Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES PARA LOS CURSOS DE TEORÍA GENERAL DE ESTRUCTURAS DEL PROGRAMA DE MAESTRÍA EN LA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DE LA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

Ernesto L. Treviño Treviño (*)

RESUMEN

Se describen algunas deficiencias formativas observadas en años recientes y en forma recurrente en los alumnos de primer ingreso al programa de Maestría en Ciencias con especialidad en estructuras de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Autónoma de Nuevo León. Se expone una tentativa de evaluación de la problemática así como las medidas remediales que han sido tomadas por el autor. Se presentan unas reflexiones finales en torno a la problemática y se sugieren acciones tendientes a mejorar la formación de los estudiantes en esta área del conocimiento.

ABSTRACT

This paper describes some educational deficiencies observed consistently in the incoming students of the program of Master of Science with emphasis in Structures at the Civil Engeneering Department of the Universidad Autónoma de Nuevo León during recent years. The author shows a tentative for evaluation of the problem and the remedial actions already taken. Furthermore, this paper presents some final thoughts around the problem and suggests a series of actions addressed towards the improvement of the students´ education in this area of knowledge.

INTRODUCCIÓN En nuestro país los estudios de posgrado comprenden tres estructuras académicas bien definidas; a saber: Especialización, Maestría y Doctorado. Los programas de maestría que se ofrecen en la Universidad Autónoma de Nuevo León son de dos tipos con propósitos y características propias, y van dirigidos a individuos con intereses distintos: Maestrías en Ciencias y Maestrías en Áreas Específicas. Los programas de Maestría en Áreas Específicas se caracterizan por promover en el alumno el desarrollo de habilidades y destrezas de experto para dar solución a cuestiones y problemas prácticos dentro del contexto del ejercicio profesional; mientras que los programas de Maestría en Ciencias se caracterizan por el trabajo de investigación científica que el alumno debe desarrollar en su tesis y defender posteriormente en su examen de grado. Además, una característica común a ambos programas es el tener como objetivo fundamental la formación de recursos humanos altamente calificados, poseedores de las siguientes cualidades (UANL, 1999)

• Amplia visión y dominio de su campo disciplinario • Capacidad de aprendizaje autónomo • Actitudes inquisitivas, críticas e innovadoras

___________________________________________________________________________________ (*) Profesor Titular, Subdirección de Estudios de Posgrado Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Autónoma de Nuevo León Correo electrónico: ertrevin@fic.uanl.mx

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En la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Autónoma de Nuevo León se ofrece actualmente un programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Estructuras, y se encuentra en proceso de evaluación la apertura de un programa de Especialización en Estructuras y otro de Maestría en Ingeniería Estructural. Dentro del grupo de unidades de enseñanza–aprendizaje obligatorias del mencionado programa de Maestría en Ciencias se ubican dos asignaturas de Teoría General de Estructuras, cada una con duración de un semestre y con valor académico de seis créditos. El objetivo general de Teoría de Estructuras I es el profundizar en el conocimiento y comprensión de los métodos clásicos para el análisis elástico de primer orden de estructuras esqueletales planas constituidas por elementos barra de eje recto o curvo, de sección constante o variable. Se estudian algunos casos de análisis no lineal y de análisis de estabilidad elástica de estructuras planas. Se introduce el análisis lineal de estructuras espaciales simples. Se enfatizan los principios fundamentales, y en todos los temas se incluyen notas históricas de su génesis y evolución. Se desarrollan ejercicios de aplicación. Además de su valor formativo, se considera conveniente el dominio del contenido de este primer curso antes de abordar el estudio de métodos mas avanzados de análisis estructural por lo que acreditarlo es prerequisito para cursar Teoría de Estructuras II cuyo objetivo general es el estudio del planteamiento matricial de los métodos de análisis con énfasis en el método directo de las rigideces. (FIC, 2000)

