sociedad mexicana de ingeniería estructural, a.c. 036 · en la evaluación estructural de...

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

ANÁLISIS LÍMITE EN 3D PARA LA EVALUACIÓN Y REFUERZO DE ESTRUCTURAS HISTÓRICAS DE MAMPOSTERÍA

Agustín Orduña B. 1 y Paulo B. Lourenço 2

RESUMEN En este artículo se presenta una formulación para el análisis límite de estructuras modeladas como conjuntos de bloques rígidos que interactúan a través de juntas y de elementos de refuerzo. Este tipo de análisis es útil en la evaluación estructural de edificios históricos. El planteamiento propuesto toma en cuenta leyes de flujo no-asociadas y permite limitar los esfuerzos de compresión en las juntas. Se comparan resultados obtenidos por este planteamiento con los de otros métodos, y se muestra la aplicación de la presente propuesta en la evaluación sísmica de una estructura antigua.

ABSTRACT This paper presents a formulation for the limit analysis of structures modeled as rigid blocks interacting through joints and strengthening elements. This type of analysis is useful in the structural assessment of ancient buildings. The formulation takes into account non-associated flow rules and limited compressive stresses at the joints. Results obtained with this formulation are compared with those of other methods and the present proposal is applied to the seismic assessment of an ancient structure.

INTRODUCCIÓN La conservación y restauración del patrimonio construido es un tema de interés creciente en muchas partes del mundo. En este proceso de conservación, la evaluación de la capacidad estructural de los edificios históricos es un aspecto fundamental. Estas magníficas construcciones fueron hechas usando reglas empíricas. Sin embargo, la aplicación de los conceptos modernos de la mecánica y el desarrollo de herramientas de cómputo automático para el análisis estructural de edificios antiguos de mampostería han sido temas de investigación muy activa a partir de la década pasada. En la actualidad se cuenta con herramientas poderosas de análisis no-lineal, basadas en el método de los elementos finitos (MEF); pero el ingeniero de la práctica requiere de herramientas más expeditas para su trabajo cotidiano. En casos especiales como construcciones grandes, complejas o especialmente importantes, el MEF no-lineal es sin duda la mejor opción para el análisis estructural. Recientemente se han desarrollado, dentro de este contexto, modelos avanzados para el análisis de mamposterías, como modelos continuos anisótropos (Lourenço et al. 1998), o modelos discretos (micro-modelos), (Lourenço y Rots, 1997). Sin embargo, el uso de estas técnicas en la práctica puede representar una serie de inconvenientes:

(a) El usuario requiere poseer un adecuado conocimiento de problemas no-lineales y técnicas de solución avanzadas.

(b) Es necesario conocer con precisión las características mecánicas de los materiales, y en el caso de mamposterías antiguas esto es prácticamente imposible dada su heterogeneidad.

(c) Se requiere mucho tiempo para la elaboración del modelo de elementos finitos, para realizar todos los análisis necesarios, y para interpretar y entender los resultados.

1 Estudiante de doctorado, Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil. Azurém, 4800-057,

Guimarães, Portugal. Teléfono: (+351)253-510200; Fax: (+351)253-510217; [email protected] 2 Profesor asociado, Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil. Azurém, 4800-057,

Guimarães, Portugal. Teléfono: (+351)253-510200; Fax: (+351)253-510217; [email protected]

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mailto:[email protected]

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XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

