finito (o infinito numerable) P(A) =

    ni=1 P(ei )

    Probabilidad de la union: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).

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    Ejemplo: lanzamiento de un dado

    Probabilidad de un suceso elemental: P(ei ) =16

    Probabilidad de que salga par: A = {2, 4, 6}, luego

    P(A) = P(2) + P(4) + P(6) =1

    6+

    1

    6+

    1

    6=

    1

    2=

    n(A)

    n()

    Probabilidad de que salga mayor que 3: B = {4, 5, 6}, luego

    P(B) = P(4) + P(5) + P(6) =1

    6+

    1

    6+

    1

    6=

    1

    2=

    n(B)

    n()

    Probabilidad de que salga impar

    P(A) = 1 P(A) = 1 12

    =1

    2

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    Ejemplo: lanzamiento de un dado

    Probabilidad de que salga par o mayor que tres

    P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

    Como A B = {4, 6}, entonces P(A B) = 26 =13 =

    n(AB)n()

    P(A B) = 12

    +1

    2 1

    3=

    4

    6=

    2

    3=

    n(A B)n()

    Probabilidad de que salga par o igual a uno.Los sucesos A = {2, 4, 6} y C = {1} son incompatibles (A C = ) portanto

    P(A C ) = P(A) + P(C ) = 12

    +1

    6=

    4

    6=

    2

    3=

    n(A C )n()

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    Probabilidad condicionada: ejemploSe clasifica un grupo de 100 ejecutivos de acuerdo a su peso y a si sufren o node hipertension. La tabla muestra el numero de ejecutivos en cada categora.

    Insuficiente Normal Sobrepeso Total

    Hipertenso 2 8 10 20Normal 20 45 15 80

    Total 22 53 25 100

    Experimento aleatorio: seleccionar al azar a uno de esos 100 ejecutivospara medir su tension y su peso.

    Espacio muestral: = {(H, I ), (H,N), (H,S), (N, I ), (N,N), (N,S)} Si se elige un ejecutivo al azar, cual es la probabilidad de que tenga

    hipertension?

    P(H) =20

    100= 0, 2 6= n(H)

    n()

    Si se elige a una persona al azar, y se descubre que tiene sobrepeso, cuales la probabilidad de que tenga hipertension? Es la misma que antes?

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  • 20

    Probabilidad condicionada: ejemplo

    Probabilidad de que sea hipertenso, sabiendo que tiene sobrepeso:

    P(H|S)

    Para calcularla, nos fijamos solo en los ejecutivos con sobrepeso:

    P(H|S) = 1025

    = 0, 4 > 0, 2 = P(H)

    La probabilidad de un suceso depende de la mayor o menor informacion quetengamos

    La probabilidad condicionada, (o probabilidad condicional) es la probabi-lidad de que ocurra un suceso, dado que sabemos que ha ocurrido otrosuceso.

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    Probabilidad condicionada. Sucesos Independientes

    Probabilidad condicionadaSean dos sucesos A y B, la probabilidad de A condicionada por el suceso B es:

    P(A|B) = P(A B)P(B)

    Para que tenga sentido: P(B) > 0.

    Sucesos Independientes Intuitivamente: la ocurrencia de uno de ellos no nos dice nada nuevo

    sobre la ocurrencia del otro

    Definicion: se dice que dos sucesos A y B son independientes si

    P(A B) = P(A)P(B).

    Propiedad: dos sucesos A y B son independientes si, y solo si,P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B).

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  • 22

    Teoremas fundamentales del calculo de probabilidades

    Regla de la multiplicacion o formula de las probabilidadescompuestas

    Es util para calcular la probabilidad de la ocurrencia simultanea de variossucesos cuando las probabilidades condicionadas son faciles de calcular.

    P(A B) = P(A|B) P(B), siempre que P(B > 0). P(A B C ) = P(A) P(B|A) P(C |A B), siempre que P(A B) > 0. Se generaliza al calculo de la probabilidad de la interseccion de n sucesos

    A1, . . . ,An.

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  • 23

    Regla de la multiplicacion: ejemplo

    Se extraen dos cartas de una baraja espanola. Probabilidad de que:

    la primera carta sea copa: P(A) = 1248 .

    la segunda sea copa, sabiendo que la primera lo fue: P(B|A) = 1147 . las dos cartas sean copas: P(A B) = P(B|A) P(A) = 1147

    1248 .