LA PROBLEMÁTICA ACTUAL Al observar el desempeño mostrado por los alumnos y evaluar su nivel académico en las primeras sesiones de clase y durante todo el semestre, hemos concluido que existe una deficiencia formativa, entre cuyas características principales se pueden enunciar: a) falta de comprensión cabal de los principios y conceptos fundamentales; b) falta de “sensibilidad” estructural; c) olvido de conceptos y principios básicos de la teoría de las estructuras y; d) dificultad para plantear los modelos matemáticos, así como para interpretar y verificar adecuadamente los resultados de análisis efectuados por medio de herramientas computacionales. Lamentablemente, ésta problemática se observa en forma generalizada y cada vez con mayor frecuencia, en los alumnos de primer ingreso al programa de maestría; y va desde un manejo inadecuado de la terminología propia de la disciplina hasta confusiones graves, y –en un buen número de casos– el desconocimiento absoluto de conceptos, postulados y principios básicos de asignaturas propias del area de estructuras, tales como física general, estática, mecánica de materiales; incluyendo desde luego las de análisis estructural elemental. El rezago es de tal magnitud, que continuamente se hace indispensable el exponer y recordar conceptos elementales -pero fundamentales- que se desconocen o en los que se tienen malentendidos, ya que de no hacerlo así, sería extremadamente difícil para los alumnos asimilar adecuadamente los contenidos propios del curso. Además, esto impide avanzar al ritmo necesario para cubrir todos los temas previstos en el contenido de las asignaturas, sin poner en riesgo el logro de un aprendizaje efectivo y completo.

MARCO DE REFERENCIA HISTÓRICO A fin de visualizar la importancia de los principios básicos de la teoría de las estructuras, a continuación exponemos un esbozo histórico del desarrollo de la misma, donde se puede apreciar el cómo tales principios han sido válidos a través de la historia, variando exclusivamente su aplicación, en función de los recursos que han existido en cada una de las etapas de su desarrollo. Después de las contribuciones de Coulomb, Navier, Lamé, Clapeyron y Saint-Venant, quienes sentaron las bases de la mecánica de materiales moderna; la segunda mitad del siglo XIX puede ser considerada como la época de oro de lo que ahora conocemos como los Métodos Clásicos o la Teoría Clásica de las Estructuras. “El término “clásico” se utiliza porque estos métodos han estado en uso desde mucho tiempo antes del advenimiento de la computadora digital para la cual la teoría clásica fue replanteada en notación matricial.” (Wang y Salmon, 1984)