Podría pensarse que una opción más práctica sería el uso de análisis elástico-lineales por el MEF, aún cuando el tiempo para la construcción del modelo sea el mismo. Pero este tipo de análisis es incapaz de proporcionar una idea del comportamiento de la estructura más allá del inicio del agrietamiento. Debido a la baja resistencia en tensión de la mampostería, los análisis elástico-lineales no pueden representar adecuadamente el comportamiento de las construcciones históricas. El análisis límite combina una serie de ventajas que lo hacen la mejor opción en el caso de construcciones de pequeña a mediana magnitud. En primer lugar, es capaz de proporcionar una idea clara de los mecanismos de colapso de las estructuras, y de las distribuciones de esfuerzos en el estado último (al menos en las secciones críticas). En segundo lugar, es adecuado para desarrollar herramientas prácticas de análisis estructural por computadora. Finalmente, el análisis límite requiere de pocos parámetros para caracterizar a los materiales. Esto es especialmente importante en mamposterías históricas, dadas las dificultades que se tienen en obtener información experimental confiable de estos materiales. Livesley (1978) fue el primer autor en aplicar el análisis límite en arcos de bloques rígidos, mediante el teorema del límite inferior. Gilbert y Melbourne (1994) aplicaron el teorema del límite superior al mismo problema, para analizar puentes de arco de mampostería. En estos dos trabajos, los autores aceptaron como hipótesis que la mampostería tiene una resistencia infinita en compresión, y que la falla por corte (gobernada por la ley de Coulomb) es asociada. Begg y Fishwick (1995) eliminaron la restricción del flujo asociado para la falla por corte, en un planteamiento aplicable a arcos. Baggio y Trovalusci (1998) eliminaron esta misma restricción en un planteamiento general en tres dimensiones, aunque los ejemplos que presentan se refieren al caso de flujo asociado. Es importante notar que extender el análisis límite al caso de flujo no-asociado, conduce a un problema de optimización no-lineal de un tamaño significativamente mayor que el problema de programación lineal que resulta de la teoría clásica. Además, este problema de optimización no-lineal es de difícil solución (Baggio y Trovalusci, 1998), pero los avances recientes en programación matemática proporcionan rutinas eficientes para su solución (Ferris y Tin-Loi, 2001). El problema de considerar un límite en los esfuerzos de compresión fue tratado por Gilbert (1998) en una forma aproximada. Orduña y Lourenço (2001) desarrollaron una formulación en dos dimensiones en la que consideran la existencia de flujo no-asociado en corte, y un límite en los esfuerzos de compresión, en forma directa. El presente artículo representa la extensión a tres dimensiones del trabajo presentado por Orduña y Lourenço (2001). Se presenta el planteamiento completo para el análisis límite de estructuras tridimensionales modeladas como conjuntos de bloques rígidos, con flujo no-asociado para los modos de falla que involucran esfuerzos de corte, y con un esfuerzo limitado en compresión. Se agrega a este planteamiento un elemento barra útil para modelar refuerzos. Se discute el campo en el que se ha observado que el planteamiento propuesto es válido. Finalmente, se presenta un ejemplo que ilustra el análisis y refuerzo de una construcción antigua.

PLANTEAMIENTO La aplicación de la teoría del análisis límite a estructuras de mampostería modeladas como bloques rígidos está basada sobre una serie de hipótesis. La primera es: la carga de colapso ocurre con desplazamientos pequeños en comparación con las dimensiones de la estructura. Esto es razonable para la mayoría de los casos, especialmente en estructuras y elementos con poca esbeltez. La segunda hipótesis es: la mampostería no tiene resistencia a tensión a escala estructural. Efectivamente, la mampostería tiene una resistencia en tensión muy pequeña con un modo de falla cuasi-frágil, hechos que justifican esta suposición. La tercera hipótesis se refiere a que la falla por corte es perfectamente plástica; la evidencia experimental confirma esto. La última hipótesis es: la falla por formación de una articulación ocurre para una fuerza de compresión normal a la junta que es independiente de la rotación en la articulación. Esta suposición es cuestionable si ocurre aplastamiento, pero este tipo de falla es poco frecuente en estructuras históricas de mampostería. En lo sucesivo, se hará mención a dos tipos de sistemas de referencia: el sistema de referencia global, de coordenadas (X, Y, Z); y a los sistemas de referencia locales asociados a cada junta. En la junta k, que sirve de interfaz entre los bloques i y j, se definen los vectores unitarios s1k, s2k y nk, mutuamente ortogonales y formando un sistema dextrógiro, tales que nk es normal a la junta y está orientado hacia el exterior del bloque

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i, como se ilustra en la figura 1. Existe la matriz Tgk, que transforma un vector en coordenadas globales a

coordenadas locales en el sistema de la junta k.