    Se lanzan dos dados. Probabilidad de que:

    en el primer dado salga un 1: P(C ) = 16 .

    en el segundo dado salga un 1, sabiendo que en el primero salio 1:P(D|C ) = P(D) = 16 .

    en el primer dado salga un uno, si en el segundo salio uno:P(C |D) = P(C ) = 16 .

    en los dos dados salga uno:P(C D) = P(D|C ) P(C ) = P(D) P(C ) = 16

    16 (sucesos independientes)

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  • 24

    Teoremas fundamentales: teorema de la probabilidad totalUn conjunto de sucesos B1,B2, . . . ,Bk son mutuamente excluyentes si

    Bi Bj = , i 6= j .

    Si ademas de eso cumplen

    = B1 B2 . . . Bk ,

    se dice que forman una particion del espacio muestral.

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  • 25

    Teoremas fundamentales: teorema de la probabilidad total

    Si B1,B2, . . . ,Bk es una particion del espacio muestral tal que P(Bi ) 6= 0,i = 1, . . . , k , y A es un suceso cualquiera, entonces

    P(A) = P(A B1) + P(A B2) + . . .+ P(A Bk) == P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + . . .+ P(A|Bk)P(Bk).

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  • 26

    Teorema de la probabilidad total: ejemplo

    En una fabrica se embalan galletas en cuatro cadenas de montaje: A1, A2, A3,y A4. El 35% de la produccion total se embala en la cadena A1, el 20%, 24%y 21% en las cadenas A2, A3 y A4 respectivamente.Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeno delas cajas: el 1% en la cadena de montaje A1, el 3% en A2, el 2.5% en A3 y el2% en A4.Cual es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la produccion totalsea defectuosa (suceso D)?

    P(D) = P(D A1) + P(D A2) + P(D A3) + P(D A4)

    = P(D|A1)P(A1) + P(D|A2)P(A2) + P(D|A3)P(A3) + P(D|A4)P(A4)

    = 001 035 + 003 020 + 0025 024 + 002 021 = 00197.

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  • 27

    Teoremas fundamentales: teorema de Bayes

    Para dos sucesos A y B se tiene que

    P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)

    Ejemplo: (continuacion del anterior) Supongamos que descubrimos una cajadefectuosa, cual es la probabilidad de que la caja haya sido embalada en lacadena de montaje A1?

    P(A1|D) =P(D|A1)P(A1)

    P(D)=

    =0.01 0.35

    0.0197= 0.17766

    donde la probabilidad de que una caja elegida al azar sea defectuosa P(D) seha calculado aplicando el teorema de la probabilidad total.

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  • 28

    Teoremas fundamentales: teorema de Bayes

    Dada una particion del espacio muestral, B1,B2, . . . ,Bk , tal que P(Bi ) 6= 0,i = 1, . . . , k , y dado un suceso A, se tiene que

    P(Bj |A) =P(A|Bj)P(Bj)

    P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + . . .+ P(A|Bk)P(Bk)

    para todo j = 1 . . . , k

    Probabilidades a priori: p(B1), . . . , p(Bk)

    Probabilidades a posteriori: p(B1|A), . . . , p(Bk |A) Verosimilitudes: p(A|B1), . . . , p(A|Bk)

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  • 29

    Teoremas fundamentales: utilidad

    La aplicacion del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes esespecialmente util cuando:

    El experimento aleatorio se puede separar en 2 etapas

    Es sencillo dar una particion de todo el espacio muestral mediantesucesos B1, . . . ,Bk correspondientes a resultados en la primera etapa.

    Son conocidas, o facilmente calculables, las probabilidades a priori,p(B1), . . . , p(Bk).

    Son conocidas, o facilmente calculables, las verosimilitudes:p(A|B1), . . . , p(A|Bk), donde A es un suceso correspondiente a resultadosde la segunda etapa.

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  • 30

    Variables aleatorias

    Variable aleatoria: definicion

    Variables aleatorias discretas:

    Funcion de probabilidad

    Funcion de distribucion

    Momentos

    Variables aleatorias continuas:

    Funcion de densidad

    Funcion de distribucion

    Momentos

    Algunas propiedades de la esperanza y la varianza

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  • 31

    Variables aleatoria: definicion

    Sea el espacio muestral asociado a cierto experimento aleatorio y F elcorrespondiente conjunto de sucesos.

    Se denomina variable aletoria (v.a.) a una funcion X : R, que a cadaelemento ei le asigna un valor numerico X (ei ) = xi R.

    Intuitivamente, una variable aleatoria es una medida o cantidad que vara enfuncion del resultado concreto ei que se observa al realizar el experimentoaleatorio.

    La v.a. se denota con letras mayusculas, mientras que las letras minusculasindican el valor concreto que toma la v.a. cuando se evalua en un puntomuestral.

    Ejemplo:Lanzar un dado una vez. Considerar la v.a. X =resultado de la tirada.Cuantos sucesos elementales hay? Que valores puede tomar X ?