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Entre los mas importantes investigadores que contribuyeron al vertiginoso desarrollo logrado en esa época destacan: Jaques Antoine Charles Bresse (1822-1883); Alfred Clebsch (1833-1872); William John Macquorn Rankine (1820-1872); George B. Airy (1801-1892); James Clerk Maxwell (1831-1879); Carlo Alberto Pio Castigliano (1847-1884); Enrico Betti (1823-1892); Luigi Frederico Ménabréa (1809-1896); Luigi Cremona (1830-1903); Carl Culmann (1821-1881); Otto Mohr (1835-1918); Charles E. Greene (1842-1903); Joseph Victor Williot (1843-1907); Heinrich Müller-Breslau (1851-1925); Friederich Engesser (1848-1931); A. Wöhler (1819-1914); August Föppl (1854-1924); Johann Bauschinger (1833-1893); Ludwig von Tetmajer (1850-1905) y Félix S. Jasinsky (1856-1899). Cada uno de ellos nos legaron importantísimas aportaciones, de aplicación vigente hasta el presente, entre las que destaca el “método general” o de “deformación consistente” para la solución de estructuras hiperestáticas en el que las incógnitas son las fuerzas redundantes. Este método –que se acredita a Maxwell, Mohr y Müller- Breslau fue utilizado casi universalmente para el análisis de vigas continuas, armaduras y marcos, los cuales eran los tipos estructurales de interés en esa época. Mas tarde, durante el primer cuarto del siglo XX, H. Manderla y A. Bendixen en Alemania, G.A Maney en los Estados Unidos y A. Ostenfeld en Dinamarca dieron a conocer las ideas básicas de otro método de análisis para vigas continuas, armaduras y marcos, en el que las incógnitas son los desplazamientos lineales y angulares en lugar de las fuerzas redundantes. George A. Maney de la Universidad de Minnesota presentó en 1915 su método con el nombre de método de “pendiente-deflexión” el cual pasó a ser el más popular para el análisis de vigas continuas y marcos rígidos hasta la publicación del método de distribución de momentos por Hardy Cross. (Timoshenko, 1953) Los métodos de “deformación consistente” y de “pendiente-deflexión” fueron los precursores de los métodos matriciales que ahora se conocen como método de las fuerzas, de las flexibilidades o de compatibilidad, y como método de los desplazamientos, de las rigideces o de equilibrio, respectivamente. Aun y cuando desde la segunda mitad del siglo XIX el concepto de matrices fue introducido por James Joseph Sylvester (1814-1897), William Rowan Hamilton (1805-1865) y Arthur Cayley (1821-1895); (Struik, 1994; Sáenz Q., 1994) fue hasta el segundo cuarto del siglo XX que se hicieron los primeros intentos de asociar los conceptos matemáticos del álgebra matricial con los conceptos ingenieriles del análisis estructural. Sin embargo, fue muy poco el progreso logrado en el desarrollo de métodos de análisis estructural con enfoque matricial en ese período. Esto se debió principalmente a las limitaciones impuestas por el número de ecuaciones simultáneas que podían ser resueltas de manera práctica en forma manual ya que tanto los métodos de fuerzas como los de desplazamientos conducen al planteamiento de sistemas de ecuaciones que llegan a ser de grado elevado aun para estructuras no muy grandes. Esta situación prevaleció hasta 1930 cuando Hardy Cross presentó su método de distribución de momentos el cual vino a revolucionar en gran medida el análisis estructural, pues hizo posible la solución de problemas con grado de complejidad significativamente mayor que los problemas mas complicados que podían ser resueltos mediante los enfoques anteriores. Casi simultánea pero independientemente de Cross, R.V. Southwell de la Universidad de Oxford presentó los procedimientos mas generales de relajaciones para la solución por aproximaciones sucesivas de ecuaciones simultáneas de gran número de incógnitas. El método de Cross, y en general los métodos de relajaciones, llegaron a ser la principal herramienta para el análisis de estructuras continuas hasta la década de los años sesenta, y sigue siendo muy utilizado en la actualidad para el análisis de estructuras pequeñas y para verificar los resultados de análisis efectuados por computadora. El advenimiento de las computadoras digitales en los primeros años de la década de los cincuenta del siglo XX fue el detonador para que algunos investigadores con visión a futuro, anticipando el impacto que estas tendrían en la práctica, regresaran a los métodos clásicos –el de las fuerzas y el de los desplazamientos– y emprendieran la tarea de replantearlos en un formato mas apropiado para las computadoras: el formato matricial. Entre ellos destacan J.H. Argyris; S. Kesley; R.K. Livesly; H.C. Martin; M.T. Turner; E.L. Wilson y O.C. Zienkiewicz.

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De esta forma, los métodos clásicos de análisis que requieren de la solución de un gran número de ecuaciones simultáneas y que por ello habían sido sustituídos por los métodos de relajaciones, paradójicamente se convirtieron en prácticos de aplicar un siglo después. A partir de ese momento, los procedimientos que los ingenieros utilizan para el análisis de las estructuras de ingeniería civil comenzaron a modificarse progresiva y significativamente. La disponibilidad de computadoras personales y de paquetes computacionales a relativamente bajo costo condujo a que tanto en las grandes empresas como en los pequeños despachos, se les utilicen para la ejecución de prácticamente todos los trabajos de ingeniería. Los avances logrados en las últimas dos décadas en el desarrollo de las computadoras personales ha promovido a su vez el desarrollo de paquetes computacionales capaces de resolver complejos problemas de ingeniería que en años anteriores solo era posible hacerlo con equipos costosos y de gran tamaño. Tal es el caso del análisis no lineal de estructuras. A éste respecto, es importante apuntar que desde los primeros desarrollos del análisis estructural, se reconoció la conveniencia de tomar en cuenta los efectos de la no linealidad geométrica y de los materiales, y que para fines del siglo XIX ya se habían hecho importantes aportaciones en este sentido. Sin embargo, fue hasta fines del siglo XX que pudo lograrse la inclusión de dichos efectos de una manera razonablemente general y práctica, gracias al planteamiento matricial de los métodos de análisis y a la gran capacidad de cómputo alcanzada a esa fecha. Recapitulando, si se considera: a) que el conocimiento científico es la acumulación de verdades relativas sobre un tema determinado que en el transcurrir del tiempo se van reformando, afinando, suprimiendo o añadiendo, pero siempre a partir de principios heredados sucesivamente; b) que los principios básicos de la ingeniería estructural siguen y seguirán siendo válidos, independientemente de los métodos de análisis que se adopten, y c) que tales principios son indispensables para el logro de una perfecta comprensión del significado verdadero de la teoría de las estructuras; concluimos que es de vital importancia que los alumnos se apropien de un conocimiento claro de todos y cada uno de los conceptos estructurales básicos que se fueron estableciendo a lo largo de la historia, ya que de no ser así es muy probable que tendrán serias dificultades para la comprensión de los planteamientos generalizados en formato matricial y de los resultados que se obtengan a través del uso de las herramientas computacionales contemporáneas.

