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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

REGIONALIZACIÓN SÍSMICA EN LA REPUBLICA MEXICANA

Luis Eduardo Pérez Rocha1 y Javier Avilés López2 y Mario G Ordaz Schroeder3

RESUMEN Se presentan los desarrollos y resultados que sirvieron para la regionalización sísmica de la República Mexicana. En este trabajo se describe la formulación para cuantificar el peligro sísmico en México. También se ilustran los principales resultados, que corresponden a curvas de tasas de excedencia para la aceleración máxima del terreno y para varios periodos estructurales. Además, se describe una formulación basada en el costo total de una construcción para determinar el coeficiente óptimo de diseño para el estado límite de colapso. Este costo es la suma del costo inicial y el costo de las pérdidas acumuladas durante la vida útil de la estructura. Finalmente, se presentan espectros de respuesta y diseño para terreno rocoso y blando, para el estado límite de colapso.

ABSTRACT Developments and results that were used for the seismic regionalization of the Mexican Republic are presented. In this work, the formulation to quantify the seismic hazard in Mexico is described, as well as main results corresponding to excedence rates for peak ground acceleration and the ones for several structural periods. Also, a formulation based on the total cost of a building to determine the optimum design coefficient for the collapse prevention state is described. This cost is the sum of the initial cost and the cost of the cumulated losses during the service time of the structure. Finally, response spectra and design spectra for firm ground and soft soil are presented for the collapse prevention state.

ANTECEDENTES En los últimos años se han tenido avances sustanciales en distintos aspectos de la ingeniería sísmica que permiten definir espectros de diseño sísmico de manera más clara y precisa. En este trabajo se proponen criterios orientados a este fin. El punto de partida es la aceleración máxima del terreno en roca asociada a un periodo de retorno obtenido de un estudio de diseño óptimo. A partir de esta aceleración se construye un espectro de diseño en que se toman en cuenta, explícitamente, las características de amplificación dinámica del terreno. Los espectros, así obtenidos, tienen variaciones continuas dentro del territorio mexicano. Además, tienen tamaño y forma realistas porque carecen de factores reductores ajenos al peligro sísmico y porque a partir de ellos se obtienen desplazamientos que, a periodo largo, tienden correctamente al desplazamiento del terreno. Aunque corresponden al %5 de amortiguamiento estructural, se proporciona un criterio para modificar las ordenadas espectrales cuando se empleen amortiguamientos diferentes o se consideren efectos

1 Investigador, Instituto de Investigaciones Eléctricas, Av Reforma 113 Col Palmira, Cuernavaca, Morelos,

62490, México. Teléfono: (777)3623811-7578; Fax: (777)3623833; [email protected] 2 Investigador, Instituto Mexicano de Tecnología del Agua, Jiutepec, Morelos, 62550, México. Teléfono:

(777)3293600-864; [email protected] 3 Investigador, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria,

Coyoacán 04510, México, D.F. Teléfono: (55)56233642; [email protected]

V Simposio Nacional de Ingeniería Estructural en la Vivienda Queretaro, Qro. 2007

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de interacción suelo–estructura. También se establecen claramente estados límite de diseño para prevenir el colapso y para prevenir el daño estructural, así como dos niveles de seguridad de acuerdo con la importancia estructural.

INTRODUCCIÓN Los espectros de diseño elástico son el inicio para el cálculo de las fuerzas laterales de diseño y para la determinación de las deformaciones laterales en las estructuras. Es deseable, entonces, que ofrezcan al ingeniero indicaciones claras sobre los niveles de aceleración que pueden ocurrir en el sitio y sobre las máximas demandas, tanto de aceleración como de desplazamiento, que experimentarían las estructuras ahí desplantadas. Por otra parte, se reconoce que una manera razonable de especificar espectros de diseño es empezar con espectros de peligro sísmico uniforme, es decir, espectros cuyas ordenadas tienen la misma probabilidad de ser excedidas en un lapso dado. Para proponer los espectros de diseño contenidos en este trabajo, se partió de espectros de peligro uniforme (pseudoaceleración, %5 del amortiguamiento crítico) calculados para la condición de terreno firme o roca en centenares de sitios distribuidos en todo el territorio mexicano. Además, la consideración explícita de los efectos de sitio debidos a las condiciones locales del terreno permitió caracterizar los parámetros del espectro de diseño mediante factores con significado físico. El reconocimiento de sus tendencias hizo posible prescribir variaciones continuas que cubren la mayoría de escenarios comunes en la práctica.

PELIGRO SÍSMICO EN MEXICO Los avances en materia de sismología e ingeniería realizados en los últimos tres lustros han contribuido significativamente al conocimiento del peligro sísmico en México, especialmente en los siguientes aspectos:

1. Geometría de la placa de Cocos, en su porción subducida bajo la placa continental de Norteamérica. El refinamiento de la geometría de la profundidad focal permite definir mejor la localización de los sismos de profundidad intermedia y fallamiento normal que se presentan en esta región.

2. Leyes de atenuación para los sismos de profundidad intermedia. En los últimos años se ha presentado una actividad inusualmente grande de sismos de este tipo que las redes acelerográficas han registrado. Se cuenta con un considerable número de acelerogramas producidos por estos eventos. Esto ha abierto la posibilidad de tener mejores leyes de atenuación que las que se tenían en 1990. Los análisis preliminares indican que, en algunos sectores del país, podrían esperarse cambios importantes en las estimaciones de peligro sísmico como consecuencia de los nuevos datos obtenidos

3. Leyes de atenuación para sismos corticales. En los últimos años se han desarrollado en los Estados Unidos de América nuevas leyes de atenuación para sismos corticales que incluyen datos de numerosos sismos registrados en diversas partes de ese país, especialmente el estado de California. Estas leyes de atenuación parecen adecuadas para algunos de los sismos que se producen en México, por lo que se ha revaluado el peligro sísmico en nuestro país utilizando estas nuevas leyes.

A continuación se detallan los procedimientos empleados para llevar a cabo los cálculos de peligro sísmico, así como los resultados obtenidos. SISMICIDAD LOCAL Breve Descripción de los Tipos de Sismos que Ocurren en México a) Sismos de subducción. Los grandes temblores en México ( 0.7>M ) a lo largo de la costa del Pacífico, son causados por la subducción de las placas oceánicas de Cocos y de Rivera bajo la placa de Norteamérica y por ello son conocidos como sismos de subducción. La placa de Rivera, que es relativamente pequeña, se desplaza bajo el estado de Jalisco con una velocidad relativa de añocm / 5.2 frente a la costa de Manzanillo, aunque algunos trabajos recientes sugieren que esta velocidad podría alcanzar los añocm / 5 (Kostoglodov y Bandy, 1995). La frontera entre las placas de Rivera y de Norteamérica es algo incierta, pero se estima que

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interseca la costa de México cerca de Manzanillo ( WN oo 3.104 ,1.19 ). Por otra parte, la velocidad relativa de la placa de Cocos con respecto al continente varía desde unos añocm / 5 cerca de Manzanillo hasta

añocm / 7 en Chiapas. El terremoto de Jalisco del 3 de junio de 1932, cuya magnitud fue de 2.8=M , que ocurrió sobre la interfaz de la placa de Rivera y la de Norteamérica (Singh, et al, 1985a), demuestra que una placa pequeña, joven y con una velocidad relativamente baja de subducción es capaz de generar grandes temblores (este terremoto fue el más grande ocurrido en México en el siglo pasado). b) Sismos de fallamiento normal y profundidad intermedia. Los grandes temblores también ocurren en el continente con profundidades de entre 30 y km100 . En este caso los temblores presentan un mecanismo de fallamiento normal que refleja el rompimiento de la litosfera oceánica subducida (Singh, et al, 1985b). Si bien este tipo de eventos es poco frecuente, se sabe que pueden causar grandes daños. Algunos ejemplos de este tipo de sismos son el de Oaxaca del 15 de enero de 1931 ( 8.7=M ), el de Orizaba del 23 de agosto de 1973 ( 3.7=M ), el de Huajuapan de León del 24 de octubre de 1980 ( 0.7=M ) y el de Tehuacán del 15 de junio de 1999 ( 0.7=M ). En México, el Eje Neovolcánico no es paralelo a la trinchera. Esto es algo anormal en comparación con otras zonas de subducción en el mundo y es muy probable que se deba a la morfología de la placa de Cocos. Gracias a los esfuerzos de varios investigadores ha habido un avance significativo en el conocimiento de la morfología de la placa subducida bajo el continente (Singh, et al, 1985b; Suárez, et al, 1990; Ponce, et al, 1992; Singh y Pardo, 1993; Pardo y Suárez, 1993; Pardo y Suárez, 1994). Los resultados indican una subducción con un ángulo de o45≈ en Jalisco, casi horizontal en Guerrero, con un ángulo de o12≈ en Oaxaca y de o45≈ en Chiapas. El contorno de los 80 a km 120 de profundidad de la zona de Benioff aproximadamente coincide con la línea de los volcanes. Existe una evidencia, aunque no definitiva, de que la placa continental entre la costa grande de Guerrero y el Valle de México se encuentra en un estado de esfuerzo en tensión, contrariamente a lo esperado (Singh y Pardo, 1993). c) Sismos superficiales de la corteza continental. Aún menos frecuentes son los temblores que ocurren dentro de la placa continental ( 0.7≤M ). Dependiendo de su ubicación, estos eventos pueden generar daños considerables en diversos asentamientos humanos. Dos ejemplos son: el temblor de Jalapa del 3 de enero de 1920 ( 4.6=M ) y el de Acambay del 19 de noviembre de 1912 ( 0.7=M ). Existe también lo que podría llamarse sismicidad de fondo. Se trata de temblores con 5.5≤M , cuyo origen no puede asociarse a ninguna estructura geológica. La ocurrencia de estos eventos también se considera en la sismicidad local. d) Sismos del sistema de fallas Polochic-Motagua. La frontera entre las placas del Caribe y la de Norteamérica es difusa, con un ancho de aproximadamente

km 120 (White, 1991). El movimiento relativo entre las dos placas se disipa, principalmente, a lo largo de las fallas de Chixoy-Polochi y Motagua. El mayor sismo registrado a lo largo de esta frontera con fallas de rumbo fue el ocurrido el 4 de febrero de 1976 ( 5.7=M ), que produjo cerca de km 250 de movimiento lateral izquierdo a lo largo de la falla Motagua. Sin embargo, se tiene constancia que un gran temblor ocurrió a lo largo de la falla Chixoy-Polochic en 1538. Posteriormente se reportan 25 sismos históricos destructivos en esta frontera de placas (White, 1984). La parte oriental de esta falla se rompió el 6 de enero de 1785 ( 5.7=M ) y la parte occidental el 22 de julio de 1816 ( 7¾ ½7 a=M ). Se estimó que la tasa de deslizamiento histórica en esta interfaz (tomando en cuenta todas las fallas que se localizan en una zona ancha) es de 17 a añomm / 21 (White, 1991). Modelos de la Sismicidad Local En este estudio la República Mexicana se ha dividido en 43 fuentes generadoras de sismos. Estas fuentes están dictadas por la tectónica del país y por la historia instrumental de sismos registrados (Zúñiga y Guzmán, 1994; Zúñiga et al, 1997). Cada una de estas fuentes genera temblores a una tasa constante por unidad de área.