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  • 32

    Variables aleatoria: ejemplo

    Experimento aleatorio: lanzamiento de 3 dados

    Espacio muestral: = {111, 112, . . . , 665, 666}, de cardinaln() = 63 = 216

    Variable aleatoria X = numero de unos

    X : R

    X (abc) = 0,a, b, c = 2, 3, . . . , 6

    X (1ab) = X (a1b) = X (ab1) = 1,a, b = 2, 3, . . . , 6

    X (a11) = X (1a1) = X (11a) = 2,a = 2, 3, . . . , 6

    X (111) = 3

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  • 33

    Variables aleatorias: tipos

    V.a. discretaSi X toma valores sobre un conjunto S R finito o infinito numerable, se diceque X es una variable aleatoria discreta.

    V.a. continua

    Si X toma valores sobre un conjunto S R infinito no numerable (porejemplo, en intervalo o una union de intervalos), se dice que X es una variablealeatoria continua.

    El conjunto S R se denomina soporte de la variable aleatoria X .

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  • 34

    Variables aleatorias: ejemplos

    Variables aleatorias discretas resultado al tirar un dado, con soporte S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} finito numero de 1s obtenidos al lanzar 3 dados, con soporte S = {0, 1, 2, 3}

    finito

    numero de coches que pasan por cierto peaje en una semana, consoporte S = {0, 1, 2, . . .} = N {0} infinito numerable.

    Variables aleatorias continuas altura de una persona, puede considerarse S = [0,+). el tiempo de reaccion a cierto medicamento, puede considerarse

    S = [0,+).

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  • 35

    Variables aleatorias discretas

    Funcion de probabilidad

    Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores en el conjuntoS = {x1, x2, . . .}, finito o infinito numerable, con probabilidadesp1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), . . . .

    Se define la funcion de probabilidad de X o funcion de masa de X como

    P(X = x) =

    {pi , si x = xi S ,0, si x / S .

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  • 36

    Variables aleatorias discretasEjemploX =numero de 1s obtenidos al lanzar 3 dados. Como calculamosprobabilidades de X ?

    La probabilidad P : F R definida sobre los elementos de se transmite a X

    P(X = 0) = P({abc / a, b, c = 2, . . . , 6}) = 56 5

    6 5

    6= 0.5787

    P(X = 1) = P({{1ab} {a1b} {ab1}, a, b = 2, . . . , 6}) = 3 16 5

    6 5

    6= 0.3472

    P(X = 2) = P({{a11} {1a1} {11a}, a = 2, . . . , 6}) = 3 16 1

    6 5

    6= 0.0695

    P(X = 3) = P(111) =1

    6 1

    6 1

    6= 0.0046

    x 0 1 2 3P(X = x) 0.5787 0.3472 0.0695 0.0046

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  • 37

    Variables aleatorias discretas

    Funcion de probabilidad. Propiedades

    X variable aleatoria discreta que toma valores en el conjunto S = {x1, x2, . . .}con probabilidades p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), . . . .

    0 P(X = x) 1, para todo x R.

    xS

    P(X = x) =i

    P(X = xi ) =i

    pi = 1.

    P(X A) =xA

    P(X = x).

    P(X x) = P(X (, x ]) =i,xix

    P(X = xi ) =i,xix

    pi .

    P(X > x) = 1 P(X x).

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  • 38

    Variables aleatorias discretas

    Funcion de probabilidad. Representacion grafica

    La funcion de probabilidad se representa mediante un diagrama de barras

    Ejemplo

    X =numero de 1s obtenidos al lanzar 3 dados

    X P(x)0 0,57870371 0,34722222 0,06944443 0,0046296

    0,0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0 1 2 3

    Funcindeprobabilidad

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  • 39

    Variables aleatorias discretas

    Funcion de distribucionLa funcion de distribucion o funcion de probabilidad acumulada de una variablealeatoria X es una aplicacion F : R [0, 1], que a cada valor x R le asignala probabilidad F (x) = P(X x) = P(X (, x ]).

    Atencion! F (x) esta definida para todo x R y no solo para los x S .

    Propiedades 0 F (x) 1 para todo x R. F (y) = 0 para todo y < min S . Por tanto, F () = limxinfty = 0. F (y) = 1 para todo y max S . Por tanto, F () = limxinfty = 1. Si x1 x2, entonces F (x1) F (x2), es decir, F (x) es monotona no

    decreciente.

    Para todo a, b R,P(a < X b) = P(X (a, b]) = P((X (, b]) \ (X (, a])) =P(X (, b]) P(X (, a]) = F (b) F (a).

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  • 40

    Variables aleatorias discretas

    Funcion de distribucion: ejemplo

    X =numero de 1s al lanzar 3 dados.

