tema 5,introduccion a la probabilidad

MAESTRÍA EN BANCA VALORES Y SEGUROS( 2DA EDICIÓN – 2DA VERSIÓN )Msc Jorge Mario Jimenez Aviles

10 de 2011Santa Cruz - Bolivia

PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADISTICA

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

TEMA 5

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

El azar resulta en principio algo que engloba una serie de causas complejas que renunciamos a determinar y estudiar en detalles por difíciles de precisar, porque desconocemos

LA PROBABILIDAD CON MEDIDA NUMERICA DE LA POSIBILIDAD DE OCURRENCIA

POSIBILIDAD CRECIENTE DE OCURRENCIA

Probabilidad

0 10,5

La ocurrencia del evento es igualmente probable que improbable

EXPERIMIENTOS Y EL ESPACIO MUESTRAL

CUANDO HAYAMOS DEFINIDO TODOS LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES POSIBLES, HABREMOS IDENTIFICADO EL

ESPACIO MUESTRA

Experimento aleatorio

Aquellos fenómenos con las siguientes propiedades:

a. No se conoce a priori el resultado

b. Se conocen todos los resultados posibles.

c. Se lo puede repetir bajo las mismas condiciones.

Espacio Muestral

Se denomina al conjunto de todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio.

Se lo nota con la letra S.

Se tiran dos monedas:

S = {(C,C);(C,+);(+,C);(+, +)}

Eventos

Cada subconjunto del espacio muestral (del conjunto de resultados) se denomina evento.

Si el evento consta de un solo elemento de S se lo denomina evento elemental o punto muestral.

Si consta de más elementos recibe el nombre de evento compuesto.

S se lo llama evento seguro

Al evento que no contiene ningún punto muestral se lo llama evento imposible (Ø).

Función de probabilidad

Para una variable discreta es una función que cumple con:

p(x)>=0

Σx p(x)=1

Definición de probabilidad

Supongamos tener un s con un numero finito de eventos simples, igualmente posibles.

Llamaremos probabilidad de un evento A al cociente entre el número de eventos simples contenidos en A sobre el número total de eventos simples.

P(A) = n

nA

n

nA

METODOS PARA DETERMINAR PROBABILIDADES

METODO CLASICOMETODO DE FRECUENCIA

RELATIVAMETODO SUBJETIVO

METODO CLASICO

CUANDO COMO BASE PARA ASIGNAR LAS PROBABILIDADES SE UTILIZA LA SUPOSICION DE UN RESULTADO CON IGUAL POSIBILIDAD, EL PROCEDIMIENTO SE CONOCE COMO METODO CLASICO.EL METODO CLASICO ASIGNARA UNA PROBABILIDAD DE 1/n A CADA RESULTADO EXPERIMENTAL

EjemploConsideremos el experimento de arrojar dos dados:

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

ESPACIO

MUESTRAL

Sea el evento A={sacar un total de 8 puntos}.

Numero de eventos simples que están contenidos en A:

(6,2); (5,3); (4,4); (3,5);(2,6). Y el numero total de eventos elementales:

36.

365)( AP 13.9%

Frecuencia relativa

Podemos encarar entonces dos tipos de problemas:

a. Cuando se conoce la probabilidad de un fenómeno, tenemos un valor guía de la frecuencia relativa que debemos esperar al aumentar el numero de experiencias.

b. Cuando no conocemos la probabilidad, y la experiencia es grande, podemos tomar la frecuencia relativa como un valor aproximado de la probabilidad.