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La actividad de la i –ésima fuente sísmica se especifica en términos de la tasa de excedencia de las magnitudes, )(Miλ , que ahí se generan. La tasa de excedencia de magnitudes mide qué tan frecuentemente se generan en una fuente temblores con magnitud superior a una dada. a) Fuentes gobernadas por la relación de Gutenberg–Richter modificada. Para la mayor parte de las fuentes sísmicas, la función λ(M) es una versión modificada de la relación de Gutenberg y Richter. En estos casos, la sismicidad queda descrita de la siguiente manera (Cornell y Vanmarcke, 1969):

uMM

MM

MMMeeeeM

u

u

≤≤−−

= −−

−−

00 ;)(0 ββ

ββ

λλ (1)

donde

0M es la mínima magnitud relevante 0λ , β , y uM son parámetros que definen la tasa de excedencia de cada una de las fuentes sísmicas

Estos parámetros, diferentes para cada fuente, se estiman por procedimientos estadísticos bayesianos (Rosenblueth y Ordaz, 1989; Arboleda y Ordaz, 1993), que incluyen información sobre regiones tectónicamente similares a las de nuestro país, más información experta, especialmente sobre el valor de

uM , la máxima magnitud que puede generarse en cada fuente. b) Fuentes gobernadas por el modelo del temblor característico. Aunque la forma funcional para λ(M) dada en la ecuación 1 se utiliza para la mayor parte de las fuentes sísmicas, se ha observado que la distribución de magnitudes de los grandes temblores de subducción ( 7>M ) se aparta sensiblemente de la predicha por la relación de Gutenberg y Richter, dando origen al llamado temblor característico (Singh et al, 1981). Para los grandes temblores de subducción, λ(M) se define de la siguiente manera:

; )()(

)()(

)( 00

0 uu

u

MMMMEMMEM

MEMMEM

M ≤≤

−Φ−

−Φ

−

Φ−

−Φ

=

σσ

σσλλ (2)

donde

0λ , )(ME , y σ son parámetros que se deben obtener estadísticamente para la zona mexicana de subducción

)(⋅Φ es la función de distribución normal estándar. LEYES DE ATENUACIÓN Una vez determinada la tasa de actividad de cada una de las fuentes sísmicas, es necesario evaluar los efectos que, en términos de intensidad sísmica, produce cada una de ellas en un sitio de interés. Para ello se requiere saber qué intensidad se presentaría en el sitio, hasta ahora supuesto en terreno firme, si en la i –ésima fuente ocurriera un temblor con magnitud dada. A las ecuaciones que relacionan magnitud, posición relativa fuente–sitio e intensidad, se les conoce como leyes de atenuación. Usualmente, la posición relativa fuente–sitio se especifica mediante la distancia focal, es decir, la distancia entre el foco sísmico y el sitio. Se considera que las intensidades sísmicas relevantes son las ordenadas del espectro de respuesta Sa (seudoaceleraciones, 5% del amortiguamiento crítico), cantidades que son aproximadamente proporcionales a las fuerzas laterales de inercia que se generan en las estructuras durante sismos y que dependen del periodo natural de vibrar.

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En este estudio se han usado tres leyes de atenuación que dependen de las trayectorias que recorren las ondas en su camino de la fuente al sitio. Se utilizan leyes de atenuación espectrales que toman en cuenta el hecho de que la atenuación es diferente para ondas de diferentes frecuencias, por lo que se tienen parámetros de atenuación para cada periodo de vibración. Estas leyes se describen a continuación. a) Temblores costeros. Se utiliza la ley de atenuación propuesta por Ordaz et al (1989) para la aceleración máxima del terreno provocada por temblores generados en la costa sur del Pacífico. Esta ley fue construida a partir de numerosos registros de aceleración obtenidos por la Red Acelerográfica de Guerrero, que incluyen los del gran temblor del 19 de septiembre de 1985. La relación entre la aceleración máxima del terreno y las ordenadas del espectro de respuesta a otros periodos, 0/)( aTSa e , se obtiene del modelo teórico de fuente y trayecto reportado por Singh et al (1989). b) Temblores de profundidad intermedia. Se emplea en este caso el modelo de atenuación propuesto por García et al (2005). Se trata de un modelo empírico, el cual fue generado utilizando datos registrados de temblores de este tipo en México, incluyendo los numerosos registros obtenidos entre 1990 y 2000 por la redes acelerográficas nacionales. Para la aceleración máxima del suelo, la ley de atenuación es la siguiente:

[ ] fHRRMRMa 005.0log0034.057.01.0),(log 0 +−−+−=

7.00ln =aσ

(3)

22 ∆+= RUPRR (4)

donde

fH es la profundidad focal RUPR es la mínima distancia al área de ruptura

[ ]km 007510.0 507.0 M=∆ (5)

Para las otras ordenadas espectrales se utilizaron las mismas formas relativas ( 0/)( aTSa e ) que para los sismos costeros. c) Temblores superficiales. Para modelar la atenuación de los temblores superficiales, tanto los que ocurren en el Eje Neovolcánico como los que se presentan en la parte noroeste del país y en las fallas Polochic–Motagua, se utilizan leyes de atenuación construidas con datos registrados en California (Abrahamson y Silva, 1997). De entre las varias opciones de parámetros presentados en el trabajo referido, se han escogido los siguientes: suelo firme, fallas de rumbo (strike–slip) y sin considerar el efecto de “hanging wall”. Dadas la magnitud y la distancia epicentral, la intensidad sísmica no está exenta de incertidumbre por lo que no puede considerarse determinista. Suele suponerse que, dadas la magnitud y la distancia, la intensidad Sa es una variable aleatoria distribuida lognormalmente, con mediana ),( RMAm , dada por la ley de atenuación y desviación típica del logaritmo natural igual a Alnσ . En vista de esto, por ejemplo, dado que ocurrió un sismo con magnitud M a una distancia R del sitio de interés, la probabilidad de que la aceleración espectral

AS supere un valor dado, Sa , se calcula de la siguiente manera:

0 ; ),(

ln11),Pr(ln

≥

Φ−=> A

RMASaRMSaS

mAA σ

(6)


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CÁLCULO DE PELIGRO SÍSMICO Una vez conocidas la sismicidad de las fuentes y los patrones de atenuación de las ondas generadas en cada una de ellas, puede calcularse el peligro sísmico considerando la suma de los efectos de la totalidad de las fuentes sísmicas y la distancia entre cada fuente y el sitio en que se encuentra la estructura. El peligro )(Saν , expresado en términos de las tasas de excedencia de intensidades Sa , se calcula como se indica a continuación. Ecuaciones Básicas En este estudio las fuentes sísmicas son áreas, de tal forma que se lleva a cabo un proceso de integración espacial para tomar en cuenta todas las ubicaciones focales posibles. Generalmente se asume que, dentro de una fuente sísmica, todos los puntos tienen la misma probabilidad de ser un epicentro (sismicidad constante por unidad de área). En este caso, las tasas de excedencia de aceleración debidas a una sola fuente sísmica (la i –ésima) se calculan con la siguiente ecuación (Esteva, 1967; Cornell, 1968):

dMRMSaSdM

Mdwu Aj

M

Miji

u

),Pr()()(0

>

−= ∑ ∫

λν

(7)

donde j es el índice para cada uno de los sub-elementos en que se ha subdividido la fuente

0M y uM son la menor y la mayor magnitud considerada en el análisis ),Pr( ijA RMuS > es la probabilidad de que la aceleración exceda el valor u en el sitio, dado que a la

distancia ijR se origina un temblor de magnitud M ijR son las distancias entre el sitio y el sub-elemento j de la fuente i

Se asigna un peso ijw a cada sub–elemento, el cual es proporcional a su tamaño. El término

),Pr( ijA RMuS > se calcula como se señala en la ecuación 6. Finalmente, se suman las contribuciones de todas las fuentes – N – al peligro sísmico del sitio:

∑=

=N

ii uu

1)()( νν (8)

Como se ha señalado, este análisis se realiza para varios periodos estructurales.

DISEÑO ÓPTIMO En los últimos decenios, tanto en México como en otras partes del mundo, se estipularon criterios de diseño en que, además del peligro sísmico, se tomaron en cuenta aspectos económicos que dieron lugar al diseño óptimo. Un valor de diseño es óptimo si minimiza la suma del valor presente de las pérdidas esperadas por sismo, más los costos iniciales de construcción. Se supone que tanto las pérdidas esperadas por sismo como el costo inicial de la construcción dependen de un solo parámetro: la resistencia nominal de diseño, expresada en términos de coeficiente de cortante basal. Como consecuencia, los valores óptimos no están asociados a un periodo de retorno constante. En efecto, la optimación lleva a una situación que es intuitivamente correcta: en zonas de baja sismicidad, donde el diseño para resistir carga lateral es relativamente barato, es óptimo diseñar para periodos de retorno mayores que los que se usarían en zonas de más alta sismicidad. ESTADO LÍMITE DE COLAPSO De acuerdo con el criterio descrito por Esteva (1970), se considera que un coeficiente de diseño es óptimo si minimiza la suma de los costos esperados de la decisión de usar precisamente ese valor de diseño. Los costos

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esperados se forman con dos componentes: el costo inicial, que crece con el valor adoptado para diseño, y el costo, actualizado a valor presente, de todas las pérdidas por sismo que puedan ocurrir en el futuro. A continuación se discuten estos dos componentes. Costo Inicial Se adopta la siguiente variación del costo inicial de construcción, CI(c) con el coeficiente de diseño, c :

≥−+<

=000

00

)(

)(csi cccCCccsiC

cCIR

α (9)

donde 0C es el costo que se tendría aun cuando no se diseñara para resistir cargas laterales

0c es la resistencia lateral que se tendría en este caso RC y α son coeficientes.