    F (x) =

    0, si x < 0,

    0.5787, si 0 x < 1,

    0.5787 + 0.3472 = 0.9259, si 1 x < 2,

    0.5787 + 0.3472 + 0.0695 = 0.9954, si 2 x < 3,

    0.5787 + 0.3472 + 0.0695 + 0.0046 = 1, si x 3.

    OJO! valores x / S pueden tomar valores F (x) > 0.

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  • 41

    Variables aleatorias discretas

    Funcion de distribucion: representacion grafica

    X p(X=x)

    0 0,5787037

    1 0,34722222

    2 0,06944444

    3 0,00462963

    0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0 1 2 3

    Funcin de probabilidad

    p(X=x)

    1

    1,2

    X F(x)

    x

  • 42

    Momentos de una variable aleatoria discreta

    Los momentos sirven para resumir alguna informacion sobre la variablealeatoria

    Sea X una v.a. discreta con soporte S = {x1, x2, . . . }, y funcion deprobabilidad p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), . . . .

    Esperanza de X : momento de primer orden

    E (X ) = =xS

    xP(X = x) =i

    xiP(X = xi ) =i

    xipi

    Es una medida de localizacion

    En general, se define el momento de orden k como

    E (X k) =xS

    xkP(X = x) =i

    xki P(X = xi ) =i

    xki pi

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  • 43

    Momentos de una variable aleatoria discreta

    X =numero de 1s al lanzar 3 dados, con soporte S = {0, 1, 2, 3}El numero esperado de 1s al lanzar 3 dados equilibrados es:

    E (X ) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) =

    = 0.3472 + 0.139 + 0.0138 = 0.5

    X =resultado de lanzar un dado, con soporte S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y funcionde probabilidad

    x 1 2 3 4 5 6P(X = x) 16

    16

    16

    16

    16

    16

    Su valor esperado es:

    E (X ) =xS

    x P(X = x) = 1 16

    + 2 16

    + 3 16

    + 4 16

    + 5 16

    + 6 16

    =

    =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

    6=

    21

    6= 3.5

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  • 44

    Momentos de una variable aleatoria discretaSea X una v.a. discreta con soporte S = {x1, x2, . . . }, y funcion deprobabilidad p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), . . . .

    Varianza: momento centrado de segundo orden

    V (X ) = 2 = E [(X E (X ))2] =xS

    (x )2P(X = x) =i

    (xi )2P(X = xi ) =

    =i

    (xi )2pi =i

    x2i pi 2 = E (X 2) E (X )2

    Desviacion tpica: =2 =

    E [(X )2]

    Son medidas de dispersion (alrededor del valor esperado)

    En general, se define el momento centrado de orden k como

    E ((X)k) =xS

    (x)kP(X = x) =i

    (xi)kP(X = xi ) =i

    (xi)kpi

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  • 45

    Momentos de una variable aleatoria discreta

    X =numero de 1s al lanzar 3 dados, con soporte S = {0, 1, 2, 3}. Suvarianza es:

    V (X ) = E((X )2) = (0 0.5)2 P(X = 0) + (1 0.5)2 P(X = 1)+

    + (2 0.5)2 P(X = 2) + (3 0.5)2 P(X = 3) == 0.25 0.5787 + 0.25 0.3472 + 2.25 0.0695 + 6.25 0.0046 = 0.4167

    X =resultado de lanzar un dado, con soporte S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suvarianza es:

    V (X ) = E((X )2) = E(X 2) 2 =xS

    x2 P(X = x) 2 =

    =1

    6

    (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62

    ) 3.52 = 91

    6 12.25 = 2.9167

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  • 46

    Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta

    Ejemplo

    X =numero de caras al tirar una moneda dos veces.

    El espacio muestral asociado al experimento aleatorio lanzamiento de dosmonedas es = {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz , cara), (cruz , cruz)}. Lavariable X toma valores en S = {0, 1, 2} con probabilidades P(X = 0) = 1/4,P(X = 1) = 1/4 + 1/4 = 1/2, P(X = 2) = 1/4.

    Por tanto, la funcion de probabilidad de X es

    x 0 1 2P(X = x) 14

    12

    14

    Calculamos su esperanza y varianza:

    E (X ) =xS

    x P(X = x) = 01

    4+ 1

    1

    2+ 2

    1

    4= 1,

    V (X ) =xS

    (x E (X ))2 P(X = x) = (01)2 14

    +(11)2 12

    +(21)2 14

    =1

    2.

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  • 47

    Variables aleatorias continuas

    Funcion de densidadLas probabilidades de una variable aleatoria continua se calculan a partir deuna funcion f : R [0,+) denominada funcion de densidad.