IMPACTO EN LA EDUCACIÓN Uno de los aspectos en los que el desarrollo histórico bosquejado ha influido de manera significativa es en la educación. Estudiosos de la materia difieren en sus publicaciones sobre el contenido que debe cubrirse en los cursos de análisis estructural en el nivel de licenciatura. Mientras que algunos opinan que un dominio de los métodos clásicos es indispensable antes de abordar el estudio de los métodos matriciales, otros consideran que debe enseñarse una combinación balanceada de ellos, transitando en cada tema de los métodos clásicos hacia los matriciales. Algunos otros –los menos– piensan que es preferible introducir de inmediato al estudiante a los métodos matriciales modernos abandonando el estudio de los métodos clásicos Aun y cuando existen algunas diferencias de opinión, puede afirmarse que el consenso en la comunidad educativa internacional es en el sentido del segundo de los enfoques anteriores; es decir, en enseñar una combinación balanceada de los métodos clásicos y matriciales. Un ejemplo reciente es el magnífico libro de texto publicado por el Dr. Oscar Gonzalez Cuevas, reconocido académico de nuestro país, quien textualmente manifiesta “En todo el libro se hace énfasis en los principios básicos mas que en aplicaciones específicas, ya que el autor considera que el dominio de estos principios es necesario para el estudio de métodos mas avanzados o para la utilización de los excelentes paquetes de cómputo disponibles actualmente. Por el contrario, la utilización de programas sin dicho conocimiento no solo es inconveniente sino peligrosa” (González Cuevas, 2001). El que esto escribe coincide plenamente con esta orientación. Enseguida se incluyen algunas citas de obras de autores reconocidos que se han publicado a lo largo de los últimos treinta años, que al mismo tiempo que refuerzan lo arriba mencionado, implícitamente son un reconocimiento de que existe una problemática en el medio docente, a nivel internacional, y para éste rubro en lo particular.

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“Nuestro libro incluye estos aspectos modernos y eficientes del análisis estructural que han surgido con el advenimiento de la computadora digital de alta velocidad. Estas técnicas modernas, sin embargo, no han disminuido la importancia de los métodos clásicos de análisis los cuales siguen siendo valederos y extremadamente valiosos.” (Borg y Gennaro, 1969) “El hecho de que se disponga de la computadora digital y se le utilice cotidianamente para ejecutar análisis de estructuras no excluye la necesidad de poseer la habilidad para entender y usar los métodos clásicos........ El estudio de los métodos clásicos que son apropiados para las calculadoras de bolsillo, es complementario del estudio de los métodos matriciales que son apropiados para las computadoras digitales de alta capacidad y alta velocidad” (Wang y Salmon, 1984) “Considero que el estudiante se prepara mejor mediante una integración de los métodos clásicos y modernos. ...., las formulaciones clásicas se presentan y se usan para ilustrar los conceptos fundamentales del análisis. Muchos de estos enfoques clásicos son fundidos después en un formato matricial para ilustrar algunas de las características de los métodos matriciales” (West, H., 1984) “Por experiencia, el autor sabe que puede efectuarse una mezcla razonable (de métodos clásicos y matriciales) en un nivel de licenciatura. Sin embargo, parece que se logra mejor el proceso de aprendizaje por medio de una presentación que vaya de los métodos manuales clásicos hacia las técnicas dirigidas a la computación, en el contexto de un tópico dado” (Laible, J., 1988) “ .... el autor considera que los estudiantes que tomen un primer curso sobre este tema (análisis estructural), deben estar bien versados en los métodos clásicos. La práctica (que se adquiere) al aplicar estos métodos desarrollará un entendimiento más profundo de las ciencias básicas de la estática y de la mecánica de materiales. Además, la habilidad para resolver problemas se desarrolla cuando las diversas técnicas se razonan y aplican en una forma clara y ordenada ...” (Hibbeler, R., 1997) “Las herramientas modernas de cálculo, tales como los paquetes computacionales, permiten al ingeniero analizar estructuras, grandes y pequeñas, con rapidez increíble. Sin embargo, desafortunadamente, la eficiencia matemática de tales análisis tiende a ocultar los principios básicos del análisis estructural. Es por esta razón que en este libro se dedica un espacio considerable a la presentación de los métodos clásicos de análisis estructural. Se espera que con esto los estudiantes que lo usen lleguen a entender y “sentir” el comportamiento de las estructuras, cosa que pudiese no lograrse si tales métodos se excluyeran de su estudio del análisis estructural.” (McCormac y Nelson, 1997) De lo anterior, se concluye que es preciso darle la debida importancia a la enseñanza profunda y completa de todos los conceptos fundamentales de la teoría de las estructuras ya que –como su mismo nombre lo indica– son la base y fundamento de todos y de cada uno de los procedimientos de análisis, incluyendo los planteamientos en formato matricial, los cuales como hemos visto, no son tan recientes como parecen ser. Esto vale con mucho mayor razón a nivel de estudios de posgrado si realmente queremos lograr la formación de profesionistas con amplia visión y dominio de su campo disciplinario, como reza en los objetivos fundamentales de los programas de maestría de nuestra Universidad.