Si la ecuación 9 se normaliza con respecto a 0C , se tiene que:

≥−+<

=00

0

0 )(1 1)(

csi cccKccsi

CcCI

α (10)

donde K es igual a 0CCR Valor Presente de la Esperanza de las Pérdidas por Sismo Como modelo inicial, se supone que cada vez que se exceda la resistencia de diseño, c , se tendrá una pérdida total de la estructura. Este modelo es, evidentemente, demasiado simple. La resistencia real de una estructura es, en términos generales, incierta pero con una media superior a la nominal de diseño. Esto lleva a que, cuando se excede la resistencia nominal de diseño, no necesariamente se presenta una pérdida total, y sólo pueden darse aseveraciones probabilistas sobre el valor de la pérdida. Por otra parte, es concebible que aun cuando la demanda no exceda la resistencia nominal se presenten fallas parciales. Esto obligaría a la formulación de relaciones de vulnerabilidad y a su inclusión formal en el cálculo de las pérdidas. Sin embargo, como se verá más adelante, los cálculos de optimación se llevaron a cabo sólo para determinar niveles relativos de costos esperados entre edificios en diferentes puntos del país. En vista de eso, se juzgó que la utilización de un modelo más refinado no aportaría mejoras sustanciales. De acuerdo con Rosenblueth (1976), si se supone que el proceso de ocurrencia de sismos es uno de Poisson, y si la actualización del valor del dinero es adecuadamente descrito por una función exponencial, el valor presente de la esperanza de las pérdidas, )(cEVP cuando se diseña para una resistencia c es:

µν )()()( ccCPcEVP =

(11)

donde )(cCP es el costo de la pérdida ante un sismo,

µ es la tasa de descuento del valor )(cν es la tasa de excedencia de la demanda que produce la falla cuando se ha diseñado para una

resistencia c


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Como señalan Ordaz et al (1989), el costo de la pérdida no es sólo el valor de las construcciones dañadas, puesto que la pérdida de edificios afecta el funcionamiento de la economía de suerte que, en general, las pérdidas totales son mayores que las pérdidas puramente materiales. Para tomar en cuenta ese efecto, en el trabajo mencionado se propone que:

)1()()( LI ScCcCP += (12) donde

)(cCI es el costo inicial, dado en la ecuación 9 LS es un factor que mide la importancia de las construcciones pérdidas

En vista de esto, se tiene que

µν )()1()()( cScCcEVP LI += (13)

Espectros Óptimos para Estructuras de los Grupos A y B El propósito de esta fase del estudio no fue realizar cálculos minuciosos para determinar rigurosamente los valores de los coeficientes óptimos de diseño. Los objetivos de los cálculos que se describirán fueron los siguientes:

• Suponiendo que los coeficientes de diseño en la zona D del MDOC-DS93 son óptimos, en el sentido señalado en la sección 3.3.6 de los comentarios del MDOC-DS93, para estructuras del grupo B localizadas en sitios en la costa del Pacífico, ¿cuánto deberían valer los coeficientes de diseño óptimo en el resto del país? Este es, en esencia, el enfoque adoptado por Esteva y Ordaz (1988).

• Suponiendo que el factor de importancia de 1.5 que se aplica a las estructuras del grupo A es óptimo para sitios en la costa del Pacífico, ¿cuánto debería valer el factor de importancia en otros sitios del país?

A continuación se describen los cálculos realizados. Espectros óptimos para estructuras del grupo B

a) Caso 1 Se supondrá que para estructuras de periodo corto ( seg3.0< ), en terreno rocoso, el nivel de la meseta del espectro para zona D del MDOC-DS93 conduce a diseño óptimo en la costa del Pacífico. Puede apreciarse que la resistencia a la que se refiere el modelo simplificado para el valor presente de la esperanza de las pérdidas por sismo es la resistencia real, mientras que las ordenadas del espectro del MDOC-DS (1993) están reducidas por el efecto de la sobrerresistencia. Por esta razón, es necesario convertir los espectros del MDOC-DS (1993) a resistencias reales. Para esto, se ha utilizado un factor de sobrerresistencia de 2, que es razonable para un grupo amplio de estructuras. En vista de esto, la resistencia real implícita en la meseta del espectro de zona D del MDOC-DS93 es 125.0 =×=c . Con estas adopciones y utilizando la sismicidad de un punto representativo de la costa del Pacífico (el sitio seleccionado fue Acapulco y la ordenada espectral se midió en sTe 3.0= ) y el valor de 12=LS usado en el MDOC-DS (1993) (Ordaz, et al, 1989), se determinó con qué valores de K y α (ver ecuación 10) se llega a la conclusión de que el valor de 1=c es óptimo en ese sitio. Se procedió por iteraciones, llegando a los siguientes valores: 6.1=K y

2=α , que no son muy diferentes a los adoptados por Ordaz, et al (1989) para la determinación de espectros de diseño en el MDOC-DS (1993).

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Una vez determinados los valores de K y α , se determinaron los valores de los coeficientes óptimos en el resto del país. Los resultados se muestran en la figura 1.

-120 -115 -110 -105 -100 -95 -90 -85

C. Óptimos, T=0.3 seg, Grupo B

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20

25

30

Figura 1. Coeficientes de diseño óptimos para estructuras del grupo B, calculados con 6.1=K y 2=α .

Una consecuencia de la aplicación de criterios de optimación como el que se ha descrito es que los valores óptimos no están asociados a un periodo de retorno constante. La optimación lleva a una situación que es intuitivamente correcta: en zonas de baja sismicidad, donde el diseño para resistir carga lateral es relativamente barato, es óptimo diseñar para periodos de retorno más largos que los que se usarían en zonas de mayor sismicidad. Esto puede apreciarse en la figura 2, en que se presentan los periodos de retorno asociados a los coeficientes de diseño óptimos de la figura 1. Puede apreciarse que, para las zonas de mayor sismicidad de México, los periodos de retorno óptimos calculados son de entre 250 y 500 años, mientras que para las zonas de menor sismicidad, los valores alcanzan (y superan, en algunas zonas) los 3,000 años.

b) Caso 2 Los espectros óptimos en el caso 1 se obtuvieron suponiendo que los niveles de diseño del MDOC-DS (1993) son óptimos para un cierto grupo de estructuras en la costa del Pacífico. A partir de esta suposición, se obtuvieron los valores de K y α (ecuación 10) que determinan el costo de construcción implícito. Sin embargo, el problema de minimización no está bien restringido y es posible que existan otras soluciones óptimas ante diferentes suposiciones. En este inciso se explora otra de estas posibilidades. Aquí se supondrá que los espectros de diseño del MDOC-DS (1993) son óptimos, para el mismo grupo de estructuras considerado, tanto en la costa del Pacífico como en el DF, en un punto libre de efectos de sitio. En la figura 3 se presentan las tasas de excedencia de las ordenadas espectrales correspondientes.


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-120 -115 -110 -105 -100 -95 -90 -85

Tr Óptimos, T=0.3 seg, Grupo B

15

20

25

30

Figura 2. Periodos de retorno asociados a los coeficientes óptimos de diseño presentados en la figura 1. No se han dibujado curvas para periodos mayores de 3,000 años.

0.0001

0.001

0.01

0.1

0.1 1 10

Sa (g)

Tasa

de

exce

denc

ia (1

/año

) DFAcapulco

Figura 3. Tasas de excedencia de las ordenadas espectrales para

sTe 3.0= en el DF y Acapulco, en terreno rocoso.

Para determinar los valores de K y α que harían que los coeficientes de diseño del MDOC-DS (1993) fueran óptimos simultáneamente en Acapulco y el DF, se hizo un barrido de valores de ambos parámetros y, asociados a cada par de valores, se obtuvieron los coeficientes óptimos de diseño y se midió qué tanto se apartan de los valores que recomienda el MDOC-DS (1993). Los resultados se presentan en la figura 4.

11


4.5

4.9

5.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

7.7 1.5

1.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.6

K

α

-0.500-0.000-1.000--0.500-1.500--1.000-2.000--1.500-2.500--2.000-3.000--2.500-3.500--3.000-4.000--3.500-4.500--4.000-5.000--4.500

Figura 4. Diferencia entre los coeficientes del MDOC-DS93 para DF y Acapulco

y los óptimos en estos puntos suponiendo diversos valores de K y α

Puede observarse que existe una región de mínimo error para 8.1=α y K entre 4.9 y 6.0. Se eligieron los valores de 5=K y 8.1=α , que están asociados a coeficientes de diseño (resistencias reducidas por sobrerresistencia) de 162.0 para el DF y 497.0 para Acapulco, es decir, prácticamente iguales a los prescritos por el MDOC-DS (1993). Con estos valores para los costos implícitos de construcción se calcularon los coeficientes óptimos de diseño en todo el país, con lo que se obtuvo la figura 5. En general, se obtienen coeficientes un poco menores a los obtenidos en el caso 1, tal como puede apreciarse en la figura 6.

-120 -115 -110 -105 -100 -95 -90 -85

C. Óptimos, T=0.3 seg, Grupo B, K=5, alpha=1.8

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Figura 5. Coeficientes de diseño óptimos para estructuras del grupo B,

calculados con 5=K y 8.1=α


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-120 -115 -110 -105 -100 -95 -90 -85

C. Óptimos, Caso 2 / Caso 1

15

20

25

30

Figura 6. Cociente entre los coeficientes óptimos de diseño determinados

5=K y 8.1=α (Caso 2) y los correspondientes a 6.1=K y 2=α (caso 1).

Espectros óptimos para estructuras del grupo A

Las estructuras del grupo A son estructuras esenciales, cuya pérdida es especialmente indeseable. En general, no se trata de estructuras particularmente costosas, sino que su pérdida es indeseable porque los costos de que se vuelvan inhabitables es grande. En vista de eso, parece razonable considerar que LS (ver ecuación 13) es mayor para estructuras del grupo A que para estructuras del grupo B, mientras que los factores K y α (asociados a los costos de construcción) son los mismos para ambos grupos. Para saber qué factor LS usar para las estructuras del grupo A, se supuso que el factor de importancia de 5.1 conduce al diseño óptimo de estructuras de este grupo en la costa del Pacífico. Procediendo por tanteos, se llegó a un valor de 50=LS para el grupo A, y a los valores óptimos de diseño que se presentan en la figura 7, asociados a los periodos de retorno de la figura 8. En este caso, los periodos óptimos varían de alrededor de 750 años hasta más de 4,000 años. Finalmente, en la figura 9 se presentan los cocientes entre los valores óptimos de diseño para estructuras del grupo A y para estructuras del grupo B. Como puede apreciarse, estos cocientes valen aproximadamente 5.1 para la costa del Pacífico (así se iniciaron los cálculos) pero, sorprendentemente, no varían mucho a lo largo del país, a excepción de lo que sucede en las costas de los estados de Sonora y Sinaloa y en la península de Yucatán, en donde un factor de importancia de alrededor de 2.1 resultaría óptimo. Sin embargo, en aras de la sencillez, y considerando que las zonas anómalas son de baja sismicidad, se propone utilizar un factor de importancia de 5.1 para estructuras del grupo A en todo el país.

