tema 4: probabilidad y teoría de muestras - estadística...

Tema 4: Probabilidad y Teoría de MuestrasEstadística. 4o Curso.

Licenciatura en Ciencias Ambientales

Licenciatura en Ciencias Ambientales (4o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso 2008-2009 1 / 15

Índice

1 Introducción

2 Espacio de probabilidad

3 Variables aleatorias.Independencia

4 Parámetros de una variable aleatoria

5 Principales distribuciones de probabilidad

6 Muestra Aleatoria Simple de una variable aleatoria

7 Distribuciones muestrales


5. Principales distribuciones de probabilidad

Distribuciones Discretas: Bernoulli de parámetropEs el modelo teórico que se asocia a variables que sólo toman dos valores, el 0 y el 1.

P(X = 1) = p , P(X = 0) = 1− p , 0 < p < 1

Intuitivamente, una variable dicotómica ó de Bernoulli aparece asociada a unexperimento éxito-fracaso, donde 1 representa el éxito y 0 el fracaso.

µ = p , σ2 = p(1− p)



Distribuciones Discretas: Binomial de parámetrosn y p (B(n, p))Es el modelo teórico que se asocia a variables que toman los valores 0, 1, . . . , n conprobabilidades

P(X = i) =(

ni

)pi(1− p)n−i , i = 0, . . . , n , 0 < p < 1

Intuitivamente, una variable binomial modeliza el recuento del número de éxitos alrepetirn veces un experimento éxito-fracaso de parámetrop.

µ = np , σ2 = np(1− p)



Ejemplo 2Con objeto de estudiar el número de salmones de cierto río que llegan vivos al mar semarca el 20% de la camada en el lugar de nacimiento. Posteriormente, en una estaciónde seguimiento río abajo, se registra el paso de 10 salmones de dicha camada. ¿Cuáles la probabilidad de que se registren 3 de los marcados? ¿Y con qué probabilidad seregistrarán 2 ó menos de los marcados?X ≡ número de salmones marcados que se registran∼ B(10, 0.2)

P(X = 3) =(

103

)0.23 0.87 =

10!3! 7!

0.23 0.87 = 0.2013

P(X ≤ 2) =P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)=0.1074+ 0.2684+ 0.3020= 0.6778



Distribuciones Discretas: Poisson de parámetroλ

Es el modelo teórico que se asocia a variables que toman valores enteros positivos,0, 1, 2, . . . , con probabilidades

P(X = k) = e−λ λk

k!, λ > 0 , k = 0, 1, 2, . . .

Intuitivamente, la distribución de Poisson es el modelo asociado al recuento delnúmero de eventos en un intervalo de tiempo o una determinada región del espaciocuando estos eventos ocurren al azar de manera independiente.

µ = λ , σ2 = λ



Ejemplo 3Tras varios años de observación se ha detectado que el número medio de pequeñosescapes en una central nuclear al cabo del mes es de 0.2. Calcula la probabilidad deque en un mes se produzca 1 pequeño escape. Y la de que se produzca más de 1pequeño escape.X ≡ número de pequeños escapes mensuales∼ P(0.2)

P(X = 1) = e−0.2 0.21

1!= 0.1637

P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + . . .

=1− P(X = 0)− P(X = 1) = 1− 0.8187− 0.1637= 0.0175



Distribuciones Continuas: Normal de parámetrosµ y σ (N(µ, σ))

Es el modelo teórico que viene determinado por la siguiente función de densidad,definida en toda la recta real:

f (x) =1

σ√

2πe−(x−µ)2/2σ2

, −∞ < x <∞

Intuitivamente, es la distribución de probabilidad que se asume para variablesconsideradas simétricas respecto a su media y cuyos valores se disponen en unhistograma que se ajusta a la forma de la llamadacampana de Gauss

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

N(0, 1)

Los parámetros de esta distribuciónson la media,µ, que es el eje de si-metría de la gráfica, y la desviacióntípicaσ.




−4 −2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

N(0, 1)

−4 −2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

N(2, 1)

−4 −2 0 2 4

0.00

0.10

0.20

N(0, 2)

−4 −2 0 2 4

0.00

0.10

0.20

N(2, 2)

La distribuciónN(µ, σ) se puede relacionar con ladistribuciónN(0, 1), mediante el siguiente proceso alque se denomina tipificación o estandarización:

X ∼ N(µ, σ) ⇒ Z =X− µ

σ∼ N(0, 1)

A la distribuciónN(0, 1) se le denomina Normal Es-tándar.

Aproximación de la Binomial por la NormalCuandon > 30 podemos aproximar la distribución binomial de parámetrosn, p por laNormal de medianpy desviación típica

√np(1− p).

B(n, p) ≈ N(np,√

np(1− p))




Como ya dijimos anteriormente, la distribuciónN(0, 1) es simétrica respecto al 0, esdecir, siZ ∼ N(0, 1)

P(Z ≤ x) = P(Z ≥ −x)

Gráficamente, las siguientes áreas son idénticas:

x 0 −x0



Ejemplo 4La vida de un semiconductor láser a una potencia constante se distribuyenormalmente con media 7000 horas y desviación típica 600 horas. ¿Cuál es laprobabilidad de que la vida del láser esté entre 6280 y 7120 horas?

X ≡ vida del semiconductor (en horas)∼ N(7000, 600)

Tipificación:

Z =X− 7000

600∼ N(0, 1) ,

6280− 7000600

= −1.2 ,7120− 7000

600= 0.2

P(6280≤ X ≤ 7120) = P(−1.2≤ Z ≤ 0.2)=P(Z ≤ 0.2)− P(Z ≤ −1.2) = 0.5793− 0.1151= 0.4642



Ejemplo 4 (continuación)Veamos una interpretación gráfica del cálculo anterior. La probabilidad que tenemosque calcular es igual al siguiente área:

0.2−1.2

P(− 1.2 ≤ Z ≤ 0.2)

Dicho recinto está incluido en el del gráfico que aparece a la izquierda. La parte quesobra es precisamente la que está sombreada en el gráfico de la derecha:

0.2

P(Z ≤ 0.2)

−1.2

P(Z ≤ − 1.2)

P(−1.2≤ Z ≤ 0.2) = P(Z ≤ 0.2)− P(Z ≤ −1.2)Licenciatura en Ciencias Ambientales (4o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso 2008-2009 12 / 15


Distribución exponencial de parámetroµ

Es el modelo teórico que viene determinado por la siguiente función de densidad,definida en los números reales positivos:

f (x) =1µ

e−x/µ , µ > 0, 0 < x <∞

su media es el parámetroµ y su varianza esσ2 = µ2.

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Exponenciales con µ = 1 y µ = 2

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Intuitivamente, la distribución exponencial es un modelo adecuado para describir eltiempo hasta que cierto evento ocurra.



Ejemplo 5El tiempo entre llegadas de taxis a un cierto cruce muy concurrido se distribuyeexponencialmente con media 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de esperar un taximás de una hora?

X ≡ tiempo entre la llegada de dos taxis (en minutos)∼ exp(10)

P(X > 60) =∫ ∞

60

110

e−x/10 dx =∫ ∞

6e−y dy = −e−y

]∞6

= e−6 = 0.0025


tema 4: probabilidad y teoría de muestras - estadística...

Documents