Figura 1 Variables estáticas en una junta y en los bloques adyacentes Las variables estáticas, o esfuerzos generalizados en la junta k, están definidas por el vector de fuerzas Qk

t en el centroide de la junta y el vector de momentos Qk

r, ambos en coordenadas locales. En correspondencia, las variables cinemáticas son las razones de cambio de los desplazamientos y giros relativos δqk

t y δqkr,

respectivamente, para la misma junta. Los grados de libertad son las razones de cambio de los desplazamientos y de los giros, δui

t y δuir , respectivamente, para el bloque i. Estos vectores están referidos al

sistema global y están ubicados en el centroide del bloque. Correspondientemente, las cargas están descritas por las fuerzas y los momentos en el centroide de cada bloque. Las cargas se separan en una parte constante (con subíndice c) y otra variable (con subíndice v): Fic

t y Fivt para las fuerzas en el bloque i, y Fic

r y Fivr para

los momentos en el mismo bloque. Con estas variables se forman los vectores de esfuerzos generalizados Q, deformaciones generalizadas δq, razones de cambio de los desplazamientos δu, cargas constantes Fc, y cargas variables Fv. Finalmente, se define al factor de carga α, el cual indica la porción del vector de cargas variables que se aplica a la estructura. El problema consiste en encontrar el valor mínimo del factor de carga que produce falla en la estructura. Con la notación así establecida, el vector de cargas totales F queda definido por la ec. (1). vc FFF α+= (1) COMPATIBILIDAD La compatibilidad entre las deformaciones generalizadas de la interfaz k, y las razones de cambio de los desplazamientos de los bloques adyacentes i y j está dada por la ec. (2). Donde ck es el vector de posición del centroide de la junta k, ci y cj son los vectores de posición de los centroides de los bloques i y j, respectivamente; el símbolo ∧ indica producto vectorial. Esta ecuación puede expresarse como la ec. (3). Finalmente, la compatibilidad para toda la estructura está dada por la ec. (4), en donde la matriz de compatibilidad C se obtiene a partir de las matrices de cada una de las juntas.

(2) ( )

( )

−−∧−−∧+−

=

ri

rj

gk

ikrijk

rj

ti

tj

gk

rk

tk

uuTccuccuuuT

qq

δδδδδδ

δδ )()(

(3) i

ikj

jkk δδ uCuCq −=δ

uCq δδ = (4)

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EQUILIBRIO Al aplicar el principio de contragradiencia, el equilibrio de la estructura queda expresado por la ec. (5). (5) QCFF T

vc α =+ FUNCIÓN DE FALLA La función de falla en cada interfaz se compone de los criterios de formación de una articulación, deslizamiento por corte directo y giro en dirección normal a la junta. Para la formación de una articulación, se supone que la fuerza normal es equilibrada por una distribución uniforme de esfuerzos cerca del borde de la junta. En este artículo se considera la función de falla para juntas con forma de cuadrilátero. Para este caso, la función que proporciona la fuerza normal máxima que puede transmitir la junta, en términos de la posición de su resultante, queda definida, en el caso más general, por 12 expresiones distintas. Estas expresiones son paramétricas, cada una de ellas depende de dos parámetros que definen la forma del área en compresión, y tanto la fuerza normal, como las coordenadas de la resultante se expresan en términos de estos parámetros. Para evitar éstos y otros inconvenientes, se decidió buscar una aproximación mediante cuatro expresiones, una para cada lado de la interfaz. La figura 2 muestra una interfaz y la nomenclatura que se usa a continuación. En esta sección se omite el superíndice que indica la junta por brevedad. Las componentes de los vectores de esfuerzos generalizados se indican con subíndices, y los superíndices indican si se trata de fuerzas (t) o de momentos (r). Para el lado 1, la ec. (6) garantiza que la fuerza normal está localizada del lado izquierdo del borde (interior de la junta). Vale la pena mencionar que la fuerza normal es negativa en compresión. Desigualdades análogas para los otros tres bordes garantizan que la fuerza normal está ubicada en el interior de la junta. Para tomar en cuenta el efecto de limitar los esfuerzos de compresión al esfuerzo efectivo fcef, se observa que el tercer término representa a la resistencia a los momentos proporcionada por la fuerza normal. Entonces, se multiplica este término por un factor que toma el valor cero cuando la fuerza normal es igual al esfuerzo efectivo multiplicado por el área de la junta A (resultante en el centroide); y toma el valor uno cuando la fuerza normal es cero (resultante sobre el lado 1), ec.(7). Desigualdades análogas para los otros tres lados definen a las funciones de falla ϕ2, ϕ3 y ϕ4.