13


-120 -115 -110 -105 -100 -95 -90 -85

C Óptimos, T=0.3 seg, Grupo A

15

20

25

30

Figura 7. Coeficientes de diseño óptimos para estructuras del grupo A

-120 -115 -110 -105 -100 -95 -90 -85

Tr Óptimos, T=0.3 seg, Grupo A

15

20

25

30

Figura 8. Periodos de retorno asociados a los coeficientes óptimos de diseño para estructuras del

grupo A, presentados en la figura 4. No se han dibujado curvas para periodos mayores de 4,000 años.


14

-120 -115 -110 -105 -100 -95 -90 -85

C (Gpo A) / C (Gpo B)

15

20

25

30

Figura 9. Cociente entre valores óptimos de diseño para

estructuras del grupo A y estructuras del grupo B

RESPUESTA DINÁMICA DEL TERRENO

Los efectos de las condiciones locales del subsuelo pueden afectar considerablemente el movimiento sísmico y con ello la respuesta estructural. Los también llamados efectos de sitio producen significativas variaciones espaciales del movimiento del terreno, incluyendo amplificaciones y/o atenuaciones de su intensidad así como modificaciones de su duración y contenido de frecuencias, las cuales tienen una influencia determinante en la respuesta estructural. Las mayores amplificaciones dinámicas que sufre el movimiento del terreno suelen presentarse donde los contrastes de rigidez de los suelos son muy pronunciados. Esto ocurre generalmente cerca de la superficie libre, especialmente en áreas de depósitos sedimentarios o valles aluviales. Las interfaces horizontales entre estratos y las irregularidades laterales producen un fenómeno de difracción múltiple de ondas sísmicas, que genera interferencias constructivas y destructivas, y que a su vez, originan amplificaciones y atenuaciones, respectivamente. Para evaluar los efectos de amplificación del movimiento sísmico en depósitos de suelo sería deseable conocer la función de transferencia del sitio. La determinación experimental consiste en el cociente espectral del movimiento en la superficie del terreno entre el movimiento en la base de la formación de suelo. Para ello se utilizan los espectros de Fourier de ambos movimientos. En ausencia de registros sísmicos, la función de transferencia suele determinarse con el modelo unidimensional de propagación de ondas. Sólo en casos especiales se recurre a modelos de mayor complejidad. Este modelo es el más empleado en ingeniería sísmica para el estudio de los efectos de sitio. En particular, su sencillez permite incluir, aproximadamente, los efectos relacionados con el comportamiento no lineal de las propiedades dinámicas del suelo ante temblores intensos. La respuesta de un depósito de suelo ante excitación sísmica es función de varios factores que están relacionados con la geometría y las propiedades dinámicas de los materiales que conforman el depósito. Para fines prácticos, sin embargo, esta complejidad puede reducirse si los efectos de sitio se relacionan exclusivamente con dos parámetros que miden las características más relevantes de la formación de suelo. Estos son el periodo dominante de vibración y la velocidad media de propagación del sitio. Para esto,

15


usualmente se recurre a una aproximación que consiste en reemplazar el perfil estratigráfico por un estrato simple con velocidad media y periodo dominante iguales a los de la estratigrafía real. Esta idealización es adecuada para formaciones estratificadas sensiblemente horizontales que responden esencialmente como un manto homogéneo. El modelo de propagación de ondas comúnmente empleado para cuantificar la amplificación del movimiento sísmico en terreno blando con respecto al que se tendría en terreno firme, es un depósito de suelo formado por un sólo estrato apoyado sobre un semiespacio, excitado por la incidencia vertical de ondas de corte. Supóngase que este modelo tiene como sistema de referencia a la coordenada z en sentido vertical, positiva hacia abajo, con la superficie libre del estrato en Hz -= , y la interfaz entre el estrato y el semiespacio en

0=z . Además, supóngase que sρ y 0ρ son las densidades de masa del suelo y de la roca, respectivamente

y que sv y 0v son las velocidades de propagación de ondas de corte del suelo y de la roca, respectivamente. El desplazamiento transversal, u , del suelo producido por la propagación de ondas armónicas de cortante está gobernado por la ecuación reducida de onda

2

2

22

2

∂∂1

∂∂

tu

vzu=

(14)

donde t es el tiempo v es la velocidad de propagación de ondas Si se considera la propagación de ondas planas, la solución de la ecuación 14 está dada por

tiikzikz eBeAeu ω)( -+= (15) donde k es el número de onda igual a v/ω ω es la frecuencia angular de excitación i es la unidad imaginaria Puede demostrarse que el término tiikzeAeu ω= es el campo de desplazamientos producido por ondas planas, con amplitud A , que se propagan en el sentido negativo del eje z , mientras que tiikzeeBu ω-= es el campo de desplazamientos producido por ondas que se propagan, con amplitud B , en el sentido positivo del eje z . Para el semiespacio, la solución puede escribirse como

tizikzikoo eAeeUu oo ω)( -+= (16)

donde oU es la amplitud del campo incidente

Mientras que para el estrato resulta conveniente representarla como

tihzikHziks eCeBeu ss ω)( )(-)( ++ += (17)

En las ecuaciones 16 y 17, 0k y sk son los números de onda en el semiespacio y el estrato, respectivamente. Se tienen tres amplitudes desconocidas ( A , B y C ), ya que la amplitud del campo incidente, 0U se supone conocido. Para determinar los valores de A , B y C se deben imponer condiciones de frontera. En la superficie libre del estrato los esfuerzos deben ser nulos, es decir


16

0∂∂

-

== Hz

ss z

uG (18)

donde sG es el módulo de rigidez en cortante del suelo.

Si se sustituye la ecuación 17 en la ecuación 18 se tiene

0)(-

)(-)( =−=

++

Hz

tiHzikHzikss eCeBekGi ss ω (19)

Para Hz −= se llega a que

CB = (20) Por lo tanto, el campo de desplazamientos dado por la ecuación 17 se puede escribir como

( )[ ]HzkBu ss += cos2 (21) Para la frontera entre el estrato y el semiespacio ( 0=z ) debe cumplirse que

00 ===

zszo uu (22) y

00 ∂∂

∂∂

==

=z

os

z

so z

uG

zu

G (23)

La ecuación 22 conduce a la siguiente igualdad

)cos(2 HkBAU so =+ (24)

Por su parte, la ecuación 23 se traduce en

)(sen2 HkpBiAU sso =− (25) donde

0000 // vvvvp sssss γγρρ == es el contraste de impedancias mecánicas, siendo sγ y 0γ los pesos volumétricos del suelo y del semiespacio, respectivamente. Sumando las ecuaciones 24 y 25 se tiene

)(sen)cos( HkpiHkU

Bsss

o

+= (26)

Por lo tanto, la solución para el estrato puede escribirse como

( )[ ] ti

sss

sos e

HkpiHkHzkU

u )(sen)cos(

cos2 ω

++

= (27)

17


Es común escribir la amplitud del movimiento en el estrato normalizado con respecto a 02U , es decir, el movimiento que se tendría en la superficie del semiespacio en ausencia del estrato. De esta forma se llega a que la función de transferencia del estrato es

( )[ ])(sen)cos(

cos2 HkpiHk

HzkUu

sss

s

o

s

++

= (28)

En Hz −= se tiene

)(sen)cos(1)(H

2-

HkpiHkUu

ssss

Hzo

s

+==

=

ω

(29)

El denominador de la función de transferencia dada por la ecuación 29 nunca es cero si el valor de sp es mayor que cero, que se tiene cuando la roca basal es elástica. Sin embargo se tienen respuestas máximas cuando la parte real del denominador es cero. Esta es la condición de resonancia que permite deducir los periodos naturales de vibración del suelo. Por lo tanto la condición de resonancia conduce a

0)(cos =Hks (30) cuyas raíces son

( ) ;2

12 π−=

nHks ∞...,,2,1=n (31)

De acuerdo con esta ecuación se desprende que los periodos naturales de vibrar de un estrato son iguales a

sn v

Hn

T 4)12(

1−

= (32)

El amortiguamiento del material de tipo histerético se puede introducir aproximadamente reemplazando, en la ecuación 29, la velocidad del estrato sv por 2/1)21( ss iv ζ+ , donde sζ es el amortiguamiento del suelo. En la figura 10 se ilustran las amplitudes de funciones de transferencia para estratos con periodo fundamental

sT 11 = . En esta figura se ha tomado como amortiguamiento del suelo %5=sζ y tres contrastes de impedancias dados por 5.02.0,1.0 yps = . Para ello se supuso que 0γγ =s . En la figura 11 se ilustran las amplitudes de funciones de transferencia para estratos con periodo fundamental sT 11 = . En esta figura se ha tomado como contraste de impedancias 125.0=sp y se han especificado tres valores de amortiguamiento del suelo dados por %0.100.5,5.2 ys =ζ . En estas funciones se observa que las amplificaciones máximas dependen tanto del amortiguamiento del material, sζ , como del amortiguamiento geométrico, representado por el contraste de impedancias sp . Se puede señalar que conforme la frecuencia aumenta, los efectos del amortiguamiento geométrico (figura 10) se reducen, mientras que los efectos del amortiguamiento material (figura 11) aumentan. Para la frecuencia fundamental es mayor la influencia del amortiguamiento geométrico. En este modelo de propagación de ondas se supuso que la incidencia es vertical. Esto se justifica para temblores que provengan de focos cercanos puesto que en este caso las ondas arriban a la superficie con dirección sensiblemente vertical. Para temblores lejanos esta hipótesis es cuestionable. Sin embargo, para fines prácticos se puede usar conservadoramente, ya que las amplificaciones que se presentan para incidencias oblicuas siempre son menores que las que se obtienen con este modelo de propagación vertical.