TENTATIVA DE EVALUACIÓN DE LA PROBLEMÁTICA. Ante la situación descrita, y en intención de cumplir con los objetivos centrales de los programas de maestría citados en la introducción de este artículo, hemos aplicado en los dos últimos años unos exámenes diagnóstico, cuyo propósito es el de identificar los temas básicos en los que se concentran las mayores deficiencias en cada grupo en particular. El autor ha encontrado que el instrumento de evaluación mas efectivo para este propósito ha sido un examen del tipo de opción múltiple, siempre y cuando se diseñe exprofeso para ello. Recientemente ha sido publicado un interesante estudio comparativo entre la evaluación tradicional y la de opción múltiple en el que se concluye que los exámenes de opción múltiple constituyen una herramienta útil e interesante para evaluar el aprendizaje, sobre todo cuando se quieren evaluar niveles

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superiores de la taxonomía (ciencia que trata de los principios, métodos y fines de la clasificación) de resolución de problemas en tiempos razonables, como es el caso que nos ocupa. (González Cuevas, 2002). Del análisis de las respuestas dadas a los exámenes diagnóstico aplicados durante los últimos cuatro semestres, se ha encontrado que los temas en los que se concentran las mayores deficiencias en forma recurrente son: a) Estática plana. Operaciones con las fuerzas. Polígono funicular. Polígono de presiones. b) Conceptos de estructura, mecanismo y máquina. Correspondencias con estática, cinemática y cinética. c) Relación entre el análisis, el diseño y el detallado constructivo de las estructuras. d) Morfología de las estructuras, desde el punto de vista del análisis estructural. e) Cinemática estructural. Sistemas variantes, invariantes y de variabilidad instantánea. f) Indeterminación estática e indeterminación cinemática. Grado de hiperestaticidad y grados de libertad. g) Conceptos de resistencia, rigidez y estabilidad. h) Concepto de los métodos fundamentales de las fuerzas y de los desplazamientos. Similitudes y diferencias. i) Principio de superposición de causas y efectos. j) Simetría y antisimetría estructural. k) Antecedentes históricos del análisis estructural. l) Conocimiento de las propiedades de los materiales estructurales. Cabe mencionar que el autor ha recabado opiniones de profesores de otras universidades del país, cuyas opiniones coinciden con los resultados anteriores, por lo que ha concluido que ésta problemática tiene caracteres de generalidad.

ACCIONES REMEDIALES TOMADAS Después de discutir con los alumnos las deficiencias encontradas con objeto de aclarar de inmediato las que es posible hacerlo en ésa forma, el autor ha procedido como sigue, en afán de remediar los casos que así lo ameriten, de la forma mas eficaz y en el menor tiempo posible: a) Preparación de compendios didácticos sobre el tema incluyendo casos ilustrativos. b) Orientación sobre bibliografía acerca del tema. c) Asignación de preguntas y problemas, para ser resueltos por el alumno. d) Debates moderados en clase, para aseguramiento de la comprensión del tema. En el anexo 1 se incluye un ejemplo de compendio didáctico sobre el “Principio de Superposición de Causas y Efectos”. Éste es uno de los conceptos en el que muchos alumnos muestran desconocimiento total, o bien tienen confusiones mayores con dificultades para comprenderlo cabalmente.