figura 2 Nomenclatura para una interfaz (6) 0)()()( 1

221

22

11

12

222

11

2111 ≤−+−+−≡ xxxxQxxQxxQ t

nrrϕ

01)()()( 12

21

22

11

12

222

11

2111 ≤

+−+−+−≡

cef

tnt

nrr

AfQxxxxQxxQxxQϕ (7)

La falla por corte está regida por la ley de Coulomb sin cohesión. La figura 3 muestra un corte de la superficie de falla paralelo al plano de las fuerzas cortantes Qt1, Qt2. Si bien la ley de Coulomb queda expresada por una función cuadrática (línea a trazos), en la práctica se ha encontrado que es más conveniente usar ocho funciones lineales para aproximar dicha ley (línea continua). La ec. (8) es la expresión para este modo de falla. Aquí µ es el coeficiente de fricción, igual a la tangente del ángulo de fricción.

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Figura 3 Superficie de falla por fuerza cortante

02/)(

02/)(

02/)(

02/)(

0

0

0

0

2112

2111

2110

219

28

27

16

15

≤+−≡

≤+−−≡

≤++−≡

≤++≡

≤+−≡

≤+≡

≤+−≡

≤+≡

tn

tt

tn

tt

tn

tt

tn

tt

tn

t

tn

t

tn

t

tn

t

QQQ

QQQ

QQQ

QQQ

QQ

QQ

QQ

QQ

µϕ

µϕ

µϕ

µϕ

µϕµϕµϕ

µϕ

(8)

La función de falla por torsión está dada por la ec. (9). Se supone que actúa un esfuerzo normal uniforme en toda la superficie de la junta, que proporciona una resistencia al corte también uniforme. Se usa la teoría de la torsión plástica (Nadai, 1950) para evaluar la constante ct, que depende de la geometría de la junta.

(9) 0

0

14

13

≤+−≡

≤+≡tnt

rn

tnt

rn

QcQ

QcQ

µϕµϕ

Con estas catorce funciones se forma el vector de funciones de falla de la junta ϕk, y con los vectores de todas las juntas se forma el vector de funciones de falla de la estructura ϕ. LEY DE FLUJO Para la falla por formación de una articulación se considera que el flujo es asociado. Mientras que para las fallas por corte y torsión el flujo es no-asociado, y ocurre desplazamiento únicamente paralelo a la junta (en el caso de flujo asociado se tendría una componente normal), de acuerdo con la evidencia experimental. La ley de flujo para la junta k se expresa por la ec. (10). En esta ecuación, δλk es el vector de multiplicadores plásticos, cada multiplicador se corresponde con cada una de las funciones de falla. La matriz N0k se presenta en la ec. (11). Los puntos suspensivos representan términos similares a los mostrados en la primera columna, que corresponden con las funciones de falla por articulación en los otros tres bordes de la interfaz. La omisión de estos términos obedece a razones de espacio. Los multiplicadores plásticos satisfacen las ecs. (12) y (13). La ec. (12) indica que el flujo implica disipación de energía, mientras que la ec. (13) expresa que el flujo no puede ocurrir a menos que los esfuerzos hayan alcanzado la superficie de falla correspondiente. La ec. (14) expresa la ley de flujo para la estructura completa. Aquí, la matriz de flujo N0 se obtiene a partir de las matrices de cada una de las interfaces.

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(10) kkk δδ λNq 0=

−−−

+−

−−−−−−

=

110000000000000000000000.........0000000000.........