18

Figura 10. Funciones de transferencia de un estrato sobre un semiespacio. Con líneas continua, discontinua y punteada se presentan resultados para 5.02.0,1.0 yps = , respectivamente. En los tres casos, el periodo dominante del depósito de suelo es sT 11 = , la relación de densidades es 0ρρ =s y el amortiguamiento del suelo es %5=sζ .

Figura 11. Funciones de transferencia de un estrato sobre un semiespacio. Con líneas discontinua, continua y punteada se presentan resultados para %0.100.5,5.2 ys =ζ , respectivamente. En los tres casos, el periodo dominante del depósito de suelo es sT 11 = y el contraste de impedancias es 125.0=sp . CARACTERIZACIÓN DEL SITIO La forma más apropiada de idealizar un medio estratificado es mediante un estrato homogéneo. Para determinar los parámetros de este manto uniforme puede optarse por la determinación de una velocidad promedio y con este valor deducir el periodo dominante del depósito, o bien, determinar aproximadamente el periodo dominante del estrato y con ello, inferir la velocidad de propagación a través del depósito.

19


Velocidad Promedio del Sitio La velocidad promedio del sitio puede estimarse suponiendo que el tiempo que tarda una onda de cortante en recorrer verticalmente un estrato uniforme de espesor nh∑Hs = , a una velocidad media sv , es el mismo que necesita para atravesar la formación estratificada, siendo nh el espesor del n –ésimo estrato y N el número de estratos. El tiempo requerido por una onda de cortante para propagarse desde la base hasta la superficie del estrato uniforme es igual a:

s

N

1nn

0 v

h∑==t

(33)

En tanto que el tiempo requerido para atravesar la formación estratificada es igual a:

∑=

=N

1n0

n

n

vht (34)

Siendo nv la velocidad de ondas de cortante del n –ésimo estrato. Igualando ambos tiempos se obtiene que

∑

∑

1

1N

n n

n

N

nn

s

vh

hv

=

== (35)

Con esta ecuación se define la velocidad media del sitio en términos del promedio de lentitudes, entendiéndose como lentitud el recíproco de la velocidad. Periodo Dominante del Sitio El parámetro que refleja las características dinámicas más relevantes del subsuelo es el periodo predominante del sitio, sT , que puede medirse directamente en campo o determinarse a partir de análisis dinámicos que tengan en cuenta la estratigrafía y las propiedades de los estratos. Aquí se deducirá una ecuación para sT por medio del método de Rayleigh, usando una aproximación estática para el modo fundamental del depósito estratificado y haciendo una corrección empírica para predecir correctamente el valor del periodo fundamental de un manto homogéneo. Con ella se corrige la deficiencia del criterio basado en el concepto del promedio de lentitudes, que no tiene en cuenta la disposición de los estratos en la formación de suelo. Siguiendo una formulación energética, se tiene que la energía potencial del depósito de suelo en una configuración cualquiera está dada por:

dzz

WAzGEp sH

∫0

2

∂∂)(

21

= (36)

Mientras que la energía cinética está dada por:

dzt

WAzEc sH

s∫0

2

∂∂)(

21 ρ= (37)


20

donde sH es el espesor de la estratigrafía

W es el desplazamiento lateral dependiente de z y t G es el módulo de rigidez al corte del suelo A es el área transversal unitaria normal al eje z

sρ es la densidad de masa del suelo en función de z La máxima energía potencial se obtiene cuando la configuración oscilatoria pasa por una posición extrema, sin velocidad; en tanto que la máxima energía cinética se obtiene cuando la configuración oscilatoria pasa por la posición central, sin deformación. Igualando las máximas energías potencial y cinética maxmax EcEp = se tiene que:

dzt

Wzdzz

WzG ss H

s

H

∫∫ 0

2

0

2

∂∂)(

∂∂)( ρ= (38)

Para movimiento armónico, se cumple la siguiente relación entre velocidad y desplazamiento máximos:

Wt

W ω=∂∂

(39)

Sustituyendo la ecuación 39 en la ecuación 38, se llega a:

dzWz

dzz

WzG

s

s

H

s

H

∫∫

0

2

0

2

2

)(

∂∂)(

ρω = (40)

Esta ecuación es conocida como el cociente de Rayleigh. Puede aplicarse a cualquier aproximación de la forma modal W para estimar razonablemente la frecuencia de vibración ω . Suponiendo que el desplazamiento es una función discreta con valores conocidos en los nodos, la variación lineal en el n –ésimo estrato está dada por:

1-1-)( n

n

nn

n

n Wh

zzW

hzz

zW−

+−

= (41)

donde nz es la coordenada del n –ésimo nodo nh es el espesor del n –ésimo estrato nW es el desplazamiento del n –ésimo nodo

Así se tiene que:

n

nn

hWW

zW 1-

∂∂ −

= (42)

Considerando las ecuaciones 41 y 42, la ecuación 40 se transforma en:

21


dzWh

zzW

hzz

dzh

WWG

N

n

z

z nn

nn

n

nn

N

n

z

zn

nnn

n

n

n

n

∑ ∫

∑ ∫

1

2

1-1-

1

2

1-

2

1-

1-

=

=

−+

−

−

=

ρ

ω (43)

donde nG es el módulo de rigidez al corte del n –ésimo estrato nρ es la densidad de masa del n –ésimo estrato

N es el número de estratos Las integrales que aparecen en el numerador y denominador de la ecuación 43, se resuelven como:

n

nnz

zn

nn

hWW

dzh

WWn

n

21-

2

1- )(∫1-

−=

− (44)

)(3

21-1-

22

1-1-∫

1-nnnn

nz

z nn

nn

n

n WWWWh

dzWh

zzW

hzzn

n

++=−

+−

(45)

Sustituyendo las ecuaciones 44 y 45 en la ecuación 43, se llega a:

∑

∑

1

21-1-

2

1

21-

2

)(3

)(

N

nnnnn

nn

N

nnn

n

n

WWWWh

WWhG

=

=

++

−=

ρω (46)

Por otro lado, la deformación de un estrato modelado como viga de cortante es igual a:

i

ii G

τδ = (47)

donde iτ el esfuerzo cortante

Aplicando estáticamente un esfuerzo unitario, 1=iτ , el modo fundamental del depósito se aproxima como:

∑1

n

i i

in G

hW

=

= (48)

En vista de que

n

nnn G

hWW =− 1- (49)

La ecuación 46 se reduce a:


22

∑

∑

1

21-1-

2

12

)(3

N

nnnnn

nn

N

n n

n

WWWWh

Gh

=

=

++=

ρω (50)

Mediante manipulaciones numéricas, la ecuación 50 se transforma en:

( )

++

=

∑∑=

−−=

N

nnnnnnn

N

n n

n wwwwhGh

1

211

2

1

2 3

ρω

(51)

donde

∑

∑

1

1N

i i

i

n

i i

i

n

GhGh

w

=

== (52)

Como 10 ≤≤ nw , nw representa el modo normalizado, y el periodo del sitio ωπ /2=sT , resulta ser:

( )

++

= ∑∑

=−−

=

N

nnnnnnn

N

n n

ns wwwwh

Gh

T1

211

2

132 ρπ

(53)

Para el caso de un manto homogéneo 1hH s = y 2/1

11 )/( ρGvs = . En consecuencia, de la ecuación 53 se obtiene el siguiente resultado:

s

ss v

HT

32π

= (54)

Como el valor correcto debería ser sss vHT /4= , hay necesidad de reemplazar 2/13/2π por 4 en la ecuación 53, con lo que se concluye:

( )

++

= ∑∑

=−−

=

N

nnnnnnn

N

n n

ns wwwwh

Gh

gT

1

211

2

1

4 γ (55)

donde nγ es el peso específico del n –ésimo estrato

g es la aceleración de la gravedad. Con este método, se obtiene una aproximación fidedigna del periodo dominante del terreno. Si con este valor de periodo se obtiene la velocidad efectiva del manto de suelo equivalente sss THv /4= , se pueden obtener valores de velocidad que pueden caer fuera del intervalo en que varían las velocidades de la estratigrafía. Esto es razonable, pues no se trata de un método basado en el promedio de velocidades o lentitudes, sino en una formulación energética.

23


FACTORES DEPENDIENTES DEL SITIO En este trabajo se propone el uso de factores dependientes del sitio para la construcción de los espectros de diseño. Con estos factores se toman en cuenta los efectos que intervienen en la amplificación dinámica de depósitos de suelo que se encuentren comúnmente en la práctica. Estos factores son:

Factores de terreno rocoso Factores de comportamiento lineal del suelo Factores de comportamiento no lineal del suelo

De estos factores, sólo el primer grupo es independiente de las características del depósito de suelo. Se trata de la aceleración máxima en roca y de un factor que mide qué tan cerca o lejos se está de las fuentes sísmicas. Además, de estos dependen dos características del movimiento del depósito. Uno es la amplificación espectral del movimiento, que está relacionada directamente con su contenido energético: mientras más cerca se esté de la fuente sísmica, mayor será el contenido energético en alta frecuencia. El otro es el comportamiento no lineal del depósito de suelo: mientras mayor sea la intensidad del movimiento de excitación, mayores serán los efectos de la no linealidad. Por su parte, los factores de comportamiento lineal del suelo son cuantías de la amplificación del movimiento en condiciones de suelo elástico. Con los factores de comportamiento lineal se introducen dos conceptos. El primero es la relación entre las aceleraciones máximas del suelo y de la roca. El segundo es la relación entre la aceleración máxima espectral y la aceleración máxima del suelo. Estos factores se determinaron a partir de los espectros de Fourier inferidos de los espectros de peligro uniforme en roca y de la función de transferencia de un estrato homogéneo apoyado en un semiespacio. Para ello se hizo uso de la Teoría de Vibraciones Aleatorias. Finalmente, los factores de comportamiento no lineal del suelo se han introducido para tomar en cuenta dos conceptos en forma explícita e independiente. Por una parte, se tiene un factor para reducir las amplitudes del movimiento elástico debidas al aumento en el amortiguamiento, y por otra, se tiene un factor para incrementar el periodo dominante, y con ello modificar la meseta espectral, debido a la reducción del módulo de rigidez. Estos factores de no linealidad se obtuvieron con el modelo lineal equivale de un depósito de suelo, supuesto homogéneo, y con acelerogramas sintéticos deducidos a partir de los espectros de peligro uniforme en roca. A continuación se describe la metodología seguida para la determinación de esto factores. FACTORES DE TERRENO ROCOSO Una vez establecidos los criterios para determinar el peligro sísmico, los factores de terreno rocoso dependen exclusivamente de las coordenadas geográficas del sitio de interés. Estos son la aceleración máxima del terreno en roca y el factor de distancia: Aceleración Máxima del Terreno en Roca ra0 En el capítulo sobre el peligro sísmico en México se hace una descripción detallada de las hipótesis y de los criterios adoptados para determinar espectros de peligro uniforme en sitios arbitrarios del territorio mexicano. Como se señaló, el periodo de retorno asociado al valor de ra0 que se recomienda utilizar para diseño es variable, dependiendo de la posición geográfica del sitio de interés. Para determinar este valor se dispondrá de un mapa digital de este parámetro Factor de Distancia dF El factor de distancia dF es una medida relativa de la distancia entre el sitio y las fuentes sísmicas. En general, un sitio se encuentra afectado por más de una fuente sísmica. Con el factor de distancia, en realidad se estará midiendo la sismicidad relativa en el sitio de interés con respecto a un sitio de referencia. Así, sitios