    Propiedades f (x) 0 para todo x R. f (x) dx = 1, es decir, el area total de la funcion de densidad es 1.

    Para todo a, b R, P(a X b) = P(X [a, b]) = ba

    f (x) dx es elarea que determina la funcion de densidad de X sobre el intervalo [a, b].

    Los intervalos [a, b], (a, b), (a, b] y [a, b) tienen la misma probabilidad.

    Soporte de X : S = {x R / f (x) > 0}Atencion! La funcion de densidad juega el mismo papel que la funcion deprobabilidad para v.a. discretas.

    Solo tiene sentido calcular probabilidades de intervalos: P(X = x) = 0 paratodo x R.Estadstica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11 Tema 1

  • 48

    Variables aleatorias continuas

    Funcion de distribucionPara una v.a. continua X , la funcion de distribucion se define como la funcionF (x) = P(X x) = P(X (, x ]) =

    x f (t) dt, para todo x R.

    Igual que en el caso discreto, la funcion F (x) da las probabilidades acumuladashasta el punto x R, pero ahora se trata de una funcion continua y no de tipoescalon. Dos ejemplos son:

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  • 49

    Variables aleatorias continuas

    Propiedades 0 F (x) 1, para todo x R. F () = 0. F () = 1. Si x1 x2, entonces F (x1) F (x2), es decir, F (x) es no decreciente. Para todo a, b R, P(a X b) = F (b) F (a). La funcion de densidad de X se obtiene derivando la funcion de

    distribucion, es decir, f (x) = F (x).

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  • 50

    Variables aleatorias continuas

    Ejemplo

    Una variable aleatoria X tiene funcion de densidad

    f (x) =

    {3 x2, si x (0, 1),0, si x / (0, 1)

    Como es la grafica de la funcion de densidad de X ?

    Indicar cual es el area asociada a la probabilidad P(X > 1/2).

    Calcular la probabilidad P(X > 1/2).

    Obtener la funcion de distribucion de X .

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  • 51

    Variables aleatorias continuas

    Ejemplo

    Una variable aleatoria X tiene funcion de densidad

    f (x) =

    {12x2(1 x), si 0 < x < 1,0, en otro caso.

    P(X 0.5) = 0.5

    f (u)du =

    0.50

    12u2(1 u)du = 0.3125

    P(0.2 X 0.5) = 0.5

    0.2

    f (u)du =

    0.50.2

    12u2(1 u)du = 0.2853

    F (x) = P(X x) = x

    f (u)du =

    0, si x 0,12(

    x3

    3 x4

    4

    ), si 0 < x 1,

    1, si x > 1.

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  • 52

    Momentos de una variable aleatoria continua

    Sea X una v.a. continua con soporte S R, y funcion de densidad f .

    Esperanza de X : momento de primer orden

    E (X ) = =

    S

    xf (x)dx

    Es una medida de localizacion

    En general, se define el momento de orden k como

    E (X k) =

    S

    xk f (x)dx

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  • 53

    Momentos de una variable aleatoria continua

    Ejemplo

    Una variable aleatoria X tiene funcion de densidad

    f (x) =

    {12x2(1 x), si 0 < x < 1,0, en otro caso.

    Calculamos su esperanza:

    E (X ) =

    R

    x f (x)dx = 1

    0

    x 12x2(1 x)dx

    =

    10

    12(x3 x4)dx = 12(x4

    4 x

    5

    5

    )10

    = 12

    (1

    4 1

    5

    )=

    3

    5

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  • 54

    Momentos de una variable aleatoria continua

    Sea X una v.a. continua con soporte S R, y funcion de densidad f .

    Varianza: momento centrado de segundo orden

    V (X ) = 2 = E [(X E (X ))2] =S

    (x )2f (x)dx =

    = E (X 2) E (X )2 =S

    x2f (x)dx 2

    Desviacion tpica: =2 =

    E [(X )2]

    Son medidas de dispersion (alrededor del valor esperado)

    En general, se define el momento centrado de orden k como

    E ((X )k) =S

    (x )k f (x)dx

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  • 55

    Momentos de una variable aleatoria continua

    Ejemplo

    f (x) =

    {12x2(1 x), si 0 < x < 1,0, en otro caso.