0000000000.........2002/12/12/12/111000000002/12/12/12/100110000

12

22

11

21

12

21

22

11

0

xxxx

AfQxxxx

cef

tn

kN (11)

(12) 0λ ≥kδ (13) 0=k

Tk δλϕ

λNq 0δδ = (14) EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN NO-LINEAL La solución a un problema de análisis límite debe cumplir con los principios discutidos en las secciones anteriores. En presencia de flujo no-asociado, en general, existe varias soluciones que satisfacen estos principios, entonces, con el fin de verificar la seguridad estructural, debe buscarse el mecanismo con el factor de carga mínimo (Baggio y Trovalusci, 1998). El planteamiento matemático propuesto conduce al problema de programación no lineal expresado por las ecs. (15-21). La ec. (15) es la función objetivo. La ec. (16) garantiza el cumplimiento de la compatibilidad y de la ley de flujo. Para garantizar la existencia de un mecanismo de colapso, y debido a que en el estado límite, la grandeza de los desplazamientos es indefinida (únicamente es posible obtener sus valores relativos), se introduce la ec. (17) que también proporciona un factor de escala a las razones de cambio de los desplazamientos (esta ecuación puede ser sustituida por cualquier otra con las mismas propiedades). El equilibrio está garantizado por la ec. (18). La ec. (19) es la expresión de las condiciones de falla. Los multiplicadores plásticos deben satisfacer la ec. (20), y junto con las funciones de falla también deben cumplir con la ec. (21). Minimizar: α (15) Sujeto a: 0uCλN =− δδ0 (16)

(17) 01 =−uFTδv

(18) 0QCFF T =−+ vc α 0≤ϕ (19) 0λ ≥δ (20) (21) 0=λTδϕ Este conjunto de expresiones representa lo que en la literatura de programación matemática se conoce como un Problema Matemático con Restricciones de Equilibrio (Ferris y Tin-Loi, 2001). Este tipo de problemas es difícil de resolver debido a la restricción de complementariedad, ec. (21). La estrategia de solución adoptada aquí es la propuesta por Ferris y Tin-Loi (2001). Consiste en dos fases, en la primera, se resuelve el Problema de Complementariedad Mixto, definido por las ecs. (16-21). Esto proporciona una solución factible inicial. En la segunda fase, se reintroduce la función objetivo, ec. (15), y se sustituye la ec. (21) por la ec. (22). Esta ecuación relaja el requisito de complementariedad, vuelve al problema más fácil de resolver, y permite buscar soluciones con factores de carga menores. El problema así definido se resuelve para valores sucesivamente menores del parámetro ρ para forzar a cumplir nuevamente con el requisito de complementariedad. (22) ρδϕ ≤− λT

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Intentar resolver un problema matemático con restricciones de equilibrio como un problema de optimización no-lineal común, no garantiza que la solución sea un mínimo (Ferris y Tin-Loi, 2001). Sin embargo, este procedimiento parece ser eficiente desde el punto de vista computacional, y proporciona soluciones de mejor calidad que otras estrategias intentadas previamente (Orduña y Lourenço, 2001).

ELEMENTO BARRA PARA REFUERZO Cuando es necesario reforzar construcciones antiguas de mampostería, es común usar barras de acero o tiras de polímeros reforzadas con fibras de carbono o de otros materiales (FRP por sus siglas en inglés). Estos elementos proporcionan resistencia a tensión a la estructura pero, debido a su gran esbeltez, su aporte en compresión normalmente es muy pequeño. El elemento barra propuesto a continuación refleja este comportamiento; posee una resistencia limitada en tensión y ninguna en compresión. Debe tenerse especial cuidado cuando se usen FRPs, ya que estos materiales normalmente no poseen ductilidad alguna, por lo que no puede permitirse que fluyan en el mecanismo de colapso crítico. El esfuerzo generalizado para el elemento barra k es la fuerza axial Qnk, positiva en tensión. La deformación generalizada correspondiente es la razón de cambio de los desplazamientos axiales δqnk. El elemento barra une al bloque i con el bloque j. El extremo inicial de la barra, en el bloque i, tiene el vector de posición cki, y el extremo final, en el bloque j, tiene el vector de posición ckj. El vector unitario en la dirección de la barra se denomina nk. La compatibilidad de deformaciones está dada por la ec. (23). Ésta puede expresarse como la ec. (3) (23) ( ) kiki

rijkj

rj

ti

tjnkl nccuccuuu ⋅−∧−−∧+−= )()( δδδδδ

La función de falla está compuesta por los modos de falla en tensión y en compresión. La ec. (24) expresa esta función, donde fy es la resistencia en tensión de la barra.