24

muy alejados de las principales fuentes sísmicas del país, por ejemplo un sitio en Reynosa, Tamaulipas, tendrá un factor de distancia muy diferente que un sitio en Acapulco, Guerrero, en donde se tendrán significativos efectos de no linealidad de los materiales del suelo, además de un mayor contenido energético en alta frecuencia. Se busca dar variaciones suaves y continuas de estas particularidades del movimiento sísmico del terreno a lo largo del territorio mexicano. Por ello, se ha propuesto una forma funcional que sea directamente proporcional a la aceleración máxima en roca, que tiene variaciones suaves y continuas en el territorio mexicano. FACTORES DE COMPORTAMIENTO LINEAL Para determinar los factores de comportamiento lineal del suelo se hizo uso de los siguientes conceptos:

Función de transferencia de un estrato de suelo apoyado en un semiespacio (FTS) Espectro de Fourier de la excitación (EAF) Teoría de vibraciones aleatorias (TVA)

La FTS de un estrato sobre un semiespacio está dada por la ecuación 29. Es conveniente expresar la magnitud de esta función en la superficie del terreno, en términos del periodo dominante, sT , del amortiguamiento material, sζ y del contraste de impedancias mecánicas, sp , de la siguiente forma:

( ) ( )

−+

−

=

ss

sss

s

iT

senpiT

ζω

ζω

ω1

41

4cos

1)(222

H (56)

Por su parte, el movimiento de excitación se expresa mediante su EAF. Como primera aproximación puede optarse por definir el movimiento mediante ruido blanco. En este caso, el EAF estará dado por ( ) 10 =ωA . Si se opta por tomar como excitación un espectro de peligro uniforme, habrá que deducir el correspondiente EAF. Para ello, se puede hacer uso de la relación que existe entre el espectro de respuesta de pseudovelocidad para amortiguamiento nulo y el EAF de la aceleración del movimiento de la excitación. Estadísticamente, se sabe que las respuestas espectrales de pseudovelocidad no amortiguadas son envolventes del EAF. Con rigor, para cualquier tipo de señales, se ha demostrado que el EAF es casi siempre menor que el espectro de pseudovelocidad (Newmark y Rosenblueth, 1971). En combinación con esta similitud, para deducir espectros de pseudovelocidad Sv no amortiguados a partir de espectros de pseudoaceleración Sa amortiguados, en este caso espectros de peligro uniforme, se adaptó una correlación semiempírica propuesta por Newmark y Rosenblueth (1971), dada por

kDe TSaSvA )1()()(≈)(0 Ω+

Ω= ζλωωω (57)

donde Ω es la frecuencia natural angular del oscilador

DT es la duración del movimiento eζ es el amortiguamiento del espectro de pseudoaceleración (nominalmente del %5 )

λ es igual a 6.0 Cuando De TΩζ varía aproximadamente entre 8 y 40 se recomienda que 4.0=k . Para los máximos espectrales de peligro uniforme que se obtienen del estudio de peligro sísmico se cumple esta condición.

)(ωSa es el espectro de peligro uniforme, ahora expresado como función de la frecuencia eT/2πω = , que se adoptará como frecuencia de excitación. Finalmente, se hace uso de la TVA para estimar la respuesta sísmica en suelos blandos. En efecto, con la TVA es posible estimar el valor máximo en el tiempo asociado a una distribución de energía en la frecuencia,

25


es decir, un EAF, más un valor de duración. En realidad, se inicia con el espectro de potencia, que se define como

)()()( *2 ωωω AAA ×= (58) donde

)(ωA es el EAF de referencia y * denota conjugado Para el depósito de suelo se tiene

)()()( 220

2 ωωω ss AA H×= (59) donde

)(20 ωA es el espectro de potencia en la roca asociado al espectro de peligro uniforme y

)()()(2 ωωω ∗×= sss HHH , con )(ωsH dado por la ecuación 29 De acuerdo con la TVA, el valor esperado de la pseudoaceleración máxima –denotado por )(SaE – de un oscilador con periodo Ω= /2πeT y amortiguamiento eζ está dado por

prms fASaE ×=)( (60) El término rmsA es la aceleración cuadrática media del oscilador. Este valor se estima mediante la ecuación

erms D

mA 0= (61)

donde eD es la duración del movimiento del oscilador 0m es el momento de orden cero asociado al espectro de potencia de las aceleraciones del oscilador dado por

)()()( 222 ωωω ese AA H×= (62)

Aquí )(ωeH es la función de transferencia del oscilador. Esta cantidad adquiere la forma

( )ωζω

ωΩ+−Ω

Ω=

ee i222

2

H (63)

Por su parte, el término conocido como factor pico pf , se estima con la ecuación asintótica

0.5772...= ;+ γγ

nnp f

ff = (64)

en que [ ] 2/1 )ln(2 nfn = , siendo tDfn ~2= el número de cruces por cero del movimiento. En esta igualdad tD es la duración del movimiento del terreno y π2/)/(~ 2/1

02 mmf = es la frecuencia característica. El término 2m es el momento de orden 2 . Los momentos de orden k del espectro de potencia

)(2 ωeA están dados por

∫∞

0

2 d )(1 ωωωπ

kek Am = (65)


26

Para hacer uso de estas ecuaciones sólo resta definir las duraciones de los movimientos del terreno tD y del oscilador eD . La duración eD puede determinarse haciendo uso de la aproximación propuesta por Joyner (1984). Si ete TDr /= , se tiene que

312 3

3

+rr

πζT

+=DDe

e

e

ete (66)

Es racional suponer que la duración del movimiento del terreno tD en un depósito de suelo blando está controlada al menos por dos conceptos, es decir srt DDD += . El primero se debe a la duración del movimiento en el terreno firme o rocoso rD . El segundo concepto es el incremento debido a la resonancia típica en los depósitos de suelo blando sD . Para determinar esta duración se calibró una adaptación de la ecuación 66. Si sts TDr /= , se tiene que

3142 3

3

+rr

p+πζ

T=D

s

s

ss

ss (67)

Al combinar estos resultados se tiene que la duración del movimiento del terreno se puede estimar como

3142 3

3

+rr

p+πζ

T+=DD

s

s

ss

srt (68)

Factor de Sitio sF El factor de sitio, sF , es la relación que existe entre la aceleración máxima en la superficie del suelo supuesto con comportamiento lineal, 0a , y la aceleración máxima que se tendría en ese sitio si en la superficie se tuviera un afloramiento rocoso, ra0 , es decir,

rs aa

F0

0= (69)

El cálculo de 0a se hizo tomando como excitación el espectro de potencia correspondiente al movimiento sobre la superficie del depósito de suelo, dado por la ecuación 59, sometido a la acción de ruido blanco y haciendo uso de la TVA. Los momentos de orden k se obtuvieron integrando la ecuación dada por la ecuación 65 hasta una frecuencia maxf . Esta frecuencia está relacionada con la distancia a las fuentes sísmicas, es decir con el factor de distancia. Como primera aproximación se propuso que esta relación fuera directamente proporcional. Así, si se fija que Hzf 12max = para sitios con el mayor peligro sísmico

)1( =dF , se tiene que para factores de distancia 12/13/1,3/2 yFd = , las frecuencias máximas de integración serán HzyF 14,8max = . En la figura 12 se ilustran contornos de sF como funciones del contraste de impedancias sp y un factor 2/1

dssd FTf = para hacer intervenir al periodo dominante del terreno y al factor de distancia. Con líneas suaves se indica la solución de referencia, que corresponde al uso de la TVA y al EAF del movimiento del suelo. Con líneas gruesas se indican los contornos obtenidos con interpolación lineal a partir de algunos valores seleccionados de los contornos de referencia para

Hzf 12max = . Estos resultados muestran que el escalamiento de los periodos del terreno con el factor de distancia es correcto y que el uso de la interpolación lineal a partir de unos cuantos valores puede suministrar magníficos resultados.

27


Figura 12. Contornos de sF como función del contraste de impedancias sp y del factor 2/1dssd FTf = .

Con líneas delgadas discontinuas se indica la solución que corresponde al uso de la TVA y al EAF del movimiento del suelo. Con líneas gruesas se indican los contornos obtenidos mediante interpolación lineal de algunos valores seleccionados de los contornos indicados con líneas delgadas discontinuas para

Hzf 12max = . Factor de Respuesta rF El factor de respuesta, rF , es la relación que existe entre la aceleración máxima espectral, c , y la aceleración máxima del terreno, 0a , es decir,

0acFr = (70)

El cálculo de c se hizo tomando como excitación el espectro de potencia correspondiente al movimiento del oscilador en representación de la estructura desplantada sobre la superficie del depósito de suelo, dado por la ecuación 62, sometido a la acción de ruido blanco y haciendo uso de la TVA. Los momentos de orden k se obtuvieron integrando la ecuación dada por la ecuación 65 para varias frecuencias máximas maxf . Se encontró que los cocientes entre la respuesta espectral máxima (en el intervalo de periodos estructurales de interés, entre 05.0=eT y s0.3 ) y la aceleración máxima del suelo 0a , no dependen significativamente de la frecuencia máxima de integración maxf . En la figura 13 se ilustran contornos de rF como función del contraste de impedancias sp y el periodo dominante del terreno sT . Con líneas suaves se indica la solución de referencia, que corresponde al uso de la TVA y al EAF del movimiento del oscilador. Con líneas gruesas se indican los contornos obtenidos con interpolación lineal a partir de algunos valores seleccionados de los contornos de referencia. Al igual que los contornos de sF , estos resultados muestran que el uso de la interpolación lineal a partir de unos cuantos valores puede suministrar magníficos resultados.