REFLEXIONES FINALES En correspondencia con los objetivos generales de los programas de maestría de la Universidad de Nuevo León, pensamos que uno de los propósitos a lograr es que los alumnos alcancen una formación integral dentro de su propia especialidad; para lo que proponemos tomar algunas acciones desde el nivel de licenciatura y en paralelo a los programas educativos, tales como: a) La incorporación racional de las herramientas computacionales en la enseñanza, para eliminar el mal uso y el abuso de las mismas. (Gallegos Sergio, 1994). b) Mejorar la capacidad de retención y de abstracción de los estudiantes, promoviendo el hábito de la lectura. c) Insistir en la implementación de cursos de análisis estructural con enfoque balanceado, donde se cubran los métodos clásicos transitando en forma natural a los planteamientos matriciales; tal y como lo hemos expresado anteriormente (González Cuevas, 2002). d) Fomentar el desarrollo de la “sensibilidad” estructural, incorporando procedimientos para verificar los resultados obtenidos por medio de paquetes de cómputo. Esto es de capital importancia dado que es uno de los conceptos donde con mas frecuencia hemos detectado serias deficiencias y dificultades. De hecho un error de éste tipo puede llevar a situaciones peligrosas.

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e) Promover el estudio de la evolución de la ciencia de las estructuras, en forma tal de que el alumno conozca las personas, los hechos, las épocas, los ambientes, los contextos y los antecedentes en los que se dieron los principales acontecimientos que marcaron su progreso hasta nuestros días. En este punto, es oportuno mencionar las palabras de Aristóteles, quien dijo “el que considera las cosas en sus desarrollos originales y en sus orígenes, obtendrá una visión mas clara de ellas”. f) Promover el conocimiento a detalle de las propiedades y limitaciones de los materiales que usan en las estructuras, a fin de aprovechar en forma óptima sus capacidades y al mismo tiempo evitar cualquier abuso que sobrepase sus limitaciones. g) Concientizar al estudiante de la imperiosa necesidad de hacer corresponder los lineamientos básicos de los modelos estructurales, con los detalles constructivos correspondientes. Es frecuente encontrar casos donde las uniones entre los elementos estructurales primarios, no son capaces de desarrollar las condiciones que se le han impuesto en el modelo estructural. Con las anteriores medidas, sumadas a las que según cada medio o situación específica se consideren pertinentes, pensamos que la formación integral del alumnado se vería altamente beneficiada, tendiendo a lograr los objetivos fundamentales de los programas de maestría.

REFERENCIAS Borg y Gennaro (1969), “Modern structural analysis”, Van Nostrand Reinhold Company, New York, NY. Facultad de Ingeniería Civil, UANL. (1990) “Plan de Estudios de la Maestría en Ciencias con Especialidad en Estructuras”. Monterrey, N.L. González Cuevas, O. (2002a) “Análisis estructural”, Editorial Limusa, S.A. de C.V., México, D.F., Gozález Cuevas, O. (2002b) “Evaluación de opción múltiple vs. evaluación tradicional. Un estudio de caso en ingenieria”, Revista de Educación Superior, Vol. XXXI (2), No. 122, México, D.F., abril-junio, pp.7-26. Gutkowski, R. M. (1981) “Structures. Fundamental theory and behavior”, Van Nostrand Reinhold Company, New York, N.Y. Hibbeler, R.C. (1997) “Análisis estructural”, Prentice Hall Hispanoamericana S.A., México, D.F. Laible, J. P. (1988), “Análisis estructural”, Mc. Graw Hill, México, D.F. McCormac and Nelson. (1997) “Structural analysis. A classical and matrix approach”, Addison-Wesley Educational Publishers Inc., New York, N.Y. Sáenz Quiroga, E. (1994), “Historia de las Matemáticas. Apuntes para el curso”, Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, UANL, Monterrey, N.L. Struik, D.J. (1994), “Historia Concisa de las Matemáticas”, Instituto Politécnico Nacional, México, D.F. Timoshenko, S.P. (1953), “History of strength of materials”, McGraw Hill, New York. Universidad Autónoma de Nuevo León (1999) “Reglamento General de los Estudios de Posgrado” Monterrey, N.L. Wang, Ch, y Salmon, Ch. (1984), “Introductory Structural Analysis”, Prentice-Hall Civil Engineering Co., Engineering Mechanics Series, Englewood Cliffs, New Jersey. West, H.H. (1980), “Análisis de estructuras”, Compañía Editorial Continental S.A. de C.V., México D.F.,