    Calculamos su varianza:

    var(X ) = E [(X E (X ))2]

    =R (x E (X ))

    2 f (x)dx

    = 1

    0

    (x 35

    )2 12x2(1 x)dx= 1

    012(x5 + 115 x

    4 3925 x3 + 925 x

    2)

    dx

    = 12( 16 x

    6 + 11515 x

    5 392514 x

    4 + 92513 x

    3) 1

    0

    = 12( 16 +

    115

    15

    3925

    14 +

    925

    13

    )= 0.04

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  • 56

    Ejemplo de repaso: distribucion uniforme en (3,5)

    Algunas probabilidades

    Una variable aleatoria X que sigue una distribucion uniforme en el intervalo(3, 5) tiene funcion de densidad

    f (x) =

    {1

    53 =12 , si x (3, 5)

    0, si x / (3, 5).

    dist. uniforme

    Calculamos algunas probabilidades:

    P(X 0.5) = 0.5 f (u)du = 0

    P(X 4) = 4 f (u)du =

    43

    12 du =

    12 u|

    43 =

    12

    P(3.5 X 4.5) = 4.5

    3.5f (u)du =

    4.53.5

    12 du =

    12

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  • 57

    Ejemplo de repaso: distribucion uniforme en (3,5)

    Funcion de distribucion

    F (x) = P(X x) = x

    f (u)du = . . .

    Si x 3 entonces F (x) = P(X x) = 0. Si 3 x < 5 entonces F (x) = P(X x) =

    x3

    12 du =

    u2 |

    x3 =

    x32 .

    Si x 5 entonces F (x) = P(X x) = 5

    312 du =

    u4

    53 =

    532 = 1.

    F (x) =

    0, si x 3,x3

    2 , si 3 < x < 5,1, si x 5.

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  • 58

    Ejemplo de repaso: distribucion uniforme en (3,5)

    Esperanza

    E (X ) =R x f (x)dx =

    53

    x 12 dx =x2

    4

    53

    = 5232

    4 = 4

    Varianza

    var(X ) =R x

    2 f (x)dx E 2[X ]

    = 5

    3x2

    2 dx 42 = x

    3

    6

    53 16 = 0.33

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  • 59

    Esperanza de una transformacionSea X una variable aleatoria y sea g(X ) una transformacion de X . Entonces:

    E (g(X )) =

    xS

    g(x)P(X = x), si X v.a. discretaS

    g(x)f (x)dx , si X v.a. continua

    Ejemplo: si tomamos g(X ) = kX , con k R constante, entonces

    E (kX ) =

    xS

    kxP(X = x) = kE (X ), si X v.a. discretaS

    kxf (x)dx = kE (X ), si X v.a. continua

    Para la varianza tenemos,

    V (kX ) =

    xS

    (kx k)2P(X = x) = k2V (X ), si X v.a. discretaS

    (kx k)2f (x)dx = k2V (X ), si X v.a. continua

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  • 60

    Algunos modelos probabilsticos

    Variables aleatorias discretas mas comunes Ensayos de Bernoulli

    Distribucion Binomial

    Distribucion de Poisson

    Variables aleatorias continuas mas comunes Distribucion uniforme continua

    Distribucion exponencial

    Distribucion normal

    Teorema Central del Lmite

    Distribuciones asociadas a la normal (Tema 4. Introduccion a la Inferencia Estadstica)

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  • 61

    Ensayos de Bernoulli

    Descripcion / Definicion

    Es una forma de modelar estadsticamente cualquier experimento aleatorio quetenga solamente dos resultados posibles, mutuamente excluyentes, que suelenllamarse exito y fracaso, con la condicion de que la probabilidad de estos dosresultados se mantenga constante en cada realizacion del experimento(experimentos o ensayos de Bernoulli).

    Si la probabilidad de exito es p (por tanto, la de fracaso es 1 p), se define lavariable aleatoria de Bernoulli como

    X =

    {1, si se observa un exito,0, si se observa un fracaso.

    Soporte de X : S = {0, 1}, con probabilidades P(X = 0) = 1 p = q,P(X = 1) = p.

    Para denotar que X sigue una distribucion Bernoulli de parametro pescribiremos X Ber(p).

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  • 62

    Ensayos de Bernoulli

    Ejemplo

    Resultado de lanzar una moneda al aire

    X =

    {1, sale cara,0, si sale cruz.

    Es un ensayo Bernoulli, donde se ha considerado como exito el observar unacara. X sigue una distribucion Bernoulli de parametro 1/2 (si la moneda noesta trucada).

    Ejemplo

    Una lnea aerea estima que los pasajeros que compran un billete no sepresentan al embarque con una probabilidad de 0.05.Definimos

    Y =

    {1, si el pasajero se presenta,0, si el pasajero no se presenta.

    Y sigue una distribucion Bernoulli con parametro 0.95.