28

Figura 13. Contornos de rF como función del contraste de impedancias sp y del periodo dominante del terreno sT . Con líneas delgadas discontinuas se indica la solución que corresponde al uso de la TVA y al EAF del movimiento del oscilador apoyado en la superficie del suelo. Con líneas gruesas se indican los contornos obtenidos mediante interpolación lineal de algunos valores seleccionados de los contornos indicados con líneas delgadas discontinuas. FACTORES DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL Se ha observado que los suelos pueden presentar comportamiento no lineal en sus propiedades dinámicas para los niveles de deformación inducidos por temblores intensos. Es importante incluir este fenómeno en los estudios de amplificación dinámica del movimiento del terreno. Para ello, es necesario ajustar las propiedades dinámicas más relevantes del suelo de acuerdo con los niveles de deformación esperados para los estados límite de diseño, en particular, la prevención de colapso. Para determinar las propiedades dinámicas de los suelos se emplean diferentes ensayes de campo y de laboratorio, dependiendo del tipo de material y del nivel de deformación impuesto. En la mayoría de las pruebas se verifica que el módulo de rigidez en cortante y el amortiguamiento interno son los parámetros más afectados por la no linealidad del suelo. Además, se sabe que estos parámetros son los de mayor influencia en la respuesta sísmica de depósitos de suelo. En el trabajo de Jaime (1987) está ampliamente descrito el comportamiento dinámico de los suelos, así como los ensayes de campo y de laboratorio para determinar sus propiedades dinámicas. Una manera directa de incluir la no linealidad del suelo es prescribir las relaciones cíclicas esfuerzo–deformación con base en las evidencias experimentales. Para ello, es necesario introducir dos conceptos: curva esqueleto y criterio de descarga–recarga. La curva esqueleto es la relación esfuerzo–deformación que se obtiene durante la carga inicial. Para deformaciones infinitesimales debe reflejar el comportamiento lineal del suelo. De hecho, la tangente a esta curva en el origen tiene como pendiente el módulo de rigidez inicial o máximo. A medida que aumentan las deformaciones, la pendiente de la tangente a la curva esqueleto va disminuyendo. Con el criterio descarga–recarga se describen las trayectorias esfuerzo–deformación que deben seguirse durante la descarga y la recarga. La curva esqueleto y el criterio de descarga–recarga constituyen un mecanismo sencillo para la construcción de las relaciones cíclicas esfuerzo–deformación, como se ilustra en la figura 14 para comportamiento material de tipo Masing (Newmark y Rosenblueth, 1971).

29


Figura 14. Curva esqueleto y criterio de descarga–recarga para comportamiento material de tipo Masing. Las variaciones típicas de la no linealidad en el módulo de rigidez y el amortiguamiento interno pueden expresarse directamente como función de la deformación cíclica en cortante. Al emplear el método lineal equivalente (Seed e Idriss, 1970) se establece que el modelo de respuesta lineal es aplicable para comportamiento no lineal del suelo si el módulo de rigidez se aproxima como el módulo secante al origen en la curva esqueleto. Por su parte, la relación de amortiguamiento se toma proporcional al área del ciclo de histéresis, que es una medida de la capacidad de disipación de energía del material. En la figura 15 se muestra que el módulo de rigidez y la relación de amortiguamiento son función de la magnitud de la deformación del suelo: la rigidez disminuye y el amortiguamiento aumenta conforme aumenta la deformación.

Figura 15. Comportamiento esfuerzo–deformación para dos niveles de deformación del suelo. Los valores del módulo de rigidez y la relación de amortiguamiento para la deformación impuesta se pueden estimar con las fórmulas de Hardin y Drnevich (Hardin y Drnevich, 1972):

rc

c

GG

γγ+=

11

max

(71)

−=

maxmax 1

GGc

c ζζ (72)

donde


30

cG es el módulo de rigidez cζ es la relación de amortiguamiento del suelo, para la deformación cíclica cγ maxG es el módulo de rigidez máximo del suelo para pequeñas deformaciones maxζ es la relación de amortiguamiento máxima del suelo para grandes deformaciones rγ es la deformación de referencia del suelo para pequeñas deformaciones igual a maxmax / Gτ maxτ es el esfuerzo cortante máximo del suelo

Según la ecuación 72, cζ debe interpretarse como el amortiguamiento que surge por efectos no lineales, puesto que para deformaciones infinitesimales maxGGc = y por consiguiente 0=cζ . Al considerar el amortiguamiento viscoso del material, se tiene que

cvtotal ζζζ += (73) donde

totalζ es el amortiguamiento total y está formado por vζ y cζ que son los amortiguamientos viscoso e histerético del suelo, respectivamente. Las curvas que se obtienen con las ecuaciones 71 y 72 no reflejan completamente el comportamiento no lineal del suelo. No obstante, se acepta que los valores derivados para el módulo de rigidez y la relación de amortiguamiento representan los valores promedio que se tendrían ante la deformación impuesta por una excitación armónica. Con base en resultados clásicos sobre el comportamiento no lineal del suelo (Seed e Idriss, 1970), se adaptaron las curvas de módulo de cortante dinámico y fracción de amortiguamiento crítico que se ilustran en las figuras 16 y 17 para suelos arcillosos y granulares, respectivamente. A partir de estas correlaciones se ajustaron relaciones empíricas para estimar los parámetros rγ y maxζ que son necesarios para la aplicación de las ecuaciones 71 y 72. Para arcillas saturadas se obtuvieron las siguientes ecuaciones en términos del índice de plasticidad pI :

5-10)65.4824.5( ×−= prs Iγ (74)

25.0max =sζ (75) En tanto que para arenas y gravas se obtuvieron las siguientes ecuaciones en términos de la velocidad de ondas de cortante )/( smvs :

sr vlog43.129.0log −=γ (76)

800200

1.02.0max

−+= s

sv

ζ (77)

Cuando se conozcan las curvas de módulo de cortante dinámico y fracción de amortiguamiento crítico para suelos específicos, éstas se preferirán en lugar de las relaciones empíricas. El método lineal equivalente consiste en partir con las propiedades elásticas del suelo y examinar las deformaciones que se tienen en un análisis dinámico ante una excitación. Después se hace uso de las ecuaciones 71 y 72, o se entra en las curvas consignadas en las figuras 16 y 17, o se emplean relaciones empíricas específicas y se adoptan los valores de velocidad de ondas de corte 2/1)/( sss Gv ρ= y amortiguamiento sζ compatibles con el nivel de deformación obtenido del análisis lineal inicial. Se continúa con estos valores de velocidad y amortiguamiento en un segundo análisis lineal y se examinan nuevamente las deformaciones con el propósito de determinar los parámetros dinámicos del suelo compatibles con el nivel de deformaciones. Típicamente, después de ocho iteraciones se llega a valores equivalentes de velocidad y

31


amortiguamiento que reflejan el comportamiento no lineal del suelo ante las deformaciones impuestas por la excitación.

Figura 16. Variación del módulo de cortante y la fracción de amortiguamiento crítico con la deformación cíclica, para arcillas saturadas.

Figura 17 Variación del módulo de cortante y la fracción de amortiguamiento crítico con la deformación cíclica, para arenas y gravas. Factor de No Linealidad nlF El factor de no linealidad, nlF , es la relación que existe entre la aceleración máxima espectral no lineal, nlc , y la aceleración máxima espectral elástica, c , es decir,

cc

F nlnl = (78)

El cálculo de nlc se hizo tomando como excitación espectros de peligro uniforme correspondientes a diferentes factores de distancia dF entre 0 y 1. De estos espectros de peligro uniforme se obtuvieron los correspondientes EAF de acuerdo con la ecuación 57. Con estos EAF se calcularon respuestas de osciladores desplantados sobre la superficie de depósitos de suelo de tipo granular y arcilloso con comportamiento no lineal. Los resultados se expresan en términos del cociente dado por la ecuación 78. En la figuras 18 y 19 se presentan estos resultados como funciones del periodo dominante del terreno, sT , para suelos granulares y arcillosos, respectivamente. Estos se indican con líneas gruesas continuas. Se seleccionaron cuatro contrastes de impedancias, sp , y siete factores de distancia, dF . Para los suelos granulares se emplearon las relaciones dadas por las ecuaciones 76 y 77. Para suelos arcillosos se emplearon las relaciones dadas por las ecuaciones


32

74 y 75, tomando un índice de plasticidad 150=pI . Este valor es conservador, pues los efectos de la no linealidad aparecerán a mayores deformaciones en comparación con índices de plasticidad menores. Para ambos tipos de suelo se observa que cuando el periodo dominante tiende a cero, el factor de no linealidad, nlF , tiende a 1, y que este se reduce a medida que el periodo aumenta. Así mismo, se observa que los efectos de la no linealidad en la respuesta máxima aumentan (factores nlF más pequeños = reducciones mayores) cerca de las fuentes sísmicas, es decir, cuando el factor de distancia, dF , tiende a 1. Para cada una de las curvas nlF de las figuras 18 y 19, con línea delgada punteada se índica una aproximación práctica que es conservadora en todo el dominio estudiado. Esta aproximación es de la forma

( )

>′

≤′−−=

rsnl

rsr

snl

nl

TTsiF

TTsiTT

FF

11 (79)

donde rT es un periodo de referencia igual a s5.1 nlF ′ es el valor constante que adquiere nlF para periodos mayores que rT

Figura 18. Variaciones del factor de no linealidad nlF en suelos granulares.

A partir de este examen, es claro que el factor de no linealidad nlF , con que se reducirán las ordenadas del espectro de diseño, por comportamiento no lineal del suelo, es función del periodo dominante del terreno, sT , del contraste de impedancias, sp , y de la intensidad del movimiento de excitación, implícito en el factor de distancia dF . En la figura 20 se ilustran, con líneas delgadas discontinuas, algunos contornos de nlF ′ como función del contraste de impedancias, sp , y del factor de distancia dF , correspondientes a suelos granulares y arcillosos. Con líneas gruesas continuas se indican los contornos obtenidos con interpolación lineal a partir de algunos valores de nlF ′ seleccionados de los contornos referidos con líneas delgadas discontinuas. Como era de esperarse, los efectos reductores de la no linealidad del suelo se incrementan en depósitos de suelo blando (pequeños contrastes de impedancias sp ), en sitios cercanos a las fuentes sísmicas (factores de distancia dF

33


cercanos a 1). En particular, para depósitos arcillosos muy blandos, caracterizados por contrastes de impedancias 2.0<sp , y con periodos rs TT > , estos efectos de la no linealidad son significativamente mayores que los que se presentan en depósitos granulares con impedancia sp comparable. Para contrastes de impedancias 5.0>sp , estos efectos son del mismo orden, tanto en suelos granulares como arcillosos.