AGRADECIMIENTOS Se agradece al Ing. Héctor Buentello Bazán su revisión y comentarios al presente trabajo. Al Ing. José Guadalupe Lozano Alanís se agradece la orientación brindada al autor respecto a la importancia que los aspectos históricos tienen en el proceso enseñanza-aprendizaje de cualquier rama del saber.

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ANEXO 1

EJEMPLO DE COMPENDIO DIDÁCTICO SOBRE EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE CAUSAS Y EFECTOS

El principio de superposición de causas y efectos juega un papel excepcionalmente importante en el análisis estructural. Su aplicación simplifica notablemente los cálculos ya que permite dividir el estudio de estados de carga complicados en el de casos sencillos que resultan de hacer actuar separadamente las diversas solicitaciones sobre la estructura. Este principio se enuncia como sigue:

La respuesta de una estructura sometida a un conjunto de solicitaciones aplicadas simultáneamente, puede obtenerse mediante la suma de las

respuestas que se obtendrían si se aplicaran por separado cada una de las solicitaciones a la estructura

Dicho en otra forma, este principio significa que los efectos de una solicitación son independientes de la existencia previa de otras; o sea, que una solicitación aplicada a una estructura ya sometida a otras solicitaciones produce efectos iguales a los que produciría aplicándola a la estructura descargada; consecuentemente, sus efectos se suman a los ya producidos por las solicitaciones previamente existentes. Por esta razón, a este principio también se le identifica como principio de independencia de acción de las solicitaciones. Para que sea válido aplicar este principio, la respuesta de la estructura debe ser tal que todos los desplazamientos y acciones internas que experimente cualquiera de sus puntos puedan ser descritos mediante ecuaciones lineales. Esto a su vez implica la aceptación de las siguientes hipótesis para efectuar el análisis: Hipótesis del material El material de que está hecha la estructura exhibe un comportamiento lineal elástico. 1. Comportamiento lineal. Significa que las propiedades de E, G y µ permanecen constantes durante toda la respuesta de la estructura; es decir, la curva esfuerzo-deformación del material es una línea recta. Esto permite aplicar las expresiones simples de mecánica de materiales para pronosticar las deformaciones de cualquier elemento de la estructura. 2. Comportamiento elástico. Significa que la curva esfuerzo-deformación del material debe ser de valor singular; o lo que es lo mismo, la trayectoria que siguió en el proceso de carga debe ser idéntica a la del proceso de descarga hasta la recuperación total de su forma original. En la figura 1 se incluyen cuatro gráficas correspondientes a cuatro posibles trayectorias de carga resultantes de combinar distintas propiedades de un material. La gráfica (a) representa un comportamiento lineal elástico. Hipótesis geométricas El cumplimiento de las dos hipótesis anteriores relativas al comportamiento lineal elástico del material, es una condición necesaria pero no suficiente para asegurar una respuesta lineal de la estructura en forma global. En la realidad, las estructuras se encuentran en equilibrio en su configuración deformada y no en su configuración original. Cuando los cambios geométricos sufridos son lo suficientemente significativos como para alterar las ecuaciones de equilibrio de la estructura, la respuesta resultante es no lineal y consecuentemente el principio de superposición de causas y efectos deja de ser válido. El considerar que la respuesta de la estructura es lineal implica aceptar la teoría de los desplazamientos –lineales y angulares– pequeños lo cual conduce a lo siguiente: 3. Las ecuaciones de equilibrio se plantean con base en la geometría no deformada de la estructura. Después de la deformación, la línea de acción de las fuerzas aplicadas a la estructura se ajusta debido al desplazamiento de los nudos, y a la curvatura y cambio de longitud de las barras. Para tomar en cuenta este