0

0

2

1

≤−≡

≤−≡

nkk

ynkk

QfQ

ϕϕ

(24)

A cada una de estas funciones de falla se le asocia un multiplicador plástico: δλ1k y δλ2k, respectivamente. Así, la ley de flujo está dada por la ec. (25), que es la expresión en componentes de la ec. (10).

(25) [ ] [ ]

−=

k

knkl

2

111δλδλ

δ

Después de agregar las nuevas variables a los correspondientes vectores, y las componentes necesarias a las matrices, el resto de la formulación no presenta cambio alguno.

PROGRAMA DE COMPUTADORA Uno de los objetivos de este proyecto es desarrollar un programa de computadora adecuado para ser usado en la ingeniería práctica para la evaluación sísmica de edificios antiguos. Por esta razón la implantación se ha hecho recurriendo a AutoCAD, en donde se elabora el modelo tridimensional de la estructura de bloques. El programa, desarrollado en Visual Basic para Aplicaciones dentro de AutoCAD (ActiveX and VBA 1999), extrae la información geométrica del modelo y la preprocesa. Posteriormente, se agrega información complementaria como pesos volumétricos, coeficientes de fricción y esfuerzos efectivos en compresión. La solución al problema matemático se realiza recurriendo al ambiente de modelación GAMS (Brooke et al. 1998), el cual permite al usuario desarrollar problemas grandes y complejos, y resolverlos con rutinas recientes y eficientes. La intención es que la parte de solución sea invisible para el usuario en la versión final

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del programa. Finalmente, AutoCAD vuelve a usarse como post-procesador para dibujar los mecanismos de colapso y las líneas de empuje.

VALIDACIÓN Se han comparado los resultados obtenidos mediante el planteamiento propuesto con los obtenidos por otros métodos de análisis reconocidos. Por ejemplo, en la figura 4 se presenta una arco semicircular de 7.5 m de diámetro interior, 0.5m de espesura, y 1.0 m de ancho. El arco está sometido a su peso propio y a fuerzas horizontales proporcionales al peso. Este arco fue analizado por Lemos (1997) mediante el método de los elementos discretos. En la figura 4.a la carga horizontal está en el plano del arco. En este caso Lemos (1997) obtiene un factor de carga de 0.06, mientras que mediante esta propuesta se obtiene 0.07. Para el caso de carga fuera del plano, figura 4.b, Lemos (1997) reporta un factor de carga de 0.20, y el mismo valor se obtiene por el análisis límite. Los mecanismos de colapso obtenidos por ambos métodos son muy similares, por lo que puede afirmarse que hay concordancia entre ellos. A pesar de que en este caso y en otros, los resultados de la propuesta presentada coinciden con los de otros métodos, se ha observado que cuando el mecanismo de colapso incluye falla por torsión en una o varias juntas, la similitud entre resultados ya no es tan cercana. Esto se debe seguramente a que la falla por torsión es mucho más compleja que el modelo aquí propuesto. Puede observarse que en el modelo no se toma en cuenta ninguna interacción entre el momento torsor y la fuerza cortante que actúan en la junta. Tampoco se toma en cuenta que cuando existe contacto parcial, la superficie efectiva en torsión es únicamente el área de contacto y no toda la junta. Por otro lado, debe mencionarse que las rutinas de programación no-lineal requieren que las restricciones sean funciones simples para trabajar con rapidez y asegurar que exista convergencia. Por ello, para tomar en cuenta las interacciones mencionadas, es necesario encontrar aproximaciones que produzcan buenos resultados sin la necesidad de funciones muy complejas; este tema será tratado con detalle en una publicación posterior. Además, pueden resolverse una gran cantidad de problemas prácticos en los que la torsión no tiene un papel importante, como en el ejemplo de la siguiente sección.