% FRECUENCIA LANZAR DOS DADOS

frec uenc ia 254

05

10152025303540

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

frecuencia 60

0

2

4

6

8

10

12

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

frecuencia 30

0

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

numerofrec uenc ia

254frec uenc ia

60frec uenc ia 30

% F R E C 254

% F R E C 60 % F R E C 30

2 7 3 3 3% 5% 10%3 14 2 1 6% 3% 3%4 15 2 1 6% 3% 3%5 30 6 4 12% 10% 13%6 40 9 6 16% 15% 20%7 48 10 6 19% 17% 20%8 31 7 3 12% 12% 10%9 34 9 2 13% 15% 7%10 23 7 3 9% 12% 10%11 9 4 1 4% 7% 3%12 3 1 0 1% 2% 0%

254 60 30 100% 100% 100%

METODO SUBJETIVO

METODO CLASICO Y DE FRECUENCIA RELATIVA NO PUEDE APLICARSE EN TODAS LAS SITUACIONES DONDE SE DESEA ASIGNAR PROBABILIDADES

METODO SUBJETIVO

EN EL METODO SUBJETIVO DE ASIGNAR PROBABILIDADES PODEMOS UTILIZAR CUALQUIER DATO DISPONIBLE ADEMAS DE NUESTRA EXPERIENCIA E INTUICION

DEBEN CUMPLIR:

p(x)>=0

Σx p(x)=1

RELACIONES DE PROBABILIDAD BASICAS

• COMPLEMENTO DE UN EVENTO

• LEY ADITIVA– EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

• PROBABILIDAD CONDICIONAL

COMPLEMENTO DE UN EVENTO

PARA UN EVENTO A, EL COMPLEMENTO DEL EVENTO A ES AQUEL EVENTO QUE CONTIENE TODOS LOS PUNTOS MUESTRALES NO EXISTENTES EN A. EL COMPLEMENTO DE A SE IDENTIFICA COMO A’

P(A’) = 1 - P(A)

E espacio muestral

E espacio muestral

A

E espacio muestral

A

A’

LEY ADITIVA

PARA DOS EVENTOS A y B, LA UNION DE LOS EVENTOS A y B ES AQUEL EVENTO QUE CONTIENE TODOS LOS PUNTOS MUESTRALES EXISTENTES a A o a B o a AMBOS

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A B)

E espacio muestral

A

B

E espacio muestral

A

B

UNIÓN

E espacio muestral

E espacio muestral

A

B

INTERSEC.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

E espacio muestral

100%

E espacio muestral

B

A

SE DICE QUE DOS O MAS EVENTOS SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES SI LOS EVENTOS NO TIENEN NINGUN PUNTO MUESTRAL EN COMUN, ESTO ES NO EXISTEN PUNTOS MUESTRALES EN LA INTERSECCION DE LOS EVENTOS

PARA EL CASO DE DOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES LA LEY ADITIVA SE CONVIERTE EN:

P(AUB)=P(A)+P(B)

TODA VEZ QUE P(A B) = 0

PROBABILIDAD CONDICIONAL

• Llamaremos probabilidad condicional P(B/A), a la

probabilidad de B habiendo ocurrido A. • Como se sabe que A ha ocurrido, ella se vuelve el nuevo

espacio muestral, reemplazando el S original

)/()()(

)(

)()/(

ABPAPBAP

AP

BAPABP

Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

AULA


MUJERES

70%

HOMB

30%


MUJERES

70%

HOMB

30%

FUMANFUMAN

FUMAN 10% DEL TOTAL 100% DE MUJERES

FUMAN 20% DEL TOTAL DE HOMBRES


MUJERES

70%

HOMB

30%

FUMAN FUMAN10%

90%NO

80%NO

20%

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

Ejemplo: En un aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

MUJERES

70%

HOMB

30%

FUMAN FUMAN10%

90%NO

80%NO

20%

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%


FUMAN 13%

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

NO FUMAN 87%


FUMAN 13%

– P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)

NO FUMAN 87%

MUJER HOMB

0,2 x 0,3P(F ∩ H) =

P(H|F) = (0,2 x 0,3)/0,13

= 0,46 = 46%

31

Expresión del problema en forma de arbol

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2

P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)

• Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

• Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

• Puedes resolver los problemasusando la técnica de tupreferencia.

32Nombre del Módulo direcció[email protected]

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