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  • 63

    Ensayos de Bernoulli

    Funcion de Probabilidad:

    P(X = 0) = 1 p P(X = 1) = p

    Funcion de distribucion:

    F (x) =

    0, si x < 01 p, si 0 x < 11, si x 1

    Propiedades E (X ) = 0 P(X = 0) + 1 P(X = 1) = 0 (1 p) + 1 p = p E (X 2) = 02 P(X = 0) + 12 P(X = 1) = 02 (1 p) + 12 p = p V (X ) = E (X 2) E (X )2 = p p2 = p(1 p) = pq

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  • 64

    Distribucion Binomial

    Descripcion / Definicion

    Se realizan n ensayos de Bernoulli independientes con la misma probabilidad deexito p. La v.a. X que cuenta el numero de exitos observados en estos nensayos se dice que sigue una distribucion Binomial de parametros n y p y seescribe X B(n, p).La v.a. X toma valores en S = {0, 1, 2, . . . , n} y su funcion de probabilidadviene dada por la formula

    P(X = x) =(n

    x

    )px (1 p)nx , x = 0, 1, . . . , n, 0 p 1,

    donde(nx

    )= n!x!(nx)! , para 0 x n. Recordad que, por convenio, 0! = 1.

    Propiedades

    E (X ) = np, V (X ) = np(1 p) = npq.

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  • 65

    Distribucion Binomial

    Ejemplo

    La lnea aerea del ejemplo anterior ha vendido 80 billetes para un vuelo. Laprobabilidad de que un pasajero no se presente al embarque es de 0.05.Definimos X = numero de pasajeros que se presentan al embarque. Entonces(suponiendo independencia)

    X B(80, 0.95)

    La probabilidad de que los 80 pasajeros se presenten es

    P(X = 80) =

    (80

    80

    )0.9580 (1 0.95)8080 = 0.0165

    La probabilidad de que al menos un pasajero no se presente es

    P(X < 80) = 1 P(X = 80) = 1 0.0165 = 0.9835

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  • 66

    Distribucion Binomial: funcion de probabilidadLa funcion de probabilidad de X B(80, 0.95) es

    68 70 72 74 76 78 80

    0.00

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    Binomial Distribution: Trials = 80, Probability of success = 0.95

    Number of SuccessesP

    roba

    bilit

    y M

    ass

    Cambiando la probabilidad de exito:

    25 30 35 40 45 50 55

    0.00

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    Binomial Distribution: Trials = 80, Probability of success = 0.5

    Number of Successes

    Pro

    babi

    lity

    Mas

    s

    5 10 15

    0.00

    0.05

    0.10

    0.15

    Binomial Distribution: Trials = 80, Probability of success = 0.1

    Number of Successes

    Pro

    babi

    lity

    Mas

    s

    Estadstica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11 Tema 1

  • 67

    Distribucion de Poisson: sucesos raros

    Descripcion / Definicion

    Cuenta el numero de sucesos raros que ocurren en una determinada unidad detiempo o de espacio. Por ejemplo, llamadas de telefono en una hora, erratas enuna pagina, accidentes de trafico a la semana, . . .

    Una v.a. X sigue una distribucion de Poisson de parametro , y se denotarapor X Pois(), si su funcion de probabilidad es

    P(X = x) = ex

    x!, para x = 0, 1, 2, . . .

    Observad que X toma valores en S = {0, 1, 2, . . .} = N {0}.

    Propiedades

    E (X ) = , V (X ) = .

    representa el numero medio de sucesos que se producen por unidad detiempo o de espacio.

    Exponencial

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  • 68

    Distribucion de Poisson: sucesos raros

    Propiedad de la Poisson

    Si X Pois() y representa el numero de sucesos raros en una unidad detiempo o de espacio, e Y es una variable aleatoria que representa el numero dedichos sucesos raros en s unidades, se tiene que:

    Y Pois(s)

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  • 69

    Distribucion de Poisson: sucesos raros

    Ejemplo

    El numero medio de erratas por transparencias es de 0.2. Sea X es la v.a. quecuenta el numero de erratas por transparencia, entonces

    X Pois(0.2)

    Cual es la probabilidad de que en una transparencia no haya erratas?

    P(X = 0) = e0.20.20

    0!= e0.2 = 0.8187.

    Cual es la probabilidad de que en 4 transparencias haya exactamente unaerrata?Sea Y la v.a. que cuenta el numero de erratas en 4 transparencias. Entonces:

    Y Pois(0.2 4) = Pois(0.8)

    P(Y = 1) = e0.80.81

    1!= e0.8 0.8 = 0.3595.

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  • 70

    Distribucion uniforme

    Descripcion / Definicion

    Se dice que una variable X sigue una distribucion uniforme en el intervalo(a, b), y se denota por X U(a, b), si su funcion de densidad es

    f (x) =

    {1

    ba , si x (a, b),0, si x / (a, b).

    Esta v.a. queda definida por los extremos del intervalo, es decir, a y b son susparametros.