(a) (b)

Figura 4 Mecanismos de colapso para un arco semicircular

EJEMPLO DE APLICACIÓN A continuación se presenta el análisis sísmico de una casa antigua, antes y después de ser reforzada. Este ejemplo es una adaptación del presentado por Giuffrè et al. (1991). El edificio en estudio es una casa de dos niveles, ubicado en una zona sísmica. La planta mide 8.30 m por 5.35 m. En la figura 5 se presenta un modelo tridimensional de los muros principales del edificio. Los muros AB y DC tienen 0.60 m de espesura en el primer nivel y 0.40 m en el segundo. El muro AD es de 0.74 m de espesor y el BC de 0.52 m. El muro AD es

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común con otra casa, por lo que los muros AB y DC tienen continuidad de este lado. Por esta razón únicamente se consideró la acción del sismo en la dirección positiva del eje X. En la dirección Y se consideraron los dos sentidos para la acción sísmica, aunque por ser la estructura casi simétrica, sólo se incluyen los resultados para la acción en el sentido positivo del eje. El coeficiente sísmico para estados últimos se estima en 0.20, y la distribución de aceleraciones se supone constante con la altura. Se consideran, adicionalmente al peso propio de los muros, las cargas permanentes y cargas vivas accidentales del techo y del entrepiso, tanto para las acciones verticales como para las acciones sísmicas. Este es un ejemplo del uso de lo que pueden llamarse macro-bloques. En este enfoque no se modela cada una de las piezas de la mampostería, como en el ejemplo de la figura 4, sino que se supone una serie de posibles grietas que dividen a la estructura en bloques, y se permite que las rutinas de programación matemática se encarguen de determinar cuáles de ellas forman el mecanismo de colapso crítico. Se hace esto porque no se conoce la configuración de las piezas en la estructura, y porque, aún cuando se conociera dicha configuración, el modelo matemático resultaría tan grande que sería prácticamente imposible de resolver. La ventaja del uso de los macro-bloques es tener modelos manejables en el sentido de poder obtener la solución al problema matemático en algunos minutos de cálculo de computadora. La desventaja de este enfoque es la gran dependencia que existe entre la configuración de los bloques y la solución (Orduña y Lourenço, 2001). Esta dependencia obliga a adoptar reglas “razonables” para la elaboración del modelo. Aunque estas reglas en general dependen del tipo y calidad de la mampostería, en el presente ejemplo se adoptaron las siguientes:

• Para las grietas por cortante, se considera una zona de compresión en la base del muro de longitud igual a la espesura del mismo.

• Las grietas por cortante se forman a ángulos mayores o iguales que 45º, dependiendo de la existencia o no de puertas o ventanas (Giuffrè et al. 1991).

• Si se considera la posibilidad de una grieta en el dintel de una puerta o ventana, ésta se coloca verticalmente a la mitad del vano (Giuffrè et al. 1991).

(a) (b)

Figura 5 Edificio en estudio Este problema convierte al análisis en un proceso iterativo. Se elabora inicialmente un modelo, se analiza y se evalúa si los resultados son satisfactorios. Si no es así, se modifica el modelo y se analiza nuevamente. Para elaborar el modelo y evaluar los resultados es necesario tener algunas nociones del comportamiento de este tipo de estructuras. También es útil elaborar modelos en dos dimensiones de algunos de los muros del edificio. En estos modelos es posible intentar reproducir la estructura interna de la mampostería usando bloques con tamaños y arreglos similares a los reales.