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fenómeno se requiere de un proceso iterativo; sin embargo, el error que se comete al omitir este laborioso refinamiento es usualmente insignificante. En tal virtud, las ecuaciones de equilibrio se escriben utilizando las coordenadas de la estructura en su posición original antes de la deformación. Esto equivale a ignorar el momento “P∆” según se muestra en la figura 2. 4. La línea de acción de cualquier fuerza axial externa o interna actúa a través del centroide de la sección transversal del elemento en consideración. En realidad, la excentricidad de la fuerza normal con respecto al eje del elemento deformado produce un momento Pδ como se muestra en la figura 3. Para incluir este efecto también se requiere de un proceso iterativo, pero al igual que el anterior, usualmente es un refinamiento innecesario y se ignora. 5. Las rigideces angulares de las barras están desacopladas de las fuerzas normales. En otras palabras, se considera que la presencia de fuerzas normales en las barras no tiene influencia en las deformaciones angulares inducidas por flexión. Esto se ilustra en la figura 4 en la cual se muestran dos barras simplemente apoyadas sometidas a la acción de un momento flexionante M en uno de sus extremos. La única diferencia entre ellas es la presencia de la fuerza normal Q en (b). En realidad, la fuerza normal sí tiene influencia en las rotaciones inducidas por el momento pero en situaciones normales la inclusión de este efecto no es significativa. Un análisis efectuado bajo los considerandos anteriores se conoce como análisis elástico lineal de primer orden. La respuesta así obtenida es el intento mas simple, o una primer aproximación de la respuesta real de la estructura. En una gráfica fuerza-desplazamiento, la pendiente de la recta obtenida corresponde con la de una tangente en el origen de la curva de respuesta real. Un análisis que incluya alguno o todos los efectos mencionados en 3, 4 o 5 para obtener una segunda aproximación a la respuesta, se denomina análisis de segundo orden. En la página siguiente se muestran las figuras asociadas a las hipótesis mencionadas.

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Un caso ilustrativo de no linealidad geométrica en el que no aplica el principio de superposición de causas y efectos. Estúdiese la respuesta de la estructura compuesta por dos barras articuladas entre sí, alineadas en posición horizontal, cuando se le somete a la acción de una fuerza vertical P como se muestra en la figura 5. Considerar que las barras están fabricadas de un material de comportamiento lineal elástico ilimitado.

Solución. Se trata de un sistema de variabilidad instantánea. La solución estática es imposible en la configuración original en virtud de que la estructura no deformada implica el desarrollo de fuerzas horizontales solamente, incapaces de equilibrar la fuerza vertical aplicada. Para hacer posible la solución a este problema, se requiere plantear la ecuación de equilibrio en la configuración deformada, considerando los alargamientos de las barras, que toman entonces las direcciones no alineadas AD y BD y el descenso ∆ del punto C hasta D. Entonces, tendremos lo siguiente:

)2(2

;2 α

==α⋅ PSPS)1(tg αα ≈=∆l

)3(11222

−

∆+=

−∆+==ε

LLLL

Le

Desarrollando el radical mediante la serie binómica, tenemos:

L+

∆−

∆+

∆−

∆+=

∆+

86422

1285

161

81

2111

LLLLL

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1<<<∆=L

α

Ahora, considerando que a partir del tercer término en adelante.

pueden despreciarse las potencias de α con respecto a 1

)4(21 2

∆≈

LεPor lo tanto, podemos decir que:

)5(AES

E=σ=εPor otra parte, sabemos que

)6(1 2 S=

∆

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Igualando (4) y (5) obtenemos:

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2 AEL

Sustituyendo (1) y (2) en (6) resulta la ecuación siguiente:

)7(2)2(2

12

2

AEL

PAE

PL

∆

==∆⋅α

De donde se obtiene:

)8(3

AEPL=∆ )9(3

3

LAEP ∆=

Examinando los resultados obtenidos, se concluye que el desplazamiento ∆ no es proporcional a la fuerza P aún y cuando el material es elástico lineal, y por lo tanto se trata de un caso de no linealidad geométrica. Se confirma que en éste como en todos los casos en los que pequeños desplazamientos influyen significativamente en la geometría de la estructura, las fuerzas no son proporcionales a los desplazamientos. En este caso también puede observarse que la rigidez del sistema aumenta al aumentar el desplazamiento. Este comportamiento es típico de los sistemas de variabilidad instantánea.