    Propiedades

    E (X ) = a+b2 , V (X ) =(ba)2

    12 .

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  • 71

    Distribucion uniforme

    Estadstica I. ECO/ Dobles grados ECO-DER y ADE-INF 2010/11 Tema 1

  • 72

    Distribucion exponencial

    Descripcion / Definicion

    La distribucion exponencial es aquella que modela el tiempo transcurrido entredos sucesos que se producen de forma independiente, separada y uniforme enel tiempo.

    Se dice que una v.a. X sigue una distribucion exponencial de parametro , yse denota por X exp(), si su funcion de densidad es

    f (x) = ex , para x 0.

    Observad que X toma valores en el conjunto S = [0,+).

    Ejemplos Tiempo entre llegadas de camiones al punto de descarga.

    Tiempo entre llamadas de emergencia.

    Tiempo de vida de una bombilla.

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  • 73

    Distribucion exponencial

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  • 74

    Distribucion exponencial

    Propiedades

    E (X ) = 1 V (X ) = 12 Funcion de distribucion:

    F (x) =

    {1 ex , si x 0,0, si x < 0.

    Esta relacionada con la distribucion de Poisson. Poisson

    es el numero medio de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo.

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  • 75

    Distribucion exponencial

    Ejemplo

    Hemos observado que en cierta provincia se producen, en promedio, 50incendios serios cada ano. Suponemos que estos incendios se producen deforma independiente y decidimos modelar el numero de incendios por anomediante una distribucion Poisson.

    Cual es el tiempo medio que transcurre entre dos incendios consecutivos?

    Si acaba de ocurrir un incendio cual es la probabilidad de que el proximose produzca al cabo de dos semanas?

    Sabemos que:

    El numero de incendios por ano N Pois() con = 50. El tiempo entre dos incendios X exp() con = 50. El tiempo medio entre dos incendios E (X ) = 1 = 1/50 anos, 7.3 das.

    Dos semanas, en anos son: 27365 = 0.03836,

    P[X > 0.03836] = 1 P[X 0.03836] = 1 (1 e500.03836) = 0.147.

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  • 76

    Distribucion normal

    Descripcion / Definicion

    La distribucion normal describe una variable aleatoria ideal. Se trata de unmodelo teorico que aproxima bien muchas situaciones reales.La inferencia estadstica se fundamenta basicamente en la distribucion normaly en distribuciones que se derivan de ella.

    Se dice que una v.a. X sigue una distribucion normal o gausiana conparametros y , y se denota por X N (, ), si su funcion de densidad es

    f (x) =1

    2exp

    { 1

    22(x )2

    }

    Propiedades

    E (X ) = , V (X ) = 2.

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  • 77

    Distribucion normal

    Funcion de densidad para 3 valores distintos de y

    0,15

    0,2

    0,25

    0,3

    0,35

    0,4

    0,45

    N(0,1)

    N(5,1)

    N(0,9)

    -0,05

    0

    0,05

    0,1

    0,15

    0,2

    0,25

    0,3

    0,35

    0,4

    0,45

    -15 -10 -5 0 5 10 15

    N(0,1)

    N(5,1)

    N(0,9)

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  • 78

    Distribucion normal

    Propiedad

    Si X N (, ), entonces: P( < X < + ) 0.683 P( 2 < X < + 2) 0.955 P( 3 < X < + 3) 0.997

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  • 79

    Distribucion normal

    Transformacion lineal

    Y = a + b X N (a + b, |b|)

    Estandarizacion o Tipificacion

    Si X N (, ), considero

    Z =X

    N (0, 1)

    Se llama distribucion normal estandar.

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  • 80

    Distribucion normal: EjemploSea Z N(0, 1). Calculemos algunas probabilidades:

    P(Z < 1.5) = 0.9332 = DISTR.NORM(1.5;0;1;VERDADERO)

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  • 81

    Distribucion normal: Ejemplo (cont.)

    P(Z > 1.5) = P(Z < 1.5) = 0.9332 por que?

    P(Z < 1.5) = P(Z > 1.5) = 1 P(Z < 1.5) =

    = 1 0.9332 = 0.0668 por que no ?

    P(1.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) P(Z < 1.5) =

    = DISTR.NORM(1.5;0;1;VERDADERO) DISTR.NORM(-1.5;0;1;VERDADERO)

    = 0.9332 0.0668 = 0.8664

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  • 82

    Distribucion normal: Ejemplo

    Sea X N( = 2, = 3). Para calcular P(X < 4), si no tenemos ordenador,hay que recurrir a las tablas de la distribucion normal estandar. Para ello,tipificamos la variable original:

    P(X < 4) = P

    (X 2

    3