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Es ilustrativo mencionar que el tiempo necesario para extraer la información geométrica, resolver el problema matemático y dibujar el mecanismo de colapso, es en promedio de 25 minutos para los modelos aquí presentados. Esto es indicativo de que es perfectamente posible usar en la práctica este programa para evaluar y, en su caso, diseñar el refuerzo de edificios antiguos. ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA ORIGINAL En la figura 6 se presentan los mecanismos de falla y factores de carga correspondientes para la estructura en su estado original. Se observa que el modo de falla en ambos casos es el volteo de muros hacia afuera de su plano, y que los factores de carga son mucho menores que el coeficiente sísmico considerado. Esto era de esperarse debido a que no se consideró que los sistemas de piso y techo tuvieran capacidad de redistribuir las cargas horizontales.

(a) (b)

Figura 6 Mecanismos de falla para la estructura no reforzada (a) sismo en dirección +X, factor de carga: 0.050; (b) sismo en dirección +Y, Factor de carga: 0.068.

ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA REFORZADA Con el fin de mejorar la capacidad sísmica de la construcción, se propusieron algunas medidas de refuerzo (Giuffrè et al. 1991). Los sistemas de piso y techo se reforzaron para que tuvieran capacidad de distribuir las cargas laterales hacia los muros en la dirección supuesta del sismo. En la parte superior de los muros se consideró la construcción de una cadena de concreto con una barra de acero embebida. A la altura del entrepiso se consideró la colocación de tirantes, dos en la dirección X, y tres en la dirección Y. La figura 7 muestra los mecanismos de falla y los factores de carga respectivos para los análisis hechos con la estructura reforzada. Es posible observar que para el sismo en la dirección +X, la falla sigue siendo por volteo de la parte superior de la fachada. Sin embargo, la cadena colocada en la parte superior de los muros obliga a que la fachada arrastre consigo todo el techo. Esto incrementa considerablemente el factor de carga a un valor muy superior al coeficiente sísmico considerado. Para el sismo en la dirección +Y, el refuerzo permite que el modo de falla cambie para cortante en los muros AD y BC, con el consecuente incremento en el factor de carga a un valor también superior al coeficiente sísmico. En este caso particular se usó el refuerzo que había sido previamente calculado (Giuffrè et al. 1991). Sin embargo, el cálculo puede hacerse, también en forma iterativa. Se proponen refuerzos que eliminen el mecanismo de falla crítico y se analiza la estructura para verificar si el nuevo factor de carga es mayor que el

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coeficiente sísmico de diseño. En caso contrario se añade nuevo refuerzo que impida el nuevo mecanismo de falla crítico. Este procedimiento se repite hasta obtener el comportamiento deseado.

(a) (b)

Figura 7 Mecanismos de falla para la estructura reforzada; (a) sismo en dirección +X, factor de carga: 0.38; (b) sismo en dirección +Y, factor de carga: 0.28.

CONCLUSIONES El planteamiento de análisis límite presentado en este artículo tiene el potencial de convertirse en una herramienta práctica y poderosa para la evaluación sísmica de construcciones antiguas de pequeña a mediana magnitud. Por un lado, evita la necesidad de usar el MEF no-lineal, que si bien es un método refinado, consume demasiado tiempo para su uso en la práctica. Por el otro lado, evita hacer hipótesis demasiado simplistas que pueden conducir a errores grandes. Este planteamiento ofrece un tratamiento más general de las funciones de falla y flujo que los presentados anteriormente, por ejemplo por Baggio y Trovalusci (1998) y por Gilbert (1998). El elemento barra presentado agrega la capacidad para dimensionar refuerzos de estructuras. Es necesario investigar otras formas de las funciones de falla que permitan tomar en cuenta, en forma simple pero efectiva, el efecto en la resistencia a torsión de las fuerzas cortantes y del contacto parcial en las juntas. La dependencia que existe entre la configuración de los bloques y el resultado del análisis, obliga a la necesidad hacer investigaciones para determinar, con la mayor exactitud posible, las reglas que deben seguirse para la elaboración de los modelos de macro-bloques.

AGRADECIMIENTOS El primer autor desea agradecer al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología la beca otorgada para realizar sus estudios de doctorado. Este trabajo también ha sido parcialmente financiado mediante el proyecto SAPIENS 33935-99 por la Fundação para a Ciência e Tecnologia de Portugal.

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