Figura 19. Variaciones del factor de no linealidad nlF en suelos arcillosos.

Figura 20. Contornos de nlF ′ como función del contraste de impedancias sp y del factor de distancia dF . Con líneas delgadas discontinuas se indican los nlF ′ obtenidos de curvas como las que se ilustran en las figuras 18 y 19. Con líneas gruesas se indican los contornos obtenidos mediante interpolación lineal.


34

Factor de Velocidad vF El factor de velocidad, vF , es la relación que existe entre la velocidad equivalente del suelo, compatible con el nivel de deformaciones, nlv , y la velocidad del suelo en condiciones elásticas, sv , es decir,

s

nlv v

vF = (80)

Los valores de nlv se obtuvieron del análisis no lineal equivalente, descrito en la sección relacionada con los Factores de Comportamiento No Lineal. De acuerdo con este método, se obtiene la velocidad equivalente del depósito de suelo que es compatible con el nivel de deformaciones alcanzado durante la excitación sísmica. Los resultados se expresan, convenientemente, en términos del cociente dado por la ecuación 80. En las figuras 21 y 22 se presentan resultados análogos a los que se presentan en las figuras 18 y 19. Para ambos tipos de suelo se observa que cuando el periodo dominante tiende a cero, el factor de velocidad,

vF , tiende a 1, y que este se reduce a medida que el que el periodo aumenta. Así mismo, se observa que los efectos de la no linealidad en la velocidad aumentan (factores vF más pequeños = reducciones mayores) cerca de las fuentes sísmicas, es decir, cuando el factor de distancia, dF , tiende a 1. Para cada una de las curvas vF de las figuras 21 y 22, con línea delgada punteada se índica una aproximación práctica que es conservadora en todo el dominio estudiado. Esta aproximación es de la forma

( )

>′

≤′−−=

rsv

rsr

sv

v

TTsiF

TTsiTT

FF

11 (81)

donde

rT es un periodo de referencia igual a s5.1 vF ′ es el valor constante que adquiere vF para periodos mayores que rT

Figura 21. Variaciones del factor de velocidad vF en suelos granulares.

35


A partir de este examen, es claro que el factor de velocidad vF con que se reducirá la velocidad de propagación de ondas del suelo sv , por comportamiento no lineal del suelo, es función del periodo dominante del terreno, sT , del contraste de impedancias, sp , y de la intensidad del movimiento de excitación, implícito en el factor de distancia dF .

Figura 22. Variaciones del factor de velocidad vF en suelos arcillosos.

En la figura 23 se ilustran, con líneas delgadas discontinuas, algunos contornos de vF ′ como función del contraste de impedancias, sp , y del factor de distancia, dF , correspondientes a suelos granulares y arcillosos. Con líneas gruesas continuas se indican los contornos obtenidos a partir de algunos valores de vF ′ seleccionados de los contornos referidos con líneas delgadas discontinuas y haciendo uso de la interpolación lineal. Nuevamente, los efectos de la no linealidad del suelo en la velocidad sv , se incrementan en depósitos de suelo blando (pequeños contrastes de impedancias sp ) en sitios cercanos a las fuentes sísmicas (grandes factores de distancia dF ). Al igual que los contornos de sF y rF , los resultados ilustrados en las figuras 20 y 23 muestran que el uso de la interpolación lineal, a partir de unos cuantos valores, puede suministrar magníficos resultados.

Figura 23 Contornos de vF ′ como función del contraste de impedancias sp y del factor de distancia dF . Con líneas delgadas discontinuas se indican los vF ′ obtenidos de curvas como las que se ilustran en las figuras 21 y 22. Con líneas gruesas se indican los contornos obtenidos mediante interpolación lineal.


36

ESPECTROS DE DISEÑO Como puede anticiparse, los espectros de peligro uniforme tienen formas muy variadas, lo cual haría inconveniente su incorporación en normas o recomendaciones tal como están; es necesario entonces simplificar sus formas. Para ello, se ha elegido la siguiente forma paramétrica del espectro de aceleración,

)( eTSa :

( )

( )

≥<

=≥

+

<≤

<≤

<+

=

sTsiTsTsis

TTsi;TT

TT

-kkTT

cβ

TTsi T;TT

βc

TTTsiβc;

TTsi;TT

βc-aa

g)Sa(T

bb

bce

e

c

e

c

r

c

b

ceb

r

e

b

bea

aea

e

e

222

122

00

(82)

La forma del espectro suavizado depende de ocho parámetros: 0a , que es la aceleración máxima del terreno; c , que es la ordenada espectral máxima; aT , bT y cT , que son periodos característicos del espectro; β que es el factor de amortiguamiento, r que es el parámetro que controla la caída de las ordenada espectrales para

cTTT eb <≤ , y finalmente k , que es el parámetro que controla la caída de la ordenada espectral para ce TT ≥ . El valor r está comprendido en el intervalo 15.0 ≤≤ r . Se trata de una relación adaptada de

códigos mexicanos anteriores que para periodos del terreno menores que 0.5 s se especifica igual a 0.5, periodos del terreno mayores que 1.0 s se especifica igual a 1.0 y para periodos entre los límites de este intervalo se especifica con una dependencia lineal con el periodo de sitio ( sTr = ). El factor de amortiguamiento, β , permite modificar las ordenadas espectrales para tomar en cuenta otros niveles de amortiguamiento estructural, o bien, los efectos de la interacción suelo–estructura en el amortiguamiento. Su ecuación está dada por

≥

−

+

<≤

<

−

+

=

cee

c

.

e

cea

.

e

aea

e

.

e

T si T;TT

ζ.

TT si T;ζ.

T si T;TT

ζ.

β

10501

050

10501

450

450

450

(83)

El usuario deberá calcular el factor β para el valor de amortiguamiento requerido en el diseño, ya sea por la naturaleza del proyecto estructural o por incluir los efectos de interacción suelo–estructura. En este último caso deberá tomar en cuenta que el periodo estructural especificado en la ecuación 83, corresponde al periodo estructural modificado por interacción, es decir, el periodo efectivo. Una vez determinado el factor de amortiguamiento, β , podrá modificar las ordenadas espectrales de acuerdo con la ecuación 82. Para

37


amortiguamientos estructurales %5=eζ , en ausencia de los efectos de interacción suelo–estructura, o bien, en los extremos del espectro de diseño ( 0=eT y ∞=eT ) se tiene 1=β . Las formas espectrales para be TT < son las mismas que se han usado en los códigos mexicanos desde hace muchos años. Sin embargo, para be TT ≥ se propone una forma nueva que depende precisamente del valor de

bT (en vista de la condición impuesta en cT según la ecuación 82). Si sTb 2< se tiene un espectro de diseño de cuatro ramas, mientras que si sTb 2≥ el espectro es de tres ramas, ya que la rama en el intervalo

ceb TTT <≤ desaparece, pues bc TT = . Con esta forma se tiene una descripción más adecuada de los espectros de desplazamiento en el intervalo de periodos en que ce TT ≥ . Como se sabe, a periodos largos el desplazamiento espectral tiende a una constante, que es el desplazamiento máximo del suelo, maxD . En vista de la relación entre pseudoaceleración y desplazamiento ( 22 4/ πeTSaSd = ), lo anterior sólo puede lograrse si el espectro de pseudoaceleración decae al menos como 2

eT para periodo suficientemente largo. Las formas que estipulan prácticamente todos los reglamentos del mundo para el espectro de pseudoaceleración señalan un decaimiento más lento, que conduce a que el espectro de desplazamiento, en muchos casos, crezca indefinidamente con el periodo. Esto es inadecuado, especialmente donde pueden presentarse grandes desplazamientos espectrales para se TT ≈ , y desplazamientos considerablemente menores para se TT >> . Por ejemplo, el registro obtenido en la Secretaría de Comunicaciones y Transportes durante el sismo del 19 de septiembre de 1985 (componente EW) presenta un desplazamiento espectral máximo de cm120 , y alrededor de cm20 para se TT >> . Por ello, se busca que la forma espectral propuesta para ce TT ≥ conduzca a espectros de desplazamiento más realistas, y sea suficientemente rica como para representar, tanto espectros de desplazamiento típicos de terreno firme (donde se tienen cuatro ramas y 2=k ), como espectros de suelos muy blandos (donde se tienen tres ramas y k es sensiblemente menor que 1). Este nuevo parámetro k tiene significado físico. En la ecuación 82 puede observarse que, independientemente del valor de k , cuando eT tiende a infinito, el espectro de pseudoaceleración tiende a cero, pero el espectro de desplazamiento tiende a una constante ( gD /max ) dada por:

2/1

2

2max

4

=

c

bc

TT

πcT

kg

D (84)

maxD , el desplazamiento máximo del terreno, es independiente de β en vista de la ecuación 83. Si 1≥k , el

desplazamiento máximo espectral es el desplazamiento máximo del terreno. Si 1<k , el desplazamiento máximo espectral ocurre cuando ce TT = , y estará dado por:

2/1

2

2max

4

=

c

bc

TT

πTc

βg

Sd (85)

De donde puede deducirse que el coeficiente k es justamente el cociente entre el desplazamiento máximo del suelo y el desplazamiento espectral máximo modificado por β :

βmax

max

SdD

k = (86)

Para movimientos monocromáticos, conocidos como de banda angosta puede demostrarse que cak /0β= , es decir, rFk /β= , siendo rF el factor de respuesta. Estos movimientos son típicos de depósitos de suelo muy blandos. Por ello, para suelos de este tipo será conservador especificar el coeficiente k como el valor máximo rFk /,35.0max β= .


38

Espectros de Diseño para Estructuras del Grupo A En el estudio de optimación descrito, se encontró que el factor de importancia de 5.1 , que se aplica para las estructuras del grupo A, conduce a coeficientes cercanos a los óptimos para la mayor parte del territorio mexicano. Este factor, obtenido para terreno rocoso, se adoptará ante cualquier condición de suelo y con él se modificarán todas las ordenadas del espectro de diseño para el estado límite de colapso, pues se trata de prevenir la falla de estructuras de especial importancia.

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